Тангенс острого угла треугольника: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С:

Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: «синус альфа».

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла, который равен , обозначается символом , читается: «косинус альфа».

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: «тангенс альфа».

На рисунке

                             (1)

                            (2)

                               (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

                              (4)

Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Дано: АВС, А1В1С1, С = С1 = 900, А = А1

.

Доказать: sin A = sin A1, cos A = cos A1, tg A = tg A1.

Доказательство:

АВС А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С1 = 900, А = А1). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:

Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A1. Аналогично , т.е. cos A = cos A1, и , т.е. tg

A = tg A1, что и требовалось доказать.

Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.

Докажем основное тригонометрическое тождество:

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора , поэтому .

Урок геометрии в 8 классе


Урок геометрии в 8 классе

Тема: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»
Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления учащимися блока новой учебной информации о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе острого угла прямоугольного треугольника средствами технологии проблемного обучения с использованием ИКТ.
Тип урока: изучение нового материала и первичного закрепления
Цели по содержанию:
1) Предметные:
а. Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

б. Уметь записывать синус, косинус, тангенс и котангенс для острого угла
в. Уметь устанавливать логические отношения
2) Метапредметные:
а. Познавательные: умение применять новые знания для решения проблемных задач, умение устанавливать причинно следствен-ные связи
б. Коммуникативные: умение полно и точно выражать свои мысли, слушать и понимать речь других
в. Регулятивные: умение оценивать результат своей деятельности и деятельности одноклассников
3) Личностные:
а. Умение развивать свои интеллектуальные способности в процессе решения проблемных задач
Методы: частично – поисковый, репродуктивный
Ход урока
1. Организационный этап
Результат учения равен произведению способности на старательность.
Если старательность равна нулю, то и все произведение равно нулю.
А способности есть у каждого!

2. Мотивация урока
Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

Сегодняшний урок мне хотелось бы начать со слов великого ученого-физиолога И.П Павлова:
«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не бери-тесь за последующее, не усвоив предыдущее». С
Мы живем в реальном мире и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.
Сегодня мы дадим определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Сформулируем правило нахождения катета, гипотенузы прямоугольного треугольника. (Слайд 2) А зачем скажите вы? Мы знаем, что можно с помощью линейки измерить длину отрезка, транспортиром измерить угол. Однако не всякую величину можно измерить непосредственно. Например, как измерить высоту солнца над горизонтом? Как определить длину моста, который нужно построить через реку? Как решить задачу: “С башни маяка высотой 70 метров виден корабль под углом 3 градуса к горизонту. Каково расстояние от маяка до корабля?” Чтобы ответить на все эти и многие другие вопросы, нам нужны новые знания.

3. Актуализация опорных знаний.

Какие могут быть углы?

Что такое треугольники?

Основные элементы определяющие треугольник?

Какие бывают треугольники в зависимости от сторон?

Какие бывают треугольники в зависимости от углов?

Что такое катет?

Что такое гипотенуза?

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Какие соотношения между сторонами и углами этого треугольника вы знаете?

Зачем надо знать соотношения между сторонами и углами?

Какие задачи из жизни могут привести к необходимости вычислять неизвестные стороны в треугольнике?


Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».
Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».
В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. При строительстве пирамид в Египте именно так изготавливали прямоугольные треугольники. Наверно поэтому прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 и назвали египетским треугольником.
4. Изучение нового материала.
В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике.

Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?
Цель сегодняшнего урока – исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете такие задачи решать.
Давайте почувствуем себя в роли научных работников и вслед за гениями древности Фалесом, Евклидом, Пифагором пройдем путь поиска истины.
Для этого нам нужна теоретическая база.


Выделите красным цветом угол А и катет ВС.
Выделите зеленым цветом катет АС.
.Вычислим, какую часть составляет противолежащий катет для острого угла А к его гипотенузе, для этого составим отношение противолежащего катета к гипотенузе:

 ВС/АВ = 4/5


Это отношение носит особое название – такое, что каждый человек в каждой точке планеты понимает, что речь идет о числе, представляющем отношение противолежащего катета острого угла к гипотенузе. Это слово синус. Запишите его. Так как слово синус без названия угла теряет всякий смысл, то математическая запись такова:
Теперь составьте отношение прилежащего катета к гипотенузе для острого угла А:

sinА = 4/5
Это отношение имеет название косинус. Его математическая запись: 

АС/АВ = 3/5
Рассмотрим еще одно отношение для острого угла А: отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

 ВС/АС = 4/3


Это отношение носит название тангенс. Его математическая запись:

 tgА = 4/3


Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinА = ВС/АВ

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosА = АС/АВ

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

tgА = ВС/АС

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы.
a = c sin α    a = b tg α
b = c cos α    b = a ctg α
Основное тригонометрическое тождество.
sin2A + cos2A = 1
Используя формулы синуса и косинуса получаем
sin2A + cos2A = ВС2/АВ2 + АС2/АВ2 = (ВС2 + АС2)/ АВ2
по теореме Пифагора BC2 + AC2 = AB2, отсюда следует sin2A + cos2A = 1

5. Закрепление нового материала.
Давайте закрепим наши промежуточные открытия.
Синус – это …
Косинус – это …
Тангенс – это ..

 

sin A =
sin О =
sin A1 =

cos A =
cos О =
cos A1 =

tg A =
tg О =
tg A1 =

IV этап. Первичная проверка понимания
Творческая работа
Решить задачу. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол α. Найти катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение.
AC = AB cos α = c cos α;
BC = AB sin α = c sin α;
BD = BC sin α = c sin² α;
AD = AC cos α = c cos² α;
СВ = AC sin α = c sin α cos α
V. Закрепление знаний и способов действий.
Решение прикладных задач
1.Найти высоту дерева, если расстояние от наблюдателя до ствола дерева равно 9м, а угол, под которым он видит макушку дерева, равен 300.
2.Найдите угол наклона Пизанской башни, если высота башни равна 60м, а камень, брошенный с верхней площадки башни, пролетает 50м.
3.Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 3 м, составляет 3 м.
Выразите в градусах высоту Солнца над горизонтом.
4.С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?
Решение.
Пусть О – центр тяжести груза, к которому приложена сила. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе. Поэтому
F = P sin α
5.Груз Р массой 1 т поддерживается двумя стержнями АВ и ВС, прикрепленными к стене при помощи шарниров. Определите силу, действующую на стержни, если ÐСАВ = 90°, а ÐАСВ= 60°.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Что вы узнали нового? На уроке:


вы рассматривали …

вы анализировали …

вы получили …

вы сделали вывод …

вы пополнили словарный запас следующими терминами …

 

Рефлексия

Тест (обведи в кружок букву своего ответа):

1. Результатом своей личной работы считаю, что я…
А) разобрался в теории.
Б) научился решать задачи.
В) повторил весь изученный материал.

2. Чего вам не хватало на уроке при решении заданий:
А) знаний.
Б) времени.
В) желания.
Г) решал нормально.

3. Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке?
А) одноклассники.
Б) учитель.
В) учебник.
Г) ИКТ.

Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.

В системе координат построим полуокружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.

 

 

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

 

В треугольнике \(AOX\):

sinα=AXAO;cosα=OXAO.

Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sinα=AX;cosα=OX.

Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):

 Acosα;sinα.

Следовательно, для углов 0°≤α≤180° видно, что −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.

 

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,  

tgα=AXOX=sinαcosα.

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0°;90°;180°.

 

sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0;sin90°=1;cos90°=0;tg90° не существует;sin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0.

 

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90°, то оба выразим через α.

 

 

Если sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin90°−α=OXAO;cos90°−α=AXAO.

 

Видим, что справедливы равенства:

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

 

Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α.

 

 

Справедливы следующие равенства:

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Эти формулы называются формулами приведения:

 

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

 

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX2+OX2=1. Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем  

Главное тригонометрическое тождество

sin2α+cos2α=1.

Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус

(как уже отмечено, синус для углов 0°≤α≤180° только 0 или положительный):

 

sin2α+cos2α=1;sin2α=1−cos2α;sinα=1−cos2α 

 

— или величину косинуса угла, если дан синус:

 

sin2α+cos2α=1;cos2α=1−sin2α;cosα=±1−sin2α.

 

Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом, понятиями, которые связывают острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника.

Прежде всего, давайте повторим основные сведения о прямоугольном треугольнике. Пусть нам дан прямоугольный треугольник ABC. Вершина C, угол С= 90º – прямой, гипотенуза с. Вершина А, угол α — острый, катет a. Вершина B, угол β — острый, катет b.

Напомним, что сумма углов треугольника равна 180º, значит, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Мы знаем, что стороны прямоугольного треугольника связаны между собой теоремой Пифагора.

Катет, BC является противолежащим для угла А, катет AC является прилежащим для угла А. Аналогично, катет AC является противолежащим для угла B, катет BC является прилежащим для угла B.

А теперь давайте подумаем, а можно ли связать между собой стороны и углы прямоугольного треугольника?

Давайте, посмотрим на два прямоугольных треугольника с острыми углами 30º и 60º.

И давайте, попробуем найти отношение катета, противолежащего углу в тридцать градусов к гипотенузе одного и второго треугольника.

Мы видим, что это отношение одинаково в обоих треугольниках.

Теперь давайте найдем отношение катета, прилежащего к углу в тридцать градусов. И опять получили одинаковые отношения.

;

Теперь давайте найдем отношение противолежащего катета к прилежащему. И снова у нас получились одинаковые отношения.

;

Теперь давайте, рассмотрим два прямоугольных равнобедренных треугольника. Острые углы этих треугольников равны по 45º. Находя для них такие же отношения, получим, что и в этом случае эти отношения для обоих треугольников равны.

 

= ;

 = ;

;

Учеными было сделано предположение, что эти отношения не зависят от величины сторон прямоугольного треугольника, а зависят от величины острых углов прямоугольного треугольника. Для этих отношений были введены специальные названия и обозначения.

Определение: синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Теперь давайте попробуем найти отношение синуса угла α к косинусу того же угла.

; ;

Сравним полученную формулу с формулой тангенса угла α и увидим, что можно записать, что тангенс угла альфа равен отношению синуса угла альфа к косинусу угла альфа.;

Задача. Найти  треугольника  с прямым углом , если  см,  см.

Решение.

 

 (см)       

  

 

Ответ:      .

Из определения синуса,  

Из определения тангенса угла А можно получить формулу, которая связывает два катета прямоугольного треугольника. Получим, что катет a равен произведению катета b на тангенс противолежащего угла.

Задача. Пусть в прямоугольном треугольнике, один из катетов равен  см, а противолежащий угол равен . Выразить второй катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через известный катет и угол, и найти их значение.

Решение.

Ответ: .

Теперь давайте докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Пусть нам даны два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1 с прямыми углами C и C1 и равными острыми углами А и A1. Очевидно, что углы B и B1 также будут равны. То есть наши треугольники подобны по первому признаку подобия (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).

Значит, справедливы равенства

Из этих равенств несложно вывести равенство отношения  а эти отношения есть ничто иное как синус угла А и синус угла A1. То есть можно записать, что .

Аналогично, можно вывести равенство отношения  то есть равенство . А раз равны синусы и косинусы, то из формулы , получим, что . Таким образом, наше утверждение доказано.

Теперь, давайте попробуем доказать справедливость равенства:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Таким образом, справедливость равенства доказана.

Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством. Синус, косинус, тангенс – тригонометрические функции.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «треугольники» и «измеряю». «Тригонометрия» — раздел математики, в котором изучают тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Задача. Найти  если .

Решение

 или

Ответ: .

Повторим главное:

синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;

косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;

тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему;

Синус и косинус одного и того же угла связаны между собой основным тригонометрическим тождеством.

Внеклассный урок — Синус, косинус, тангенс

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Тригонометрические функции.

 

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.


Тангенс
острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

 

Правила:

Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:

b = c · sin α

Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:

a = c · cos α

Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:

b = a · tg α

Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:

a = b · ctg α

 

Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:

(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).

                              b
                  sin α = —
                              c

 

          sin2 α + cos2 α = 1

 

 

α + β = 90˚

 

                               a
                  cos α = —
                               c

                               1
           1 + tg2 α = ——
                            cos2 α

 

cos α = sin β

 

                             b
                  tg α = —
                             a

                                  1
           1 + ctg2 α =  ——
                                sin2 α

 

sin α = cos β

 

                               a
                  ctg α = —
                               b

                      1            1
            1  + ——  =  ——
                    tg2 α      sin2 α

 

tg α = ctg β

                            sin α
                  tg α = ——
                            cos α

 

 

 

 


При возрастании острого угла
sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.


Для любого острого угла α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-пояснение:

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

 

Решение.

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

               BC      3      1
sin A = —— = — = —
              AB      6       2

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

              BC       3      1
cos B = —— = — = —
              AB      6       2

 В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.

Или:

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Убедимся в этом еще раз:

1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
    sin (90º – 60º) = cos 60º.
    sin 30º = cos 60º.

2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
    cos (90° – 30º) = sin 30º.
    cos 60° = sin 30º.

 

(Подробнее о тригонометрии — см.раздел Алгебра)


Тест геометрия 8 класс Тест. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Задание 1Выберите верные формулы для вычисления tgα в треугольнике, изображенном на рисунке:

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1)                         2)

3)                              4)

Задание 2Чему равен синус наименьшего угла прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке? Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Запишите число: ___________________________

Задание 3Что можно сказать про прямоугольный треугольник, тангенс острого угла которого равен 1? Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Это равнобедренный прямоугольный треугольник

2) Гипотенуза этого треугольника равна 2

3) Это равносторонний треугольник

4) Один из катетов равен гипотенузе

Задание 4 —

Задание 5Чему равен косинус острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен ? Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.

Запишите ответ:_____________________________________

Задание 6Вставьте пропущенное слово:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение _____________________________ катета к гипотенузе.

Задание 7Вставьте пропущенное слово:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение ___________________________________________ катета к гипотенузе.

Задание 8Вставьте пропущенные слова. Укажите верное соответствие между номером и словом:

Тангенсом строго угла прямоугольного треугольника называется отношение 1)______________________________ катета к 2)_________________________.

Задание 9Вставьте пропущенное слово:Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к _________________

Задание 10Вставьте пропущенное слово: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к _____________.

Ответы:

1) (1 б.) Верные ответы: 2; 4;

2) (1 б.): Верный ответ: 0,6.;

3) (1 б.) Верные ответы: 1;

4) (1 б.) Верные ответы: 4; 1; 2; 3;

5) (1 б.) Верный ответ: «12/13».

6) (1 б.) Верные ответы: 1;

7) (1 б.) Верные ответы: 1;

8) (1 б.) Верные ответы: 1; 2;

9) (1 б.) Верные ответы: 3;

10) (1 б.) Верные ответы: 3;


Скачано с www.znanio.ru

Проверочная работа «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» 8 класс

Использованные источники.

Вариант 1

1)

Задание 1. Геометрия.7-9 классы: учеб.для общеобразоват.организаций/(Л.С.Атанасян,

В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.)-2-е изд.-М.: Просвещение, 2014. Пункт 68.

2)

Задание 2. : Геометрия.7-9 классы: учеб.для общеобразоват.организаций/(Л.С.Атанасян,

В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.)-2-е изд.-М.: Просвещение, 2014. Пункт 68;

https://oge.sdamgia.ru/problem?id=401388

4) Задание 4. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, №АЕ8В22)

5)Задание 5. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, №С3А5F2)

6)

Задание 6. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, № D8213E)

7)

Задание 8. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, № Е52F99)

8)

Задание 9. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, № 48CB65)

10) Задание 10. https://oge.sdamgia.ru/problem?id=339510

Вариант 2

1)

Задание 1. Геометрия.7-9 классы: учеб.для общеобразоват.организаций/(Л.С.Атанасян,

В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.)-2-е изд.-М.: Просвещение, 2014. Пункт 68.

2)

Задание 2. : Геометрия.7-9 классы: учеб.для общеобразоват.организаций/(Л.С.Атанасян,

В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.)-2-е изд.-М.: Просвещение, 2014. Пункт 68;

4) Задание 4. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, № 09С3В1)

5)Задание 5. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, №Е812С8)

6) Задание 6. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, № В972FB)

7)

Задание 8. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, № 2657CA)

8)

Задание 9. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge (раздел геометрия, № 73E3A7)

10) Задание 10. https://oge.sdamgia.ru/problem?id=353455

Рисунок к заданиям 7,8,9 https://goo.su/6BYU

Математическая сцена — синус, косинус и тангенс тригонометрии

Математическая сцена — синус, косинус и тангенс тригонометрии — Урок 1

2008 Rasmus ehf
и Джанн Сак

Синус, косинус и тангенс тригонометрии.
Печать

Урок 1

ABC — прямоугольный треугольник

Угол А составляет 30 градусов.Мы пишем это как:

а — это обозначение стороны противоположного угла A

b — это обозначение стороны противоположного угла B

c — это обозначение стороны противоположного угла C


Подобные треугольники треугольники, в которых все углы в одном треугольнике равны углам в другой треугольник

Эти два треугольника похожи.Соотношение между двумя сторонами в одном треугольнике равно соотношение между соответствующими сторонами в другом треугольнике.

Использование обозначений в треугольниках выше получаем:

Соотношение зависит от от размера угла.


Касательная

Отношение, называемое тангенсом (тангенс) острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как соотношение между стороной, противоположной углу, и стороной, прилегающей к углу.

Пример 1 Найти угол A

Первая

Тан A = 3 / 4 = 0,75

Нам нужно используйте обратную функцию для tan, tan -1 , найти угол. Эта функция находится на той же клавише калькулятора, что и загар. функция (сдвиг загара).

Мы используем следующая последовательность команд:

сдвиг — загар -1 0,75 = 37

Попробуйте следующее на калькуляторе, чтобы увидеть разницу между загаром и загаром -1 :

угол → соотношение соотношение → угол

загар 37 = 0,75 тангенса -1 0,75 = 37

Пример 2 Найти сторона b

коричневый 37 = 4 / b

загар 37 b = 4

0.75 б = 4

b = 5,3


Снэ

Синус (грех) острый угол в прямоугольном треугольнике — это соотношение между сторона, противоположная углу и гипотенуза треугольника.

Пример 3 Найдите угол А, дающий ответ с точностью до градуса.

sin A = 3 / 5 = 0,6 дает <А = 37

Сдвиг sin -1 0,6 = 37

Пример 4 Найдите сторону а.

грех 37 = a / 5

а = грех 37 5

а = 3


Косинус

Косинус (cos) острый угол в прямоугольном треугольнике — это соотношение сторон рядом с углом и гипотенузой треугольника.

Пример 5 Используйте функцию косинуса, чтобы найти угол A, дающий ответ до ближайшего степень.

cos A = 4 / 5 = 0,8 дает

Сдвиг cos -1 0,8 = 37

Пример 6 Найдите сторону b.

cos 37 = b / 5

b = Cos 37 5

b = 4

некоторые значения для sin, cos и tan.

грех 80 = 0,98 cos 80 = 0,17 загар 80 = 5,67
грех 60 = 0,87 cos 60 = 0,5 загар 60 = 1,73
грех 30 = 0,5 cos 30 = 0,87 загар 30 = 0,58
грех 10 = 0.17 cos 10 = 0,98 загар 10 = 0,18

Попрактикуйтесь в этих методах, а затем воспользуйтесь тест по тригонометрии 1 (sin, cos и tan).

Функция тангенса в прямоугольных треугольниках — Тригонометрия

Функция тангенса в прямоугольных треугольниках — Тригонометрия — Math Open Reference (См. Также Касательная к кругу). В прямоугольный треугольник, тангенс угла — это длина противоположной стороны, деленная на длину соседняя сторона.

Попробуй это Перетащите любой вершину треугольника и посмотрите, как вычисляется касательная к A и C.

Касательная функция вместе с синус и косинус — один из трех наиболее распространенных тригонометрические функции. В любом прямоугольном треугольнике тангенс угла — это длина противоположной стороны (O), деленная на длину соседняя сторона (A). В формуле он записывается просто как «загар».

Часто вспоминается как «SOH» — что означает Синус Напротив Гипотенуза.
См. SOH CAH TOA.

В качестве примера предположим, что мы хотим найти тангенс угла C на рисунке выше (сначала нажмите «Сброс»). Из приведенной выше формулы мы знаем, что тангенс угла — это противоположная сторона, деленная на соседнюю. Противоположная сторона — это AB и имеет длину 15. Соседняя сторона — это BC длиной 26. Итак, мы можем написать Это деление на калькуляторе получается 0,577. Таким образом, мы можем сказать: « тангенс C равен 0,5776 » или

Пример — использование касательной для определения длины стороны

Если мы посмотрим на общее определение — мы видим, что есть три переменные: размер угла x и длины двух сторон (противоположной и смежной).Итак, если у нас есть какие-то два из них, мы можем найти третий.

На рисунке выше нажмите «Сброс». Представьте, что мы не знаем длины стороны BC. Мы знаем, что касательная к A (60 °) — это противоположная сторона (26), разделенная соседней стороной AB — той, которую мы пытаемся найти. Из нашего калькулятора мы находим, что тангенс угла загара 60 ° равен 1,733, поэтому мы можем написать Транспонирование: что составляет 26, что соответствует приведенному выше рисунку.

Функция арктангенса — arctan

Для каждой тригонометрической функции, такой как tan, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, загар — это арктан и т. Д.

Когда мы видим «арктангенс А», мы интерпретируем его как «угол, тангенс которого равен А».

загар 60 = 1,733 Означает: тангенс угла 60 градусов равен 1,733
арктан 1,733 = 60 Означает: угол, тангенс которого равен 1,733, равен 60 градусам.

Мы используем его, когда знаем, каков тангенс угла, и хотим узнать фактический угол.

См. Также определение арктангенса и Обратные функции — тригонометрия

Большие и отрицательные углы

В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти тангенс любого угла, независимо от его размера, а также тангенс отрицательных углов. Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.

При использовании этого способа мы также можем построить график касательной функции. См. Раздел Построение касательной функции.

Производная tan (x)

В расчетах производная tan (x) равна sec 2 (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или наклона tan (x) составляет сек 2 (x) .

Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.

Другие вопросы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Функции острых углов

Функции острых углов

Характеристики подобных треугольников , первоначально сформулированные Евклидом, являются строительными блоками тригонометрии. Теоремы Евклида утверждают, что если два угла одного треугольника имеют ту же меру, что и два угла другого треугольника, то эти два треугольника подобны. Также в подобных треугольниках сохраняются угловые размеры и соотношения соответствующих сторон.Поскольку все прямоугольные треугольники содержат угол 90 °, все прямоугольные треугольники, содержащие другой угол равной меры, должны быть подобными. Следовательно, отношение соответствующих сторон этих треугольников должно быть равным по величине. Эти отношения приводят к тригонометрическим отношениям . Для обозначения углов обычно используются строчные буквы греческого алфавита. Неважно, какая буква используется, но две, которые используются довольно часто, — это альфа (α) и тета (θ).

Углы могут быть измерены в одной из двух единиц: градусов или радиан .Связь между этими двумя показателями может быть выражена следующим образом:

Следующие коэффициенты определяются с помощью круга с уравнением x 2 + y 2 = r 2 и относятся к рисунку 1.



Рисунок 1
Справочные треугольники.

Помните, что если углы треугольника остаются прежними, но длина сторон увеличивается или уменьшается пропорционально, эти соотношения остаются прежними.Следовательно, тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках зависят только от размера углов, а не от длин сторон.

Косеканс , секанс и котангенс представляют собой тригонометрические функции , которые являются обратными значениям синуса , косинуса и тангенса соответственно.

Если тригонометрические функции угла θ объединены в уравнение, и уравнение действительно для всех значений θ, тогда уравнение известно как тригонометрическое тождество .Используя тригонометрические соотношения, показанные в предыдущем уравнении, можно построить следующие тригонометрические тождества.

Условно, (sin α) 2 и sin 2 α могут использоваться как взаимозаменяемые. Из рисунка (а) и теоремы Пифагора, x 2 + y 2 = r 2 .

Эти три тригонометрические идентичности чрезвычайно важны:

Пример 1 : Найдите sin θ и tan θ, если θ — острый угол (0 ° ≤ θ ≤ 90 °) и cos θ = ¼.

Пример 2 : Найдите sin θ и cos θ, если θ — острый угол (0 ° ≤ θ ≤ 90 °) tan θ = 6.

Если тангенс угла равен 6, то отношение стороны, противоположной углу, и стороны, прилегающей к углу, равно 6. Поскольку все прямоугольные треугольники с этим соотношением подобны, гипотенузу можно найти, выбрав 1 и 6 как значения двух катетов прямоугольного треугольника, а затем применить теорему Пифагора.

Тригонометрические функции делятся на три пары, которые называются совместными функциями .Синус и косинус являются совместными функциями. Тангенс и котангенс являются совместными функциями. Секанс и косеканс являются совместными функциями. Из прямоугольного треугольника XYZ можно вывести следующие тождества:

Используя рисунок 2, обратите внимание, что ∠X и ∠Y дополняют друг друга.

Рисунок 2
Справочные треугольники.

Таким образом, в целом:

Пример 3: Каковы значения шести тригонометрических функций для углов, составляющих 30 °, 45 ° и 60 ° (см. Рисунок 3 и Таблицу 1).

ТАБЛИЦА 1 Тригонометрические соотношения для углов 30 °, 45 ° и 60 °

Рисунок 3
Чертежи для примера 3
.



% PDF-1.4 % 1241 0 объект > эндобдж xref 1241 105 0000000016 00000 н. 0000003294 00000 н. 0000003383 00000 н. 0000003632 00000 н. 0000004212 00000 н. 0000004291 00000 н. 0000004368 00000 н. 0000004446 00000 н. 0000004522 00000 н. 0000004764 00000 н. 0000007947 00000 п. 0000008331 00000 п. 0000008720 00000 н. 0000009070 00000 н. 0000009366 00000 п. 0000009625 00000 н. 0000009838 00000 п. 0000010151 00000 п. 0000010459 00000 п. 0000016617 00000 п. 0000017058 00000 п. 0000017466 00000 п. 0000017619 00000 п. 0000018427 00000 п. 0000018721 00000 п. 0000019066 00000 п. 0000019512 00000 п. 0000019859 00000 п. 0000019925 00000 п. 0000020345 00000 п. 0000020518 00000 п. 0000020946 00000 п. 0000021825 00000 п. 0000022483 00000 п. 0000022901 00000 п. 0000022952 00000 п. 0000023187 00000 п. 0000023618 00000 п. 0000023657 00000 п. 0000023713 00000 п. 0000023764 00000 п. 0000024037 00000 п. 0000024786 00000 п. 0000026275 00000 п. 0000026764 00000 н. 0000027283 00000 п. 0000028053 00000 п. 0000028303 00000 п. 0000033059 00000 п. 0000033138 00000 п. 0000033573 00000 п. 0000033939 00000 п. 0000035552 00000 п. 0000036028 00000 п. 0000036544 00000 п. 0000036718 00000 п. 0000037946 00000 п. 0000038318 00000 п. 0000038626 00000 п. 0000041206 00000 п. 0000041371 00000 п. 0000041667 00000 п. 0000041730 00000 п. 0000041784 00000 п. 0000042319 00000 п. 0000042740 00000 п. 0000044197 00000 п. 0000044461 00000 п. 0000044838 00000 п. 0000046255 00000 п. 0000046809 00000 п. 0000051672 00000 п. 0000054226 00000 п. 0000055282 00000 п. 0000058489 00000 п. 0000061441 00000 п. 0000062397 00000 п. 0000068253 00000 п. 0000078552 00000 п. 0000081245 00000 п. 0000092759 00000 п. 0000093354 00000 п. 0000093934 00000 п. 0000094134 00000 п. 0000096188 00000 п. 0000096505 00000 п. 0000096879 00000 п. 0000096981 00000 п. 0000098632 00000 п. 0000098884 00000 п. 0000099199 00000 н. 0000099774 00000 п. 0000099993 00000 н. 0000100224 00000 н. 0000100381 00000 п. 0000104071 00000 н. 0000105872 00000 н. 0000106949 00000 п. 0000108078 00000 н. 0000125677 00000 н. 0000127412 00000 н. 0000129372 00000 н. 0000130578 00000 н. 0000148177 00000 н. 0000002396 00000 н. трейлер ] / Назад 1914745 >> startxref 0 %% EOF 1345 0 объект > поток hb«a` €

РЕШЕНИЕ: РАЗУМ Как изменяется тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике при увеличении меры угла? Обосновать ответ.

Стенограмма видео

Так что ты к этой проблеме приглядишься, пытаешься рационализировать. Он здесь. Коэффициент натяжения. Коэффициент тендера противоположен вторжению. Хорошо, для угла спинки. Теперь, если бы я увеличил X, что случилось бы с влиянием на коэффициент натяжения? Увеличивается? Уменьшается? Это вообще не меняется. Вы хотите оправдать наш ответ. Так что, если вообще что-нибудь, вы думаете, что Чарли, бэби, выдвигает гипотезу. Происходит то, что кто просто переводит касательные нулевого намерения в один градус в градусы и продолжает делать это столько, сколько вы можете.Спасибо. Гм, но есть лучший способ получить интуицию для этого, а не что-то большее, например, ноль градусов двигателя. Интересно, два DUI и так далее. Вы увидите, что ценность напряжения бывшей певицы Бекс также увеличивается. Но давайте попробуем понять, почему это так, потому что у нас есть однозначный ответ. Итак, давайте просто возьмем обычный прямоугольный треугольник в вашем прямоугольном треугольнике, верно? В таком случае, назовем это углом X. Теперь о напряжении мы можем говорить только о противоположном и соседнем участке.Я знаю низы. Я видел Джейсона Сайд, потому что эта длинная сторона здесь, противоположная правильному углу, — это новости для I pod. Так что же? Но, как я пишу в новостях, все обстоит наоборот. Это соседний сайт. Итак, мы знаем, что касательная актов равна противоположной по отношению к смежным, просто по определению, теперь вперед, чтобы увеличить меру угла действий. Я хочу, чтобы вы здесь вспомнили, что если я увеличиваю угол X, то после увеличения бокового прохода увеличивается, сэр.Таким образом, увеличение X означает, что я должен увеличиваться. О, вот и, если бы я сказал, возьмите эту примерку на меня, если я ее разнесу. Хорошо, я думаю, что я толкаю, сжимаю здесь этот треугольник, чтобы он немного сплющился. Тогда предположим, я держу свой iPod, чтобы петь. Это называется это О, давайте назовем это один и один. Вот как его 02 и восемь оказались здесь из-за наличия места. Ладно, думаю, у меня недостаточно места, поэтому я могу поставить здесь точку, а это мой угол X. Знаете, это тоже нехорошо, да. Кажется, здесь стало немного короче.Так что, если наш рост топор здесь, то смежный упал на вас падает там. Таким образом, здесь мы можем видеть, в то время как если бы я не увеличивался мера действий. Так мера лодыжки X, противоположной стороне увеличивается, и на стороне Джейсон уменьшается Обратите внимание, что это работает только если новости высокий горшок одинакова в обоих случаях. Так что мы можем сказать здесь держать огни постоянная новостей высокого горшку. В противном случае, это действительно трудно понять. О, несколько возрастает уменьшается здесь. Если X увеличивает он прав, то противоположная сторона.Не надо. Противоположный. Ладно, не на сайте. Противоположная сторона увеличивается в длину, а соседняя сторона увеличивается. Могу я так как да? X увеличивается. Так что это могло быть сокращено для увеличения. Так же как и касательная к миллионам Эксетера. Пусть x будет углом, под которым мы снимаем соотношение внимания. И это будет ваше объяснение

Сводка тригонометрических формул

Сводка тригонометрических формул

Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников.На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r, в умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.
Формулы для прямоугольных треугольников

Наиболее важные формулы тригонометрии — формулы прямоугольного треугольника. Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус тета — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

  • Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
  • Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.
Формулы наклонных треугольников

Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой. Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , . b и c .

Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники. В нем говорится, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника, равен a 2 + b 2 , сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла.Когда угол ° C правильный, он становится формулой Пифагора.

Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым соотношением для всех трех углов.

С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

  • Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
  • Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
  • Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.
Формулы площади для треугольников

Есть три разные полезные формулы для вычисления площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

Умножить половину основания на высоту. Это обычный вариант, поскольку он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону для звонка по базе b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь равна половине bh .
Формула Герона. Это полезно, когда вы знаете три стороны треугольника: , , , и , , и все, что вам нужно знать, это площадь.Пусть s будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s a , s b и s c .
Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, если вам известны две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

Определения тригонометрических функций острого угла.

Темы | Дом

2

Две теоремы

ПЕРЕД ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, мы должны увидеть, как соотнести углы и стороны прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник состоит из прямого угла, угла при C и двух острых углов, которые меньше прямого угла.Принято обозначать острые углы греческими буквами. Обозначим угол в точке B буквой θ («THAY-ta»). И мы обозначим угол в точке A буквой φ («тьфу»).

Что касается сторон, то сторона AB, противоположная прямому углу, называется гипотенузой («hy-POT’n-yoos»). Каждый острый угол образован гипотенузой и стороной, примыкающей к углу. Таким образом, угол θ образован гипотенузой и стороной BC. Угол φ образован гипотенузой и боковым переменным током.

Однако относительно угла θ сторона AC является его противоположной стороной. В то время как сторона BC — это сторона, противоположная φ.

Передаточные числа сторон

Любые две стороны треугольника будут иметь отношение друг к другу. Таких соотношений можно образовать шесть: сторона, противоположная гипотенузе; соседняя сторона к противоположной; и так далее. У этих шести соотношений есть исторические названия и сокращения, с которыми ученику придется смириться.Вот они.

синус θ = грех θ = напротив
гипотенуза
косеканс θ = csc θ = гипотенуза
напротив
Косинус θ = cos θ = смежный
гипотенуза
секущая θ = сек θ = гипотенуза
смежная
тангенс угла θ = тангенс угла θ = напротив
рядом
котангенс θ = детская кроватка θ = смежный
напротив

Обратите внимание, что каждое отношение в правом столбце является обратным или обратным соотношению в левом столбце.

Значение, обратное sin θ, равно csc θ; и наоборот.

Значение, обратное cos θ, равно sec θ.

И величина, обратная величине tan θ, равна cot θ.

Как мы увидим в следующем разделе, значение каждого отношения зависит только от значения острого угла. Поэтому мы говорим, что каждое соотношение является функцией острого угла. Мы называем эти шесть соотношений тригонометрическими функциями острого угла. Вся тригонометрия основана на определениях этих функций.

Задача 1. Завершите следующее с помощью слов «напротив», «рядом с» или «гипотенуза».

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

а) В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется

.

а) гипотенуза.

б) ЦС называется боковой противоположный угол θ.

в) до н.э. называется боковой рядом с углом θ.

г) АС называется боковой рядом с углом φ.

д) до н.э. называется боковой противоположный угол φ.

Задача 2. Как показано, стороны прямоугольного треугольника находятся в соотношении 3: 4: 5. Назовите и оцените шесть тригонометрических функций угла θ.

sin θ = 4
5
csc θ = 5
4
cos θ = 3
5
сек θ = 5
3
тангенс угла θ = 4
3
детская кроватка θ = 3
4

Проблема 3.Как показано на рисунке, стороны прямоугольного треугольника находятся в соотношении 8: 15: 17. Назовите и оцените шесть тригонометрических функций угла φ.

sin φ = 15
17
csc φ = 17
15
cos φ = 8
17
сек φ = 17
8
tan φ = 15
8
детская кроватка φ = 8
15

Обратите внимание, что стороны этого треугольника удовлетворяют, как они должны, теореме Пифагора:

8 2 + 15 2 = 17 2
64 + 225 = 289

Проблема 4.Прямая линия образует угол θ с осью x . Значение

из которых функция θ равна его наклону?

Две теоремы.

Теорема 1. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине синуса любого угла, умноженному на произведение двух сторон, составляющих угол .

Конкретно:

Площадь треугольника ABC = ½ sin A bc = ½ cb sin A.

Площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту. Пусть в треугольнике ABC основание c , а высота h . Тогда

Площадь = ½ ch .

Сейчас,

sin A = ч / б ,

, так что

h = b sin A.

Поэтому в выражении для площади замените h на b sin A:

Площадь = ½ c b sin A.

Что мы и хотели доказать.

Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников.

Треугольники, похожие друг на друга, совпадают с квадратами
, нарисованными на соответствующих сторонах.

Когда треугольники подобны, то при любом множителе сторона a изменяется, стороны b и c изменятся с тем же фактором.Пропорционально

Следовательно, согласно теореме 1, площадь треугольника слева имеет следующее отношение к треугольнику справа:

Но площади квадратов на соответствующих сторонах имеют такое же соотношение.

Следовательно, подобные треугольники относятся друг к другу, как квадраты, нарисованные на их соответствующих сторонах.

Что мы и хотели доказать.

Следующая тема: Тригонометрия прямоугольных треугольников

Темы | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

0 comments on “Тангенс острого угла треугольника: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *