Методы узловых напряжений и контурных токов: Метод узловых напряжений в электротехнике (ТОЭ)

Метод узловых напряжений

Теперь рассмотрим применение метода узловых напряжений к анализу сложных цепей. Рассмотрим опять схему на рис.3.1а.

Суть метода состоит в том, что составляется система уравнений относительно узловых напряжений, каждое из которых есть разность потенциалов между данным узлом и базисным, потенциал которого принимается равным нулю. Для удобства составления системы уравнений все узлы нумеруются, номер базисного узла – нулевой (рис.3.3) Направления узловых напряжений – от данного узла к базисному.

Число уравнений, которые составляются для нахождения неизвестных узловых напряжений, равно , где — число ветвей, содержащих вырожденные источники ЭДС (в этих ветвях есть только источники ЭДС).

В нашем случае , , . Так как у нас есть один вырожденный источник ЭДС, то узловое напряжение , то есть нам известно. Поэтому необходимо составить систему уравнений относительно и .

Для каждого узла находится собственная проводимость , равная сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в данном узле.

Например, в узле 1 сходятся ветви с токами , , (ветвь с источником тока не учитываем, так как его сопротивление бесконечно велико, следовательно, проводимость равна нулю). Поэтому . Собственная проводимость берется всегда с плюсом. Для узла 2 получим: .

Для и узлов определяется взаимная проводимость , равная сумме проводимостей всех ветвей, включенных между и узлом.

Например, для нашего примера: , , . Взаимные проводимости с базисным узлом не рассматриваются.

Для каждого узла определяется суммарный ток для данного узла, равный сумме всех источников тока, входящих или исходящих из данного узла и сумме отношений всех невырожденных ЭДС, входящих в ветви, связанные с данным узлом, к полным комплексным сопротивлениям этих ветвей. При этом если источник тока либо ЭДС входит в данный узел, то соответствующее слагаемое берется с плюсом, если исходит из узла – то с минусом.

Для нашего случая:

, . (Так как источник тока входит в узел 1, а в узел 2 не входят ни один источник тока, ни один источник невырожденной ЭДС).

Составляется система уравнений относительно базисных напряжений:

(3.5)

Заметим, что в системе (3.5) перед всеми взаимными проводимостями стоит знак минус. Это общее правило.

Учитывая, что , перепишем систему (3.5) так:

(3.6)

Найдя из системы (3.6) и , выразим токи во всех ветвях через и с помощью законов Кирхгофа. Например, для контура 1, выделенного на рис.3.3 пунктиром, получим откуда найдем:

Аналогично, рассматривая другие выделенные контуры, получим:

,

, .

Токи и выразим с помощью уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 3:

, .

Для закрепления материала составьте систему уравнений по МУП для схемы, приведенной на рис.3.1а. Попробуйте, не обращаясь вначале к дальнейшим пояснениям, решить эту задачу самостоятельно. Для удобства на рис.3.4а приведена та же схема, что и на рис.3.1а.

Выберем базисный узел. В нашем случае число ветвей с вырожденными источниками ЭДС равно , поэтому базисный узел выбирается произвольно.

Число уравнений по МУН равно .

С помощью рис.3.4б найдем собственные проводимости узлов:

, , , ,

.

Найдем взаимные проводимости узлов:

, ,

, ,

, , .

Найдем суммарные токи для каждого узла:

, , , , .

Составляем систему уравнений относительно узловых напряжений

:

(3.7)

После решения системы (3.7) выражаем токи во всех ветвях через найденные узловые напряжения:

, , , , , , .

Рассмотрим теперь численное нахождение токов в ветвях схемы, приведенной на рис.3.4а, с помощью методов контурных токов и узловых напряжений.

Пусть для этой схемы известно:

, , , , , , , ; временные функции источников энергии имеют вид: В, В, , , .

Ниже приведен текст программы пакета Mathcad 2001i Professional по расчету токов ветвей для указанной схемы. Расчет проводился двумя методами: с помощью метода контурных токов и метода узловых напряжений.

Из приведенного текста программы видно, что расчет по обоим методам дал один и тот же результат. Однако для данной схемы целесообразнее применять метод контурных токов, поскольку порядок системы уравнений тогда получается меньше, чем порядок соответствующей системы уравнений по методу узловых напряжений.

Примечание. Для изучения или совершенствования работы с пакетом Mathcad предлагается книга:

Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2005. – 448 с.:ил.

Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разности потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется

узловым напряжением.

На рис.29 представлена схема электрической цепи, содержащая пять ветвей и три узла. За базисный принят узел с индексом «0».

Узловое напряжение U10=1-0. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Рис.29. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

Напряжение на ветвях цепи равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Например, напряжение ветви 4 равно: U4=I4R4=U10-U20 (30)

Из формулы (30) видно, что, зная узловые напряжения, можно найти ток ветви.

Структуру уравнений получим, рассматривая схему рис.30.

Т.к. узел с индексом «0» принят за базисный, то его потенциал равен нулю. Узловые напряжения (потенциалы) узлов 1 и 2 – неизвестны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов соответственно записываются:

(31)

Узловое напряжение (32)

Отсюда (33,а)

Аналогично для оставшихся токов:

(33,б)

Выражения (33,а,б) подставляем в систему (31) и после некоторых арифметических преобразований получаем:

(34)

Обозначим q11=q1+q2+q4+q5 – собственная проводимость узла 1.

q22=q3+q4+q5 – собственная проводимость узла 2.

q12=q21=q4+q5 – взаимная проводимость ветви,

соединяющей узлы 1 и 2.

Iy1=E1q1+E2q2+E5q5 – узловой ток узла 1.

Iy2=-E3q3-E5q5 – узловой ток узла 2.

Из приведенных выражений видно:

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений Eiqi и Ji источников тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если э.д.с. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «-».

После введенных обозначений система (34) принимает вид:

(35)

Из формул (35) видно, что собственная проводимость входит в выражения со знаком «+», а взаимная проводимость – со знаком «-».

Для произвольной схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

(36)

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

Nур=Ny-1-Nэ.д.с. (37)

где Nэ.д.с. – число идеальных источников э.д.с.

Пример: (общий случай)

Пример: (с идеальными э.д.с.)

Порядок расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

  1. Выбираем произвольно базисный узел. Желательно нулевой потенциал представить тому узлу, где сходится большее количество ветвей. Если имеется ветвь, содержащая идеальную э.д.с., то базисный узел должен быть концом или началом этой ветви.

  2. Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (36).

  3. Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

  4. Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

(38)

Следствие: Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных э.д.с.) составляется только одно уравнение.

Например, для схемы рис.30:

U10q11=E1q1-E3q4+J2 (39)

Формула (39) носит название метода двух узлов.

Рис.30. Иллюстрация к методу двух узлов.

Узловое напряжение по методу двух узлов равно:

(40)

Пример: Дано: E1=8B; E5=12B; R1=R3=1 Ом; R2=R4=2 Ом; R5=3 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

Рис.1

Решение:

Т.к. электрическая цепь содержит три узла и не содержит ветвей с идеальными источниками э.д.с., то число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений равно 2.

Узел 3 будем считать базисным.

Тогда

Где

В результате решения системы определяем U13=2,8 B; U23=-1,95 B.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:

Контрольные вопросы.

  1. Сформулировать принцип наложения. Почему он называется принципом независимого действия?

  2. Можно ли находить потребляемую мощность, используя метод наложения?

  3. Что представляют из себя входные и взаимные проводимости. Физический смысл этих коэффициентов.

  4. Изложить суть метода контурных токов, записать систему уравнений для произвольной схемы. Объяснить знаки в уравнениях.

  5. Как определяется число уравнений, составляемых по методу контурных токов?

  6. Изложить суть метода узловых напряжений. На каком законе основан данный метод?

  7. Что означает понятие «узловое напряжение»?

  8. Записать систему уравнений по методу узловых напряжений для произвольной схемы, объяснить знаки.

  9. Как определить количество уравнений по этому методу?

  10. Как учитывается наличие идеальных источников э.д.с. при составлении уравнений?

  11. Изложить порядок расчета цепей по методу узловых напряжений.

Метод контурных токов, метод узловых потенциалов

Метод контурных токов, метод узловых потенциалов

Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи.

В случае, когда электрическая схема достаточно сложна и не приводится к схеме одноконтурной цепи, пользуются более общими методами расчёта. Описанные ниже методы применимы для цепей постоянного и переменного тока.

Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

— число уравнений (сост. по II закону Кирхгофа).

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не меняющими проводимость (они могут содержать источники тока), то число уравнений К, составляемых по методу контурных токов уменьшается на NT.

Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви.

При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток).

— число независимых контурных токов, их необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников тока.

Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:

При этом следует считать , если условные положительные направления контурных токов в одной ветви контуров K и m совпадают, и , если они противоположны.

где 1 2 n — дополнение

 — определитель системы.

Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности:

Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей).

Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов.

Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи.

Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме.

Метод узловых потенциалов

Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа , где Ny – число узлов электрической схемы.

Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома.

При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого-либо узла, для оставшихся составляют уравнения по I-му закону Кирхгофа.

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число KI уравнений, составленных по МУП, уменьшается на Nн (число ветвей с нулевыми сопротивлениями).

— число уравнений по МУП.

Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме.

Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь.

Дальше будем предполагать, что , т.е. между узлами цепи не включены идеальные источники ЭДС.

В качестве примера составим уравнение по методу узловых напряжений для цепи, изображённой на рис. 3.

Задано:

и параметры всех элементов.

Расчёт цепи производим комплексным методом:

Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:

(1)

Y11=Y12+Y10+Y13; Y22=Y20+Y12+Y23; Y33=Y30+Y13+Y23

Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам.

Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу.

Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать:

(1)

Для 1-ого узла:

Значения Z1; Z2; Z3; E1 и E2 у нас были определены ранее (см. 1-ый способ решения).

Ответ:

Между узлами К и m имеется ветвь с источниками ЭДС (EKm), сопротивлением ZKm, то ток в этой цепи (ветви), направленный от К к m связан соотношениями:

Первый закон Кирхгофа для рис. 1 имеет вид (1).

Напряжение можно выразить через узловые напряжения в виде:

.

Получаем:

или

Обозначив , где YKK – сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к К-ому узлу, имеем:

— что и является основным уравнением для К-ого узла по МУП.

В развёрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид:

Решая эту систему, найдём узловые напряжения, причём для К-ого узла величина будет:

,

где  — главный определитель системы, mK – его алгебраическое дополнение.

После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях цепи имеют вид:

Если в ветви содержатся ЭДС, то ток равен

Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам.

Если к К-ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток IKK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-».

Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна 0.

Yii – собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со знаком «+»).

Yiк – взаимная проводимость между узлами i и к (входит в уравнение всегда со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу).

Ток I1 называется узловым током 1-ого узла. Это расчётная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу.

Y11 – проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле.

Y12 – проводимость взаимная – равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2 (берётся со знаком «-»).

Пример:

Е2=Е3 = 1 В

IK3 = 1 A

IK2 = 1 A

R1 = 13 Ом

R2 = 5 Ом

R3 = 9 Ом

R4 = 7 Ом

R5 = 1 Ом

R6 = 4 Ом

Определить токи в ветвях.

Для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы необходимо ввести в левую часть уравнений искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого.

Метод узловых (потенциалов) напряжений | Электрикам

При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.

Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие.
В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.

Важно отличать метод узловых напряжений (потенциалов) от метода узлового напряжения (метод двух узлов).

Метод узловых потенциалов примеры решения задач

Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.

Рис.1. Схема постоянного тока

 

        

Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.

Какой именно узел заземлять, значения не имеет. Заземлим, например, узел 4  φ4 = 0.

Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ1, φ2, φ3. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.

В общем виде система имеет вид:

Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения

имеют следующий смысл:

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае

 – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае

 – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае

 – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:

 – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:

Аналогично находятся и остальные проводимости:

J11 – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае

Аналогично

В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:

Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:

В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:

Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.

В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что

Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.

Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.

Рис.2. Моделирование в Multisim

Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.

 

ТОЭ Часть 1. Лк. 3. Тема: методы контурных токов и узловых потенциалов

Основныезаконы электротехники

Основныезаконы электротехники Схема это графическое изображение электрической цепи. Ветвь это участок схемы, вдоль котороготечетодинитотжеток. Узел это место соединения трех или большего числа ветвей Контур

Подробнее

Расчетно-графическая работа 1

Расчетно-графическая работа 1 Расчет цепей с источниками постоянных воздействий Пример решения: Дано: N M 3 4 5 6 7 Решение: 1 1) По заданному номеру варианта изобразим цепь, подлежащую расчету, выпишем

Подробнее

Методы анализа сложных линейных цепей.

ЛЕКЦИЯ. Методы анализа сложных линейных цепей. Существуют универсальные методы, позволяющие автоматически описывать связь между током и напряжением на различных участках цепи. Эти методы позволяют сократить

Подробнее

Методы анализа сложных линейных цепей.

ЛЕКЦИЯ 6. Методы анализа сложных линейных цепей. Существуют универсальные методы, позволяющие автоматически описывать связь между током и напряжением на различных участках цепи. Эти методы позволяют сократить

Подробнее

1.4. Метод узловых потенциалов.

14 Метод узловых потенциалов Теоретические сведения Метод расчета, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов Этот метод наиболее рационально применять

Подробнее

2.8. Метод контурных токов.

При использовании законов Кирхгофа число уравнений равно числу ветвей Для уменьшения числа уравнений (и неизвестных величин) используют методы контурных токов узловых потенциалов и эквивалентных генераторов

Подробнее

МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

Подробнее

Работа по теме : «Сложные цепи»

Работа по теме «Сложные цепи» Определить токи в ветвях и режимы работы источников в схеме, где E, E — ЭДС источника энергии; 0, 0 — их внутреннее сопротивление;,,, 4, 5 — сопротивление резисторов. Данные

Подробнее

4. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РЕЗИСТИВНЫХ СХЕМ

28 4. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РЕЗИСТИВНЫХ СХЕМ В данной главе рассматриваются методы расчёта, применяемые при анализе линейных схем в статическом режиме, т. е. при постоянных сигналах. В соответствии с компонентными

Подробнее

I 3 b I 11 E 1 I 5 I 6 I 33

Задача 1 Для заданной схемы необходимо: 1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы; 2) определить токи во всех ветвях методом контурных токов; 3)

Подробнее

Лекция 2. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

4 Лекция АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ План Задача анализа электрических цепей Законы Кирхгофа Примеры анализа резистивных цепей 3 Эквивалентные преобразования участка цепи 4 Выводы Задача анализа электрических

Подробнее

Практическая работа 5

Практическая работа 5 Тема: Расчёт электрических цепей с использованием законов Ома и Кирхгофа. Цель: научиться рассчитывать электрические цепи постоянного тока, используя законы Ома и Кирхгофа. Ход работы

Подробнее

Расчетно-графическая работа 1

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИ Х

Подробнее

2007, Ravenbird ВВ-2-06

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Вариант Красняков А.М. МИРЭА, 2007 Рис.. Исходная схема.. Упростить схему (рис. ), заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы четвёртой

Подробнее

Теоретические сведения.

Глава 2. Методы расчета переходных процессов. 2.1. Классический метод расчета. Теоретические сведения. В первой главе были рассмотрены методы расчета цепи, находящейся в установившемся режиме, то есть

Подробнее

Лекция 2. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

4 Лекция. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ План. Задача анализа электрических цепей. Законы Кирхгофа.. Примеры анализа резистивных цепей. 3. Эквивалентные преобразования участка цепи. 4. Заключение. Задача анализа

Подробнее

АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «УГТУ — УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Методические указания

Подробнее

РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина В.В. Муханов, А.Г. Бабенко РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ Учебное электронное

Подробнее

3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

3 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ Основные уравнения теории цепей делятся на компонентные и топологические. Компонентные уравнения, например, закон Ома, связывают сигналы одного элемента. Топологические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТУ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА ПО КУРСУ «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ» для студентов электротехнических и электроэнергетических специальностей

Подробнее

Лекция 3. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

6 Лекция. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ План. Метод узловых напряжений.. Алгоритм формирования узловых уравнений.. Формирование узловых уравнений для схем с ИТУН.. Модифицированный метод узловых напряжений.

Подробнее

УНИВЕРСИТЕТ ИТМО. Денисова А.В.

УНИВЕРСИТЕТ ИТМО Кафедра электротехники и прецизионных электромеханических систем Денисова А.В. Методическое пособие в помощь к выполнению домашних заданий по курсу «Электротехника» и «Общая электротехника»

Подробнее

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Ивановский государственный политехнический университет ( И В Г П У) Т е к с т и л ь н ы й и н с т и т у т К а федра автоматики и радиоэлектроники Методические указания к расчетно-графическим заданиям по

Подробнее

от частоты — Фазо-частотная

7 Комплексный коэффициент передачи I I -реакция ток или напряжение цепи на внешнее воздействие F ток или напряжение F F K — комплексный коэффициент передачи, передаточная F функция или передаточная характеристика

Подробнее

Глава 1. Основные законы электрической цепи

Глава 1. Основные законы электрической цепи 1.1 Параметры электрической цепи Электрической цепью называют совокупность тел и сред, образующих замкнутые пути для протекания электрического тока. Обычно физические

Подробнее

МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра теоретической и

Подробнее

Электротехника и электроника

Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики Кафедра электродинамики

Подробнее

Тема 1.Электрические цепи.

Тема 1.Электрические цепи. П.1.Закон Ома для участка цепи. П.2.Закон Джоуля-Ленца для участка цепи. П.3.Электрическая цепь. Источники и потребители электрической энергии. П.4. Закон Ома для полной цепи.

Подробнее

3. Постоянный электрический ток.

3 Постоянный электрический ток Закон Ома для однородного участка цепи: где разность потенциалов на концах участка Сопротивление однородного участка проводника: l l S σs где удельное сопротивления σ удельная

Подробнее

Лекция 13. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

138 Лекция 13. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ План 1. Технико-экономические преимущества трехфазных цепей. 2. Соединение звездой и треугольником. 3. Симметричный и несимметричный режимы работы трехфазной цепи. 4. Заключение.

Подробнее

ЦЕЛЬ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

ЦЕЛЬ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 3 1. Освоить анализ линейных цепей с использованием метода комплексных амплитуд. 2. Закрепить методы расчета линейных цепей. 3. Овладеть построением векторных диаграмм. 4. Уяснить

Подробнее

ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ 1/63

ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ 1/63 1 Закон Ома в комплексной форме основан на символическом методе и справедлив для линейных цепей с гармоническими напряжениями и токами Этот закон следует из физической

Подробнее

РАСЧЕТ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Расчетно-графическое задание 1 для студентов института дистанционного обучения. РАСЧЕТ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА методом контурных токов и эквивалентного генератора Вариант *** ( вариант определяется тремя

Подробнее

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 464 «Электропривод

Подробнее

Постоянный ток «на ладони»

Постоянный ток «на ладони» Теоретические сведения. Топология цепи ее строение. Разобраться со строением цепи можно, зная определения ее элементов. Ветвь — участок цепи, содержащий один или несколько последовательно

Подробнее

Теоретические сведения.

2.2. Операторный метод расчета переходных процессов. Теоретические сведения. Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования.

Подробнее

Лекция 11. Закон Ома

Лекция 11. Закон Ома 11.1. Закон Ома для неоднородного участка цепи. 11.. Закон Ома в дифференциальной форме. 11.3. Работа и мощность. Закон Джоуля Ленца. 11.4. КПД источника тока. 11.5. Закон Кирхгофа.

Подробнее

Основы матричных методов расчета электрических цепей. (Лекция N 6)

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где — источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:


. (1)

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток как сумму токов k-й ветви и источника тока, т.е.:

. (2)

Подставив (2) в (1), получим:

. (3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

, (4)

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В  и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

, (5)

то

, (6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=nm+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

. (7)

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

, (8)

где — столбцовая матрица контурных токов; — транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

, (10)
. (11)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

, (12)

где — матрица контурных сопротивлений; — матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

 , (13)

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

B

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

.

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

, (14)

где — диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z и Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

, (15)

получим:

.. (16)

Выражение (16) перепишем, как:

. (17)

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

. (18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

. (19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)
, (21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

где — матрица узловых проводимостей; — матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
  2. Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
  3. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
  4. Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.
  5. Ответ:

  6. Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).
  7. Ответ:

Расчёт электрических цепей по методу узловых потенциалов: вывод метода

Наряду с решением электрических схем по законам Кирхгофа и методом контурных токов используется метод узловых потенциалов [1]. Его применение рационально в случае, если количество узлов больше количества независимых контуров в схеме.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Метод узловых потенциалов (МУП) заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа и закона Ома определяются напряжения в узлах электрической цепи (потенциалы узлов φ) относительно некоторого базисного узла, а затем по закону Ома находятся токи в отдельных ветвях. Количество уравнений для решения электрической цепи по МУП равно $ N_{\textrm{у}}- 1- N_{E} $, где $ N_{\textrm{у}} $ – число узлов, $ N_{E} $ – число особых ветвей. Особой ветвью называется такая ветвь, в которой имеется только источник напряжения и отсутствует сопротивление.

Вывод метода

Вывод метода узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы, указанной на рис. 1. Обозначенное комплексное сопротивление $ \underline{Z} $ представляет собой эквивалентное сопротивление соответствующей ветви. Проводимостью ветви называется обратная этому значению величина, т.е. $ \underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}} $.


Рис. 1. Обобщённый пример электрической цепи

Обозначим на схеме токи, задав им произвольное направление, и пронумеруем узлы на схеме. В качестве базисного узла, относительно которого будем производить расчёты потенциалов, выберем узел 4 ($ \underline{\varphi}_{4} = 0 $).

Рассмотрим на примере 1-го узла вывод формулы расчёта узлового потенциала, для этого запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

$$ -\underline{I}_{1}-\underline{I}_{2}-\underline{I}_{3}-\underline{J}_{1} = 0. $$

По закону Ома выразим неизвестные токи в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле, через потенциалы узлов по концам этих ветвей:

$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{{{\underline{U}}_{12}}+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{2}}=\frac{{{\underline{U}}_{13}}+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}, $$

$ \underline{I}_3=\frac{{{\underline{U}}_{14}}+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\cancel{{{\underline{\varphi }}_{4}}}}^{0}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}. $

Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:

$$ -\frac{(\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{2}) + \underline{E}_{1}}{\underline{Z}_{1}}- \frac{(\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{3}) + \underline{E}_{2}}{\underline{Z}_{2}}-\frac{\underline{\varphi}_{1} + \underline{E}_{3}}{\underline{Z}_{3}}- \underline{J}_{1} = 0, $$

$$ -((\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{2})+\underline{E}_{1}) \cdot \underline{Y}_{1}- ((\underline{\varphi}_{1}-\underline{\varphi}_{3})+\underline{E}_{2}) \cdot \underline{Y}_{2}- (\underline{\varphi}_{1} + \underline{E}_{3}) \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1} = 0, $$

$$ -\underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{2} + \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1} = 0, $$

$$ \underline{\varphi}_{1} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{2} + \underline{Y}_{3})- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{2} =-\underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1}. $$

Расписав уравнения для остальных узлов, получим систему уравнений, решив которую можно получить значения неизвестных потенциалов:

$$ \begin{cases} \underline{\varphi}_{1} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{2} + \underline{Y}_{3})- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{2} =-\underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1} \\ \underline{\varphi}_{2} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{4} + \underline{Y}_{6})- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot \underline{Y}_{4} = \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{4} \cdot \underline{Y}_{4} + \underline{E}_{6} \cdot \underline{Y}_{6} + \underline{J}_{1} \\ \underline{\varphi}_{3} \cdot (\underline{Y}_{2} + \underline{Y}_{4} + \underline{Y}_{5})- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{4} = \underline{E}_{2} \cdot \underline{Y}_{2}- \underline{E}_{4} \cdot \underline{Y}_{4} + \underline{E}_{5} \cdot \underline{Y}_{5} \end{cases} $$

Нахождение токов осуществляется по закону Ома через вычисленные потенциалы узлов:

$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{2}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{2}}}{{{\underline{Z}}_{2}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{3}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{4}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}},$$

$$ {{\underline{I}}_{4}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{3}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{4}}}{{{\underline{Z}}_{4}}},$$

$$ {{\underline{I}}_{5}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{5}}}{{{\underline{Z}}_{5}}},$$

$$ {{\underline{I}}_{6}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{2}})+{{\underline{E}}_{6}}}{{{\underline{Z}}_{6}}}.$$

Вывод частного случая метода узловых потенциалов

Рассмотрим вывод уравнений для расчёта цепей с двумя и более особыми ветвями, не имеющими общих узлов. Вывод уравнений произведём на примере схемы рис. 2. Как и в предыдущем случае, произвольно обозначим на схеме токи и пронумеруем узлы. Для уменьшения числа уравнений в качестве базисного узла примем узел 4, к которому примыкает особая ветвь с $ \underline{E}_{4} $.  Таким образом потенциал $ \underline{\varphi}_{4} = 0 \space \textrm{В} $, а потенциал $ \underline{\varphi}_{1} = \underline{E}_{4} $.


Рис. 2. Электрическая цепь с двумя особыми ветвями без общего узла.

Потенциалы по концам особой ветви с источником $ \underline{E}_{6} $ невозможно вычислить по уравнениям, выведенным в предыдущем пункте, поскольку проводимость этой ветви будет бесконечно большой. В то же время потенциалы узлов этой ветви будут отличаться на величину ЭДС. Поэтому достаточно определить потенциал с одной стороны. Для этого составим уравнение по первому закону Кирхгофа, к примеру, для узла 6:

$$ \underline{I}_{8} + \underline{I}_{9}- \underline{I}_{6} = 0. $$

Токи $ \underline{I}_{8} $ и $ \underline{I}_{9} $ можно выразить по закону Ома через потенциалы по концам ветвей, в которых они протекают, но ток $ \underline{I}_{6} $ остаётся неизвестным. Выразим его через первый закон Кирхгофа для узла 3, расположенного на противоположном конце особой ветви, и подставим в предыдущее уравнение:

$$ \underline{I}_{6} =- \underline{I}_{1}- \underline{I}_{3}- \underline{J}_{1}, $$

$$ \underline{I}_{8} + \underline{I}_{9} + \underline{I}_{1} + \underline{I}_{3} + \underline{J}_{1} = 0. $$

По закону Ома выразим токи в ветвях через потенциалы узлов:

$$ {{\underline{I}}_{1}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{1}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{1}}}{{{\underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{3}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{2}}-{{\underline{\varphi }}_{3}})+{{\underline{E}}_{3}}}{{{\underline{Z}}_{3}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{8}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{5}}-{{\underline{\varphi }}_{6}})+{{\underline{E}}_{8}}}{{{\underline{Z}}_{8}}}, $$

$$ {{\underline{I}}_{9}}=\frac{({{\underline{\varphi }}_{4}}-{{\underline{\varphi }}_{6}})+{{\underline{E}}_{9}}}{{{\underline{Z}}_{9}}}. $$

Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:

$$ \frac{(\underline{\varphi}_{5}- \underline{\varphi}_{6}) + \underline{E}_{8}}{\underline{Z}_{8}} + \frac{(\underline{\varphi}_{4}- \underline{\varphi}_{6}) + \underline{E}_{9}}{\underline{Z}_{9}} + \frac{(\underline{\varphi}_{1}- \underline{\varphi}_{3}) + \underline{E}_{1}}{\underline{Z}_{1}} + \frac{(\underline{\varphi}_{2}- \underline{\varphi}_{3}) + \underline{E}_{3}}{\underline{Z}_{3}} +\underline{J}_{1} = 0,  $$

$$ -\underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9}) + \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{3} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) + \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} = \\=-\underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{J}_{1}, $$

$$ \underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9})- \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} + \underline{\varphi}_{3} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) = \\ = \underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3} + \underline{J}_{1}. $$

Выразим потенциал узла 3 через $ \underline{E}_{6} $ и $ \underline{\varphi}_{6} $ и подставим в предыдущее уравнение:

$$ \underline{\varphi}_{3} = \underline{\varphi}_{6} + \underline{E}_{6}, $$

$$ \underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9})- \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} + (\underline{\varphi}_{6} + \underline{E}_{6}) \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) = \\ = \underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3} + \underline{J}_{1}, $$

$$ \underline{\varphi}_{6} \cdot (\underline{Y}_{8} + \underline{Y}_{9} + \underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3})- \underline{\varphi}_{4} \cdot \underline{Y}_{9}- \underline{\varphi}_{5} \cdot \underline{Y}_{8}- \underline{\varphi}_{1} \cdot \underline{Y}_{1}- \underline{\varphi}_{2} \cdot \underline{Y}_{3} = \\ = \underline{E}_{8} \cdot \underline{Y}_{8} + \underline{E}_{9} \cdot \underline{Y}_{9} + \underline{E}_{1} \cdot \underline{Y}_{1} + \underline{E}_{3} \cdot \underline{Y}_{3}- \underline{E}_{6} \cdot (\underline{Y}_{1} + \underline{Y}_{3}) + \underline{J}_{1}. $$

Уравнения для расчёта остальных неизвестных потенциалов (в узлах 2 и 5) и токов записываются аналогично предыдущему пункту, а токи в особых ветвях находятся по первому закону Кирхгофа.

Методика расчёта электрических цепей по методу узловых потенциалов приведена здесь.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Что такое узловой анализ? Пошаговый анализ

Определение узлового анализа

Узловой анализ — это метод, обеспечивающий общую процедуру анализа цепей с использованием узловых напряжений в качестве переменных схемы. Узловой анализ также называется методом узлового напряжения .
Некоторые особенности узлового анализа:

  • Узловой анализ основан на применении закона тока Кирхгофа (KCL).
  • Имея «n» узлов, нужно будет решить «n-1» одновременных уравнений.
  • Решая уравнения «n-1», можно получить напряжения всех узлов.
  • Количество узлов, не являющихся опорными, равно количеству узловых уравнений, которые можно получить.

Типы узлов в узловом анализе

  • Нереференсный узел — это узел, который имеет определенное узловое напряжение. например Здесь Узел 1 и Узел 2 являются Нессылочными узлами.
  • Ссылочный узел
  • — это узел, который действует как опорная точка для всех других узлов. Его также называют опорным узлом.

Типы эталонных узлов

  1. Заземление шасси — Этот тип эталонного узла действует как общий узел для нескольких цепей.
  2. Заземление. Когда потенциал земли используется в качестве эталона в любой цепи, этот тип опорного узла называется заземлением.

Решение схемы с использованием узлового анализа

Основные шаги, используемые при узловом анализе
  1. Выберите узел в качестве эталонного узла. Остальным узлам присвоить напряжения V 1 , V 2 … V n-1 .Напряжения относятся к эталонному узлу.
  2. Примените KCL к каждому небазовому узлу.
  3. Используйте закон Ома, чтобы выразить токи ветвей через напряжения узлов.

Узел Всегда предполагается, что ток течет от более высокого потенциала к более низкому потенциалу в резисторе. Следовательно, ток выражается следующим образом:

IV. После применения закона Ома получите уравнения узла «n-1» с точки зрения узловых напряжений и сопротивлений.

В. Решите «n-1» узловых уравнений для значений узловых напряжений и получите в результате требуемые узловые напряжения.

Узловой анализ с источниками тока

Узловой анализ с источниками тока очень прост и обсуждается на примере ниже.

Пример: расчет узловых напряжений в следующей схеме

В следующей схеме у нас есть 3 узла, один из которых является эталонным узлом, а два других не являются эталонными узлами — узел 1 и узел 2.

Шаг I. Назначить напряжения узлов как v 1 и 2 , а также отметить направления токов ветвей относительно опорных узлов

Шаг II. Примените KCL к узлам 1 и 2
KCL к узлу 1
KCL к узлу 2
Шаг III. Применить закон Ома к уравнениям KCL
• Закон Ома к уравнению KCL в узле 1

Упрощая приведенное выше уравнение, мы получаем,

• Теперь, закон Ома к уравнению KCL в узле 2

Упрощая приведенное выше уравнение, мы получаем

Шаг IV .Теперь решите уравнения 3 и 4, чтобы получить значения v 1 и v 2 as,
Используя метод исключения

И подставив значение v 2 = 20 вольт в уравнение (3), мы получим

Следовательно узловые напряжения равны v 1 = 13,33 Вольт и v 2 = 20 Вольт.

Узловой анализ с источниками напряжения

Случай I. Если источник напряжения подключен между опорным узлом и не опорным узлом, мы просто устанавливаем напряжение в не опорном узле равным напряжению источника напряжения и его анализ можно сделать так же, как мы сделали с текущими источниками.v 1 = 10 Вольт.

Дело II. Если источник напряжения находится между двумя не опорными узлами, то он образует суперузел, анализ которого выполняется следующим образом:

Анализ суперузла

Определение суперузла

Всякий раз, когда источник напряжения (независимый или зависимый) подключается между двумя не опорными узлы, то эти два узла образуют обобщенный узел, называемый суперузлом. Итак, суперузел можно рассматривать как поверхность, охватывающую источник напряжения и два его узла.

На приведенном выше рисунке 5 источник В подключен между двумя не опорными узлами Узлом-2 и Узлом-3. Таким образом, здесь Узел-2 и Узел-3 образуют суперузел.

Свойства суперузла
  • В суперузле всегда известна разница между напряжением двух неэталонных узлов.
  • Суперузел не имеет собственного напряжения
  • Для решения суперузла требуется применение как KCL, так и KVL.
  • Любой элемент может быть подключен параллельно источнику напряжения, образующему суперузел.
  • Суперузел удовлетворяет KCL, как и простой узел.
Как решить любую цепь, содержащую суперузел

Давайте рассмотрим пример, чтобы понять, как решить схему, содержащую суперузел

Здесь источник напряжения 2 В подключен между узлом-1 и узлом-2, и он образует суперузел с резистором 10 Ом. в параллели.
Примечание. Любой элемент, подключенный параллельно источнику напряжения, образующему суперузел, не имеет никакого значения, потому что v 2 – v 1 = 2 В всегда, каким бы ни было значение резистора.Таким образом, можно удалить 10 Ом и перерисовать схему, а применение KCL к суперузлу, как показано на рисунке, дает

Выражая и в терминах узловых напряжений.



Из уравнений 5 и 6 мы можем записать как

Следовательно, v 1 = – 7,333 В и v 2 = – 5,333 В, что и требуется.

Mesh Current Метод и анализ | Анализ сети постоянного тока

Метод Mesh-Current , также известный как Loop Current Method , очень похож на метод ответвленных токов в том, что он использует одновременные уравнения, закон напряжения Кирхгофа и закон Ома для определения неизвестных токов в сети.Он отличается от метода ответвленного тока тем, что , а не , использует закон тока Кирхгофа, и обычно он может решить схему с меньшим количеством неизвестных переменных и меньшим количеством одновременных уравнений, что особенно хорошо, если вы вынуждены решать без калькулятор.

Mesh Current, традиционный метод

Давайте посмотрим, как этот метод работает на том же примере проблемы:

Определение циклов

Первым шагом в методе Mesh Current является определение «контуров» в цепи, охватывающей все компоненты.В нашем примере схемы петля, образованная B 1 , R 1 и R 2 , будет первой, а петля, образованная B 2 , R 2 и R 3 , будет первой. секунда. Самая странная часть метода Mesh Current — это представление циркулирующих токов в каждой из петель. На самом деле, этот метод получил свое название от идеи, что эти токи соединяются вместе между петлями, как наборы вращающихся шестерен:

Выбор направления каждого тока совершенно произволен, как и в методе ветвления тока, но результирующие уравнения легче решить, если токи идут в одном направлении через пересекающиеся компоненты (обратите внимание, как токи I 1 и I 2 идут «вверх» через резистор R 2 , где они «зацепляются» или пересекаются).Если предполагаемое направление тока сетки неверно, ответ для этого тока будет иметь отрицательное значение.

Маркируйте полярность падения напряжения

Следующим шагом является маркировка всех полярностей падения напряжения на резисторах в соответствии с предполагаемыми направлениями токов сетки. Помните, что конец резистора «вверх по потоку» всегда будет отрицательным, а конец «вниз по потоку» резистора — положительным по отношению друг к другу, поскольку электроны заряжены отрицательно. Полярность батареи, конечно же, определяется ориентацией их символов на схеме и может «согласовываться» с полярностью резистора (предполагаемое направление тока):

, а может и не совпадать.

Используя закон Кирхгофа о напряжении, мы теперь можем обойти каждый из этих контуров, сгенерировав уравнения, представляющие падение напряжения и полярность компонентов.Как и в случае с методом ответвленного тока, мы будем обозначать падение напряжения на резисторе как произведение сопротивления (в омах) и соответствующего тока сетки (на данный момент эта величина неизвестна). Там, где два тока объединяются, мы запишем этот член в уравнении с током резистора, равным сумме двух объединенных токов.

Отслеживание левого контура цепи с помощью уравнений

Отслеживание левого контура цепи, начиная с левого верхнего угла и двигаясь против часовой стрелки (выбор начальных точек и направлений в конечном счете не имеет значения), считая полярность, как будто у нас в руках вольтметр, красный щуп на точке впереди и черные идут сзади, мы получаем уравнение:

Обратите внимание, что средний член уравнения использует сумму токов сетки I 1 и I 2 в качестве тока через резистор R 2 .Это связано с тем, что токи сетки I 1 и I 2 проходят в одном направлении через R 2 и, таким образом, дополняют друг друга. Распределив коэффициент 2 на члены I 1 и I 2 , а затем объединив члены I 1 в уравнении, мы можем упростить как таковое:

На данный момент у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Чтобы иметь возможность решить для двух неизвестных токов сетки, мы должны иметь два уравнения. Если мы проследим другой контур цепи, мы можем получить другое уравнение КВЛ и иметь достаточно данных для решения двух токов.Существо привычки, которым я являюсь, я начну с верхнего левого угла правой петли и проведу против часовой стрелки:

Упрощая уравнение, как и прежде, мы получаем:

Поиск неизвестного

Теперь, имея два уравнения, мы можем использовать один из нескольких методов для математического решения неизвестных токов I 1 и I 2 :

Перерисовать схему

Зная, что эти решения представляют собой значения для токов сетки , а не токов ветвей , мы должны вернуться к нашей диаграмме, чтобы увидеть, как они сочетаются друг с другом, чтобы дать токи через все компоненты:

Решение -1 ампер для I 2 означает, что мы изначально предположили, что направление тока неверно.На самом деле I 2 течет против часовой стрелки со значением (положительным) 1 ампер:

Это изменение направления тока по сравнению с первоначально предполагаемым изменит полярность падения напряжения на R 2 и R 3 из-за тока I 2 . Отсюда мы можем сказать, что ток через R 1 составляет 5 ампер, а падение напряжения на R 1 является произведением тока и сопротивления (E=IR), 20 вольт (положительное слева и отрицательное на право).

Также можно с уверенностью сказать, что ток через R 3 составляет 1 ампер, с падением напряжения 1 вольт (E=IR), положительный слева и отрицательный справа. Но что происходит на R 2 ?

Ток сетки I 1 идет «вниз» через R 2 , а ток сетки I 2 идет «вверх» через R 2 . Чтобы определить фактический ток через R 2 , мы должны увидеть, как взаимодействуют токи сетки I 1 и I 2 (в данном случае они противоположны), и алгебраически сложить их, чтобы получить окончательное значение.Так как I 1 идет «вниз» при 5 амперах, а I 2 идет «вверх» при 1 ампер, реальный ток через R 2 должен иметь значение 4 ампера, идущий «вниз». :

Ток 4 ампера через сопротивление R 2 2 Ом дает нам падение напряжения 8 вольт (E=IR), положительное вверху и отрицательное внизу.

Преимущество анализа тока сетки

Основным преимуществом анализа Mesh Current является то, что он обычно позволяет решать большие сети с меньшим количеством неизвестных значений и меньшим количеством одновременных уравнений.В нашей примерной задаче потребовалось три уравнения для решения метода Branch Current и только два уравнения с использованием метода Mesh Current. Это преимущество тем больше, чем сложнее сети:

Чтобы решить эту сеть с помощью Branch Currents, нам нужно установить пять переменных для учета каждого уникального тока в цепи (от I 1 до I 5 ). Для этого потребуется пять уравнений для решения в виде двух уравнений KCL и трех уравнений KVL (два уравнения для KCL в узлах и три уравнения для KVL в каждом контуре):

Я полагаю, что если у вас нет ничего лучше, чем потратить свое время, кроме как решить пять неизвестных переменных с пятью уравнениями, вы могли бы не возражать против использования метода анализа тока ветвления для этой цепи.Для тех из нас, у кого есть более важных дела, которыми можно заняться в наше время, метод Mesh Current намного проще, требуя для решения только три неизвестных и три уравнения:

Меньшее количество уравнений для работы является неоспоримым преимуществом, особенно при одновременном решении уравнений вручную (без калькулятора).

Несбалансированный мост Уитстона

Другим типом схемы, которая хорошо подходит для Mesh Current, является несбалансированный мост Уитстона.Возьмите эту схему, например:

Поскольку отношения R 1 /R 4 и R 2 /R 5 неодинаковы, мы знаем, что на резисторе R 3 будет напряжение и некоторая величина тока через него. Как обсуждалось в начале этой главы, этот тип схемы не поддается обычному последовательно-параллельному анализу и может быть проанализирован только каким-либо другим методом.

Мы могли бы применить к этой цепи метод ветвления тока, но для этого потребовалось бы шесть токов (от I 1 до I 6 ), что привело бы к решению очень большого набора одновременных уравнений.Однако, используя метод Mesh Current, мы можем решить для всех токов и напряжений с гораздо меньшим количеством переменных.

Нарисовать сетку

Первым шагом в методе Mesh Current является получение достаточного количества токов сетки для учета всех компонентов в цепи. Глядя на нашу мостовую схему, должно быть очевидно, где разместить два из этих токов:

Направление этих сетчатых токов, конечно, произвольно. Однако двух токов сетки в этой схеме недостаточно, так как ни I 1 , ни I 2 не проходят через батарею.Итак, мы должны добавить третий ток сетки, I 3 :

Здесь я выбрал I 3 для петли от нижней стороны батареи, через R 4 , через R 1 и обратно к верхней стороне батареи. Это не единственный путь, который я мог бы выбрать для I 3 , но он кажется самым простым.

Этикетка Полярность падения напряжения на резисторе

Теперь мы должны пометить полярность падения напряжения на резисторе, следуя каждому из предполагаемых направлений тока:

Обратите внимание на одну очень важную вещь: на резисторе R 4 полярность соответствующих токов сетки не совпадает.Это связано с тем, что эти токи сетки (I 2 и I 3 ) проходят через R 4 в разных направлениях. Это не исключает использования метода анализа Mesh Current, но немного усложняет его. Однако позже мы покажем, как избежать конфликта токов R 4 . (см. пример ниже)

Использование КВЛ

Генерация уравнения KVL для верхнего контура моста, начиная с верхнего узла и трассируя по часовой стрелке:

В этом уравнении мы представляем общие направления токов их суммами через общие резисторы.Например, резистор R 3 со значением 100 Ом имеет падение напряжения, представленное в приведенном выше уравнении КВЛ выражением 100 (I 1 + I 2 ), поскольку оба тока I 1 и I 2 пройти через R 3 справа налево. То же самое можно сказать и о резисторе R 1 , где выражение падения напряжения показано как 150 (I 1 + I 3 ), так как и I 1 , и I 3 проходят через него снизу вверх. резистор, и, таким образом, работайте вместе с , чтобы создать его падение напряжения.

Сгенерировать уравнение КВЛ для нижнего контура моста будет не так просто, так как у нас есть два тока, идущих друг против друга через резистор R 4 . Вот как я это делаю (начиная с правого узла и двигаясь против часовой стрелки):

Обратите внимание, что второй член в исходной форме уравнения имеет значение резистора R 4 , равное 300 Ом, умноженное на разность между I 2 и I 3 (I 2 — I 3 ) .Вот как мы представляем комбинированный эффект двух токов сетки, проходящих в противоположных направлениях через один и тот же компонент. Здесь очень важен выбор соответствующих математических знаков: 300(I 2 — I 3 ) не означает то же самое, что 300 (I 3 — I 2 ). Я решил написать 300 (I 2 — I 3 ), потому что в первую очередь я думал об эффекте I 2 (создание положительного падения напряжения, измерение с помощью воображаемого вольтметра на R 4 , красный свинец на снизу и черный стержень сверху), и, во вторую очередь, от эффекта I 3 (создание отрицательного падения напряжения, красный стержень снизу и черный стержень сверху).Если бы я сначала думал о влиянии I 3 , а затем о влиянии I 2 , удерживая воображаемые выводы вольтметра в одних и тех же положениях (красный внизу и черный вверху), выражение было бы таким: -300(I 3 — I 2 ). Обратите внимание, что это выражение математически эквивалентно первому: +300(I 2 — I 3 ).

Что ж, это заботится о двух уравнениях, но мне все еще нужно третье уравнение, чтобы завершить мой набор одновременных уравнений из трех переменных, трех уравнений.Это третье уравнение должно также включать напряжение батареи, которое до этого момента не фигурирует ни в двух предыдущих уравнениях KVL. Чтобы сгенерировать это уравнение, я снова начерчу петлю с моим воображаемым вольтметром, начиная с нижней (отрицательной) клеммы батареи, двигаясь по часовой стрелке (опять же, направление, в котором я делаю шаг, является произвольным и не обязательно должно совпадать с направлением). тока сетки в этом контуре):

Решение для токов

Решение для I 1 , I 2 и I 3 с использованием любого метода совместного уравнения, который мы предпочитаем:

Пример: Используйте Octave, чтобы найти решение для I 1 , I 2 и I 3 из приведенной выше упрощенной формы уравнений.

Решение: В Octave, клоне Matlab® с открытым исходным кодом, введите коэффициенты в матрицу A между квадратными скобками с элементами столбца, разделенными запятыми, и строками, разделенными точкой с запятой. Введите напряжения в вектор-столбец: b. Неизвестные токи: I 1 , 2 и I 3 вычисляются командой: x=A\b. Они содержатся в векторе-столбце x.

 
октава: 1>A = [300,100,150;100,650,-300;-150,300,-450]
        А =
          300 100 150
          100 650 -300
          -150 300 -450
 
        октава:2> b = [0;0;-24]
        б =
          0
          0
          -24
               
        октава: 3> х = A\b
        х =
          -0.0

0,077241 0,136092

Отрицательное значение, полученное для I 1 , говорит нам о том, что предполагаемое направление тока сетки было неправильным. Таким образом, фактические значения тока через каждый резистор таковы:

Расчет падения напряжения на каждом резисторе:

Моделирование SPICE подтверждает точность наших расчетов напряжения:

несбалансированный мост из Уитстона
v1 1 0
р1 1 2 150
р2 1 3 50
р3 2 3 100
р4 2 0 300
р5 3 0 250
.постоянный ток v1 24 24 1
.print dc v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2,0) v(3,0)
.конец
v1          v(1,2) v(1,3)      v(3,2) v(2) v(3)
2.400E+01   6.345E+00 4.690E+00   1.655E+00 1.766E+01 1.931E+01
 

Пример:

(a) Найдите новый путь для тока I 3 , который не создает конфликтной полярности на любом резисторе по сравнению с I 1 или I 2 . R 4 был компонентом-нарушителем. (b) Найдите значения для I 1 , I 2 и I 3 .(c) Найдите токи пяти резисторов и сравните их с предыдущими значениями.

Решение:

(a) Маршрут I 3 через R 5 , R 3, и R 1 , как показано:

Обратите внимание, что конфликт полярности на R 4 удален. Более того, ни один из других резисторов не имеет конфликтующей полярности.

(b) Octave, клон Matlab с открытым исходным кодом (бесплатно), дает вектор тока сетки в «x»:

 
октава: 1> Ля = [300,100,250;100,650,350;-250,-350,-500]
        А =
          300 100 250
          100 650 350
          -250 -350 -500
      
        октава:2> b = [0;0;-24]
        б =
          0
          0
        -24
              
        октава: 3> х = A\b
        х =
          -0.0

-0,058851 0,136092

Не все токи I 1 , I 2 и I 3 такие же (I 2 ), что и у предыдущего моста, из-за различных путей контура. Однако токи резисторов сравниваются с предыдущими значениями:

 
        IR1 = I1 + I3 = -93,793 млн лет + 136,092 млн лет = 42,299 млн лет назад
        IR2 = I1 = -93,793 мА
        IR3 = I1 + I2 + I3 = -93,793 млн лет -58,851 млн лет + 136,092 млн лет = -16,552 млн лет
        IR4 = I2 = -58,851 мА
        IR5 = I2 + I3 = -58.851 млн лет + 136,092 млн лет = 77,241 млн лет назад
 

Поскольку токи резисторов такие же, как и предыдущие значения, напряжения резисторов будут идентичными, и их не нужно будет вычислять повторно.

ОБЗОР:

  • Шаги для метода анализа Mesh Current:
  • (1) Нарисуйте токи сетки в петлях цепи, достаточные для учета всех компонентов.
  • (2) Обозначьте полярность падения напряжения на резисторе на основе предполагаемых направлений токов сетки.
  • (3) Напишите уравнения KVL для каждого контура цепи, заменяя E произведением IR в каждом члене уравнения резистора. Там, где два тока сетки пересекаются через компонент, выразите ток как алгебраическую сумму этих двух токов сетки (т. е. I 1 + I 2 ), если токи проходят в одном направлении через этот компонент. Если нет, выразите ток как разницу (т. е. I 1 — I 2 ).
  • (4) Решение для неизвестных токов сетки (одновременные уравнения).
  • (5) Если какое-либо решение отрицательное, то предполагаемое направление тока неверно!
  • (6) Алгебраически добавьте токи сетки, чтобы найти текущие компоненты, совместно использующие несколько токов сетки.
  • (7) Определите падение напряжения на всех резисторах (E=IR).

Ток сетки по осмотру

Мы еще раз взглянем на «метод сеточного тока», когда все токи движутся по часовой стрелке (по часовой стрелке). Мотивация состоит в том, чтобы упростить написание уравнений сетки, игнорируя полярность падения напряжения на резисторе.Однако мы должны обратить внимание на полярность источников напряжения относительно предполагаемого направления тока. Знак падения напряжения на резисторе будет следовать фиксированной схеме.

Если мы напишем набор обычных уравнений тока сетки для приведенной ниже схемы, где мы обращаем внимание на знаки падения напряжения на резисторах, мы можем преобразовать коэффициенты в фиксированный шаблон:

После перестановки мы можем писать уравнения путем проверки. Знаки коэффициентов следуют фиксированному шаблону в паре выше или наборе из трех в правилах ниже.

Текущие правила сетки:

  • Этот метод предполагает использование обычных источников напряжения тока. Замените любой источник тока, подключенный параллельно резистору, эквивалентным источником напряжения, включенным последовательно с эквивалентным сопротивлением.
  • Игнорируя направление тока или полярность напряжения на резисторах, нарисуйте токовые петли против часовой стрелки, пересекающие все компоненты. Избегайте вложенных циклов.
  • Напишите уравнения закона напряжения через неизвестные токи: I 1 , I 2 и I 3 .Коэффициент 1 уравнения 1, коэффициент 2 уравнения 2 и коэффициент 3 уравнения 3 являются положительными суммами сопротивлений вокруг соответствующих контуров.
  • Все остальные коэффициенты отрицательны и представляют сопротивление, общее для пары контуров. Коэффициент 2 в уравнении 1 — это резистор, общий для контуров 1 и 2, коэффициент 3 — резистор, общий для контуров 1 и 3. Повторите для других уравнений и коэффициентов.
  • +(сумма петли 1 R)I1 — (общая петля R 1-2)I2 — (общая петля R 1-3)I3   = E1
    -(общая петля R 1-2)I1 + (сумма петли 2 R )I2 — (общая петля R 2-3)I3   = E2
    -(общая петля R 1-3)I1 — (общая петля R 2-3)I2 + (сумма петли 3 R)I3   = E3
  • Правая часть уравнений равна источнику напряжения потока электронов.Повышение напряжения по отношению к предполагаемому току против часовой стрелки является положительным и равно 0 при отсутствии источника напряжения.
  • Решите уравнения для токов сетки: I 1 , I 2 и I3. Решите для токов через отдельные резисторы с KCL. Решите для напряжений с Законом Ома и KVL.

Несмотря на то, что приведенные выше правила относятся к схеме с тремя ячейками, правила могут быть распространены на ячейки меньшего или большего размера. На рисунке ниже показано применение правил. Все три тока текут в одном направлении по часовой стрелке.Для каждой из трех петель записывается одно уравнение КВЛ. Обратите внимание, что на резисторах не указана полярность. Нам это не нужно для определения знаков коэффициентов. Хотя нам нужно обратить внимание на полярность источника напряжения по отношению к направлению тока. I 3 Ток по часовой стрелке течет от положительной клеммы (+) источника l24V, а затем возвращается к клемме (-). Это повышение напряжения для обычного протекания тока. Следовательно, правая часть третьего уравнения равна -24 В.

В Octave введите коэффициенты в матрицу A с элементами столбцов, разделенными запятыми, и строками, разделенными точкой с запятой. Введите напряжения в вектор-столбец b. Найдите неизвестные токи: I 1 , I 2 и I 3 с помощью команды: x=A\b. Эти токи содержатся в векторе-столбце x. Положительные значения указывают на то, что все три тока сетки текут в предполагаемом направлении по часовой стрелке.

 
октава: 2> Ля=[300,-100,-150;-100,650,-300;-150,-300,450]
           А =
             300 -100 -150
             -100 650 -300
             -150 -300 450

           октава:3> b=[0;0;24]
           б =
              0
              0
             24

           октава: 4> х=А\б
           х =
             0.0

0,077241 0,136092

Токи сетки соответствуют предыдущему решению с использованием другого метода расчета тока сетки. Расчет напряжений и токов резисторов будет идентичен предыдущему решению. Здесь не нужно повторяться.

Обратите внимание, что тексты по электротехнике основаны на обычном токе. Метод loop-current, mesh-current в этих текстах будет запускать предполагаемые токи сетки по часовой стрелке . Условный ток течет через клемму (+) батареи по цепи, возвращаясь к клемме (-).Обычный рост тока-напряжения соответствует отслеживанию предполагаемого тока от (-) до (+) через любые источники напряжения.

Далее следует еще один пример предыдущей схемы. Сопротивление вокруг контура 1 составляет 6 Ом, вокруг контура 2: 3 Ом. Общее сопротивление обоих контуров равно 2 Ом. Обратите внимание на коэффициенты I 1 и I 2 в паре уравнений. Отслеживание предполагаемого тока контура 1 по часовой стрелке через B 1 от (+) до (-) соответствует увеличению напряжения потока электронного тока.

Таким образом, знак 28 В положительный. Петля 2 против часовой стрелки предполагала токовые дорожки (-) к (+) через B 2 , падение напряжения. Таким образом, знак B 2 отрицательный, -7 во втором уравнении сетки. Опять же, на резисторах нет маркировки полярности. Они также не фигурируют в уравнениях.

Токи I 1 = 5 А и I 2 = 1 А являются положительными. Оба они текут в направлении петель по часовой стрелке.Это сопоставимо с предыдущими результатами.

Сводка:

  • Метод модифицированного тока сетки позволяет избежать необходимости определять знаки коэффициентов уравнения, рисуя все токи сетки по часовой стрелке для обычного потока тока.
  • Однако нам необходимо определить знак любых источников напряжения в контуре. Источник напряжения положителен, если предполагаемый ток против часовой стрелки течет с батареей (источником). Знак отрицательный, если предполагаемый ток против часовой стрелки течет против батареи.
  • Подробнее см. правила выше.

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

Что такое узловой анализ?

Вопрос задан: проф. Куртис Вайман IV
Оценка: 4,2/5 (71 голос)

В анализе электрических цепей узловой анализ, анализ узлового напряжения или метод ветвей тока — это метод определения напряжения между «узлами» в электрической цепи с точки зрения токов ветвей.

Что такое пример узлового анализа?

Узловой анализ основан на применении Текущего закона Кирхгофа (KCL) .Имея «n» узлов, нужно будет решить «n-1» одновременных уравнений. Решив уравнения «n-1», можно получить напряжения всех узлов. Количество нереферентных узлов равно количеству узловых уравнений, которые можно получить.

Для чего используется узловой анализ?

Среди симуляций, найденных в симуляторах SPICE, узловой анализ является фундаментальным методом, используемым для изучения распределения напряжения и тока в цепи . Этот метод эффективно объединяет оба закона Кирхгофа и закон Ома в одно матричное уравнение.

Как вы делаете узловой анализ?

Процедура узлового анализа

  1. Шаг 1 — Определите основные узлы и выберите один из них в качестве эталонного узла. …
  2. Шаг 2 — Отметьте напряжения узла относительно земли от всех основных узлов, кроме эталонного узла.
  3. Шаг 3 — Напишите узловые уравнения во всех основных узлах, кроме опорного узла.

В чем разница между сеточным и узловым анализом?

Узловой метод

использует закон Кирхгофа для токов для учета узловых напряжений, а метод сетки использует закон Кирхгофа для напряжений для учета токов сетки.Сетка — это петля, не содержащая других петель.

Найдено 17 связанных вопросов

Каковы ограничения узлового анализа?

Узловой метод широко используется для формулирования уравнений цепей в программах компьютерного анализа и проектирования сетей. Однако в этом методе существует несколько ограничений, включая невозможность обработки источников напряжения и токозависимых элементов схемы простым и эффективным способом .

Что такое анализ суперузлов?

В теории схем суперузел — это теоретическая конструкция, которую можно использовать для решения схемы . … Суперузлы, содержащие эталонный узел, имеют одну переменную напряжения узла. Для узлового анализа конструкция суперузла требуется только между двумя нереферентными узлами.

Что такое узловая теорема?

Как следует из названия, анализ узлового напряжения использует «узловые» уравнения первого закона Кирхгофа для нахождения потенциалов напряжения вокруг цепи…. Таким образом, сложив вместе все эти узловые напряжения, чистый результат будет равен нулю.

Что такое опорный узел?

Ссылочный узел — это узел данных, который создается путем ссылки на другой узел данных в шаблоне заказа . Узел ссылочных данных имеет тот же тип данных и структуру узла, на который он ссылается. Однако узел эталонных данных является отдельным экземпляром структуры данных, на которую он ссылается.

Где применяется узловой анализ?

Объяснение: Узловой анализ можно применять для как плоских, так и неплоских сетей , поскольку каждому узлу, плоскому или неплоскому, может быть назначено напряжение. 9.

Что такое узловая диаграмма?

Также известен как Network Graph , Network Map, Node-Link Diagram.Этот тип визуализации показывает, как вещи взаимосвязаны с помощью узлов/вершин и линий связи, чтобы представить их соединения и помочь осветить тип отношений между группой объектов.

В чем разница между узловым анализом и KCL?

KCL означает, что общий ток, входящий в узел, должен покинуть узел, или I , входящий в = I , выходящий из .Узловой анализ — это метод анализа цепи, который применяет KCL к каждому узлу, что приводит к набору уравнений, которые можно решить одновременно, чтобы найти напряжения всех узлов в цепи.

Сколько узлов берется в качестве эталонных узлов в узловом анализе?

Сколько узлов берется в узловом анализе в качестве эталонных? Объяснение: В узловом анализе только один узел берется в качестве эталонного узла.А напряжение узла — это напряжение данного узла по отношению к одному конкретному узлу, называемому эталонным узлом.

Как вы проводите анализ суперузла?

Краткий обзор анализа суперузлов (шаг за шагом)

  1. Если возможно, перерисуйте схему.
  2. Подсчитайте количество узлов в цепи.
  3. Создание эталонного узла. …
  4. Обозначьте узловые напряжения….
  5. Сформируйте суперузел, если цепь или сеть содержат источники напряжения.

Что такое суперсетка?

Суперсетка возникает , когда источник тока содержится между двумя основными сетками . … Это будет уравнение, в котором источник тока равен одному из токов сетки минус другой.

В чем преимущество узлового анализа?

2 Лекция 292 Преимущества узлового анализа Непосредственное решение для узловых напряжений .Текущие источники просты. Источники напряжения либо очень просты, либо несколько сложны. Лучше всего работает для цепей с несколькими узлами.

Сколько уравнений в узловом анализе?

В узловом анализе количество уравнений равно количеству узловых напряжений . То есть количество узлов минус один. Для каждого источника напряжения будет одно уравнение, остальные уравнения взяты из KCL.5-узловая схема, 2 источника напряжения.

Что такое напряжение узла?

Напряжение узла равно первому (и, возможно, наиболее используемому) из наших трех формальных методов . Метод узлового напряжения — это систематический метод получения набора одновременных уравнений, которые можно решить, чтобы найти напряжение в каждом узле цепи.

Какой теореме подчиняется KVL и KCL?

Теорема Теллегена применима к множеству сетевых систем.Основными допущениями для систем являются сохранение потока экстенсивных величин (закон тока Кирхгофа, KCL) и уникальность потенциалов в узлах сети (закон напряжения Кирхгофа, KVL).

Протекает ли ток через суперузел?

Как и в случае с узловым анализом, нам нужно использовать KCL только для определения тока, протекающего в каждой ветви или элементе. Но для суперузла невозможно рассчитать, какой ток протекает через источник напряжения.

Что такое текущий анализ филиала?

Метод тока в ветвях — это метод анализа цепей для определения тока в каждой ветви цепи с использованием законов Кирхгофа и законов Ома . … На этом этапе падение напряжения на всех резисторах выражается с помощью токов ответвлений и закона Ома.

Как отличить суперузел от суперсетки?

Проблема возникает, когда источник тока (независимый или зависимый) существует между двумя мешами.Итак, затем для решения схемы создается суперсетка путем исключения источника тока и любых последовательно соединенных с ним элементов. Узловой анализ и суперузел: в узловом анализе мы используем KCL .

Как рассчитывается ток сетки?

Сводка

  1. Определите сетки.
  2. Назначьте текущую переменную каждой сетке, используя постоянное направление (по часовой стрелке или против часовой стрелки).
  3. Запишите закон напряжения Кирхгофа вокруг каждой сетки. …
  4. Решите полученную систему уравнений для всех контурных токов.
  5. Рассчитайте значения токов и напряжений любых элементов по закону Ома.

Что такое узлы?

: , относящийся к узлу или расположенный рядом с ним.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД УЗЛА

Нажмите или коснитесь примеров схем ниже, чтобы вызвать TINACloud, и выберите интерактивный режим постоянного тока, чтобы проанализировать их онлайн.
Получите недорогой доступ к TINACloud для редактирования примеров или создания собственных схем. МЕТОДЫ СЕТЧАТОГО И КОНТУРНОГО ТОКА

Полный набор уравнений Кирхгофа можно значительно упростить с помощью метода узлового потенциала, описанного в этой главе. Используя этот метод, закон Кирхгофа для напряжения выполняется автоматически, и нам нужно только написать уравнения узла, чтобы также удовлетворить закон Кирхгофа для тока. Удовлетворение закону напряжения Кирхгофа достигается за счет использования узловых потенциалов (также называемых узловыми или узловыми напряжениями) по отношению к конкретному узлу, называемому эталонным узлом .Другими словами, все напряжения в цепи относятся к эталонному узлу , который обычно считается имеющим нулевой потенциал. Легко видеть, что при этих определениях напряжения закон Кирхгофа для напряжения выполняется автоматически, поскольку запись петлевых уравнений с этими потенциалами приводит к тождеству. Обратите внимание, что для схемы с N узлами вы должны написать только N – 1 уравнение. Обычно уравнение узла для эталонного узла опускается.

Сумма всех токов в цепи равна нулю, поскольку каждый ток втекает и выходит из узла.Следовательно, уравнение N-го узла не является независимым от предыдущих уравнений N-1. Если бы мы включили все N уравнений, мы бы получили неразрешимую систему уравнений.

Метод узлового потенциала (также называемый узловым анализом) лучше всего подходит для компьютерных приложений. Большинство программ анализа цепей, включая TINA, основаны на этом методе.

Этапы узлового анализа:1. Выберите эталонный узел с нулевым потенциалом узла и пометьте каждый оставшийся узел с помощью V 1 , V 2 или j 1 , j 2 и так далее.

2. Применить текущий закон Кирхгофа в каждом узле, кроме эталонного узла. Используйте закон Ома, чтобы выразить неизвестные токи из потенциалов узлов и напряжений источника напряжения, когда это необходимо. Для всех неизвестных токов примите одно и то же опорное направление (например, направленное из узла) для каждого применения закона тока Кирхгофа.

3. Решите полученные уравнения узлов для узловых напряжений.

4. Определите любой требуемый ток или напряжение в цепи, используя узловые напряжения.

Проиллюстрируем шаг 2, написав уравнение узла для узла V 1 следующего фрагмента схемы:

Сначала найдем ток от узла V1 к узлу V2. Мы будем использовать закон Ома на R1. Напряжение на R1 равно V 1 – V 2 – V S1

А ток через R1 (и от узла V1 к узлу V2) равен

В 1 узел. Используя соглашение для токов, направленных из узла, его следует учитывать в уравнении узла с положительным знаком.

Текущее выражение ветви между V 1 и V 3 будет аналогичным, но поскольку V S2 находится в противоположном направлении от V S1 (что означает потенциал узла между V S2 и R 2 — это V 3 -V S2 ), ток равен

Наконец, из-за указанного опорного направления I S2 должен иметь положительный знак, а I S1 — отрицательный знак. уравнение узла.

Уравнение узла:

Теперь давайте рассмотрим полный пример, демонстрирующий использование метода узлового потенциала.

Найдите напряжение V и токи через резисторы в схеме ниже


Щелкните/коснитесь схемы выше, чтобы проанализировать в режиме онлайн, или щелкните эту ссылку, чтобы сохранить под Windows

Поскольку у нас есть только два узла в этой схемы можно свести решение к определению одной неизвестной величины.При выборе нижнего узла в качестве эталонного узла напряжение неизвестного узла является напряжением, которое мы вычисляем, В. Узловое уравнение для верхнего узла:

Численно:

Умножить на 30: 7,5+3В – 30 + 1,5В + 7,5.+ В – 40 = 0 5,5 В –55 = 0

Отсюда: В = 10 В

{Решение интерпретатора TINA}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
конец;
V=[10]

Теперь определим токи через резисторы.Это легко сделать, так как те же самые токи используются в приведенном выше узловом уравнении.

{Решение интерпретатора TINA}
{Использовать метод потенциала узла!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
end;
V=[10]
{Токи резисторов}
IR1:=(V-Vs1)/R1;
IR2:=(V+Vs2)/R2;
IR3:=(V-Vs3)/R3;
IR1=[0]
IR2=[750,0001 м]
IR3=[-1000 м]

Мы можем проверить результат с помощью TINA, просто включив интерактивный режим постоянного тока TINA или используя команду Анализ / Анализ постоянного тока / Узловые напряжения. .

Далее решим задачу, которая уже использовалась в качестве последнего примера законы Кирхгофа глава



Найдите напряжения и токи каждого элемента цепи.

Выбрав нижний узел в качестве опорного узла с нулевым потенциалом, узловое напряжение N 2 будет равно V S3 , : j 2 = поэтому имеем только одно неизвестное узловое напряжение. Возможно, вы помните, что раньше, используя полный набор уравнений Кирхгофа, даже после некоторых упрощений, мы имели линейную систему уравнений с 4 неизвестными.

Записав узловые уравнения для узла N 1 , обозначим узловое напряжение N 1 j 1

Простое уравнение, которое нужно решить:

Численно:

4 получаем:

3j 1 -360 – 660 + 11j 1 – 2970 = 0 ® j 1 = 285 В

После вычисления j 1, остальные в схеме вычисляются легко. .

Токи:

I S3 = I R1 – I R2 = 0.5 — 5.25 = — 4.75 A


и напряжения:

V = J 1 = 285 V 12

V R1 = (J 1 — V S3 ) = 285 — 270 = 15 В

V R2 = (V S3 — V S2 ) = 270 — 60 = 210 В

V L = — (J 1 -V S1 -V R3 ) = -285 +120 +135 = – 30 В

Вы можете заметить, что при использовании метода узлового потенциала вам по-прежнему требуются некоторые дополнительные расчеты для определения токов и напряжений в цепи.Однако эти расчеты очень просты, намного проще, чем решение систем линейных уравнений для всех величин цепи одновременно.

Мы можем проверить результат с помощью TINA, просто включив интерактивный режим постоянного тока TINA или используя команду Анализ / Анализ постоянного тока / Узловые напряжения.


Давайте посмотрим на другие примеры.

Пример 1

Найдите ток I.


Щелкните/коснитесь схемы выше, чтобы проанализировать в режиме онлайн, или щелкните эту ссылку, чтобы сохранить под Windows

В этой схеме есть четыре узла, но поскольку мы Имея идеальный источник напряжения, определяющий напряжение узла на его положительном полюсе, мы должны выбрать его отрицательный полюс в качестве эталонного узла.Следовательно, у нас действительно есть только два неизвестных потенциала узлов: j 1 и j 2 .


Нажмите на схему выше, чтобы проанализировать в режиме онлайн, или нажмите на эту ссылку, чтобы сохранить в Windows

Уравнения для узлов потенциалов :

поэтому система линейных уравнений:


Чтобы решить это, умножьте первое уравнение на 3 и второе на 2, затем сложите два уравнения:

11j 1 =220

и

4 следовательно, j

1 = 20 В, j 2 = (50 + 5j 1 ) / 6 = 25 В

Наконец, неизвестный ток:

9000 Система линейных уравнений может быть также рассчитано по правилу Крамера .

Давайте проиллюстрируем использование правила Крамера, снова решив приведенную выше систему.

1. Заполните матрицу коэффициентов неизвестных:2. Вычислить значение определителя матрицы D .| Д | = 7*6 – (-5)*(-4) = 223. Поместите значения правой части в столбец коэффициентов неизвестной переменной, затем вычислите значение определителя: 4. Разделите вновь найденные определители по исходному определителю, чтобы найти следующие соотношения:

Отсюда j 1 = 20 В и j 2 = 25 В

Чтобы проверить результат с помощью TINA, просто включите интерактивный режим постоянного тока TINA или используйте Анализ / Анализ постоянного тока / Команда узловых напряжений.Обратите внимание, что с помощью компонента TINA Voltage Pin вы можете напрямую отображать потенциалы узла, предполагая, что компонент Ground подключен к эталонному узлу.


Нажмите на схему выше, чтобы проанализировать в режиме онлайн, или нажмите на эту ссылку, чтобы сохранить в Windows -VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
конец;
fi1=[20]
fi2=[25]
I:=(fi2-VS1)/R1;
I=[500м]

Найти напряжение резистора R 4 .

R 1 = R 3 = 100 Ом, R 2 = R 4 = 50 Ом, R 5 = 20 Ом, R 6 = 40 Ом, R 7 = 75 Ом


Щелкните/коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или щелкните эту ссылку для сохранения в Windows

В этом случае целесообразно выбрать отрицательный полюс источника напряжения В S2 как опорный узел, потому что тогда положительный полюс источника напряжения V S2 будет иметь потенциал V S2 = 150 узлов.Однако из-за этого выбора требуемое напряжение V противоположно узловому напряжению узла N 4; , следовательно, V 4 = – V.

Уравнения:


Мы не приводим здесь ручные расчеты, так как уравнения могут быть легко решены интерпретатором TINA.

{Решение интерпретатора TINA}
{Использовать метод потенциала узла!} (V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V /R4+(-V-V3)/R7=0
конец;
В1=[116.6667]
V2=[-91,8182]
V3=[19,697]
V=[34,8485]

Обратите внимание, что мы должны разместить несколько выводов напряжения на узлах, чтобы показать напряжения узлов.


Щелкните/коснитесь схемы выше, чтобы проанализировать в режиме онлайн, или щелкните эту ссылку, чтобы сохранить в Windows


МЕТОДЫ СЕТКИ И КОНТУРНОГО ТОКА

Уравнение узла — обзор

2.5 Теорема Тевенина

Иногда бывает выгоднее изолировать часть схемы, чтобы упростить анализ изолированной части схемы, чем писать уравнения контура или узла для всей схемы и решать их одновременно. Теорема Тевенина позволяет нам изолировать интересующую нас часть схемы. Затем мы заменяем оставшуюся схему простой последовательной эквивалентной схемой, таким образом, теорема Тевенина упрощает анализ.

Две теоремы выполняют аналогичные функции.Теорема Тевенина, только что описанная, является первой, а вторая называется теоремой Нортона . Теорема Тевенина используется, когда источником входного сигнала является источник напряжения, а теорема Нортона используется, когда источником входного сигнала является источник тока. Теорема Нортона используется редко, поэтому читатель может найти ее объяснение в учебнике, если оно когда-нибудь понадобится.

Правила теоремы Тевенина начинаются с замены компонента или части цепи. Ссылаясь на рисунок 2.7 загляните обратно в клеммы (слева от C и R 3 в сторону точки X X на рисунке) заменяемой цепи. Рассчитайте напряжение холостого хода ( В TH ), если смотреть на эти клеммы (используйте правило делителя напряжения).

Рисунок 2.7. Оригинальная схема.

Осмотрите клеммы заменяемой цепи, закоротите независимые источники напряжения и рассчитайте импеданс между этими клеммами.Последним шагом является замена той части, которую вы хотите заменить, эквивалентной схемой Thevenin, как показано на рис. 2.8.

Рисунок 2.8. Эквивалентная схема Тевенина для рис. 2.7.

Эквивалентная схема Thevenin представляет собой простую последовательную схему, что упрощает дальнейшие расчеты. Упрощение расчетов схемы часто является достаточной причиной для использования теоремы Тевенина, поскольку она устраняет необходимость решения нескольких одновременных уравнений. Подробная информация о том, что происходит в замененной схеме, недоступна при использовании теоремы Тевенина, но это не имеет значения, поскольку вас это не интересовало.

В качестве примера теоремы Тевенина рассчитаем выходное напряжение ( В ВЫХ ), показанное на рис. 2.9(а). Первый шаг — встать на клеммы X Y спиной к выходной цепи и рассчитать видимое напряжение холостого хода ( V TH ). Это прекрасная возможность использовать правило делителя напряжения для получения уравнения (2.13):

Рисунок 2.9. Пример эквивалентной схемы Тевенина.

(2.13)VTH=VR2R1+R2

Все еще стоя на клеммах X Y , шаг 2 – вычислить импеданс, наблюдаемый при взгляде на эти клеммы (закоротить источники напряжения). Полное сопротивление Thevenin представляет собой параллельное сопротивление R 1 и R 2 , рассчитанное по уравнению (2.14). Теперь слезай с клемм X Y , пока не повредил их своими большими ногами. Шаг 3 заменяет схему слева от X Y эквивалентной схемой Thevenin V TH и R TH .

(2.14)RTH=R1R2R1+R2=R1‖R2

(Примечание: две параллельные вертикальные полосы (‖) используются для обозначения параллельных компонентов.)

Последним шагом является расчет выходного напряжения. Обратите внимание, что снова используется правило делителя напряжения. Уравнение (2.15) описывает выходное напряжение, и оно естественно получается в виде последовательности делителей напряжения, что имеет смысл. Это еще одно преимущество правила делителя напряжения: ответы обычно получаются в узнаваемой форме, а не в мешанине коэффициентов и параметров.

(2.15)VOUT=VTHR4RTH+R3+R4=V(R2R1+R2)R4R1R2R1+R2+R3+R4

На рис. . Схеме назначены два контурных тока, I 1 и I 2 . Тогда записываются уравнения цикла (2.16) и (2.17):

Рисунок 2.10. Анализ пройден трудным путем.

(2.16)V=I1(R1+R2)−I2R2

(2.17)I2(R2+R3+R4)=I1R2

Уравнение (2.17) переписывается как уравнение (2.18) и подставляется в уравнение (2.16), чтобы получить уравнение (2.19):

(2.18)I1=I2R2+R3+R4R2

(2.19)V=I2(R2+R3+R4R2) (R1+R2)−I2R2

Члены переставлены в уравнении (2.20). Для записи уравнения (2.21) используется закон Ома, а в уравнении (2.22) сделаны окончательные замены.

(2.20)I2=VR2+R3+R4R2(R1+R2)−R2

(2.21)VOUT=I2R4

(2.22)VOUT=VR4(R2+R3+R4)(R1+R2)R2−R2

Это много дополнительной работы без какой-либо выгоды.Кроме того, ответ не в пригодной для использования форме, потому что делители напряжения не распознаются. Следовательно, требуется больше алгебры, чтобы получить ответ в пригодной для использования форме.

[PDF] 3ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ. Методы анализа

1 IRWI3_8232hr 9/3/4 8:54 AM Страница 82 3 Узловые 3ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ и методы анализа петель 3. Узловой анализ Анализ …

IRWI03_082-132-hr

30/09/04

8:54 AM

Страница 82

3

Методы анализа узлов и петель

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ 3.1 Узловой анализ Метод анализа, при котором один узел в сети из N узлов выбирается в качестве эталонного узла, а текущий закон Кирхгофа применяется к оставшимся N-1 неэталонным узлам. Результирующие N-1 линейно независимых одновременных уравнений записываются в терминах N-1 неизвестных узловых напряжений. Решение N-1 линейно независимых уравнений дает N-1 неизвестных узловых напряжений, которые, в свою очередь, могут быть использованы с законом Ома для нахождения всех токов в цепи… Страница 83 3.2 Loop Analysis Метод анализа, в котором напряжение Кирхгофа закон применяется к сети, содержащей N независимых петель.Каждой независимой петле присваивается контурный ток, и применение КВЛ к каждому контуру дает набор N независимых одновременных уравнений относительно N неизвестных контурных токов. Решение этих уравнений дает N неизвестных контурных токов, которые, в свою очередь, можно использовать с законом Ома для нахождения всех напряжений в цепи… В главе 2 мы проанализировали простейшие возможные цепи, содержащие только одноузловая пара или одиночная петля. Мы обнаружили, что эти схемы можно полностью проанализировать с помощью одного алгебраического уравнения.В случае схемы с одним узлом и парой (т. Е. Содержащей два узла, один из которых является эталонным узлом), когда известно напряжение в узле, мы можем рассчитать все токи. В одноконтурной цепи, зная ток контура, мы можем рассчитать все напряжения. В этой главе мы систематически расширяем наши возможности, чтобы мы могли вычислять все токи и напряжения в цепях, содержащих несколько узлов и контуров. Наш анализ основан, прежде всего, на двух уже знакомых нам законах: законе тока Кирхгофа (KCL) и законе напряжения Кирхгофа (KVL).В узловом анализе мы используем KCL

3.3 Пример применения…Страница 118

для определения узловых напряжений, а в анализе петли мы используем KVL to

3.4 Пример конструкции…Страница 119

определяем контурные токи .

Резюме… Стр. 120 Проблемы… Стр. 120

Получите доступ к видеороликам по решению проблем PSV и Circuit Solutions CS по адресу: http://www.justask4u.com/irwin, используя регистрационный код на внутренней стороне обложки, и см. сайт с ответами и не только!

IRWI03_082-132-hr

30.09.04

8:54

Страница 83

РАЗДЕЛ 3.1

3.1

Н О Д А Л А Н А Л И З И С

Узловой анализ

При узловом анализе переменные в цепи выбираются в качестве узловых напряжений. Узловые напряжения определяются относительно общей точки цепи. Один узел выбирается в качестве эталонного узла, и напряжения всех остальных узлов определяются относительно этого узла. Довольно часто именно к этому узлу подключено наибольшее количество ветвей. Его обычно называют землей, потому что говорят, что он имеет нулевой потенциал земли, и иногда он представляет собой шасси или линию заземления в практической цепи.Мы выберем наши переменные как положительные по отношению к эталонному узлу. Если одно или несколько узловых напряжений на самом деле отрицательны по отношению к эталонному узлу, анализ укажет на это. Чтобы понять ценность знания всех узловых напряжений в сети, мы еще раз рассмотрим сеть на рис. 2.32, которая перерисована на рис. 3.1. Напряжения VS , Va , Vb и Vc измеряются относительно нижнего узла, который выбран в качестве опорного и помечен символом заземления .Следовательно, напряжение в узле 1 равно VS = 12 В относительно опорного узла 5; напряжение в узле 2 равно Va = 3 В по отношению к эталонному узлу 5 и т.д. Теперь обратите внимание, что как только эти напряжения узлов известны, мы можем немедленно рассчитать любой ток ответвления или мощность, подаваемую или поглощаемую любым элементом, поскольку мы знаем напряжение на каждом элементе в сети. Например, напряжение V1 на крайнем левом резисторе 9 кОм представляет собой разность потенциалов между двумя концами резистора; то есть V1 = VS — Va = 12 — 3 = 9V

Это уравнение на самом деле не что иное, как применение KVL вокруг самого левого контура; то есть -VS + V1 + Va = 0

Аналогичным образом находим, что V3 = Va — Vb

и V5 = Vb — Vc

Тогда токи в резисторах равны VS — Va V1 = 9k 9k V3 Va — Vb I3 = = 3k 3k V5 Vb — Vc I5 = = 9k 9k I1 =

Кроме того, Va — 0 6k Vb — 0 I4 = 4k I2 =

, поскольку эталонный узел 5 имеет нулевой потенциал.Va = 3 v против 1

12 v

V + 1-

I1

2

9 k +

± — —

3 VB = — V 2

3 VC = — V 8

VV + 3- 3 + 5i3 3 K + I5 9 K +

4

6 K

6 K

3 K

I2 5

4 K —

4 K —

I4

Рисунок 3.1 Схема с известным напряжением узла.

83

IRWI03_082-132-HR

-132-HR

84

90/30/04

9/30/04

13/30/04

стр. 84

Page 84

N o A S I S T E C H N I Q U E S

Рисунок 3.2 Схема, используемая для иллюстрации закона Ома в сети с несколькими узлами. Узел m

+ vm

R

Узел N

+ vN

i

Таким образом, как правило, зная ток, мы можем вычислить напряжения в узлах цепи. через любой резистивный элемент по закону Ома; то есть i =

vm — vN R

3,1

, как показано на рис. 3.2. Теперь, когда мы продемонстрировали ценность знания всех узловых напряжений в сети, давайте определим способ их расчета.В узловом анализе мы используем уравнения KCL таким образом, что переменные, содержащиеся в этих уравнениях, представляют собой неизвестные напряжения узлов сети. Как мы указали, один из узлов N-узловой схемы выбирается в качестве эталонного узла, и относительно этого эталонного узла измеряются напряжения во всех оставшихся N — 1 неэталонных узлах. Используя топологию сети, можно показать, что ровно N-1 линейно независимых уравнений KCL требуется для определения N-1 неизвестных узловых напряжений.Таким образом, теоретически после выбора одного из узлов в N-узловой схеме в качестве эталонного узла наша задача сводится к выявлению оставшихся N — 1 неэталонных узлов и записи в каждом из них по одному уравнению KCL. В многоузловой схеме этот процесс приводит к набору N-1 линейно независимых одновременных уравнений, в которых переменными являются N-1 неизвестные напряжения узлов. Чтобы укрепить эту идею, еще раз рассмотрим пример 2.5. Обратите внимание, что в этой схеме только четыре (т.т. е. любые четыре) из пяти уравнений ККЛ, одно из которых записывается для каждого узла этой пятиузловой сети, линейно независимы. Кроме того, многие из токов ветвей в этом примере (те, которые не содержатся в источнике) могут быть записаны в терминах узловых напряжений, как показано на рис. 3.2 и выражены в уравнении. (3.1). Именно таким образом, как мы проиллюстрируем в следующих разделах, уравнения KCL содержат неизвестные узловые напряжения. Поучительно рассматривать узловой анализ, исследуя несколько различных типов цепей и иллюстрируя характерные особенности каждого из них.Начнем с самого простого случая. Однако, в качестве прелюдии к нашему обсуждению деталей узлового анализа, опыт показывает, что стоит ненадолго отвлечься, чтобы убедиться, что концепция узлового напряжения ясно понята. В начале важно указать ссылку. Например, заявление о том, что напряжение в узле А равно 12 В, ничего не значит, если мы не укажем точку отсчета; то есть напряжение в узле А составляет 12 В по отношению к чему? Схема на рис. 3.3 иллюстрирует часть сети, состоящую из трех узлов, один из которых является эталонным узлом.Рисунок 3.3 Иллюстрация узловых напряжений.

V1 = 4 В 1

V2 = -2 V R2 2

R1

3

3

2

R3

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

8:54 утра

страница 85

РАЗДЕЛ 3.1

NODALANALY SIS

85

Напряжение V1 = 4 В — это напряжение в узле 1 по отношению к эталонному узлу 3. Аналогично, напряжение V2 = -2 В — это напряжение в узле 2. относительно узла 3.Кроме того, однако, напряжение в узле 1 по отношению к узлу 2 составляет ±6 В, а напряжение в узле 2 по отношению к узлу 1 составляет –6 В. Кроме того, поскольку ток будет течь от узла с более высоким потенциалом к узел с более низким потенциалом, ток в R1 — сверху вниз, ток в R2 — слева направо, а ток в R3 — снизу вверх. Эти концепции имеют важные последствия в нашей повседневной жизни. Если бы человек висел в воздухе, положив одну руку на одну линию, а другую — на другую, и постоянное напряжение каждой линии было бы точно одинаковым, напряжение на его сердце было бы равно нулю, и он был бы в безопасности.Если, однако, он отпустит одну линию и позволит своим ногам коснуться земли, тогда напряжение линии постоянного тока будет существовать от его руки до его ноги с его сердцем посередине. Вероятно, он был бы мертв, как только его нога коснется земли. В городе, где мы живем, молодой человек пытался вернуть своего попугая, который сбежал из клетки и сидел снаружи на линии электропередач. Он встал на металлическую лестницу и металлическим шестом потянулся к попугаю; когда металлический столб коснулся линии электропередач, мужчина погиб мгновенно.Электроэнергия жизненно важна для нашего уровня жизни, но она также очень опасна. Материал этой книги не дает вам права обращаться с ним безопасно. Поэтому всегда будьте предельно осторожны с электрическими цепями. Теперь, когда мы начинаем обсуждение узлового анализа, наш подход будет заключаться в том, чтобы начать с простых случаев и систематически переходить к более сложным случаям. Многочисленные примеры будут использоваться для демонстрации каждого аспекта этого подхода. Наконец, в конце этого раздела мы обрисуем стратегию атаки на любую цепь с использованием узлового анализа.

ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩИЕ ТОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫЕ ИСТОЧНИКИ ТОКА Рассмотрим сеть, показанную на рис. 3.4. Обратите внимание, что эта сеть содержит три узла, и, таким образом, мы знаем, что ровно N-1=3-1=2 линейно независимых уравнений KCL потребуется для определения N-1=2 неизвестных узловых напряжений. Сначала мы выбираем нижний узел в качестве эталонного узла, а затем относительно этого узла будет измеряться напряжение в двух оставшихся узлах, обозначенных v1 и v2. Предполагается, что токи ветвей текут в направлениях, указанных на рисунках.Если один или несколько токов ответвления на самом деле текут в направлении, противоположном предполагаемому, анализ просто даст отрицательный ток ответвления. Применение KCL в узле 1 дает -iA + i1 + i2 = 0

. Используя закон Ома (i = Gv) и отмечая, что эталонный узел имеет нулевой потенциал, мы получаем -iA + G1 Av1 — 0B + G2 Av1 — v2 B = 0

или

Использование пассивного знака.

AG1 + G2 Bv1 — G2 v2 = iA

KCL в узле 2 дает -i2 + iB + i3 = 0

или

-G2 Av1 — v2 B + iB + G3 Av2 — 0B = 0

, что может Быть выраженным как -G2 V1 + AG2 + G3 BV2 = -IB

V1 1

IA

V2 I2

R2

2

R1 I1 3

I3 R3

IB

Hint

Рисунок 3 .4 Трехузловая схема.

IRWI03_082-132-HR

-132-HR

86

9/30/04

9/30/04

13/30/04

AM

стр. 8612

Page 8614 0012

Page 8612

NodalandLoopana Ly Sistechniques

, следовательно, два уравнения для двух неизвестных узлов напряжения V1 и v2 равны AG1 + G2 Bv1 — G2 v2 = iA

-G2 v1 + AG2 + G3 Bv2 = -iB

3.2

Обратите внимание, что анализ дал два одновременных уравнения с неизвестными v1 и v2.Их можно решать любым удобным способом, и современные калькуляторы и персональные компьютеры являются очень эффективными инструментами для их применения. Далее мы продемонстрируем три метода решения линейно независимых одновременных уравнений: исключение Гаусса, матричный анализ и пакет математических программ MATLAB. Краткий обзор, иллюстрирующий использование метода исключения Гаусса и матричного анализа при решении этих уравнений, содержится в Помощнике по решению задач для этого текста.Использование программного обеспечения MATLAB не вызывает затруднений, и мы продемонстрируем его использование по мере знакомства с приложением. Уравнения KCL в узлах 1 и 2 дали два линейно независимых одновременных уравнения: -iA + i1 + i2 = 0 -i2 + iB + i3 = 0

Уравнение KCL для третьего узла (эталонного) имеет вид +iA — i1 — iB — i3 = 0

Заметим, что если сложить первые два уравнения, получится третье. Кроме того, любые два уравнения можно использовать для вывода оставшегося уравнения. Следовательно, в этой узловой схеме N=3 только N-1=2 уравнений являются линейно независимыми и требуются для определения N-1=2 неизвестных узловых напряжений.Обратите внимание, что узловой анализ использует KCL в сочетании с законом Ома. Как только принято направление токов ответвления, закон Ома, как показано на рис. 3.2 и выражен в уравнении (3.1), используется для выражения токов ветвей через неизвестные узловые напряжения. Мы можем предположить, что токи имеют любое направление. Однако, как только мы принимаем определенное направление, мы должны быть очень осторожны, чтобы правильно записать токи в терминах узловых напряжений, используя закон Ома.

Пример 3.1 Предположим, что сеть на рис. 3.4 имеет следующие параметры: IA = 1 мА, R1 = 12 кОм, R2 = 6 кОм, IB = 4 мА и R3 = 6 кОм. Определим все узловые напряжения и токи ветвей. РЕШЕНИЕ

В целях иллюстрации мы решим эту задачу, используя исключение Гаусса, матричный анализ и MATLAB. Используя значения параметров уравнения. (3.2) становится V1 c

1 1 1 + d — V2 cd = 1 * 10-3 12k 6k 6k

-V1 c

1 1 1 d + V2 c + d = -4 * 10-3 6k 6k 6k

, где мы используем заглавные буквы, потому что напряжения постоянны.Уравнения можно записать как V1 V2 = 1 * 10-3 4k 6k —

V1 V2 + = -4 * 10-3 6k 3k

Используя исключение Гаусса, мы решаем первое уравнение для V1 в терминах V2 : 2 V1 = V2 ab + 4 3

IRWI03_082-132-hr

9/30/04

8:54 AM

Page 87

РАЗДЕЛ 3.1

Это значение 1 2 a V2 + 4 b + = -4 * 10-3 6k 3 3k

или V2 = -15 В

Это значение для V2 теперь подставляется обратно в уравнение для V1 через V2, что дает 2 V2 + 4 3

В1 =

= -6 В

Уравнения цепи также можно решить с помощью матричного анализа.Общий вид матричного уравнения: GV=I

, где в данном случае 1 4k G= D 1 6k

1 6k V 1 * 10-3 T , V = B 1 R , I = BR 1 V2 -4 * 10-3 3k

Решением матричного уравнения является V=G–1I

и, следовательно, 1 V1 4k BR = D V2 -1 6k

-1 -1 6k 1 * 10-3 TBR 1 -4 * 10-3 3k

Чтобы вычислить обратную G, нам нужны сопряженное и определитель. Сопряженное 1 3k Adj G = D 1 6k

1 6k T 1 4k

, а определитель ∑G∑ = a =

1 1 -1 -1 ba b — a ba b 3k 4k 6k 6k

1 18k 2

Следовательно, 1 V1 3k BR = 18k 2 D V2 1 6k

1 6k 1 * 10-3 TB R 1 -4 * 10-3 4k

4 1 2 3k 6k 2 = 18k 2 DT 1 1 — 2 6K 2 K = B

-6 R -15

Nodalana LY SIS

87

IRWI03_082-132-HR

9000/04 88

9/30/04

Глава 3

8:54

Page 88

NODALANDLOOPANALY SISTECHNIQUES

Решение MATLAB начинается с набора уравнений, выраженных в матричной форме как G*V=I

, где символ * обозначает произведение вектора напряжения V на матрицу коэффициентов G.Затем, как только программное обеспечение MATLAB загружено в ПК, матрица коэффициентов (G) и вектор V могут быть выражены в нотации MATLAB путем ввода строк матрицы или вектора в приглашении >>. Используйте точки с запятой для разделения строк и пробелы для разделения столбцов. Скобки используются для обозначения векторов или матриц. Когда матрица G и вектор I определены, уравнение решения V=inv(G)*I

, которое также вводится в строке >>, даст неизвестный вектор V.Матричное уравнение для нашей схемы, выраженное в десятичной системе счисления, выглядит следующим образом: V=inv(G)*I, экран компьютера, содержащий эти данные и вектор решения V, выглядит следующим образом: >> G = [0,00025 -0,000166666; -0,000166666 0,00033333] G = 1,0e-003 * 0,2500 -0,1667

-0,1667 0,3333

>> I = [0.001 ; -0,004] I = 0,0010 -0,0040 >> V = inv(G)*IV = -6,0001 -15,0002

Зная узловые напряжения, мы можем определить все токи по закону Ома: I1 =

V1 -6 1 = = — мА R1 12k 2

I2 =

-6 — (-15) V1 — V2 3 = = мА 6k 6k 2

I3 =

V2 -15 5 = = — мA 6k 6k 2

и 0 Рисунок 3.5 иллюстрирует результаты всех вычислений. Обратите внимание, что KCL удовлетворяется в каждом узле. V1=–6 В

Рисунок 3.5 Схема, используемая в примере 3.1.

3 мА — 2 1 мА

12 K

V2 = -15 V 6 K

5 MA — 2 4 MA

1 MA — 2

6 K

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

8:54 утра

стр. 89

Раздел 3.1

R3

V1 I

2

R2

1

R1

I3

R5 I 5

V2 2

iA

i1

Рисунок 3.6 Четырехузловая схема.

v3

3

R4 i4

iB

Теперь рассмотрим схему на рис.3.6. Текущие направления предполагаются такими, как показано на рисунке. Отметим, что эта сеть имеет четыре узла. Узел в нижней части схемы выбран в качестве эталонного узла и помечен символом земли. Поскольку N=4, N-1=3 линейно независимых уравнений KCL потребуются для определения трех неизвестных напряжений неэталонных узлов, обозначенных v1, v2 и v3. В узле 1 KCL дает i1 — iA + i2 — i3 = 0

или v3 — v1 v1 v1 — v2 — iA + = 0 R1 R2 R3 v1 a

1 1 1 1 1 + + b — v2 — v3 = iA R1 R2 R3 R2 R3

В узле 2 KCL дает -i2 + i4 — i5 = 0

или —

-v1

v3 — v2 v2 v1 — v2 + = 0 R2 R4 R5

1 1 1 1 1 + v2 a + + b — v3 = 0 R2 R2 R4 R5 R5

В узле 3 выполняется уравнение i3 + i5 + iB = 0

или v3 — v1 v3 — v2 + + iB = 0 R3 R5 — v1

1 1 1 1 — v2 + v3 a + b = -iB R3 R5 R3 R5

Сгруппировав уравнения узла, получим v1 a -v1

1 1 1 1 1 + + b — v2 — v3 = iA R1 R2 R3 R2 R3

1 1 1 1 1 + v2 a + + b — v3 = 0 R2 R2 R4 R5 R5 -v1

1 1 1 1 — v2 + v3 a + b = -iB R3 R5 R3 R5

3.3

Nodalana LY SIS

89

IRWI03_082-132-HR

9000/04

9000/04

9/30/04

2

стр. 90

Nodalandloopana Ly Sistechiques

Обратите внимание, что наш анализ дал три одновременных уравнения для трех неизвестных узловых напряжений v1, v2 и v3. Уравнения также можно записать в матричной форме: 1 1 1 + + R1 R2 R3 1 F R2 1 R3

1 R2 1 1 1 + + R2 R4 R5 1 R5 —

1 R3 1 R5 —

1 1 + R3 R5

v1 iA VC v2 S = C 0 S v3 -iB

3.4

Здесь важно отметить симметричную форму уравнений, описывающих две предыдущие сети. Уравнения (3.2) и (3.3) имеют одинаковую симметричную форму. Матрица G для каждой сети является симметричной матрицей. Эта симметрия не случайна. Уравнения узлов для сетей, содержащих только резисторы и независимые источники тока, всегда можно записать в этой симметричной форме. Мы можем воспользоваться этим фактом и научиться писать уравнения путем проверки.Заметим, что в первом уравнении (3.2) коэффициент при v1 представляет собой сумму всех проводимостей, связанных с узлом 1, а коэффициент при v2 представляет собой отрицательную величину проводимостей, связанных между узлами 1 и 2. Правая часть уравнение представляет собой сумму токов, поступающих в узел 1 через источники тока. Это уравнение представляет собой KCL в узле 1. Во втором уравнении в (3.2) коэффициент v2 представляет собой сумму всех проводимостей, связанных с узлом 2, коэффициент v1 представляет собой отрицательную величину проводимости, связанной между узлом 2 и узлом 1. , а правая часть уравнения представляет собой сумму токов, поступающих в узел 2 через источники тока.Это уравнение является KCL в узле 2. Аналогично, в первом уравнении в (3.3) коэффициент v1 представляет собой сумму проводимостей, связанных с узлом 1, коэффициент v2 представляет собой отрицательную проводимость, связанную между узлом 1 и узлом 2. , коэффициент v3 представляет собой отрицательную проводимость, связанную между узлом 1 и узлом 3, а правая часть уравнения представляет собой сумму токов, поступающих в узел 1 через источники тока. Аналогично получаются два других уравнения в (3.3).В общем, если KCL применяется к узлу j с узловым напряжением vj, коэффициент vj представляет собой сумму всех проводимостей, подключенных к узлу j, и коэффициентов других узловых напряжений, например, vj — 1, vj + 1 B — отрицательная сумма проводимостей, связанных непосредственно между этими узлами и узлом j. Правая часть уравнения равна сумме токов, поступающих в узел через источники тока. Следовательно, левая часть уравнения представляет собой сумму токов, выходящих из узла j, а правая часть уравнения представляет собой токи, входящие в узел j.

Пример 3.2 Давайте применим то, что мы только что узнали, для записи уравнений для сети на рис. 3.7 путем проверки. Затем, учитывая следующие параметры, мы определим узловые напряжения с помощью MATLAB: R1 = R2 = 2 кОм, R3 = R4 = 4 кОм, R5 = 1 кОм, iA = 4 мА и iB = 2 мА. R1

Рисунок 3.7 Схема, используемая в примере 3.2.

v1

IA

R4

R2

R2

R3

R5 IB

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

8:54 AM

Page 91

Раздел 3.1

РЕШЕНИЕ

Уравнения имеют вид v1 a

1 1 1 + b — v2(0) — v3 ab = -iA R1 R2 R1

-v1(0) + v2 a -v1 a

1 1 1 + b — v3 ab = iA — iB R3 R4 R4

1 1 1 1 1 b — v2 ab + v3 a + + b = 0 R1 R4 R1 R4 R5

, что также можно записать непосредственно в матричной форме как 1 1 + R1 R2 F

0 —

1 R1

0 1 1 + R3 R4 1 R4

1 R1 v1 -iA 1 VC v2 S = C iA — iB S R4 v3 0 1 1 1 + + R1 R4 R5 —

И уравнения, и матрица G демонстрируют симметрию, которая всегда будет присутствовать в цепях, содержащих только резисторы и источники тока.Если теперь используются значения компонентов, матричное уравнение принимает вид 1 1 + 2k 2k F

0 —

1 2k

1 2k v1 -0,004 1 1 1 V Cv2S = C 0,002S + 4k 4k 4k v3 0 1 1 1 + + + 4K 2k 4k 1k 0

или 0,001 0 0 0 0,0005 C -0.0005 -0.00025

-0.0005

-0.0005 SC V2 S = C 0,002 S 0,00175 V3 0

Если мы сейчас используем это данные с помощью программного обеспечения MATLAB, экран компьютера, содержащий данные и результаты анализа MATLAB, показан ниже.>> G = [0,001 0 -0,0005 ; 0 0,0005 -0,00025 ; -0,0005 -0,00025 0,00175] G = 0,0010 0 -0,0005

0 0,0005 -0,0003

>> I = [-0,004 ; 0,002; 0] i = -0.0040 0.0020 0 >> v = inv (g) * iv = -4.3636 3.6364 -0.7273

-0.0005 -0.0003 0.0018

Nodalana LY SIS

91

IRWI03_082-132-HR

92

9/30/04

8:54 утра

8:54 утра

Глава 3

Page 92

NodalandLoopana Ly Sistechniques

Улучшения обучения Ответ Ответ: 1 1 ВВ = 4 * 10-3, 4K 1 12K 2 1 -1 V1 + V = -2 * 10-3.12k 4k 2

E3.1 Напишите уравнения узлов для схемы на рис. E3.1.

V1

Рисунок E3.1

V2 12 кОм 6 кОм

4 мА

6 кОм

2 мА

E3.2 Найдите напряжения всех узлов в сети на рис. Рисунок E3.2

Ответ: v1 = 5.4286 v, v2 = 2.000 v, v3 = 3.1429 v.

1 K

V1

2 K

4 MA

V2

4 K

V3

1 к

2 мА

ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗАВИСИМЫЕ ИСТОЧНИКИ ТОКА Наличие зависимого источника может нарушить симметричную форму узловых уравнений, определяющих цепь.Рассмотрим схему, показанную на рис. 3.8, которая содержит источник тока, управляемый током. Уравнения KCL для неэталонных узлов: io +

v1 v1 — v2 + = 0 R1 R2

и v2 — v1 + io — iA = 0 R2

, где io = v2R3. Упрощая уравнения, получаем

AG1 + G2 Bv1 — AG2 — G3 Bv2 = 0

-G2 v1 + AG2 + G3 Bv2 = iA

или в матричном виде B

AG1 + G2 B -G2

— AG2 — G3 B v 0 RB 1R=BR AG2 + G3 B v2 iA

Обратите внимание, что наличие зависимого источника разрушило симметричный характер узловых уравнений.v1

Рисунок 3.8 Схема с зависимым источником.

V2 R2

IO

R1

R1

R3 IO

IA

-HR

-132-HR

9/30/04

8:54

стр. 93

Раздел 3.1

Nodalana Ly Sis

Пример 3.3 Определим узловые напряжения для сети на рис. 3.8 при следующих параметрах: = 2

R 2 = 6 к R 3 = 3 к

R 1 = 12 к РЕШЕНИЕ

iA = 2 мА

Используя эти значения с уравнениями для сети, получаем V1 = -245 В и V2 = 125 В.Мы можем проверить эти ответы, определив токи ветвей в сети, а затем используя эту информацию для тестирования KCL в узлах. Например, ток сверху вниз через R 3 равен Io =

V2 125 4 = = A R3 3k 5k

Аналогично, ток справа налево через R 2 равен I2 =

125 — (-245) V2 — V1 6 = = A R2 6k 5k

Все результаты показаны на рис. 3.9. Обратите внимание, что KCL удовлетворяется в каждом узле. –24 V1=— В 5

6 I2=— A 5k

12 V2=— В

Рис. 3.9 Схема, используемая в примере 3.3.

5

6 K 8 2IO = — 5K

12 K

10 -A 5K

10-A 5K

3 K

-2 I1 = — A 5K

4 IO = — A 5K

Пример 3.4 Давайте определить набор линейно независимых уравнений, решение которых даст узловые напряжения в сети на рис. 3.10. Затем, учитывая следующие значения компонентов, мы вычислим узловые напряжения с помощью MATLAB: R1 = 1 кОм, R2 = R3 = 2 кОм, R4 = 4 кОм, iA = 2 мА, iB = 4 мА и = 2. iA

v1

v2 R1

R3

Рис. 3.10 Цепь, содержащая источник тока, управляемый напряжением. +

VX

— V3

R2 VX

R4

R4

IB

9000

IRWI03_082-132-HR

94

9001/04

Глава 3

8:54 утра

Page 94

NODALANDLOOPANALY SISTECHNIQUES

РЕШЕНИЕ

Применение KCL в каждом из неэталонных узлов дает уравнения G3 v1 + G1 Av1 — v2 B — iA = 0

iA + G1 Av2 — v1 B + vx + G2 Av2 v3 B = 0

G2 Av3 — v2 B + G4 v3 — iB = 0

, где vx = v2 — v3.Упрощая эти уравнения, получаем AG1 + G3 Bv1 — G1 v2 = iA

-G1 v1 + AG1 + + G2 Bv2 — A + G2 Bv3 = -iA -G2 v2 + AG2 + G4 Bv3 = iB

При заданных значениях компонентов , уравнения принимают вид 1 + 2k 4k

— a2 +

или 0,0015 C -0,001 0

-0,001 2,0015 -0,0005

0 v1 0,002 -2,0005 SC v2 S = C -0.002 S 0.00075 v3 0.004

Далее показаны списки ввода и вывода MATLAB. >> G = [0,0015 -0,001 0 ; -0,001 2,0015 -2,0005 ; 0 -0,0005 0,00075] G = 0,0015 -0,0010 0

-0,0010 2,0015 -0,0005

0 -2,0005 0,0008

>> I = [0,002 ; -0,002 ; 0,004] I = 0,0020 -0.0020 0,0040 >> v = inv (g) * iv = 11.9940 15.9910 15.9940

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

8:54 AM

Page 95

Раздел 3.1

NODALANA LY SIS

95

РАСШИРЕНИЯ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ E3.3 Найдите узловые напряжения в цепи на рис. E3.3.

V1

Рисунок E3.3

Ответ: V1 = 16 В, V2 = -8 V.

V2 10 K 2IO

10 K

10 K

4 MA

IO

Ответ: VO

= 4 В.

Д3.4 Найти напряжение Vo в сети по рис. Д3.4.

VX

Рисунок E3.4

2 MA

3 K

VX — 6000

+ 12 K

+ 12 K

2 12 K

12 K

VO —

Схемы, содержащие независимые источники напряжения, как наша практика, в нашей дискуссии этой темы мы перейдем от самого простого случая к тем случаям, которые посложнее.Самый простой случай — это когда к опорному узлу подключается независимый источник напряжения. Следующий пример иллюстрирует этот случай.

Пример 3.5 Рассмотрим схему, показанную на рис. 3.11а. Определим все узловые напряжения и токи ветвей. РЕШЕНИЕ Эта сеть имеет три неэталонных узла с помеченными узлами напряжения V1, V2 и V3. Основываясь на наших предыдущих обсуждениях, мы бы предположили, что для того, чтобы найти все напряжения узлов

, нам нужно написать уравнение KCL для каждого из неэталонных узлов.Полученные в результате три линейно независимых одновременных уравнения будут давать неизвестные напряжения в узле. Однако обратите внимание, что V1 и V3 являются известными величинами, поскольку независимый источник напряжения подключен непосредственно между неэталонным узлом и каждым из этих узлов. Следовательно, V1 = 12 В и V3 = -6 В. Кроме того, обратите внимание, что ток через резистор 9 кОм равен [12 — (-6)]9k = 2 мА слева направо. Мы не знаем V2 или ток в остальных резисторах. Однако, поскольку неизвестно напряжение только в одном узле, уравнение для одного узла даст его.Применение KCL к этому центральному узлу дает

или

V2 — V3 V2 — V1 V2 — 0 + + = 0 12k 6k 12k V2 — (-6) V2 V2 — 12 + + = 0 12k 6k 12k

, из которого мы получить V2 =

3 В 2

Когда все напряжения в узлах известны, можно использовать закон Ома для нахождения токов ветвей, показанных на рис. 3.11b. На диаграмме показано, что KCL выполняется в каждом узле. Обратите внимание, что наличие источников напряжения в этом примере упростило анализ, поскольку два из трех линейных независимых уравнений имеют вид V1 = 12 В и V3 = -6 В.Мы обнаружим, что, как правило, всякий раз, когда между узлами присутствуют источники напряжения, уравнения узлового напряжения, описывающие сеть, будут проще.

СОВЕТ Каждый раз, когда независимый источник напряжения подключается между эталонным узлом и неэталонным узлом, известно напряжение неэталонного узла.

IRWI03_082-132-HR

96

9000/04

9:54

Глава 3

Page 9612

Page 9612

Page 9612

Page

Page

NodalandLoopana LY Sistechiques

2-A K

9 K

V2

12 K

V1

12 K

V3

9 K

9 K

3 -V 2

7 -A 8K +12 V

-6 V

12 K 12 V

± —

+

6 K

6V

5-A 8K

12 V

12 K

12 K

±

+

6 K 23 -A 8K

1 -A 4K

6V

21 -A 8к

(б)

(а) Рисунок 3.11 Схема, использованная в примере 3.5.

РАСШИРЕНИЕ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ E3.5 Используйте узловой анализ, чтобы найти текущий Io в сети на рис. E3.5.

ОТВЕТ: Io =

3 мА. 4

Vo

Рисунок E3.5 6 k 6V

± –

6 k 3 k

± –

3V

Io

Next let два нереферентных узла.

Пример 3.6 Предположим, мы хотим найти токи в двух резисторах в цепи на рис.3.12а. РЕШЕНИЕ

Если мы попытаемся решить эту проблему методом грубой силы, мы немедленно столкнемся с проблемой. До сих пор токи ветвей были либо известными исходными значениями, либо могли быть выражены как напряжение ветви, деленное на сопротивление ветви. Однако ток ответвления через источник 6 В заведомо неизвестен и не может быть прямо выражен с помощью закона Ома. Мы можем, конечно, дать этому току имя и записать уравнения KCL в двух неэталонных узлах в терминах этого тока.Однако этот подход не является панацеей, потому что этот метод приведет к двум линейно независимым одновременным уравнениям с тремя неизвестными, то есть напряжениями в двух узлах и током в источнике напряжения. Чтобы решить эту дилемму, напомним, что требуется N-1 линейно независимых уравнений для определения N-1 напряжения неэталонных узлов в N-узловой цепи. Поскольку наша сеть имеет три узла, нам нужны два линейно независимых уравнения. Теперь заметьте, что если каким-то образом известно одно из узловых напряжений, мы сразу же узнаем и другое; то есть, если известно V1, то V2 = V1 — 6.Если V2 известно, то V1 = V2 + 6. Следовательно, разность потенциалов между двумя узлами ограничивается источником напряжения и, следовательно, V1 — V2 = 6

. Это уравнение связи является одним из двух линейно независимых уравнений необходимо для определения узловых напряжений.

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

9/30/04

8:54

стр. 97

Раздел 3.1

97

Затем рассмотрите сеть на фиг.3.12б, на котором источник 6 В полностью заключен в штриховую поверхность. Уравнение ограничения управляет этой пунктирной частью сети. Оставшееся уравнение получается путем применения KCL к этой пунктирной поверхности, которую обычно называют суперузлом. Напомним, что в главе 2 мы продемонстрировали, что KCL должен выполняться для поверхности, и этот метод устраняет проблему, связанную с током, протекающим через источник напряжения. KCL для суперузла V1 V2 + + 4 * 10-3 = 0 6k 12k

-6 * 10-3 +

Решение этих уравнений дает V1 = 10 В и V2 = 4 В и, следовательно, I1 = 53 мА и I2 = 13 мА.Быстрая проверка показывает, что KCL удовлетворяется на каждом узле. Обратите внимание, что применение KCL в эталонном узле приводит к тому же уравнению, что и показано выше. Учащийся может подумать, что применение KCL в эталонном узле избавляет от необходимости иметь дело с суперузлами. Напомним, что мы не применяем KCL ни в одном узле — даже в опорном узле, — который содержит независимый источник напряжения. Эту идею можно проиллюстрировать схемой в следующем примере. Рисунок 3.12 Цепи, использованные в примере 3.6. 6V

V1

± —

V2

60004 мА

6 MA

6 MA

6 K

V2

± — 6V

12 K 6 MA

6 K

12 K

I1

I2

(а)

4 мА

(б)

Пример 3.7 Определим ток Io в сети на рис. 3.13а. РЕШЕНИЕ

Исследуя сеть, мы отмечаем, что напряжения узлов V2 и V4 известны, а напряжения узлов V1 и V3 ограничены уравнением V1 — V3 = 12

Сеть перечерчена на рис. 3.13b.

V3 + 12

V1 ±

2 K

V2

12 V

12 V

V3 1 K

6V

2 K

V4

2 K IO

(A)

12 V

1 k

± –

12 V

2 k

V3

1 k

+

± –

13 Пример схемы с суперузлами.

6V

1 K

+

2 K IO

(B)

± —

12 V

IRWI03_082-132-HR

98

9/30/04

Глава 3

8:54 AM

Поскольку мы хотим найти ток Io , V1 (в надузле, содержащем V1 и V3) записывается как V3 + 12. V3 + 12 — (-6) 2k

+

V3 — (-6) V3 + 12 — 12 V3 — 12 V3 + + + = 0 2k 1k 1k 2k

Решение уравнения для V3 дает V3 = —

6 В 7

Io можно сразу вычислить как 6 7 3 Io = = — мА 2k 7 —

ОТВЕТ ОБУЧЕНИЯ РАСШИРЕНИЯ: Io = 3.8 мА.

E3.6 Используйте узловой анализ, чтобы найти Io в сети на рис. E3.6. Рисунок E3.6

V1

V2

12 V

— ±

— ±

V3

2 K 6V

V4 2 K

± —

1 K

2 K

±

4V

Io

ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗАВИСИМЫЕ ИСТОЧНИКИ НАПРЯЖЕНИЯ Как показывают следующие примеры, сети, содержащие зависимые (управляемые) источники, обрабатываются так же, как описано выше.

Пример 3.8. Мы хотим найти Io в сети на рис. 3.14. РЕШЕНИЕ

Так как зависимый источник напряжения подключен между узлом V1 и эталонным узлом, V1 = 2kIx

KCL в узле V2 равно V2 — V1 V2 4 + = 0 2k k 1k

, где Ix =

V2 1k

Решение этих уравнений дает V2 = 8 В и V1 = 16 В. Следовательно, Io =

V1 — V2 2k

= 4 мА

IRWI03_082-132-hr

9/30/04 54:00

Стр. 99

РАЗДЕЛ 3.1

2 k

V1 Io 2 kIx

± –

V2

2 k

N O D A L A N A L S I S

Схема, использованная в примере на рис. 3.148.

Ix

4 мА

1 к

Пример 3.9 Найдем ток Io в сети на рис. 3.15. РЕШЕНИЕ

Эта схема содержит как независимый источник напряжения, так и источник напряжения, управляемый напряжением. Обратите внимание, что V3 = 6 В, V2 = Vx, и между узлами, помеченными V1 и V2, существует суперузел.Применяя KCL к суперузлу, мы получаем V2 — V3 V1 — V3 V1 V2 + + + = 0 6k 12k 6k 12k

, где уравнение ограничения для суперузла имеет вид V1 — V2 = 2Vx

. Окончательное уравнение имеет вид V3 = 6

.

Решая эти уравнения, находим, что V1 =

9 В 2

и, следовательно, Io =

V1 3 = мА 12к 8 Рис. 3.15 Схема, использованная в примере 3.9.

6 K

2VX

V1

± —

12 K

12 K

V2

V3

+ 12 K

6 K

6 K

IO

VX

±

6V

Наконец, давайте рассмотрим две дополнительные схемы, которые в целях сравнения мы исследуем более чем одним методом.

Пример 3.10 Найдем Vo в сети на рис. 3.16а. Обратите внимание, что схема содержит два источника напряжения, один из которых является управляемым, и два независимых источника тока. Схема перерисована на рис. 3.16b, чтобы пометить узлы и идентифицировать суперузел, окружающий контролируемый источник. Из-за наличия независимого источника напряжения известно, что напряжение в узле 4 равно 4 В. Мы будем использовать это знание при написании уравнений узла для сети.

99

IRWI03_082-132-HR

-132-HR

100

9000/04

9/30/04

8:54

8:54

Глава 3

Page 100

NodalandLoopana Ly Sistechniques

Так как сеть имеет пять узлов, четыре линейных независимых уравнений достаточно для определения всех узловых напряжений.Внутри суперузла определяющее уравнение имеет вид V1 — V2 = 2Vx

, где V2 = Vx

и, следовательно, V1 = 3Vx

. Кроме того, мы знаем, что одно дополнительное уравнение имеет вид V4 = 4

. еще два уравнения необходимы для решения для неизвестных узловых напряжений. Эти дополнительные уравнения являются результатом применения KCL в суперузле и в узле, обозначенном как V3. Уравнения: — 2V3 = 6 -4Vx + 2V3 = 2

Решая эти уравнения, получаем Vx = 2 В и

V3 = 5 В

Vo = 3Vx — V3 = 1 В

V1 +

± –

1 K

VO —

2-A K

2 MA +

VX

VX

± —

1 K

1 K 1 K

V2 +

2 MA

±

4V

(а)

+ VO —

2VX

VX

1 K

V3

1 K

1 K

V4

1 K 2-A K

1 K

± –

(б)

Рис. 3.16 Схема, использованная в примере 3.10.

Пример 3.11. Мы хотим найти Io в сети на рис. 3.17а. Обратите внимание, что эта схема содержит три источника напряжения, один из которых является управляемым источником, а другой — управляемым источником тока. Поскольку к эталонному узлу подключены два источника напряжения, напряжение одного узла известно напрямую, а другое задается зависимым источником. Кроме того, разница в напряжении между двумя узлами определяется независимым источником 6 В.

IRWI03_082-132-hr

30.09.04

8:54

Страница 101

РАЗДЕЛ 3.1

101

Н О Д А Л А Н А Л И З И С

Сеть перечерчена на рис. 3.17b, чтобы пометить узлы и идентифицировать суперузел. Поскольку в сети шесть узлов, для определения неизвестных узловых напряжений необходимо пять линейных независимых уравнений. Два уравнения для суперузла: V1 — V4 = -6 V4 — V3 V1 — V3 V4 — V5 V4 V1 — 12 + + 2Ix + + + = 0 1k 1k 1k 1k 1k

Три оставшихся уравнения таковы: V2 = 12 V3 = 2Vx V5 V5 — V4 + = 2Ix 1k 1k

Уравнения для параметров управления: Vx = V1 — 12 Ix =

V4 1k

Объединение этих уравнений дает следующую систему уравнений -2V1 + 5V4 — V5 = — 36 V1 — V4 = -6 -3V4 + 2V5 = 0

Решение этих уравнений любым удобным способом дает V1 = -38 В V4 = -32 В V5 = -48 В

Тогда, поскольку V3 = 2Vx , V3 = — 100 В.Io составляет -48 мА. Читателю предлагается убедиться, что KCL выполняется в каждом узле.

V1 + VX

1 K

+

+

1 K

1 K

6V 1 K

2ix

+ VX V2

1 K 1 K

V3

±

± –

1 k 1 k

2Vx

Ix

(a) Рисунок 3.17 Схема, использованная в примере 3.11.

6V

1 K

IO

12 V

± —

± —

2ix

V4

1 K 12 V

+

1 K

2VX

(B)

V5 1 K

1 K

1 K

1 K

IX

IO

-132-HR

102

9000/04

8:54

Page 102

Page 102

NODALANDLOOPANALY SISTECHNIQUES

ЗАДАЧА — SO LV INGSTR AT EGY Узловой анализ Шаг 1.Выберите один узел в схеме N узлов в качестве эталонного узла. Предположим, что напряжение узла

равно нулю, и измерьте напряжения всех узлов относительно этого узла. Шаг 2. Если в сети присутствуют только независимые источники тока, запишите уравнения KCL

в N-1 неэталонных узлах. При наличии зависимых источников тока запишите уравнения KCL, как это делается для сетей только с независимыми источниками тока; затем напишите управляющие уравнения для зависимых источников.Шаг 3. Если в сети присутствуют источники напряжения, они могут быть подключены (1) между опорным узлом и неэталонным узлом или (2) между двумя неэталонными узлами. В первом случае, если источник напряжения является независимым источником, то известно напряжение в одном из неэталонных узлов. Если источник является зависимым, он рассматривается как независимый источник при написании уравнения KCL, но необходимо дополнительное уравнение ограничения, как описано ранее. В последнем случае, если источник независим, напряжение между двумя узлами ограничено значением источника напряжения, и уравнение, описывающее это ограничение, представляет собой одно из N-1 линейно независимых уравнений, необходимых для определения N-узла. напряжения.Поверхность сети, описываемая уравнением связи (т. е. источник и два соединительных узла), называется суперузлом. Одно из оставшихся N-1 линейно независимых уравнений получается путем применения KCL в этом суперузле. Если источник напряжения является зависимым, он рассматривается как независимый источник при написании уравнений KCL, но необходимо дополнительное уравнение ограничения, как описано ранее.

РАСШИРЕНИЕ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ E3.7 Используйте узловой анализ, чтобы найти Io в схеме на рис.Е3.7. Рисунок E3.7

V1

4 MA

+ —

2 K

IX

IX

3.2

2000 IX

PSV

Ответ: IO =

4 мА. 3

V2

2 мА

2 k

Io

Анализ контура Мы обнаружили, что в узловом анализе неизвестными параметрами являются напряжения узла, и для их определения использовался KCL. После расчета этих узловых напряжений все токи ветвей в сети можно легко определить с помощью закона Ома.В отличие от этого подхода, анализ контура использует KVL для определения набора токов контура в цепи. Как только эти контурные токи известны, закон Ома можно использовать для расчета любых напряжений в сети. С помощью топологии сети можно показать, что в общем случае для любой сети существует ровно B — N + 1 линейно независимых уравнений КВЛ, где B — количество ветвей в цепи, а N — количество узлов. Например, если мы еще раз рассмотрим схему на рис. 2.5, то обнаружим, что в ней восемь ветвей и пять узлов.Таким образом, номер

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

0/30/04

8:54

Page 103

Раздел 3.2

1

I2 (T)

I3 (T)

Loopana LY SIS

103

Рисунок 3.18 Рисунок 2.5 перерисован с токами в контуре.

R2 R1 iB(t) v1(t) i4(t) 3 i5(t) 4 ±–

iA(t)

i1(t) 2

R3 R4

iC(t)

± –

i6(t)

v2(t) iD(t) i7(t)

R5 i8(t)

5

линейно независимых уравнений КВЛ необходимых для определения всех токов в сети есть B — N + 1 = 8 — 5 + 1 = 4.Сеть на рис. 2.5 перерисована, как показано на рис. 3.18, с 4 петлевыми токами, помеченными, как показано. Тогда токи ветвей определяются как i1(t) = iA(t) i2(t) = iA(t) — iB(t) i3(t) = iB(t) i4(t) = iA(t) — iC (t) i5(t) = iB(t) — iD(t) i6(t) = -iC(t) i7(t) = iC(t) — iD(t) i8(t) = -iD(t )

Все цепи, которые мы рассмотрим в этом тексте, будут плоскими, что просто означает, что мы можем нарисовать схему на листе бумаги таким образом, чтобы ни один проводник не пересекался с другим проводником. Если схема плоская, петли легче идентифицировать.Например, вспомните в главе 2, что мы обнаружили, что одного уравнения достаточно для определения тока в цепи, содержащей один контур. Если схема содержит N независимых контуров, то мы покажем (и для проверки можно использовать общую топологическую формулу B — N + 1), что для описания сети потребуется N независимых одновременных уравнений. Наш подход к петлевому анализу будет отражать подход, используемый в узловом анализе (т. е. мы начнем с простых случаев и систематически переходим к более сложным).Затем в конце этого раздела мы наметим общую стратегию для использования анализа циклов.

Схемы Источники

, содержащие

, содержащие

Только

Независимое

Напряжение

Для начала Наш анализ, рассмотрим цепь, показанную на рис. 3.19. Заметим, что эта сеть имеет семь ветвей и шесть узлов, а значит, количество линейно независимых уравнений КВЛ, необходимых для определения всех токов в цепи, равно B — N + 1 = 7 — 6 + 1 = 2. Поскольку два линейно независимых уравнения КВЛ требуются, мы идентифицируем две независимые петли, ABEFA и BCDEB.Теперь мы определим новый набор переменных тока, называемых токами контура, которые можно использовать для нахождения физических токов в цепи. Предположим, что по первому контуру течет ток i1, а по второму — ток i2. Тогда ток ответвления, протекающий от B к E через R3, равен i1 — i2. Направление течений принято. Как и в случае узлового анализа, если фактические токи не в указанном направлении, вычисленные значения будут отрицательными. Применение KVL к первому контуру дает +v1 + v3 + v2 — vS1 = 0

KVL, примененное ко второму контуру, дает +vS2 + v4 + v5 — v3 = 0

, где v1 = i1R1, v2 = i1R2, v3 = Ai1 — i2 B R3, v4 = i2R4 и v5 = i2R5.

СОВЕТ В уравнениях используется пассивный знак.

IRWI03_082-132-HR

-132-HR

104

9/30/04

9/30/04

Глава 3

Page 104

Page 104

Page 104

Page 104

Page 104

Page 104

NODALANDLOOPANA LY Sistechniques

Подстановка этих значений в два уравнения KVL выпускает два одновременного уравнения, необходимые для определения токов двух контуров; то есть i1 AR1 + R2 + R3 B — i2 AR3 B = vS1

-i1 AR3 B + i2 AR3 + R4 + R5 B = -vS2

или в матричной форме B

R1 + R2 + R3 -R3

-R3 iv RB 1 R = B S1 R R3 + R4 + R5 i2 -vS2

На этом этапе важно определить, что называется сеткой.Сетка — это особый вид цикла, который не содержит циклов внутри себя. Следовательно, когда мы пересекаем путь сетки, мы не охватываем никакие элементы схемы. Например, сеть на рис. 3.19 содержит две ячейки, определяемые путями A-B-E-F-A и B-C-D-E-B. Путь A-B-C-D-E-F-A представляет собой петлю, но не сетку. Поскольку большая часть нашего анализа в этом разделе будет включать в себя написание уравнений KVL для сеток, мы будем называть токи токами сетки, а анализ — анализом сетки.Рис. 3.19 Двухконтурная схема.

A

V + 1R1

VS1 ± — —

C

2

C

± —

+

I1

R3 V3 —

R2 F

VS2

B

V2 + E

+

i2

R4 v4

R5

v5 + D

Пример 3.12. Рассмотрим сеть на рис. 3.20а. Мы хотим найти текущий Io . РЕШЕНИЕ

Мы начнем анализ с написания уравнений сетки.Обратите внимание, что на резисторах нет знаков + и –. Однако они не нужны, так как мы будем применять закон Ома к каждому резистивному элементу по мере написания уравнений КВЛ. Уравнение для первой сетки: -12 + 6kI1 + 6kAI1 — I2 B = 0

Уравнение KVL для второй сетки: 6kAI2 — I1 B + 3kI2 + 3 = 0

, где Io = I1 — I2. Решение двух одновременных уравнений дает I1 = 54 мА и I2 = 12 мА. Следовательно, Io = 34 мА. Все напряжения и токи в сети показаны на рис.3.20б. Вспомните из узлового анализа, что после определения узловых напряжений мы могли проверить наш анализ с помощью KCL в узлах. В этом случае мы знаем токи ветвей и можем использовать КВЛ вокруг любого замкнутого пути для проверки наших результатов. Например, применение KVL к внешнему контуру дает -12 +

15 3 + + 3 = 0 2 2 0 = 0

Поскольку мы хотим вычислить ток Io , мы можем использовать анализ контура, как показано на рис. 3.20. в. Обратите внимание, что контурный ток I1 проходит через центральную ветвь сети и, следовательно, I1 = Io.Уравнения двух контуров в этом случае таковы: 12 мА. Поскольку ток в источнике 12 В равен I1 + I2 = 54 мА, эти результаты согласуются с сеточным анализом.

IRWI03_082-132-hr

30.09.04

8:54

Страница 105Наличие двух источников напряжения указывает на жизнеспособность этого подхода. Применяя KCL в верхнем центральном узле, получаем Vo Vo — 3 Vo — 12 + + = 0 6k 6k 3k

и, следовательно, Vo =

9 В 2

и тогда Io =

Vo 3 = мА 6k 4

Обратите внимание, что в данном случае нам нужно было решить только одно уравнение вместо двух. 15 -V + 2 —

VO 6 K

5 — MA 4

5 — MA 4

3 K 6 K

12 V

± —

I1

± —

I2

3V

3 -V + 2 —

IO

3 K + 9 — MA 6 K 2 3 — MA 4

1 — MA 2

1 — MA 2

6 K

±

12 V

VO

(A)

± — —

3V

(б) 6 к

12 V

± —

VO

I1

3 K

6 K

I2

±

3V

IO

(C) Рисунок 3.20 Схемы, использованные в примере 3.12.

Еще раз вынуждены отметить симметричный вид сеточных уравнений, описывающих схему на рис. 3.19. Обратите внимание, что матрица коэффициентов для этой схемы симметрична. Поскольку эта симметрия обычно проявляется в сетях, содержащих резисторы и независимые источники напряжения, мы можем научиться писать уравнения сетки путем проверки. В первом уравнении коэффициент при i1 представляет собой сумму сопротивлений, через которые протекает ток сетки 1, а коэффициент при i2 представляет собой отрицательное значение суммы сопротивлений, общих для тока сетки 1 и тока сетки 2.Правая часть уравнения представляет собой алгебраическую сумму источников напряжения в сетке 1. Знак источника напряжения положительный, если он способствует предполагаемому направлению тока, и отрицательный, если он противостоит предполагаемому потоку. Первое уравнение представляет собой КВЛ для сетки 1. Во втором уравнении коэффициент при i2 представляет собой сумму всех сопротивлений в сетке 2, коэффициент при i1 представляет собой отрицательное значение суммы сопротивлений, общих для сетки 1 и сетки 2, а правая часть уравнения представляет собой алгебраическую сумму источников напряжения в сетке 2.В общем случае, если предположить, что все токи сетки имеют одинаковое направление (по часовой стрелке или против часовой стрелки), то если КВЛ применяется к сетке j с током сетки ij , коэффициент при ij представляет собой сумму сопротивлений в сетке j и коэффициенты токов других сеток Ae.g., ij — 1 , ij + 1 B являются минусами сопротивлений, общих для этих сеток и сетки j. Правая часть уравнения равна алгебраической сумме источников напряжения в сетке j. Эти источники напряжения имеют положительный знак, если они способствуют протеканию тока ij, и отрицательный знак, если противодействуют ему.

LOOPANA LY SIS

105

IRWI03_082-132-HR

9000/04

9000/04

90/30/04

9:54 утра

Page 106

Page 106

NodalandLoopana Ly Sistechniques

Пример 3.13 напишите уравнения сетки путем проверки для сети на рис. 3.21. Затем мы будем использовать MATLAB для решения токов сетки. РЕШЕНИЕ

Три линейно независимых одновременных уравнения: (4k + 6k)I1 — (0)I2 — (6k)I3 = -6 -(0)I1 + (9k + 3k)I2 — (3k)I3 = 6 -( 6k)I1 — (3k)I2 + (3k + 6k + 12k)I3 = 0

или в матричной форме 10k C 0 -6k

0 12k -3k

-6k I1 -6 -3k SC I2 S = C 6 S 21k I3 0

Обратите внимание на симметричную форму уравнений.Общая форма матричного уравнения: RI=V

, а решение этого матричного уравнения: I=R–1V

. Входные/выходные данные для решения MATLAB следующие: >> R = [10e3 0 -6e3 ; 0 12е3 -3е3; -6e3 -3e3 21e3] R = 10000 0 -6000

0 12000 -3000

-6000 -3000 21000

>> V = [-6 ; 6; 0] V = -6 6 0 >> I = inv(R)*V I = 1,0e-003 * -0,6757 0,4685 -0,1261 4 k

Рисунок 3.21 Схема, используемая в примере 3.13.

I1

6 K

6 K

+ 6V 9 K

+ 6V 9 K

I2

I3

I3

12 K

3 K

Схемы, содержащие независимые источники тока Так же, как присутствие источника напряжения в сети упростил узловый анализ, наличие источника тока упрощает анализ петли.Следующие примеры иллюстрируют это положение.

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

0/30/04

8:54 AM

Page 107

Page 107

Page 107

Page 107

Раздел 3.2

Loopana Ly SIS

Усыпление обучения E3.8 Используйте уравнения сетки, чтобы найти VO в цепи в цепи в цепи в цепи Рис. Е3.8.

Ответ: VO =

6V

Рисунок E3.8

+ 4 K

+ 2 K

2 K

6 K

±

VO

3V

Пример 3 .14 Найдем и Vo, и V1 в схеме на рис. 3.22. РЕШЕНИЕ

Хотя кажется, что есть два неизвестных тока сетки, ток I1 проходит непосредственно через источник тока и, следовательно, I1 ограничен на уровне 2 мА. Следовательно, неизвестен только ток I2. KVL для крайней правой сетки составляет 2k(I2 — I1) — 2 + 6kI2 = 0

И, конечно, I1 = 2 * 10-3

Эти уравнения можно записать как — 2kI1 + 8kI2 = 2 I1 = 2k

Входные/выходные данные для решения MATLAB следующие: >> R = [-2000 8000; 1 0] R = -2000 1

8000 0

>> V = [2 ; 0.002] v = 2.0000 0,0020 >> i = inv (r) * vi = 0,0020 0,0008

33 v. 5

107

IRWI03_082-132-HR

108

9/30/04

8:54 AM

Глава 3

Page 108

Page 108

NodalandLoopana Ly Sistechiques

>> Формат Long >> II = 0.00200000000000000 0,00075000000000 00000000000000000000. Мы, естественно, задаемся вопросом, было ли число округлено до этого значения.Если мы введем «длинный формат», MATLAB предоставит ответ, используя 15 цифр. Таким образом, вместо 0,008 более точным ответом будет 0,0075. Отсюда Vo = 6kI2 =

9 V 2

Для получения V1 применим КВЛ вокруг любого замкнутого пути. Если мы используем внешний контур, уравнение КВЛ имеет вид -V1 + 4kI1 — 2 + 6kI2 = 0

И, следовательно, 21 В 2

V1 =

Обратите внимание, что, поскольку ток I1 известен, резистор номиналом 4 кОм не входить в уравнение при нахождении Vo . Однако он появляется в каждом цикле, содержащем текущий источник, и, таким образом, используется при поиске V1.Рисунок 3.22 Схема, использованная в примере 3.14.

2V

V1

2

V1

+

4 K 2 MA

+

I1

I2

6 K

6 K

VO

2 K —

Пример 3.15 Мы хотим найти ВО в сети на рис. 3.23. РЕШЕНИЕ

Поскольку токи I1 и I2 проходят непосредственно через источник тока, два из трех требуемых уравнений имеют вид I1 = 4 * 10-3 I2 = -2 * 10-3

Третье уравнение представляет собой KVL для сетки, содержащей источник напряжения; то есть 4kAI3 — I2 B + 2kAI3 — I1 B + 6kI3 — 3 = 0

Эти уравнения дают I3 =

1 мА 4

и, следовательно, Vo = 6kI3 — 3 =

-3 В 2

IR -132-hr

30.09.04

8:54

Страница 109

РАЗДЕЛ 3.2

АНАЛИЗ КОНТУРА

109

Рисунок 3.23 Схема, использованная в примере 3.15.

4 мА

+ I1

+ I1

2 K

6 K

I3

VO

4 K 2 MA

+

4 K

I2

3V

Что мы продемонстрировали в предыдущем примере — общий подход к работе с независимыми источниками тока при написании уравнений КВЛ; то есть используйте один цикл через каждый текущий источник.Количество оконных стекол в сети говорит нам, сколько уравнений нам нужно. Дополнительные уравнения КВЛ записываются для охвата остальных элементов схемы в сети. Следующий пример иллюстрирует этот подход.

Пример 3.16

ПОДСКАЗКА

Найдем Io в сети на рис. 3.24а. РЕШЕНИЕ

Сначала мы выбираем два контурных тока I1 и I2 так, чтобы I1 проходил непосредственно через источник 2 мА, а I2 проходил непосредственно через источник 4 мА, как показано на рис.3.24б. Следовательно, два из трех наших линейно независимых уравнений имеют вид I1 = 2 * 10-3 I2 = 4 * 10-3

Оставшийся контурный ток I3 должен проходить через элементы цепи, не охватываемые двумя предыдущими уравнениями, и, конечно, не может пройти через текущие источники. Путь для этого оставшегося контурного тока может быть получен путем размыкания источников тока, как показано на рис. 3.24c. Когда все токи отмечены в исходной цепи, уравнение КВЛ для этой последней петли, как показано на рис.3.24d, равно -6 + 1kI3 + 2kAI2 + I3 B + 2kAI3 + I2 — I1 B + 1kAI3 — I1 B = 0

Решение уравнений дает I3 =

-2 мА 3

и, следовательно, Io = I1 — I2 — I3 =

-4 мА 3

Далее рассмотрим метод суперсетки. В этом случае три тока сетки указаны, как показано на рис. 3.24e, и, поскольку напряжение на источнике тока 4 мА неизвестно, предполагается, что оно равно Vx. Токи сетки, ограниченные источниками тока, равны I1 = 2 * 10-3 I2 — I3 = 4 * 10-3

Уравнения КВЛ для сеток 2 и 3 соответственно равны 2kI2 + 2kAI2 — I1 B — Vx = 0

-6 + 1kI3 + Vx + 1kAI3 — I1 B = 0

В этом случае источник тока 4 мА расположен на границе двух сеток.Таким образом, мы продемонстрируем два метода работы с такого рода ситуациями. Один из них представляет собой метод специальной петли, а другой известен как метод суперсетки.

IRWI03_082-132-HR

110

9.30/04

9:54

Page 110

Page 110

NodalandLoopana LY Sistechiques

6V

6V

1 K

+

1 K

+ 4 MA

1 K

2 K 2 мА

2 K 2 MA

I1

2 K

I2 2 K

2 MA

IO

4 MA

1 K

(A)

(б)

6V

6V

1 K

+

1 K

+ I3

1 K

2 K

I3

1 K

2 K

I1

2 k

2 мА

6V 1 K

+ I3

2

2 K

I1

I2

I3 1 K 2 K

I1

2 K

IO

(E)

1 кОм

+

Vx + 4 мА

2 кОм

I2

(D)

(D)

6V

1 K

4 мА

4 мА

(C)

2 мА

2 K

IO

2 MA

I2

2 K

Io (f)

Рисунок 3.24 Схемы, использованные в примере 3.16.

Сложение последних двух уравнений дает -6 + 1kI3 + 2kI2 + 2kAI2 — I1 B + 1kAI3 — I1 B = 0

Обратите внимание, что неизвестное напряжение Vx исключено. Два уравнения связи вместе с этим последним уравнением дают желаемый результат. Цель подхода суперсетки состоит в том, чтобы избежать введения неизвестного напряжения Vx. Суперсетка создается путем мысленного удаления источника тока 4 мА, как показано на рис. 3.24f. Затем запись уравнения KVL вокруг пунктирного пути, определяющего суперсетку, с использованием исходных токов сетки, как показано на рис.3.20e, дает -6 + 1kI3 + 2kI2 + 2kAI2 — I1 B + 1kAI3 — I1 B = 0

Обратите внимание, что это уравнение суперсетки такое же, как полученное ранее путем введения напряжения Vx.

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

9/30/04

стр. 111

стр. 111

Раздел 3.2

Loopana LY SIS

Расширения обучения E3.9 Найти VO в сети на рис. E3. 9.

ОТВЕТ: Vo =

33 В. 5

ОТВЕТ: Vo =

32 В.5

+ Vo —

Рисунок E3.9 4 мА

6 k 2 k

± –

4 k

5V

E3.10 Найти Vo в сети на рис. 4 мА

Рисунок E3.10

± —

2 мА

+

+

1 K

2 K

2 K

4V

4 K

VO —

Схемы, содержащие зависимые источники, которые мы имеем дело с цепями, содержащимися зависимыми источники так же, как мы имели в прошлом. Во-первых, мы относимся к зависимому источнику как к независимому источнику при написании уравнений КВЛ.Затем запишем управляющее уравнение для зависимого источника. Следующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 3.17 Найдем Vo в схеме на рис. 3.25, содержащей источник напряжения, управляемый напряжением. РЕШЕНИЕ

Уравнение для контурных токов, показанное на рисунке: — 2Vx + 2k(I1 + I2) + 4kI1 = 0 — 2Vx + 2k(I1 + I2) — 3 + 6kI2 = 0

, где Vx = 4kI1

Эти уравнения могут быть объединены для получения — 2kI1 + 2kI2 = 0 — 6kI1 + 8kI2 = 3

Входные/выходные данные для решения MATLAB: >> R = [-2000 2000; -6000 8000] R = -2000 -6000

2000 8000

111

111

HR

112

9000/04

8:54 утра

Глава 3

Page 112

NODALANDLOOPANALY SISTECHNIQUES

>> V = [0; 3] V = 0 3 >> I = inv(R)*V I = 0.00150000000000 0,00150000000000

и, следовательно, Vo = 6kI2 = 9 В

Для сравнения также решим задачу с помощью узлового анализа. Наличие источников напряжения указывает на то, что этот метод мог бы быть проще. Рассматривая источник 3-V и его соединительные узлы как суперузел и записывая уравнение KCL для этого суперузла, мы получаем Vo = 9 В. Рисунок 3.25 Схема, используемая в примере 3.17.

VX 2 K 2 VX

± —

I1

I1

3V

+ 4 K

+ 6 K

I2

I2

VO —

Пример 3.18 Давайте найдем VO в цепи на фиг. 3.26, который содержит источник тока, управляемый напряжением. РЕШЕНИЕ

Токи I1 и I2 проходят через источники тока. Таким образом, два необходимых уравнения: Vx 2000 I2 = 2 * 10 — 3 I1 =

Уравнение KVL для третьей сетки: — 3 + 2k(I3 — I1) + 6kI3 = 0

, где Vx = 4k (I1 — I2)

Объединение этих уравнений Выход — I1 + 2i2 = 0 I2 = 2K — 2Ki2 + 8Ki3 = 3

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

8:54 AM

Page 113

РАЗДЕЛ 3.2

L O O P A N A LY S I S

Решение MATLAB для этих уравнений: >> R = [-1 2 0; 0 1 0; -2000 0 8000] R = -1 0 -2000

2 1 0

0 0 8000

>> V = [0; 0,002; 3] V = 0 0 0.00200000000000 3000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001612-2912-2912 +

VX — 2000

I1 —

2 K

VX +

I3

6 кОм

4 кОм 2 мА

I2

Рис. 3.26 Схема, использованная в примере 3.18.

± –

Vo

3V —

Пример 3.19 Схема на рис. 3.27 содержит как источник напряжения, управляемый током, так и источник тока, управляемый напряжением. Давайте воспользуемся MATLAB для определения контурных токов. РЕШЕНИЕ

Уравнения для контурных токов, показанные на рисунке: I2 b + 12 = 0 vx = 2kai3 — I1 b ix = i4 — i2

113

IRWI03_082-132-HR

114

9/30/04

8:54 утра

Глава 3

Страница 114

NODALANDLOOPANA LY SISTECHNIQUES

Комбинация этих уравнений дает 1 D 0 1k 0 1k

0 -1 3k 1k

4 0 I1 k 0 ITD 2T=E 0 U -2k I3 8 -2k I4 12

Входные и выходные данные для решения MATLAB следующие: > > R = [1 0 0 0 ; 1 1 -1 0; 0 1000 1000 -2000]

0 1000 3000 -2000;

R = 1 1 0 0

0 1 1000 1000

0 -1 3000 1000

0 0 -2000 -2000

>> V = [0.004; 0; 8; 12] V = 0,0040 0 8,0000 12,0000 >> I = inv(R)*V I = 0,0040 -0,0060 -0,0020 -0,0100

Рисунок 3.27 Схема, используемая в примере 3.19.

2 K

I1

4 MA +

1kix

± —

± —

VX

VX

I2 —

— 2k

IX

2 K

1 K

I3

I4 1 k

± –

12 В

IRWI03_082-132-hr

30.09.04

8:54 AM

Страница 115

2

АНАЛИЗ КОНТУРА

Пример 3.20 На этом этапе мы снова рассмотрим схему из примера 3.10 и проанализируем ее, используя уравнения контура. Напомним, что поскольку сеть имеет два источника напряжения, узловой анализ был несколько упрощен. Аналогичным образом наличие источников тока должно упростить анализ петли. Ясно, что сеть имеет четыре контура, поэтому для определения контурных токов требуются четыре линейно независимых уравнения. Сеть перерисовывается на рис.3.28, где указаны контурные токи. Обратите внимание, что мы провели по одному току через каждый из независимых источников тока. Такой выбор токов упрощает анализ, поскольку два из четырех уравнений имеют вид I1 = 2k I3 = -2k

. Два оставшихся уравнения KVL для контурных токов I2 и I4 имеют вид -2Vx + 1kI2 + (I2 — I3)1k = 0 (I4 + I3 — I1)1k — 2Vx + 1kI4 + 4 = 0

, где Vx = 1k(I1 — I3 — I4)

Подстановка уравнений для I1 и I3 в два уравнения KVL дает 2kI2 + 2kI4 = 6 4kI4 = 8

Решая эти уравнения для I2 и I4, мы получаем I4 = 2 мА I2 = 1 мА

и, таким образом, Vo = 1 В Рисунок 3.28 Схема, использованная в примере 3.20.

± —

2VX 2-A K

I1

I2

VX 1 K

I3

1 K

I4

1 K

+

1 K

2 — A k

± –

4V

Пример 3.21. Рассмотрим еще раз пример 3.11. В этом случае мы будем исследовать сеть, используя циклический анализ. Хотя имеется четыре источника, два из которых являются зависимыми, только один из них является источником тока.Таким образом, с самого начала мы ожидаем, что петлевой анализ будет сложнее, чем узловой. Ясно, что схема содержит шесть петель. Таким образом, для решения всех неизвестных токов необходимо шесть линейно независимых уравнений. Сеть перерисована на рис. 3.29, где указаны петли. Шесть уравнений KVL, описывающих сеть, таковы: 116

9/30/04

8:54

8:54

Глава 3

Page 116

NodalandLoopana Ly Sistechiques

-12 + 1kai4 — I1 B + 2VX = 0

-2VX + 1kai5 — I2 B + 1kAI5 — Io B = 0

1kAIo — I5 B + 1kAIo — I3 B + 1kIo = 0

Рисунок 3.29 Схема, использованная в примере 3.21.

+

1 K

VX

1 k

2

1 K

6V

+

I1

I2

1 K

1 K

2IX

I3

12 V

± —

I4

2VX

1 K 1 K

±

I5

2

I5

1 K

IX IX

IO

и управляющие переменные для двух зависимых источников являются VX = -1KI1 IX = I5 — Io

Подставляя параметры управления в шесть уравнений КВЛ, получаем 3I1 -I1 0 -3I1 2I1 0

-I2 0 +2I2 0 0 I3 0 0 -I2 0 0 0 -2I5 +2Io +I4 0 0 0 +2I5 -Io 0 -3I5 +5Io

= = = = = =

0 6k 0 12k 0 0

что может быть записано в матричной форме как 3 -1 0 -1 -1 2 0 0 0 0 1 0 F -3 0 0 1 2 -1 0 0 0 0 0 0

0 -1 -2 0 2 -3

0 I1 0 I2 0 6k 2 I 0 VF 3V = FV 0 I4 12k -1 I5 0 5 Io 0

Хотя эти шесть линейных Если независимые одновременные уравнения могут быть решены любым удобным способом, мы воспользуемся решением MATLAB.Как показывают приведенные ниже результаты, ток Io составляет -48 мА. >> R = [3 -1 0 -1 0 0 ; -1 2 0 0 -1 0 ; 0 0 1 0 -2 2 ; -3 0 0 1 0 0 ; 2 -1 0 0 2 -1 ; 0 0 0 0 -3 5] R = 3 -1 0 -3 2 0

-1 2 0 0 -1 0

0 0 1 0 0 0

-1 0 0 1 0 0

0 -1 -2 0 2 -3

>> V = [0; 0,006; 0; 0,012; 0; 0]

0 0 2 0 -1 5

IRWI03_082-132-hr

9/30/04

8:54 AM

Страница 117

SECTION 300060 0 0,0120 0 0 >> I = inv(R)*V I = 0,0500 -0,0120 -0,0640 0,1620 -0,0800 -0,0480 >>

Наконец, очень важно тщательно изучить схему, прежде чем выбирать подход к анализу. Один метод может быть намного проще другого, и немного времени, вложенное заранее, может сэкономить много времени в долгосрочной перспективе.

ПРОБЛЕМА — РЕШЕНИЕ С Т Р А Т Е Г И Анализ контура Шаг 1. Один ток контура назначается каждому независимому контуру в цепи, содержащей

N независимых контуров.Шаг 2. Если в сети присутствуют только независимые источники напряжения, запишите уравнения N

линейно независимых КВЛ по одному на каждый шлейф. При наличии зависимых источников напряжения написать уравнение КВЛ так, как это делается для цепей только с независимыми источниками напряжения; затем напишите управляющие уравнения для зависимых источников. Шаг 3. Если в сети присутствуют источники тока, может быть использован любой из двух методов

. В первом случае выбирается один петлевой ток для прохождения через один из источников тока.Это делается для каждого текущего источника в сети. Остальные контурные токи (N-количество источников тока) определяются путем размыкания источников тока в сети и использования этой модифицированной сети для их выбора. Как только все эти токи определены в исходной сети, можно записать уравнения N контуров. Второй подход аналогичен первому за исключением того, что при прохождении двух сеточных токов через конкретный источник тока вокруг этого источника формируется суперсетка.Два требуемых уравнения для сеток, содержащих этот источник, представляют собой уравнения ограничений для двух токов сетки, которые проходят через источник, и уравнение суперсетки. Как указывалось ранее, при наличии зависимых источников тока также необходимы управляющие уравнения для этих источников.

L o O P A N A A I S

117

-132-HR

-132-HR

9000/04

9000/04

90/30/04

9:54

Глава 3

Page 118

n o D A S T E C H N I Q U E S

Улучшения обучения E3.11 Используйте анализ сетки, чтобы найти Vo в схеме на рис. E3.11. Рисунок E3.11

12 V

2 K

+ 2000кс

+ 2000кс

± —

Ответ: VO = 12 V.

PSV

IX

4 K

+

VO

2 K

E3.12 Используйте циклический анализ для решения сети в примере 3.5 и сравните время и усилия, затраченные на два метода решения. E3.13 Используйте узловой анализ для решения схемы в примере 3.15 и сравните время и усилия, затраченные на две стратегии решения.

3.3

Пример применения Пример применения 3.22 Концептуальная схема ручной установки скорости электродвигателя постоянного тока показана на рис. 3.30а. Резисторы R1 и R2 находятся внутри компонента, называемого потенциометром или потенциометром, который представляет собой не что иное, как регулируемый резистор, например регулятор громкости. Поворот ручки изменяет соотношение a = R2(R1 + R2), но общее сопротивление Rpot = R1 + R2 остается неизменным. Таким образом, потенциометр образует делитель напряжения, который устанавливает напряжение Vspeed.Выходная мощность усилителя мощности VM в четыре раза больше Vspeed. Усилители мощности могут выдавать большие токи, необходимые для привода двигателя. Наконец, скорость двигателя постоянного тока пропорциональна VM, то есть скорость в об/мин является некоторой константой, умноженной на k. Можем ли мы проанализировать эту систему, не зная деталей усилителя мощности? В частности, можем ли мы установить связь между числом оборотов в минуту и ​​a?

5V

RPOT

μ

R1 R2

= 1 = 0

+ VSPEED —

AMP AMP

+

VM / vspeed = 4

VM —

DC двигатель

(A ) Мощность AMP модели

5V

RPOT

μ

R1 R2

= 1 = 0

+ VSPEED —

+ 4VSPEED —

± —

+

VM —

(B) Рисунок 3.30 (а) Простой драйвер двигателя постоянного тока и (б) модель схемы, используемая для его анализа.

IRWI03_082-132-hr

30.09.04

8:54

Стр. как простой зависимый источник. Получившаяся принципиальная схема показана на рис. 3.30b. Теперь мы можем легко установить связь между скоростью двигателя и положением горшка, а. Уравнения, управляющие работой двигателя, усилителя мощности и делителя напряжения: скорость (об/мин) = KM VM VM = 4Vскорость Vскорость = 5

R2 R2 = 5c d = 5a R1 + R2 Rpot R1 = (1 — a )Rpot

R2 = aRpot

Объединение этих соотношений для устранения Vspeed дает соотношение между скоростью двигателя и a, то есть об/мин = 20a.Если, например, постоянная двигателя KM равна 50 об/мин/В, тогда об/мин = 1000a

Это соотношение определяет, что скорость двигателя пропорциональна положению ручки потенциометра. Поскольку максимальное значение а равно 1, скорость двигателя находится в диапазоне от 0 до 1000 об/мин. Обратите внимание, что в нашей модели усилитель мощности, смоделированный зависимым источником, может обеспечить любой ток, требуемый двигателю. Конечно, это невозможно, но это демонстрирует некоторые компромиссы, с которыми мы сталкиваемся при моделировании. Выбрав простую модель, мы смогли быстро развить необходимые отношения.Однако в этой модели опущены другие характеристики реального усилителя мощности.

3.4

Пример конструкции

Пример конструкции 3.23 Источник 8 В должен использоваться вместе с двумя стандартными резисторами для разработки делителя напряжения, который будет выдавать 5 В при подключении к нагрузке 100 А. Сохраняя потребляемую мощность на как можно более низком уровне, мы хотим свести к минимуму ошибку между фактическим выходным напряжением и требуемыми 5 вольтами. РЕШЕНИЕ Делитель можно смоделировать так, как показано на рис.3.31. Применение ККЛ на выходе узла

дает уравнение VS — Vo Vo = + Io R1 R2

Используя заданные параметры входного напряжения, желаемого выходного напряжения и источника тока, получаем R1 =

3R2 5 + ( 100)R2

Методом проб и ошибок мы обнаружили, что превосходные значения для двух стандартных резисторов составляют R1 = 10 кОм и R2 = 27 кОм. Большие номиналы резисторов используются для минимизации энергопотребления. При таком подборе резисторов выходное напряжение составляет 5,11 В, что составляет погрешность всего в 2 процента.15%. Рис. 3.31. Простая схема делителя напряжения с нагрузкой 100 мкА.

R1 VS ± —

+

8V

R2

R2

VO 100 A —

дизайн пример

119

IRWI03_082-132-HR

120

9/30/04

8:54 утра

Глава 3

Page 120

Page 120

NodalandLoopana LY Sistechniques

Сводка NOUSTAL ANALEATION для схемы N-узла

Анализ цикла N-петли

Выберите один узел в N- схема узла в качестве эталонного узла.Предположим, что напряжение узла равно нулю, и измерьте все напряжения узла относительно этого узла.

Один контурный ток назначается каждому независимому контуру в цепи, содержащей N независимых контуров.

Если в сети присутствуют только независимые источники тока, запишите уравнения KCL в N — 1 неэталонных узлах. При наличии зависимых источников тока запишите уравнения KCL, как это делается для сетей только с независимыми источниками тока; затем напишите управляющие уравнения для зависимых источников.

Если в сети присутствуют только независимые источники напряжения, запишите N линейно независимых уравнений КВЛ, по одному на каждый шлейф. При наличии зависимых источников напряжения запишите уравнения КВЛ так, как это делается для цепей только с независимыми источниками напряжения; затем напишите управляющие уравнения для зависимых источников.

Если в сети присутствуют источники напряжения, они могут быть подключены (1) между эталонным узлом и неэталонным узлом или (2) между двумя нереферентными узлами.В первом случае, если источник напряжения является независимым источником, то известно напряжение в одном из неэталонных узлов. Если источник зависим, он рассматривается как независимый источник при написании уравнений KCL, но необходимо дополнительное уравнение ограничений. В последнем случае, если источник независим, напряжение между двумя узлами ограничено значением источника напряжения, и уравнение, описывающее это ограничение, представляет собой одно из N — 1 линейно независимых уравнений, необходимых для определения напряжений N узлов. .Поверхность сети, описываемая уравнением связи (т. е. источник и два соединительных узла), называется суперузлом. Одно из оставшихся N — 1 линейно независимых уравнений получается применением KCL в этом суперузле. Если источник напряжения является зависимым, он рассматривается как независимый источник при написании уравнений KCL, но необходимо дополнительное уравнение ограничения.

Если в сети присутствуют источники тока, можно использовать любой из двух методов. В первом случае выбирается один петлевой ток для прохождения через один из источников тока.Это делается для каждого текущего источника в сети. Остальные контурные токи (N-количество источников тока) определяются путем размыкания источников тока в сети и использования этой модифицированной сети для их выбора. Как только все эти токи определены в исходной сети, можно записать уравнения N-контура. Второй подход аналогичен первому за исключением того, что при прохождении двух сеточных токов через конкретный источник тока вокруг этого источника формируется суперсетка.Два требуемых уравнения для сеток, содержащих этот источник, представляют собой уравнения ограничений для двух токов сетки, которые проходят через источник, и уравнение суперсетки. При наличии зависимых источников тока также необходимы управляющие уравнения для этих источников.

ПРОБЛЕМЫ PSV

CS

оба доступны в Интернете по адресу: http://www.justask4u.com/irwin

РАЗДЕЛ 3.1 3.1 Найдите Io в схеме на рис. P3.1, используя узловой анализ.

КС

3.2 Используйте узловой анализ, чтобы найти V1 в схеме на рис. P3.2. 2 K

10 K + 12 K

6 MA

6 K

IO

3 K 3 K

6 MA

V1

2 K 4 MA

Рисунок P3.1 Рисунок P3.2

2 k

IRWI03_082-132-hr

9/30/04

8:54 AM

Стр. 3. П С В

121

3.7 Найдите Vo в сети на рис. P3.7, используя узловой анализ. CS

VO

+

2 мА

V1

V2 2 K

6 K

6 K

3 K

12 MA

+

6 K

VO

1 k

12 V

12 K

12 K

±

±

±

6 K

6V

Рисунок P3.3

Рисунок P3.7

3.8 Найти VO в цепи на рис. P3.8 с использованием узлового анализа.

3.4 Найдите V1 и V2 в схеме на рис. P3.4, используя узловой анализ. Затем решите задачу с помощью MATLAB и сравните свои ответы.

PSV

6 K 2 K

6 MA

+

+

V1

4 мА

+

4 K +

V2

6 K

3 K

12 V

6 кОм

8 мА +

Vo

4 кОм

Рисунок P3.4

Рисунок P3.8

3.5 Найдите Io в схеме на рис. P3.5, используя узловой анализ.

CS

3.9 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.9. 4 K

9V

IO

2 K

3 K

± —

± —

6 K

2 K

2 K

Рисунок P3.5

2 K 6V

± —

+

Vo

4 кОм

8 кОм 8 кОм

2 мА

Рисунок P3.9

3.6 Найдите Io в сети на рис. P3.6, используя узловой анализ.

3.10 Найдите Io в схеме на рис. P3.10, используя узловой анализ.

IO

IO 6 K 6V

+

+

Рисунок P3.6

4 K

4 K 6 K

±

±

240012

6V

± —

Рисунок P3 .10

4 K 4 K

4 K

2 MA

IRWI03_082-132-HR

122

9000/04

9:54

8:54

Глава 3

Page 122

NodalandLoopana LY SISTECHNIQUES

3.11 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в сети на рис. P3.11. Затем решите задачу с помощью MATLAB и сравните свои ответы.

3.14 Найти Io в сети на рис. P3.14.

± — 6V

4 K 6V

4 K

± —

12 K

+ 12 K

2 MA

CS

3 MA

3 MA

6 K

4 K

3 к

6 к

Vo —

Рисунок P3.11

Io Рисунок P3.14

3.15 Найдите I1 в сети на рис. P3.15.

CS

3V

3.12 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.12. 2 к

6 K

± — 2 мА

+

3 K

3 K

I1

3 K

5V

6 K

±

Рисунок P3.15

VO

3.16 Найти Io в сети на рис. P3.16. 6 мА

6 В

+

Io —

4 кОм

Рисунок P3.12

6 кОм

3.13 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.13. 6 к

3 K

+

2 мА

± —

±

12 V

12 V

6V

2 K

Рисунок P3.16

3.17 Используйте узловой анализ, чтобы найти VX и VY в цепи на фиг. , стр.3.17.

4 K 8 K

5A

1A 12 V

+

+

+

+ —

240012

VX

R = 132

VO

4 K

264

Vy

+

10 44

± –

88

110 В

12

913

Рисунок P3.17

3.18 Для сети на рис. P3.17 объясните, почему резистор R не играет роли в определении Vx и Vy. 3.19 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в сети на рис. P3.19. + 2 K

± —

14 V

3 K

VO

10 K

1 K 1 K

7 K

2 K

± —

Рисунок P3.19

2VX

9 K +

VX —

9 K

18 K 1 мА

18 K 1 MA

IRWI03_082-132-HR

9/30/04

8:54

Page 123

Проблемы

3.24 Используйте узловой анализ, чтобы найти Io в схеме на рис. P3.24.

3.20 Используйте узловой анализ, чтобы найти VA и VB в сети на рис. P3.20. Упростите анализ, сделав осознанный выбор эталонного узла. +

VA

+

+

6

6

VB

2 —

4 MA

2 1A

2 1A

6

6 K

1 9V

123

± –

5

± –

12 В

2 кОм

4 кОм

Рисунок P3.20 Рисунок P3.24

3.21 Найдите Io в схеме на рис. P3.21. 3.25 Найдите Io в сети на рис. P3.25, используя узловой анализ. 4 K

4 K 2 K 2 K

± —

24 ±

240012

IO ± —

2 K

3 K

— ±

6V

6V

6 K

Io Рисунок P3.25

Рисунок P3.21

3.26 Используйте узловой анализ, чтобы найти Io в сети на рис. P3.26.

3.22 Используйте узловой анализ, чтобы найти Io и IS в схеме на рис.P3.22.

± —

IO 3 K

3 K

1 K

6V

2 K 2 K

± —

1 K

4 K

6V

2 MA

2 K

4 k

2 k 4 мА

2 k

Io

IS Рисунок P3.26 Рисунок P3.22

3.27 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в сети на рис. P3.27. Затем решите эту задачу с помощью MATLAB и сравните свои ответы. C S

3.23 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в сети на рис.P3.23. 3 мА

1 K

4 K 2 K

2 K

± —

6V

6 K

6 K

+ 1 K

12 V

VO

— ±

+

1 K 1 K

Рисунок P3.23

VO

1 K 2 MA

Рисунок P3.27

IRWI03_082-132-HR

124

9/30/04

8:54 утра

ГЛАВА 3

Стр. 124

NODALANDLOOPANALY SISTECHNIQUES

3.28 Найдите Vo в схеме на рис. P3.28, используя узловой анализ.

3.32 Найдите Vo в сети на рис. P3.32, используя узловой анализ.

PSV

CS

— ±

6V

6V

4 K 6V

1 K

4 K

± —

2 K

2 MA

+ 2 K

4 MA

1 k

+

1 k

12 В

± –

Vo

2 k

Рисунок П3.32

3.33 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в сети на рис. P3.33.

Рисунок P3.28

3.29 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.29.

1 K

2 K

1 K

CS

2 K

1 K +

9 MA

6V

2 ±

± —

12 V

VO

+ 12 k

2 мА

Vo

1 k

6 k

4 k

6 мА

  • 2 900.33

    3.34 Найдите Vo в схеме на рис. P3.34, используя узловой анализ. Рисунок P3.29 +

    3.30 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.30.

    12 v

    1 K

    1 K 2 K 8V

    ± —

    2 K

    VO —

    2 K

    4 K +

    ±

    VO

    6V

    2 кОм

    +

    2 мА

    1 кОм

    4 кОм 2 мА

    Рисунок P3.34

    Рисунок P3.30

    3.35 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в сети на рис. P3.35.

    3.31 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.31.

    6 MA

    6 MA + 12 K 12 V

    +

    12 K

    12 K

    VO

    1 K 1 K

    2 K

    12 V

    + +

    6 K 2 MA

    ± –

    1 кОм

    2 кОм

    Vo —

    Рисунок P3.31

    Vo

    Рисунок P3.35

    IRWI03_082-132-hr

    30.09.04

    8:54

    Страница 125

    ПРОБЛЕМЫ

    C S

    V1

    125

    3.39 Найдите Vo в сети на рис. P3.39.

    ± —

    2 K

    ± —

    6V

    12 V

    1 K

    2 K 1 K

    2 MA

    1 K

    + +

    2V

    V3

    V2 12 V

    2 K

    V4

    +

    +

    2 K

    1 K

    1 K

    4V

    1 K

    VO

    4 MA

    ± —

    2 K

    1 K Рисунок Р3.39

    3.40 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.40. Рисунок P3.36

    3.37 Определите Vo в сети на рис. P3.37 с помощью узлового анализа.

    ± —

    2 к

    6V

    1 K

    2 мА

    + 2 K

    4 MA

    1 K

    1 K

    2 K

    +

    12 V

    4 мА 1 к

    1 к

    Vo

    6 В

    ±–

    + +

    12 В 1 к

    2 к

    0

    Vo

    1 k

    3.41 Определить Vo в сети на рис. П3.41.

    Рисунок P3.37

    2 k

    1 k

    3.38 Найдите Vo в схеме на рис. P3.38.

    +

    2V

    1 K

    12 V

    12 V

    2 K

    + + 4 мА 2 K

    1 K

    2 K

    +

    6 MA

    2 MA

    VO

    2 к

    6V

    4 MA

    + 6V 1 K

    + 6V 1 K

    1 K

    ± —

    12 V

    1 K

    +

    Рисунок P3.41

    Vo

    3.42 Найдите Vo в схеме рис. P3.42.

    Рисунок P3.38

    12 V

    + —

    2 K 2 K

    4 MA

    1 K

    2 K +

    4V

    +

    2 K

    1 K

    1 K

    VO —

    Рисунок P3.42

    IRWI03_082-132-HR

    9000/04

    9000/04

    9:54

    8:54

    Глава 3

    Page 126

    NodalandLoopana Ly Sistechniques

    3 .43 Найдите Io в схеме на рис. P3.43, используя узловой анализ.

    3.47 Найти Ио в сети на рис. П3.47.

    ± — 4000x

    2 к 4 мА

    1 K

    1 K

    2 K

    12 V

    1 K

    1 K

    1 K

    4 K

    1 K

    12 K

    IX

    +

    PSV

    12 MA

    IO

    IO

    Рисунок P3.47 1 K

    2 MA

    1 K

    1 K

    IO

    3.48 Найдите Io в цепи на рис. P3.48, используя узловой анализ.

    Рисунок P3.43

    12 k 12 k

    3.44 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo на рис. P3.44.

    ix

    2ix 3 мА

    10 K

    4ix

    12 мА

    12 мА

    VO

    IX

    IO

    Рисунок P3.48

    + 10 K

    12 K

    3.49 Найти VO в сеть на рис. P3.49 с использованием узлового анализа. CS

    Ix

    Рисунок P3.44

    10 k

    3.45 Найдите Vo в схеме на рис. P3.45, используя узловой анализ.

    4000IX

    +

    +

    +

    VO

    10 K

    4 MA

    10 K

    2

    10 K

    ± 1 K

    VO — 2

    +

    12 V

    ± —

    1 K

    Рисунок P3.49

    Vo

    2 k

    3.50 Найдите Vo в схеме на рис. P3.50.

    PSV

    Рисунок P3.45 1 k

    +

    3.46 Найдите Vo в схеме на рис. P3.46, используя узловой анализ. Затем решите задачу с помощью MATLAB и сравните свои ответы. CS

    VX

    1 K

    2 K 2 MA

    + 2VX — 1000

    1 K

    VO —

    Рисунок P3.50

    + 2IX

    1 K

    +

    1 k

    12 V

    1 k

    Ix

    1 k

    Vo

    3.51 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис.P3.51. Кроме того, найдите все потоки ветвей и проверьте свои ответы с помощью KCL в каждом узле.

    + 2000кс

    + 2000кс

    Рисунок P3.46 12 K 6V

    +

    4 K

    IX Рисунок P3.51

    2 K 2 MA

    + 4 K

    VO —

    IRWI03_082-132 -hr

    30.09.04

    8:55

    Page 127

    127

    ЗАДАЧИ

    3.52 Найдите мощность, отдаваемую источником тока 2 А в сети на рис.P3.52 с использованием узлового анализа.

    3.56 Используя узловой анализ, найдите Vo в сети на рис. P3.56.

    IX 4 MA

    1 K

    4

    1 K

    12 V 10 V

    12 V 10 V

    + —

    4

    5

    2ix

    2A

    + —

    +

    1 K 2во Рис.P3.53 для определения Vo.

    Рисунок P3.56

    3.57 Используйте узловой анализ, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.57.

    ± — -12 v 4

    IX

    4

    2 1 K

    +

    VO

    6

    2

    4A

    4A

    2ix

    ± —

    1 K

    1 K

    1 K 2VX

    12 V

    + —

    +

    +

    + 2 K

    2 K

    4 MA

    2 K

    VX

    1 K

    VO

    Рисунок P3.53

    3.54 Определите Vo в сети на рис. P3.54, используя узловой анализ.

    2ix

    IX

    1 K

    1 K

    +

    2VX

    1 K

    1 K

    1 K

    IO

    1 K

    VO

    1 к

    +

    1 к

    +

    1 к 12 В

    3.58 Используйте узловой анализ для определения Io в схеме на рис. P3.58.

    2 мА

    1 кОм

    1 кОм

    Рисунок P3.57

    ± —

    2ix

    2 MA

    12 V

    12 V

    1 K

    +

    VX —

    Рисунок P3.54

    3.55 Рассчитайте VO в цепи на рис. P3.55 с использованием узловой анализа .

    Рисунок P3.58

    3.59 Найдите Io в сети на рис. P3.59, используя узловой анализ.

    + 2 K

    + 2 K

    1 K

    1 K

    VX

    ± —

    1 K

    12 V

    IO

    2 K + 12 V

    2VX +

    1 K

    Vo

    2Vx

    – ±

    Рисунок P3.55

    Рисунок P3.59

    1 K + 2IX

    1 K

    1 K

    IX

    6 MA

    1 K

    1 K

    2 MA

    + —

    1 K

    1 K

    VX —

    IRWI03_082-132-HR

    -132-HR

    9000/04

    90/30/04

    0:55

    8:55 утра

    Page 128

    NodalandLoopana Ly Sistechiques

    3.60 Учитывая сеть на фиг. P3.60, мы хотим определить мощность, рассеиваемую на резисторе R3.

    3.61 В схеме на рис. P3.61 используйте исключение Гаусса для определения Vo . (a) Будет ли сеточный или узловой анализ наиболее эффективным

    (a) Является ли сеточный или узловой анализ наиболее эффективным

    подходом? Почему?

    подход? Почему? (b) Для узлового анализа прокомментируйте преимущества

    (b) Если используется анализ сетки, требуются ли суперсетки

    ? Напишите уравнения сетки. Если используется узловой анализ, требуются ли какие-либо суперузлы? Если да, то сколько? Какое место лучше всего подходит для эталонного узла и почему? Напишите уравнения узлов.

    выбор узла 1 в качестве эталонного узла. Повторите для узлов 2, 3 и 4. (c) Основываясь на ваших результатах в (b), напишите уравнения узлов. 1

    R1

    R2

    R1

    V — S1 +

    R3

    2

    R3

    +

    R2

    +

    R2

    VS1

    2

    R5

    R4

    R6

    ± —

    VS2 Рис. P3.60 Рисунок P3.61

    РАЗДЕЛ 3.2 3.62 Используйте уравнения сетки, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.62. 2 k

    3.64 Используйте анализ сетки, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.64. 4 K

    4 K

    4 K +

    + 6V

    + 6V

    ± —

    2 K

    6 K

    VO

    2 K

    2 K

    2 K

    ± —

    Рисунок P3.62

    Vo

    12 В —

    3.63 Найти Vo в сети на рис.P3.63 с использованием уравнений сетки. P S V 4V

    Рисунок P3.64

    3.65 Используйте анализ сетки, чтобы найти Vo в схеме на рисунке P3.65.

    12 V

    ± —

    +

    +

    4 K

    + 4 K

    4 K

    4 K

    10 K +

    VO

    6 K

    8 K

    2 K

    VO

    Рисунок P3.63

    +

    6V —

    Рисунок P3.65

    IRWI03_082-132-HR

    9/30/04

    8:55

    Page 129

    Проблемы

    3 .66 Используйте анализ сетки, чтобы найти Vo в сети на рис. P3.66. C S

    3 k

    ± –

    12 В

    3.70 Используйте как узловой анализ, так и анализ сетки, чтобы найти Io в схеме на рис. P3.70. 6 мА

    +

    2 K 6 k

    2 мА

    129

    VO 12 V

    4 K

    4 K

    Рисунок P3.66

    — ±

    3.67 Использовать анализ петлей, чтобы найти VO в цепи в цепи в цепи Рис. P3.67.

    2 MA

    2 K

    4 K

    IO 4 K 6V

    +

    2 K

    ±

    2 MA

    4 K

    Рисунок P3.70

    Vo

    3.71 Найдите Io в сети на рис. P3.71, используя анализ петель. Затем решите задачу с помощью MATLAB и сравните свои ответы. C S

    Рисунок P3.67

    6 k

    3.68 Используйте циклический анализ, чтобы найти Vo в сети на рисунке P3.68. PSV

    6 K

    — ± 2 K 1 K

    2 K

    12 V

    2 MA

    1 K

    6 K

    + 6V

    VO

    +

    5 MA

    6 k

    Io

    Рисунок P3.71

    Рисунок P3.68

    3.69 Найдите Io в сети на рис. P3.69, используя анализ сетки.

    3.72 Найдите Vo в сети на рис. P3.72, используя как ячеистый, так и узловой анализ. PSV

    CS

    +

    4 k

    4 K

    4 K

    2 K 2 K

    2 K 2 MA

    6 K

    ± —

    12 V

    4 K

    4 MA 12 V

    + —

    VO

    2 K —

    Рисунок P3.69 Рисунок P3.72

    IRWI03_082-132-HR

    130

    9/30/04

    8:55 утра

    Глава 3

    Стр. 130

    NODALANDLOOPANALY SISTECHNIQUES

    3.73 Используйте циклический анализ, чтобы найти Io в сети на рис. P3.73. CS

    3.82 Напишите уравнения сетки для цепи на рис. P3.82, используя назначенные токи.

    1 K

    12 V

    2A

    + —

    1 K

    2 мА

    I3 4

    1 K

    1 K

    5

    IO 12 V 1 K

    4

    — VX +

    4 MA

    1 K

    0.5VX

    + —

    I1

    2

    I2

    + —

    I4

    20 V

    Рисунок P3.82 Рисунок P3.73

    3.74 Найдите Io в схеме на рис. P3.74.

    3.83 Используйте анализ сетки, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.83.

    CS

    PSV

    IO 6V

    + —

    4 k

    2 K 2 мА

    +

    4 K 6V

    2 K

    VA-

    ±

    ±

    +

    4 ВА 6 кОм

    Vo

    12 кОм

    6 кОм

    1 мА

    2 кОм

    Рисунок P3.83

    3.84 Найдите Vo в схеме на рис. P3.84, используя анализ сетки. Рисунок P3.74

    CS

    3.75 Решите задачу 3.33, используя циклический анализ.

    2 k

    3.76 Решите задачу 3.34, используя циклический анализ. 2000 Ix

    3.78 Решите задачу 3.37, используя циклический анализ.

    ± –

    4 k

    3.80 Решите задачу 3.43, используя циклический анализ.

    IX

    4 K

    6V

    + —

    Рисунок P3.81

    I5

    2 K

    2 K

    1 K

    I3

    I4

    + 2 K

    VO —

    1 к Рисунок P3.85

    1 к

    + 12 В

    + 12 В —

    2 Ix 2 к

    2 k

    I2

    Vo

    Рисунок P3.84

    3.81 Используйте MATLAB, чтобы найти токи сетки в сети на рисунке P3.81. C S

    I1

    2 k

    Ix

    3.79 Решите задачу 3.40, используя циклический анализ.

    2 мА

    +

    3.77 Решите задачу 3.35, используя циклический анализ.

    1 K

    + —

    + —

    HRWI03_082-132-HR

    9/30/04

    0/30/04

    8:55 AM

    Page 131

    Проблемы

    3.86 Использовать анализ петлей для поиска VO в цепи на фиг. P3.86. 2 k

    3.90 Решите задачу 3.54, используя циклический анализ. 3.91. Решите задачу 3.55, используя циклический анализ.

    2 k +

    ± –

    12 В

    3.92 Решите задачу 3.56, используя петлевой анализ. 3.93 Решить задачу 3.57 с использованием петлевого анализа.

    2 Vo — 1000

    1 k

    Vo

    3.94 Решите задачу 3.58, используя циклический анализ.

    3.95 Решите задачу 3.59, используя циклический анализ. 3.96 Используйте анализ сетки для определения мощности, отдаваемой независимым источником 3 В в сети на рис. P3.96.

    Рисунок P3.86

    3.87 Используйте как узловой анализ, так и анализ сетки, чтобы найти Vo в схеме на рис. P3.87. 6 VX

    100 200

    40 мА

    6 VX

    6 VX

    ± —

    ± —

    300 6 мА

    3V

    8 K +

    100

    +

    VX

    12 K

    3.97 Используйте анализ сетки, чтобы найти мощность, отдаваемую источником напряжения с регулируемым током в цепи на рис. P3.97.

    + 6

    2 K

    4 K

    VX

    VX — 8

    4 K

    Рисунок P3.97

    Рисунок P3.88

    3.89 Найти VO в сети на рис. П3.89.

    VX

    PSV

    + +

    1 K 12 MA

    1 K 120012

    1 K

    VO —

    1 K

    1 K 1 K

    4 MA

    3A

    6

    15 Ix

    + —

    Vo

    +

    Рисунок P3.89

    Vx +

    4 k

    +

    Vx

    Рисунок P3.96

    3.88 С помощью анализа сетки найти Vo в схеме на рис. P3.88.

    6 MA

    600

    Рисунок P3.87

    VX — 4000

    ± —

    VO

    12 K

    4 K

    VX — 1000

    131

    IX 32

    1

    IRWI03_082-132-HR

    132

    9000/04

    9/30/04

    8:55

    Глава 3

    Page 132

    Page 132

    Page 132

    NodalandLoopana Ly Sistechniques

    Типичные проблемы, найденные на экзамене FE 3FE-1 Vo в схеме на рис.3ПФЭ-1.

    3FE-3 Найдите ток Ix в резисторе сопротивлением 4 Ом в цепи на рис. 3PFE-3. CS

    CS

    VX 2

    12 V

    6

    6

    3

    — ± +

    1 6 12 V

    ± —

    +

    + 2

    2A

    6V

    3fe- 4 Определить напряжение Vo в цепи рис. 3ПФЭ-4. 12 В

    +

    3FE-2 Определите мощность, рассеиваемую на резисторе 6 Ом в сети на рис. 3PFE-2.

    VX

    2

    IX

    IX

    I1 6

    12 2i1

    Рисунок 3PFE-2

    4

    VX

    + 4

    ± —

    2 VX

    Рисунок 3PFE-3

    VO

    Рисунок 3PFE-1

    12 V

    ± —

    IX

    4

    4

    VX

    Рисунок 3PFE-4

    4 2X

    VO —

    Узлочный анализ с источником напряжения и тока

    При проектировании электрических цепей процесс анализа цепи является важной частью, которая касается напряжения и тока в каждой ветви или узле цепи.Процесс анализа цепи есть не что иное, как обнаружение неизвестных значений напряжения и тока ветви или узла. Однако этот процесс сложен, поскольку в цепи соединено больше компонентов. Следовательно, необходимо соблюдать правильную технику для определения тока и напряжения. Существует два возможных метода анализа схемы: анализ тока сетки или анализ сетки, анализ узлового напряжения или узловой анализ. Из обоих методов необходимо выбрать один, исходя из сложности схемы и времени.Если цепь содержит источники тока, то узловой анализ является лучшим и очень простым методом. Если цепь состоит из источников напряжения, то анализ сетки лучше всего подходит для определения неизвестных величин, так как он требует меньше времени для расчета. В этой статье дается краткое объяснение узлового анализа с источниками напряжения и тока.

    Что такое узловой анализ?

    Если электрическая цепь состоит как из источников напряжения, так и из источников тока, то трудно выбрать один из методов сеточно-узлового анализа, в таких случаях, если количество источников тока больше, чем источников напряжения, то этот анализ это лучшая техника, которую следует использовать.Источник напряжения должен быть преобразован в эквивалентный источник тока. Когда два или более компонента или элемента схемы соединены вместе, это называется узлом. Каждый узел в цепи анализируется как напряжение узла, и процесс анализа узла называется узловым анализом.

    Метод, используемый для нахождения токов ветвей, протекающих в электрической цепи, называется узловым анализом или анализом узлового напряжения. Этот анализ обычно используется для определения тока и напряжения в цепи путем назначения узлов, которые можно применять для параллельных цепей, которые имеют общую клемму заземления.

    Этот метод использует KCL (токовой закон Кирхгофа) для определения напряжения вокруг цепи. Решение схемы требует меньшего количества уравнений по сравнению с анализом сетки. Узловой анализ основан на концепции матричного анализа.

    Как мы знаем, узловой анализ основан на KCL, что означает, что сумма всех входящих токов узла равна сумме исходящих токов из узла цепи. Он используется для определения разности потенциалов между подключенными компонентами в цепи.Чтобы определить напряжение в каждом узле, необходимо присвоить схеме два типа узлов, то есть эталонный узел и неэталонные узлы.

    Точка, которая действует как ссылка на все остальные узлы, называется опорным узлом. В то время как неэталонный узел содержит фиксированное напряжение, которое называется напряжением узла, которое должно быть определено с помощью узлового анализа. Количество узловых уравнений, необходимых для решения схемы, равно n-1. Это означает, что количество нереференсных узлов схемы равно полученным уравнениям узлов

    Разница между сеточным и узловым анализом

    Разница между сеточным и узловым анализом представлена ​​в табличной форме.

    Mesh Analysis

    Nodal Analysis

    Этот метод используется для Этот метод используется для определения неизвестного падения напряжения в цепи между двумя или более узлами.
    Он также известен как анализ тока сетки или анализ петель сетки Он также известен как метод напряжения узла или анализ напряжения узла или анализ суперузла
    Он основан на законе напряжения Кирхгофа (KVL) Он основан на действующем законе Кирхгофа (KCL)
    Он применим для плоских схем. Применяется для параллельных цепей с клеммой заземления.
    Узловой анализ с источником тока

    Рассмотрим следующую схему для расчета узловых напряжений с использованием узлового анализа с источником тока. Этот метод очень прост и пошаговая процедура решения схемы приведена ниже.

    Узловой анализ с источником тока

    В приведенной выше схеме есть 3 узла. Где V1 и V2 — неэталонные узлы, а V3 — эталонный узел.

    Шаг 1: Определите и назначьте узловые напряжения V1, V2 и V3. Обозначьте направления токов ветвей, протекающих в цепи относительно эталонного узла V3.

    Шаг 2 : Получите уравнения узла, применив KCL ко всем узлам 1 и 2, кроме эталонного узла. А затем применить закон Ома к полученным уравнениям KCL.

    Применяя KCL к узлу 1, мы получаем

    I1 = I2 + I3… … … eq 1

    Применяя KCL к узлу 2, мы получаем

    I2 + I4 = I1 + I5… .. . … eq 2

    Шаг 3: Примените закон Ома к уравнениям KCL узлов 1 и 2.

    Применяя закон Ома к уравнению KCL узла 1, мы получаем, = [(V1 – V2) /4] + [(V1 – 0) / 2]

    Упростите приведенное выше уравнение

    3V1 – V2 = 20……..eq 3

    2 Уравнение ККЛ, получаем приведенное выше уравнение, мы получаем,

    -3V1 + 5V2 = 60……….eq 4

    Шаг 4: Решите узловые уравнения 3 и 4, полученные с помощью Ома, чтобы определить узловые напряжения V1 и V2 Метод устранения мы получаем,

    4V2 = 80

    , следовательно, v2 = 20 вольт

    Замените значение V2 в уравнение 3, мы получаем

    3V1 — V2 = 20

    3V1 — 20 = 20

    3V1= 40

    V1 = 40/3=13.33 Вольт

    Таким образом, полученные узловые напряжения составляют: V1= 20 Вольт и V2= 13,33 Вольт

    Узловой анализ с источником напряжения

    Существует два возможных случая определения узловых напряжений с использованием узлового анализа с источником напряжения.

    Узловой анализ с источником напряжения

    Случай 1: Когда источник напряжения подключен между неэталонным узлом и эталонным узлом, тогда узловое напряжение в неэталонном узле такое же, как напряжение подключенного источник напряжения.Анализ узлового анализа с источником напряжения такой же, как и с источником тока.

    Случай 2: Суперузел формируется, когда источник напряжения подключается между двумя неэталонными узлами. Анализ суперузла выполняется с использованием KCL и KVL.

    Рассмотрим следующую схему для определения узловых напряжений с использованием узлового анализа с источником напряжения. В приведенной выше схеме O является эталонным узлом, а V1, V2 и V3 представляют собой напряжения неэталонных узлов по отношению к эталонному узлу O.

    Так как из схемы мы знаем, что V1= 10 Вольт, V3 = 20 Вольт.

    Узловое напряжение V3 можно рассчитать по закону Ома.

    [(V1 – V2) /10 ]+ [(V3 – V2) /20] = V2 / 40

    Подставьте значения V1 и V3 в приведенное выше уравнение,

    (1- V2 / 10 ) + (1- V2 / 20) = V2 / 40

    2= V2 (1/40 + 1/20 + 1/10)

    V2= 80/7 Вольт

    Найти ответвление тока I2, подставим значение V2 в уравнение V= IR

    Тогда получим

    80/7= I2 (40)

    Из сопротивления цепи R = 40 Ом

    I2= 2/7Amps= 0.286 Ампер.

    Такое же значение тока I2 = 0,286 А можно получить, используя KCL.

    Среди двух методов сеточно-узлового анализа при решении схемы узловой анализ является простым и подходящим при наличии большого количества узлов. источников тока вокруг.

    Примеры задач

    Примеры задач узлового анализа с источником напряжения и источником тока описаны выше с пошаговой процедурой. Теперь давайте решим еще одну простую схему, состоящую из источников напряжения и тока, и найдем неизвестные напряжения в узлах и ток на резисторе с помощью узлового анализа.Пример схемы узлового анализа показан ниже.

    Пример анализа узлов

    Шаг 1: назначьте и пометьте узлы, как показано на приведенной выше схеме. Есть 3 узла с узловыми напряжениями V1, V2 и V3. Где V3 — эталонный узел, а V1 и V2 — небазовые узлы

    Шаг 2: получить уравнения узла для узла 1 и узла 2. Предположим, что напряжение в одном узле больше, чем напряжение в другом узле

    Уравнение узла для узла 1 записывается как,

    [(V1 – 20) /5 ]+ [V1 / 10 ]+ [(V1 – V2) /10] = 0

    (2V1 -40 + V1 + V1- V2) /10= 0

    V2= 4V1 – 40…….eq 1

    Уравнение узла к узлу 2 записывается как

    -4 + (V2 / 20) + [(V2 – V1) /10] = 0

    (-80 + V2 + 2V2 – 2V2 ) /20 =0

    После упрощения получаем

    3V2 – 2V1= 80…..eq 2

    Шаг 3: Определить узловые напряжения V1 и V2 из уравнений 1 и 2.

    Из уравнения 1 , v2 = 4v1 — 40

    Замена вышеуказанного уравнения в уравнении 2

    Тогда,

    3V2 — 2V1 = 80

    3 (4V1 -40) -2V1 = 80

    12V1 — 120 – 2V1 = 80

    10V1 = 80 + 120

    10V1 = 200

    Следовательно, напряжение узла V1 = 20 вольт.

    Подставьте V1 = 20 вольт в уравнение 1, чтобы получить напряжение в узле V2

    Следовательно, напряжения узлов вокруг цепи составляют 20 Вольт и 40 Вольт.

    Ток ветви через резистор 20 Ом составляет,

    I = V2/R

    I = 40/20

    I = 2 Ампер

    I = 2 Ампер

    I = V1/R

    I = 20/10

    I = 2 ампера .

  • 0 comments on “Методы узловых напряжений и контурных токов: Метод узловых напряжений в электротехнике (ТОЭ)

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *