Правило выделения полного квадрата: Метод выделения полного квадрата — урок. Алгебра, 7 класс.

Метод выделения полного квадрата | Разумный репетитор

Или квадрат с широкой костью, если угодно.

Начнем с определения. Что такое полный квадрат? Для начала придется вспомнить полезные, но всеми детьми ненавидимые формулы сокращенного умножения. А именно квадрат суммы и квадрат разности. Так вот, в этих формулах многочлен стоящий после равно и называется полным квадратом. Потому что он равен квадрату некого другого выражения. Всё логично.

А теперь разберемся, что значит выделять полный квадрат, а главное зачем.

Допустим у вас есть многочлен содержащий квадрат чего-то и произведение этого чего-то на что-то другое. Я понятно объясняю? Если нет, смотрите пример. Здесь у нас есть квадрат икса и еще один одночлен, содержащий икс в первой степени.

При наличии такого набора, мы можем выделить полный квадрат в этом выражении. Давайте сравним его с формулой. Так как перед произведением 8x стоит плюс, то выберем квадрат суммы.

Легко заменить, что в нашем выражении в качестве a выступает x. Значит 8x должно быть удвоенным произведение. Найдем b. Для этого представим 8x в виде произведения.

Не трудно заменить, что b = 4. Добавим немного математической магии. Для полного квадрата нам не хватает квадрата b. У нас b = 4, значит нам не хватает 16. Добавим. А чтобы выражение не изменилось вычтем 16.

Фактически ничего не изменилось. Только форма. И благодаря этому, мы можем записать первые три слагаемых как квадрат суммы.

Фокус удался. Но остается важный момент. Зачем? Знаете какие уравнения школьники любят больше всего? Квадратные. Потому что они супермегапросты. Две формулы. Подставить нужные числа и всё. Но мало кто из них догадывается, что решая любое квадратное уравнение, они фактически занимаются выделением полного квадрата.

Например, выражение в котором мы выделяли полный квадрат, можно приравнять к нулю и получить квадратное уравнение. Его можно решить не прибегая к формулам.

Но это еще не доказывает, что при решении любого квадратного уравнения используется выделение полного квадрата. Так что давайте посмотрим, как выводятся формулы.

Такое детям лучше не показывать. Оставить их в счастливом неведении относительно того, откуда берутся формулы, что они используют. С другой стороны, если кто-то из них задастся вопросом почему эти формулы работают, возрадуемся и расскажем в чем дело.

Опять получилось много букв, поэтому другие способы применения этого метода придется отложить до лучших времен.

Как выделить полный квадрат из трехчлена?

Если мы посмотрим на выражение 0,25x2 + 2xy + y2, то оно похоже на квадрат двучлена, если представить, что 0,25x2 = (0,5x)2, a 2xy = 0,5x * 2y * 2. Однако, если бы у нас был квадрат суммы (0,5x + 2y)2, то должен был бы получиться такой трехчлен:

0,25x2 + 2xy + 4y2.

Он отличается от того, что нам дан на 3y2 в большую сторону. Но мы можем создать такое тождество:

0,25x2 + 2xy + y2 = 0,25x2 + 2xy + 4y2 – 3y2

Чтобы не выполнять никакие сложения и вычитания, можно просто прибавить новый одночлен и потом его же вычесть:

0,25x2 + 2xy + y2 = (0,25x2 + 2xy + y2) + 4y2 – 4y2

Перегруппируем:

0,25x2 + 2xy + y2 = (0,25x2 + 2xy + 4y2

) + (y2 – 4y2) = (0,25x2 + 2xy + 4y2) – 3y2

Выражение 0,25x2 + 2xy + 4y2 можно представить как квадрат суммы:

0,25x2 + 2xy + y2 = (0,5x + 2y)2 – 3y2

Подобными преобразованиями мы выделили полный квадрат из трехчлена.

[Выражение (0,5x + 2y)2 – 3y2 — это разность квадратов, которая раскладывается на множители:

(0,5x + 2y)2 – 3y2 = (0,5x + 2y + sqrt(3)y)(0,5x + 2y – sqrt(3)y) = …]

Алгоритм выделения полного квадрата из трехчлена:

  1. Выразить один одночлен в виде квадрата.2=4{\small ;}\) \(\displaystyle x_1=10 {\small , }\) \(\displaystyle x_2=6{\small . } \)

     

    Разработка урока алгебры в 8А классе по теме «Решение квадратных уравнений. Метод выделения полного квадрата»

    Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение


    Магинская средняя общеобразовательная школа

    муниципального района Караидельский район Республики Башкортостан

    Разработка урока алгебры в 8А классе

    на тему

    «Решение квадратных уравнений. Метод выделения полного квадрата»

    разработала учитель математики

    Тагирова Ольга Николаевна

    Муниципальный этап Всероссийского конкурса

    «Учитель года 2020»

    Цель урока:познакомить учащихся с одним из способов решения полных квадратных уравнений «методом выделения полного квадрата двучлена»

    Задачи:

    образовательные: рассмотреть способ решения полных квадратных уравнений методом выделения полного квадрата двучлена; научиться использовать данный способ при решении полных квадратных уравнений;

    развивающие: развивать познавательные способности, мышление, наблюдательность,сообразительность и навыки самостоятельной деятельности; привитие интереса к математике;

    воспитательные: воспитывать познавательную активность, внимательность, аккуратность, учится преодолевать трудности, формировать у учащихся положительный мотив учения.

    Изучение темы направлено на получение следующих результатов:

    Предметные:

    умеют решать квадратные уравнения методом выделения полного квадрата двучлена; владеют формулами сокращенного умножения;

    Личностные:

    Умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли

    Метапредметные:

    Регулятивные

    умеют определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

    прогнозируют результат деятельности;

    контролируют свою деятельность и оценивают ее результаты.

    Познавательные

    умеют отличать новое от уже известного с помощью учителя;

    строят логическую цепь рассуждений;

    выбирают наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий.

    Коммуникативные

    умеют осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме;

    владеют монологической и диалогической формами речи;

    умеют работать в парах;

    формулируют и высказывают свою точку зрения, аргументируют ее.

    Тип урока:«открытие» новых знаний, первичного закрепления знаний и формирования умений и навыков

    Формы организации: групповая (работа в парах), индивидуальная, фронтальная.

    Методы здоровьесберегающих технологий: словесный, проблемный, практический, контроля и самоконтроля.

    Средства здоровьесберегающих технологий: проведение физкультминутки.

    Оборудование: мультимедийный проектор, карточки с заданиями, компьютер, доска, мел, учебник.

    План урока

    1.Организационный момент1 мин

    2.Актуализация знаний. Устная работа 5 мин

    3.Постановка проблемы 2 мин

    4.Мотивация учебной деятельности 4 мин

    5.Объяснение нового материала 7 мин

    6. Первичное закрепление 8 мин

    7. Работа в парах (решение более сложного уравнения) 3 мин

    8. Самостоятельная работа с взаимопроверкой 5 мин

    9. Дифференцированное домашнее задание (на карточках) 2 мин

    10.Рефлексия 3 мин

    Ход работы

    I.Организационный момент

    — Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь, пожалуйста!Как у вас настроение? Готовы поработать?

    II. Актуализация знаний. Устная работа

    — Прежде, чем приступить к изучению темы, давайте поработаем устно

    — Сформулируйте определение квадратного уравнения

    — Закончите выражения:

    ;

    Как называется правая часть равенства? (полный квадрат)

    — Назовите недостающий член так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена:

    а) б)

    — Какие из данных уравнений являются квадратными и почему?

    а) г) х2+6х+8=0

    б) х2+10х+21=0д) х2 – 4х+3=0

    в) е) х2=121

    – Перечислите виды квадратных уравнений, изображенных на экране. (Неполные квадратные уравнения и полные квадратные уравнения).

    – Какие из данных уравнений вы можете решить? Давайте их решим!

    III. Постановка проблемы.

    — Почему мы не можем решить остальные уравнения?

    — Что же вы будете делать, если вам все-таки предложат решить уравнения?

    — Какой выход вы предлагаете? ( Найти способ решения полных квадратных уравнений)

    — Какую цель мы перед собой поставим на этом уроке? (Попробовать найти способ решения квадратных уравнений)

    — Зачем мы с вами повторяли формулы сокращенного умножения?

    — Как назовем тему урока «Решение полных квадратных уравнений»

    IV. Мотивация учебной деятельности

    Для чего нужны уравнения?

    Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.

    А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?

    Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение – в основе всего этого лежат

    математические уравнения! Простые, сложные – всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)

    А где в жизни мы можем увидеть квадратные уравнения? (у себя дома)

    Эпиграфом нашего урока пусть станут слова современного польского математика Станислава Коваля: «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все

    математические сезамы»

    V.Объяснение нового материала

    а)х2+10х+21=0,

    представим левую часть уравнения в виде квадрата двучленах2+2*5х+5252+21=0,

    (х+5)2-4=0,

    (х+5)2=4,

    х+5=2 или х+5=-2,

    х=-3 или х=-7

    Ответ: -3; -7.

    (ученики с помощью учителя)

    б) х2+6х+8=0,

    х2+2*3х+3232+8=0,

    (х+3)2-1=0,

    х+3=1 или х+3=-1,

    х=-2 или х=-4

    Ответ: -2; -4.

    в) х2-4х+3=0,

    х2-2*2х+2222+3=0,

    (х-2)2-22+3=0,

    (х-2)2=1,

    х-2=1 или х-2=-1,

    х=-3 или х=1

    Ответ: х=-3, х=1.

    г)х2+4х+20=0,

    х2+2*2х+22-22+20=0,

    (х+2)2+16=0,

    (х+2)2=-1

    Ответ: корней нет.

    VI. Первичное закрепление. Фронтальная работа с классом. Решение упражнений

    Закрепление изученного материала (самостоятельно с последующей проверкой,два ученика у доски по желанию)

    №429 (4, 5, 6)

    4) Ответ: 2; 85) Ответ: 3+√6; 3-√66) Ответ: -4+√23;-4-√23

    VII. Физкультминутка

    VIII. Работа в парах

    Решить №430 (1) методом выделения полного квадрата

    1) Ответ: ;2) Ответ: ;

    IX. Самостоятельная работа

    Задания на карточках

    1 вариант 2 вариант

    • Представьте в виде квадрата двучлена:
    • Решите уравнение:
    • Решите уравнение:

    x2+4x+4= (x+2)2x2-6x+9= (x-3)2

    x2-9=0x2-64=0

    x2-8x+15=0(Ответ: 3; 5)x2-12x+20=0 Ответ: (2; 10)

    В ответ запишите наибольший корень В ответ запишите наименьший корень

    Выполнить взаимопроверку

    Дополнительно (если останется время): №431

    X. Информация о домашнем задании

    Дифференцированное домашнее задание: на карточках

    • Подведение итогов урока.2

      1.3. Выделение полного квадрата

      x называ-

      1.2.3. Использование тождеств сокращенного умножения

      Пример. Разложить на множители x4 16.

      x4 16 x2 2 42 x2 4 x2 4 x 2 x 2 x2 4 .

      1.2.4. Разложение многочлена на множители с помощью его корней

      Теорема. Пусть многочлен P x имеет корень x1. Тогда этот многочлен можно разложить на множители следующим образом: P x x x1 S x , где S x – некоторый многочлен , степень которого на единицу меньше

      степени многочлена P x .

       

      Пример. Разложить на множители многочлен P x x3 3×2

      10x 24 .

      Если многочлен имеет целые корни, то это делители числа

      24. Выпишем

      эти числа: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Будем подставлять

      выписанные

      значения поочередно в выражение для P x .Получим, что при x 2 вы-

      ражение обратится в 0, то есть P 2 0 , что значит x 2 – корень много-

      члена. Разделим многочлен P x на x 2 .

      _ x3 3×2 10x 24

      x 2

      x3 2×2

      24 10x

      x2 x 12

      _ x2

       

      x2

      2x

       

      _ 12x 2412x 24

      0

      Итак,

      P x x 2 x2 x 12 x 2 x2 3x 4x 12 x 2 x x 3 4 x 3

      x 2 x 3 x 4

      Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул: a2 2ab b2 a b 2 , a2 2ab b2 a b 2 .

      Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде a b 2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

      Квадратным трехчленом относительно переменной величины ется выражение вида

      11

      ax2 bx c, где a,b и c– заданные числа, причем a 0 .

       

       

      Преобразуем квадратный трехчлен ax2 bx c следующим образом.

      x 2 :

      Прежде

      вынесем

       

      за

      скобки

      коэффициент

      при

       

      2

       

       

      2

       

      b

       

      c

       

       

       

       

      ax

       

      bx c a x

       

       

       

      x

       

      .

       

       

       

       

       

       

      a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      a

       

       

       

       

      Затем выражение b x представим в виде 2 b x (удвоенное произведение

       

      b

       

       

      2

       

      b

       

      c

       

      2

       

      b

       

      c

      числа

       

      на число

      x): a x

       

       

       

      x

       

       

      a x

       

      2

       

      x

       

      .

      2a

       

      a

       

       

      2a

       

       

       

       

       

       

       

      a

       

       

       

       

      a

      К выражению, стоящему в скобках прибавим и вычтем из него число

      являющееся квадратом числа

       

       

      b

      . В результате получим:

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      c

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2

      2

       

       

       

       

      b

       

       

       

       

      b2

       

       

       

      b2

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ax

       

      bx c a x

       

      2

       

       

       

      x

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2a

       

       

       

      4a

       

       

       

       

       

       

      4a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      a

       

       

      2

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

      b

       

       

       

       

       

       

       

       

      b2

       

       

       

       

       

       

       

       

      b

       

       

       

       

       

       

       

       

      Замечая теперь, что

       

      x

       

      2

       

       

      x

       

       

       

       

       

       

      x

       

       

       

       

       

      , получим

       

       

       

       

       

      4a2

       

       

      2a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

       

      b 2

       

      b2

       

       

       

       

       

       

      c

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      b

       

      2

       

      b2

      4ac

       

       

      ax

       

      bx c a

      x

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      a x

       

       

       

       

       

       

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2a

       

      4a

       

       

       

       

       

      a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2a

       

       

      4a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      Пример. Выделить полный квадрат.

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2 x 1 2

       

      2×2 4x 5 2 x2 2x 5

      2 x2 2x 1 1 5

       

      7

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

      2 x 1 2 7.

      1.4. Многочлены от нескольких переменных

      Многочлены от нескольких переменных, как и многочлены от одной переменной можно складывать, умножать и возводить в натуральную степень.

      Важным тождественным преобразованием многочлена от нескольких переменных является разложение на множители. Здесь применяются такие приемы разложения на множители, как вынесение общего множителя за скобку, группировка, использование тождеств сокращенного умножения, выделение полного квадрата, введение вспомогательных переменных.

      Примеры:

      1. Разложить на множители многочлен P x, y 2×5 128×2 y3 .

      12

      2×5 128×2 y3 2×2 x3 64y3 2×2 x 4y x2 4xy 16y2 .

      2. Разложить на множители P x, y, z 20×2 3yz 15xy 4xz . Применим способ группировки

      20×2 3yz 15xy 4xz 20×2 15xy 4xz 3yz 5x 4x 3y z 4x 3y

      4x 3y 5x z .

      3. Разложить на множители P x, y x4 4y4 . Выделим полный квадрат:

      x4 y4 x4 4×2 y2 4y2 4×2 y2 x2 2y2 2 4x2y2

      x2 2y2 2xy x2 2y2 2xy .

      1.5. Свойства степени с любым рациональным показателем

      Степень с любым рациональным показателем обладает свойствами:

      1. ar1 ar2 ar1 r2 ,

      2.

      ar1 ar2 ar1 r2 ,

      3. ar1 r2 ar1r2 ,

      4. ab r1 ar1br1 ,

       

      a r1

       

      ar1

      5.

       

       

       

       

       

      ,

       

       

       

      b

       

      br1

      где a 0;b 0; r1; r2 – произвольные рациональные числа.

      Примеры:

      1. Выполнить умножение 8

      x3 12 x7 .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      3 7

       

       

       

       

       

      3

       

      7

       

       

       

      23

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      24 x23 .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      8 x3 12 x7 x8 x12 x8 12 x24

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2. Разложить на множители

       

      6

      a2 x3

      4

       

      a3x

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      6

       

       

       

      4

       

       

       

       

       

       

       

       

      2

       

      3

       

       

       

      3

       

      1

       

       

       

      1

       

       

      1

       

       

       

      3

       

       

      1

       

       

      1

       

      1

       

      1

       

      5

       

       

      2 3

      3

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      6

       

      6

       

       

       

      4

       

      4

       

       

       

      3

       

       

      2

       

       

       

      4

       

       

      4

       

       

      3

       

       

      4

       

      12

       

       

      a x

       

      a x a

       

       

      x

       

       

      a

       

      x

       

       

      a

       

       

      x

       

      a

       

      x

       

      a

       

      x

       

      x

       

      a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      4

       

       

       

       

       

       

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      3

       

       

      4

       

       

       

      12

      a5

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      a

      x

      x

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      1.6.Упражнения для самостоятельного выполнения

      1.Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения. 1) a 5 2 ;

      2)3a 7 2 ;

      3)an bn 2.

      4)1 x 3;

      13

      5)

      3 y 3 ;

       

       

       

       

      1

       

      3

      6)

       

      3a

       

      b .

       

      7)8 a2 8 a2 ;

      8)anbk ak bn anbk ak bn .

      9)a 2b a2 2ab 4b2 ;

      10)a 3 a2 3a 9 ;

      11)a2 b2 a4 a2b2 b4 .3

      2. Вычислить, используя тождества сокращенного умножения:

      1)532 432 ;

      2)22,42 22,32 ;

       

       

       

      1

       

      2

       

       

      1

      2

      3)

       

      6

       

       

       

       

      5

       

       

       

      ;

      3

      3

       

       

       

       

       

       

       

       

      4)30 2 2 ;

      5)512 ;

      6)992 ;

      7)172 2 17 23 232 ;

      8)852 2 85 15 152 .

      3. Доказать тождества:

      1). x2 1 3 3 x2 x 1 2 6x x 1 11 x3 3 2 2;

      2)a2 b2 2 2ab 2 a2 b2 2 ;

      3)a2 b2 x2 y2 ax by 2 bx ay 2 .

      4. Разложить на множители следующие многочлены:

      1)3x a 2 a 2;

      2)ac 7bc 3a 21b ;

      3)63m4n3 27m3n4 45m5n7 ;

      4)5b2c3 2bc2k 2k 2 ;

      5)2×3 y2 3yz2 2×2 yz 3z3;

      6)24ax 38bx 12a 19b ;

      7)25a2 1 b2q2;

      4

      8)9 5a 4b 2 64a2 ;

      9)121n2 3n 2t 2 ;

      10)4t2 20tn 25n2 36;

      14

      11)p4 6 p2k 9k 2 ;

      12)16 p3q8 72 p4q7 81p5q6 ;

      13)6×3 36×2 72x 48;

      14)15ax3 45ax2 45ax 15a;

      15)9 a3n 1 4,5 a2n 1;

      16)5 p2nqn 15 p5nq2n ;

      17)4a7b2 32a4b5 ;

      18)7×2 4y2 2 3×2 8y2 2 ;

      19)1000t3 27t6 .

      5. Вычислить наиболее простым способом:

      1)593 413 ;

      18

      2)673 523 67 52. 119

      6.Найти частное и остаток от деления многочлена P x на многочлен Q x : 1) P x 2×4 x3 5; Q x x3 9x ;

      2) P x 2x 2; Q x x3 2×2 x ; 3) P x x6 1; Q x x4 4×2 .

      7.Доказать, что многочлен x2 2x 2 не имеет действительных корней.

      8.Найти корни многочлена:

      1)x3 4x ;

      2)x3 3×2 5x 15.

      9. Разложить на множители:

      1)6a2 a 5 5 a 3 ;

      2)x2 x 3 2x 3 2 4×3 3 x 2;

      3)x3 6×2 11x 6.

      10. Решить уравнения, выделяя полный квадрат:

      1)x2 2x 3 0;

      2)x2 13x 30 0 .

      11. Найти значения выражений:

       

      4 3 8 5

       

      1)

       

      ;

       

      16 6

       

      2)

      2 520 9 519

      ;

      259

       

       

      15

      1254

      3) 53 25 7 ;

      1

      4) 0,01 2 ;

      5

      5) 06 .

      12. Вычислить:

       

       

       

      0,5

      1

       

      0,25

       

      1

       

       

       

       

       

      0

      1)

      6,25

       

       

       

       

       

      4

      0,343

      ;

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      16

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      1

       

       

       

       

       

       

       

       

      1

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      2)

      16 0,25

      2

       

       

      2 3

      16 0,25

       

      2

      2 3

      ;

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      0,75

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      3 4

       

       

       

       

       

       

       

      0,5

       

      0

       

       

      4

       

       

       

      3)

       

       

       

       

       

       

       

      0,09

       

      3

      0,1

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      5

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      13. Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней:

      1) 2a 2b ;

      2)

       

       

      2a2

       

      ;

       

       

       

       

      b 1x 3

       

       

       

       

       

      a

      1

      3

       

       

       

       

      4

       

       

       

       

       

       

      3)

       

      b

       

      ;

       

       

       

       

       

       

      2

       

       

       

       

       

      cd

      3

       

       

       

       

       

      1

       

      a2bc

      1

       

      3

       

      4)

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      .

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      d

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      14. Упростить выражения: 1) 4 m7n 3×2 13 m 3n 2 x3;

       

      7

      2

       

       

       

      7

      4

      3 1

       

       

       

       

       

       

       

       

      2)

      0,2a

      5

      b

      8

      0,1a

      5

      b

      8

      ;

       

       

      a

      2

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      3)

      3

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      ;

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      b2

       

       

       

       

       

      0,2

       

       

       

       

       

      3

       

       

      4)

      32x 4

       

       

      ;

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      a3 y5

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      16

      5 способов разложения многочлена на множители

      3.{2}}\)­­

      Ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на \( \displaystyle  3\) что-то делится и на \( \displaystyle  5\), а что-то на \( \displaystyle  x\) и на \( \displaystyle  y\)

      Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

      Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

      Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

      Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

      Не очень понятно все это? Объясню на примере:

      В многочлене \( \displaystyle  {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}\)­­ ставим член – \( \displaystyle  3xy\) после члена – \( \displaystyle  5x2y\) получаем:

      \( \displaystyle  {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}\)

      Группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

      \( \displaystyle  ({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})\)

      А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.{2}}-3y)(x-5y)\).

      Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

      Завершение квадрата

      Завершение квадрата — это метод, используемый для решения Квадратное уравнение изменив форму уравнения так, чтобы левая часть была идеальный квадрат трехчлен .

      Решать а Икс 2 + б Икс + с знак равно 0 заполнив квадрат:

      1. Преобразуйте уравнение так, чтобы постоянный член с , находится один на правой стороне.
            2.  Если а , старший коэффициент (коэффициент Икс 2 срок), не равно 1 , разделите обе части на а .

      3. Добавьте квадрат половины коэффициента Икс -срок, ( б 2 а ) 2 к обеим частям уравнения.

      4. Разложите левую часть на множители как квадрат двучлена.

      5. Возьмите квадратный корень обеих сторон. (Помните: ( Икс + д ) 2 знак равно р эквивалентно Икс + д знак равно ± р .)

      6. Решите для Икс .

      Пример 1:

      Решать Икс 2 − 6 Икс − 3 знак равно 0 заполнив квадрат.

      Икс 2 − 6 Икс знак равно 3 Икс 2 − 6 Икс + ( − 3 ) 2 знак равно 3 + 9 ( Икс − 3 ) 2 знак равно 12 Икс − 3 знак равно ± 12 знак равно ± 2 3 Икс знак равно 3 ± 2 3

      Пример 2:

      Решать: 7 Икс 2 − 8 Икс + 3 знак равно 0

      7 Икс 2 − 8 Икс знак равно − 3 Икс 2 − 8 7 Икс знак равно − 3 7 Икс 2 − 8 7 Икс + ( − 4 7 ) 2 знак равно − 3 7 + 16 49 ( Икс − 4 7 ) 2 знак равно − 5 49 Икс − 4 7 знак равно ± 5 7 я Икс знак равно 4 7 ± 5 7 я ( Икс − 3 ) 2 знак равно 12 Икс − 3 знак равно ± 12 знак равно ± 2 3 Икс знак равно 3 ± 2 3

      Завершение квадрата

      » Завершение Квадрата » вот где мы …

      … возьмем квадратное уравнение
      следующим образом:
      и превратите его
      в это:
      ах 2 + Ьх + с = 0 а(х+ d ) 2 + е = 0

      Для тех из вас, кто торопится, могу сказать, что: d = b 2a

      и:e = c − b 2 4a


      Но если у вас есть время, позвольте мне показать вам, как « Заполнить Квадрат » самостоятельно.

      Завершение квадрата

      Скажем, у нас есть простое выражение вида x 2 + bx. Наличие x дважды в одном и том же выражении может усложнить жизнь. Что мы можем сделать?

      Что ж, немного вдохновившись геометрией, мы можем преобразовать его вот так:

      Как видите x 2 + bx можно переставить почти в квадрат…

      … и мы можем дополнить квадрат с помощью (b/2) 2

      В алгебре это выглядит так:

      x 2 + шт. + (б/2) 2 = (х+b/2) 2
        «Завершить квадрат
      »
         

      Таким образом, сложив (b/2) 2 , мы можем завершить квадрат.

      Результат (x+b/2) 2 имеет x только один раз , что проще в использовании.

      Сохранение равновесия

      Теперь… мы не можем просто прибавить (b/2) 2 без вычитания ! В противном случае меняется все значение.

      Итак, давайте посмотрим, как это сделать правильно на примере:

      Начните с:  
        («b» в данном случае равно 6)
         
      Заполните квадрат:

       

      Также вычесть новый термин

      Упростите это, и все готово.

       

      Результат:

      x 2 + 6x + 7   =   (x+3) 2 − 2

      И теперь x появляется только один раз, и наша работа выполнена!

      Быстрый подход

      Вот быстрый способ получить ответ. Вам может понравиться этот метод.

      Сначала подумайте о желаемом результате: (x+d) 2 + e

      После расширения (x+d) 2 получаем: x 2 + 2dx + d 2 + e

      Теперь посмотрим, сможем ли мы превратить наш пример в эту форму, чтобы обнаружить d и e

      Пример: попытаться вписать x

      2 + 6x + 7 в x 2 + 2dx + d 2 + e

      Теперь мы можем «форсировать» ответ:

      • Мы знаем, что 6x должно получиться как 2dx, поэтому d должно быть 3
      • Затем мы видим, что 7 должно стать d 2 + e = 9 + e, поэтому e должно быть −2
      • .

      И мы получаем тот же результат (x+3) 2 − 2, что и выше!

       

      Теперь давайте рассмотрим полезное приложение: решение квадратных уравнений…

      Решение общих квадратных уравнений путем заполнения квадрата

      Мы можем дополнить квадрат до решить квадратное уравнение (найти где оно равно нулю).

      Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент а перед х 2 :

      топор 2 + Ьх + с = 0

      Но с этим легко справиться… просто сначала разделите все уравнение на «а», а затем продолжайте:

      х 2 + (б/а)х + с/а = 0

      шагов

      Теперь мы можем решить квадратное уравнение за 5 шагов:

      • Шаг 1 Разделите все члены на a (коэффициент x 2 ).
      • Шаг 2 Переместите числовое выражение ( c/a ) в правую часть уравнения.
      • Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же значение в правую часть уравнения.

      Теперь у нас есть что-то похожее на (x + p) 2 = q, которое можно довольно легко решить:

      • Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.
      • Шаг 5 Вычтите число, оставшееся в левой части уравнения, чтобы найти x .

      Примеры

      Хорошо, несколько примеров помогут!

      Пример 1: решить x

      2 + 4x + 1 = 0

      Шаг 1 можно пропустить в этом примере, так как коэффициент x 2 равен 1

      Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

      х 2 + 4х = -1

      Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же число в правую часть уравнения.

      (б/2) 2 = (4/2) 2 = 2 2 = 4

      х 2 + 4х + 4 = -1 + 4

      (х + 2) 2 = 3

      Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

      x + 2 = ±√3 = ±1,73 (до 2 знаков после запятой)

      Шаг 5 Вычесть 2 с обеих сторон:

      х = ±1,73 – 2 = -3.73 или -0,27

      А вот еще интересная и полезная штука.

      В конце шага 3 у нас было уравнение:

      (х + 2) 2 = 3

      Это дает нам вершину (точка поворота) x 2 + 4x + 1: (-2, -3)

       

       

      Пример 2: решить 5x

      2 – 4x – 2 = 0

      Шаг 1 Разделить все члены на 5

      х 2 – 0.8х – 0,4 = 0

      Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

      х 2 – 0,8х = 0,4

      Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же число в правую часть уравнения:

      (б/2) 2 = (0,8/2) 2 = 0,4 2 = 0,16

      х 2 – 0.8x + 0,16 = 0,4 + 0,16

      (х – 0,4) 2 = 0,56

      Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

      x – 0,4 = ±√0,56 = ±0,748 (до 3 десятичных знаков)

      Шаг 5 Вычесть (-0,4) с обеих сторон (другими словами, добавить 0,4):

      х = ±0,748 + 0,4 = -0,348 или 1,148

      Почему «Завершить квадрат»?

      Зачем заполнять квадрат, если мы можем просто использовать квадратную формулу, чтобы решить квадратное уравнение?

      Ну, одна причина указана выше, где новая форма не только показывает нам вершину, но и упрощает решение.

      Бывают также случаи, когда форма ax 2 + bx + c может быть частью большего вопроса и переставить его как a(x+ d ) 2 + e 9 проще, потому что x появляется только один раз.

      Например, «x» может быть функцией (например, cos(z) ), и ее изменение может открыть путь к лучшему решению.

      Также завершение квадрата является первым шагом в выводе квадратичной формулы

      Думайте об этом как о еще одном инструменте в вашем наборе математических инструментов.

       

      364, 1205, 365, 2331, 2332, 3213, 3896, 3211, 3212, 1206

       

      Сноска: значения «d» и «e»

      Как получить значения d и e из верхней части страницы?


      И вы заметите, что у нас есть:

      а(х+d) 2 + е = 0

      Где: д = б

      и: е = с — б 2

      Прямо как вверху страницы!

       

      4.6: Правила выбора для частиц в коробке

      В этом разделе рассматривается использование симметрии для определения правил выбора. Здесь мы получаем аналитическое выражение для интеграла дипольного момента перехода для модели «частица в ящике». Тот факт, что величина этого интеграла увеличивается с увеличением длины ящика, объясняет, почему коэффициенты поглощения более длинных молекул цианинового красителя больше. Мы используем интеграл моментов перехода и тригонометрические формы волновых функций частиц в ящике, чтобы получить уравнение \(\ref{4-27}\) для электрона, совершающего переход с орбитальной \(i\) на орбитальную \ (ф\).L x \sin \left (\dfrac {f \pi x}{L} \right ) \sin \left ( \dfrac {i \pi x }{L} \right ) dx \label {4-27} \end {выравнивание}\]

      Упражнение \(\PageIndex{1}\)

      Почему в уравнении \(\ref{4-27}\) есть множитель \(2/L\)? С какими единицами связаны дипольный момент и дипольный момент перехода?

      Упростите интеграл в уравнении \(\ref{4-27}\), заменив тригонометрическое тождество произведения на сумму

      \[\sin \psi \sin \theta = \dfrac {1}{2} \left[ \cos (\psi — \theta ) — \cos (\psi + \theta) \right] \label {4- 28}\]

      , а также переопределить условия суммы и разности:

      \[ \Дельта n = f — i \номер\]

      и

      \[n_T = f + i \номер\]

      Итак, уравнение \(\ref{4-27}\)

      \[ \begin{align} \mu _T &= \dfrac {-e}{L} \int \limits _0^L x \left[ \cos \left (\dfrac {\Delta n \pi x}{L } \right ) — \cos \left (\dfrac {n_T \pi x}{L} \right ) \right ] dx \\[4pt] &= \dfrac {-e}{L} \left[ \int \ пределы _0^L x \cos\left (\dfrac {\Delta n \pi x}{L} \right ) dx — \int \limits _0^L x \cos \left (\dfrac { n_T \pi x}{ L} \right ) dx \right ] \label{шаг 3} \end{align}\]

      Эти два определенных интеграла могут быть непосредственно вычислены с помощью этого соотношения

      \[ \int \limits _0^L x \cos (ax) dx = \left[ \dfrac {1}{a^2} \cos (ax) + \dfrac {x}{a} \sin (ax) \право]^L_0 \метка {4-29}\]

      , где \(a\) — любая ненулевая константа.2_T} (\cos (n_T \pi) — 1) + \dfrac {1}{\Delta n} \sin (\Delta n \pi ) — \dfrac {1}{n_T} \sin (n_T \pi) \ справа] \метка {4-31}\]

      Упражнение \(\PageIndex{2}\)

      Покажите, что если \(Δn\) является четным целым числом, то \(n_T\) должно быть четным целым числом и \(µ_T = 0\).

      Упражнение \(\PageIndex{3}\)

      Покажите, что если \(i\) и \(f\) оба четные или оба нечетные целые числа, то \(Δn\) является четным целым числом и \(µ_T = 0\).

      Упражнение \(\PageIndex{4}\)

      Покажите, что если \(Δn\) является нечетным целым числом, то \(n_T\) должно быть нечетным целым числом, а \(µ_T\) определяется уравнением \(\ref{4-32}\).2} \справа) \метка {4-32}\]

      Упражнение \(\PageIndex{5}\)

      Покажите, что два выражения для момента перехода в уравнении \(\ref{4-32}\) фактически эквивалентны.

      Пример \(\PageIndex{1}\)

      Каково значение интеграла момента перехода для переходов 1→3 и 2→4?

      Раствор

      Для этих двух переходов либо n, либо f оба нечетные, либо оба четные целые числа. В любом случае \(Δn\) и \(n_T\) — четные целые числа.Косинус четного целого числа, кратного \(π\), равен +1, поэтому члены косинуса в уравнении \(\ref{4-31}\) становятся (1-1) = 0. Члены синуса равны нулю, потому что синус четного целого числа, кратного \(π\), равно нулю. Поэтому \(µ_T = 0\) для этих переходов и они запрещены. Те же рассуждения применимы к любым переходам, у которых i и f являются четными или нечетными целыми числами.

      

      Упражнение \(\PageIndex{1}\)

      Каково значение момента перехода при переходе от n = 8 к f = 10?

      Пример \(\PageIndex{2}\)

      Каково значение интеграла момента перехода для переходов 1→2 и 2→3?

      Раствор

      Для этих двух переходов Δn = 1 и nT = 3 и 5 соответственно, все нечетные целые числа.Косинус нечетного целого числа, кратного π, равен -1, поэтому члены косинуса в уравнении \(\ref{4-31}\) становятся (-1-1) = -2. Члены синуса в уравнении \ref{4-31} равны нулю, потому что синус нечетного целого числа, кратного π, равен нулю. Следовательно, \(µ_T\) имеет некоторое конечное значение, определяемое уравнением \ref{4-32}. Те же рассуждения используются для оценки интеграла момента перехода для любых переходов, которые имеют Δn и nT как нечетные целые числа, например. 2→7 и 3→8. В этих случаях Δn = 5 и nT = 9 и 11 соответственно. Снова интеграл момента перехода для каждого из этих переходов конечен.

      Упражнение \(\PageIndex{2}\)

      Объясните, почему один из следующих переходов происходит при возбуждении светом, а другой нет: \(i = 1\) в \(f = 7\) и \(i = 3\) в \(f = 6\) .

      Из примеров \(\PageIndex{1}\) и \(\PageIndex{2}\) мы можем сформулировать правила отбора для модели «частица в ящике»: Переходы запрещены, если \(Δn = f — i\) — четное целое число. Переходы разрешены, если \(Δn = f — i \) является нечетным целым числом. В следующем разделе мы увидим, что эти правила отбора можно понять с точки зрения симметрии волновых функций.

      Оценивая интеграл моментов перехода, мы можем понять, почему спектры цианиновых красителей очень просты. Спектр каждого красителя состоит только из одного пика, потому что другие переходы имеют гораздо меньшие дипольные моменты перехода. Мы также видим, что более длинные молекулы имеют большие коэффициенты поглощения, потому что дипольный момент перехода увеличивается с увеличением длины молекулы.

      Упражнение \(\PageIndex{6}\)

      Переход с наименьшей энергией происходит от ВЗМО к НСМО, которые были определены ранее.Вычислите значение интеграла момента перехода для перехода от ВЗМО к НСМО \(E_3→E_4\) для цианинового красителя с 3 атомами углерода в сопряженной цепи. Каков следующий переход с наименьшей энергией для частицы в ящике? Вычислите значение интеграла момента перехода для следующего перехода с наименьшей энергией, разрешенного для этого красителя. Каковы квантовые числа уровней энергии, связанных с этим переходом? Насколько вероятность этого перехода соотносится по величине с вероятностью 3→4?

      Авторы и авторство

      Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

      Пурпурная математика

      Квадратное уравнение в последнем примере на предыдущей странице было:

      Выражение в левой части этого уравнения можно умножить и упростить до:

      Но мы все равно не смогли бы решить уравнение, даже с таким форматом квадратного уравнения, потому что оно не учитывается и не готово для извлечения квадратного корня.

      MathHelp.com

      Единственная причина, по которой мы смогли решить это на предыдущей странице, заключалась в том, что они уже поместили все элементы размером x в квадрат, поэтому мы могли переместить строго числовую часть уравнения на другую сторону «равно». знак, а затем квадратный корень с обеих сторон.Они не всегда будут форматировать вещи так красиво, как это. Итак, как нам перейти от обычного квадратного уравнения, такого как приведенное выше, к уравнению, которое готово для извлечения квадратного корня?

      Нам нужно будет «завершить квадрат».


      Вот как бы мы решили последнее уравнение на предыдущей странице, если бы они не отформатировали его для нас.

      • Используйте заполнение квадрата, чтобы решить
        x 2  – 4 x  – 8 = 0.

      Как отмечалось выше, это квадратичное число не учитывается, поэтому я не могу решить уравнение с помощью факторизации. И они не дали мне уравнение в форме, готовой для извлечения квадратного корня. Но у меня есть способ манипулировать квадратным числом, чтобы привести его в форму, готовую для извлечения квадратного корня, чтобы я мог решить.

      Во-первых, я помещаю свободное число в другую часть уравнения:

      .

      х 2 – 4 х – 8 = 0

      х 2 – 4 х = 8

      Затем я смотрю на коэффициент члена x , который в данном случае равен –4.Я беру половину этого числа (, включая знак ), что дает мне -2. (Мне нужно следить за этим значением. Это упростит мою работу в дальнейшем.)

      Затем я возвожу это значение в квадрат, чтобы получить +4, и добавляю это значение в квадрате к обеим частям уравнения:

      x 2 – 4 x + 4 = 8 + 4

      х 2 – 4 х + 4 = 12

      Этот процесс создает квадратное выражение, которое представляет собой полный квадрат в левой части уравнения.Я могу разложить на множители или просто заменить квадратное на квадратно-биномиальную форму, которая представляет собой переменную x вместе с половинным числом, которое я получил раньше (и заметил, что мне понадобится позже), которое было –2. В любом случае, я получаю уравнение с квадратным корнем:

      .

      (я знаю, что в скобках стоит «–2», потому что половина от –4 равна –2. Отмечая знак, когда я нахожу половину коэффициента, я помогаю себе не перепутать знак позже, когда Я конвертирую в квадратно-биномиальную форму.)

      (Кстати, этот процесс называется «завершением квадрата», потому что мы добавляем термин для преобразования квадратного выражения в нечто, которое действует как квадрат двучлена; то есть мы «завершали» выражение для создания идеально квадратный бином.)

      Теперь я могу извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, упростить и решить:

      ( х – 2) 2 = 12

      Используя этот метод, я получаю тот же ответ, что и раньше; а именно:


      • Решите 2
        x 2 – 5 x + 1 = 0, заполнив квадрат.

      Есть один дополнительный шаг для решения этого уравнения, потому что старший коэффициент не равен 1; Сначала мне нужно разделить, чтобы преобразовать старший коэффициент в 1. Вот мой процесс:

      2 х 2 – 5 х + 1 = 0

      х 2 – (5/2) х + 1/2 = 0

      х 2 – (5/2) х = –(1/2)

      Теперь, когда у меня есть все термы с переменными с одной стороны и строго числовой терм с другой, я готов заполнить квадрат с левой стороны.Во-первых, я беру коэффициент линейного члена (вместе со знаком), –(5/2), умножаю на половину и возвожу в квадрат:

      (1/2) × [–(5/2)] = –(5/4)

      (–(5/4)) 2 = 25/16

      Затем я добавляю это новое значение к обеим сторонам, преобразую в квадратично-биномиальную форму слева и решаю:

      х 2 – (5/2) х + 25/16 = –(1/2) + 25/16

      ( х – 5/4) 2 = 17/16

      sqrt[( x – 5/4) 2 ] = ± sqrt[17/16]

      x – 5/4 = ± sqrt[17]/4

      x = 5/4 ± sqrt[17]/4

      Два слагаемых в правой части последней строки выше могут быть объединены под общим знаменателем, и часто («обычно»?) так будет написан ответ, особенно если в инструкции к упражнению есть условие чтобы «упростить» окончательный ответ:


      В другом месте у меня есть урок по решению квадратных уравнений путем заполнения квадрата.Этот урок (повторно) объясняет шаги и дает (больше) примеров этого процесса. Он также показывает, как квадратичная формула может быть получена из этого процесса. Если вам нужны дополнительные инструкции или практика по этой теме, пожалуйста, прочитайте урок по гиперссылке выше.

      Кстати, если вам не сказали, что у вас есть для заполнения квадрата, вы, вероятно, никогда не будете использовать этот метод на практике при решении квадратных уравнений. Либо какой-то другой метод (например, факторинг) будет более очевидным и быстрым, либо формула квадратов (рассмотренная далее) будет проще в использовании.Однако, если в вашем классе рассматривалось заполнение квадрата, вы должны ожидать, что вам потребуется показать, что вы можете заполнить квадрат, чтобы решить квадратное уравнение на следующем тесте.


      Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений, заполнив квадрат. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить, заполнив квадрат», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

      (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



      URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad3.htm

      Электрические диполи аппроксимации и правила выбора

      Электрические диполи аппроксимации и правила выбора


      Правила приближения и выбора электрического диполя Теперь мы можем расширить термин, позволяющий нам легче вычислять матричные элементы.С а матричный элемент возведен в квадрат, наше расширение будет в силах что является небольшим числом. Преобладающими будут распады нулевого порядка, т.е.

      Это называется приближением электрического диполя .

      В этом приближении электрического диполя мы можем добиться общего прогресса в вычислении матричного элемента. Если гамильтониан имеет вид и , тогда


      и мы можем написать с точки зрения коммутатора.

      Это уравнение указывает на происхождение названия Электрический диполь: матричный элемент имеет вектор который является диполем.

      Мы можем продолжить работу с угловой частью интеграла (матричный элемент).



      На этом этапе давайте соберем все члены в формуле вместе, чтобы мы знали, что делаем.



      Это полезная версия формулы общей скорости распада , которую нужно запомнить.
      Приступим к расчету, чтобы найти правила выбора E1.

      Мы постараемся четко разделить термины из-за ради модульности расчета.

      Интеграл с тремя сферическими гармониками в каждом члене выглядит немного сложно, но, мы можем использовать ряд Клебша-Гордана , подобный тому, что в дополнение к угловому моменту , чтобы помочь нам решить проблему. Запишем произведение двух сферических гармоник через сумму сферических гармоник. Это очень похоже на сложение углового момента от двух с. Это тот же ряд, что и у нас для сложения углового момента (с точностью до постоянной) . (Обратите внимание, что все будет очень просто, если либо начальное, либо конечное состояние , случай, который мы разберем ниже для переходов в s состояний.) Общая формула перезаписи произведения двух сферических гармоник (которые являются функциями одних и тех же координат) имеет вид


      Квадратный корень и можно рассматривать как нормировочную константу в в остальном нормальный ряд Клебша-Гордана.(Обратите внимание, что нормальное сложение орбитальных угловых моментов двух частиц будет иметь состояния произведения двух сферических гармоник в различных координатах , координатах частицы один и частицы два.) (Вывод приведенного выше уравнения требует довольно подробного изучения свойств матриц вращения и увело бы нас довольно далеко от текущей колеи (см. Мерцбахера, стр. 396).)

      Сначала добавьте угловой момент из начального состояния и фотон используя ряд Клебша-Гордана, с обычными обозначениями для коэффициентов Клебша-Гордана .





      Напоминаю, что коэффициенты Клебша-Гордана в этих уравнениях — это просто числа, меньшие единицы. Часто можно показать, что они равны нулю, если угловой момент не складывается. Уравнение, которое мы выводим, может быть использовано для получения большого количества информации.



      Мы знаем из добавления углового момента, что добавление углового момента 1 к может давать ответы только в пределах поэтому изменение в между начальным и конечным состоянием может быть только .Для других значений все приведенные выше коэффициенты Клебша-Гордана будут равны нулю.

      Мы также знаем, что нечетны по четности, поэтому две другие сферические гармоники должны иметь четность, противоположную друг друга, подразумевая, что , следовательно


      Мы также знаем из сложения углового момента, что компоненты z просто складываются как целые числа, поэтому три Коэффициенты Клебша-Гордана позволяют


      Нетрудно также заметить, что здесь нет операторов, меняющих спин.Так что конечно


      На самом деле мы еще не включили взаимодействие между спином и полем в наши расчеты, но, это небольшой эффект по сравнению с термином электрического диполя.

      Приведенные выше правила выбора применяются только для приближения электрического диполя (E1). Члены более высокого порядка в расширении, такие как электрический квадруполь (E2) или магнитный диполь (M1), допускают другие распады, но скорость снижается в несколько раз. или больше. Существует одно абсолютное правило отбора, вытекающее из сохранения углового момента, поскольку фотон имеет спин 1. Нет переходам в любом порядке аппроксимации.

      Подводя итог нашим расчетам в приближении электрического диполя, Напишем формулу скорости распада.

      Джим Брэнсон 2013-04-22

      D.39 Правила выбора

      D.39 Правила выбора
      Квантовая механика для инженеров   © Леон ван Доммелен 



      Д.39 Правил отбора

      В этой заметке выводятся правила отбора для электрических дипольных переходов. между двумя состояниями водорода и . Также выведены некоторые правила выбора запрещенных переходов. То выводы для запрещенных переходов используют некоторые более продвинутые результаты из последующих глав. Можно отметить, что в любом случае Гамильтониан предполагает, что скорость электронов мала по сравнению со скоростью света.

      Согласно главе 4.3, состояния водорода принимают вид и . Здесь 1 , 0 и целые квантовые числа. Финал представляет состояние спина электрона, вверх или вниз.

      Как отмечено в тексте, разрешенные электродипольные переходы должны отвечать хотя бы одной составляющей постоянного окружающего электрического поля. Тот означает, что они должны иметь ненулевое значение по крайней мере для одного электрического дипольный момент,


      где может быть один из , или для трех разных компонентов электрическое поле.

      Трюк в определении того, когда эти внутренние продукты равны нулю, основан на при взятии внутренних произведений с удачно подобранными коммутаторами. Поскольку состояния водорода являются собственными функциями , следующие коммутатор полезен


      Для члена в правой части оператор действует и производит фактор , в то время как на срок, можно взять на другую сторону внутренний продукт, а затем действует на , производя фактор .Так:
      (Д.24)

      Конечным внутренним продуктом является интересующий нас дипольный момент. Следовательно, если можно найти подходящее выражение для коммутатора в левой части быть найден, он зафиксирует дипольный момент.

      В частности, в соответствии с главой 4.5.4 нуль. Это означает, согласно приведенному выше уравнению (D.24), что дипольный момент в правая часть тоже должна быть равна нулю, если только .Итак, первый вывод состоит в том, что -компонента электрического поля ничего не делает, если только . Один вниз, два идти.

      Для компонентов и из главы 4.5.4


      Подстановка этого в (D.24) дает

      Из этих уравнений видно, что дипольный момент равен нулю, если один есть, и наоборот. Далее подключаем диполь момент из первого уравнения во второе дает

      и если дипольный момент отличен от нуля, это требует, чтобы один, так что .Отсюда следует, что дипольные переходы возможны только произойти, если через компонент электрического поля, а если , то через компоненты и .

      Чтобы вывести правила отбора, включающие азимутальные квантовые числа и очевидным подходом было бы попробуй коммутатор т.к. выдает . Однако, согласно главе 4.5.4, (4.68), этот коммутатор принесет в операторе, который не может быть обработан. То коммутатор, который работает, является вторым из (4.73):


      где по определению коммутатора

      Оценка согласно каждому из двух приведенных выше уравнений и приравнивая результаты дает

      Чтобы быть ненулевым, числовые множители в левой и правой частях должны быть равны,

      Правая часть, очевидно, равна нулю для , поэтому ее можно вынести из это как

      а левую часть можно записать в терминах этих же множителей в виде

      Приравнивание двух результатов и упрощение дает

      Второй множитель равен нулю, только если 0, но тогда по-прежнему равен нулю, поскольку оба состояния сферически симметричны.Отсюда следует что первый множитель должен быть равен нулю для дипольных переходов в быть возможным, а это значит, что .

      На спин не влияет гамильтониан возмущения, поэтому Внутренние произведения дипольного момента по-прежнему равны нулю, если только спиновое магнитное поле не квантовые числа одинаковы, оба имеют спин вверх или оба спина вниз. Действительно, если на спин электрона не влияет электрическое поле сделанных приближений, то, очевидно, она не может измениться.Тот завершает правила выбора, как указано в главе 7.4.4 для электрических дипольных переходов.

      Теперь рассмотрим влияние магнитного поля на переходы. За чтобы такие переходы были возможны, матричный элемент, образованный магнитное поле должно быть отличным от нуля. Подобно электрическому полю, магнитное поле можно аппроксимировать как пространственно постоянное и квазистационарное. То гамильтониан возмущения постоянного магнитного поля согласно глава 13.4


      Заметим, что теперь в обсуждение необходимо включить спин электрона.

      Согласно этому гамильтониану возмущения возмущение коэффициент для -компоненты магнитного поля пропорциональна


      и это равно нулю, потому что является собственной функцией оба оператора и ортогональные к . Так что -компонента магнитного поля не производит переходов в разные состояния.

      Однако -компонента (и аналогично -компонента) дает коэффициент возмущения пропорциональна


      Согласно главе 12.11, влияние на состояние с магнитным квантовым числом состоит в том, чтобы превратить его в линейное комбинация двух подобных состояний с магнитными квантовыми числами и . Поэтому для первого внутренний продукт выше, чтобы быть ненулевым, должен быть либо или .Также орбитальный азимутальный числа импульса должны быть одинаковыми, как и спин магнитные квантовые числа. И главный квант числа, если уж на то пошло; в противном случае радиальные части волновые функции ортогональны.

      Магнитное поле просто хочет повернуть орбитальный угловой момент вектор в атоме водорода. Это не меняет энергию, т. отсутствие среднего окружающего магнитного поля.Для второго внутреннего произведение, спиновые магнитные квантовые числа должны отличаться на единицу единица, а орбитальные магнитные квантовые числа теперь должны быть равны. Итак, все вместе


      и либо орбитальные, либо спиновые магнитные квантовые числа должны быть неравный. Это правила выбора, указанные в главе 7.4.4 для магнитодипольных переходов. Поскольку энергия при этих переходах не меняется, золотая ферми Правило будет иметь нулевую скорость распада.Анализ Ферми не точно, но такие переходы должны быть очень редки.

      Логичным путем перейти к электрическим квадрупольным переходам было бы разложить электрическое поле в ряд Тейлора по:


      Первый член представляет собой постоянное электрическое поле электрического диполя. приближение, а второе дало бы тогда электрический квадруполь приближение. Однако электрическое поле, в котором кратное не является консервативным, поэтому электростатический потенциал больше не существует.

      Необходимо отступить к так называемому векторному потенциалу . Тогда проще всего выбрать этот потенциал, чтобы избавиться всего электростатического потенциала. В таком случае типичный электромагнитная волна описывается векторным потенциалом


      В терминах векторного потенциала гамильтониан возмущения равен главу 13.1 и 13.4, и предполагая слабое поле,


      Пренебрегая пространственным изменением , это выражение дает коэффициент Гамильтона

      Это должно быть таким же, как и для приближения электрического диполя, поскольку поле теперь полностью описывается , но не довольно.Более ранний вывод предполагал, что электрическое поле равно квазистационарный. Однако равен коммутатору где находится невозмущенный атом водорода Гамильтониан. Если это подключено и расширено, обнаруживается, что выражения эквивалентны при условии, что частота возмущения близка к частоте испускаемого при переходе фотона, и что эта частота достаточно высока, чтобы фазовый сдвиг от синуса к косинусу можно не учитывать.Это на самом деле нормальные условия.

      Теперь рассмотрим второй член ряда Тейлора с уважение к . Он производит гамильтониан возмущения


      Фактор можно тривиально переписать, чтобы дать

      Первое слагаемое уже учтено в магнитном диполе. переходы, обсуждавшиеся выше, потому что множитель в скобках равен . Второй член представляет собой электрический квадрупольный гамильтониан для рассматриваемой волны.

      В качестве вторых членов ряда Тейлора оба гамильтониана будут значительно меньше электрического диполя. Фактор того, что они можно оценить из сравнения первого и второго членов в сериал Тейлор. Обратите внимание, что пропорциональна волне длина электромагнитной волны. Кроме того, дополнительный координата положения в операторских шкалах с размером атома, назовем ее . Таким образом, фактор, что магнитный диполь и электрический квадрупольные матричные элементы меньше, чем электродипольные. .Поскольку вероятности перехода пропорциональны к квадрату соответствующего матричного элемента, следует, что при прочих равных магнитный диполь и электрический квадруполь переходы медленнее электродипольных в раз . (Но обратите внимание на предыдущее замечание по проблеме для атома водорода энергия не меняется в магнитном дипольные переходы.)

      Правила отбора для электрического квадрупольного гамильтониана могут быть сужается с помощью простых рассуждений.Во-первых, поскольку собственные функции водорода полны, применяя любой оператор на собственная функция всегда будет давать линейную комбинацию собственные функции. Теперь вернемся к выводу электрического диполя. правил отбора выше с этой точки зрения. Затем видно, что только производит собственные функции с теми же значениями и значения отличаются ровно на одну единицу. Операторы и изменить оба и ровно на одну единицу.А компоненты из импульса делают то же самое, что и соответствующие компоненты положение, так как и не меняет собственные функции, а только их коэффициенты. Поэтому производит только собственные функции с азимутальной квантовое число, либо равное, либо равное , в зависимости от того, изменяются ли две единицы усиливают или нейтрализуют друг друга. Кроме того, он производит только собственные функции с равным . Однако, , соответствующий волне вдоль другой оси, будет производить значения, равные или .Таким образом, правила отбора становятся такими:


      Это правила выбора, указанные в главе 7.4.4. для электрических квадрупольных переходов. Эти аргументы в равной степени применимы хорошо к магнитодипольному переходу, но там возможности сужаются намного больше, потому что операторы углового момента дают только пару собственных функций. Можно отметить, что в Кроме того, электрические квадрупольные переходы от 0 до 0 невозможны из-за сферической симметрии.

      Нарушенное правило отбора в квантовой модели Раби

      Теоретическая модель

      Наш эксперимент работает в режиме g / ω r  ~ 0,1 (QBS ) режим. Собственные состояния системы в этом режиме аналогичны дублетной структуре одетых состояний JC-модели (подробнее см. раздел методов):

      По отношению к JC-модели поправка порядка λ  =  g /( ω q  +  ω r ) появляется при соединении с состояниями, содержащими n , из-за эффекта вращения чисел s.Угол смешивания здесь определяется как

      , который отличается от JC в jcon-number Change Teaning Δ N δ + 2 BS и целенаправленная цена . δ Ω ω Q ω R R — разборка в JC модель, Ω BS G 2 / ( Ω R  +  ω q ) — это сдвиг Блоха-Зигерта, происходящий от членов, вращающихся в противоположных направлениях.Существование правила выбора для переходов между одетыми состояниями разного знака зависит от относительной величины матричных элементов для переходов со сменой/сохранением знака. Матричные элементы между одетых состояния для резонатора типа вождения H D D / = R R ( A + A ) COS ( Ω D t ) можно рассчитать как

      Очевидно, что всегда возможны переходы с сохранением знака, в то время как переходы со сменой знака возбуждаются с меньшей вероятностью.Для исчезновения кубит-резонатор муфта G и δ > 0 ( δ <0), Φ N → 0 ( Φ N π ), поэтому грех ( Φ N /2) → 0 (SIN ( Φ N /2) → 1), COS ( Φ N /2) → 1 (COS (COS (COS) φ n /2) → 0). Это означает, что переходы со сменой знака исчезают, когда сила связи намного меньше частот кубита/резонатора, что устанавливает правило отбора для этого типа переходов.

      для одного кубита вождения H D / = A Q Σ Σ x COS ( Ω D T ) Элементы переходных матриц между одетыми состояниями читать

      Для δ  < 0, как и в нашем эксперименте, как g  → 0, что подразумевает правило сохранения знака. Однако другие переходы не следуют тому же правилу, поскольку g  → 0.Ясно, что для управления одним кубитом соображения правила выбора управляемого резонатора не применяются. В оставшейся части этой работы мы обсуждаем только переходы |1, −〉 ↔ |2, −〉 и |1, −〉 ↔ |2, +〉, которые подчиняются правилу сохранения знака как для резонаторных, так и для кубитных управляемые переходы. Случай управления одним кубитом σ z описан в Методах. Поэтому все наши выводы о нарушении правил отбора остаются в силе. В остальной части текста мы будем опускать тильду для обозначения одетых состояний в режиме USC просто как | n , ±〉.

      При анализе спектров в режиме USC необходимо учитывать неравновесную квантовую динамику, характеризующуюся окрашенной природой диссипативных ванн. Одна из возможностей состоит в том, чтобы спроектировать основное уравнение в базисе одетого состояния | n , ±〉 19 . Другой возможностью является метод оператора проекции второго порядка без свертки по времени (TCPOM) 34 , который оказался полезным для правильного описания динамики открытой системы в режиме USC 18,35 .Здесь мы следуем последнему подходу, где основное уравнение имеет вид

      с , , , а операторы определены как

      . ванны d k ( ω ) и прочность соединения система-ванна α k ( ω ). Кроме того, гамильтониан системы включает взаимодействие кубит-резонатор, а также наличие классических микроволновых полей, т. е.

      . Δ/ ε , где Δ — туннельная связь между собственными состояниями кубита и ε  = 2 I p (Φ − Φ 0 .Неравновесная динамика предполагает пертурбативную трактовку движущих механизмов, которая действительна для амплитуд , ω r , g 36 , как и в случае всей этой работы. Во всех численных расчетах используется до 6 фоковских состояний в базисе резонатора, что достаточно для

      Переход с сохранением знака

      Чтобы исследовать переходы в одетых состояниях, мы используем кубит со сверхпроводящим потоком, гальванически связанный с резонатором LC .Представленные здесь результаты получены с тем же устройством, где впервые было сообщено о Блохе-Зигерте 14 . Все соответствующие подробности эксперимента можно найти там. Резонатор имеет частоту Ω R /2 π = 8,13 ГГц, в то время как qubit имеет постоянный ток I p = 500 Na и минимальное расщепление δ / 2 π = 4,2 ГГц, поэтому расстройка равна δ  = Δ −  ω r  = −2 π  × 3.93 ГГц в точке симметрии кубита. Сила связи составляет г /2 π  = 0,82 ГГц. Последнее подразумевает , поэтому система работает в режиме УЗК. Кубит и резонатор термически закреплены на стадии смесительной камеры холодильника растворения при 20  мК. Состояние кубита считывается с помощью магнитометра DC-SQUID. Внешняя сверхпроводящая катушка используется для установки магнитного потока в петле кубита вблизи Φ = Φ 0 /2. В этой точке смещения потока влияние членов гамильтониана, вращающихся в противоположных направлениях, наиболее сильно (уравнение (16) с sin  θ q  = 1).

      Численная диагонализация гамильтониана в уравнении (16) приводит к спектру, показанному на рис. 1(а). Сплошные линии соответствуют переходам из основного состояния, а штриховые линии — переходам из первого возбужденного состояния. Промежуточный пунктирный переход |1, −〉 ↔ |2, −〉 (см. рис. 1(b)) около 8 ГГц подробно изучается в этом разделе и соответствует переходу с сохранением знака. Штриховой переход с наивысшей энергией |1, −〉 ↔ |2, +〉 изучается в следующем разделе и является первым переходом с возрастанием энергии, нарушающим правило сохранения знака при выборе параметров.В точке симметрии кубита Φ = Φ 0 /2 разрешены только переходы, соединяющие состояния разной четности 37 . Следовательно, красная боковая полоса |1, −〉 ↔ |1, +〉 и синяя боковая полоса |0, g 〉 ↔ |2, −〉 запрещены в этой точке. Вне точки симметрии все переходы разрешены из-за асимметрии потока кубитного потенциала 38,39 . В точке симметрии кубита Φ = Φ 0 /2 собственные состояния системы соответствуют состояниям в уравнениях (3) и (4), поэтому следует ожидать правил отбора, введенных в предыдущем разделе.

      Рис. 1. Спектр кубитов и переходы.

      ( a ) Численная диагонализация гамильтониана системы в уравнении (16) в зависимости от внешнего магнитного потока. Сплошные линии соответствуют переходам из основного состояния. Штриховые линии соответствуют переходам из первого возбужденного состояния. ( b ) Уровни энергии в точке симметрии с выделенными переходами со сменой и сохранением знака. |1, −〉 ↔ |1, +〉 и |0, g 〉 ↔ |2, −〉 здесь запрещены правилами выбора по четности.

      На рис. 2(а) показан спектр системы при малой мощности вблизи частоты резонатора ω r /2 π  = 8,13 ГГц. Сплошная и пунктирная кривые соответствуют уравнению (16). Пунктирная линия — JC-модель с теми же подгоночными параметрами. Разница между моделями JC и Rabi заключается в сдвиге Блоха-Зигерта ω BS 14 с максимумом 55 МГц при Φ = Φ 0 /2. Отрицательный (положительный) сдвиг частоты соответствует резонаторному (кубитному) переходу в одетом состоянии.На рис. 2(б) показан спектроскопический след при Φ = Φ 0 /2. Измерения выполняются по аналогичному протоколу, разработанному ранее для кубита потока с перестраиваемым зазором 40 (см. также Методы). Следуя рис. 1, находим, что более высокочастотный резонанс на рис. 2(б) соответствует переходу |0, g 〉 ↔ |1, +〉, которому при заданной расстройке δ /2 π = −3,93 ГГц в основном представляет собой резонаторно-подобное возбужденное одетое состояние. Низкочастотный резонанс соответствует |1, −〉 ↔ |2, −〉, поэтому это знакосохраняющий переход.Конечная температура в нашей системе позволяет возбудить этот переход. Сигнал от этого резонанса слабый, учитывая небольшое количество заселенности кубитоподобного состояния |1, −〉 в тепловом равновесии. Тот факт, что мы можем наблюдать этот переход при низкой движущей силе, указывает на большой матричный элемент, как это предсказывается уравнениями (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13). Низкое отношение сигнал/шум приводит к ложным пикам и провалам, которые не представляют дополнительных переходов, что подтверждается спектром на рис.1. Геометрия нашей системы такова, что амплитуды возбуждения кубита и резонатора имеют сравнимое значение (см. Методы), поэтому обе системы одновременно возбуждаются во всех представленных измерениях.

      Рис. 2. Переход с сохранением знака.

      ( a ) Спектр, измеренный с помощью уравнения (16). Сплошные линии соответствуют переходам из основного состояния, ср. Рис. 1. Пунктирные линии соответствуют модели JC с использованием подобранных параметров из уравнения (16). Красная пунктирная линия — знакосохраняющий переход |1, −〉 ↔ |2, −〉.Вблизи Φ = Φ 0 /2 отклонение от JC-модели определяется сдвигом Блоха-Зигерта . ( b ) Спектр при Φ = Φ 0 /2. Вероятность переключения СКВИД-детектора составляет 50%. Численное моделирование основного уравнения (14) показано для T  = 90 мК ( T  = 150 мК) синими звездочками (красные кружки). Низкая амплитуда знакосохраняющего перехода на частоте 8,02 ГГц связана с равновесной тепловой заселенностью кубита.

      Резонансы в этом спектре кажутся широкими из-за малого времени релаксации этого конкретного устройства, в основном из-за паразитной емкости схемы считывания СКВИДа.Другие эксперименты с потоковыми кубитами показали гораздо лучшие результаты, даже с детекторами SQUID 41,42 . На рис. 2(б) между двумя резонансами наблюдается явная асимметрия. Эта разница позволяет приблизительно откалибровать электронную температуру системы. Итеративное решение основного уравнения для достижения стационарного состояния является длительным процессом, что делает непрактичным выполнение подгонки наблюдаемого спектра. Вместо этого неизвестные параметры перебираются, чтобы найти оптимальный набор, который приводит к расчетному спектру, наиболее близкому к измерениям.Мы строим математическое ожидание оператора тока кубита , где стационарное решение основного уравнения TCPOM, уравнение (14) с использованием собственных состояний из уравнения (16). Более подробную информацию можно найти в методах. Оптимальный набор параметров , , . Для температуры мы наносим T  = 90 мК (синие звездочки) и T  = 150 мК (красные кружки), чтобы указать возможный диапазон температур. В других экспериментах с использованием сверхпроводящих кубитов наблюдались сравнимые конечные электронные температуры 43 .

      Результаты моделирования ясно указывают на асимметрию между двумя резонансами вблизи 8 ГГц. К численному решению были применены глобальный коэффициент масштабирования и смещение, чтобы соответствовать амплитуде экспериментальных резонансов. Масштабный коэффициент дает преобразование между средним постоянным током в кубите и вероятностью переключения СКВИДа. В эксперименте значение смещения выбрано равным 50% вероятности того, что DC-SQUID переключится в рабочее состояние, при котором генерируется конечное напряжение 42 .Различия между моделированием и экспериментом для резонанса на частоте 8,02 ГГц, скорее всего, связаны с низким отношением сигнал/шум, что приводит к неточному определению температуры системы.

      Неправильное правило выбора с сохранением знака

      В этом разделе мы проводим спектроскопию системы кубит-резонатор с амплитудой возбуждения примерно в 5 раз большей, чем на рис. одно- и двухфотонные переходы.Спектр системы высокой мощности показан на рис. 3 (а), демонстрируя богатую спектральную структуру. Для частот ниже 8 ГГц можно идентифицировать многофотонные процессы. Частота каждого многофотонного перехода следует соответствующему масштабированию, как уже сообщалось для трансмонного кубита, связанного с резонатором 44 . θ q — угол смешивания кубитов, определенный ниже уравнением (16). Резонанс на частоте 8,25 ГГц на рис. 2 был уширен по мощности, перекрываясь с сохраняющим знак переходом |1, −〉 ↔ |2, −〉 при 8.02 ГГц. Большой сигнал, генерируемый этим резонансом, может быть связан с накоплением заселенности в резонаторе из-за сильного возбуждения 45 .

      Рис. 3. Неправильное правило выбора с сохранением знака.

      ( a ) Спектр системы кубит-резонатор при высокой мощности возбуждения. Многофотонные переходы в одетые состояния с более высоким числом фотонов видны ниже резонанса на частоте 8 ГГц. Выше 12 ГГц отчетливо наблюдается синяя боковая полоса |0, g 〉 ↔ |2, −〉 вместе с дополнительным более слабым резонансом.Последнее соответствует |1, −〉 ↔ |2, +〉, что нарушает правило сохранения знака. Переход исчезает вдали от точки симметрии из-за уменьшения силы связи с углом смешения в уравнении (16) и увеличения скорости расфазировки кубита 41,46,47 . ( b ) Спектроскопическая трасса в точке симметрии ( a ). Выше 12 ГГц переход |1, −〉 ↔ |2, +〉 виден как пик вероятности переключения.

      На частотах выше 8 ГГц вблизи .Увеличивающийся по частоте переход от точки симметрии соответствует синей боковой полосе, |0, g 〉 ↔ |2, −〉. Причина, по которой он исчезает при Φ = Φ 0 /2, связана с правилами выбора по четности 37 . Другой более слабый резонанс соответствует переходу |1, −〉 ↔ |2, +〉 и, следовательно, является переходом с изменением знака, который нарушает правило сохранения знака, объясненное во вступительном разделе. Насколько нам известно, это первое наблюдение подобного рода переходов между возбужденными состояниями квантовой модели Раби.Небольшой сигнал от этого резонанса свидетельствует о разнице в величине элементов матрицы перехода по сравнению с сигналом для |1, −〉 ↔ |2, −〉, учитывая разницу в амплитудах возбуждения, использованных для получения данных на рис. 2 и 3.

      Спектроскопический признак любого резонанса, обнаруженного СКВИД-магнитометром, относится к магнитному полю, создаваемому кубитом в стационарном состоянии при наличии внешнего привода. Переход |1, −〉 ↔ |2, +〉 увеличивает вероятность переключения выше эталона на 50 % по сравнению со всеми другими резонансами, где вероятность переключения снижается ниже 50 %.Это означает, что в стационарном состоянии кубит более поляризован к основному состоянию, чем в тепловом равновесии, в отличие от других резонансов, где кубит оказывается с большей заселенностью в возбужденном состоянии.

0 comments on “Правило выделения полного квадрата: Метод выделения полного квадрата — урок. Алгебра, 7 класс.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *