Равенство треугольников по трем сторонам: 3 признака равенства треугольников

3 признака равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать. 

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников. 

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых AC = A1C1,  AB = A1B1, ∠A = ∠A1.


Докажите, что △ABC  =  △A1B1C1.

Доказательство:

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина  A1  совмещается с вершиной  A,  и сторона  A1B1

накладывается на сторону AB,  AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

B1C1 = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A1B1C, значит, △ABC = △A1B1C1.

Теорема доказана.

Важно!

Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.


Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на курсах по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых:
AC = A1C1,  ∠A = ∠A1,  ∠C = ∠C1.


Докажите, что △ABC  =  △A1B1C1.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной  A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с  A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B

1.

Если АВ совмещается с А1В1, ВС совмещается с В1С1, то △ABC совмещается с △A1B1C1, значит, △ABC = △A1B1C1 .

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых:
AC = A1C1,
AB = A1B1,
CB = C1B1.  


Докажите, что △ABC  = △A1B1C1.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C

1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,
∠A1СB1 = ∠A1C1B1.
AC = A1C1, BC = B1C1
∠C = ∠C1, тогда △ABC  = △A1B1C1 (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана. 

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

 
  1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.

  2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.

  3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.

  4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.

  5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Второй и третий признаки равенства треугольников — урок. Геометрия, 7 класс.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. \(1\). Второй признак равенства треугольников.

 

MN=PR;∡N=∡R;∡M=∡P.

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?


1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

 

2. Так как ∡N=∡R и ∡M=∡P, то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

 

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).

 

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. \(2\). Третий признак равенства треугольников.

 

MN=PR;KN=TR;MK=PT.

 

Опять попробуем совместить треугольники ΔMNK и ΔPRT наложением и убедиться, что соответственно равные стороны гарантируют и равенство соответственных углов этих треугольников, и они полностью совпадут.

Рис. \(3\). Доказательство третьего признака равенства треугольников.

 

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и \(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.


Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN=PR, KN=TR. Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

 

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит, перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

 

Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).
  

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

 

   

Рис. \(4\). Буровая вышка.

 

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

 

Об этом говорят сказки.

Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросёнка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

 

Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

 

И в заключение ещё раз вспомним все признаки равенства треугольников.

 

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

  

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки равенства двух треугольников: по сторонам, углам

В данной публикации мы рассмотрим признаки равенства треугольников, а также разберем пример решения задачи разными способами для закрепления изложенного материала.

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны между собой, если выполняется одно из условий, представленных ниже.

1 признак

Две стороны и угол между ними первого треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника.

2 признак

Сторона и два прилежащих к ней угла первого треугольника соответсвенно равны стороне и двум прилежащим к ней углам второго треугольника.

3 признак

Три стороны первого треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника.

Примечание: равенство прямоугольных треугольников, наряду с вышеперечисленными, доказывается и по другим признакам.

Пример задачи

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке E. Докажите, что △AED = △BEC.

Решение 1

Т.к. это параллелограмм, его противоположные стороны равны, т.е. AD=BC.

Диагональ AC, также, является секущей, которая пересекает две параллельные прямые, на которых лежат стороны AD и BC. Как известно, внутренние накрест лежащие углы попарно равны, следовательно, ∠СAD = ∠ACB. Аналогичным образом, равны углы ∠BDA и ∠DBC.

Значит, рассматриваемые нами треугольники △AED и △BEC равны по второму признаку равенства (по стороне и 2 прилежащим к ней углам).

Примечание: таким же способом можно доказать, что △AEB = △CED.

Решение 2

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, т.е. AE=EC и BE=ED. Также противоположные стороны параллелограмма равны, т.е. BC=AD.

Таким образом, △AED и △BEC равны согласно третьему признаку равенства (по трем сторонам).

Примечание: Аналогичным образом можно доказать равенство △AEB и △CED.

Решение 3

Разбирая решения 1 и 2 мы уже выяснили, что накрест лежащие углы равны, а диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся на две одинаковые части.

С учетом этого, доказать равенство треугольников △AED и △BEC  (или △AEB и △CED) можно, сославшись на первый признак (по двум сторонам и углу между ними).

Признаки равенства треугольников | Геометрия

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых:

 AB = A1B1AC = A1C1∠A = ∠A1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1B1  совместилась со стороной  AB,  то точка  B  совместится с точкой  B1,  так как  A1B1 = AB.  Сторона  A1C1  совместится со стороной  AC,  так как  ∠A = ∠A1.  Точка  C1  совпадёт с точкой  C,  так как  A1C1 = AC.  Стороны  B1C1  и  BC  совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых:

 AC = A1C1,  ∠A = ∠A1  и  ∠C = ∠C1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Если наложить  A1B1C1  на  ABC  так, чтобы точка  A1  совместилась с точкой  A  и сторона  A1C1  совместилась со стороной  AC,  то точка  C1  совпадёт с точкой  C,  так как  A1C1 = AC.  Сторона  A1B

1  совпадёт со стороной  AB,  так как  ∠A = ∠A1.  Сторона  C1B1  совпадёт со стороной  CB, так как  ∠C = ∠C1.  Вершина  B1  совпадёт с вершиной  B,  так как  B  и  B1  будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых:

AB = A1B1,  BC = B1C1,  AC = A1C1.

Требуется доказать, что

ABC = A1B1C1.

Приложим треугольники  ABC  и  A1B1C1  один к другому так, чтобы вершина  A  совместилась с  A1,  вершина  C  — с  C1, а вершины  B  и  B1  оказались по разные стороны от прямой  AC.

Соединив точки  B  и  B1,  получим два равнобедренных треугольника  BAB1  и  BСB1.

В треугольнике  BAB1  1 = 4,  в  BСB1  2 = 3  (как углы при основании). Следовательно,

1 + 2 = 4 + 3,  поэтому  ∠ABC = ∠AB1C.

Итак,  AB = A1B1

BC = B1C1∠ABC = ∠A1B1C1.

Из этого следует, что треугольники  ABC  и  A1B1C1  равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

  1. Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
  4. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.

Признаки равенства треугольников [wiki.eduVdom.com]

Рис.1

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Рис.2

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Рис.3

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).



Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

Рис.4

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.


Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Рис.5

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.


Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

Рис.4

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).


Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.



Третий признак равенства треугольников формулировка и доказательство

Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.

Формулировка третьего признака равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Дано:

2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.

Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.

Три возможных случая при наложении треугольников

  1. Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.

  2. Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.

  3. Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.

Доказательство:
  1. Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.

  2. По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.
  3. Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
    ∠АСС1 = ∠А1С1С,
    ∠ВСС1 = ∠В1С1С.
  4. Поскольку
    ∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
    ∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
    то и углы AСB и AС1B равны.

  5. Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:
  1. Рассмотрим треугольник САС1.

  2. Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно, сам треугольник САС1 — равнобедренный.
  3. По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1 . Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательство:
  1. Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.

  2. По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.
  3. Рассмотрим треугольник АСС1.
  4. Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).
  5. ∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.
  6. Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.
  7. Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Скорее всего, Вам будет интересно:

Третий признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Третий признак равенства треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A1B1C1, так как AC = A1C1, AB =A1B1 и  BC =B1C1.

Из данной теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, т.е. фигура, не подверженная деформации.


Доказательство:

Дано: ABC, A1B1C1, AC = A1C1, AB =A1B1, BC =B1C1.

Доказать: ABC = A1B1C1

Доказательство:

Приложим ABC к A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой AB (A1B1).

1. Луч CC1 проходит внутри A1C1B1.

2. Луч CC1 совпадает с одной из сторон A1C1B1.

3. Луч CC1 проходит вне A1C1B1.(обратите внимание, что, несмотря на то, что изображения в п.2 и в п.3 похожи, эти два случая для различных треугольников)

Рассмотрим последний случай (остальные доказываются аналогично): Поскольку по условию теоремы AC = A1C1, BC =B1C1, то CB1C1 и CA1C1равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника B1CC1 = B1C1C, A1CC1 = A1C1C. Следовательно, B1CA1 = B1C1A1 (B1CA1 = B1CC1 — A1CC1 B1C1C  A1C1= B1C1A1). Таким образом, AC = A1C1, BC = B1C1, B1CA1 = B1C1A, а из этого следует,что ABC = A1B1C1 по I признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 135, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 139, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 142, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 144, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 155, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 176, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 247, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 651, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1271, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1294, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

подобных треугольников

Два треугольника похожи, если разница только в размере (и, возможно, в необходимости повернуть или перевернуть один из них).

Все эти треугольники подобны:

(Равные углы отмечены одинаковым количеством дуг)

Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые перевернуты или перевернуты.

 

Для подобных треугольников:


Все соответствующие углы равны

и


Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение

Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены под соответствующими углами.Например, стороны, обращенные к углам с двумя дугами, соответствуют друг другу.

Соответствующие стороны

В подобных треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одном и том же отношении.

Например:

Треугольники R и S подобны. Равные углы отмечены одинаковым количеством дуг.

Каковы соответствующие длины?

  • Длины 7 и a соответствуют (они смотрят на угол, отмеченный одной дугой)
  • Длины 8 и 6.4 соответствуют (они обращены к углу, отмеченному двумя дугами)
  • Длины 6 и b соответствуют (они смотрят на угол, отмеченный тремя дугами)

Вычисление длин соответствующих сторон

Иногда мы можем вычислить длину, которую еще не знаем.

  • Шаг 1: Найти отношение соответствующих сторон
  • Шаг 2: Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестные длины

Пример: найти длины a и b треугольника S

Шаг 1: Найдите соотношение

Нам известны все стороны треугольника R , а
Нам известна сторона 6.4 в треугольнике S

Сторона 6.4 обращена к углу, отмеченному двумя дугами, как и сторона длины 8 в треугольнике R .

Итак, мы можем сопоставить 6.4 с 8 , и поэтому отношение сторон треугольника S к треугольнику R равно:

от 6,4 до 8

Теперь мы знаем, что длины сторон треугольника S равны 6,4/8 умножить на длин сторон треугольника R .

Шаг 2: Используйте соотношение

a обращен к углу с одной дугой, как и сторона длины 7 в треугольнике R .

a = (6,4/8) × 7 = 5,6

 

b обращен к углу с тремя дугами, как и сторона длины 6 в треугольнике R .

б = (6,4/8) × 6 = 4,8

 

Готово!

 

треугольников (предварительная алгебра, введение в геометрию) — Mathplanet

Треугольник состоит из трех отрезков. Отрезки пересекаются в своих концах.Для наименования треугольника часто используют его вершины (названия концов). Треугольник ниже называется ABC.

Треугольник имеет три угла. Сумма углов треугольника всегда равна 180°.

У нас есть разные типы треугольников. Треугольник классифицируется по его углам и количеству конгруэнтных сторон.

Треугольник, имеющий три остроугольных угла, называется остроугольным.

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один угол прямой.

Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого один угол тупой.

Если треугольник имеет три конгруэнтные стороны, мы называем треугольник равносторонним треугольником. Отмечаем конгруэнтные стороны косой чертой. Углы равностороннего треугольника всегда равны 60°.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Углы, противолежащие двум сторонам одинаковой длины, равны.

Треугольник без конгруэнтных сторон и углов называется разносторонним треугольником.

Когда два треугольника равны, это означает, что они имеют одинаковый размер и форму. Это означает, что они имеют одинаковые углы. Красные косые черты показывают нам, какие стороны и углы конгруэнтны. Конгруэнтность показана этим символом

.

$$\конг$$

$$\begin{matrix} A\cong X & & AB\cong XY\\ B\cong Y & & BC\cong YZ\\ C\cong Z & & AC\cong XZ \end{matrix}$$

Треугольники, у которых углы равны, но разные размеры, называются подобными.Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Сходство показано этим символом

$$\sim$$

$$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup XYZ$$

$$A=X,\: \: B=Y,\: \: C=Z$$

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$$


Пример

Найдите x в подобных треугольниках.

Мы знаем, что поскольку треугольники подобны, стороны пропорциональны, а это означает, что

$$\frac{x}{14}=\frac{3}{21}\Rightarrow$$

$$x=\frac{14\cdot 3}{21}=\frac{42}{21}=2$$

$$x=2$$


Видеоурок

Выяснить, являются ли треугольники прямоугольными, равнобедренными, остроугольными, разносторонними, тупоугольными или равносторонними

конгруэнтных треугольников – объяснение и примеры

Вы должны хорошо знать фотокопировальную машину.Когда вы помещаете страницу A4 внутрь машины и активируете ее, вы получаете идентичную копию этой страницы. Если вы повернете или перевернете страницу, она останется такой же, как исходная страница. Даже если вы вырезаете их, вы можете легко выровнять их снова. Мы можем сказать, что страницы 90 203 похожи или конгруэнтны.

Далее, страница формата А4 имеет прямоугольную форму, поэтому при разрезании по диагонали получится треугольник. Если вы разрежете обе фотокопии одинаковым образом, вы увидите, что обе они образуют одинаковый треугольник с одинаковым набором углов и сторон.

Что такое конгруэнтный треугольник?

Вы, должно быть, уже хорошо знакомы с треугольником — это двумерная фигура с тремя сторонами, тремя углами и тремя вершинами. Два или более треугольника называются равными, если их соответствующие стороны или углы равны. Другими словами, конгруэнтных треугольника имеют одинаковую форму и размеры .

Конгруэнтность — это термин, используемый для описания двух объектов одинаковой формы и размера . Символ конгруэнтности .В треугольниках мы используем аббревиатуру CPCT , чтобы показать, что соответствующие части конгруэнтных треугольников одинаковы.

Конгруэнтность не рассчитывается и не измеряется, а определяется визуальным осмотром. Треугольники могут стать конгруэнтными в трех различных движениях, а именно: вращении, отражении и перемещении.

Что такое конгруэнтность треугольников?

Конгруэнтность треугольников — это правила или методы, используемые для доказательства конгруэнтности двух треугольников.Два треугольника называются конгруэнтными тогда и только тогда, когда мы можем заставить один из них наложиться на другой так, чтобы он точно покрыл его.

Эти четыре критерия, используемые для проверки сходства треугольников, включают :

Сторона – Сторона – Сторона ( SSS ), Сторона – Угол – Сторона ( SAS ), Угол – Сторона – Угол ( ASA ) и Угол – Угол – Сторона ( AAS ).

Есть и другие способы доказать конгруэнтность треугольников, но в этом уроке мы ограничимся только этими постулатами.

Прежде чем углубляться в детали этих постулатов конгруэнтности , важно знать, как обозначать разные стороны и углы определенным знаком, показывающим их конгруэнтность. Вы часто будете видеть, что стороны и углы треугольника отмечены маленькими засечками, чтобы указать наборы конгруэнтных углов или конгруэнтных сторон.

На рисунках ниже вы увидите, что стороны с одной засечкой имеют одинаковые размеры, стороны с двумя засечками также имеют одинаковую длину, а стороны с засечками равны.То же самое касается углов.

Сторона – Угол – Сторона

Сторона Угол Сторона (SAS) – это правило, используемое для доказательства конгруэнтности данного набора треугольников . В этом случае два треугольника равны, если две стороны и один угол между ними в данном треугольнике равны соответствующим двум сторонам и одному углу между ними в другом треугольнике.

Помните, что угол должен быть образован двумя сторонами, чтобы треугольники были конгруэнтными.

Иллюстрация правила SAS:

Учитывая это; длина AB = PR, AC = PQ и ∠ QPR = BAC , тогда; Треугольники ABC и PQR равны ( ABC ≅△ PQR).

Угол – Угол – Сторона

Правило «Угол – Угол – Сторона» (AAS) гласит, что два треугольника конгруэнтны, если два их соответствующих угла и одна не включенная сторона равны.

Иллюстрация:

Учитывая это;

BAC = QPR, ∠ AC B = RQP и длина rqp и длина ab = qr, , затем треугольник ABC и PQR Connourent ( ABC ≅△ PQR).

Сторона – Сторона – Сторона

Правило стороны – стороны – стороны (SSS) утверждает, что: Два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие длины трех сторон равны.

Иллюстрация:

Треугольник ABC и PQR и PQR : ( ABC ≅ △ PQR) , если длина ab = Pr , AC = QP, и BC = QR .

Угол – Сторона – Угол

Правило «Угол – Сторона – Угол» (ASA) гласит: Два треугольника конгруэнтны, если два соответствующих им угла и одна из сторон равны.

Иллюстрация:

Треугольник ABC и PQR и PQR и PQR ( abc ≅ △ PQR) , если длина PRQ, ACB = PQR.Пример 1 AB = 3,5 см, BC = 7,1 см, AC = 5 см, PQ = 7,1 см, QR = 5 см и PR = 3,5 см. Проверьте, равны ли треугольники.

Решение

Дано: AB = PR = 3,5 см

BC = PQ = 7,1 см и

AC = QR = 5 см

Следовательно, ∆ABC ≅ ∆QR (S)

Пример 2

Учитывая, что ABC = (2x + 30) °, PQR = 55 ° 60262 и RPQ = 65 °. значение х.

Решение

ΔABC ΔABC ΔPQR

,

,

55 ° + 65 ° + (2x + 30) ° = 180 °

120 ° + 2x + 30 ° = 180°

150° + 2x = 180°

2x = 30°

x = 15°

Пример 3

Опишите тип

∆ ABC, AB = 7 см, BC = 5 см, ∠B = 50° и ∆ DEF, DE = 5 см, EF = 7 см, ∠E = 50° AB = EF = 7 см,

BC = DE = 5 см и

∠B =∠E = 50°

Следовательно, ∆ABC ≅ ∆FED (SAS)

Реальные примеры конгруэнтных объектов (h4 )

Существует бесконечное множество примеров конгруэнтных объектов, которые мы видим или наблюдаем в нашей повседневной жизни.Простой пример — упаковка печенья, в которой все печенья одинакового размера и формы, если они не сломаны. Можно сказать, что все печенья конгруэнтны.

Еще несколько примеров соответствия:

  • Серьги из одного комплекта.
  • Сигареты в пачке.
  • Колеса велосипеда.
  • Страницы определенной книги.
  • Мизинцы обеих рук. Другие пальцы и большие пальцы также конгруэнтны. Многие органы вашего тела, такие как почки и легкие, конгруэнтны.Даже если тело разрезать вертикально от центра на две половины, обе половины конгруэнтны.

 

 

 

Конгруэнтные треугольники

Два или более треугольника, имеющие одинаковый размер и форму, называются конгруэнтными.

Четыре треугольника конгруэнтны друг другу независимо от того, повернуты они или перевернуты. Конгруэнтность двух объектов часто обозначается символом «≅».На рисунке ниже △ABC ≅ △DEF.

Как показано на рисунке выше, длины соответствующих сторон и меры соответствующих углов не должны быть явно показаны, чтобы указать на конгруэнтность. Равное количество делений можно использовать, чтобы показать, что стороны конгруэнтны. Точно так же можно использовать равное количество дуг, чтобы показать, что углы конгруэнтны.

Соответствующие конгруэнтные углы равны: ∠A≅∠D, ∠B≅∠E, ∠C≅∠F.
Соответствующие конгруэнтные стороны: AB≅DE, BC≅EF, AC≅DF.

Также соответствующие вершины двух треугольников должны быть записаны по порядку. Таким образом, △ABC≅△DEF также может быть записано как △CBA≅△FED, но не △BCA≅△DEF.

Определение конгруэнтности треугольников

Два треугольника должны иметь одинаковый размер и форму, чтобы все стороны и углы были конгруэнтными. Для подтверждения конгруэнтности треугольников можно использовать любое из следующих сравнений.

Сторона-сторона-сторона (SSS)

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти два треугольника равны.

На рисунке выше AB≅DE, BC≅EF, AC≅DF. Поэтому △ABC≅△DEF.

Сторона-угол-бок (SAS)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти два треугольника равны.

На рисунке выше AB≅DE, AC≅DF и ∠A≅∠D. Следовательно, △ABC≅△DEF.

Угол-бок-угол (ASA)

Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то эти два треугольника равны.

На рисунке выше ∠A≅∠D, ∠B≅∠E и AB≅DE. Следовательно, △ABC≅△DEF.

Угол-Угол-Сторона (AAS)

Если два угла и не заключенная между ними сторона одного треугольника равны двум углам и не заключенной между ними стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.

На рисунке выше ∠D≅∠A, ∠E≅∠B и BC≅EF. Следовательно, △DEF≅△ABC.

Теорема «Угол-Угол-Сторона» является разновидностью теоремы «Угол-Сторона-Угол». На рисунке, поскольку ∠D≅∠A, ∠E≅∠B и три угла треугольника всегда составляют 180°, ∠F≅∠C.Затем это становится сравнением угла-стороны-угла, поскольку ∠E≅∠B, ∠F≅∠C и BC≅EF.

Конгруэнтность гипотенузы-катета

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника, то эти треугольники равны.

На рисунке выше углы AC≅DF, AB≅DE, ∠B и ∠E прямые. Следовательно, △ABC≅△DEF.

Угол-бок-бок (ASS)

Если две стороны и не заключенный между ними угол одного треугольника равны двум сторонам и не заключенному между ними углу другого треугольника, то эти два треугольника , а не всегда конгруэнтны.

На приведенном выше рисунке AC≅DF, BC≅EF, ∠A≅∠D, но △ABC равно , а не , конгруэнтному △DEF.

Угол-Угол-Угол (AAA)

Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то два треугольника , а не всегда равны. Как показано на рисунке ниже, размеры двух треугольников могут быть разными, даже если три угла равны.

Соответствующие детали

Когда два треугольника конгруэнтны, все их соответствующие углы и соответствующие стороны (называемые соответствующими частями) равны.

Как только можно показать, что два треугольника конгруэнтны, используя один из вышеуказанных методов конгруэнтности, мы также знаем, что конгруэнтны все соответствующие части конгруэнтных треугольников (сокращенно CPCTC).

Пример:

Укажите конгруэнтность двух треугольников, а также всех конгруэнтных соответствующих частей.

Поскольку два угла △ABC равны двум углам △PQR, третья пара углов также должна быть конгруэнтна, поэтому ∠C≅∠R и △ABC≅△PQR согласно ASA.

Соответствующие конгруэнтные углы равны: ∠A≅∠P, ∠B≅∠Q, ∠C≅∠R.

Соответствующие конгруэнтные стороны: AB≅PQ, BC≅QR, AC≅PR.

постулатов конгруэнтности треугольников | САС, АСА, ССС, ААС, HL

Конгруэнтные треугольники — это треугольники с одинаковыми сторонами и углами. Три стороны одного точно равны трем сторонам другого. Каждый из трех углов одного равен углу другого.

Содержание

  1. Постулаты соответствия треугольников
  2. Детали в комплекте
  3. Сторона Сторона Сторона Постулат
  4. Боковой угол Боковой постулат
  5. Угол Сторона Постулат угла
  6. Угол Сторона Теорема
  7. HL Постулат
  8. Доказательство с использованием сравнения

Постулаты соответствия треугольников

Существует пять способов нахождения двух конгруэнтных треугольников:

  1. SSS или сбоку сбоку сбоку
  2. SAS или боковая угловая сторона
  3. ASA или угловая боковая сторона
  4. AAS, или Угол Угол Сторона
  5. HL или катет гипотенузы, только для прямоугольных треугольников

Детали в комплекте

Угол , включенный в , лежит между двумя названными сторонами.В △CAT ниже включен ∠A между сторонами t и c:

Включенная сторона лежит между двумя именованными углами треугольника.

Сторона Сторона Сторона Постулат

Постулат – это утверждение, принимаемое за истинное без доказательства. Постулат SSS говорит нам,

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Совпадение сторон показано штриховкой, например: ∥.Для двух треугольников стороны могут быть отмечены одной, двумя и тремя штрихами.

Если стороны △ACE равны по размеру трем сторонам △HUM, то два треугольника конгруэнтны по SSS:

Боковой угол Боковой постулат

Постулат SAS говорит нам,

Если две стороны и угол между ними треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

△HUG и △LAB имеют по одному углу, равному ровно 63°.Соответствующие стороны g и b равны. Стороны h и l равны.

Сторона, прилежащий угол и сторона на △HUG и на △LAB равны. Итак, согласно SAS, два треугольника конгруэнтны.

Угол Боковой угол Постулат

Этот постулат говорит:

Если два угла и прилежащая к ним сторона треугольника равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.

У нас есть △MAC и △CHZ, сторона m которых равна стороне c.∠A конгруэнтно ∠H, а ∠C конгруэнтно ∠Z. По постулату ASA эти два треугольника конгруэнтны.

Теорема угла стороны угла

Нам даны два угла и невключенная сторона, сторона, противолежащая одному из углов. Теорема об угле и стороне говорит:

.

Если два угла и сторона, не входящая в один треугольник, равны соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вот конгруэнтные △POT и △LID, с двумя измеренными углами 56° и 52° и не включенной стороной 13 сантиметров:

[конструкция как описано]

По теореме ААС эти два треугольника конгруэнтны.

HL Постулат

Исключительно для прямоугольных треугольников, говорит нам постулат HL,

Два прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза и соответствующий катет равны, равны.

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это самая длинная сторона. Две другие стороны — ноги. Любой катет может быть конгруэнтным между двумя треугольниками.

Вот прямоугольные треугольники △COW и △PIG, гипотенузы сторон w и i которых равны. Ноги o и g также конгруэнтны:

[вставьте конгруэнтные прямоугольные треугольники, обращенные влево △КОРОВА и вправо △СВИНЬЯ]

Итак, согласно постулату HL, эти два треугольника конгруэнтны, даже если они обращены в разные стороны.

Доказательство с использованием конгруэнтности

Дано: △MAG и △ICG

МС ≅ AI

АГ ≅ ГИ

Доказать: △MAG ≅ △ICG

Заявление Причина

MC ≅ AI Дано

АГ ≅ ГИ

∠MGA ≅ ∠ Вертикальные углы IGC равны

△MAG ≅ △ICG Боковой угол Боковой

Если две стороны и угол между ними треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти два треугольника равны.

Следующий урок:

Теоремы сравнения треугольников

теорем о сходстве треугольников | Постулаты SAS, ASA и SSS (видео)

Теоремы о сходстве треугольников (постулаты SSS, SAS и ASA)

Треугольники могут быть подобными или конгруэнтными. У подобных треугольников углы равны, но стороны разной длины. Конгруэнтные треугольники будут иметь полностью совпадающие углы и стороны. Их внутренние углы и стороны будут равны. Проверка конгруэнтности треугольников включает в себя три постулата, сокращенно SAS, ASA и SSS.

  1. Определение соответствия
  2. Определение постулата
  3. Теоремы сравнения треугольников

Определение конгруэнтности

Два треугольника конгруэнтны , если их соответствующие стороны равны по длине и их соответствующие внутренние углы равны по величине.

Мы используем символ ≅, чтобы показать конгруэнтность.

Соответствие сторон и углов означает, что сторона одного треугольника и сторона другого треугольника в одном и том же положении совпадают.Возможно, вам придется повернуть один треугольник, чтобы провести тщательное сравнение и найти соответствующие части.

Как узнать, равны ли треугольники?

Вы можете разрезать свой учебник ножницами, чтобы проверить два треугольника. Это не очень полезно и портит ваш учебник. Если вы работаете с онлайн-учебником, вы не сможете сделать даже , что .

Геометры предпочитают более изящные способы доказательства конгруэнтности. Сравнивая один треугольник с другим на соответствие, они используют три постулата.

Определение постулата

Постулат — это утверждение, представленное математически, которое считается истинным. Все три утверждения о конгруэнтности треугольников обычно рассматриваются в математическом мире как постулаты, но некоторые авторитеты определяют их как теоремы (которые можно доказать).

Не волнуйтесь, если некоторые тексты называют их постулатами, а некоторые математики называют их теоремами. Более важными, чем эти два слова, являются концепции конгруэнтности.

Теоремы о сходстве треугольников

Проверка конгруэнтности треугольников включает три постулата. Давайте взглянем на три постулата, сокращенно обозначаемые ASA , SAS и SSS .

  1. Угол Боковой Угол (ASA)
  2. Боковой уголок Боковой (SAS)
  3. Боковая Боковая Боковая (SSS)

Теорема ASA (угол-сторона-угол)

Постулат Угла Стороны Угла (ASA) говорит, что треугольники конгруэнтны, если любые два угла и их сторона равны в треугольниках.Прилежащая сторона — это сторона между двумя углами.

В скетче ниже у нас есть △CAT и △BUG. Обратите внимание, что ∠C на △CAT конгруэнтно ∠B на △BUG, а ∠A на △CAT конгруэнтно ∠U на △BUG.

Видите включенную сторону между ∠C и ∠A на △CAT? Он равен по длине включенной стороне между ∠B и ∠U на △BUG.

У двух треугольников два угла конгруэнтны (равны) и сторона, заключенная между этими углами, конгруэнтна. Это заставляет оставшийся угол на нашем △CAT быть:

180° – ∠C – ∠A

Это потому, что внутренние углы треугольников в сумме составляют 180°.Вы можете построить только один треугольник (или его отражение) с заданными сторонами и углами.

Вы можете подумать, что мы подстроили это, потому что заставили вас смотреть под определенным углом. Постулат гласит, что вы можете выбрать любые два угла и их присоединенную сторону. Так что вперед; посмотрите либо на ∠C и ∠T, либо на ∠A и ∠T на △CAT.

Сравните их с соответствующими углами на △BUG. Вы увидите, что все углы и все стороны равны в двух треугольниках, независимо от того, какие из них вы выберете для сравнения.

Теорема SAS (сторона-угол-сторона)

Применяя постулат Side Angle Side (SAS) , вы также можете быть уверены, что ваши два треугольника конгруэнтны. Здесь вместо выбора двух углов мы выбираем сторону и соответствующую ей сторону двух треугольников.

Постулат SAS говорит, что треугольники конгруэнтны, если любая пара соответствующих сторон и их угол конгруэнтны.

Выберите любую сторону △JOB ниже. Обратите внимание, что мы не заставляем вас выбирать определенную сторону, потому что мы знаем, что это работает независимо от того, с чего вы начинаете.Перейдите к следующей стороне (в любом направлении, в котором вы хотите двигаться), которая охватит прилежащий угол.

Чтобы два треугольника были конгруэнтны, эти три части — сторона, угол и прилежащая сторона — должны быть конгруэнтны тем же трем частям — соответствующей стороне, углу и стороне — другого треугольника, △ ЯК.

Теорема SSS (сторона-сторона-сторона)

Возможно, самый простой из трех постулатов, Сторона Сторона Сторона Постулат (SSS) гласит, что треугольники конгруэнтны, если три стороны одного треугольника конгруэнтны соответствующим сторонам другого треугольника.

Это единственный постулат, который не имеет отношения к углам. Вы можете повторить постулат SSS , используя два прямых объекта — сырые спагетти или пластиковые мешалки отлично подойдут. Отрежьте крошечный кусочек от одного, чтобы он был не таким длинным, как начинался. Разрежьте другую длину на две отчетливо неравные части. Теперь у вас есть три стороны треугольника. Сложите их вместе. У вас есть один треугольник. Теперь перетасуйте стороны и попробуйте соединить их другим способом, чтобы получился другой треугольник.

Угадайте, что? Вы не можете этого сделать. Вы можете собрать свой треугольник только одним способом, независимо от того, что вы делаете. Вы можете думать, что вы умны и переключаете две стороны, но тогда все, что у вас есть, — это отражение (зеркальное отражение) оригинала.

Итак, как только вы поймете, что три длины могут составить только один треугольник, вы увидите, что два треугольника, три стороны которых соответствуют друг другу, идентичны или конгруэнтны.

Проверка совпадения полигонов

Вы можете проверять многоугольники, такие как параллелограммы, квадраты и прямоугольники, используя эти постулаты.

Если ввести диагональ в любую из этих фигур, получится два треугольника. Используя любой постулат, вы обнаружите, что два созданных треугольника на 90 262 всегда конгруэнтны на 90 265.

Предположим, у вас есть параллелограмм SWAN и добавлена ​​диагональ SA. Теперь у вас есть два треугольника, △SAN и △SWA. Они конгруэнтны?

Вы уже знаете, что прямая SA, используемая в обоих треугольниках, конгруэнтна самой себе. А как насчет ∠САН? Это конгруэнтно ∠WSA, потому что они являются альтернативными внутренними углами параллельных отрезков SW и NA (из-за теоремы о альтернативных внутренних углах).

Вы также знаете, что отрезки SW и NA конгруэнтны, потому что они были частью параллелограмма (противоположные стороны параллельны и конгруэнтны).

Теперь у вас есть сторона SA, прилежащий угол ∠WSA и сторона SW △SWA. Вы можете сравнить эти три части треугольника с соответствующими частями △SAN:

.
  • Сторона SA ≅ Сторона SA (надеюсь!)
  • Включенный уголок   ∠WSA ≅ ∠NAS
  • Сторона SW ≅ Сторона NA

Итоги урока

Проработав этот урок и немного поразмыслив над ним, вы теперь можете вспомнить и применить три постулата о сходстве треугольников: постулат о совпадении сторон и углов, постулат о совпадении сторон и углов и постулат о совпадении сторон и сторон.Теперь вы можете определить, равны ли любые два треугольника!

Следующий урок:

Условные операторы и их обращение

Quia — Geometry Chapter 4

9097 Когда стороны смежные с внутренними углами являются внешними углами 9097 5 9092 равнобедренный треугольник – это ___________.
A B
Треугольник Фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой.
Равносторонний треугольник Имеет три равные стороны
Равнобедренный треугольник Треугольник, у которого хотя бы две равные стороны.
ЛЕСТНИЧНОЙ Треугольник не имеет Равные стороны
остроугольный треугольник имеет углы три острых
равностороннего треугольника имеет углы три конгруэнтно
тупого треугольника имеет один тупой угол
Прямоугольный треугольник Треугольник с одним прямым углом
Внутренние углы Сторона, противоположная прямому углу в прямоугольном треугольнике
Внешние углы
Соответствующие углы Когда две фигуры конгруэнтны, углы, находящиеся в соответствующих положениях, конгруэнтны.
Соответствующие стороны Когда две фигуры конгруэнтны, стороны, которые находятся в соответствующих позициях, являются конгруэнтными
Заявление о том, что может быть легко доказано, используя теорему
Connoguent. геометрические фигуры одинакового размера и формы, у которых все пары соответствующих углов и соответствующих сторон равны
катеты стороны прямоугольного треугольника или конгруэнтные стороны равнобедренного треугольника
гипотенуза
Теорема о сумме треугольников Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.
Внешний угол Теорема Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух несмежных внутренних углов.
Следствие теоремы о суммах треугольников Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга.
Если две геометрические фигуры равны, то существует соответствие
Теорема о третьих углах Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы равны.
Постулат о конгруэнтности сторон (SSS) Если три стороны одного треугольника конгруэнтны трем сторонам второго треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.
Постулат о конгруэнтности стороны-угла-стороны (SAS) Если две стороны и угол между ними одного треугольника конгруэнтны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.
Постулат о конгруэнтности многоугольников Два многоугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует соответствие между их сторонами и углами, такое что: Каждая пара соответствующих углов конгруэнтна; Каждая пара соответствующих сторон конгруэнтна
Угол-Сторона-Угол (ASA) Постулат о конгруэнтности Если два угла и прилежащая к ним сторона в одном треугольнике конгруэнтны двум углам и прилежащей к ним стороне в другом треугольнике, то два треугольника конгруэнтны
Постулат о конгруэнтности угла-угла-стороны (AAS) Если два угла и не входящая в них сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующим углам и не входящей в них стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
Гипотенуза-каттер (HL) Теорема о конгруэнтности Если гипотенуза и катет прямоугольного треугольника конгруэнтны гипотенузе и катету другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.
CPCTC Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны
Теорема о равнобедренном треугольнике Если две стороны треугольника конгруэнтны, то и углы, противоположные этим сторонам конгруэнтны.
Обратная теорема о равнобедренном треугольнике Если два угла треугольника равны, то стороны, противолежащие этим углам, равны.
Ноги IsoSceles Triangle Два конгруэнтрические стороны
Угол вершины Угол наклон напротив базы изоляции треугольника
Базовые углы Углы, вершины которых являются эндоподъемными. равнобедренного треугольника
Следствие Дополнительная теорема, которая может быть легко получена из исходной теоремы
Мера каждого равностороннего треугольника ___________ 60 градусов биссектриса основания
Диагональ параллелограмма делит параллелограмм на ____________. два равных треугольника
Противоположные стороны параллелограмма _____________. конгруэнтны
Противоположные углы параллелограмма _____________. конгруэнтны
Смежные углы параллелограмма _____________. дополнительная
Диагонали параллелограмма _____________. делят друг друга пополам
Ромб — это _____________. параллелограмм
Прямоугольник — это _____________. параллелограмм
Диагонали ромба _____________. перпендикуляр
Диагонали прямоугольника _____________. конгруэнтны
Диагонали воздушного змея _____________. перпендикулярно
Квадрат — это _____________ и _____________. прямоугольник; ромб
Диагонали квадрата равны _____________ и равны _____________ друг другу ; серединный перпендикуляр
Если две пары противоположных сторон четырехугольника равны, то этот четырехугольник является _____________. параллелограмм
Если одна пара противоположных сторон четырехугольника _________ и ______, то четырехугольник является параллелограммом параллельно; конгруэнтны
Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то этот четырехугольник является _____________. параллелограмм
Если один угол параллелограмма прямой, то параллелограмм _____________. прямоугольник
Теорема строителя Если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником
Если одна пара смежных сторон параллелограмма конгруэнтна, то параллелограмм является ___________. ромб
Если диагонали параллелограмма делят углы параллелограмма пополам, то параллелограмм _____________. ромб
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм _____________. ромб
Теорема о средней линии треугольника Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и имеет меру, равную половине меры этой стороны длины любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны
.

0 comments on “Равенство треугольников по трем сторонам: 3 признака равенства треугольников

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *