Как умножить вектор на число: Умножение вектора на число — урок. Геометрия, 9 класс.

Умножение вектора на число

Произведением вектора x на число β (x≠0, β≠0) называется вектор, модуль которого равен |x||β| и который направлен в ту же сторону, что и вектор x, если β>0, и в противоположную, если β<0. Если x=0 и (или) β=0, то βx=0.

Рис. 1

На рисунке Рис. 1 вектор x умножен на число 1.5. Полученный вектор y’ имеет то же направление, что и x т.к 1.5>0, и имеет длину 1.5 раз превысшающее длину x.

Вектор q имеет противополжное к p направление, т.к. вектор p умножено на отрицательное число -0.5, и имеет длину 2 раза меньше длины p.

Рассмотрим процесс умножения вектора на число.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть имеется вектор

где координаты вектора x

, и пусть β некоторое число. Тогда

То есть для умножения вектора на число достаточно умножить каждый координат данного вектора на это число.

На рисунке Рис. 1 вектор x имеет координаты x=(6,4). Для умножения вектора x на число 1.5, умножим каждый координат вектора x на число 1.5:

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть имеется вектор x, с начальной точкой и конечной точкой . Умножим вектор x на число β. Для этого проще всего параллельно переместить вектор x на начало координат, умножить на число, после чего параллельно переместить началную точку полученного вектора на точку A.

Переместим вектор x на начало координат. Получим новый вектор x’ с начальными и конечными точками:

Умножим x’ на β:

Параллельно переместив начальную точку вектора

x’ на точку A, получим вектор с начальными и конечными точками:

На рисунке Рис. 1 вектор p=AB имеет координаты A(2,3) и B(8,1). Для умножения вектора p на число -0.5, сначала переместим параллельно вектор p так, чтобы начальная точка вектора p совпала с началом координат. Получим вектор p’=A’B’ с координатами A’(0,0) и B’(8-2, 1-3)=B’(6,-2). Умножим вектор p’ с числом -0.5:

Перемесив начальную точку вектора q’ на точку A, получим вектор q=AE, где точка E имеет координаты:

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1.β(x+y)=βx+βy (дистрибутивность относительно сложения векторов).

2. (α+β)a=αa+βa (дистрибутивность относительно сложения чисел).

3. α(βa)=(αβ)a (ассоциативность).

4. 1·a=a (умножение на единицу).

Примеры умножения вектора на число

Пример 1. Умножить вектор y=(3,5,-6) на число 2.5.

Для умножения вектора y на число 2.5, просто умножаем каждый координат вектора y на данное число:

Пример 2. Умножить вектор x=AB на число 3, где A(2,2), B(7,6).

Переместим вектор AB на начало координат. Начальное и конечное точки перемещенного вектора будут:

Умножив полученный вектор на число 3, изменяется расположение конечной точки B’:

.

Переместив вектор на точку A, получим вектор 3·x, со следующими начальной и конечной точками:

 

Умножение вектора на число.

Геометрическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.


Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax; k · ay}


Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}


Формула умножения n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a

1 ; a2; … ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a1; k · a2; … ; k · an}


Свойства вектора умноженного на число

Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:

  • b || a — вектора b и a параллельны

  • a↑↑b, если k > 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0

  • a↑↓b, если k < 0 — вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0

  • |b| = |k| · |a| — модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Примеры задач на умножение вектора и числа

Пример умножения вектора на число для плоских задачи

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

Пример умножения вектора на число для пространственных задачи

Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Умножение вектора на число

Откладывание вектора от данной точки

Для того чтобы ввести понятие умножения вектора на число, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

  1. Вектор $\overrightarrow{a}$ — нулевой.

    В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $\overrightarrow{KK}$.

  2. Вектор $\overrightarrow{a}$ — ненулевой.

    Обозначим точкой $A$ начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

    Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

    Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

    Теорема доказана.

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор $\overrightarrow{a\ }$ и действительное число $k$.

Определение 2

Произведением вектора $\overrightarrow{a\ }$ на действительное число $k$ называется вектор $\overrightarrow{b\ }$ удовлетворяющий следующим условиям:

  1. Длина вектора $\overrightarrow{b\ }$ равна $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }|$;

  2. Векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ сонаправлены, при $k\ge 0$ и противоположно направлены, если $k

Обозначение: $\ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }$.

Замечание 1

Отметим, что в результате произведения вектора на число всегда получается векторная величина.

Свойства произведения вектора на число

  1. Произведение любого вектора с числом ноль равняется нулевому вектору.

    Доказательство.

    По определению 2, имеем $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a\ }\right|=0\cdot \left|\overrightarrow{a\ }\right|=0$, следовательно,$\overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }=\overrightarrow{0}$

  2. Для любого вектора $\overrightarrow{a\ }$ и любого действительного числа $k$ векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ коллинеарны.

    Доказательство.

    Так как по определению 2, векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ сонаправлены или противоположно направлены (в зависимости от значения $k$), то они будут коллинеарны.

  3. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив сочетательный закон:

    \[\left(mn\right)\overrightarrow{a\ }=m(n\overrightarrow{a\ })\]

    Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 3.

    Рисунок 3. Сочетательный закон

  4. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив первый распределительный закон:

    \[\left(m+n\right)\overrightarrow{a\ }=m\overrightarrow{a\ }+n\overrightarrow{a\ }\]

    Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 4.

    Рисунок 4. Первый распределительный закон

  5. Для любого действительного числа $m$ и векторов $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ справедлив второй распределительный закон:

    \[m\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)=m\overrightarrow{a\ }+m\overrightarrow{b\ }\]

    Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 5.

    Рисунок 5. Второй распределительный закон

Готовые работы на аналогичную тему

Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число

Пример 1

Пусть $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}$. Найти векторы:

  1. $2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$

  2. $\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}$

  3. $-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}$

Решение.

  1. $2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=2\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)+2\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)=2\overrightarrow{a\ }+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a\ }-2\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{a\ }$

  2. $\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a\ }-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a\ }+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\frac{3\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}}{2}$

  3. $-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}=-\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)-\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a\ }$

Умножение вектора на число [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ .

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.

Свойства. Для любых чисел k, l и любых векторов $\overrightarrow{a}\,, \overrightarrow{b}$ справедливы следующие равенства:

  1. $(kl)\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})$ {сочетательный закон).

  2. $(k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}$ {первыйраспределительный закон).

  3. $k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$ {второй распределительный закон).

Рисунок 1 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.

Рис.1

Рисунок 2 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 3, l = 2.

Рис.2

Примечание. Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение $$ \overrightarrow{р} = 2(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) — 3(\overrightarrow{b} — \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) $$ можно преобразовать так: $$ \overrightarrow{р} = 2\overrightarrow{a} — 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} — 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} — 3\overrightarrow{a} = — 5\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} $$



Пример 1. Коллинеарны ли векторы $2\overrightarrow{a} \,и\, -\overrightarrow{a}$ ?

Решение. Имеем $2\overrightarrow{a} = -2(-\overrightarrow{a})$ . Значит, данные векторы коллинеарны.


Пример 2. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{АС}$ следующие векторы: $а)\, \overrightarrow{ВА}\text{ ; б) }\overrightarrow{СВ}\text{ ; в) }\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА}$ .

Решение

а) Векторы $\overrightarrow{ВА} \,и\, \overrightarrow{АВ}$ — противоположные, поэтому $\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{АВ}\text{ , или }\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{a}$ .

б) По правилу треугольника $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{СА} + \overrightarrow{АВ}$ . Но $\overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС}$ , поэтому $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{АВ} + (-\overrightarrow{АС}) = \overrightarrow{АВ} -\overrightarrow{АС} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ .

в) $\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС} = -\overrightarrow{b}$.2 )

По отношению к другому отрезку, исходный направленный отрезок может быть сонаправленным a b , то есть направления совпадают, между ними угол 0°, и противонаправленным a b , то есть направления противоположны, между ними угол 180°.

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.

Компланарные векторы – это векторы, лежащие в параллельных плоскостях или в одной плоскости.

Условие равенства двух a =b заключается в их коллинеарности и сонаправленности a b , равенстве длин |a |=|b |.

Как умножить вектор на число

Что значит умножить вектор на число? Это значит получить другой вектор, коллинеарный данному, сонаправленный с ним при положительном числе >0 или противонаправленный с ним при <0, модуль которого равен произведению модуля заданного вектора и модуля .

Чтобы умножить вектор на число необходимо воспользоваться формулами:

b =a и |b |=|a |||

где a – исходный вектор, – число, не равное 0, b – полученный при умножении вектор.

Чтобы умножить число на координаты вектора необходимо воспользоваться формулой:

a =(x,y)

где x и y – координаты исходного вектора.

Примеры задач

Задача 1: Упростить выражение 2(a -b )-3(c +a )+4(a +c ) и найти w , если a =(1;3)(2;7), b =(4;8)(6;5), c =(2;4)(1;9).

Решение: 2(a -b )-3(c +a )+4(b -c ) = 2a -2b -3c -3a +4b —4c =-a +2b -7c .

x_wн=-x_aн+2x_bн-7x_cн=-1+24-72=-1+8-14=-7;

x_wк=-x_aк+2x_bк-7x_cк=-2+26-71=-2+12-7=3;

y_wн=-y_aн+2y_bн-7y_cн=-3+28-74=-3+16-28=-15;

y_wк=-y_aк+2y_bк-7y_cк=-7+25-79=-7+10-63=-60;

Ответ: w =(-7;-15)(3;-60).

Задача 2: На рисунке  графически изображены два вектора, определить на какое был умножен a для получения b .

Решение:

a имеет координаты: x_aн=1; x_aк=2;y_aн=2; y_aк=4;

b имеет координаты: x_bн=3; x_bк=6;y_bн=6; y_bк=12.

Возьмем координаты начала и конца b разделим на a :

=x_bнx_aн=31=3.

Аналогично и с другими координатами.

Ответ: =3.

Задача 3: Получить b , зная a =(1;4)(3;9) и =5.

Решение:

x_bн=x_aн =15=5;

x_bк=x_aк =35=15;

y_bн=y_aн =45=20;

y_bк=y_aк =95=45.

Ответ: b =(5;20)(15;45).

 

Рисунок 2 – графическое изображение a (фиолетовым цветом) и b (синим цветом).

Произведение вектора на число / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Векторы
  5. Произведение вектора на число

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Сумма двух векторов

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Применение векторов к решению задач

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 775, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 803, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 804, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 805, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 903, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1074, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Умножение вектора на число

Векторы: \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \), \( \mathbf{w} \)

Нулевой вектор: \( \mathbf{0} \)

Координаты векторов: \( X \), \( Y \), \( Z \)

Действительные числа: \( \lambda \), \( \mu \)

Произведением вектора на число

Произведением вектора \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \) на число \( \lambda \ne 0 \) называется вектор \( \mathbf{w} \), модуль которого равен \( \left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right| \), направление которого совпадает с вектором \( \mathbf{u} \) при \( \lambda > 0 \) и противоположно ему при \( \lambda

\(\mathbf{w} = \lambda \mathbf{u},\;\;\left| \mathbf{w} \right| = \left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right|\)

Произведение вектора \( \mathbf{u} \) на число \( \lambda \) при \( \lambda = 0 \) и/или \( \mathbf{u} = \mathbf{0} \) равно нулевому вектору \( \mathbf{0} \).

Операция умножения вектора на число обладает следующими линейными свойствами :

Коммутативность умножения вектора на число  
\( \lambda \mathbf{u} = \mathbf{u}\lambda \)

Дистрибутивность умножения относительно сложения чисел  
\( \left( {\lambda + \mu } \right)\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{u} \)

Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов  
\( \lambda \left( {\mathbf{u} + \mathbf{v}} \right) = \lambda \mathbf{u} + \lambda \mathbf{v} \)

Ассоциативность умножения вектора на число  
\( \lambda \left( {\mu \mathbf{u}} \right) = \mu \left( {\lambda \mathbf{u}} \right) = \left( {\lambda \mu } \right)\mathbf{u} \)

Умножение вектора на единицу  
\( 1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} \)

Умножение вектора на число в координатной форме  
\( \lambda \mathbf{u} = \left( {\lambda X,\lambda Y,\lambda Z} \right) \)

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Больше интересного в телеграм @calcsbox

Скалярное умножение векторов

Чтобы умножить вектор на скаляр, умножьте каждый компонент на скаляр.

Если ты → знак равно 〈 ты 1 , ты 2 〉 имеет величину | ты → | и направление д , тогда н ты → знак равно н 〈 ты 1 , ты 2 〉 знак равно 〈 н ты 1 , н ты 2 〉 куда н положительное действительное число, величина равна | н ты → | , а его направление д .

Обратите внимание, что если н отрицательно, то направление н ты является противоположностью д .

Пример :

Позволять ты знак равно 〈 − 1 , 3 〉 , Находить 7 ты .

7 ты знак равно 7 〈 − 1 , 3 〉 знак равно 〈 7 ( − 1 ) , 7 ( 3 ) 〉 знак равно 〈 − 7 , 21 〉

Свойства скалярного умножения:

Позволять ты а также в быть векторами, пусть с а также д быть скалярами.Тогда верны следующие свойства.

Свойства скалярного умножения

Величина масштабированного вектора равна абсолютному значению скаляра, умноженному на величину вектора. ‖ с в ‖ знак равно | с | в
Ассоциативное свойство с ( д ты ) знак равно ( с д ) ты
Коммутативное свойство с ты знак равно ты с
Распределительное свойство

( с + д ) ты знак равно с ты + д ты

с ( ты + в ) знак равно с ты + с в

Идентификационное свойство 1 ⋅ ты знак равно ты
Мультипликативное свойство − 1 ( − 1 ) с знак равно − с
Мультипликативное свойство 0 0 ( ты ) знак равно 0

Умножение векторов


Векторы — что это такое? дает введение в тема.

Есть два полезных определения умножения векторов, в один продукт является скаляром, а в другом продукт является вектор. Нет операции деления векторов. В некоторых в школьных программах вы встретите скалярные произведения, а не векторные произведений, но мы обсуждаем оба типа умножения векторов в эту статью, чтобы дать более полное представление об основах предмет

Скалярное умножение

Скалярное произведение векторы ${\bf u} = (u_1, u_2, u_3)$ и ${\bf v}=(v_1, v_2, v_3)$ — скаляр, определяемый как $${\bf u.2 \quad (2),$$ и если ${\bf i, j, k}$ единичные векторы вдоль оси, то $${\bf i.i}={\bf j.j} = {\bf kk} = 1,\quad {\rm и}\quad {\bf i.j}={\bf j.k} = {\bf k.i} = 0\quad (3).$$ читателю остается проверить из определения, что $${\bf u.v} = {\bf v.u}, \ {\rm and} \ ({\bf u + v}).{\bf w} = {\bf u.w} +{\bf v.w}.$$ Это показывает, что мы можем расширить или умножить $${\bf u.v}= (u_1{\bf i}+u_2{\bf j}+u_3{\bf k}).(v_1{\bf i}+v_2{\bf j}+u_3{\bf k})$$ дает девять терминов. Используя уравнение (3), шесть из этих членов равны ноль, а остальные три дают выражение $u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ в соответствии с определением в уравнении (1).{-1} \left({{\bf u.v}\over |{\bf u}|||{\bf v}|}\right)\quad (7).$$ В трех измерениях мы можем использовать более интуитивное определение угла с точки зрения поворота, но в более высокие размеры необходимо иметь определение угла например, формула (7). Если мы используем эту формулу для определения угла, то Правило косинусов следует непосредственно, поскольку они эквивалентны.

Обратите внимание, что произведение вектора-строки и вектора-столбца равно определяется в терминах скалярного произведения, и это согласуется с умножение матриц.$$(u_1\ u_2\ u_3)\left(\begin{массив}{cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{массив} \right) = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.$$

Умножение на вектор

Векторное произведение двух векторы ${\bf b}$ и ${\bf c}$, записанные ${\bf b}\times {\bf c}$ (и иногда называют крест произведение ), есть вектор $${\bf b}\times {\bf c} = \left( \begin{массив}{cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1 \end{array} \right) \quad (8).$$ Существует альтернативное определение векторного произведения, а именно, что ${\bf b}\times {\bf c}$ является вектор величины $|{\bf b}||{\bf c}|\sin \theta$ перпендикулярен к ${\bf b}$ и ${\bf c}$ и подчиняясь «правилу правой руки», и мы докажем, что этот результат следует из данного определения и что эти два определения эквивалентны.Доказательство дано позже для полноты, но сначала мы рассмотрим ${\bf b}\times {\bf c}$, выраженное через компоненты по направлениям ${\bf i, у, к}$.

Из этого определения видно, что ${\bf b}\times {\bf c}=-{\bf c}\times {\bf b}$, так что эта операция некоммутативна. Если $ {\ bf я, j, k}$ — единичные векторы вдоль осей, тогда из этого определения: $${\bf i}\times {\bf i} = {\bf j}\times {\bf j}= {\bf k}\times {\bf k}, $$ и $$\eqalign{ {\bf i}\times {\bf j} &= {\bf k},\quad {\bf j}\times {\bf i} = -{\bf k} \cr {\bf j}\times {\bf k} &= {\bf i},\quad {\bf k}\times {\bf j} = -{\bf i} \cr{\bf k}\times {\bf i} &= {\bf j}, \quad {\bf i}\times {\bf k} = -{\bf j} .}$$ Из определения следует, что $$k({\bf b}\times {\bf c}) = (k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad ({\bf a+b})\times {\bf c} = ({\bf a}\times {\bf c}) + ({\bf b}\times {\bf c}).$$ Раскрывая выражение $${\bf b}\times {\bf c} = (b_1{\bf i} + b_2{\bf j} + b_3 {\bf k}) \times (c_1{\bf i}+ c_2{\bf j} + c_3 {\bf k})$$ дает $$ (b_2c_3-b_3c_2){\bf i}+ (b_3c_1-b_1c_3){\bf j} + (b_1c_2-b_2c_1){\bf k} \quad (9)$$, который – формула векторного произведения, заданная в уравнении (8).

Теперь мы докажем, что два определения векторного умножения верны. эквивалент. На диаграмме показаны направления векторов ${\bf b}$, ${\bf c}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$, которые образуют «правильный ручной набор».

Вы можете закончить чтение здесь, и это действительно больше важно понимать, что существует два определения вектора произведение, эквивалентность которого можно показать, чем оно механически проработать детали доказательства.

Теорема Вектор Произведение двух векторов ${\bf b}$ и ${\bf c}$ есть вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ со следующими свойствами:

(i) ${\bf b}\times {\bf c}$ имеет величина $|{\bf b}||{\bf c}|\sin \theta$, где $\theta$ — угол между направлениями ${\bf b}$ и ${\bf c}$;

(ii) ${\bf b}\times {\bf c}$ перпендикулярно ${\bf b}$ и ${\bf c}$ с таким направлением, что векторы ${\bf b}$, ${\bf c}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$ образуют правосторонний набор, как на диаграмме, так что ${\bf b}\times {\bf c}$ и ${\bf c}\times {\bf b}$ направлены в противоположные стороны.2$.2} \cr &= |{\bf b}\times {\bf c}|. }$$

Доказательство части (ii) Кому покажите, что ${\bf b}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$ перпендикулярны мы показываем, что скалярное произведение равно нулю: $${\bf b}.{\bf b}\times {\bf c} = b_1(b_2c_3-b_3c_2) +b_2(b_3c_1-b_1c_3)+b_3(b_1c_2-b_2c_1) = 0,$$ и аналогично скалярное произведение ${\bf c}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$ равен нулю, поэтому эти векторы перпендикулярны.


Умножение векторов – Гиперучебник по физике

Обсуждение

умножение скаляра на вектор

Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но оставляет его направление неизменным.Скаляр изменяет размер вектора. Скаляр «масштабирует» вектор. Например, полярный форм-вектор…

r  =  r    + θ  θ̂

, умноженное на скаляр , равно…

.

a   r  =  ar    + θ  θ̂

Умножение вектора на скаляр является дистрибутивным.

a ( A + B ) = a A + a B

Следовательно, прямоугольный форм-вектор…

r = х х + у х

, умноженное на скаляр , равно…

.

a   r  = ax   î  + ау   ĵ

скалярное произведение

Геометрически скалярное произведение двух векторов равно единице, умноженной на проекцию второго на первый.

Символ, используемый для обозначения этой операции, представляет собой небольшую точку средней высоты (·), откуда и произошло название «точечный продукт». Поскольку это произведение имеет только величину, оно также известно как скалярное произведение 90 207 90 208 .

A  ·  B  =  AB  cos θ

Скалярный продукт является распределительным…

А  · ( В  +  С ) =  А  ·  В  +  А  ·  С

и коммутативный…

А  ·  Б  =  Б  ·  А

Поскольку проекция вектора на самого себя оставляет его величину неизменной, скалярное произведение любого вектора на самого себя есть квадрат величины этого вектора.

A  ·  A  =  AA  cos 0° =  A 2

Применение этого следствия к единичным векторам означает, что скалярное произведение любого единичного вектора с самим собой равно единице. Кроме того, поскольку вектор не имеет перпендикулярной к себе проекции, скалярное произведение любого единичного вектора на любой другой равно нулю.

х  ·  х  = х  ·  х  =   ·  = 0(s 1)(0)

х  ·  х  = х  ·   =   · х  3 0 = 9(1)(0)

Используя эти знания, мы можем вывести формулу скалярного произведения любых двух векторов в прямоугольной форме.Полученный продукт выглядит так, как будто это будет ужасный беспорядок, но он состоит в основном из членов, равных нулю.

А  ·  В  =  ( A x 9 + 9 + 9 + 9 + ĵ + A 30 + A 30 + 9 K ) · ( b x î + b y ĵ  +  B z   )  
 
А  ·  В  =  А x   î  ·  В x   î  +  А x   î  ·  Б у   х  +  А x   î  ·  B z    
+ А и   х  ·  В x   î  +  А и   х  ·  Б у   х  +  А и   х  ·  B z    
+ А z   к̂  ·  В x   î  +  А z   к̂  ·  Б у   х  +  А z   к̂  ·  B z    
А  ·  В  =  A x B x  +  A y B y  +  A z B z  
 

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их параллельных компонентов.Отсюда мы можем вывести теорему Пифагора для трех измерений.

A · a = AA = AA COS 0 ° = A x a x y a y + A Z A Z

A 2 = A x 2 + A y 2 + A Z 2

перекрестное произведение

Геометрически перекрестное произведение двух векторов представляет собой площадь параллелограмма между ними.

Символ, используемый для обозначения этой операции, представляет собой большой диагональный крест (×), откуда и произошло название «перекрестное произведение». Поскольку это произведение имеет величину и направление, оно также известно как векторное произведение .

A  ×  B  =  AB  sin θ 

Вектор (n hat) представляет собой единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной двумя векторами. Направление определяется правилом правой руки, которое мы вскоре обсудим.

Перекрестное произведение является распределительным…

  A  × ( B  +  C ) = ( A  ×  B ) + ( A  ×   ×  C )

, но не коммутативный…

А  ×  В  = — В  ×  А

Изменение порядка перекрестного умножения на противоположное меняет направление произведения.

Поскольку два одинаковых вектора образуют вырожденный параллелограмм без площади, векторное произведение любого вектора на себя равно нулю…

А  ×  А  = 0

Применение этого следствия к единичным векторам означает, что векторное произведение любого единичного вектора с самим собой равно нулю.

х  × х  = х  х х  =   ×  = 0 0 (1) (0)

Следует отметить, что векторное произведение любого единичного вектора на любой другой будет иметь модуль, равный единице. (В конце концов, синус 90° — это единица.) Однако направление не является интуитивно очевидным. Правило правой руки для перекрестного умножения связывает направление двух векторов с направлением их произведения. Поскольку перекрестное умножение 90 679, а не 90 680, коммутативно, порядок операций важен.

  1. Держите правую руку горизонтально, большой палец должен быть перпендикулярен остальным. Ни в коем случае не сгибайте большой палец.
  2. Укажите пальцем в направлении первого вектора.
  3. Расположите ладонь так, чтобы при сгибании пальцев они указывали в направлении второго вектора.
  4. Теперь ваш большой палец указывает в направлении векторного произведения.

Правосторонняя система координат , которая является обычной системой координат, используемой в физике и математике, представляет собой систему, в которой любое циклическое произведение трех координатных осей положительно, а любое антициклическое произведение отрицательно.Представьте себе часы с тремя буквами x-y-z вместо обычных двенадцати цифр. Любое произведение этих трех букв, которое работает круглосуточно в том же направлении, что и последовательность x-y-z, равно циклическому и положительному. Любой продукт, который движется в противоположном направлении, антициклический и отрицательный.

Перекрестное произведение циклической пары
единичных векторов равно положительному .
Перекрестное произведение антициклической пары
единичных векторов равно отрицательному .

Используя эти знания, мы можем вывести формулу векторного произведения любых двух векторов в прямоугольной форме. Полученный продукт выглядит так, как будто он будет ужасным беспорядком, и это так!

A × b = ( A x î + a y ĵ + A Z K ) × ( B x  +  B y   ×  +  B z   )

Произведение двух трехчленов состоит из девяти членов.

А × В  =  А x   î  ×  В x   î  +  А x   î  ×  Б у   х  +  А x   î  ×  B z  
 +  А и   х  ×  В x   î  +  А и   х  ×  Б у   х  +  А и   х  ×  B z  
 +  А z   к̂  ×  В x   î  +  А z   к̂  ×  Б у   х  +  А z   к̂  ×  B z  

Три из них равны нулю.Устраните их.

А × В  =  A x B y    −  А х В z   х
 −  A y B x    +  А у Б з   х
 +  А z В x   х  −  A z B y   î

Сгруппировать термины по единичному вектору и фактору.

A × B = ( A Y B Z A Z B Y ) î + ( A Z B x A x 9159 9112 9012 9012 9112 9014 9119 9 9119 9 9119 9113 9113 915 + ( a x + ( A x 4 9012 — A y ) K

Есть более простой способ написать это. Для тех из вас, кто знаком с матрицами, перекрестное произведение двух векторов — это определитель матрицы, первая строка которой — единичные векторы, вторая строка — первый вектор, а третья строка — второй вектор.Символически…

А  ×  В  =  î к̂
  А x     А у     А з  
  В x     Б у     Б z  

Расширение определителя 3×3 по его первой строке — это первый шаг.Это дает нам три определителя 2×2.

А  ×  В  =    А у     А з     î  —    А x     А з     х  +    А x     А у     к̂
  Б у     Б z     В x     Б z     В x     Б у  

Эти определители 2×2 можно быстро найти.Они также дают нам решение, предварительно отсортированное по единичному вектору, поэтому нет необходимости сортировать члены и множители.

A × B = ( A Y B Z A Z B Y ) î + ( A Z B x A x 9159 9112 9012 9012 9112 9014 9119 9 9119 9 9119 9113 9113 915 + ( a x + ( A x 4 9012 — A y ) K

векторов | Безграничная физика

Компоненты вектора

Векторы представляют собой геометрические представления величины и направления и могут быть выражены в виде стрелок в двух или трех измерениях.

Цели обучения

Контраст двухмерных и трехмерных векторов

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Векторы можно разбить на две составляющие: величину и направление.
  • Взяв анализируемый вектор за гипотенузу, можно найти горизонтальную и вертикальную составляющие, составив прямоугольный треугольник. Нижний край треугольника — это горизонтальная составляющая, а сторона, противоположная углу, — вертикальная составляющая.
  • Угол, который вектор образует с горизонтом, можно использовать для вычисления длины двух компонентов.
Ключевые термины
  • координаты : Числа, указывающие положение относительно некоторой оси. Пример: координаты [латекс]\текст{х}[/латекс] и [латекс]\текст{у}[/латекс] указывают положение относительно [латекс]\текст{х}[/латекс] и [латекс]\текст {y}[/latex] оси.
  • ось : Воображаемая линия, вокруг которой вращается или симметрично располагается объект.
  • величина : Число, присвоенное вектору, указывающее его длину.

Обзор

Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые часто представляются прямыми стрелками, начинающимися в одной точке координатной оси и заканчивающимися в другой точке. Все векторы имеют длину, называемую величиной, которая представляет некоторое интересующее качество, так что вектор можно сравнить с другим вектором. Векторы, будучи стрелками, также имеют направление.Это отличает их от скаляров, которые представляют собой просто числа без направления.

Вектор определяется его величиной и ориентацией относительно набора координат. При анализе векторов часто бывает полезно разбить их на составные части. Для двумерных векторов эти компоненты горизонтальны и вертикальны. Для трехмерных векторов компонент величины одинаков, но компонент направления выражается в терминах [латекс]\текст{х}[/латекс], [латекс]\текст{у}[/латекс] и [латекс] \text{z}[/латекс].

Разложение вектора

Чтобы визуализировать процесс разложения вектора на его компоненты, начните с рисования вектора из начала координат набора координат. Затем нарисуйте прямую линию от начала координат вдоль оси X, пока линия не сравняется с вершиной исходного вектора. Это горизонтальная составляющая вектора. Чтобы найти вертикальную составляющую, проведите прямую линию вверх от конца горизонтального вектора, пока не достигнете вершины исходного вектора. Вы должны обнаружить, что у вас есть прямоугольный треугольник, исходный вектор которого является гипотенузой.

Разложение вектора на горизонтальную и вертикальную составляющие — очень полезный метод для понимания физических задач. Всякий раз, когда вы видите движение под углом, вы должны думать о нем как о движении по горизонтали и вертикали одновременно. Такое упрощение векторов может ускорить вычисления и помочь отслеживать движение объектов.

Скаляры и векторы : Г-н Андерсен объясняет разницу между скалярными и векторными величинами.Он также использует демонстрацию, чтобы показать важность векторов и сложения векторов.

Компоненты вектора : Исходный вектор, определенный относительно набора осей. Горизонтальная составляющая простирается от начала вектора до его самой дальней координаты x. Вертикальный компонент простирается от оси x до самой вертикальной точки вектора. Вместе две компоненты и вектор образуют прямоугольный треугольник.

Скаляры против векторов

Скаляры — это физические величины, представленные одним числом, а векторы представлены как числом, так и направлением.

Цели обучения

Различие между скалярами величин и векторами, представляющими

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Скаляры — это физические величины, представленные одним числом без направления.
  • Векторы — это физические величины, требующие как величины, так и направления.
  • Примеры скаляров включают высоту, массу, площадь и объем. Примеры векторов включают смещение, скорость и ускорение.
Ключевые термины
  • Оси координат : Набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Физические величины обычно можно разделить на две категории: векторы и скаляры. Эти две категории типизированы тем, какая информация им требуется. Векторы требуют двух частей информации: величины и направления. Напротив, для скаляров требуется только величина.О скалярах можно думать как о числах, тогда как о векторах следует думать скорее как о стрелках, указывающих в определенном направлении.

A Vector : Пример вектора. Векторы обычно представлены стрелками, длина которых представляет величину, а их направление представлено направлением, на которое указывает стрелка.

Для векторов требуется как величина, так и направление. Величина вектора — это число для сравнения одного вектора с другим. В геометрической интерпретации вектора вектор изображается стрелкой.Стрелка состоит из двух частей, которые ее определяют. Две части — это его длина, которая представляет величину, и его направление относительно некоторого набора координатных осей. Чем больше величина, тем длиннее стрелка. Физические понятия, такие как перемещение, скорость и ускорение, являются примерами величин, которые могут быть представлены векторами. Каждая из этих величин имеет как величину (как далеко или как быстро), так и направление. Чтобы указать направление, должно быть что-то, относительно чего это направление.Обычно эта опорная точка представляет собой набор координатных осей, таких как плоскость x-y.

Скаляры отличаются от векторов тем, что не имеют направления. Скаляры используются в основном для представления физических величин, для которых направление не имеет смысла. Некоторые примеры из них: масса, высота, длина, объем и площадь. Говорить о направлении этих величин бессмысленно, поэтому их нельзя выразить в виде векторов.

Разница между векторами и скалярами, введение и основы : В этом видео представлена ​​разница между скалярами и векторами.Вводятся понятия о величине и направлении и приводятся примеры как векторов, так и скаляров.

Графическое сложение и вычитание векторов

Векторы можно складывать или вычитать графически, размещая их встык на наборе осей.

Цели обучения

Моделирование графического метода сложения и вычитания векторов

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Чтобы сложить векторы, положите первый из них на набор осей хвостом в начале координат.Поместите следующий вектор хвостом в голову предыдущего вектора. Когда больше нет векторов, проведите прямую линию от начала координат до начала последнего вектора. Эта линия является суммой векторов.
  • Чтобы вычесть векторы, действуйте так же, как при сложении двух векторов, но переверните вычитаемый вектор по осям, а затем соедините его хвост к началу, как при сложении.
  • Добавление или вычитание любого количества векторов дает результирующий вектор.
Ключевые термины
  • origin : Центр координатной оси, определяемый как координата 0 по всем осям.
  • Оси координат : Набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Сложение и вычитание векторов

Одним из способов, которым представление физических величин в виде векторов упрощает анализ, является легкость, с которой векторы могут быть добавлены друг к другу. Поскольку векторы являются графическими визуализациями, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически.

Графический метод сложения векторов также известен как метод «голова к хвосту». Для начала нарисуйте набор координатных осей. Затем нарисуйте первый вектор так, чтобы его хвост (база) находился в начале осей координат. Для сложения векторов не имеет значения, какой вектор вы рисуете первым, поскольку сложение является коммутативным, но для вычитания убедитесь, что вектор, который вы рисуете первым, является тем, который вы вычитаете из . Следующий шаг — взять следующий вектор и нарисовать его так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего вектора (со стороны стрелки).Продолжайте размещать каждый вектор в начале предыдущего, пока все векторы, которые вы хотите добавить, не будут соединены вместе. Наконец, нарисуйте прямую линию от начала до начала последнего вектора в цепочке. Эта новая строка является векторным результатом сложения этих векторов.

Графическое сложение векторов : Метод сложения векторов «голова к хвосту» требует, чтобы вы разложили первый вектор по набору координатных осей. Затем поместите хвост следующего вектора на голову первого.Нарисуйте новый вектор от начала координат до начала последнего вектора. Этот новый вектор является суммой двух исходных.

Сложение векторов Урок 1 из 2: Метод сложения от начала до конца : Это видео знакомит зрителей со сложением и вычитанием векторов. В первом уроке показано графическое сложение, а во втором видео используется более математический подход и показано сложение векторов по компонентам.

Метод вычитания векторов аналогичен.Убедитесь, что первый вектор, который вы рисуете, является тем, из которого нужно вычесть. Затем, чтобы вычесть вектор, действуйте так же, как при сложении напротив этого вектора. Другими словами, переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвост к голове, как при сложении. Чтобы перевернуть вектор, просто поместите его голову туда, где был хвост, а хвост — туда, где была голова.

Добавление и вычитание векторов с использованием компонентов

Часто бывает проще складывать или вычитать векторы, используя их компоненты.

Цели обучения

Продемонстрировать, как складывать и вычитать векторы по компонентам

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Векторы можно разложить на горизонтальные и вертикальные составляющие.
  • После разложения векторов на компоненты можно добавлять компоненты.
  • Сложение соответствующих компонентов двух векторов дает вектор, являющийся суммой двух векторов.
Ключевые термины
  • Компонент : Часть вектора.Например, горизонтальные и вертикальные компоненты.

Использование компонентов для сложения и вычитания векторов

Другой способ добавления векторов состоит в добавлении компонентов. Ранее мы видели, что векторы могут быть выражены через их горизонтальные и вертикальные компоненты. Чтобы добавить векторы, просто выразите их оба в терминах их горизонтальных и вертикальных компонентов, а затем сложите компоненты вместе.

Вектор с горизонтальной и вертикальной компонентами : вектор на этом изображении имеет величину 10.3 единицы и направление на 29,1 градуса выше оси x. Его можно разложить на горизонтальную часть и вертикальную часть, как показано на рисунке.

Например, вектор длиной 5, расположенный под углом 36,9 градусов к горизонтальной оси, будет иметь горизонтальную составляющую 4 единицы и вертикальную составляющую 3 единицы. Если бы мы добавили это к другому вектору той же величины и направления, мы бы получили вектор вдвое длиннее под тем же углом. Это можно увидеть, сложив горизонтальные компоненты двух векторов ([латекс]4+4[/латекс]) и два вертикальных компонента ([латекс]3+3[/латекс]).Эти добавления дают новый вектор с горизонтальной составляющей 8 ([латекс]4+4[/латекс]) и вертикальной составляющей 6 ([латекс]3+3[/латекс]). Чтобы найти результирующий вектор, просто поместите конец вертикального компонента в начало (со стороны стрелки) горизонтального компонента, а затем проведите линию от начала координат к началу вертикального компонента. Эта новая линия является результирующим вектором. Он должен быть в два раза длиннее оригинала, так как оба его компонента в два раза больше, чем были ранее.

Чтобы вычесть вектора по компонентам, просто вычтите два горизонтальных компонента друг из друга и сделайте то же самое для вертикальных компонентов. Затем нарисуйте результирующий вектор, как вы это делали в предыдущей части.

Сложение векторов Урок 2 из 2: Как складывать векторы по компонентам : Это видео знакомит зрителей с сложением векторов с использованием математического подхода и демонстрирует сложение векторов по компонентам.

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но не направление.

Цели обучения

Суммируйте взаимодействие между векторами и скалярами

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.
  • Скаляр – это величина, имеющая только величину.
  • Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению величины вектора на скаляр. Вектор удлиняется или сжимается, но не меняет направление.
Ключевые термины
  • вектор : направленная величина, имеющая как величину, так и направление; между двумя точками.
  • величина : Число, присвоенное вектору, указывающее его длину.
  • скаляр : Величина, имеющая величину, но не направление; сравнить вектор.

Обзор

Хотя векторы и скаляры представляют разные типы физических величин, иногда необходимо, чтобы они взаимодействовали. Хотя добавление скаляра к вектору невозможно из-за их разных измерений в пространстве, можно умножить вектор на скаляр.Однако скаляр нельзя умножить на вектор.

Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть модуль вектора на модуль скаляра. Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведением двух величин.

Пример

Например, если у вас есть вектор A с определенной величиной и направлением, умножение его на скаляр a с величиной 0,5 даст новый вектор с величиной, равной половине исходной.Точно так же, если вы возьмете число 3, которое является чистым и безразмерным скаляром, и умножите его на вектор, вы получите версию исходного вектора, которая в 3 раза длиннее. В качестве более физического примера возьмем гравитационную силу, действующую на объект. Сила представляет собой вектор, величина которого зависит от скаляра, известного как масса, и направлена ​​вниз. Если масса тела удвоится, то и сила тяжести удвоится.

Умножение векторов на скаляры очень полезно в физике. Большинство единиц, используемых в векторных величинах, по сути являются скалярами, умноженными на вектор.Например, единица измерения скорости в метрах в секунду, которая является вектором, состоит из двух скаляров, являющихся величинами: скаляра длины в метрах и скаляра времени в секундах. Чтобы сделать это преобразование из величин в скорость, нужно умножить единичный вектор в определенном направлении на эти скаляры.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора [латекс]\текст{А}[/латекс] на скаляр [латекс]\текст{а}=0,5[/латекс] дает вектор [латекс]\текст{ B}[/latex], что в два раза меньше.(ii) Умножение вектора [latex]\text{A}[/latex] на 3 увеличивает его длину в три раза. (iii) Удвоение массы (скалярной) удваивает силу (вектор) силы тяжести.

Единичные векторы и умножение на скаляр

Умножение вектора на скаляр равносильно умножению его величины на число.

Цели обучения

Предсказать влияние умножения вектора на скаляр

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Единичный вектор — это вектор величины (длины) 1.
  • Скаляр — это физическая величина, которую можно представить одним числом. В отличие от векторов скаляры не имеют направления.
  • Умножение вектора на скаляр аналогично умножению величины вектора на число, представленное скаляром.
Ключевые термины
  • скаляр : Величина, которая может быть описана одним числом, в отличие от вектора, для которого требуется направление и число.
  • единичный вектор : Вектор величины 1.

Помимо сложения векторов, векторы также можно умножать на константы, известные как скаляры. Скаляры отличаются от векторов тем, что они представлены величиной, но не направлением. Примеры скаляров включают массу, высоту или объем объекта.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора A на 0,5 вдвое уменьшает его длину. (ii) Умножение вектора A на 3 увеличивает его длину в три раза. (iii) Увеличение массы (скалярной) увеличивает силу (вектор).

При умножении вектора на скаляр направление вектора не изменяется, а величина умножается на величину скаляра. Это приводит к тому, что новая стрелка вектора указывает в том же направлении, что и старая, но с большей или меньшей длиной. Вы также можете выполнить скалярное умножение, используя компоненты вектора. Получив компоненты вектора, умножьте каждый из компонентов на скаляр, чтобы получить новые компоненты и, следовательно, новый вектор.

Полезным понятием при изучении векторов и геометрии является понятие единичного вектора. Единичный вектор — это вектор с длиной или величиной, равной единице. Единичные векторы различны для разных координат. В декартовых координатах направления x и y обычно обозначаются как [латекс]\шляпа{\текст{х}}[/латекс] и [латекс]\шляпа{\текст{у}}[/латекс]. Треугольник над буквами называется «шляпой». Единичные векторы в декартовых координатах описывают окружность, известную как «единичная окружность», которая имеет радиус один.Это можно увидеть, взяв все возможные векторы длины один под всеми возможными углами в этой системе координат и поместив их в координаты. Если бы вы нарисовали линию, соединяющую все вершины всех векторов вместе, вы бы получили круг радиуса один.

Положение, перемещение, скорость и ускорение как векторы

Позиция, смещение, скорость и ускорение могут отображаться в виде векторов, поскольку они определяются в терминах величины и направления.

Цели обучения

Изучение применения векторов для анализа физических величин

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Векторы — это стрелки, состоящие из величины и направления. Они используются в физике для представления физических величин, которые также имеют как величину, так и направление.
  • Смещение — это физический термин, означающий расстояние объекта от контрольной точки. Поскольку смещение содержит две части информации: расстояние от опорной точки и направление от точки, оно хорошо представлено вектором.
  • Скорость определяется как скорость изменения смещения во времени. Чтобы узнать скорость объекта, нужно знать, как быстро меняется смещение и в каком направлении. Поэтому он также хорошо представлен вектором.
  • Ускорение, являющееся скоростью изменения скорости, также требует как величины, так и направления относительно некоторых координат.
  • При рисовании векторов часто не хватает места, чтобы нарисовать их в масштабе, который они представляют, поэтому важно где-то указать, в каком масштабе они рисуются.
Ключевые термины
  • скорость : Скорость изменения смещения по отношению к изменению во времени.
  • смещение : Длина и направление прямой линии между двумя объектами.
  • ускорение : скорость изменения скорости тела во времени

Использование векторов

Векторы могут использоваться для представления физических величин. Чаще всего в физике векторы используются для представления смещения, скорости и ускорения.Векторы представляют собой комбинацию величины и направления и изображаются в виде стрелок. Длина представляет собой величину, а направление этой величины — это направление, в котором указывает вектор. Поскольку векторы построены таким образом, полезно анализировать физические величины (как с размером, так и с направлением) как векторы.

Приложения

В физике векторы полезны, потому что они могут визуально представлять положение, смещение, скорость и ускорение. При рисовании векторов часто не хватает места, чтобы нарисовать их в том масштабе, который они представляют, поэтому важно где-то указать, в каком масштабе они рисуются.Например, при рисовании вектора, представляющего величину 100, можно нарисовать линию длиной 5 единиц в масштабе [латекс]\displaystyle \frac{1}{20}[/latex]. Когда обратная шкала умножается на нарисованную величину, она должна равняться фактической величине.

Положение и перемещение

Смещение определяется как расстояние в любом направлении от объекта относительно положения другого объекта. Физики используют концепцию вектора положения в качестве графического инструмента для визуализации перемещений.Вектор положения выражает положение объекта от начала системы координат. Вектор положения также можно использовать для отображения положения объекта по отношению к опорной точке, вторичному объекту или исходному положению (при анализе того, насколько далеко объект переместился от своего исходного положения). Вектор положения представляет собой прямую линию, проведенную из произвольного начала координат к объекту. После рисования вектор имеет длину и направление относительно используемой системы координат.

Скорость

Скорость также определяется величиной и направлением.Чтобы сказать, что что-то набирает или теряет скорость, нужно также сказать, насколько и в каком направлении. Например, самолет, летящий на высоте 200 [латекс]\frac{\text{км}}{\текст{ч}}[/латекс] на северо-восток, может быть представлен вектором, указывающим в северо-восточном направлении с магнитудой 200 [латекс]\frac{\text{км}}{\текст{ч}}[/латекс]. При рисовании вектора величина важна только как способ сравнения двух векторов с одинаковыми единицами измерения. Таким образом, если бы другой самолет летел на 100 [латекс]\frac{\text{км}}{\текст{ч}}[/латекс] на юго-запад, стрелка вектора должна быть вдвое короче и указывать в направлении юго-запад.

Ускорение

Ускорение, являющееся скоростью изменения скорости во времени, состоит из величины и направления и рисуется с той же концепцией, что и вектор скорости. Значение ускорения не было бы полезным в физике, если бы величина и направление этого ускорения были неизвестны, поэтому эти векторы важны. Например, на диаграмме свободного тела падающего объекта было бы полезно использовать вектор ускорения рядом с объектом для обозначения его ускорения по направлению к земле.2}[/латекс] .

Векторная диаграмма : Вот человек, поднимающийся на холм. Направление его движения определяется углом тета относительно вертикальной оси и длиной стрелки, идущей в гору. Он также ускоряется вниз под действием силы тяжести.

Умножение на скаляр — объяснение и примеры

Умножение на скаляр — это способ изменить величину или направление вектора. Положим, это

«Умножение векторной величины на скалярную величину.

Напомним, что скаляр — это просто действительное число. Умножение вектора на скаляр вызывает изменение масштаба этого вектора.

В этом разделе мы обсудим следующие аспекты скалярного умножения:

  • Что такое скалярное умножение?
  • Как умножить вектор на скаляр?
  • Умножение вектора на скаляр

Что такое скалярное умножение?

Скалярное умножение включает умножение заданной величины на скалярную величину.Если данная величина является скалярной, умножение дает другую скалярную величину. Но, если количество является вектором, умножение на скаляр дает выходной вектор.

Например, , умножение скаляра C на вектор A даст другой вектор. Мы запишем эту операцию как:

C* A   = C A

исходный вектор A .Его направление определяется значением C следующим образом:

  • Если C > 0, то результирующий вектор C A будет иметь то же направление, что и вектор A.
  • Если C <0, то результирующий вектор:
    -C* A   = – C A
    Знак минус изменит направление результирующего вектора на противоположное относительно опорного вектора A.
  • Если C = 0, то умножение дает нулевой вектор как:
    0* A   = 0

Обратите внимание, что если C = 1, то умножение любого вектора на C сохраняет этот вектор неизменным.2

Умножение вектора на скаляр

В этом разделе мы обсудим некоторые важные свойства скалярного умножения.Обратите внимание, что эти свойства верны независимо от того, умножается ли скаляр на вектор или на другой скаляр.

Давайте сначала рассмотрим два вектора, A и B, и два скаляра, c и d. Тогда выполняются следующие свойства:

  1. |c A | = |с|*| А|. Величина результирующего масштабированного вектора равна абсолютному значению скаляра, умноженному на величину.
  2. Ассоциативное свойство: c(d B ) = (cd)* B
  3. Коммутативное свойство: c* A = A *c
  4. Распределительное свойство: (c + 09 d) 90 C * A + D * A +

    8 * A

D * ( A + B ) = D * A + D * B

Примеры

В этом разделе мы будем обсудите некоторые примеры и их пошаговые решения, чтобы помочь лучше понять скалярное умножение.

Пример 1 

Автомобиль движется со скоростью V = 30 м/с в направлении на север. Определяет вектор, который в два раза больше этого вектора.

Решение

Из предоставленных данных мы имеем следующую информацию:

В = 30 м/с Север.

Чтобы определить вектор, равный удвоенному этому вектору, мы умножаем данный вектор на скалярное значение 2. Это дает нам: 60 м/с, север

Поскольку данное скалярное значение положительное, направление V не изменяется . Однако он изменяет свою величину в два раза по сравнению с исходным значением. Таким образом, автомобиль будет продолжать двигаться на север с удвоенной начальной скоростью.

Пример 2

Дан вектор S = (2, 3), определить и нарисовать 2* S. Каковы модуль и направление вектора 2 S ?

Решение

Данный вектор S является вектор-столбцом, а скалярная величина равна 2. Умножение вектора S на 2 дает нам:

2 *S = 2* (2, 3)

Умножение каждого из компонентов вектора S на 2 дает нам:

2 *S = (2*2, 2*3)

2 *S = (4, 6).2

|2 S | = √16 + 36

|2 S | = √52

|2 S | = √4*13

|2 S | = 2*(√13)

. Из последнего уравнения ясно видно, что в результате скалярного умножения величина вектора S удвоилась. С . Можно видеть, что направление вектора 2 S параллельно направлению вектора S .Это еще раз подтверждает, что масштабирование вектора положительной величиной изменяет только величину, но не направление.

Пример 3

По заданному вектору S = (2, 3), определить и нарисовать -2* S. Найти модуль и направление вектора -2 S .

Решение

Данный вектор S является вектор-столбцом, а скалярная величина равна 2. Умножение вектора S на 2 дает нам:

-2 *S = -2* (2, 3 )

Умножение каждого из компонентов вектора S на 2 дает нам:

-2 *S = (-2*2, -2* 3)

-2 *S = (- 4, -6).2

|-2 S | = √16 + 36

|-2 S | = √52

|-2 S | = √4*13

|-2 S | = 2*(√13)

Из последнего уравнения ясно видно, что скалярное умножение удвоило величину вектора S . Также отрицательный знак не влияет на величину вектора -2 S.

На приведенном ниже изображении показаны два вектора S и -2 S. Видно, что направление вектора -2 S противоположен вектору S .Это дополнительно подтверждает, что масштабирование вектора с помощью отрицательной величины не влияет на его величину (т. е. векторы 2 S и -2 S имеют одинаковую величину), но меняет направление на противоположное.

Пример 4

Учитывая вектор A = (-4, 6), определите и зарисуйте вектор 1/2* A .

Решение

Данный вектор A представляет собой вектор-столбец, а скалярная величина равна 1/2.2

|1/2 А | = √4 + 9

|1/2 А | = √13

Умножение на скаляр со значением, равным половине, таким образом, уменьшило величину исходного вектора наполовину.

На приведенном ниже рисунке показаны два вектора A, и ½ A. Оба вектора имеют одинаковое направление, но разные величины. Пример 5

Решение

В этом сценарии результирующий вектор можно получить, просто умножив заданный вектор на 7: 7*5i + 7*6j + 7*3)

7 м = 35i + 42j + 21

Результирующий вектор имеет в 7 раз большую величину, чем исходный вектор м , но без изменения направления.

Практические вопросы
  1. Дан вектор M = 10 м на восток, определить результирующий вектор, полученный путем умножения данного вектора на 3.
  2. Учитывая вектор N = 15 м северной широты, определите результирующий вектор, полученный путем умножения данного вектора на -4.
  3. Пусть u = (-1, 4). Найдите 5 и .
  4. Пусть v = (3, 9). Найти -1/3 против .
  5. Дан вектор b = -3i + 2j +2 в ортогональной системе, найти 5 b .

Ответы

  1. 3 M = 30 м, восток.
  2. -4 N = -60 м, Юг.
  3. 5 и = (-5, 20), | и | = √17, |5 и | = 5*√17. Направление u и 5 u одинаково.
  4. -1/3 v = (-1, -3), | против | = 3*√10, |-1/3 v | = √10, направление вектора -1/3 v противоположно направлению вектора v .
  5. 5 b = -15i + 10j + 10
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Умножение матриц и векторов — Math Insight

Матрично-векторное произведение

Чтобы определить умножение между матрицей $A$ и вектором $\vc{x}$ (я.е., произведение матрицы на вектор), нам нужно просмотреть вектор как матрица-столбец. Определим матрично-векторное произведение только для случая, когда число столбцов в $A$ равно количеству строк в $\vc{x}$. Итак, если $A$ матрица $m \times n$ (т.е. с $n$ столбцами), то произведение $A \vc{x}$ определено для $n \times 1$ векторов-столбцов $\vc{x}$. Если мы пусть $A \vc{x} = \vc{b}$, тогда $\vc{b}$ — столбец $m \times 1$ вектор. Другими словами, количество строк в $A$ (которое может быть что угодно) определяет количество строк в произведении $\vc{b}$.

Общая формула для матрично-векторного произведения: \начать{выравнивать*} А\ВК{х}= \осталось[ \begin{массив}{cccc} а_{11} и а_{12} и \ldots и а_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \конец{массив} \правильно] \осталось[ \начать{массив}{с} х_1\\ х_2\\ \vdots\\ х_n \конец{массив} \правильно] знак равно \осталось[ \начать{массив}{с} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n} x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n} x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn} x_n\\ \конец{массив} \правильно].\конец{выравнивание*} Хотя поначалу это может показаться запутанным, процесс матрично-векторного умножение на самом деле очень просто. Берется скалярное произведение $\vc{x}$ с каждой строкой $A$. (Вот почему количество столбцов в $A$ должно быть равно количеству компонентов в $\vc{x}$.) первый компонент матрично-векторного произведения является скалярным произведением $\vc{x}$ с первой строкой $A$ и т. д. На самом деле, если $A$ имеет только один row, произведение матрицы на вектор на самом деле является замаскированным точечным произведением.

Например, если \начать{выравнивать*} А = \ влево[ \начать{массив}{ррр} 1 и -1 и 2\\ 0 и -3 и 1 \конец{массив} \правильно] \конец{выравнивание*} и $\vc{x} = (2,1,0)$, то \начать{выравнивать*} A \vc{x} &= \left[ \начать{массив}{ррр} 1 и -1 и 2\\ 0 и -3 и 1 \конец{массив} \правильно] \осталось[ \начать{массив}{л} 2\\1\\0 \конец{массив} \правильно]\\ знак равно \осталось[ \начать{массив}{г} 2 \cdot 1 — 1\cdot 1 + 0 \cdot 2\\ 2 \cdot 0 — 1 \cdot 3 +0 \cdot 1 \конец{массив} \правильно] \\ знак равно \осталось[ \начать{массив}{г} 1\\ -3 \конец{массив} \правильно].\конец{выравнивание*}

Матрично-матричное произведение

Поскольку мы рассматриваем векторы как матрицы-столбцы, произведение матрицы на вектор равно просто частный случай матрично-матричного произведения (т. е. произведение между двумя матрицами). Так же, как и для матрично-векторного произведения, Произведение $AB$ между матрицами $A$ и $B$ определено, только если количество столбцов в $A$ равно количеству строк в $B$. Говоря математическим языком, мы говорим, что можем умножить матрицу $m \times n$ $A$ на $n \times p$-матрицу $B$.(Если $p$ равно 1, то $B$ будет вектор-столбец $n\times 1$, и мы вернемся к произведение матрицы-вектора.)

Произведение $AB$ представляет собой матрицу размером $m \x p$, которую мы будем называть $C$, т.е. $АВ=С$. Чтобы вычислить произведение $B$, мы рассматриваем $B$ как группу из $n \times 1$ векторов-столбцов, выстроенных рядом друг с другом: \начать{выравнивать*} \осталось[ \begin{массив}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{np} \конец{массив} \правильно] знак равно \осталось[ \осталось[ \начать{массив}{с} б_{11}\\ б_{21}\\ \vdots\\ b_{n1}\\ \конец{массив} \правильно] \осталось[ \начать{массив}{с} б_{12}\\ б_{22}\\ \vdots\\ b_{n2}\\ \конец{массив} \правильно] \cdots \осталось[ \начать{массив}{с} б_{1п}\\ б_{2п}\\ \vdots\\ b_{np}\\ \конец{массив} \правильно] \правильно] \конец{выравнивание*} Тогда каждый столбец таблицы $C$ является векторным произведением матрицы $A$ с соответствующий столбец $B$.Другими словами, компонент в $i$th строка и $j$-й столбец $C$ — это скалярное произведение между $i$-й строкой $A$ и $j$-й столбец $B$. В математике мы пишем этот компонент $C$ как $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$.

Пример справки делает процесс понятным. Пусть $A$ будет $2 \times 3$ матрица \начать{выравнивать*} А=\влево[ \начать{массив}{ррр} 0 и 4 и -2\\ -4 и -3 и 0 \конец{массив} \правильно] \конец{выравнивание*} и $B$ — матрица $3 \times 2$ \начать{выравнивать*} B= \влево[ \begin{массив}{rr} 0 &1\\ 1 и -1\\ 2 и 3 \конец{массив} \правильно].\конец{выравнивание*} Потом, \начать{выравнивать*} АБ &=\влево[ \начать{массив}{ррр} 0 и 4 и -2\\ -4 и -3 и 0 \конец{массив} \правильно] \осталось[ \begin{массив}{rr} 0 &1\\ 1 и -1\\ 2 и 3 \конец{массив} \правильно] \\ знак равно \осталось[ \начать{массив}{ррр} 0 \cdot 0+4 \cdot 1-2\cdot 2 && 0 \cdot 1 +4 \cdot (-1) -2\cdot 3\\ -4 \cdot 0-3\cdot 1 + 0 \cdot 2 && -4 \cdot 1 -3 \cdot (-1) + 0\cdot 3 \конец{массив} \правильно] \\ знак равно \осталось[ \начать{массив}{ррр} 0+4-4 && 0-4-6\\ 0-3+0 && -4 +3 +0 \конец{массив} \правильно] \\ знак равно \осталось[ \begin{массив}{rr} 0 и -10\\ -3 и -1 \конец{массив} \правильно].\конец{выравнивание*}

Хотите больше примеров?

Скалярное умножение векторов: определение и расчеты — видео и стенограмма урока

Скалярное умножение

Работа, вероятно, самый простой пример скалярного умножения векторов. Работа равна смещению, умноженному на силу, или, другими словами, тому, как далеко перемещается объект, умноженному на силу, приложенную для его перемещения. И перемещение, и сила являются векторами.

Но, если сила была приложена под углом…. скажем, толкая метлу по диагонали вниз, пока она скользит по полу, мы можем сделать определение работы более конкретным. Можно сказать, что работа равна смещению, умноженному на составляющую силы, действующей в направлении движения. Если вы толкаете метлу вниз под углом, то нас интересует только часть силы, которая направлена ​​вдоль пола. Всякий раз, когда это имеет место в физической ситуации, мы выполняем скалярное умножение; мы завершаем точечный продукт.Таким образом, скалярное умножение на — это умножение одного вектора на компонент второго вектора, который действует в направлении первого вектора.

Существуют два основных уравнения для расчета скалярного произведения. Если у вас есть общие величины и углы вектора, вы используете это уравнение:

Уравнение для вычисления скалярного произведения, когда известны общие величины и векторные углы.

Итак, если вы умножаете вектор A на вектор B , вы берете модуль вектора A , умножаете его на модуль вектора B и умножаете его на косинус угол между ними.Итак, это все равно, что взять ваше смещение и умножить его на F косинус тета , составляющую силы, действующую в направлении смещения.

Но что, если вам дано количество в компонентной форме? Возможно, вы не знаете общую величину вектора, но вы знаете компоненты x и y A и компоненты x и y B . В этом случае вы должны использовать приведенное ниже уравнение, и оно будет работать точно так же.Просто перемножьте два компонента x вместе и два компонента y (и, если бы вы были в трех измерениях, вы бы сделали то же самое с двумя компонентами z ) и сложите их все.

Уравнение для вычисления скалярного произведения, когда у вас нет общей величины

Помимо работы, другие примеры скалярных произведений включают магнитную потенциальную энергию (которая представляет собой дипольный момент, умноженный на магнитное поле), магнитный поток (магнитное поле, умноженное на площадь) и мощность (сила, умноженная на скорость).

Пример расчета

Хорошо, теперь давайте рассмотрим пример.

Допустим, вы тащите своего двоюродного брата по улице в фургоне. Из-за того, какой вы высокий, вы не можете не подтягиваться под углом. Было бы больно коленям постоянно сгибаться. Если вы потянете под углом 40 градусов к горизонту с силой 50 ньютонов, и тележка переместится на 8 метров в положительном направлении x, какая работа будет совершена в джоулях?

Схема для примера 1

Прежде всего записываем то, что знаем.Сила F 50 ньютонов, а перемещение 8 метров. И, как мы обсуждали ранее, работа — это скалярное произведение вектора силы и вектора смещения. Если мы посмотрим на диаграмму ситуации (см. выше), то увидим, что данный нам угол, 40 градусов, также является углом между этими двумя векторами. Итак, угол тета равен 40 градусам. Затем, используя наше скалярное уравнение умножения, мы просто подставляем числа и решаем.8, умноженное на 50, умноженное на косинус 40, дает нам 306 Джоулей работы. Итак, это наш ответ.

Еще один пример. На этот раз более абстрактный.

Если вектор A представлен уравнением 3i + 2j, а вектор B представлен уравнением 4i + j, каково скалярное произведение этих векторов?

На этот раз наши векторы представлены в виде компонентов. Например, вектор A составляет 3 единицы в направлении x и 2 единицы в направлении y .Таким образом, мы можем использовать наше другое уравнение для этого примера, умножая компоненты x и компоненты y , а затем складывая их. Подставляя конкретные числа, мы находим, что скалярное произведение равно 3, умноженному на 4, плюс 2, умноженное на 1, что равно 14. Итак, 14 — это наш ответ.

Итоги урока

В физике имеется скаляров и векторов . Скаляры — это просто числа, как температура вашего велосипеда. Но у векторов также есть направление, как и у скорости вашего велосипеда.Всякий раз, когда в одном из этих уравнений перемножаются два вектора, например сила, умноженная на перемещение (которое является работой), или скорость заряда, умноженная на магнитное поле (которое связано с магнитной силой), мы можем умножить их двумя разными способами: векторное умножение (иначе известное как перекрестное произведение) и скалярное умножение (иначе известное как скалярное произведение). Некоторые уравнения требуют скалярного произведения, в то время как другие требуют перекрестного произведения. С работой ваш ответ является скаляром (у него нет направления), поэтому это пример скалярного произведения.

Скалярное произведение , в двух словах, представляет собой один вектор, умноженный на компонент второго вектора, указывающий в направлении первого вектора. Итак, для рабочего примера это смещение, умноженное на составляющую силы, действующую в направлении смещения (направлении движения объекта).

Первое скалярное уравнение умножения предлагает взять модуль вектора A , умножить его на модуль вектора B и умножить его на косинус угла между ними.Но если вам даны два вектора в компонентной форме, вам понадобится второе уравнение. Уравнение формы компонента говорит о том, что нужно умножить два компонента x вместе и два компонента y вместе (и два компонента z , если вы были в трех измерениях) и сложить их все. И вот как вычислить скалярное произведение.

Результаты обучения

После завершения этого урока вы сможете:

  • Различать скаляры и векторы
  • Приведите два уравнения для расчета скалярных произведений и объясните, когда использовать каждое из них.

0 comments on “Как умножить вектор на число: Умножение вектора на число — урок. Геометрия, 9 класс.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.