Энергия релятивистской частицы: Урок 21. релятивистские эффекты — Физика — 11 класс

Урок 21. релятивистские эффекты — Физика — 11 класс

Физика, 11 класс

Урок №21. Релятивистские эффекты

На уроке рассматриваются понятия: энергия покоя, полная энергия частиц; связь массы и энергии в специальной теории относительности; релятивистский импульс частицы, релятивистская кинетическая энергия; принцип соответствия.

Глоссарий урока:

Релятивистская механика — раздел физики, где описывается движение частиц со скоростями близкими к скорости света.

Закон взаимосвязи энергии и массы — тело обладает энергией и при нулевой скорости, такую энергию называют энергией покоя.

Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии.

Безмассовыми называют частицы массы, которых в состоянии покоя равны нулю, они существуют только в движении, при этом во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю.

Массовыми называют частицы, для которых масса является важной характеристикой, мерой инертности тела.

Принцип соответствия – это подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматриваются как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорость света.

Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай.

Обязательная литература:

  1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 239 – 241.
  2. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2013. — С. 147 – 149

Дополнительная литература:

  1. Анциферов Л.И., Физика: электродинамика и квантовая физика. 11кл. Учебник для общеобразовательных учреждений – М.
    : Мнемозина, 2001. – С. 253-260.
  2. Кирик Л.А., Генденштейн Л.Э., Гельфгат И.М.. Задачи по физике. 10-11 классы для профильной школы. – М.: Илекса, 2010. – С. 311-315.
  3. Айзексон У., Эйнштейн. Жизнь гения; пер. с анг. А.Ю. Каннуниковой. – М: АСТ, 2016 – С.144-157

Основное содержание темы

«Основы физики претерпели неожиданные и радикальные изменения благодаря смелости молодого и революционно мыслящего гения.»

Вернер Гейзенберг

Эти слова и множество других восхищённых эпитетов будут высказаны в адрес гениального учёного Альберта Эйнштейна. Эйнштейн не боялся опровергать общепринятые утверждения. Он разрушил представление об абсолютном времени и незыблемости пространства. Его теория утверждала, что есть движущиеся системы координат со своим относительным временем. А пространство существует, пока в нём существует всё материальное. Время идёт тем медленнее, если быстрее движется тело. Такие удобные и понятные принципы классической физики: о постоянстве массы, длины, времени, скорости — опровергаются следствиями из постулатов специальной теории относительности Эйнштейна.

Альберт (Einstein) Эйнштейн

14 марта 1879 г. – 18 апреля 1955 г.

Физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель-гуманист.

По законам классической физики: масса – это мера инертности тела. Но Эйнштейн утверждает другое: масса – это мера энергии, содержащейся в теле.

Любое тело обладает энергией уже в силу своего существования. Альбертом Эйнштейном была установлена пропорциональность между энергией и массой:

На первый взгляд, простая формула, является фундаментальным законом природы, законом взаимосвязи энергии и массы.

Согласно этой формуле тело обладает энергией даже при нулевой скорости, в таком случае энергию называют

E энергией покоя. А массу, которая входит в формулу Эйнштейна назовём m0 массой покоя.

Как же будет выглядеть закон взаимосвязи массы и энергии для движущегося тела? К нему добавляем радикал (релятивистский множитель) из преобразований Лоренца:

Такую формулу называют релятивистской энергией или полной энергией движущегося тела.

Релятивистская механика — раздел физики, где описываются движения тел и частиц со скоростями близкими к скорости света, где используются преобразования Лоренца, перехода из одной инерциальной системы в другую, когда одна система движется относительно другой со скоростью вдоль оси ОХ.

Любые изменения физических величин, связанные с сокращением размеров:

эффект замедления времени:

изменение массы тела при изменении энергии:

закон сложения скоростей:

в специальной теории относительности называют

релятивистскими изменениями.

По законам классической физики полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела или частицы

Отсюда выразим кинетическую энергию тела

Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии

В классической физике кинетическая энергия вычисляется по формуле

Получим ещё одно выражение

Выразим кинетическую энергию из формулы релятивистской энергии:

Поставим релятивистский радикал, который можно преобразовать при малых скоростях и получим релятивистскую кинетическую энергию частицы:

Или другой способ выражения кинетической энергии, если использовать классическую кинетическую энергию, то получим

— выражение для определения релятивистской кинетической энергии.

Путём не сложных математических вычислений можно доказать, что формула определения кинетической энергии в классической физикеи формула кинетической энергии в релятивистской физике равны между собой.

Давайте проверим работают ли главные законы механики — законы Ньютона в релятивистской физике.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела.

Первый постулат СТО Эйнштейна: все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, или никакими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчёта, невозможно установить её движение относительно других инерциальных систем.

Внимание! Они не противоречат друг другу!

Третий закон Ньютона: силы с которыми тела действуют друг на друга равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Этот закон тоже работает в релятивистской физике (смотрите первый постулат СТО).

А что же со вторым законом классической механики? Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально силе и обратно пропорционально его массе.

Рассмотрим предельный случай: если на тело долгое время t (время стремится к бесконечности) действовать с постоянной силой F = const, то ускорение будет постоянным a = const. Ускорение в свою очередь, зависит от скорости, с которой движется тело:

Отсюда скорость тоже будет стремиться к бесконечности, а это невозможно (смотрите второй постулат СТО), так как скорость тела или частицы не может быть больше предельного значения скорости света ()!

Но давайте рассмотрим другую формулировку второго закона Ньютона, когда сила прямо пропорциональна изменению импульсов тела ко времени этого изменения:

В классической механике импульс равен произведению массы тела или частицы на его скорость: , где m – постоянная величина, мера инертности тела.

В релятивистской механике выражение импульса можно записать, используя преобразования Лоренца:

При скоростях намного меньших, чем скорость света 𝟅с, формула принимает вид классической механики Ньютона

Эти проявления — подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматривают как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорости света и называют принципом соответствия. Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай. То есть законы классической механики подтверждаются релятивистской, но только для частиц или тел, движущихся с малыми скоростями.

В природе существуют такие частицы (фотоны, мюоны, нейтрино), скорость которых равна или близка к скорости света. Массы таких частиц в состоянии покоя равны нулю, эти частицы называют безмассовыми. Они существуют только в движении, но во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю. Тогда подтверждается утверждение Эйнштейна, что масса – это мера энергии тела. Частицы, для которых масса является важной характеристикой — мерой инертности, называют

массовыми.

Найдём соотношение между энергией и импульсом:

Взаимно уничтожаются подкоренные выражения, сокращается произведение массы на скорость света, и мы получим простое соотношение энергии и импульса, где нет зависимости от массы.

Энергия и импульс связаны соотношением

Поэтому во всех инерциальных системах отсчёта импульс и энергия не равны нулю. При превращениях элементарных частиц, обладающих массой покоя , в частицы у которых , их энергия покоя целиком превращается в кинетическую энергию вновь образовавшихся частиц. Этот факт является наиболее очевидным экспериментальным доказательством существования энергии покоя.

Во всех инерциальных системах отсчёта импульс частицы и её энергия связаны соотношением:

или

— эта формула является фундаментальным соотношением энергии и импульса для массовых частиц релятивистской механики. Эти соотношения экспериментально подтверждены.

Следовательно, для безмассовых частиц, где или , выражение примет вид

Основное выражение энергии через её импульс записывают так:

Отсюда, масса, движущейся частицы, будет равна

Если частица покоится, то её значение можно определить из основной формулы Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии:

В обычных условиях, при нагревании тела или его охлаждении, при химической реакции, эти приращения массы происходят, их можно вычислить, но изменения массы не так заметны. Энергию, полученную из расщепления ядер на атомных электростанциях, используют на благо человека, где незначительные массы радиоактивного топлива вырабатывают энергию, питающую электроэнергией огромные города. Но, к сожалению, такую энергию, высвобождающуюся при цепной реакции, люди использовали и военных целях, для уничтожения городов, людей. Поэтому, только в последствии, понимая ответственность за свои открытия, учёные искренне становятся общественными деятелями: правозащитниками и борцами за мир.

Рассмотрим задачи тренировочного блока урока:

1. Чтобы выработать количество энергии, которой обладает тело массой 1 кг, Красноярской ГЭС потребуется времени _________ суток (1,5·107; 173,6; 182,3). Мощность Красноярской ГЭС 6000МВт.

Дано:

m = 1 кг

P = 6000 МВт = 6·109 Вт

t — ? (сутки)

Воспользуемся выражением, описывающим зависимость энергии тела от массы:

И зависимостью мощности от работы и времени:

Выразим секунды в часах, а затем в сутках:

Ответ: 173,6 суток.

2. Чему равен импульс протона, летящего со скоростью 8,3·107 м/с? На сколько будет допущена ошибка, если пользоваться формулами классической физики? Данные поученных вычислений занесите в таблицу:

Физические величины

Показатели

Масса покоя протона, m

1,67·10-27 кг

Скорость света, с

3·108 м/с

Скорость движения протона, 𝟅

8,3·107 м/с

Импульс протона по классическим законам, рк

?

Импульс протона по релятивистским законам, рр

?

Разница в вычислениях импульса протона,

?

Воспользуемся формулами для определения импульса релятивистским и классическим способами:

Вычислим разницу показаний:

Физические величины

Показатели

Масса покоя протона, m

1,67·10-27кг

Скорость света, с

3·108 м/с

Скорость движения протона, 𝟅

8,3·107 м/с

Импульс протона по классическим законам, рк

1,38·10-19кг·м/с

Импульс протона по релятивистским законам, рр

5,2·10-19 кг·м/с

Разница в вычислениях импульса протона,

в 3,8 раза

7.6. Кинетическая энергия релятивистской частицы

Определим эту величину таким же путём, как и в ньютоновской механике. Было доказано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

.

Согласно основному закону релятивистской динамики

,

где m – релятивистская масса. Поэтому

, (7.52)

где учтено, что и. Эту формулу можно упростить. Для этого формулу зависимости массы от скорости возведём в квадрат и риведём её к виду:m2c2 = m2 2 + m02c2.

Найдём дифференциал этого выражения, имея в виду, что m0 и с – постоянные величины.

2 mc2dm = 2m2dm + 2 m2d.

Если теперь разделить это равенство на 2m, то его правая часть совпадёт с выражением для (7.52). Отсюда следует

. (7.53)

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению её релятивистской массы.

Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а её масса равна массе покоя m0. Поэтому, проинтегрировав выражение (7.53), получаем

, (7.54)

или

; . (7.55)

Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Как видно, оно сильно отличается от ньютоновского m02/2. Легко убедиться (пользуясь формулой бинома Ньютона), что при малых скоростях <<c, выражение (7.55) переходит в ньютоновское.

7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии релятивистской частицы

Из формулы (7.53) следует, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением её релятивистской массы:

, или ,

где – называют полной энергией тела, а– энергией покоя.

Эйнштейн пришёл к выводу, что масса тела будет вырастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при увеличении общего запаса энергии (кинетической, электрической, тепловой, химической и т.д.). Полная энергия тела E связана с массой этого тела m соотношением

E = mc2. (7.56)

Эта формула выражает один из наиболее фундаментальных законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и полной энергии тела.

Соотношение (7.56) можно записать и в другой форме:

E = m0c2 + , (7.57)

где m0 – масса покоя тела; – его кинетическая энергия. Отсюда непосредственно следует, что покоящееся тело (= 0) также обладает энергией:

E0= m0c2. (7.58)

Эту энергию называют энергией покоя.

Мы видим, что масса тела, которая в классической механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) теперь выступает в новой функции – как мера энергосодержания тела. Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии – энергией покоя.

Изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением его массы и наоборот. При обычных макроскопических процессах изменение массы тела оказывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Справедливость закона взаимосвязи массы и энергии экспериментально проверена в ядерной физике. Это обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы превращения элементарных частиц сопровождаются весьма большими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя самих частиц.

7.8. Связь полной энергии и импульса

Связь кинетической энергии и импульса в классической механике Ньютона выражается формулой , при этомm=m0 =const. Если потенциальную энергию не учитываем, то полная энергия частицы равна её кинетической энергии, в этом случае .

Найдем связь полной энергии и импульса для тела, движущегося со скоростью, близкой к скорости света:

Преобразуем выражение (избавимся от квадратного корня):

.

Отсюда

(7.59)

Релятивистская энергия формула. Полная энергия релятивистской частицы

Формула Е = тс 2 для релятивистской энергии позволяет дать новую, релятивистскую интерпретации массы частицы (материальной точки). Она показывает, что наличие у частицы энергии Е означает наличие у нее массы Е /с 2 , и наоборот, наличие массы т означает наличие энергии тс?. Таким образом, масса, которая в классической механике интерпретируется либо как мера инертности тела (второй закон Ньютона), либо как мера его гравитационного действия (закон всемирного тяготения), в релятивистской механике выступает в новой функции: это есть мера энергосодержания тела, независимо от его инертных или гравитационных свойств. В частности, любое тело обладает энергией даже в состоянии покоя: это его энергия покоя тщс 2 . Универсальность взаимосвязи массы и энергии проявляется в том, что «энергосодержание» тела включает в себя любой вид энергии, заключенной в теле, в том числе, например, внутриядерной энергии, освобождающейся при ядерном взрыве (что и подтверждается при расчетах взрывов атомных бомб).

Хотя мы часто употребляли понятия «материальная точка» или «частица», но нигде не использовали ни точечных свойств тела, ни «элементарность» частицы. Поэтому формула для релятивистской энергии применима и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под скоростью и мы понимаем скорость его движения как целого, а под его релятивистской массой его массу как целого. И тогда очевидно, что релятивистская энергия тела всегда положительная величина, непосредственно связанная с его массой. В этой связи можно заметить, что в классической механике положительной является только кинетическая энергия тела, тогда как полная (сохраняющаяся) энергия кинетическая плюс потенциальная может быть и отрицательной.

Пусть механическая система как целое покоится, и пусть М 0 ее масса покоя. Если она состоит из свободно движущихся частиц, то ее релятивистская энергия равна сумме релятивистских энергий входящих в ее состав частиц. Совсем иную картину мы имеем в случае, когда частицы сложного тела (системы) взаимодействуют друг с другом. Тогда полная энергия Мд с 2 сложного тела содержит, помимо энергии покоя входящих в его состав частиц, их кинетическую энергию (они могут двигаться внутри замкнутой системы), а также энергию их взаимодействия друг с другом (пример энергия ядерного взаимодействия частиц, образующих ядро атома). Таким образом, энергия Mqc? тела не равна сумме Хд т 0 кС 2 , где тдд, — масса покоя к-ой частицы тела. Отсюда прямо следует, что масса Мо покоящегося тела не равна сумме масс покоя его составных частей: Мо ф Хд т 0?- Это означает, что в релятивистской динамике не выполняется закон сохранения массы. Это еще одно ее отличие от классической механики: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместе с тем релятивистская энергия замкнутой системы сохраняется, если принимать во внимание и энергию покоя системы. Если не учитывать во всех системах энергию покоя в составе полной энергии, то невозможно удовлетворить закону сохранения импульса и энергии во всех системах отсчета. Этот урок, преподнесенный нам релятивистской физикой, никак не предполагался в физике Ньютона.

Системы взаимодействующих частиц можно разделить на два типа: системы, которые могут самопроизвольно распадаться, и системы связанные, т. е. обладающие запасом прочности. Если система распадается, то ее релятивистская энергия частично переходит в кинетическую энергию освободившихся частиц; для этого, следовательно, необходимо Мдс 2 > Xa- или

ilio > Xa m 0 k, ~ тело может самопроизвольно распадаться лишь на части, сумма масс покоя которых меньше массы покоя тела. Напротив, если Мд энергией связи тела: Е св. Положительная величина

называется дефектом масс сложного тела.

Как видим, в релятивистской механике масса и энергия системы частиц зависят от ее состава и внутреннего состояния. В случае связанной (прочной) системы, например, атомного ядра, сумма масс покоя свободных протонов и нейтронов всегда больше массы покоя образованного из них ядра.

Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, оказываются всегда равными

Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела . Скажем, протон с нейтроном столкнулись, но все еще продолжают двигаться внутри . Масса тела , как мы обнаружили, равна не , а . Этой массой снабдили тело его составные части, чья масса покоя была ; значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, конечно, что у энергии есть инерция. Ранее мы говорили о нагреве газа и показали, что поскольку молекулы газа движутся, а движущиеся тела становятся массивнее, то при нагревании газа и усилении движения молекул газ становится тяжелее. Но на самом деле такое рассуждение является совершенно общим; наше обсуждение свойств неупругого соударения тоже показывает, что добавочная масса появляется всегда, даже тогда, когда она не является кинетической энергией. Иными словами, если две частицы сближаются и при этом образуется потенциальная или другая форма энергии, если части составного тела замедляются потенциальным барьером, производя работу против внутренних сил, и т. д.,- во всех этих случаях масса тела по-прежнему равна полной привнесенной энергии. Итак, вы видите, что выведенное выше сохранение массы равнозначно сохранению энергии, поэтому в теории относительности нельзя говорить о неупругих соударениях, как это было в механике Ньютона. Согласно механике Ньютона, ничего страшного не произошло бы, если бы два тела, столкнувшись, образовали тело с массой , не отличающееся от того, какое получилось бы, если их медленно приложить друг к другу. Конечно, из закона сохранения энергии мы знаем, что внутри тела имеется добавочная кинетическая энергия, но по закону Ньютона на массу это никак не влияет. А теперь выясняется, что это невозможно: поскольку до столкновения у тел была кинетическая энергия, то составное тело окажется тяжелее; значит, это будет уже другое тело. Если осторожно приложить два тела друг к другу, то возникает тело с массой ; когда же вы их с силой столкнете, то появится тело с большей массой. А если масса отличается, то мы можем это заметить. Итак, сохранение импульса в теории относительности с необходимостью сопровождается сохранением энергии.

Отсюда вытекают интересные следствия. Пусть имеется тело с измеренной массой , и предположим, что что-то стряслось и оно распалось на две равные части, имеющие скорости и массы . Предположим теперь, что эти части, двигаясь через вещество, постепенно замедлились и остановились. Теперь их масса . Сколько энергии они отдали веществу? По теореме, доказанной раньше, каждый кусок отдаст энергию . Она перейдет в разные формы, например в теплоту, в потенциальную энергию и т. д. Так как , то высвободившаяся энергия . Это уравнение было использовано для оценки количества энергии, которое могло бы выделиться при ядерном расщеплении в атомной бомбе (хотя части бомбы не точно равны, но примерно они равны). Масса атома урана была известна (ее измерили заранее), была известна и масса атомов, на которые она расщеплялась,- иода, ксенона и т. д. (имеются в виду не массы движущихся атомов, а массы покоя). Иными словами, и и были известны. Вычтя одно значение массы из другого, можно прикинуть, сколько энергии высвободится, если распадется «пополам». По этой причине все газеты считали Эйнштейна «отцом» атомной бомбы. На самом же деле под этим подразумевалось только, что он мог бы заранее подсчитать выделившуюся энергию, если бы ему указали, какой процесс произойдет. Энергию, которая должна высвободиться, когда атом урана подвергнется распаду, подсчитали лишь за полгода до первого прямого испытания. И как только энергия действительно выделилась, ее непосредственно измерили (не будь формулы Эйнштейна, энергию измерили бы другим способом), а с момента, когда ее измерили, формула уже была не нужна. Это отнюдь не принижение заслуг Эйнштейна, а скорее критика газетных высказываний и популярных описаний развития физики и техники. Проблема, как добиться того, чтобы процесс выделения энергии прошел эффективно и быстро, ничего общего с формулой не имеет.

Формула имеет значение и в химии. Скажем, если бы мы взвесили молекулу двуокиси углерода и сравнили ее массу с массой углерода и кислорода, мы бы могли определить, сколько энергии высвобождается, когда углерод и кислород образуют углекислоту. Плохо только то, что эта разница масс так мала, что технически опыт очень трудно проделать.

Теперь обратимся к такому вопросу: нужно ли отныне добавлять к кинетической энергии и говорить с этих нор, что полная энергия объекта равна ? Во-первых, если бы нам были видны составные части с массой покоя внутри объекта , то можно было бы говорить, что часть массы есть механическая масса покоя составных частей, а другая часть — их кинетическая энергия, третья — потенциальная. Хотя в природе и на самом деле открыты различные частицы, с которыми происходят как раз такие реакции (реакции слияния в одну), однако никакими способами невозможно при этом разглядеть внутри какие-то составные части. Например, распад -мезона на два пиона происходит по закону (16.11), но бессмысленно считать, что он состоит из , потому что он распадается порой и на !

Теория относительности требует пересмотра и уточнения законов механики. Как мы видели, уравнения классической динамики (второй закон Ньютона) удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея. Но ведь преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца! Поэтому уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте.

Импульс и энергия. В теории относительности, как и в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняются импульс и энергия Е, однако релятивистские выражения для них отличаются от соответствующих классических:

здесь — масса частицы. Это масса в той системе отсчета, где частица покоится. Часто ее называют массой покоя частицы. Она совпадает с массой частицы в нерелятивистской механике.

Можно показать, что выражаемая формулами (1) зависимость импульса и энергии частицы от ее скорости в теории относительности с неизбежностью следует из релятивистского эффекта замедления времени в движущейся системе отсчета. Это будет сделано ниже.

Релятивистские энергия и импульс (1) удовлетворяют уравнениям, аналогичным соответствующим уравнениям классической механики:

Релятивистская масса. Иногда коэффициент пропорциональности в (1) между скоростью частицы и ее импульсом

называют релятивистской массой частицы. С ее помощью выражения (1) для импульса и энергии частицы можно записать в компактном виде

Если релятивистской частице, т. е. частице, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Можно сказать, что энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий и служит наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории относительности.

Энергия покоя. Самое замечательное в формуле заключается в том, что покоящееся тело обладает энергией: полагая в получаем

Энергию называют энергией покоя.

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия частицы в некоторой системе отсчета определяется как разность между ее полной энергией и энергией покоя С помощью (1) имеем

Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (6) переходит в обычное выражение для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике.

Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При релятивистская кинетическая энергия (6) неограниченно возрастает: частица, обладающая отличной от нуля массой покоя и

Рис. 10. Зависимость кинетической энергии тела от скорости

движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии от скорости частицы показана на рис. 10.

Пропорциональность массы и энергии. Из формулы (6) следует, что при разгоне тела приращение кинетической энергии сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах — именно в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет происходить не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом другом увеличении энергии тела независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 11а).

Рис. 11. Неупругое столкновение, наблюдаемое в разных системах отсчета

Пусть скорость каждого из тел до столкновения равна а масса покоя Массу покоя образовавшегося тела обозначим через Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К, движущейся относительно исходной системы К влево (рис. 11б) с малой (нерелятивистской) скоростью -и.

Так как то для преобразования скорости при переходе от К к К можно использовать классический закон сложения скоростей. Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкновения полный импульс системы равен где релятивистская масса сталкивающихся тел; после столкновения он равен ибо вследствие массу образовавшегося тела и в К можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса покоя образовавшегося в результате неупругого соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц, т. е. она больше, чем сумма масс покоя исходных частиц:

Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию, показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п.

Эквивалентность энергии и массы. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых замечательных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения.

В классической механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная, масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны, так что меры этих свойств можно выражать одним и тем же числом при надлежащем выборе единиц измерения.

Равенство инертной и гравитационной масс есть экспериментальный факт, подтвержденный с огромной степенью точности в опытах Этвеша, Дикке и др. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и масса гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их числовые характеристики пропорциональны друг другу. Такое положение вещей характеризуют словом «эквивалентность».

Аналогичный вопрос возникает в связи с понятиями массы покоя и энергии покоя в теории относительности. Проявления свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но теория относительности утверждает, что эти свойства неразрывно связаны, пропорциональны друг другу. Поэтому в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя и энергии покоя. Выражающее эту эквивалентность соотношение (5) называется формулой Эйнштейна. Она означает, что всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя меняется.

О законе сохранения массы. Опыт показывает нам, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая из взвешивания масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров.

1. Энергия, высвобождающаяся при сгорании нефти, при взрыве динамита и при других химических превращениях, представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако если перевести ее величину на язык эквивалентной массы, то окажется, что эта масса не составляет и полной величины массы покоя. Например, при соединении водорода с кислорода выделяется около энергии. Масса покоя образовавшейся воды на меньше массы исходных веществ. Такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью современных приборов.

2. При неупругом столкновении двух частиц по разогнанных навстречу друг другу до скорости добавочная масса покоя слипшейся пары составляет

(При такой скорости можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии.) Эта величина намного меньше погрешности, с которой может быть измерена масса

Масса покоя и квантовые закономерности. Естественно задать вопрос: почему при обычных условиях подавляющая часть энергии находится в совершенно пассивном состоянии и в превращениях не участвует? На этот вопрос теория относительности не может дать ответа. Ответ следует искать в области квантовых закономерностей,

одной из характерных особенностей которых является существование устойчивых состояний с дискретными уровнями энергии.

Для элементарных частиц энергия, соответствующая массе покоя, либо превращается в активную форму (излучение) целиком, либо вовсе не превращается. Примером может служить превращение пары электрон-позитрон в гамма-излучение.

У атомов подавляющая часть массы находится в форме массы покоя элементарных частиц, которая в химических реакциях не изменяется. Даже в ядерных реакциях энергия, соответствующая массе покоя тяжелых частиц (нуклонов), входящих в состав ядер, остается пассивной. Но здесь активная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия нуклонов, составляет уже заметную долю энергии покоя.

Таким образом, экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии покоя и массы покоя следует искать в мире физики элементарных частиц и ядерной физики. Например, в ядерных реакциях, идущих с выделением энергии, масса покоя конечных продуктов меньше массы покоя ядер, вступающих в реакцию. Соответствующая этому изменению массы энергия с хорошей точностью совпадает с измеренной на опыте кинетической энергией образующихся частиц.

Как импульс и энергия частицы зависят от ее скорости в релятивистской механике?

Какая физическая величина называется массой частицы? Что такое масса покоя? Что такое релятивистская масса?

Покажите, что релятивистское выражение (6) для кинетической энергии переходит в обычное классическое при .

Что такое энергия покоя? В чем заключается принципиальное отличие релятивистского выражения для энергии тела от соответствующего классического?

В каких физических явлениях обнаруживает себя энергия покоя?

Как понимать утверждение об эквивалентности массы и энергии? Приведите примеры проявления этой эквивалентности.

Сохраняется ли масса вещества при химических превращениях?

Вывод выражения для импульса. Дадим обоснование формул (1), приведенных выше без доказательства, анализируя простой мысленный опыт. Для выяснения зависимости импульса частицы от скорости рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего» столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс это столкновение имеет вид, показанный на рис. 12а: до столкновения частицы У и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, после столкновения частицы разлетаются в противоположные стороны с такими же по модулю скоростями, как и до столкновения. Другими словами,

при столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол

Как будет выглядеть это же столкновение в других системах отсчета? Направим ось х вдоль биссектрисы угла и введем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси х относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отсчета картина столкновения выгладит так, как показано на рис. 12б: частица 1 движется параллельно оси у, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное.

Сохранение х-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением

где — импульсы частиц после столкновения. Так как (рис. 126), требование сохранения импульса означает равенство х-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К:

Теперь, наряду с К, введем в рассмотрение систему отсчета К, которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2.

Рис. 12. К выводу зависимости массы тела от скорости

В этой системе частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у (рис. 12в). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство -составляющих импульса частиц

Но из симметрии картин столкновения на рис. 12б,в легко сделать вывод о том, что модуль импульса частицы 1 в системе К равен модулю импульса частицы 2 в системе отсчета поэтому

Сопоставляя два последних равенства, находим т. е. у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и К. Точно так же находим Другими словами, у-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах. В этом и заключается главный вывод из рассмотренного мысленного эксперимента.

Но у-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К. Согласно формулам преобразования скорости

где есть скорость системы К относительно К. Таким образом, в К у-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К.

Это уменьшение у-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К расстояние между штриховыми линиями А и В (рис. 12б, в) частица 1 в системе К проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно (собственное время, так как оба события — пересечение штрихов А и В — происходят в К при одном и том же значении координаты то в системе К это время больше и равно

Вспоминая теперь, что у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах К и К, мы видим, что в системе К, где у-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать как бы ббльшую массу, если под массой понимать, как и в нерелятивистской физике, коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом. Как уже отмечалось, этот коэффициент называют иногда релятивистской массой. Релятивистская масса частицы зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В той системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между скоростью и импульсом частицы справедливо обычное классическое выражение где есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя).

Может лишь отчасти удовлетворять исследователей при осуществлении математических расчетов и составлении определенных математических моделей. Ньютоновские законы только справедливы в отношении преобразований Галилея, но для всех остальных случаев требуются новые преобразования, которые нашли отражение в представленных преобразованиях Лоренца. Он ввел такие принципы и понятия для того, чтобы производить точные расчеты для взаимодействующих объектов, которые осуществляют подобные процессы на сверхбольших скоростях, близких к скорости света.

Рисунок 1. Импульс и энергия в релятивистской механике . Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сама теория относительности, которая была сформулирована Альбертом Эйнштейном, требует серьезного пересмотра догм классической механики. Лоренц ввел дополнительные уравнения динамики, целью которых и были те самые преобразования классических представлений о происходящих физических процессах. Необходимо было изменить формулы таким образом, чтобы они оставались верными при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Релятивистский импульс

Рисунок 2. Релятивистский импульс. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для того чтобы ввести понятие энергии в релятивистской механике, необходимо рассмотреть:

  • релятивистский импульс;
  • принцип соответствия.

При получении релятивистского выражения импульса необходимо применять принцип соответствия. В релятивистской механике импульс частицы можно определить скоростью этой частицы. Однако зависимость импульса от скорости представляется более сложным механизмом, нежели подобные процессы в классической механике. Это больше нельзя свести к простой пропорциональности, и эффективность расчетов складывается из дополнительных параметров и величин. Импульс представляют в виде вектора, где его направление должно полностью совпадать с направлением скорости определенной частицы. Это предусматривается при варианте симметрии, так как эквивалентность вступает в силу изотропности свободного пространства.

Замечание 1

При этом импульс свободной частицы направляется к единственному выделенному направлению ее скорости. Если скорость частиц равна нулю, то и импульс частицы также равен нулевому значению.

Скорость частицы в любой системе отсчета имеет конечную величину. Она должна быть всегда менее скорости света, которая отображается в виде буквы С, однако этот факт не способен наложить некоторых ограничений на всю величину импульса этой частицы и импульс неограниченно может возрастать.

Релятивистская энергия

Сопоставив различные методы расчетов и приемов можно найти релятивистскую энергию частиц. Известно, что очень важным свойством энергии является ее способность по превращению из одной формы в другую и наоборот. Это происходит в эквивалентных количествах и при различных внешних условиях. В этих метаморфозах состоит один из основных законов сохранения и превращения энергии. При таких явлениях исследователи установили возрастание релятивистской массы. Подобные процессы происходят при любом увеличении энергии тел, и это не зависит от определенного вида энергии, в том числе кинетической энергии. Установлено, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Это происходит вне зависимости от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Визуально такие процессы можно представить в виде простых примеров:

  • нагретое тело будет иметь большую массу покоя, чем холодный объект;
  • деформированная механическим способом деталь также имеет большую массу, чем не подверженная обработке.

Эйнштейн уловил эту взаимосвязь между массой и энергией тела. Соответственно, что при неупругом столкновении различных частиц происходят определенные процессы по превращению кинетической энергии во внутреннюю. Ее еще называют энергией теплового движения частиц. При подобном виде взаимодействий видно, что масса покоя тела станет больше суммарной массы покоя тел в начале эксперимента. Внутренняя энергия определенного тела может сопровождаться увеличением массы пропорционально. Такой же процесс закономерен для увеличения значения кинетической энергии. По классической механике такие столкновения не предполагали образования внутренней энергии, так как не входили в понятие механической энергии.

Пропорциональность массы и энергии

Для логичного действия закона релятивистской энергии необходимо ввести понятие закономерности сохранения импульса и его соотношения с принципом относительности. Для этого требуется, чтобы закон сохранения энергии выполнялся в различных инерциальных системах отсчета.

Сохранение импульса тесно связано с пропорциональностью энергии и массы тела в любых его формах и проявлениях. Сохранение импульса не представляется возможным при замкнутой системе отсчета, когда происходит переход энергии из привычной формы в иную. В этом случае масса тела начинает меняться, и закон перестает действовать верно. Закон пропорциональности массы и энергии выражается как наиболее приближенный вывод всей теории относительности.

Инертные свойства тела в количественном выражении характеризует механику массы тела. Такая инертная масса может представлять меру инертности всего тела. Антиподом инертной массы выступает гравитационная масса. Она характеризуется способностью тела создавать вокруг себя определенное поле тяготения и действовать таким образом на иные тела.

В настоящее время равенство гравитационной и инертной массы подтверждено большим количеством опытных исследований. В теории относительности также возникает вопрос, где фигурируют понятия энергии и массы тела. Это связано с проявлением различных свойств материи. Если их подробно рассматривать в указанной плоскости, то масса и энергия в материи будет существенно различаться. Однако подобные свойства материи, бесспорно, крепко связаны между собой. В этом контексте принято говорить об эквивалентности массы и энергии, так как они пропорциональны друг относительно друга.

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону

где — масса покоя , т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m — масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v .

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса :

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая . Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.

Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса : релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость — закон взаимосвязи массы и энергии — установил А. Эйнштейн:

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся ) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

Энергия покоя является внутренней энергией тела , которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.

В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии : изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:

Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.

Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.

Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

В релятивистской динамике значение кинетической энергии Е к определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е 0 тела:

При уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Краткие выводы:

Специальная теория относительности — это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна — принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.

Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением

Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения

Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:

Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. В чем заключается физическая сущность механического принципа относительности? Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа относительности Эйнштейна?

2. Каковы причины создания специальной теории относительности?

3. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.

4. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?

5. В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?

6. Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?

7. Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от основного закона ньютоновской механики?

8. В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

9. Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?

10. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность?с . Определить его релятивистский импульс и кинетическую энергию .

Дано: кг; v =0,7c ; с =3· 10 8 м/с.

Найти: р, E k .

Релятивистский импульс протона вычислим по формуле

Кинетическая энергия частицы

где Е — полная энергия движущегося протона; Е 0 — энергия покоя.

Ответ: р = 5,68·10 -19 Н·с; E k = 7,69·10 -11 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

1. С какой скоростью должен двигаться стержень, чтобы размеры его в направлении движения сократились в три раза?

2. Частица движется со скоростью v = 8 c . Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

3. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в три раза.

4. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого E k = 1 ГэВ.

5. На сколько процентов увеличится масса электрона после прохождения им в ускоряющем электрическом поле разности потенциалов 1,5 МВ?

Энергия в релятивистской механике

Классическая механика может лишь отчасти удовлетворять исследователей при осуществлении математических расчетов и составлении определенных математических моделей. Ньютоновские законы только справедливы в отношении преобразований Галилея, но для всех остальных случаев требуются новые преобразования, которые нашли отражение в представленных преобразованиях Лоренца. Он ввел такие принципы и понятия для того, чтобы производить точные расчеты для взаимодействующих объектов, которые осуществляют подобные процессы на сверхбольших скоростях, близких к скорости света.

релятивистской механике. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ»>

Рисунок 1. Импульс и энергия в релятивистской механике. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сама теория относительности, которая была сформулирована Альбертом Эйнштейном, требует серьезного пересмотра догм классической механики. Лоренц ввел дополнительные уравнения динамики, целью которых и были те самые преобразования классических представлений о происходящих физических процессах. Необходимо было изменить формулы таким образом, чтобы они оставались верными при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Релятивистский импульс

Рисунок 2. Релятивистский импульс. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для того чтобы ввести понятие энергии в релятивистской механике, необходимо рассмотреть:

  • релятивистский импульс;
  • принцип соответствия.

При получении релятивистского выражения импульса необходимо применять принцип соответствия. В релятивистской механике импульс частицы можно определить скоростью этой частицы. Однако зависимость импульса от скорости представляется более сложным механизмом, нежели подобные процессы в классической механике. Это больше нельзя свести к простой пропорциональности, и эффективность расчетов складывается из дополнительных параметров и величин. Импульс представляют в виде вектора, где его направление должно полностью совпадать с направлением скорости определенной частицы. Это предусматривается при варианте симметрии, так как эквивалентность вступает в силу изотропности свободного пространства.

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 1

При этом импульс свободной частицы направляется к единственному выделенному направлению ее скорости. Если скорость частиц равна нулю, то и импульс частицы также равен нулевому значению.

Скорость частицы в любой системе отсчета имеет конечную величину. Она должна быть всегда менее скорости света, которая отображается в виде буквы С, однако этот факт не способен наложить некоторых ограничений на всю величину импульса этой частицы и импульс неограниченно может возрастать.

Релятивистская энергия

Рисунок 3. Энергия частицы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сопоставив различные методы расчетов и приемов можно найти релятивистскую энергию частиц. Известно, что очень важным свойством энергии является ее способность по превращению из одной формы в другую и наоборот. Это происходит в эквивалентных количествах и при различных внешних условиях. В этих метаморфозах состоит один из основных законов сохранения и превращения энергии. При таких явлениях исследователи установили возрастание релятивистской массы. Подобные процессы происходят при любом увеличении энергии тел, и это не зависит от определенного вида энергии, в том числе кинетической энергии. Установлено, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Это происходит вне зависимости от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Визуально такие процессы можно представить в виде простых примеров:

  • нагретое тело будет иметь большую массу покоя, чем холодный объект;
  • деформированная механическим способом деталь также имеет большую массу, чем не подверженная обработке.

Эйнштейн уловил эту взаимосвязь между массой и энергией тела. Соответственно, что при неупругом столкновении различных частиц происходят определенные процессы по превращению кинетической энергии во внутреннюю. Ее еще называют энергией теплового движения частиц. При подобном виде взаимодействий видно, что масса покоя тела станет больше суммарной массы покоя тел в начале эксперимента. Внутренняя энергия определенного тела может сопровождаться увеличением массы пропорционально. Такой же процесс закономерен для увеличения значения кинетической энергии. По классической механике такие столкновения не предполагали образования внутренней энергии, так как не входили в понятие механической энергии.

Пропорциональность массы и энергии

Для логичного действия закона релятивистской энергии необходимо ввести понятие закономерности сохранения импульса и его соотношения с принципом относительности. Для этого требуется, чтобы закон сохранения энергии выполнялся в различных инерциальных системах отсчета.

Рисунок 4. Связь массы и энергии. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сохранение импульса тесно связано с пропорциональностью энергии и массы тела в любых его формах и проявлениях. Сохранение импульса не представляется возможным при замкнутой системе отсчета, когда происходит переход энергии из привычной формы в иную. В этом случае масса тела начинает меняться, и закон перестает действовать верно. Закон пропорциональности массы и энергии выражается как наиболее приближенный вывод всей теории относительности.

Инертные свойства тела в количественном выражении характеризует механику массы тела. Такая инертная масса может представлять меру инертности всего тела. Антиподом инертной массы выступает гравитационная масса. Она характеризуется способностью тела создавать вокруг себя определенное поле тяготения и действовать таким образом на иные тела.

В настоящее время равенство гравитационной и инертной массы подтверждено большим количеством опытных исследований. В теории относительности также возникает вопрос, где фигурируют понятия энергии и массы тела. Это связано с проявлением различных свойств материи. Если их подробно рассматривать в указанной плоскости, то масса и энергия в материи будет существенно различаться. Однако подобные свойства материи, бесспорно, крепко связаны между собой. В этом контексте принято говорить об эквивалентности массы и энергии, так как они пропорциональны друг относительно друга.

1 Импульс и энергия релятивистской частицы. Энергия покоя. 2 Преобразования импульса и энергии. 3 Законы сохранения энергии и импульса.

Релятивистская динамика

Релятивистская динамика Специальная теория относительности установила фундаментальные свойства пространствавремени Преобразования Лоренца позволяют определять пространственные и временные координаты любого

Подробнее

9.8 Релятивистская динамика

9.8 Релятивистская динамика Принцип относительности Эйнштейна требует, чтобы все законы природы имели один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета. Этому принципу должны удовлетворять, в том

Подробнее

Сегодня суббота, 3 мая 2014 г. Лекция 6.

Сегодня суббота, 3 мая 014 г. Лекция 6. Специальная теория относительности (СТО). Кинематика СТО. Постулаты Эйнштейна и следствия из них. Преобразования Лоренца. Релятивистская динамика. 1. Открытие СТО

Подробнее

Динамика материальной точки

Динамика материальной точки 1 Причины изменения скорости тела. 2 Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. 3 Законы Ньютона. 4 Преобразования Галилея и принцип относительности. Динамика — раздел механики,

Подробнее

Релятивистская динамика

И В Яковлев Материалы по физике MathUsru Релятивистская динамика Темы кодификатора ЕГЭ: полная энергия, связь массы и энергии, энергия покоя В классической динамике мы начали с законов Ньютона, потом перешли

Подробнее

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Лекция 9 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Термины и понятия Предельная скорость Принцип относительности Электромагнитная волна Эфир КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 9 ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

ГЛАВА 13. Лагранжев формализм в СТО

ГЛАВА 3 Лагранжев формализм в СТО 3.. О вариационном методе в механике В данной главе уравнения движения, импульс и энергия релятивистской частицы будут получены вариационным методом. Общим принципом,

Подробнее

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА МТ.

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА МТ. 1 Тема 1. Динамические характеристики МТ. П.1. Инерциальные системы отсчета. П.2. Динамические характеристики и уравнения. П.3. Импульс. Масса. Сила П.4. Сила. Некоторые силы в механике.

Подробнее

3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 3.. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы 3.. Масса и импульс тела 3.3. Второй закон Ньютона. Принцип суперпозиции 3.4. Третий закон Ньютона 3.5. Импульс произвольной

Подробнее

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности 1 Постулаты СТО. Синхронизация часов. 2 Преобразования Лоренца и требование релятивистской инвариантности. 3 Измерение длин и промежутков времени. Специальная (или частная)

Подробнее

2.3 Ускорение материальной точки

2.3 Ускорение материальной точки При неравномерном движении скорость частицы в общем случае меняется как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения скорости определяется ускорением, которое

Подробнее

Законы Ньютона. Правило сложения сил.

Законы Ньютона. Правило сложения сил. Рассмотрим движение материальной точки (рис. 46) в инерциальной системе отсчёта под действием сил, обусловленных взаимодействием точек с другими точками и телами (т.

Подробнее

Динамика поступательного движения

Динамика поступательного движения 1 План: 1. Первый закон Ньютона 2. Второй закон Ньютона 3. Третий закон Ньютона 4. Законы сил в механике 5. Задачи динамики 6. Система частиц 7. Центр масс 2 Первый закон

Подробнее

Принцип независимости действия сил

Лекция 2 Принцип независимости действия сил. Виды сил. Принцип относительности Галилея. Закон сохранения импульса. Центр масс. Система центра инерции. Работа и мощность. Кинетическая энергия и потенциальная

Подробнее

Динамика. Лекция 1.2.

Динамика Лекция 1.2. Динамика — раздел механики, изучает причины движения тел и какими причинами вызвано взаимодействие между телами. Классическая механика Ньютон Область применимости классической механики

Подробнее

m 1 /m 2 = a 2 /a 1.

Комментарии к лекциям по физике Тема: Основы классической динамики Содержание лекции Основы динамики материальной точки. Первый закон Ньютона и его физическое содержание. Динамическая эквивалентность состояния

Подробнее

Л-1: , 5.1, 7.1; Л-2 с

Лекция 4 Динамика материальной точки. Понятие о силе и ее измерении. Силы в природе. Фундаментальные взаимодействия. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета (ИСО). Второй закон Ньютона. Масса

Подробнее

галактики, Вселенная.

При составлении программы следующие правовые документы 10-11классы были использованы федеральный компонент государственного стандарта среднего (полного) общего образования по физике, утвержденный в 2004

Подробнее

p = m v v, (1) K u v = u A l B

Комментарии к лекциям по физике Тема: Основы релятивистской динамики Содержание лекции Релятивистский импульс частицы. Релятивистская энергия. Кинетическая энергия и энергия покоя. Масса и энергия. Эквивалентность

Подробнее

2011 год Квантовая физика

2011 год Квантовая физика 1) вариант 1(8) Энергия кванта излучения, соответствующего длине волны 500 нм(h=6,62 10-34 Дж с; с=3 10 8 м/с). A) ~4 10-20 Дж. B) ~4 10-17 Дж. C) ~4 10-16 Дж. D) ~4 10-19 Дж.

Подробнее

внутренними. Будем обозначать их

Профессор ВА Яковенко Лекция 7 Динамика механических систем Внешние и внутренние силы Движение системы материальных точек Центр масс и центр тяжести механической системы Движение центра масс Закон сохранения

Подробнее

1.5. Неинерциальная система отсчета.

1.5. Неинерциальная система отсчета. 1.5.1. Кинематика относительного движения. 1.5.. Силы инерции. 1.5.3. Гравитационная масса. 1.5.4. Принцип эквивалентности. 1.5.1. Кинематика относительного движения.

Подробнее

Генкин Б. И. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Учебное пособие. Санкт-Петербург: http://auditoi-um.u, 2012 2.1. Законы Ньютона Три закона, положенные в основу классической механики, впервые сформулировал И. Ньютон

Подробнее

КОЛЛОКВИУМ 1 (механика и СТО)

КОЛЛОКВИУМ 1 (механика и СТО) Основные вопросы 1. Система отсчета. Радиус вектор. Траектория. Путь. 2. Вектор смещения. Вектор линейной скорости. 3. Вектор ускорения. Тангенциальное и нормальное ускорение.

Подробнее

Энергия и импульс

Страница 1 из 3

Импульсом частицы называется, как известно, вектор р=∂L/∂v (∂L/∂v — символическое обозначение вектора, компоненты которого равны производным от L по соответствующим компонентам v). С помощью (8.2) находим

p =                                                     (9.1)

При малых скоростях (v<<c) или в пределе при c→ это выражение переходит в классическое p=mv. При v=c импульс обращается в бесконечность.

Производная от импульса по времени есть сила, действующая на частицу. Пусть скорость частицы изменяется только по направлению, т.е. сила направлена перпендикулярно скорости. Тогда

=  .                                        (9.2)

Если же скорость меняется только по величине, т. е. сила направлена по скорости, то

   = .                                 (9.3)

Мы видим, что в обоих случаях отношение силы к ускорению различно.

Энергией  частицы называется величина

= pv − L.

Подставляя сюда выражения (8.2) и (9.1) для L и p, получим

= .                                               (9.4)

Эта очень важная формула показывает, в частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при v=0, а остается конечной величиной, равной

= mc2.                                                             (9.5)

Ее называют энергией покоя частицы.

При малых скоростях (v<<c) имеем, разлагая (9.4) по степеням v/c:

 ≈ mc2 + ,

т. е. за вычетом энергии покоя классическое выражение для кинетической энергии частицы.

Подчеркнем, что хотя мы говорим здесь о «частице», но ее «элементарность» нигде не используется. Поэтому полученные формулы в равной степени применимы и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под m надо понимать полную массу тела, а под v — скорость его движения как целого. В частности, формула (9.5) справедлива и для любого покоящегося как целое тела. Обратим внимание на то, что энергия свободного тела (т.е. энергия любой замкнутой системы) оказывается в релятивистской механике вполне определенной, всегда положительной величиной, непосредственно связанной с массой тела. Напомним в этой связи, что в классической механике энергия тела определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной, и может быть как положительной, так и отрицательной.

Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, mc2 не равно сумме ∑mαc2 (mα — массы частиц), а потому и m не равно ∑mα. Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также и энергия покоя частиц.

Возводя выражения (9.1) и (9.4) в квадрат и сравнивая их, найдем следующее соотношение между энергией и импульсом частицы:

= p2 + m2c2.                                                (9.6)

Энергия, выраженная через импульс, называется, как известно, функцией Гамильтона :

= c .                                         (9.7)

Энергия кинетическая релятивистская — Энциклопедия по машиностроению XXL

Таким образом, член тс , известный под названием энергии покоя, приобретает важное физическое значение. В нерелятивистской формулировке законов сохранения, данной в главе 1, сохранение количества движения могло иметь место без сохранения кинетической энергии. Однако релятивистская кинетическая энергия (6.41) должна при этом все же сохраняться, что может быть только в том случае, когда изменяется энергия покоя, т. е. масса покоя. Связь между изменением массы покоя и вызванным им изменением энергии дается следующей известной формулой Эйнштейна  [c.228]
Релятивистская кинетическая энергия. Выразим релятивистскую кинетическую энергию Т из равенства (7.23)  [c.191]

Кинетическая энергия Т релятивистской частицы определяется выражением  [c.260]

Передача энергии электронов твердому телу. Электроннолучевая обработка материалов основывается на явлении превращения в тепловую энергию кинетической энергии электронов при их торможении в поверхностных слоях твердого тела. Скорость электронов без учета релятивистской поправки составляет  [c.150]

Такое определение замкнутой изолированной системы оказывается целесообразным расширением понятия механической замкнутой системы потому, что для нее строго сохраняются при любых известных в настоящее время взаимодействиях релятивистская энергия системы, релятивистский импульс системы, момент импульса системы. В отличие от полной механической энергии системы, включающей в себя кинетическую и потенциальную, теперь энергия складывается из релятивистских энергий всех тел и энергии поля, непрерывно распределенной в пространстве  [c.275]

Установить связь классического выражения кинетической энергии с релятивистским.  [c.299]

Таким образом, релятивистская полная энергия точки есть сумма кинетической энергии и энергии покоя.  [c.294]

Кинетическая энергия релятивистской частицы. Оп-  [c.216]

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то. Поэтому, проинтегрировав (7.7), получим  [c.216]

Таким образом, при больших скоростях кинетическая энергия частицы определяется релятивистской формулой [(7.9), отличной от /710 2/2. Заметим, что (7.9) нельзя представить и в виде то /2, где т — релятивистская масса.  [c.217]

Пример 1. Частица с массой покоя щ движется со скоростью, при которой ее релятивистская кинетическая энергия Т в п раз превышает значение кинетической энергии Г , вычисленное по нерелятивистской формуле. Найдем Т.  [c.217]

Закон взаимосвязи массы и энергии. Из формулы (7.7) следует, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Вместе с тем известно, что при протекании различных процессов в природе одни виды энергии могут преобразовываться в другие. Например, кинетическая энергия сталкивающихся частиц может преобразоваться во внутреннюю энергию образовавшейся частицы. Поэтому естественно ожидать, что масса тела будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит.  [c.218]


Ф 7.4. Симметричное упругое рассеяние. Релятивистский протон с кинетической энергией Т испытал упругое столкновение с покоившимся протоном, в результате чего оба протона разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения. Найти угол между направлениями разлета протонов после столкновения.  [c.232]

Полная энергия тела складывается из энергии покоя тела и кинетической энергии, поэтому точное релятивистское выражение для кинетической энергии Е/, тела имеет следующий вид  [c.288]

Член Mv 12 известен как кинетическая энергия К в нерелятивистском пределе. Предположим, что мы определили полную релятивистскую энергию Е свободной частицы тождеством  [c.381]

Поскольку масса однозначно связана с энергией, система с полной релятивистской энергией Е неотделима от инертной массы М = Е1с . Рассмотрим ящик, лишенный массы и содержащий Л/ покоящихся в нем частиц. При попытках придать ему ускорение ящик обнаруживает инертную массу NbA. Имея скорость V, ящик обладает импульсом /VMV. Однако если каждая частица обладает в системе отсчета ящика скоростью v и кинетической энергией Mv /2, то инертная масса ящика становится равной N МMv /2с ), а импульс равен /VV (Л1-(-My /2 ). Последние два выражения верны, если скорости V и v несоизмеримо малы по сравнению с с.  [c.385]

Релятивистский импульс. Каков импульс протона, имеющего кинетическую энергию в 1 Бэв (1 ГэВ) ) (Если Е измеряется в ГэВ, то р можно измерять в ГэВ/с.) Ответ. 1,7 ГэВ/с.  [c.395]

Релятивистский импульс. Каков импульс электрона, имеющего кинетическую энергию 1 ГэВ Ответ. 1,0005 ГэВ.  [c.395]

Этот результат иллюстрирует еще одно отличие от ньютоновской динамики, где сохранение количества движения и сохранение кинетической энергии представляли собой независимые утверждения. В частности, при определенных взаимодействиях тел, движущихся с нерелятивистскими скоростями, сохраняется количество движения, а кинетическая энергия не сохраняется, превращаясь частично в тепло. Так, например, ведут себя тела при неупругом ударе. Тем не менее релятивистская сумма  [c.468]

Сопоставляя формулы (2.2) и (2.4), получим связь между кинетической энергией Т и импульсом р в релятивистской механике  [c.28]

Как устанавливается в статистической физике, связь (3.29) между давлением Р и энергией Е существует не только в случае обычных (подчиняющихся уравнению Клапейрона—Менделеева и называемых классическими) одноатомных идеальных газов, но и в случае квантовых идеальных (нерелятивистских) как .бозе-, так и ферми-газов, когда кинетическая энергия частиц значительно меньше их собственной энергии тс (с — скорость света). Для релятивистского идеаль-шого квантового газа, когда кинетическая энергия его частиц сравнима или зна-  [c.55]

Для частиц с релятивистской энергией к введенным выше обозначениям добавляются М — масса покоя, МэВ (т. е. скорость света с=1) Т — кинетическая  [c.1087]

Релятивистская кинетическая энергия, которую мы обозначим просто через Е, получается вычитанием энергии покоя из полной  [c.13]

При Ml = о формула (13.3) применима для рассмотрения столкновения v-кванта с атомом. Под Е , Е в формуле (13.3) понимаются релятивистские кинетические (не полные) энергии (4.8) соответствующих частиц. При столкновениях частиц ядерных излучений с атомами практически всегда Мг > Mi. Поэтому из (13.2), (13.3) следует, что для выбивания атомов энергия налетающих частиц должна намного превышать Еа, особенно если эти частицы легкие. Например, даже такая сравнительно тяжелая частица, как нейтрон, имеющий энергию 2 МэВ, может передать при упругом столкновении атому углерода не более 0,5 МэВ, а атому урана — не более 0,033 МэВ. Электрон той же энергий может передать углероду не более 1 кэБ, а урану не более 0,05 кэВ. Для у-кванта той же энергии соответствующие цифры в три раза меньше, чем для электрона.  [c.651]

МЫ ВИДИМ, ЧТО релятивистскую кинетическую энергию следует считать равной  [c.228]

Для окончательного вычисления гамильтониана заметим, что четвертая составляющая 4-импульса [см. уравнение (6.58)] равна здесь —, а релятивистская кинетическая энергия может  [c.248]


ОДНИХ ТОЛЬКО координат. Например, в случае сил, дейст-вующих на электрон при наличии внешнего электромагнитного поля, силовая функция зависит от скоростей qi и может зависеть и от времени t. Следовательно, обычные условия независимости силовой функции от времени п скорости здесь не выполняются. Более того, при переходе от классической к релятивистской механике изменяется обычная форма кинетической энергии, определяющая риманову структуру линейного элемента.  [c.320]

Основные связующие темы сохранились и для дополнительного материала, включённого во второе издание. Кинетическая энергия, кинетический потенциал и действие применяются при исследовании динамики общих и специальных систем. В их числе реономные системы (п. 5.5) динамические системы (п. 12.5) и системы Четаева (п. 17.3), (заметка 29) системы с неевклидовым действием (п. 18.3) системы с распределёнными параметрами — стержень в задаче об устойчивости его формы (п. 25.5) и развёртываемая центробежными силами в космосе поверхность (заметка 27) система с диссипацией энергии за счёт гистерезиса в опоре (заметка 28) система переменного состава (заметка 30) гамильтоновы системы (заметки 32-35) системы, включающие бесконечно удалённые гравитирующие массы со сферической симметрией и инерционные объекты, нарушающие общую симметрию (заметки 36, 37) система, состоящая из релятивистской частицы и её собственного поля (заметка 38).  [c.14]

Следовательнс), релятивистская энергия. W равна сумме кинетической энергии р /(2ш) ] и энергии покоя (тс ).  [c.382]

Наконец, заметим, что релятивистская механика пользуется сложной мерой движений — тензором энергии-импульсов. Тензор энергии-импульсов определяется в четырехмерпом пространстве. Его линейный инвариант связан с кинетической энергией частицы материи, а компоненты Тц ( = 1,2,3) — с проекциями ее количества движения на оси координат. Следовательно, тензор энергии-импульсов внутренне объединяет обе меры движения — картезианскую и Лейбница.  [c.384]

Все виды взаимодействий (сильные, электромагнитные и слабые) по характеру их цротекания можно разделить на упругие и неупругие. Упругое взаимодействие, т. е. упругое рассеяние одной частицы на другой, характеризуется сохранением суммарной кинетической энергии обеих частиц и может быть описано (для всех видов взаимодействий) при помош,и простой геометрической схемы, называемой импульсной диаграммой (для высоких энергий должен быть рассмотрен релятивистский вариант диаграммы). Неупругие процессы характеризуются переходом (полным или частичным) кинетической энергии движущейся частицы в другие формы, например в энергию возбуждения атома, в энергию излучения, в энергию покоя образующихся частиц.  [c.254]

Наш вывод показывает, что обычная формулировка теоремы о сохранении элергии сумма кинетической и потенциальной энергий в процессе движения остается постоянной справедлива лишь при определенных ограничивающих условиях. Недостаточно, чтобы система была склерономной. Необходимо, помимо этого, чтобы кинетическая энергия была квадратичной формой скоростей, а потенциальная энергия не содержала скоростей вообще. Встречаются, однако, механические системы с гироскопическими членами , линейными относительно скоростей. Более того, в релятивистской механике кинетическая часть фуикции Лагранжа зависит от скоростей более сложным образом, чем в ньюто-  [c.148]

Эта сила, называемая силой Лоренца , действует на заряженную часпщу. Последнее уравнение (t = 4) снова выражает закон сохранения энергии в форме скорость изменения кинетической энергии равна работе движущей силы [кинетическая энергия при этом подразумевается в релятивистской форме (9.5.13)].  [c.368]


Релятивистская энергия | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Вычисление полной энергии релятивистского объекта.
  • Вычислите кинетическую энергию релятивистского объекта.
  • Опишите энергию покоя и объясните, как ее можно преобразовать в другие формы.
  • Объясните, почему массивные частицы не могут достичь C.

Рис. 1. В Национальном эксперименте со сферическими торусами (NSTX) есть термоядерный реактор, в котором изотопы водорода подвергаются синтезу с образованием гелия.В этом процессе относительно небольшая масса топлива преобразуется в большое количество энергии. (кредит: Принстонская лаборатория физики плазмы)

Токамак — это разновидность экспериментального термоядерного реактора, который может преобразовывать массу в энергию. Для этого требуется понимание релятивистской энергии. Ядерные реакторы являются доказательством сохранения релятивистской энергии.

Закон сохранения энергии — один из важнейших законов физики. Мало того, что энергия имеет много важных форм, каждая форма может быть преобразована в любую другую.Мы знаем, что в классическом понимании общее количество энергии в системе остается постоянным. Релятивистски энергия по-прежнему сохраняется при условии, что ее определение изменено, чтобы включить возможность превращения массы в энергию, как в реакциях, происходящих в ядерном реакторе. Релятивистская энергия намеренно определена таким образом, чтобы она сохранялась во всех инерциальных системах отсчета, как и в случае с релятивистским импульсом. Как следствие, мы узнаем, что несколько фундаментальных величин связаны способами, неизвестными в классической физике.Все эти соотношения проверяются экспериментом и имеют фундаментальные последствия. Измененное определение энергии содержит некоторые из наиболее фундаментальных и захватывающих новых открытий в природе, обнаруженных в новейшей истории.

Общая энергия и энергия покоя

Первый постулат относительности гласит, что законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Эйнштейн показал, что закон сохранения энергии верен релятивистски, если мы определяем энергию как включающую релятивистский фактор.2}}}\\[/латекс]

и v — скорость массы относительно наблюдателя. Есть много аспектов полной энергии E , которые мы обсудим — среди них то, как кинетическая и потенциальная энергии включены в E и как E связано с релятивистским импульсом. Но сначала отметим, что в состоянии покоя полная энергия не равна нулю. Скорее, когда v = 0, мы имеем γ = 1, и у объекта есть энергия покоя.

Энергия покоя

Энергия покоя равна E 0 = mc 2 .

Это правильная форма самого известного уравнения Эйнштейна, которое впервые показало, что энергия связана с массой покоящегося объекта. Например, если в объекте запасена энергия, его масса покоя увеличивается. Это также означает, что масса может быть разрушена для высвобождения энергии. Последствия этих первых двух уравнений для релятивистской энергии настолько широки, что они не были полностью признаны в течение нескольких лет после того, как Эйнштейн опубликовал их в 1907 году, а экспериментальное доказательство их правильности сначала не было широко признано.Следует отметить, что Эйнштейн действительно понял и описал значения и следствия своей теории.

Пример 1. Расчет энергии покоя: энергия покоя очень велика

Рассчитайте энергию покоя груза массой 1,00 г.

Стратегия

Один грамм — это небольшая масса — менее половины массы пенни. Мы можем умножить эту массу в единицах СИ на квадрат скорости света, чтобы найти эквивалентную энергию покоя.

Решение

Определите известные значения: м = 1.2\конец{массив}\\[/латекс]

Перевести единицы измерения. Учитывая, что 1 кг · м 2 2 = 1 Дж, мы видим, что энергия массы покоя равна E 0 = 9,00 × 10 13 Дж.

Обсуждение

Это огромное количество энергии для массы 1,00 г. Мы не замечаем эту энергию, потому что она вообще недоступна. Энергия покоя велика, потому что скорость света c — большое число, а c 2 — очень большое число, так что mc 2 огромно для любой макроскопической массы.Энергия массы покоя 9,00 × 10 13 Дж для 1,00 г примерно в два раза превышает энергию, высвобожденную атомной бомбой, сброшенной на Хиросиму, и примерно в 10 000 раз превышает кинетическую энергию большого авианосца. Если будет найден способ преобразования энергии массы покоя в какую-либо другую форму (а все формы энергии могут быть преобразованы друг в друга), то при разрушении массы можно будет получить огромное количество энергии.

Сегодня хорошо известны практические применения преобразования массы в другую форму энергии , например, в ядерном оружии и атомных электростанциях.Но примеры существовали и тогда, когда Эйнштейн впервые предложил правильную форму релятивистской энергии, и он действительно описал некоторые из них. Ядерное излучение было обнаружено в предыдущем десятилетии, и оставалось загадкой, откуда берется его энергия. Объяснение заключалось в том, что в некоторых ядерных процессах небольшое количество массы разрушается, а энергия высвобождается и переносится ядерным излучением. Но количество уничтоженной массы настолько мало, что трудно обнаружить отсутствие чего-либо. Хотя Эйнштейн предположил, что это источник энергии в изучаемых в то время радиоактивных солях, прошло много лет, прежде чем было широко признано, что масса может быть преобразована и фактически обычно преобразуется в энергию.(См. рис. 2.)

Рисунок 2. Солнце (а) и паровая электростанция Саскуэханна (б) преобразовывают массу в энергию: Солнце за счет ядерного синтеза, электрическая станция за счет ядерного деления. (кредиты: (а) НАСА/Центр космических полетов имени Годдарда, Студия научной визуализации; (б) правительство США)

Из-за связи энергии покоя с массой мы теперь считаем массу формой энергии, а не чем-то отдельным. До работы Эйнштейна не было даже намека на это.Теперь известно, что такое преобразование является источником солнечной энергии, энергии ядерного распада и даже источником энергии, поддерживающей недра Земли горячими.

Сохраненная энергия и потенциальная энергия

Что происходит с энергией, запасенной в покоящемся объекте, например, с энергией, переданной в батарею при ее зарядке, или с энергией, запасенной в сжатой пружине игрушечного пистолета? Вклад энергии становится частью полной энергии объекта и, таким образом, увеличивает его массу покоя. Вся запасенная и потенциальная энергия становится массой в системе.Почему мы обычно этого не замечаем? Фактически, сохранение массы (то есть общая масса постоянна) было одним из великих законов, подтвержденных наукой 19 века. Почему не было замечено, что это неправильно? Пример 2 помогает ответить на эти вопросы.

Пример 2. Расчет массы покоя: небольшое увеличение массы из-за подвода энергии

Автомобильный аккумулятор рассчитан на 600 ампер-часов (А·ч) заряда при напряжении 12,0 В.

  1. Рассчитайте увеличение массы покоя такой батареи, когда она переходит от полностью разряженного состояния к полностью заряженному.
  2. На сколько процентов это увеличение, учитывая массу батареи 20,0 кг?
Стратегия

В Части 1 мы сначала должны найти энергию, запасенную в батарее, которая равняется тому, что батарея может дать в виде электрической потенциальной энергии. Так как PE elec qV , мы должны рассчитать заряд q в 600 А·ч, который является произведением тока I и времени t . Затем умножаем результат на 12.0 В. Затем мы можем рассчитать увеличение массы батареи, используя Δ E = PE elec  = (Δ m ) c 2 . Часть 2 – это простое соотношение, преобразованное в проценты.

Решение для части 1

Определите известные: I t = 600 А ⋅ ч; В = 12,0 В; c  = 3,00 × 10 8 м/с

Определите неизвестное: Δ м

Выберите подходящее уравнение. PE elec =(Δ м ) c 2

Перестройте уравнение, чтобы найти неизвестное.2}\конец{массив}\\[/латекс]

Используя преобразование 1 кг · м 2 2 = 1 Дж, мы можем записать массу как Δ м = 2,88 × 10 −10 кг.

Решение для части 2

Определите известные значения: Δ м = 2,88 × 10 −10 кг; м =20,0 кг

Идентификация неизвестного: % изменения

Выберите подходящее уравнение. [латекс]\%\текст{увеличение}=\фракция{\Дельта{м}}{м}\times100\%\\[/латекс]

Подставьте известные значения в уравнение.{-9}\%\конец{массив}\\[/латекс]

Обсуждение

И фактическое увеличение массы, и процентное увеличение очень малы, поскольку энергия делится на c 2 , очень большое число. Мы должны были бы быть в состоянии измерить массу батареи с точностью до одной миллиардной доли процента, или 1 часть на 10 11 , чтобы заметить это увеличение. Неудивительно, что изменение массы не так просто наблюдать. На самом деле это изменение массы настолько мало, что мы можем задаться вопросом, как вы можете проверить, что оно реально.Ответ можно найти в ядерных процессах, в которых процент разрушенной массы достаточно велик, чтобы его можно было измерить. Масса топлива ядерного реактора, например, значительно меньше, когда его энергия была использована. В этом случае запасенная энергия высвобождается (превращается в основном в тепло и электричество), а масса покоя уменьшается. Это также имеет место, когда вы используете энергию, хранящуюся в батарее, за исключением того, что запасенная энергия намного больше в ядерных процессах, что делает изменение массы измеримым как на практике, так и в теории.2\\[/латекс]. Релятивистское выражение для кинетической энергии получается из теоремы о работе-энергии. Эта теорема утверждает, что чистая работа системы переходит в кинетическую энергию. Если наша система стартует из состояния покоя, то теорема о работе и энергии будет следующей: Вт нетто = KE.

Релятивистски, в состоянии покоя мы имеем энергию покоя E 0 = mc 2 . Работа увеличивает это до полной энергии E = γmc 2 .Таким образом, W Net = E E E 0 = γ MC 2 MC 2 = ( γ — 1) MC 2 .

Релятивистски имеем W net  = KE rel .

Релятивистская кинетическая энергия

Релятивистская кинетическая энергия равна к.э.2=\text{KE}_{\text{класс}}\\[/латекс].

Таким образом, фактически релятивистская кинетическая энергия становится такой же, как классическая кинетическая энергия, когда <<  c .

Еще интереснее исследовать, что происходит с кинетической энергией, когда скорость объекта приближается к скорости света. Мы знаем, что γ становится бесконечным, когда v приближается к c , так что KE rel также становится бесконечным, когда скорость приближается к скорости света.(См. рис. 3.) Чтобы разогнать массу до скорости света, требуется бесконечное количество работы (и, следовательно, бесконечное количество подводимой энергии).

Рисунок 3. Этот график зависимости KE rel от скорости показывает, как кинетическая энергия приближается к бесконечности, когда скорость приближается к скорости света. Таким образом, объект, имеющий массу, не может достичь скорости света. Также показан класс KE , классическая кинетическая энергия, которая подобна релятивистской кинетической энергии при низких скоростях.Обратите внимание, что для достижения высоких скоростей требуется гораздо больше энергии, чем предсказывалось классически.

Скорость света

Ни один объект с массой не может достичь скорости света.

Таким образом, скорость света является предельной скоростью для любой частицы, имеющей массу. Все это согласуется с тем фактом, что скорости меньше c всегда добавляются к меньшему, чем c . Как релятивистская форма кинетической энергии, так и предельная скорость, равная c , были подробно подтверждены в многочисленных экспериментах.Независимо от того, сколько энергии затрачено на ускорение массы, ее скорость может только приближаться, а не достигать скорости света.

Пример 3. Сравнение кинетической энергии: релятивистская энергия с классической кинетической энергией

Электрон имеет скорость = 0,990 c .

  1. Рассчитайте кинетическую энергию электрона в МэВ.
  2. Сравните это с классическим значением кинетической энергии при этой скорости. (Масса электрона 9,11 × 10 -31 кг.)
Стратегия

Выражение для релятивистской кинетической энергии всегда верно, но для Части 1 его необходимо использовать, поскольку скорость очень релятивистская (близкая к c ). Сначала мы рассчитаем релятивистский фактор γ , а затем используем его для определения релятивистской кинетической энергии. Во второй части мы вычислим классическую кинетическую энергию (которая была бы близка к релятивистскому значению, если бы v было меньше нескольких процентов от c ) и увидим, что это не одно и то же.

Решение для части 1

Определите известные значения: v = 0,990 c ; м = 9,11 × 10 −31 кг

Идентификация неизвестного: KE rel

Выберите подходящее уравнение.2}}}\\\text{ }&=& \ гидроразрыва {1} {\ sqrt {1- \ гидроразрыва {\ влево (0.{-13}\text{ J}}\right)\\\text{ }&=&0,251\text{ МэВ}\end{массив}\\[/latex]

Обсуждение

Как и следовало ожидать, поскольку скорость составляет 99,0% скорости света, классическая кинетическая энергия значительно отличается от правильного релятивистского значения. Отметим также, что классическое значение намного меньше релятивистского. На самом деле [латекс]\frac{\text{KE}_{\text{rel}}}{\text{KE}_{\text{класс}}}=12,4\\[/latex] здесь. Это некоторое указание на то, как трудно заставить массу двигаться со скоростью, близкой к скорости света.Требуется гораздо больше энергии, чем предсказывалось классически.

Рисунок 4. Национальная ускорительная лаборатория имени Ферми недалеко от Батавии, штат Иллинойс, представляла собой коллайдер субатомных частиц, ускорявший протоны и антипротоны до энергии до 1 Тэв (триллион электронвольт). Круглые пруды возле колец были построены для отвода отработанного тепла. Этот ускоритель был остановлен в сентябре 2011 года. (Фото: Фермилаб, Рейдар Хан)

Некоторые люди интерпретируют эту дополнительную энергию как увеличение массы системы, но, как обсуждалось в «Релятивистском импульсе», это нельзя проверить однозначно.Не вызывает сомнений то, что требуется постоянно возрастающее количество энергии, чтобы приблизить скорость массы к скорости света. Энергия в 3 МэВ очень мала для электрона и может быть достигнута с помощью современных ускорителей частиц. SLAC, например, может ускорять электроны до более чем 50 × 10 9 эВ = 50 000 МэВ.

Есть ли смысл в получении v немного ближе к c, чем 99,0% или 99,9%? Ответ положительный. Делая это, мы многому учимся.Энергия, которая переходит в высокоскоростную массу, может быть преобразована в любую другую форму, в том числе в совершенно новые массы. (См. рис. 4.) Большая часть того, что мы знаем о субструктуре материи и наборе экзотических короткоживущих частиц в природе, была получена таким образом. Частицы ускоряются до чрезвычайно релятивистских энергий и заставляют сталкиваться с другими частицами, создавая совершенно новые виды частиц. Паттерны характеристик этих ранее неизвестных частиц намекают на основную субструктуру всей материи.2\\[/латекс].

Релятивистски мы можем получить связь между энергией и импульсом, алгебраически манипулируя их определениями. Это производит E 2 = ( PC = ( PC ) 2 + ( MC + ( MC 2 ) 2 , где E — это релятивистская общая энергия и p — это релятивистский импульс. Эта связь между релятивистской энергией и релятивистским импульсом более сложна, чем классическая, но мы можем получить некоторые интересные новые идеи, исследуя ее.Во-первых, полная энергия связана с импульсом и массой покоя. В состоянии покоя импульс равен нулю, и уравнение дает полную энергию как энергию покоя mc 2 (так что это уравнение согласуется с приведенным выше обсуждением энергии покоя). Однако по мере ускорения массы ее импульс p увеличивается, что увеличивает общую энергию. При достаточно высоких скоростях член энергии покоя ( mc 2 ) 2 становится пренебрежимо малым по сравнению с членом импульса ( пк ) 2 ; таким образом, E = пк при чрезвычайно релятивистских скоростях.

Если мы считаем, что импульс p отличается от массы, мы можем определить следствия уравнения для частицы, не имеющей массы. Если мы возьмем м равным нулю в этом уравнении, то [латекс]E=pc\text{, или }p=\frac{E}{c}\\[/latex]. Этим импульсом обладают безмассовые частицы. В природе встречается несколько безмассовых частиц, в том числе фотоны (это кванты электромагнитного излучения).Другое следствие состоит в том, что безмассовая частица должна двигаться со скоростью c и только со скоростью c . Хотя рассмотрение соотношения в уравнении E 2 = ( pc ) 2 + ( mc 2 ) 2 , мы можем увидеть подробно, что эта взаимосвязь имеет важное значение в специальной теории относительности.

Стратегии решения проблем относительности

  1. Изучите ситуацию, чтобы определить, что необходимо использовать относительность .2}}}\\[/latex],
    количественный релятивистский фактор. Если γ очень близко к 1, то релятивистские эффекты малы и очень мало отличаются от обычно более простых классических вычислений.
  2. Определите, что именно нужно определить в задаче (идентифицируйте неизвестные).
  3. Составьте список того, что дано или может быть выведено из заявленной проблемы (укажите известное). В частности, обратите внимание на информацию об относительной скорости v .
  4. Перед выполнением каких-либо расчетов убедитесь, что вы понимаете концептуальные аспекты проблемы. Решите, например, какой наблюдатель увидит увеличение времени или сокращение длины, прежде чем подставлять в уравнения. Если вы подумали о том, кто что видит, кто движется вместе с наблюдаемым событием, кто видит правильное время и т. д., вам будет гораздо легче определить, разумен ли ваш расчет.
  5. Определите основной тип расчета, который необходимо выполнить для нахождения указанных выше неизвестных. Вы найдете краткое содержание раздела полезным для определения того, задействовано ли сокращение длины, релятивистская кинетическая энергия или какое-либо другое понятие.
  6. Не округлять при расчете. Как отмечено в тексте, вы должны часто выполнять вычисления со многими цифрами, чтобы увидеть желаемый эффект. Вы можете округлить в самом конце задачи, но не используйте округленное число в последующих вычислениях.
  7. Проверьте ответ, чтобы убедиться, что он разумен: Имеет ли он смысл? Это может быть сложнее для теории относительности, так как мы не сталкиваемся с ней напрямую.{2}}}}\\[/латекс] .
  8. Энергия покоя равна E 0 = mc 2 , что означает, что масса является формой энергии. Если энергия накапливается в объекте, его масса увеличивается. Массу можно разрушить, чтобы высвободить энергию.
  9. Обычно мы не замечаем увеличения или уменьшения массы объекта, потому что изменение массы очень мало при большом увеличении энергии.
  10. Теорема релятивистской работы W Net = E E 0 = γmc 2 MC 2 = ( γ — 1) MC 2 .{2}}}}\\[/латекс]. При малых скоростях релятивистская кинетическая энергия сводится к классической кинетической энергии.
  11. Ни один объект с массой не может достичь скорости света, потому что для ускорения массы до скорости света требуется бесконечное количество работы и бесконечное количество энергии.
  12. Уравнение E 2 = ( PC ) 2 + ( мк 2 ) 2 Соглащает релятивистскую общую энергию E и релятивистский импульс P .При чрезвычайно высоких скоростях энергия покоя мс 2 становится незначительной, и E = пк .
  13. Концептуальные вопросы

    1. Как современные теории относительности модифицируют классические законы сохранения энергии и сохранения массы?
    2. Что происходит с массой воды в кастрюле, когда она охлаждается, если предположить, что никакие молекулы не улетучиваются и не добавляются? Наблюдается ли это на практике? Объяснять.
    3. Проведите мысленный эксперимент.Ранним утром вы помещаете надутый воздушный шар на весы снаружи. Воздушный шар остается на весах, и вы можете измерить изменения его массы. Изменяется ли масса шарика в течение дня? Обсудите трудности при проведении этого эксперимента.
    4. Масса топлива в ядерном реакторе уменьшается на наблюдаемую величину по мере выделения энергии. Верно ли то же самое для угля и кислорода на обычной электростанции? Если да, то наблюдается ли это на практике для угля и кислорода? Объяснять.
    5. Мы знаем, что скорость объекта с массой имеет верхний предел c . Существует ли верхний предел его импульса? Его энергия? Объяснять.
    6. Учитывая тот факт, что свет движется со скоростью c , может ли он иметь массу? Объяснять.
    7. Если вы используете наземный телескоп для проецирования лазерного луча на Луну, вы можете перемещать пятно по поверхности Луны со скоростью, превышающей скорость света. Нарушает ли это современную относительность? (Обратите внимание, что свет направляется с Земли на Луну, а не через поверхность Луны.)

    Задачи и упражнения

    1. Чему равна энергия покоя электрона, если его масса равна 9,11 × 10 −31 кг? Дайте ответ в джоулях и МэВ.
    2. Найдите энергию покоя протона в джоулях и МэВ, если его масса равна 1,67 × 10 −27 кг.
    3. Если энергии покоя протона и нейтрона (двух составляющих ядер) равны 938,3 и 939,6 МэВ соответственно, какова разница в их массах в килограммах?
    4. По оценкам, Большой взрыв, с которого началась Вселенная, высвободил 10 68 Дж энергии.Сколько звезд может создать половина этой энергии, если предположить, что средняя масса звезды составляет 4,00 × 10 30 кг?
    5. Взрыв сверхновой звезды размером 2,00 × 10 31 кг производит 1,00 × 10 44 кг энергии. а) Сколько килограммов массы преобразуется в энергию при взрыве? (b) Чему равно отношение [латекс]\frac{\Delta{m}}{m}\\[/латекс] разрушенной массы к исходной массе звезды?
    6. (a) Используя данные из Таблицы 1 в Законе о сохранении энергии, рассчитайте массу, преобразованную в энергию при делении 1.00 кг урана. (b) Каково отношение массы, разрушенной к первоначальной массе, [латекс]\frac{\Delta{m}}{m}\\[/latex]?
    7. (a) Используя данные из Таблицы 1 в разделе «Сохранение энергии», рассчитайте количество массы, преобразованной в энергию при синтезе 1,00 кг водорода. (b) Каково отношение массы, разрушенной к первоначальной массе, [латекс]\frac{\Delta{m}}{m}\\[/latex]? (c) Как это соотносится с [латексом]\frac{\Delta{m}}{m}\\[/latex] для деления 1,00 кг урана?
    8. Существует приблизительно 10 34 Дж энергии, полученной в результате синтеза водорода в Мировом океане.(a) Если бы было использовано 10 33 Дж этой энергии, как уменьшилась бы масса океанов? (б) Насколько большому объему воды это соответствует? (c) Прокомментируйте, составляет ли это значительную долю общей массы океанов.
    9. Мюон имеет энергию массы покоя 105,7 МэВ и распадается на электрон и безмассовую частицу. (а) Если вся потерянная масса будет преобразована в кинетическую энергию электрона, найдите для электрона γ . б) Какова скорость электрона?
    10. π-мезон — это частица, распадающаяся на мюон и безмассовую частицу.π-мезон имеет энергию массы покоя 139,6 МэВ, а мюон имеет энергию массы покоя 105,7 МэВ. Предположим, что π-мезон покоится, и вся недостающая масса идет на кинетическую энергию мюона. С какой скоростью будет двигаться мюон?
    11. (a) Рассчитайте релятивистскую кинетическую энергию автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30,0 м/с, если скорость света составляет всего 45,0 м/с. (b) Найдите отношение релятивистской кинетической энергии к классической.
    12. Альфа-распад — это ядерный распад, при котором испускается ядро ​​гелия.Если ядро ​​гелия имеет массу 6,80 × 10 −27 кг и ему придана кинетическая энергия 5,00 МэВ, какова его скорость?
    13. (a) Бета-распад — это ядерный распад, при котором испускается электрон. Если электрону придана кинетическая энергия 0,750 МэВ, какова его скорость? (b) Прокомментируйте, как высокая скорость согласуется с кинетической энергией по сравнению с энергией массы покоя электрона.
    14. Позитрон — это версия электрона из антивещества, имеющая точно такую ​​же массу.Когда позитрон и электрон встречаются, они аннигилируют, превращая всю свою массу в энергию. (а) Найдите выделившуюся энергию, предполагая пренебрежимо малую кинетическую энергию до аннигиляции. (b) Если эта энергия передана протону в виде кинетической энергии, какова его скорость? (c) Если эта энергия передана другому электрону в виде кинетической энергии, какова его скорость?
    15. Чему равна кинетическая энергия в МэВ π-мезона, живущего 1,40 × 10 −16 с, измеренная в лаборатории, и 0.{2}-1\\[/латекс] . Это означает, что при больших скоростях пк  >> мс 2 . (b) Является ли E пк , когда γ = 30,0, как для астронавта, обсуждаемого в парадоксе близнецов?
    16. Один нейтрон космического луча имеет скорость [латекс]0,250c[/латекс] относительно Земли. (а) Какова полная энергия нейтрона в МэВ? (б) Найдите его импульс. (c) Является ли E pc в этой ситуации? Обсудите с помощью уравнения, данного в части (а) предыдущей задачи.
    17. Чему равно γ для протона с массовой энергией 938,3 МэВ, ускоренного при эффективном потенциале 1,0 ТВ (теравольт) в лаборатории Ферми под Чикаго?
    18. (a) Чему равен эффективный ускоряющий потенциал электронов на Стэнфордском линейном ускорителе, если для них γ = 1,00 × 10 5 ? (б) Какова их полная энергия (почти такая же, как кинетическая в данном случае) в ГэВ?
    19. (a) Используя данные из Таблицы 1 в разделе «Сохранение энергии», найдите массу, разрушаемую при высвобождении энергии в барреле сырой нефти.(b) Учитывая, что эти бочки содержат 200 литров и плотность сырой нефти составляет 750 кг/м 3 , каково отношение разрушенной массы к первоначальной массе, [латекс]\frac{\Delta{m}}{m }\\[/латекс]?
    20. (a) Рассчитайте энергию, выделяющуюся при разрушении 1,00 кг массы. (b) Сколько килограммов можно поднять на высоту 10,0 км с помощью этого количества энергии?
    21. Ускоритель Ван де Граафа использует разность потенциалов 50,0 МВ для ускорения заряженных частиц, таких как протоны.а) Какова скорость протона, ускоренного таким потенциалом? (б) Электрон?
    22. Предположим, вы используете в среднем 500 кВт·ч электроэнергии в месяц в своем доме. (a) Как долго вам хватит 1,00 г массы, преобразованной в электрическую энергию с КПД 38,0%? (b) Сколько домов можно было бы снабжать электроэнергией из описанного преобразования массы при скорости 500 кВт·ч в месяц в течение одного года?
    23. (a) Атомная электростанция преобразует энергию ядерного деления в электричество с КПД 35.0%. Сколько массы разрушается за один год, чтобы непрерывно производить 1000 МВт электроэнергии? (b) Можно ли, по вашему мнению, наблюдать эту потерю массы, если общая масса топлива составляет 10 4 кг?
    24. Ракеты с ядерными двигателями исследовались в течение нескольких лет, прежде чем вопросы безопасности стали первостепенными. (а) Какую часть массы ракеты необходимо уничтожить, чтобы вывести ее на низкую околоземную орбиту, если не учитывать уменьшение силы тяжести? (Примите высоту орбиты 250 км и рассчитайте как кинетическую энергию (классическую), так и необходимую гравитационную потенциальную энергию.) (b) Если корабль имеет массу 1,00 × 10 5 кг (100 тонн), какая общая мощность ядерного взрыва в тоннах тротила необходима?
    25. Солнце производит энергию со скоростью 4,00 × 10 26 Вт путем синтеза водорода. (а) Сколько килограммов водорода подвергается синтезу каждую секунду? (b) Если Солнце на 90,0 % состоит из водорода, и половина его может подвергнуться синтезу до того, как Солнце изменит свой характер, как долго оно сможет производить энергию при нынешнем уровне? (c) Сколько килограммов массы теряет Солнце в секунду? (d) Какую часть своей массы он потеряет за время, указанное в пункте (b)?
    26. Необоснованные результаты.  Протон имеет массу 1,67 × 10 −27 кг. Физик измеряет полную энергию протона как 50,0 МэВ. а) Чему равна кинетическая энергия протона? (б) Что неразумного в этом результате? (c) Какие предположения являются необоснованными или непоследовательными?
    27. Создайте свою собственную задачу. Рассмотрим высокорелятивистскую частицу. Обсудите, что подразумевается под термином «высокорелятивистский». (Обратите внимание, что это отчасти означает, что частица не может быть безмассовой.) Постройте задачу, в которой вы вычисляете длину волны такой частицы и показываете, что она почти совпадает с длиной волны безмассовой частицы, такой как фотон с той же энергией.Среди вещей, которые следует учитывать, — энергия покоя частицы (это должна быть известная частица) и ее полная энергия, которая должна быть большой по сравнению с ее энергией покоя.
    28. Создайте свою собственную задачу.  Рассмотрите астронавта, летящего к другой звезде с релятивистской скоростью. Постройте задачу, в которой вы вычисляете время полета по наблюдениям на Земле и по наблюдениям космонавта. Также рассчитайте количество массы, которое должно быть преобразовано в энергию, чтобы космонавт и корабль достигли пройденной скорости.{2}}}}[/латекс]

      Избранные решения задач и упражнений

      1. 8,20 × 10 −14 Дж; 0,512 МэВ

      3. 2,3 × 10 −30 кг

      5. (a) 1,11 × 10 27 кг; (б) 5,56 × 10 −5

      7. 7,1 × 10 −3 кг

      7,1 × 10 −3

      Отношение больше для водорода.

      9. (а) 208; (б) 0,999988 в

      11. (а) 6,92 × 10 5 Дж; (б) 1.{2}-1\конец{массив}\\[/латекс]

      (б) да

      19. 1,07 × 10 3

      21. (а) 6,56 × 10 −8 кг; (б) 4,37 × 10 −10

      23. (а) 0,314 в ; (б) 0,99995 в

      25. (а) 1,00 кг; (b) Такую большую массу можно было бы измерить, но, вероятно, ее нельзя было бы наблюдать, просто глядя, потому что она составляет 0,01% от общей массы.

      27. (а) 6,3 × 10 11 кг/с; (б) 4,5 × 10 10 лет; (c) 4,44 × 10 9 кг; (г) 0.32%

      Релятивистская энергия — University Physics Volume 3

      Цели обучения

      К концу этого раздела вы сможете:

      • Объясните, как теорема о работе-энергии приводит к выражению для релятивистской кинетической энергии объекта
      • Показать, как релятивистская энергия связана с классической кинетической энергией, и установить предел скорости любого объекта с массой
      • Опишите, как полная энергия частицы связана с ее массой и скоростью
      • Объясните, как теория относительности связана с эквивалентностью энергии и массы, и некоторые практические последствия эквивалентности энергии и массы

      Токамак на (рис.) представляет собой форму экспериментального термоядерного реактора, который может преобразовывать массу в энергию.Ядерные реакторы являются доказательством связи между энергией и материей.

      Закон сохранения энергии — один из важнейших законов физики. Мало того, что энергия имеет много важных форм, каждая форма может быть преобразована в любую другую. Мы знаем, что в классическом понимании общее количество энергии в системе остается постоянным. Релятивистски энергия все еще сохраняется, но теперь необходимо учитывать эквивалентность энергии и массы, например, в реакциях, происходящих в ядерном реакторе.Релятивистская энергия намеренно определяется так, чтобы она сохранялась во всех инерциальных системах отсчета, как и в случае с релятивистским импульсом. Как следствие, несколько фундаментальных величин связаны способами, неизвестными в классической физике. Все эти соотношения проверены экспериментальными результатами и имеют фундаментальные последствия. Измененное определение энергии содержит некоторые из самых фундаментальных и захватывающих новых открытий в природе в новейшей истории.

      Национальный эксперимент по сферическому тору (NSTX) представляет собой термоядерный реактор, в котором изотопы водорода подвергаются синтезу с образованием гелия.В этом процессе относительно небольшая масса топлива преобразуется в большое количество энергии. (кредит: Принстонская лаборатория физики плазмы)

      Кинетическая энергия и максимальный предел скорости

      Первый постулат относительности гласит, что законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Эйнштейн показал, что закон сохранения энергии частицы верен релятивистски, но для энергии, выраженной через скорость и массу, в соответствии с теорией относительности.

      Рассмотрим сначала релятивистское выражение для кинетической энергии. Мы снова используем u для скорости, чтобы отличить ее от относительной скорости u между наблюдателями. Классически кинетическая энергия связана с массой и скоростью известным выражением. Соответствующее релятивистское выражение для кинетической энергии можно получить из теоремы о работе-энергии. Эта теорема утверждает, что чистая работа системы переходит в кинетическую энергию. В частности, если сила, выраженная как ускорение частицы от состояния покоя до ее конечной скорости, работа, совершаемая над частицей, должна быть равна ее конечной кинетической энергии.В математической форме для одномерного движения:

      Объедините это по частям, чтобы получить

      Релятивистская кинетическая энергия

      Релятивистская кинетическая энергия любой частицы с массой м равна

      Когда объект неподвижен, его скорость равна

      чтоб в покое, как положено. Но выражение для релятивистской кинетической энергии (такой как полная энергия и энергия покоя) не очень похоже на классическое. Чтобы показать, что выражение для сводится к классическому выражению для кинетической энергии при малых скоростях, мы используем биномиальное разложение, чтобы получить приближение для действительных для малых:

      , пренебрегая очень малыми членами и более высокими степенями выбора, приводит к выводу, что γ при нерелятивистских скоростях, где мало, удовлетворяет

      Биномиальное разложение — это способ выражения алгебраической величины в виде суммы бесконечного ряда членов.В некоторых случаях, как в пределе малой скорости здесь, большинство членов очень малы. Таким образом, полученное здесь выражение для не является точным, но является очень точным приближением. Следовательно, на низкой скорости:

      Если ввести это в выражение для релятивистской кинетической энергии, получится

      То есть релятивистская кинетическая энергия становится такой же, как классическая кинетическая энергия, когда

      Еще интереснее исследовать, что происходит с кинетической энергией, когда скорость объекта приближается к скорости света.Мы знаем, что оно становится бесконечным, когда u приближается к c , так что оно также становится бесконечным, когда скорость приближается к скорости света ((Рисунок)). Увеличение гораздо больше, чем in, поскольку по сравнению с приближается к c. Чтобы разогнать массу до скорости света, требуется бесконечное количество работы (и, следовательно, бесконечное количество подводимой энергии).

      Скорость света

      Ни один объект с массой не может достичь скорости света.

      Скорость света является максимальным пределом скорости для любой частицы, имеющей массу.Все это согласуется с тем фактом, что скорости меньше c всегда добавляются к меньшему, чем c . Как релятивистская форма кинетической энергии, так и предельная скорость, равная c , были подробно подтверждены в многочисленных экспериментах. Независимо от того, сколько энергии затрачено на ускорение массы, ее скорость может только приближаться, а не достигать скорости света.

      Этот график зависимости скорости показывает, как кинетическая энергия неограниченно возрастает, когда скорость приближается к скорости света.Также показана классическая кинетическая энергия.

      Сравнение кинетической энергии Электрон имеет скорость (a) Рассчитайте кинетическую энергию электрона в МэВ. (b) Сравните это с классическим значением кинетической энергии при этой скорости. (масса электрона )

      Стратегия Выражение для релятивистской кинетической энергии всегда верно, но для (а) его необходимо использовать, потому что скорость очень релятивистская (близкая к c ). Сначала мы вычисляем релятивистский фактор, а затем используем его для определения релятивистской кинетической энергии.Для (b) мы вычисляем классическую кинетическую энергию (которая была бы близка к релятивистскому значению, если бы v было меньше нескольких процентов от c ) и видим, что это не одно и то же.

      Решение для (а) Для части (а):

      1. Идентификация известных:
      2. Определить неизвестное:
      3. Выразите ответ в виде уравнения: с
      4. Выполнить расчет. Первое вычисление Оставьте лишние цифры, потому что это промежуточный расчет:


        Теперь используйте это значение для расчета кинетической энергии:

      5. Преобразование единиц:

      Решение для (b) Для части (b):

      1. Список известных:
      2. Список неизвестного:
      3. Выразите ответ уравнением:
      4. Выполнить расчет:
      5. Преобразование единиц:

      Значение Как и следовало ожидать, поскольку скорость равна 99.0% скорости света, классическая кинетическая энергия значительно отличается от правильного релятивистского значения. Отметим также, что классическое значение намного меньше релятивистского. Собственно, в этом случае. Это показывает, как трудно заставить массу двигаться со скоростью, близкой к скорости света. Требуется гораздо больше энергии, чем предполагалось классически. Чтобы приблизить скорость массы к скорости света, требуется постоянно возрастающее количество энергии. Энергия в 3 МэВ очень мала для электрона и может быть достигнута с помощью современных ускорителей частиц.SLAC, например, может ускорять электроны более чем до

      Есть ли смысл в получении v немного ближе к c , чем 99,0% или 99,9%? Ответ положительный. Делая это, мы многому учимся. Энергия, которая уходит в высокоскоростную массу, может быть преобразована в любую другую форму, в том числе в совершенно новые частицы. В Большом адронном коллайдере (рисунок) заряженные частицы ускоряются перед входом в кольцеобразную структуру. Там два пучка частиц разгоняются до конечной скорости около 99.7% скорости света в противоположных направлениях, и столкнулись, производя совершенно новые виды частиц. Большая часть того, что мы знаем о субструктуре материи и наборе экзотических короткоживущих частиц в природе, была получена таким образом. Паттерны характеристик этих ранее неизвестных частиц намекают на основную субструктуру всей материи. Эти частицы и некоторые их характеристики будут обсуждаться в следующей главе, посвященной физике элементарных частиц.

      Европейская организация ядерных исследований (названная ЦЕРН по французскому названию) управляет крупнейшим в мире ускорителем частиц, расположенным на границе между Францией и Швейцарией.(кредит: модификация работы НАСА)

      Суммарная релятивистская энергия

      Выражение для кинетической энергии можно изменить следующим образом:

      Эйнштейн утверждал в отдельной статье, также позже опубликованной в 1905 году, что если энергия частицы изменяется в зависимости от ее массы, то с тех пор многочисленные экспериментальные данные подтверждают, что это соответствует энергии, которую имеет частица с массой м в состоянии покоя. . Например, когда нейтральный пион с массой m в состоянии покоя распадается на два фотона, фотоны имеют нулевую массу, но наблюдается полная энергия, соответствующая для пиона.Точно так же, когда частица массой m распадается на две или более частиц с меньшей общей массой, наблюдаемая кинетическая энергия, сообщаемая продуктам распада, соответствует уменьшению массы. Таким образом, E — это полная релятивистская энергия частицы и ее энергия покоя.

      Общая энергия

      Суммарная энергия E частицы равна

      , где m — масса, c — скорость света, а u — скорость массы относительно наблюдателя.

      Энергия покоя

      Энергия покоя объекта

      Это правильная форма самого известного уравнения Эйнштейна, которое впервые показало, что энергия связана с массой покоящегося объекта. Например, если в объекте запасена энергия, его масса покоя увеличивается. Это также означает, что масса может быть разрушена для высвобождения энергии. Последствия этих первых двух уравнений относительно релятивистской энергии настолько широки, что они не были полностью признаны в течение нескольких лет после того, как Эйнштейн опубликовал их в 1905 году, и экспериментальное доказательство их правильности сначала не было широко признано.Следует отметить, что Эйнштейн действительно понял и описал значения и следствия своей теории.

      Сегодня хорошо известны практические применения преобразования массы в другую форму энергии , например, в ядерном оружии и атомных электростанциях. Но примеры существовали и тогда, когда Эйнштейн впервые предложил правильную форму релятивистской энергии, и он действительно описал некоторые из них. Ядерное излучение было обнаружено в предыдущем десятилетии, и оставалось загадкой, откуда берется его энергия.Объяснение заключалось в том, что в некоторых ядерных процессах небольшое количество массы разрушается, а энергия высвобождается и переносится ядерным излучением. Но количество уничтоженной массы настолько мало, что трудно обнаружить отсутствие чего-либо. Хотя Эйнштейн предположил, что это источник энергии в изучаемых в то время радиоактивных солях, прошло много лет, прежде чем было широко признано, что масса может быть преобразована и фактически обычно преобразуется в энергию ((Рисунок)).

      (a) Солнце и (b) паровая электростанция Саскуэханна преобразуют массу в энергию — солнце посредством ядерного синтеза, а электрическая станция — посредством ядерного деления.(кредит: модификация работы NASA/SDO (AIA))

      Из-за связи энергии покоя с массой мы теперь считаем массу формой энергии, а не чем-то отдельным. До работы Эйнштейна не было даже намека на это. Теперь известно, что эквивалентность энергии и массы является источником солнечной энергии, энергии ядерного распада и даже одним из источников энергии, поддерживающих тепло внутри Земли.

      Сохраненная энергия и потенциальная энергия

      Что происходит с энергией, запасенной в покоящемся объекте, например, с энергией, переданной в батарею при ее зарядке, или с энергией, запасенной в сжатой пружине игрушечного пистолета? Подводимая энергия становится частью общей энергии объекта и, таким образом, увеличивает его массу покоя.Вся запасенная и потенциальная энергия становится массой в системе. В кажущемся противоречии принцип сохранения массы (что означает, что общая масса постоянна) был одним из великих законов, подтвержденных наукой девятнадцатого века. Почему не было замечено, что это неправильно? Следующий пример помогает ответить на этот вопрос.

      Расчет массы покоя. Автомобильный аккумулятор рассчитан на то, чтобы выдерживать заряд 600 ампер-часов при напряжении 12,0 В. (a) Рассчитайте увеличение массы покоя такой батареи, когда она переходит от полностью разряженного к полностью заряженному при условии, что ни один из химических реагентов не входит и не выходит из батареи.б) На сколько процентов это увеличение, учитывая, что масса батареи составляет 20,0 кг?

      Стратегия

      В части (а) мы сначала должны найти энергию, запасенную в виде химической энергии в батарее, которая равна электрической энергии, которую может обеспечить батарея. Потому что мы должны рассчитать заряд q , в котором есть произведение текущего I и времени t . Затем мы умножаем результат на 12,0 В. Затем мы можем рассчитать увеличение массы батареи, используя Часть (b) — простое соотношение, преобразованное в проценты.

      Раствор для (а)

      1. Идентификация известных:
      2. Определить неизвестное:
      3. Выразите ответ уравнением:
      4. Выполнить расчет:


        Запишите ампер A как кулоны в секунду (Кл/с) и переведите часы в секунды:


        , где мы использовали преобразование

      Решение для (b) Для части (b):

      1. Идентификация известных:
      2. Определите неизвестное: % изменения.
      3. Выразите ответ уравнением:
      4. Выполнить расчет:

      Значение Как фактическое увеличение массы, так и процентное увеличение очень малы, потому что энергия делится на очень большое число. Нам нужно было бы измерить массу батареи с точностью до одной миллиардной доли процента или 1 части, чтобы заметить это увеличение. Неудивительно, что изменение массы не так просто наблюдать. На самом деле это изменение массы настолько мало, что мы можем задаться вопросом, как кто-то может проверить, что оно реально.Ответ можно найти в ядерных процессах, в которых процент разрушаемой массы достаточно велик, чтобы его можно было точно измерить. Масса топлива ядерного реактора, например, значительно меньше, когда его энергия была использована. В этом случае была высвобождена запасенная энергия (преобразованная в основном в тепловую энергию для питания электрических генераторов), а масса покоя уменьшилась. Уменьшение массы также происходит из-за использования энергии, запасенной в батарее, за исключением того, что запасенная энергия намного больше в ядерных процессах, что делает изменение массы измеримым как на практике, так и в теории.

      Релятивистская энергия и импульс

      Классически мы знаем, что кинетическая энергия и импульс связаны друг с другом, потому что:

      Релятивистски мы можем получить связь между энергией и импульсом, алгебраически манипулируя их определяющими уравнениями. Это дает:

      , где E — релятивистская полная энергия, а p — релятивистский импульс. Эта связь между релятивистской энергией и релятивистским импульсом более сложна, чем классическая версия, но мы можем получить некоторые интересные новые идеи, изучив ее.Во-первых, полная энергия связана с импульсом и массой покоя. В состоянии покоя импульс равен нулю, и уравнение дает полную энергию как энергию покоя (так что это уравнение согласуется с обсуждением энергии покоя выше). Однако по мере ускорения массы ее импульс p увеличивается, что увеличивает общую энергию. При достаточно высоких скоростях член энергии покоя становится пренебрежимо малым по сравнению с членом импульса, таким образом, при чрезвычайно релятивистских скоростях.

      Если мы считаем, что импульс p отличается от массы, мы можем определить значение уравнения для частицы, не имеющей массы.Если принять м за ноль в этом уравнении, то безмассовые частицы имеют этот импульс. В природе существует несколько безмассовых частиц, в том числе фотоны (представляющие собой пакеты электромагнитного излучения). Другое следствие состоит в том, что безмассовая частица должна двигаться со скоростью c и только со скоростью c . Подробное рассмотрение взаимосвязи в уравнении выходит за рамки этого текста, но вы можете видеть, что эта взаимосвязь имеет важное значение в специальной теории относительности.

      Проверьте свои знания Чему равна кинетическая энергия электрона, если его скорость равна 0,992 c ?

      Концептуальные вопросы

      Как современные теории относительности модифицируют классические законы сохранения энергии и сохранения массы?

      Что происходит с массой воды в кастрюле, когда она охлаждается, если предположить, что никакие молекулы не улетучиваются и не добавляются? Наблюдается ли это на практике? Объяснять.

      Поскольку он теряет тепловую энергию, которая представляет собой кинетическую энергию случайного движения составляющих его частиц, его масса уменьшается на очень небольшую величину, как это описывается эквивалентностью энергии и массы.

      Проведите мысленный эксперимент. Ранним утром вы помещаете надутый воздушный шар на весы снаружи. Воздушный шар остается на весах, и вы можете измерить изменения его массы. Изменяется ли масса шарика в течение дня? Обсудите трудности при проведении этого эксперимента.

      Масса топлива в ядерном реакторе уменьшается на наблюдаемую величину по мере того, как он выделяет энергию. Верно ли то же самое для угля и кислорода на обычной электростанции? Если да, то наблюдается ли это на практике для угля и кислорода? Объяснять.

      Да, в принципе любое уменьшение энергии будет иметь аналогичный эффект на массу, но изменение энергии в химической реакции будет настолько малым, что его нельзя будет обнаружить на практике.

      Мы знаем, что скорость объекта с массой имеет верхний предел c . Существует ли верхний предел его импульса? Его энергия? Объяснять.

      Учитывая тот факт, что свет движется со скоростью c , может ли он иметь массу? Объяснять.

      Не согласно специальной теории относительности.Ничто, имеющее массу, не может достичь скорости света.

      Если вы используете наземный телескоп для проецирования лазерного луча на Луну, вы можете перемещать пятно по поверхности Луны со скоростью, превышающей скорость света. Нарушает ли это современную относительность? (Обратите внимание, что свет направляется с Земли на Луну, а не через поверхность Луны.)

      Проблемы

      Чему равна энергия покоя электрона, если его масса равна Дайте ответ в джоулях и МэВ.

      0,512 МэВ по указанному количеству значащих цифр. Точное значение ближе к 0,511 МэВ.

      Найдите энергию покоя в джоулях и МэВ протона, если его масса равна

      Если энергии покоя протона и нейтрона (двух составляющих ядер) равны 938,3 и 939,6 МэВ соответственно, какова разница в их массах в килограммах?

      до двух цифр, потому что разница в энергиях массы покоя находится до двух цифр

      По оценкам, Большой взрыв, с которого началась Вселенная, привел к высвобождению энергии.Сколько звезд может создать половина этой энергии, если предположить, что средняя масса звезды равна ?

      (a) Используя данные потенциальной энергии системы, рассчитайте массу, преобразованную в энергию при делении 1,00 кг урана. б) Чему равно отношение массы разрушенного тела к первоначальной массе,

      ?

      При синтезе водорода в Мировом океане можно получить примерно столько же энергии. а) Если бы эта энергия использовалась, как уменьшилась бы масса океанов? б) Какому объему воды это соответствует? (c) Прокомментируйте, составляет ли это значительную долю общей массы океанов.

      Мюон имеет энергию массы покоя 105,7 МэВ и распадается на электрон и безмассовую частицу. а) Если вся потерянная масса превращается в кинетическую энергию электрона, найти для электрона. б) Какова скорость электрона?

      а. 208; б. 0,999988 с ; шесть цифр, используемых для обозначения отличия от c

      А-мезон — это частица, распадающаяся на мюон и безмассовую частицу. -мезон имеет энергию массы покоя 139,6 МэВ, а мюон имеет энергию покоя 105.7 МэВ. Предположим, что -мезон покоится, и вся недостающая масса идет на кинетическую энергию мюона. С какой скоростью будет двигаться мюон?

      (a) Рассчитайте релятивистскую кинетическую энергию автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30,0 м/с, если скорость света равна всего 45,0 м/с. б) Найдите отношение релятивистской кинетической энергии к классической.

      а. б. 1,54

      Альфа-распад — это ядерный распад, при котором испускается ядро ​​гелия. Если ядро ​​гелия имеет массу и дано 5.00 МэВ кинетической энергии, какова его скорость?

      (а) Бета-распад — это ядерный распад, при котором испускается электрон. Если электрону придана кинетическая энергия 0,750 МэВ, какова его скорость? (b) Прокомментируйте, как высокая скорость согласуется с кинетической энергией по сравнению с энергией массы покоя электрона.

      а. 0,914 с ; б. Энергия массы покоя электрона составляет 0,511 МэВ, поэтому кинетическая энергия составляет примерно 150% энергии массы покоя. Электрон должен двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

      Дополнительные проблемы

      (a) При какой относительной скорости (b) При какой относительной скорости

      (a) При какой относительной скорости (b) При какой относительной скорости

      Необоснованные результаты (a) Найдите требуемое значение для следующей ситуации. Наземный наблюдатель измеряет, что прошло 23,9 часа, в то время как сигналы высокоскоростного космического зонда показывают, что на борту прошло 24,0 часа. б) Что неразумного в этом результате? (c) Какие предположения являются необоснованными или непоследовательными?

      (a) Сколько времени потребуется космонавту (рисунок), чтобы совершить путешествие 4.30 световых лет (по измерению наземного наблюдателя)? б) Сколько времени, по словам космонавта, это занимает? (c) Убедитесь, что эти два времени связаны через замедление времени с заданным.

      а. 4,303 y до четырех цифр, чтобы показать какой-либо эффект; б. 0,1434 г; в.

      (a) С какой скоростью должен бежать спортсмен, чтобы в забеге на 100 м он выглядел на 100 ярдов? (b) Соответствует ли ответ тому факту, что релятивистские эффекты трудно наблюдать в обычных условиях? Объяснять.

      (a) Найдите значение для следующей ситуации.Космонавт измеряет длину своего космического корабля в 100 м, а наземный наблюдатель измеряет ее в 25,0 м. б) Какова скорость космического корабля относительно Земли?

      а. 4,00; б.

      Часы на космическом корабле идут в десять раз быстрее, чем такие же часы на Земле. Какова скорость космического корабля?

      У астронавта частота сердечных сокращений составляет 66 ударов в минуту, измеренная во время медицинского осмотра на Земле. Частота сердечных сокращений космонавта измеряется, когда он находится в космическом корабле, движущемся в точке 0.5 c относительно Земли наблюдателем (A) на корабле и наблюдателем (B) на Земле. (а) Опишите экспериментальный метод, с помощью которого наблюдатель Б на Земле сможет определить частоту сердечных сокращений космонавта, когда космонавт находится в космическом корабле. (b) Какой будет частота сердечных сокращений астронавта, о которой сообщают наблюдатели A и B?

      а. A посылает радиоимпульс при каждом ударе сердца B, который знает их относительную скорость и использует формулу замедления времени для расчета надлежащего интервала времени между ударами сердца по наблюдаемому сигналу.б.

      Космический корабль (А) движется со скоростью с/ 2 относительно другого космического корабля (В). Наблюдатели в A и B установили свои часы так, чтобы событие включения лазера на космическом корабле B в ( x, y, z, t ) имело координаты (0 , 0 , 0 , 0) в A, а также (0 , 0 , 0 , 0) в B. Наблюдатель в начале координат B включает и выключает лазер в свое время. Какова продолжительность времени между включением и выключением с точки зрения наблюдателя в A?

      Те же два наблюдателя, что и в предыдущих упражнениях.Стержень длиной 1 м проложен по оси х — в системе координат В от начала до конца. Какова длина стержня, наблюдаемого наблюдателем в системе координат космического корабля А?

      Наблюдатель видит два события на расстоянии 800 м друг от друга. С какой скоростью должен двигаться второй наблюдатель относительно первого, чтобы оба события произошли одновременно?

      Наблюдатель, стоящий у железнодорожных путей, видит, как две молнии ударяют одновременно в концы 500-метрового поезда в тот момент, когда середина поезда проходит мимо него со скоростью 50 м/с.Используйте преобразование Лоренца, чтобы найти время между ударами молнии, измеренное пассажиром, сидящим в середине поезда.


      , так как мы можем проигнорировать член и найти

      Нарушение ньютоновской одновременности пренебрежимо мало, но не точно равно нулю, при реальной скорости поезда 50 м/с.

      С Земли наблюдаются два астрономических события, которые происходят с разницей в 1 с и расстоянием друг от друга . (а) Определите, является ли разделение двух событий пространственным или временным.(b) Укажите, что это означает относительно того, согласуется ли со специальной теорией относительности одно событие, вызвавшее другое?

      С Земли наблюдаются два астрономических события, которые происходят с разницей в 0,30 с и расстоянием друг от друга С какой скоростью должен двигаться космический корабль от места одного события к другому, чтобы события произошли в одно и то же время, если измерять в системе отсчета космического корабля?

      Космический корабль выходит из состояния покоя в начале координат и ускоряется с постоянной скоростью g , если смотреть с Земли, принятой за инерциальную систему отсчета, пока не достигнет скорости c/ 2 .(a) Покажите, что приращение собственного времени связано с прошедшим временем в системе отсчета Земли как:

      (b) Найдите выражение для времени, затраченного на достижение скорости c/ 2 в системе отсчета Земли. (c) Используйте соотношение в (a), чтобы получить аналогичное выражение для собственного времени, прошедшего для достижения c /2, наблюдаемого на космическом корабле, и определите отношение времени, наблюдаемого с Земли, ко времени на космическом корабле, чтобы достичь конечная скорость.

      (а) Все галактики, кроме ближайших, удаляются от нашей Галактики Млечный Путь.Если далекая галактика удаляется от нас на расстоянии 0,900 c , с какой скоростью относительно нас мы должны отправить исследовательский зонд, чтобы приблизиться к другой галактике на расстоянии 0,990 c , если измерять от этой галактики? б) Сколько времени потребуется зонду, чтобы достичь другой галактики, если измерять с Земли? Вы можете предположить, что скорость другой галактики остается постоянной. в) Сколько времени потребуется, чтобы радиосигнал передавался обратно? (Все это в принципе возможно, но нецелесообразно.)

      Обратите внимание, что все ответы на эту задачу представлены с точностью до пяти значащих цифр, чтобы различать результаты.а. 0,99947 с ; б. в.

      Предположим, что космический корабль, направляющийся прямо к Земле в точке 0,750 c , может выстрелить канистрой в точке 0,500 c относительно корабля. а) Какова скорость канистры относительно Земли, если она выстрелит прямо в Землю? б) Если выстрелить прямо с Земли?

      Повторите предыдущую задачу с кораблем, направляющимся прямо от Земли.

      а. –0,400 с ; б. –0,909 в

      Если космический корабль приближается к Земле в 0.100 c и к нему направляется капсула с сообщением на расстоянии 0,100 c относительно Земли, какова скорость капсулы относительно корабля?

      (a) Предположим, что скорость света всего 3000 м/с. Реактивный истребитель, летящий к цели на земле со скоростью 800 м/с, стреляет пулями, каждая из которых имеет начальную скорость 1000 м/с. Какова скорость пули относительно цели? б) Если бы скорость света была такой маленькой, стали бы вы наблюдать релятивистские эффекты в повседневной жизни? Обсуждать.

      а. 1,65 км/с; б. Да, если бы скорость света была такой маленькой, скорости, которых мы можем достичь в повседневной жизни, превышали бы 1% скорости света, и мы могли бы гораздо чаще наблюдать релятивистские эффекты.

      Если удаляющаяся от Земли галактика имеет скорость 1000 км/с и излучает свет с длиной волны 656 нм, характерный для водорода (наиболее распространенного элемента во Вселенной). а) Какую длину волны мы наблюдали бы на Земле? б) Что это за электромагнитное излучение? в) Почему здесь пренебрежимо мала скорость движения Земли по орбите?

      Космический зонд, летящий к ближайшей звезде, движется и отправляет радиоинформацию на частоте вещания 1.00 ГГц. Какая частота принимается на Земле?

      Около центра нашей галактики газообразный водород движется прямо от нас по своей орбите вокруг черной дыры. Мы получаем электромагнитное излучение с длиной волны 1900 нм и знаем, что оно было 1875 нм при испускании газообразным водородом. Какова скорость газа?

      (a) Рассчитайте скорость частицы пыли, которая имеет тот же импульс, что и протон, движущийся со скоростью 0,999 c . б) Что говорит нам малая скорость о массе протона по сравнению даже с небольшим количеством макроскопического вещества?

      а.б. Малая скорость говорит нам о том, что масса белка существенно меньше, чем масса даже небольшого количества макроскопического вещества.

      (а) Рассчитайте для протона, имеющего импульс (б) Какова его скорость? Такие протоны образуют редкий компонент космического излучения с неясным происхождением.

      Покажите, что релятивистская форма второго закона Ньютона: (a) (b) Найдите силу, необходимую для ускорения массы 1 кг на 1, когда она движется со скоростью c /2.

      а.

      б.

      Позитрон — это версия электрона из антивещества, имеющая точно такую ​​же массу. Когда позитрон и электрон встречаются, они аннигилируют, превращая всю свою массу в энергию. а) Найдите выделившуюся энергию, считая кинетическую энергию до аннигиляции пренебрежимо малой. б) Если эта энергия передается протону в виде кинетической энергии, какова его скорость? в) Если эта энергия передается другому электрону в виде кинетической энергии, какова его скорость?

      Чему равна кинетическая энергия в МэВ живого π-мезона, измеренная в лаборатории и покоящаяся относительно наблюдателя, при условии, что его энергия покоя равна 135 МэВ?

      Найдите кинетическую энергию в МэВ нейтрона с измеренной продолжительностью жизни 2065 с, если его энергия покоя равна 939.6 МэВ, а продолжительность жизни в состоянии покоя 900 с.

      Один нейтрон космического луча имеет скорость относительно Земли. а) Какова полная энергия нейтрона в МэВ? б) Найдите его импульс. (c) Есть ли в этой ситуации? Обсудите с точки зрения уравнения, данного в части (а) предыдущей задачи.

      Что такое протон с массовой энергией 938,3 МэВ, ускоренный эффективным потенциалом 1,0 ТВ (теравольт)?

      (a) Чему равен эффективный ускоряющий потенциал электронов на Стэнфордском линейном ускорителе, если только для них? б) Чему равна их полная энергия (в данном случае почти такая же, как кинетическая) в ГэВ?

      (a) Используя данные потенциальной энергии системы, найдите массу, разрушенную при высвобождении энергии в барреле сырой нефти.(b) Учитывая, что эти бочки содержат 200 литров, и если предположить, что плотность сырой нефти равна отношению уничтоженной массы к первоначальной массе,

      (a) Рассчитайте энергию, выделяющуюся при разрушении 1,00 кг массы. б) Сколько килограммов можно поднять на высоту 10 км за счет этого количества энергии?

      Ускоритель Ван де Граафа использует разность потенциалов 50,0 МВ для ускорения заряженных частиц, таких как протоны. а) Какова скорость протона, ускоренного таким потенциалом? б) электрон?

      а.0,314 с ; б. 0,99995 c (пять цифр, используемых для обозначения отличия от c )

      Предположим, вы используете в среднем 10 000 000 000 000 000 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 электроэнергии в месяц в вашем доме. а) Как долго вам хватит 1,00 г массы, преобразованной в электрическую энергию с КПД 38,0 %? (b) Сколько домов можно было бы снабжать помесячной нормой в течение одного года за счет энергии описанного преобразования массы?

      (a) Атомная электростанция преобразует энергию ядерного деления в электричество с КПД 35.0%. Сколько массы разрушается за один год, чтобы непрерывно производить 1000 МВт электроэнергии? б) Как вы думаете, можно ли будет наблюдать эту потерю массы, если общая масса топлива равна

      ?

      а. 1,00 кг; б. Такую большую массу можно было бы измерить, но, вероятно, нельзя было бы наблюдать, просто глядя, потому что она составляет 0,01% от общей массы.

      Ракеты с ядерными двигателями исследовались в течение нескольких лет, прежде чем вопросы безопасности стали первостепенными. а) Какую часть массы ракеты нужно было бы уничтожить, чтобы вывести ее на низкую околоземную орбиту, если не учитывать уменьшение силы тяжести? (Примите высоту орбиты 250 км и рассчитайте как кинетическую энергию (классическую), так и необходимую гравитационную потенциальную энергию.) (б) Если корабль имеет массу (100 тонн), какая суммарная мощность ядерного взрыва в тоннах тротила потребуется?

      Солнце производит энергию со скоростью Вт путем синтеза водорода. Около 0,7% каждого килограмма водорода идет на энергию, вырабатываемую Солнцем. а) Сколько килограммов водорода подвергается синтезу каждую секунду? (b) Если Солнце на 90,0% состоит из водорода, и половина его может подвергнуться синтезу до того, как Солнце изменит свой характер, как долго оно сможет производить энергию при нынешнем уровне? в) Сколько килограммов массы теряет Солнце в секунду? (г) Какую часть своей массы он потеряет за время, указанное в пункте (б)?

      Показать, что для частицы инвариантно относительно преобразований Лоренца.

      Глоссарий

      релятивистская кинетическая энергия
      кинетическая энергия объекта, движущегося с релятивистской скоростью
      энергия покоя
      энергии, запасенной в объекте в состоянии покоя:
      скорость света
      предельное ограничение скорости для любой частицы, имеющей массу
      общая энергия
      сумма всех энергий частицы, включая энергию покоя и кинетическую энергию, данных для частицы массой m и скоростью u где

      13.2 – Физический колледж Дугласа 1207

      Задачи и упражнения

      1: Чему равна энергия покоя электрона, если его масса равна ? Дайте ответ в джоулях и МэВ.

      2: Найдите энергию покоя в джоулях и МэВ протона, если его масса равна .

      3: Если энергии покоя протона и нейтрона (двух составляющих ядер) равны 938,3 и 939,6 МэВ соответственно, то какова разница в их массах в килограммах?

      4: По оценкам, Большой взрыв, с которого началась Вселенная, высвободил 10 68 Дж энергии.Сколько звезд может создать половина этой энергии, если предположить, что средняя масса звезды составляет 4,00 x 10 30 кг ?

      5: Взрыв сверхновой звезды 2,00 x 10 31 кг производит 1,00 x 10 44 Дж энергии. а) Сколько килограммов массы превращается в энергию при взрыве? б) Каково отношение разрушенной массы к первоначальной массе звезды? Совет: сначала найдите изменение массы. Здесь требуется соотношение, а не процент.

      6: (a) Используя данные из таблицы 1 главы 7.6, рассчитайте массу, преобразованную в энергию при делении 1,00 кг урана. б) Каково отношение массы разрушенного тела к исходной?

      7: (a) Используя данные из таблицы 1 главы 7.6, рассчитайте количество массы, преобразованной в энергию при синтезе 1,00 кг водорода. б) Каково отношение массы разрушенного тела к исходной? в) Как это соотносится с делением 1,00 кг урана?

      8: Существует приблизительно 10 34 Дж энергии, полученной в результате синтеза водорода в Мировом океане.а) Если бы было использовано 10 33 Дж этой энергии, как уменьшилась бы масса океанов? б) Какому объему воды это соответствует? (c) Прокомментируйте, составляет ли это значительную долю общей массы океанов.

      9: Мюон имеет энергию массы покоя 105,7 МэВ и распадается на электрон и безмассовую частицу. (а) Если вся потерянная масса превращается в кинетическую энергию электрона, найдите для электрона γ .б) Какова скорость электрона?

      10: А-мезон — частица, распадающаяся на мюон и безмассовую частицу. -мезон имеет энергию массы покоя 139,6 МэВ, а мюон имеет энергию массы покоя 105,7 МэВ. Предположим, что -мезон покоится, и вся недостающая масса идет на кинетическую энергию мюона. С какой скоростью будет двигаться мюон?

      11: (a) Рассчитайте релятивистскую кинетическую энергию автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30,0 м/с , если скорость света равна 45.0 м/с. б) Найдите отношение релятивистской кинетической энергии к классической.

      12: Альфа-распад — ядерный распад, при котором испускается ядро ​​гелия. Если ядро ​​гелия имеет массу 90 880 6,80 x 10 90 035 – 27 90 036 кг 90 881 и получает 90 880 5,00 МэВ 90 881 кинетической энергии, какова его скорость?

      13: (а) Бета-распад — это ядерный распад, при котором испускается электрон. Если электрону дается 0,750 МэВ кинетической энергии, какова его скорость? (b) Прокомментируйте, как высокая скорость согласуется с кинетической энергией по сравнению с энергией массы покоя электрона.

      14: Позитрон — это версия электрона из антивещества, имеющая точно такую ​​же массу. Когда позитрон и электрон встречаются, они аннигилируют, превращая всю свою массу в энергию. а) Найдите выделившуюся энергию, считая кинетическую энергию до аннигиляции пренебрежимо малой. б) Если эта энергия передается протону в виде кинетической энергии, какова его скорость?

      15: Чему равна кинетическая энергия в МэВ живого -мезона, измеренная в лаборатории и покоящаяся относительно наблюдателя, при условии, что его энергия покоя равна 135 МэВ?

      16: Найти кинетическую энергию в МэВ нейтрона с измеренной продолжительностью жизни 2065 с, если его энергия покоя равна 939.6 МэВ, а продолжительность жизни в состоянии покоя 900 с.

      17: (а) Покажите, что . Это означает, что при больших скоростях . (b) Когда , как и для астронавта, обсуждаемого в парадоксе близнецов?

      18: Один нейтрон космического луча имеет скорость 0,250c   относительно Земли. а) Какова полная энергия нейтрона в МэВ? б) Найдите его импульс. (c) Есть ли в этой ситуации? Обсудите с точки зрения уравнения, данного в части (а) предыдущей задачи.

      19: Чему равно γ для протона с массовой энергией 938.Ускорение до 3 МэВ при эффективном потенциале 1,0 ТВ (теравольт) в лаборатории Ферми под Чикаго?

      20: (а) Чему равен эффективный ускоряющий потенциал для электронов на Стэнфордском линейном ускорителе, если для них? б) Чему равна их полная энергия (в данном случае почти такая же, как кинетическая) в ГэВ?

      21: (a) Используя данные из таблицы 1 главы 7.6, найдите массу, разрушающуюся при выделении энергии в барреле сырой нефти. (b) Учитывая, что эти бочки содержат 200 литров и плотность сырой нефти равна , каково отношение массы уничтоженной массы к исходной?

      22: а) Рассчитайте энергию, выделяющуюся при разрушении 1.00 кг массы. б) Сколько килограммов можно поднять на высоту 10 км за счет этого количества энергии?

      23: Ускоритель Ван де Граафа использует разность потенциалов 50,0 МВ для ускорения заряженных частиц, таких как протоны. а) Какова скорость протона, ускоренного таким потенциалом? б) электрон?

      24: Предположим, вы используете в среднем 500 кВт•ч электроэнергии в месяц в вашем доме. а) За какое время 1,00 г массы преобразуется в электрическую энергию с КПД 38.0% последний ты? Рассчитайте это в месяцах, а затем в годах. (b) Сколько домов можно было бы снабжать энергией от описанного преобразования массы при 500 кВт•ч в месяц в течение одного года? Помните, что 1 кВт•ч = 3,6 x 10 6 джоулей и что 1 год = 12 месяцев

      25: (a) Атомная электростанция преобразует энергию ядерного деления в электричество с КПД 35,0%. Сколько массы разрушается за один год для непрерывного производства 1000 МВт электроэнергии? б) Можно ли, по вашему мнению, наблюдать эту потерю массы, если общая масса топлива равна 104 кг ?

      26: Исследования ракет с ядерными двигателями проводились в течение нескольких лет, прежде чем вопросы безопасности стали первостепенными.а) Какую часть массы ракеты нужно было бы уничтожить, чтобы вывести ее на низкую околоземную орбиту, если не учитывать уменьшение силы тяжести? (Примите высоту орбиты 250 км и рассчитайте как кинетическую энергию (классическую), так и необходимую гравитационную потенциальную энергию.) (b) Если корабль имеет массу (100 тонн), какая общая мощность ядерного взрыва в тоннах тротила необходим?

      27: Солнце производит энергию со скоростью 4,00 x 10 26 Вт путем синтеза водорода.а) Сколько килограммов массы теряет Солнце в секунду? Помните, что 1 ватт = 1 джоуль в секунду. б) Если бы вся масса Солнца, равная 1,99 x 10 30 кг , могла быть преобразована в чистую энергию, сколько времени потребовалось бы для того, чтобы вся масса была израсходована? На самом деле преобразуется только около 1% массы, но не беспокойтесь об этом сейчас. Найдите время в секундах, а затем в годах, помня, что 1 год = 3,15 х 10 7 секунд.

      28: необоснованные результаты

      Протон имеет массу 1.67 x 10 -27 кг . Физик измеряет полную энергию протона как 50,0 МэВ. а) Чему равна кинетическая энергия протона? б) Что неразумного в этом результате? (c) Какие предположения являются необоснованными или непоследовательными?

      29: Создайте свою собственную задачу

      Рассмотрим высокорелятивистскую частицу. Обсудите, что подразумевается под термином «высокорелятивистский». (Обратите внимание, что это отчасти означает, что частица не может быть безмассовой.) Постройте задачу, в которой вы вычисляете длину волны такой частицы и показываете, что она почти совпадает с длиной волны безмассовой частицы, такой как фотон с той же энергией.Среди вещей, которые следует учитывать, — энергия покоя частицы (это должна быть известная частица) и ее полная энергия, которая должна быть большой по сравнению с ее энергией покоя.

      30: Создайте свою собственную задачу

      Рассмотрим астронавта, летящего к другой звезде с относительной скоростью. Постройте задачу, в которой вы вычисляете время полета по наблюдениям на Земле и по наблюдениям космонавта. Также рассчитайте количество массы, которое должно быть преобразовано в энергию, чтобы космонавт и корабль достигли пройденной скорости.Среди вещей, которые следует учитывать, — расстояние до звезды, скорость и масса космонавта и корабля. Если ваш инструктор не дал вам иных указаний, не включайте энергию, отдаваемую другим массам, например, ракетному топливу.

      Кинетическая энергия (и полная энергия) в релятивистском режиме

      Авторское право © Майкл Ричмонд. Эта работа находится под лицензией Creative Commons License.

      Что не так со старым добрым выражением для кинетической энергии?

      Что ж, давайте сделаем пару расчетов и посмотрим, что получится.(-11) J = 0,56 ГэВ тогда какова его скорость?

      Вы, наверное, помните, что БАК так сильно ускоряет протоны что они имеют 7 ТэВ = 7000 ГэВ кинетической энергия. Означает ли это, что протоны движутся со многими раз больше скорости света?

      Нет!


      Релятивистская кинетическая энергия

      Оказывается, вы можете прочитать Тейлора и Уилера для одно объяснение, если хотите… что есть выражение для кинетической энергии которое остается верным даже в релятивистском режиме:

      Напомним, что гамма определяется как

          Вопрос: Что делать, если скорость объекта мала
                по сравнению со скоростью света?
      
                     v 

      Как вы вскоре увидите, иногда полезно изменить это уравнение, чтобы записать скорость объекта как функция гамма-фактора .(-11) J = 0,56 ГэВ тогда какова его скорость? В: Если мы дадим протону КЭ 7 ТэВ = 7000 ГэВ тогда какова его скорость?


      Энергия покоя

      Релятивистское выражение для кинетической энергии разрешается некоторые проблемы — кажется, он удерживает протоны и электроны с большим КЭ от превышения скорости света — но это не заботится обо всем. Например, рассмотрим радиоактивный распад нейтрона.

      Изолированные нейтроны распадаются спустя короткое время (период полураспада составляет около 15 минут) на несколько разных частицы — протон, электрон и антинейтрино.Однако продукты распада не находятся в состоянии покоя; вместо этого каждая частица улетает от исходный нейтрон на большой скорости:

        В: Какова первоначальная КЭ нейтрона?
      
            Какова конечная КЭ дочерних частиц?
      
            Сохраняется ли КЭ?
      
      
      
      
      
       

      В общем, при радиоактивном распаде, при делении и при синтезе или в любом взаимодействии между субатомными частицами, которое связано с изменением количества и типа частиц, КЭ НЕ сохраняется. Хм.

      Однако, если назначить определенное количество энергии покоя каждой частице по формуле

      затем определяет полную энергию частицы быть суммой его энергии покоя и кинетической энергии

      затем, если снова взглянуть на радиоактивный распад, можно обнаружить, что полной энергии сохраняются .

      Например, элемент полоний-210. (использовался недавно для убийства Александра Литвиненко) распадается на свинец плюс ядро ​​гелия:

      Массы этих частиц обычно даются в атомных единицах массы (u) .2 в уравнении для энергии отдыха. Скорость света c — довольно большое число, так что его квадрат — ОЧЕНЬ большое число. Это означает, что энергия покоя даже небольшого количество материи может быть значительным количеством энергии.

        В: У Джо есть обычная банка газировки, которая
            содержит около 355 граммов жидкости.
            Если бы Джо мог преобразовать массу покоя
            его сода в энергию, сколько энергии
            выпустили бы?
      
            Выразите ответ в джоулях.
      
            Выразите ответ в килотоннах тротила:
            1 ктонна = 4.(12) Джоулей.
      
      
      
      
       

      Для сравнения, атомная бомба, сброшенная на Хиросиму, выпущена около 15 тыс. тонн энергии, и бомба упала на Нагасаки выпущено около 20 тыс. тонн.


      Авторское право на изображение Хиросимы Коллекция Халтон-Дойч


      Изображения Нагасаки до и после в открытом доступе, размещены на Википедия


      Является ли релятивистская полная энергия инвариантной величиной?

      Инвариантная величина — это та, которая имеет одно и то же значение, независимо от того, какой наблюдатель производит измерения.Пространственно-временной интервал

      является примером инвариантной величины.

      Мы знаем, что обычный старый KE НЕ является инвариантом, но, может быть, релятивистская полная энергия является. Давайте узнаем.

      Синий человек бросает мяч ( м = 0,2 кг ) при скорости v = 0,5 c вправо.

        Вопрос: Чему равна полная энергия мяча?
            согласно Синему Человеку?
      
      
      
      
       

      Но Синий Человек и мяч путешествуют по пейзаж на скорости w = 0.8 с , по меркам Красных Людей.

        Вопрос: Какова скорость мяча?
            по меркам Красных Людей?
      
      
        Вопрос: Чему равна полная энергия мяча?
            по меркам Красных Людей?
      
      
      
      
       

      Чтобы получить больше информации
      • Вы можете посмотреть примечания к одному из других курсов, которые я преподаю, Современная физика для более подробной информации о релятивистской энергии и импульсе.
      • См. Тейлор и Уилер, Физика пространства-времени.В главе 7 обсуждаются релятивистские выражения для энергии и импульса, которые переплетаются в количестве, которое они называют «моментальной энергией».
      • Мистер Риххаймер заметил статью, описывающую ОЧЕНЬ высокие кинетическая энергия, которой может достичь одна субатомная частица: Частица «Боже мой» наблюдался атмосферным черенковским радиационным телескопом в 1991 г.
      • Хотите посмотреть, что произойдет, если ядерное оружие упал в каком-то конкретном месте на Земле? Г-н.Стахович рекомендует

      Авторское право © Майкл Ричмонд. Эта работа находится под лицензией Creative Commons License.

      11.6 Релятивистская энергия | Texas Gateway

      Кинетическая энергия и предельное ограничение скорости

      Кинетическая энергия – это энергия движения. Классически кинетическая энергия имеет известное выражение 12mv2.12mv2. size 12{ { {1} over {2} } ital «mv» rSup { size 8{2} } } {} Релятивистское выражение для кинетической энергии получается из теоремы о работе-энергии.Эта теорема утверждает, что чистая работа системы переходит в кинетическую энергию. Если наша система запускается из состояния покоя, то теорема о работе-энергии равна

      11,63 Wnet=KE.Wnet=KE. size 12{W rSub { size 8{«net»} } =»KE»} {}

      Релятивистски в состоянии покоя мы имеем энергию покоя E0=mc2.E0=mc2. Работа увеличивает ее до полной энергии E=γmc2.E=γmc2. Таким образом,

      11,64 Wnet=E−E0=γmc2−mc2=γ−1mc2.Wnet=E−E0=γmc2−mc2=γ−1mc2.

      Релятивистски имеем Wnet=KErelWnet=KErel size 12{W=»KE» rSub { size 8{«rel»} } } {}.

      Релятивистская кинетическая энергия

      Релятивистская кинетическая энергия

      11,65 KEотн=γ−1mc2.KEотн=γ−1mc2. size 12{«KE» rSub { size 8{«rel»} } = left (γ — 1 right ) ital «mc» rSup { size 8{2} } } {}

      В неподвижном состоянии имеем v=0v=0 размер 12{v=0} {} и

      11.66 γ=11−v2c2=1,γ=11−v2c2=1, размер 12{γ= {{1} над { sqrt {1 — { {v rSup { размер 8{2} } } над {c rSup { размер 8{2} } } } } } } =1} {}

      , так что KErel=0KErel=0 size 12{«KE» rSub { size 8{«rel»} } =0} {} в состоянии покоя, как и ожидалось.Но выражение для релятивистской кинетической энергии (такой как полная энергия и энергия покоя) мало похоже на классическое 12mv2.12mv2. size 12{ { {1} over {2} } ital «mv» rSup { size 8{2} } } {} Чтобы показать, что классическое выражение для кинетической энергии получается при малых скоростях, заметим, что биномиальное разложение для γγ размер 12{γ} {} при низких скоростях дает

      11,67 γ=1+12v2c2.γ=1+12v2c2. size 12{γ=1+ { {1} over {2} } { {v rSup { size 8{2} } } over {c rSup { size 8{2} } } } } {}

      Биномиальное разложение — это способ выражения алгебраической величины в виде суммы бесконечного ряда терминов.В некоторых случаях, как здесь в пределе малой скорости, большинство членов очень малы. Таким образом, полученное здесь выражение для размера γγ 12{γ} {} не является точным, но является очень точным приближением. Таким образом, при малых скоростях

      11,68 γ−1=12v2c2.γ−1=12v2c2. size 12{γ — 1= { {1} over {2} } { {v rSup { size 8{2} } } over {c rSup { size 8{2} } } } } {}

      Ввод этого в выражение для релятивистской кинетической энергии дает

      11.69 KErel=12v2c2mc2=12mv2=KEclass.KErel=12v2c2mc2=12mv2=KEclass.

      Таким образом, фактически, релятивистская кинетическая энергия становится такой же, как классическая кинетическая энергия, когда vcvc размер 12{v».

      Еще интереснее исследовать, что происходит с кинетической энергией, когда скорость объекта приближается к скорости света. Мы знаем, что γγ size 12{γ} {} становится бесконечным, когда vv size 12{v} {} приближается к c,c, size 12{c} {}, так что KE rel также становится бесконечным, когда скорость приближается к скорости свет. (См. рис. 11.22.) Чтобы разогнать массу до скорости света, требуется бесконечное количество работы и, следовательно, бесконечное количество подводимой энергии.

      Скорость света

      Ни один объект с массой не может достичь скорости света.

      Таким образом, скорость света является предельной скоростью для любой частицы, имеющей массу. Все это согласуется с тем фактом, что скорости, меньшие размера cc 12{c} {}, всегда в сумме меньше, чем cc. размер 12{c} {} Как релятивистская форма для кинетической энергии, так и предельная скорость, равная размеру cc 12{c} {}, были подробно подтверждены в многочисленных экспериментах.Независимо от того, сколько энергии затрачено на ускорение массы, ее скорость может только приближаться, а не достигать скорости света.

      Рисунок 11.22. Этот график зависимости KErelKErel size 12{«KE» rSub { size 8{«rel»} } } {} от скорости показывает, как кинетическая энергия приближается к бесконечности, когда скорость приближается к скорости света. Таким образом, объект, имеющий массу, не может достичь скорости света. Также показан KEclassKEclass size 12{«KE» rSub { size 8{«class»} } } {}, классическая кинетическая энергия, аналогичная релятивистской кинетической энергии при низких скоростях.Обратите внимание, что для достижения высоких скоростей требуется гораздо больше энергии, чем предсказывалось классически.

      Пример 11.8 Сравнение кинетической энергии: релятивистская энергия с классической кинетической энергией

      Электрон имеет скорость v=0,990cv=0,990c размер 12{v=0 «.» «990»с} {}. а) Рассчитайте кинетическую энергию электрона в МэВ. (b) Сравните это с классическим значением кинетической энергии при этой скорости. (Масса электрона 9,11×10-31 кг9,11×10-31 кг размер 12{9 «.» «11» умножить на «10» rSup { размер 8{ — «31»} } «кг»} { }.)

      Стратегия

      Выражение для релятивистской кинетической энергии всегда верно, но для (а) его необходимо использовать, так как скорость сильно релятивистская (близкая к объему 12{c} {}). Сначала вычислим релятивистский фактор γ,γ, размер 12{γ} {}, а затем использовать его для определения релятивистской кинетической энергии. Для (b) рассчитаем классическую кинетическую энергию, которая была бы близка к релятивистскому значению, если бы размер vv 12{v} {} был меньше нескольких процентов от c,c, размер 12{c} {} и см. что это не то же самое.

      Решение для (а)

      1. Определить известное. v=0,990cv=0,990c размер 12{v=0 «.» «990»с} {}; m=9,11×10-31кгm=9,11×10-31кг размер 12{m=9 «.» «11» умножить на «10» rSup { размер 8{ — «31»} } `»кг»} {}
      2. Определить неизвестное. KErelKErel размер 12{«KE» rSub { размер 8{«rel»} } } {}
      3. Выберите подходящее уравнение. 11.70 KErel=γ−1mc2KErel=γ−1mc2 размер 12{«KE» rSub { размер 8{«rel»} } = левый (γ — 1 правый) ital «mc» rSup { размер 8{2} } } {}
      4. Подставьте известные значения в уравнение.

        Сначала вычислите размер γγ 12{γ} {}. Мы будем нести лишние цифры, потому что это промежуточный расчет.

        11,71 γ=11−v2c2=11−(0,990 c)2c2=11−(0,990)2=7,0888γ=11−v2c2=11−(0,990c)2c2=11−(0,990)2=7,0888alignl { stack { size 12{γ= { {1} over { sqrt {1 — { {v rSup { size 8{2} } } over {c rSup { size 8{2} } } } } } } } {} # = { {1} over { sqrt {1 — { { \( 0 «.» «990» ital » c » \) rSup { size 8 {2} } } over {c rSup { size 8 {2} } } } } } } {} # — { {1} над { sqrt {1 — \( 0 «.» «990» \) rSup { размер 8{2} } } } } {} # =7 «.» «0888» {} } } {}

        Далее мы используем это значение для расчета кинетической энергии.

        11,72 KEотн=(γ−1)mc2=(7,0888−1)(9,11×10–31 кг)(3,00×108 м/с)2=4,99×10–13 JKEотн=(γ−1)mc2=(7,0888− 1)(9,11×10–31 кг)(3,00×108 м/с)2=4,99×10–13 Дж
      5. Преобразование единиц. 11,73 KErel=(4,99×10–13 Дж)1 МэВ1,60×10–13 J=3,12 МэВKErel=(4,99×10–13 Дж)1 МэВ1,60×10–13 J=3,12 МэВalignl { stack { size 12{«KE» rSub { size 8{«rel»} } = \( 4 «.» «99» умножить на «10» rSup { size 8{«-13»} } «J» \) left ( { { «1 МэВ»} свыше {1″.» «60» раз «10» rSup { размер 8{ — «13»} } » J»} } справа )} {} # =3 «.» «12» «МэВ» {} } } {}

      Решение для (б)

      1. Список известных. v=0,990cv=0,990c размер 12{v=0 «.» «990»с} {}; m=9,11×10-31кгm=9,11×10-31кг
      2. Список неизвестного. KEклассKEкласс
      3. Выберите подходящее уравнение. 11.74 KEclass=12mv2KEclass=12mv2
      4. Подставьте известные значения в уравнение. 11,75 KEclass=12mv2=12(9,00×10–31 кг)(0,990)2(3,00×108 м/с)2=4,02×10–14 JKEclass=12mv2=12(9,00×10–31 кг)(0,990)2(3,00×108 м/с)2=4,02×10–14 Дж
      5. Преобразование единиц. 11,76 KEclass=4,02×10–14 Дж1 МэВ1,60×10–13 J=0,251 МэВKEclass=4,02×10–14 Дж1 МэВ1,60×10–13 J=0,251 МэВ

      Обсуждение

      Как и следовало ожидать, поскольку скорость составляет 99,0% скорости света, классическая кинетическая энергия значительно отличается от правильного релятивистского значения. Отметим также, что классическое значение намного меньше релятивистского.Фактически, KErel/KEclass=12.4KErel/KEclass=12.4 size 12{«KE» rSub { size 8{«rel»} } «/KE» rSub { size 8{«class»} } =»12″ «.» 4} {} здесь. Это некоторое указание на то, как трудно заставить массу двигаться со скоростью, близкой к скорости света. Требуется гораздо больше энергии, чем предсказывалось классически. Некоторые люди интерпретируют эту дополнительную энергию как увеличение массы системы, но, как обсуждалось в «Релятивистском импульсе», это нельзя проверить однозначно. Не вызывает сомнений то, что требуется постоянно возрастающее количество энергии, чтобы приблизить скорость массы к скорости света.Энергия в 3 МэВ очень мала для электрона и может быть достигнута с помощью современных ускорителей частиц. SLAC, например, может ускорять электроны до более чем 50×109 эВ=50 000 МэВ50×109 эВ=50 000 МэВ размер 12{«50» умножить на «10» rSup { размер 8{9} } «эВ»=»50 000″`»МэВ» } {}.

      Есть ли смысл в том, чтобы размер vv 12{v} {} был немного ближе к c, чем 99,0 процента или 99,9 процента? Ответ положительный. Делая это, мы многому учимся. Энергия, которая переходит в высокоскоростную массу, может быть преобразована в любую другую форму, в том числе в совершенно новые массы.(См. рис. 11.23.) Большая часть того, что мы знаем о субструктуре материи и наборе экзотических короткоживущих частиц в природе, была получена таким образом. Частицы ускоряются до чрезвычайно релятивистских энергий и заставляют сталкиваться с другими частицами, создавая совершенно новые виды частиц. Паттерны характеристик этих ранее неизвестных частиц намекают на основную субструктуру всей материи. Эти частицы и некоторые их характеристики будут рассмотрены в разделе «Физика частиц».

      Рис. 11.23 Национальная ускорительная лаборатория Ферми недалеко от Батавии, штат Иллинойс, представляла собой коллайдер субатомных частиц, ускорявший протоны и антипротоны до энергии до 1 Тэв (триллиона электронвольт). Круглые пруды возле колец были построены для отвода отработанного тепла. Этот ускоритель был остановлен в сентябре 2011 года. (Fermilab, Reidar Hahn)

      28.6 Релятивистская энергия – Колледж физики

      Задачи и упражнения

      1: Чему равна энергия покоя электрона, если его масса равна [латекс]{9.{44} \;\text{J}}[/latex] энергии. а) Сколько килограммов массы превращается в энергию при взрыве? (b) Каково отношение [латекс]{\дельта м/м}[/латекс] разрушенной массы к исходной массе звезды?

      6: (a) Используя данные из таблицы 1 главы 7.6, рассчитайте массу, преобразованную в энергию при делении 1,00 кг урана. (b) Каково отношение разрушенной массы к первоначальной массе [латекс] {\ дельта м/м} [/латекс]?

      7: (а) Используя данные из главы 7.6 Таблица 1, рассчитайте количество массы, преобразованной в энергию при синтезе 1,00 кг водорода. (b) Каково отношение разрушенной массы к первоначальной массе [латекс] {\ дельта м/м} [/латекс]? (c) Как это соотносится с [латекс]{\Delta m/m}[/латекс] для деления 1,00 кг урана?

      8: Существует примерно [латекс]{1034 \;\text{J}}[/латекс] энергии, полученной в результате синтеза водорода в мировом океане. (a) Если бы [латекс]{1033 \;\текст{J}}[/латекс] этой энергии был использован, как уменьшилась бы масса океанов? б) Какому объему воды это соответствует? (c) Прокомментируйте, составляет ли это значительную долю общей массы океанов.

      9: Мюон имеет энергию массы покоя 105,7 МэВ и распадается на электрон и безмассовую частицу. (a) Если вся потерянная масса преобразуется в кинетическую энергию электрона, найдите [латекс]{\гамма}[/латекс] для электрона. б) Какова скорость электрона?

      10: A [латекс]{\pi}[/латекс] -мезон — частица, распадающаяся на мюон и безмассовую частицу. [latex]{\pi}[/latex] -мезон имеет энергию массы покоя 139,6 МэВ, а мюон имеет энергию массы покоя 105.7 МэВ. Предположим, что [латекс]{\пи}[/латекс] -мезон покоится, и вся недостающая масса идет на кинетическую энергию мюона. С какой скоростью будет двигаться мюон?

      11: (a) Рассчитайте релятивистскую кинетическую энергию автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30,0 м/с, если скорость света равна всего 45,0 м/с. б) Найдите отношение релятивистской кинетической энергии к классической.

      12: Альфа-распад — ядерный распад, при котором испускается ядро ​​гелия. Если ядро ​​гелия имеет массу [латекс] {6.{-27} \;\text{kg}}[/latex] и дается 5,00 МэВ кинетической энергии, какова его скорость?

      13: (а) Бета-распад — это ядерный распад, при котором испускается электрон. Если электрону придана кинетическая энергия 0,750 МэВ, какова его скорость? (b) Прокомментируйте, как высокая скорость согласуется с кинетической энергией по сравнению с энергией массы покоя электрона.

      14: Позитрон — это версия электрона из антивещества, имеющая точно такую ​​же массу.Когда позитрон и электрон встречаются, они аннигилируют, превращая всю свою массу в энергию. а) Найдите выделившуюся энергию, считая кинетическую энергию до аннигиляции пренебрежимо малой. б) Если эта энергия передается протону в виде кинетической энергии, какова его скорость? в) Если эта энергия передается другому электрону в виде кинетической энергии, какова его скорость?

      15: Какова кинетическая энергия в МэВ [латекс]{\pi}[/латекс] -мезона, живущего [латекс]{1.2}[/латекс]. (b) Является ли [латекс] {E \ приблизительно pc} [/латекс], когда [латекс] {\ гамма = 30,0} [/латекс], как для космонавта, обсуждаемого в парадоксе близнецов?

      18: Один нейтрон космического луча имеет скорость [латекс]{0,250c}[/латекс] относительно Земли. а) Какова полная энергия нейтрона в МэВ? б) Найдите его импульс. (c) Является ли [латекс] {E \ приблизительно pc} [/латекс] в этой ситуации? Обсудите с точки зрения уравнения, данного в части (а) предыдущей задачи.

      19: Чему равно [латекс]{\гамма}[/латекс] для протона с массовой энергией 938.3}[/latex], каково отношение разрушенной массы к исходной, [латекс]{\Delta m/m}[/latex]?

      22: (a) Рассчитайте энергию, выделяющуюся при разрушении 1,00 кг массы. б) Сколько килограммов можно поднять на высоту 10 км за счет этого количества энергии?

      23: Ускоритель Ван де Граафа использует разность потенциалов 50,0 МВ для ускорения заряженных частиц, таких как протоны. а) Какова скорость протона, ускоренного таким потенциалом? б) электрон?

      24: Предположим, вы используете в среднем [латекс]{500 \;\text{кВт} \cdot \text{ч}}[/латекс] электроэнергии в месяц в вашем доме.а) Как долго вам хватит 1,00 г массы, преобразованной в электрическую энергию с КПД 38,0 %? (b) Сколько домов может быть снабжено [латекс]{500 \;\text{кВт} \cdot \text{ч}}[/латекс] в месяц в течение одного года за счет энергии описанного преобразования массы?

      25: (a) Атомная электростанция преобразует энергию ядерного деления в электричество с КПД 35,0%. Сколько массы разрушается за один год, чтобы непрерывно производить 1000 МВт электроэнергии? (b) Как вы думаете, можно ли было бы наблюдать эту потерю массы, если бы общая масса топлива была [латекс]{104 \;\текст{кг}}[/латекс]?

      26: Исследования ракет с ядерными двигателями проводились в течение нескольких лет, прежде чем вопросы безопасности стали первостепенными.{26} \;\text{W}}[/latex] при синтезе водорода. а) Сколько килограммов водорода подвергается синтезу каждую секунду? (b) Если Солнце на 90,0% состоит из водорода и половина этого количества может подвергнуться синтезу до того, как Солнце изменит свой характер, как долго оно сможет производить энергию при нынешнем уровне? в) Сколько килограммов массы теряет Солнце в секунду? (г) Какую часть своей массы он потеряет за время, указанное в пункте (б)?

      28: необоснованные результаты

      Протон имеет массу [латекс]{1.{-27} \;\text{kg}}[/latex]. Физик измеряет полную энергию протона как 50,0 МэВ. а) Чему равна кинетическая энергия протона? б) Что неразумного в этом результате? (c) Какие предположения являются необоснованными или непоследовательными?

      29: Создайте свою собственную задачу

      Рассмотрим высокорелятивистскую частицу. Обсудите, что подразумевается под термином «высокорелятивистский». (Обратите внимание, что это отчасти означает, что частица не может быть безмассовой.) Постройте задачу, в которой вы вычисляете длину волны такой частицы и показываете, что она почти совпадает с длиной волны безмассовой частицы, такой как фотон с той же энергией.Среди вещей, которые следует учитывать, — энергия покоя частицы (это должна быть известная частица) и ее полная энергия, которая должна быть большой по сравнению с ее энергией покоя.

      30: Создайте свою собственную задачу

      Рассмотрим астронавта, летящего к другой звезде с относительной скоростью. Постройте задачу, в которой вы вычисляете время полета по наблюдениям на Земле и по наблюдениям космонавта. Также рассчитайте количество массы, которое должно быть преобразовано в энергию, чтобы космонавт и корабль достигли пройденной скорости.Среди вещей, которые следует учитывать, — расстояние до звезды, скорость и масса космонавта и корабля. Если ваш инструктор не дал вам иных указаний, не включайте энергию, отдаваемую другим массам, например, ракетному топливу.

      Релятивистская частица – обзор

      2.1 Концепция экстремальных событий SEP

      Существует два разных подхода к определению «экстремального события» для солнечных космических лучей. Первый предполагает, что солнечные протонные события (СПС) могут рассматриваться как экстремальные события, когда всемирная сеть наземных станций космических лучей регистрирует значительный поток релятивистских солнечных протонов в GLE.Альтернативное определение экстремальных событий основано на обнаружении усиления потока СКЛ на орбите Земли в диапазоне энергий ниже релятивистских энергий (Мирошниченко, 2014). Обратите внимание, что энергетический спектр СКЛ охватывает несколько порядков по шкале энергий, поэтому релятивистские частицы являются лишь частью полного спектра СКЛ. Поэтому мы используем термин «события SEP» как наиболее распространенный для описания частиц солнечного происхождения, включая протоны, электроны и тяжелые ионы.

      В контексте наших мотивов и целей можно предложить выбирать экстремальные события СКЛ по интегральному флюенсу Φ протонов с энергией E ≥ 30 МэВ.К настоящему времени так называемое «событие Кэррингтона» (1–2 сентября 1859 г.) с интегральным флюенсом Φ (≥ 30 МэВ) = 1,9 × 10 10 см − 2 (McCracken et al. , 2001) оказался наиболее подходящим для этой цели (см., Townsend et al., 2006; Мирошниченко, Ниммик, 2014). Такие события можно рассматривать как «наихудший» показатель радиационной опасности в космосе.

      Действительно, два ближайших кандидата на роль «наихудшего случая» — это события 15 ноября 1960 года и 4 августа 1972 года.Они характеризовались меньшими значениями Φ (≥ 30 МэВ), около 9×10 9 см − 2 и 5×10 9 см − 2 соответственно (Smart 20 et al., . Несколько лет назад некоторые признаки увеличения количества космических лучей в период 774–775 гг. н.э. были обнаружены на основе анализа годичных колец деревьев, который был проведен в Японии, Европе, России и США (Мияке и др., 2012; Усоскин и др.). и др., 2013; Джул и др., 2014). Интегральные флюенсы Φ (≥ 30 МэВ) были недавно оценены как (2.1–3,0) × 10 10 см − 2 (Мирошниченко, Ныммик, 2014) и как (4,5–8,0) × 10 10 см − 2 (Усоскин и др., 2013). Исследователи из другой группы (Thomas et al., 2013) рассмотрели возможные источники существенного повышения содержания 14 C в 774–775 гг. Во-первых, авторы отвергли CME как возможную причину эффекта. Кроме того, они смоделировали SEP с тремя различными плотностью энергии и двумя разными спектрами. Наконец, они пришли к выводу, что данные могут быть объяснены событием с флюенсом примерно на один порядок (примерно в 7 или более раз больше) за пределами SEP октября 1989 г. (в зависимости от спектра).Два случая жесткого спектра, рассмотренные Thomas et al. (2013) может привести к умеренному истощению озонового слоя, поэтому никакого массового вымирания не предполагается. В то же время авторы предсказывают увеличение эритемы и повреждения растений от усиленного солнечного УФ.

0 comments on “Энергия релятивистской частицы: Урок 21. релятивистские эффекты — Физика — 11 класс

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.