Переместительный закон векторов: Правило параллелограмма. Законы сложения векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

С прошлых уроков вам уже известно, что векторы можно складывать и делать это вы уже умеете с помощью правила треугольника.

Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов  и , от некоторой точки А откладывают вектор . Далее от точки B откладывают вектор . Тогда вектор .

Для дальнейшей работы с векторами нам понадобится знание следующих законов сложения векторов.

Сумма векторов . Этот закон называют переместительным законом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

И ещё один закон. . Этот закон называют сочетательным законом.

По очереди докажем каждый из них.

Рассмотрим переместительный закон для неколлинеарных векторов  и .

Доказательство.

 

Итак, от произвольной точки А отложим вектор , и вектор .

На этих векторах построим параллелограмм ABCD.

А теперь, пользуясь правилом треугольника сложения двух векторов, заметим, что , то есть равен сумме векторов .

,  

С дугой стороны, ,  

Отсюда можем сделать вывод, что сумма векторов  равна сумме векторов .

Что и требовалось доказать.

 

Теперь перейдём к доказательству сочетательного закона для трёх неколлинеарных векторов , , .

От произвольной точки А отложим Вектор , равный вектору . От точки B отложим вектор , равный вектору . А от точки C отложим вектор , равный вектору .

Рассмотрим левую часть равенства, выражающего сочетательный закон. Запишем вектора , ,  как .

В скобках записана сумма векторов . Пользуясь правилом треугольника, можем записать, что эта сумма равна вектору .

А сумма вектора  и , в свою очередь, по правилу треугольника равна вектору .

Теперь аналогично поступим с правой частью равенства, задающего сочетательный закон.

По правилу треугольника .

Отсюда делаем вывод, .

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к рисунку из доказательства переместительного закона.

Обратите внимание, если векторы ,  отложить от одной точки и построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма задаёт вектор суммы векторов  и .

Такое правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.

Изобразим вектор суммы для каждой пары векторов, пользуясь правилом параллелограмма.

Первым изобразим вектор суммы векторов  и .

Отложим от произвольной точки А вектор , равный вектору .

Далее от точки А отложим вектор , равный вектору .

Теперь на этих векторах построим параллелограмм ABCD. Вектор  является вектором суммы векторов  и .

Далее изобразим вектор суммы векторов  и .

Обратите внимание, что каждый раз вектор суммы берёт своё начала из точки начала обоих векторов-слагаемых.

Последним изобразим вектор суммы векторов  и .

Задача. В треугольнике  сторона  равна ,  — , а .

Найти длину векторов   и .

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: , .

Давайте подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с законами сложения векторов. А именно с переместительным и сочетательным законами сложения векторов. А так же освоили правило параллелограмма для сложения двух векторов.

Оно заключается в следующем: чтобы сложить неколлинеарные векторы  и , нужно отложить от произвольной точки А векторы  и  равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор

 равен сумме векторов  и .

 

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Векторы
  5. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Теорема

Доказательство

Дано: , и .

Доказать: 10. + = + ; 20. ( + ) + = + ( + ).

Доказательство:

10. Пусть векторы

и коллинеарны.

От произвольной точки А отложим векторы = и = , т.е. векторы и будут лежать на одной прямой и на той же прямой от точки А отложим векторы = и = .

+ = , + = , тогда , , при этом , так как модуль вектора — это длина отрезка, следовательно, . Поэтому точки С и С1 совпадают, значит, = (по определению равных векторов), значит, + = + .

Пусть теперь векторы и не коллинеарны.

От произвольной точки А отложим векторы = и = и на этих векторах построим параллелограмм

АВСD. Противоположные стороны ВС и АD параллелограмма равны, при этом векторы и сонаправлены, следовательно, = = (по определению равных векторов), также DC = АВ (противоположные стороны параллелограмма) и векторы и сонаправлены, следовательно, = = .

По правилу треугольника = + = + . Аналогично = + = + , поэтому + = + .

20. От произвольной точки А отложим вектор = , от точки В — вектор = , а от точки С — вектор = .

Применяя правило треугольника, получим:

( + ) + = ( + ) + = + = ,

+ ( + ) = + ( + ) =

+ = .

Следовательно, ( + ) + = + ( + ).

Теорема доказана.

Правило параллелограмма

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Сумма двух векторов

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Произведение вектора на число

Применение векторов к решению задач

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 762, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 763, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 765, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 770, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 784, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 802, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 908, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 909, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1050, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Сумма нескольких векторов. Правило параллелограмма. Вычитание векторов 9

Тема 24.

Сумма векторов. Разность векторов.

Рассмотрим пример. Пусть материальная точка переместилась из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. В результате этих перемещений, которые можно представить векторами AB⃗ и BC⃗, материальная точка переместилась из точки A в точку C. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором AC⃗. Поскольку перемещение из точки A в точку

C складывается из перемещения из A в B и перемещения из B в C, то вектор AC⃗ естественно назвать суммой векторов AB⃗ и BC⃗:AC⃗=AB⃗+BC⃗.

Рассмотренный пример приводит нас к понятию суммы двух векторов.

Пусть a⃗ и b⃗ – два вектора. Отметим произвольную точку A и отложим от этой точки вектор AB⃗ равный a⃗. Затем от точки B отложим вектор BC⃗, равный b⃗. Вектор AC⃗ называется суммой векторов a⃗ и b⃗. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок это поясняет.

Сумма векторовa⃗ и b⃗ обозначается так: a⃗+b⃗.

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор a⃗ с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора a⃗ справедливо равенство

a⃗+0⃗=a⃗

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если A, B и C – произвольные точки, то AB⃗+BC⃗=AC⃗.

Это равенство справедливо для произвольных точек A, B и C, в частности, в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.

Теорема

Для любых векторов a⃗,b⃗ и c⃗ справедливы равенства:

1. a⃗+b⃗=b⃗+a⃗ (переместительный закон).

2. a⃗+b⃗+c⃗=a⃗+b⃗+c⃗ (сочетательный закон).

Докажем первое равенство. Рассмотрим случай, когда векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны. От произвольной точки A отложим векторы ABAD и на этих векторах построим параллелограмм ABCD. По правилу треугольника AC⃗=AB⃗+BC⃗=a⃗+b⃗. Аналогично AC⃗=AD⃗+DC⃗=b⃗+a⃗. Отсюда следует, что a⃗+b⃗=b⃗+a⃗.

При доказательстве первого свойства мы обосновали так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы a⃗ и b⃗, нужно отложить от какой-нибудь точки A векторы AB⃗=a⃗ и AD⃗=b⃗ и построить параллелограмм ABCD. Тогда вектор AC⃗ равен a⃗+b⃗. Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Например, от произвольной точки A отложен вектор AB⃗=a⃗, затем от точки B отложен вектор BC⃗=b⃗ и, наконец, от точки С отложен вектор CD⃗=c⃗. В результате получается вектор AD⃗=a⃗+b⃗+c⃗.

Аналогично можно построить сумму четырех, пяти и вообще любого числа векторов. Это правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

Разностью векторов a⃗ и b⃗ называется такой вектор, сумма которого с вектором b⃗ равна вектору a⃗.

Разность векторов a⃗ и b⃗ обозначается так:a⃗-b⃗.

Рассмотрим задачу о построении двух векторов.

Даны векторы a⃗ и b⃗. Построить вектор a⃗-b⃗.

Отметим на плоскости произвольную точку O и отложим от этой точки векторы OA⃗=a⃗ и OB⃗=b⃗.

По правилу треугольника OB⃗+BA⃗=OA⃗ или b⃗+BA⃗=a⃗. Таким образом, сумма векторов BA⃗ и b⃗ равна a⃗. По определению разности векторов это означает, что BA⃗=a⃗-b⃗, то есть вектор BA⃗ искомый.

Пусть a⃗ – произвольный ненулевой вектор. Вектор a1⃗ называется противоположным вектору a⃗, если векторы a⃗ и a1⃗ имеют равные длины и противоположно направлены.

Вектор, противоположный вектору a⃗, обозначается так: -a⃗. Очевидно, что a⃗+-a⃗=0⃗.

Теорема

Для любых векторов a⃗ и b⃗ справедливо равенство a⃗-b⃗=a⃗+-b⃗.

Сегодня мы научились складывать и вычитать векторы. Узнали правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника.

Законы сложения и вычитания векторов

1. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Составитель: Дзюба Л.М.
Учитель ГОУ ЦО 173
Г. Санкт-Петербург
Сложить коллинеарные противоположно направленные вектора
а
в
О
.
а+в
Векторы а и в коллинеарные ,
найти сумму векторов.
а
С
в
в
а+в
а
О
ПРАВИЛО
ТРЕУГОЛЬНИКА
в
в
а
а
а+в
1) От конца вектора а отложить вектор в, равный
вектору в ;
2) Провести вектор из начала вектора а в конец
вектора в.
3) ВЫВОД: полученный вектор и будет суммой
векторов а и в.
ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
а
в
а
в
1) От начала вектора а отложить вектор в,
равный вектору в;
2) На векторах а и в как на сторонах
построить параллелограмм ;
3) Провести из общего начала векторов а
и в вектор –диагональ
параллелограмма.
4) ВЫВОД: полученный вектор будет
суммой векторов а и в.
ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА
а4
а1
а3
а2
а1
1 ) От конца вектора а1 отложить вектор а2 ,
равный вектору а2;
2) Повторить откладывание векторов
столько раз , сколько векторов нужно
отложить;
3) Провести вектор из конца вектора аn в
начало а.
ВЫВОД: полученный вектор в и будет
суммой векторов а 1 , а2 , а3 ,… и аn
а2
а3
а4
ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Для любых векторов а , в и с справедливы равенства:
1) а + в = в + а — переместительный закон
2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) — сочетательный закон
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН.
1.Доказательство: Рассмотрим случай ,когда векторы а и в не
коллинеарны.
в
В
а
а
А
С
в
D
ОТ произвольной точки А отложим векторы
АВ = а и АD = в и на этих векторах
построим параллелограмм АВСD. По
правилу треугольника АС = АВ + АD = а + в.
Аналогично АС= АD + DС = в + а. Отсюда
Следует ,что а + в = в + а,
2.
СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН.
Доказательство . От произвольной точки А отложим вектор
АВ = а , а от точки В вектор ВС = в , от точки С вектор СD=с.
Применяя правило треугольника , получаем:
(а + в ) + с = ( АВ + ВС )+ СD =АC+СD =АD
а + ( в + с) = АВ + (ВС + СD)=АВ + ВС = А D. Отсюда
следует , что ( а + в ) + с = а + ( в + с). Теорема доказана.
В
а
.
А
в
С
с
D
ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
а
а
а- в
в
в
Разностью векторов а и в называется такой
вектор , сумма которого с вектором в равна
вектору а
Теорема: Для любых векторов а и в справедливо равенство
а – в = а +( — в ).
Доказательство. По определению разности векторов
( а – в ) + в =а. Прибавив к обеим частям этого равенства
вектор (-в), получим (а – в ) + в + (-в)= а+ (-в),или
(а – в ) +0=(-в), откуда а – в = а + (-в).

В
а
в
а -в
.
О
А
а
Задача №754
А)
Дано:
х
х+y
В)
у
x +z
z
C)
z +y
Задача №755
Дано:
а
e
d
а
а +в +с + d +е
в
в
с
с
d
е
Задача № 756.
Дано:

-y
x -z
-z
у
х
x
z
y
x
х-у
z
y
z-y
у
ЗАДАЧА : используя правило треугольника , постройте
векторы ОА = а +в
а
а
в
ОА
в
ЗАДАЧА: используя правило параллелограмма
постройте векторы ОР =х + у
х
P
Х+У= ОР
O
у
х.
у
Задача:
Используя правило треугольника,
найдите сумму векторов: а) РМ и МТ, б) СН и НС,
в) АВ + 0,г) 0 +СЕ.
Решение: а)РМ + МТ = РТ
б) СН +НС= СС= 0
в) АВ + 0 = АВ
г) 0 + СЕ= СЕ
Задача : Используя правило треугольника,
постройте векторы ОА = а + в и CВ = а +в.
Определите вид четырехугольника ОАВС.
А
а
в
В
С
М
К
а
в
в
а
о
Отложим от точки О вектор ОМ = а и от точки М вектор МА = в, тогда
ОА=ОМ + МА. Аналогично строим СК = а и КВ = в, тогда СВ = СК+КВ.
Т.к. ОА = а + в и CВ = а + в, то ОА=CВ , поэтому четырехугольникпараллелограмм.
СПАСИБО ЗА УРОК

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае — к тому что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если на одну чашу весов положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, и на другую чашу так же положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно что яблоки в пакетах лежат вразброс.

Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Полагаем что вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b


Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)


Переместительный закон умножения

Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

5 × 2 = 10

2 × 5 = 10

В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

10 = 10

Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:

a × b = b × a

Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

x × y = y × x


Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)


Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:


Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или ещё короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b


Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25


Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20


Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

3 × (7 + 8)

Решение:

3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45

Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

5 × (6 + 8)

Решение:

5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Задание 3. Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Математические Законы — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Математические Законы

Переместительный закон сложения

Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.

Переместительный закон сложения

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:

m + n = n + m

Переместительный закон сложения работает для любых чисел.

Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.

Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.

Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.

При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке.

Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.

Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:

Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:

Чтобы сложить две дроби нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в онлайн-школу Skysmart.

Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от базовых законов математики до олимпиадных задач — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Сочетательный закон сложения: два способа


  1. Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.

  2. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.

Рассмотрим сумму из трех слагаемых:

Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:

  • 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 5 + 4 = 8

Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:

  • 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8

В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.

Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

  • (1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
  • 8 = 8

Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:

Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.

Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.

Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.


Переместительный закон умножения

С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.

Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:

В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.

Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:

a * b = b * a

Сочетательный закон умножения

Рассмотрим еще один полезный закон в математике.

Сочетательный закон умножения

Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.

Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.

Рассмотрим пример:

Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:

  • 2 * 3 = 6
  • 6 * 4 = 24
  • 2 * 3 * 4 = 24

А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:

  • 3 * 4 = 12
  • 2 * 12 = 24
  • 2 * 3 * 4 = 24

Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.

  • (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
  • 6 * 4 = 2 * 12
  • 24 = 24

Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)

Пример

Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.

Как решаем:

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:

5 * 6 = 30

30 * 7 = 210

210 * 8 = 1680

5 * 6 * 7 * 8 = 1680

Ответ: 1680

Распределительный закон умножения

Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:

Распределительный закон умножения

  • Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
  • Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:

Сначала выполним действие в скобках:

В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:

Получили ответ 16.

Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
  • (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
  • 3 * 2 = 6
  • 5 * 2 = 10
  • 6 + 10 = 16

Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) * c = a * c + b * c

Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.

Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b)

. Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c * (a + b) = c * a + c * b

 
Пример 1

Решить: 5 * (3 + 2).

Как решаем:

Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25

Ответ: 25

 
Пример 2

Найти значение выражения 2 * (5 + 2).

Как решаем:

Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14

Ответ: 4.

Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.

 
Пример 3

Решить: 4 * (6 − 2).

Как решаем:

Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:

4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16

Ответ: 16

Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:

Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:

Проверим справедливость этого закона:

Посчитаем, чему равна левая часть равенства.

Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.

Так мы доказали справедливость распределительного закона.

Задания для самопроверки

Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂

Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).

Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).

Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).

Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).

Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)

Задание 6. Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним ((20 − 1) * 12 + 30) : 3?

Задание 7. В смартфоне 32 гб памяти. Какое количество приложений можно установить, если одно занимает 1,2 гб?

Задание 8. Верно ли равенство: 8 * 5 = 49?

 

Ответы


  1. 56;

  2. 28;

  3. 100;

  4. 81;

  5. 173;

  6. Деление;

  7. 26;

  8. Неверно.

Еще больше практики — в современной школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с учителем.

Приходите на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься эффективно и в удовольствие уже завтра!

переместительный и сочетательный. Сумма нескольких слагаемых

Переместительный закон сложения

Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится. Это можно легко проверить, посчитав количество звёздочек, представленных на рисунке:

Можно сначала посчитать зелёные звёздочки, потом жёлтые и сложить полученные результаты, получится  9  звёздочек. Или можно сначала посчитать жёлтые звёздочки, а потом зелёные, в результате сложения жёлтых и зелёных звёздочек сумма будет опять равна  9.

Таким образом, для любых натуральных чисел  a  и  b  верно равенство:

a + b = b + a,

выражающее переместительный закон сложения:

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Сумма нескольких слагаемых

При сложении нескольких слагаемых действия можно выполнять в любом порядке.

Пример. Найти сумму трёх слагаемых:  5,  3  и  2.

Решение: Сумму трёх слагаемых можно найти тремя способами:

1-й способ:

5 + 3 = 8,

8 + 2 = 10.

2-й способ:

5 + 2 = 7,

7 + 3 = 10.

3-й способ:

3 + 2 = 5,

5 + 5 = 10.

Сочетательный закон сложения

Если при сложении чисел  5,  2  и  3  заменить какие-нибудь два числа их суммой, то результат сложения не измениться. Это можно легко проверить посчитав звёздочки на картинке:

Можно посчитать зелёные, синие и жёлтые звёздочки отдельно, а потом сложить полученные результаты, получим  10  звёздочек. Или можно посчитать зелёные звёздочки отдельно, а синие и жёлтые вместе и после к зелёным звёздочкам прибавить сумму синих с жёлтыми, в результате получим опять  10  звёздочек.

Из примера следует, что результат сложения не зависит от объединения слагаемых в сумму. Таким образом, для любых натуральных чисел  ab  и  c  верно равенство:

a + b + c = a + (b + c) = b + (a + c)

выражающее сочетательный закон сложения:

Сумма трёх и более слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой.

Основные законы сложения и умножения

a + b = b + a,

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.

2. Сочетательный закон сложения.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Для суммы трех слагаемых имеем:

(a + b) + c = a + (b + c).

Например, сумму 5 + 7 + 11 можно вычислить двумя способами так:

(5 + 7) + 11 = 12 + 11 = 23,
5 + (7 + 11) = 5 + 18 = 23.

Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.

Так, в сумме a + b + c + d четырех слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:

a + b + c + d = (a + b + c) + d = (a + b) + (c + d) =
= a + (b + c) + d = a + b + (c + d) = (a + b) + c + d.

Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 16; мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:

1 + (3 + 5) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16,
1 + 3 + (5 + 7) = 1 + 3 + 12 = 16,
(1 + 3) + (5 + 7) = 4 + 12 = 16.

Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.

Пример 1.

89 + 67 + 11.

Поменяем местами два последних слагаемых, получим:

89 + 11 + 67.

Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.

Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и 11, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.

Пример 2.

.

Чтобы легче был сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:

.

Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:

.

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:

.

3. Переместительный закон умножения.

Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:

ab = ba,

где a и b – любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.

4. Сочетательный закон умножения.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Для произведения трех сомножителей имеем:

(ab)c = a(bc).

Например, произведение трех сомножителей 5 * 3 * 4 можно вычислить так:

(5 * 3) * 4 = 15 * 4 = 60

или так:

5 * (3 * 4) = 5 * 12 = 60.

Для произведения четырех сомножителей имеем:

abcd = (abc)d = (ab)cd = a(bc)d = (ab)(cd) = a(bcd) = ab(cd).

Например, ; то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:

Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.

Пример 1.

25 * 37 * 4.

Умножить 25 и 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:

25 * 4 * 37.

Теперь умножение легко выполнить в уме.

Пример 2.

75 * 35 * 4 * 2.

Применим переместительный и сочетательный законы, запишем это выражение так:

75 * 4 * (35 * 2).

Все эти действия легко выполняются в уме.

5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Чтобы умножить сумму двух (или нескольких) чисел на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить:

(a + b)c = ac + bc.

Пример 1. Распределительный закон мы применяем, например, при умножении двузначных (и многозначных) чисел. Так, чтобы умножить 26 на 7, мы представляем 26 в виде суммы 20 + 6, умножаем 20 на 7, 6 на 7 и результаты складываем:

26 * 7 = (20 + 6) * 7 = 20 * 7 + 6 * 7 = 140 + 42 = 182.

Но иногда бывает выгоднее поступать наоборот: вместо того чтобы умножить каждое слагаемое на одно и то же число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают ее на данное число.

Пример 2.

87 * 28 + 13 * 28.

Представим выражение в другом виде:

(87 + 13) * 28.

Мы применили здесь распределительный закон, но только записанный в обратном порядке:

ac + bc = (a + b)c.

Теперь вычисление выполняется очень легко (устно).

Законы сложения и умножения.

Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Детский сад — 7 класс.  / / Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)

Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы.

(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный=ассоциативный закон сложения)
ab=ba (переместительный=коммутативный закон умножения)
(ab)c=a(bc)  (сочетательный=ассоциативный закон умножения)
a(b+c)=ab+ac (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно сложения)
c(a-b)=ca–cb (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно вычитания)
Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
TehTab.ru

Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Сочетательный закон сложения — формулировка, правило и примеры

Арифметические операции изучаются на уроках математики во втором классе. Одной из них является сложение, сочетательный закон которого позволяет значительно повысить скорость решения различных заданий. Однако не все ученики могут разобраться и досконально изучить материал. Специалисты предлагают собственную методику успешного обучения и повышения успеваемости.

Общие сведения

Сложение является одной из базовых арифметических операций в математике. Оно изучается во втором классе общеобразовательной школы. Существует всего 2 правила: переместительный и сочетательный закон сложения. Однако многие ученики часто их путают. Разобраться в этом помогут специалисты. Они разработали специальную методику, позволяющую быстро запомнить различие между ними.

Однако для изучения алгоритма нужно знать базовые термины и определения. К ним относятся:

  • Сложение — операция, направленная на увеличение числового значения на заданную величину.
  • Законы — набор правил, позволяющих оптимизировать расчетные процессы, т. е. проще посчитать какое-либо значение.
  • Сложение состоит минимум из трех элементов: двух слагаемых (одно из них увеличивается на другое) и результата. Последний называется суммой. На примере это выглядит так: 5+9=14, где 5 — I слагаемое, 9 — второй элемент-слагаемое или число, на которое нужно увеличить первое слагаемое, а 14 — их сумма.

    Переместительное правило

    Переместительное (коммутативное) правило является очень простым для понимания. Оно формулируется следующим образом: если поменять местами слагаемые, их сумма не изменится. Математическая форма записи закона выглядит следующим образом: q+w=s.

    На практическом примере правило реализуется в таком виде: 5+6=6+5=11. Последнее числовое выражение очень легко проверить. Для этого достаточно воспользоваться обыкновенным калькулятором. При сложении 5 и 6 он покажет величину, равную 11. Следует отметить, что таким образом и доказывается закон переместительного свойства сложения.

    Прием практической реализации для доказательства правил и утверждений применяется очень часто. Это и есть оптимальная методика, позволяющая выяснить работоспособность того или иного утверждения. Далее необходимо рассмотреть сочетательный закон сложения.

    Сочетательный закон

    Сочетательное правило сложения возможно применить, когда числовое выражение включает в свой состав от трех и более слагаемых. Сочетательный закон сложения во 2 классе можно сформулировать следующим образом: слагаемые, входящие в состав выражения, можно для удобства складывать в любом порядке.

    Очень часто правило называют ассоциативным свойством операции сложения. Ее математическая запись имеет такой вид: p+r+s=(p+s)+r=(s+r)+p=z. Чтобы доказать утверждение, нужно решить пример «2+9+8+1». Его специалисты рекомендуют решать по такому алгоритму:

  • Разбить на пары слагаемые: (2+8)+(9+1). Необходимо руководствоваться удобством вычислений, поскольку пару чисел «2+8» легче сложить, чем «2+9».
  • Выполнить вычисления в скобках (символах группировки) и записать результат: 10+10=20.
  • К сочетательному свойству также можно применить и переместительное (коммуникативное) правило. Этим приемом очень часто пользуются специалисты. Кроме того, по-другому ассоциативный закон называется методом группировки чисел. Далее нужно рассмотреть методику применения двух законов на практике.

    Методика применения

    Методика использования правил сложения зависит от конкретного примера. Однако специалисты рекомендуют придерживаться следующего алгоритма нахождения результатов числовых выражений:

  • Проанализировать пример и найти в нем числа, сложение которых можно произвести очень быстро.
  • Сгруппировать элементы при помощи круглых скобок (ассоциативный закон) или просто поменять их местами (переместительное свойство).
  • Вычислить значения сумм пар, находящихся в скобках.
  • Записать результат.
  • Сочетание элементов можно выполнять несколько раз, т. е. вычислить сначала одно значение, а потом опять перегруппировать выражение. Перемену мест слагаемых можно производить в несколько заходов.

    Кроме того, законы сложения можно применять не только для целых чисел, но и для дробных. Для совершенствования качества усвоения теоретического материала рекомендуется придумать примеры и решить их.

    Некоторые ученики часто путают принадлежность распределительного правила к суммации двух и более величин. Этого делать не нужно, а требуется запомнить, что у сложения только 2 закона, но не 3. Последний принадлежит только операциям деления и умножения.

    Переместительное и сочетательное свойства можно применять и для вычитания. Далее необходимо на практическом примере разобрать использование правил сложения и методику их применения.

    Пример решения

    Для закрепления теоретического материала необходимо решить следующий пример: 4+9+6+5+1+15+17+2+12+1. Находится решение по такому алгоритму:

  • Пишется пример: 4+9+6+5+1+15+17+2+12+1.
  • Переместительное свойство: 4+6+9+1+5+15+17+2+12+1.
  • Сочетательный закон: (4+6)+(9+1)+(5+15)+(17+2+1)+12.
  • Вычисление значений: 10+10+20+20+12=60+12=72.
  • Следует учитывать, что группировку элементов можно выполнять в произвольном порядке и количестве. Суть метода — достижение максимальной скорости вычислений при сложении простых элементов, позволяющих без проблем произвести расчеты.

    Если сразу выполнить расчеты сложно, рекомендуется группировать числа по количеству знаков, т. е. однозначные с однозначными, двузначные с двузначными и т. д.

    Таким образом, сочетательный и переместительный законы применяются в математике для ускорения вычислений.

    Предыдущая

    МатематикаСчётные и несчётные множества — понятие, свойства и примеры

    Следующая

    МатематикаИррациональность дроби — как правильно избавиться от знака корня в знаменателе?

    Презентация «Переместительный закон сложения»

    Слайды и текст этой онлайн презентации

    Слайд 1

    Переместительный закон сложения
    Кильчукова И.М.

    Слайд 2

    Внимательно посмотрите на выражение: 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

    Слайд 3

    Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.     9 + 6 = 15 15 + 8 = 23 23 + 7 = 30 30 + 2 = 32 32 + 4 = 36 36 + 1 = 37 37 + 3 = 40

    Слайд 4

    Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.  Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?

    Слайд 5

    Если мы перегруппируем числа по-другому:   9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …    9 + 1 = 10  10 + 8 = 18  18 + 2 = 20  20 + 7 = 27  27 + 3 = 30  30 + 6 = 36  36 + 4 = 40 Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.

    Слайд 6

    Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.

    Слайд 7

    Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.

    Слайд 8

    В математике существует закон: Переместительный закон сложения. Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

    Слайд 9

    Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?

    Слайд 10

    Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.

    Слайд 11

    37 + 25 + 3 = 65          37 + 25 = 62                                    62  +  3 = 65 37 + 3 + 25 = 65          37  +  3 = 40                                     40 + 25 = 65
    Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.

    Слайд 12

    От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

    Слайд 13

    СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ

    Слайд 14

    6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51) Нет ли удобного способа для вычисления?

    Слайд 15

    Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24. (6 + 24) + 51 = …  (к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51) Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения? 6 + 24 = 30 30 + 51 = 81 Мы видим, что значение выражения осталось прежним.

    Слайд 16

    Потренируемся еще на одном примере. (27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)

    Слайд 17

    Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ? Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки. 27 + (19 + 1) = …  (к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)

    Слайд 18

    Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках. 19 + 1 = 20 27 + 20 = 47

    Слайд 19

    Сочетательный закон сложения: два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

    Слайд 20

    Мы познакомились с переместительным и сочетательным законами сложения, а также узнали, как ими пользоваться для удобства вычисления.  

    Слайд 21

    Мои детки 2 «В» класса МКОУ «Гимназия № 4» Вы усвоили тему ? СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

    Сочетательный закон сложения | World of Math

    Как Вам уже наверняка известно, в математике есть следующие законы сложения: сочетательный, переместительный, распределительный. Сегодня пришёл черёд сочетательного

    Сочетательный закон сложения сформулировать очень просто:

    Когда Вы складываете более двух слагаемых, Вы можете группировать их в любом удобном порядке.

    Рассмотрим на конкретном примере.

    У Кати есть 6 шоколадных конфет. А у её подруги Лены — 7 желейных конфет и 4 карамельки. Девочек попросили сосчитать, сколько конфет у них всего.

    Катя складывала так: 

    1. В первом действии прибавила к своим 6 шоколадным конфетам 7 желейных конфет Лены.
    6 + 7 = 13 (конфет)

    2. Во втором действии Катя прибавила к сумме шоколадных и желейных конфет 4 карамельки. 
    13 + 4 = 17 (конфет)

    Итого в сумме получилось 17 конфет.

    Лена же решала иначе:

    1. В первом действии она прибавила к 6 конфетам Кати 4 своих карамельки. Этот способ показался ей удобным, так как в сумме получилось круглое число.
    6 + 4 = 10 (конфет)

    2. Во втором действии Лена прибавила к 10 конфетам оставшиеся 7 желейных конфет.
    10 + 7 = 17 (конфет)

    Как и у Кати, в сумме Лена насчитала 17 конфет.

    Мы видим, что, несмотря на разные пути решения, девочки пришли к одинаковому результату. Кто из них прав или неправ? Правы обе! Более того, эту задачу возможно решить и третьим способом.

    1. В первом действии узнать, сколько всего конфет у Лены.
     7 + 4 = 11 (конфет)

    2. Во втором действии сложить все конфеты Лены с конфетами Кати.
    11 + 6 = 17 (конфет)

    Теперь Вы понимаете, как работает сочетательный закон сложения! 

    Решите задачу самостоятельно, используя все возможные способы сочетания.

    Бабушка принесла 8 яблок, 5 груш и 12 слив. Сколько всего фруктов принесла бабушка?

    Эту и другие темы Ваш ребёнок может изучить под руководством квалифицированных преподавателей онлайн-школы World of Math. Вы удивитесь, насколько интересной может быть математика!

    Попробуйте! Первое занятие абсолютно бесплатно.

    Использование принципов сложения и умножения

    Компания, занимающаяся продажей настраиваемых чехлов, предлагает чехлы для планшетов и смартфонов. Поддерживаются 3 модели планшетов и 5 поддерживаемых моделей смартфонов. Принцип сложения говорит нам, что мы можем добавить количество вариантов планшета к количеству вариантов смартфона, чтобы найти общее количество вариантов. Согласно принципу сложения, всего существует 8 вариантов, как мы можем видеть на рисунке 1.

    Рисунок 1

    Общее примечание: принцип сложения

    В соответствии с принципом сложения , если одно событие может произойти способами [latex] m [/ latex], а второе событие без общих результатов может произойти способами [latex] n [/ latex], то первое событие или второе событие может произойти [latex] m + n [/ latex] способами.

    Пример 1: Использование принципа сложения

    В меню ужина 2 вегетарианских и 5 мясных закуски. Каково общее количество вариантов первого блюда?

    Решение

    Мы можем добавить количество вегетарианских блюд к количеству вариантов мяса, чтобы найти общее количество вариантов первого блюда.

    Всего доступно 7 вариантов.

    Попробуйте 1

    Студент покупает новый компьютер. Он выбирает 3 настольных компьютера и 4 портативных компьютера.Какое общее количество компьютерных опций?

    Решение

    Использование принципа умножения

    Принцип умножения применяется, когда мы делаем более одного выбора. Предположим, мы выбираем закуску, основное блюдо и десерт. Если в меню ужина с фиксированной ценой есть 2 варианта закуски, 3 варианта основного блюда и 2 варианта десерта, имеется в общей сложности 12 возможных вариантов, по одному каждый, как показано на древовидной диаграмме на Рисунке 2.

    Возможные варианты:

    1. суп, курица, торт
    2. суп, курица, пудинг
    3. суп, рыба, торт
    4. суп, рыба, пудинг
    5. суп, стейк, торт
    6. суп, стейк, пудинг
    7. салат, курица, торт
    8. салат, курица, пудинг
    9. салат, рыба, торт
    10. салат, рыба, пудинг
    11. салат, стейк, торт
    12. салат, стейк, пудинг

    Мы также можем найти общее количество возможных обедов умножением.

    Мы также можем сделать вывод, что существует 12 возможных вариантов обеда, просто применив принцип умножения.

    Общее примечание: принцип умножения

    Согласно принципу умножения , если одно событие может произойти способами [latex] m [/ latex], а второе событие может произойти способами [latex] n [/ latex] после того, как первое событие произошло, то два события могут происходить [латексом] m \ times n [/ latex] способами. Это также известно как Фундаментальный принцип подсчета .

    Пример 1: Использование принципа умножения

    Дайан собрала 2 юбки, 4 блузки и свитер для своей деловой поездки. Ей нужно будет подобрать юбку и блузку к каждому наряду и решить, надеть ли свитер. Используйте принцип умножения, чтобы найти общее количество возможных нарядов.

    Решение

    Чтобы найти общее количество нарядов, найдите произведение количества вариантов юбки, количества вариантов блузки и количества вариантов свитера.

    Есть 16 возможных нарядов.

    Попробуй 2

    Ресторан предлагает специальный завтрак, который включает бутерброд для завтрака, гарнир и напиток. Есть 3 вида бутербродов для завтрака, 4 варианта гарнира и 5 вариантов напитков. Найдите общее количество возможных блюд на завтрак.

    Решение

    Определение, формула и практический пример

    Что такое комбинация?

    Комбинация — это математический метод, который определяет количество возможных расположений в коллекции элементов, где порядок выбора не имеет значения.В комбинациях вы можете выбирать элементы в любом порядке.

    Комбинации можно спутать с перестановками. Однако в перестановках важен порядок выбранных элементов. Например, компоновки ab и ba равны в комбинациях (рассматриваемых как одна компоновка), в то время как в перестановках компоновки различаются.

    Комбинации изучаются в комбинаторике, но также используются в различных дисциплинах, включая математику и финансы.

    Формула для комбинирования

    Математически формула для определения количества возможных расположений путем выбора только нескольких объектов из набора без повторения выражается следующим образом:

    Где:

    • n — общее количество элементов в наборе
    • k — количество выбранных объектов (порядок объектов не важен)
    • ! — факториал

    Факториал (помеченный как «!») — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных числу перед знаком факториала.Например, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

    Обратите внимание, что формула выше может использоваться только в том случае, если объекты из набора выбраны без повторения.

    Пример комбинации

    Вы являетесь управляющим портфелем в небольшом хедж-фонде Стратегии хедж-фонда Хедж-фонд — это инвестиционный фонд, созданный аккредитованными физическими лицами и институциональными инвесторами с целью максимизации прибыли и. Вы решили создать новый фонд, который будет привлекать рисковых инвесторов.Фонд будет включать акции Налог на прирост капитала Налог на прирост капитала — это налог, взимаемый с прироста капитала или прибыли, которую физическое лицо получает от продажи активов. Налог взимается только после того, как актив был конвертирован в наличные, а не тогда, когда он все еще находится в руках инвестора. быстрорастущих компаний с высоким потенциалом роста. Ваша команда аналитиков определила акции 20 компаний, соответствующих вашему профилю.

    Поскольку это новый фонд, вы решили включить пять акций с равным весом в первоначальный портфель, а через год вы проанализируете эффективность портфеля и добавите новые акции, если фонд будет работать успешно.В настоящее время вы хотите определить количество возможных портфелей, которые вы можете создать из акций, определенных вашими аналитиками.

    Принятие инвестиционного решения является примером проблемы объединения. Поскольку вы собираетесь разработать портфель, в котором все акции будут иметь равный вес, порядок выбранных акций не влияет на портфель. Например, портфели ABC и CBA будут равны друг другу из-за схожего веса (по 33,3% каждый) каждой акции.

    Таким образом, вы можете использовать формулу комбинирования для расчета количества возможных договоренностей:

    Существует 15 504 возможных портфеля из пяти акций, которые можно создать из 20 акций, включенных в короткий список.

    Дополнительные ресурсы

    CFI предлагает программу сертификации финансового моделирования и оценки (FMVA) ™ Стать сертифицированным аналитиком финансового моделирования и оценки (FMVA) ® для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:

    • Инвестирование: руководство для начинающихИнвестирование: руководство для начинающих Руководство CFI по инвестициям для начинающих научит вас основам инвестирования и научит их начинать.Узнайте о различных стратегиях и методах торговли, а также о различных финансовых рынках, на которые вы можете инвестировать.
    • Маржинальная торговля Маржинальная торговля Маржинальная торговля — это заимствование средств у брокера с целью инвестирования в финансовые ценные бумаги. Приобретенные акции служат залогом по ссуде. Основная причина заимствования денег — получение большего капитала для инвестирования
    • Начальная цена Страйк-цена Страйк-цена — это цена, по которой держатель опциона может реализовать опцион на покупку или продажу базовой ценной бумаги, в зависимости от
    • Типы рынков — Дилеры, брокеры, биржи Типы рынков — дилеры, брокеры, биржи Рынки включают брокеров, дилеров и биржи.Каждый рынок работает с разными торговыми механизмами, которые влияют на ликвидность и контроль. Различные типы рынков допускают разные торговые характеристики, описанные в этом руководстве.

    Правило суммы и Правило решения проблем продукта

    В этот раздел включены основные примеры и проблемы, которые подготовят вас к следующему разделу решения проблем.

    Кальвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать один из 333 автобусных маршрутов или 222 поезда, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго.Оттуда он может выбрать один из двух автобусных маршрутов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки.

    На этот раз он должен купить концессию на автобус (которая позволит ему ездить только на автобусах) или концессию на поезд (которая позволит ему ездить только на поездах). Если у него есть деньги только на 111 из этих концессий, сколько у него способов добраться до Милуоки?


    Если Кальвин покупает автобусную остановку, у него есть 3 × 2 = 6 3 \ times 2 = 63 × 2 = 6 способов добраться до Милуоки.(Правило продукта)
    Если Кальвин покупает поезд в концессию, у него есть 2 × 3 = 6 2 \ times3 = 62 × 3 = 6 способов добраться до Милуоки. (Правило продукта)
    Следовательно, у него всего 6 + 6 = 12 6 + 6 = 126 + 6 = 12 способов добраться до Милуоки. (Правило суммы) □ _ \ square □

    Шесть друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре. Если доступно только шесть мест, сколькими способами мы можем усадить этих друзей?


    Для первого места у нас есть выбор из 6 друзей.Посадив первого человека на второе место, мы можем выбрать любого из оставшихся 5 друзей. После того, как мы рассадим второго человека на третье место, у нас будет выбор из оставшихся 4 друзей. После того, как мы рассадим третьего человека на четвертое место, мы можем выбрать любого из оставшихся 3 друзей. Посадив четвертого человека на пятое место, мы можем выбрать любого из оставшихся 2 друзей. После того, как мы рассадим пятого человека на шестое место, у нас будет выбор только из одного оставшегося друга.b2a5b, где a aa и b bb — целые числа, удовлетворяющие 0≤a≤4,0≤b≤3 0 \ leq a \ leq 4, 0 \ leq b \ leq 30≤a≤4,0≤b≤3. Есть 5 возможностей для a aa и 4 возможности для b bb, и, следовательно, всего имеется 5 × 4 = 20 5 \ times 4 = 205 × 4 = 20 (правило произведения) положительных делителей 2000. □ _ \ квадрат □

    Следующие ниже задачи познакомят вас с двумя правилами, описанными выше.

    Сколько параллелограммов образуется, когда набор из 5 параллельных прямых пересекает набор из 4 параллельных прямых?

    Детали и предположения

    • Все параллельные прямые растянуты до бесконечности.

    Отправьте свой ответ

    Если вы посчитаете способы подъема на 3 ступени, вы обнаружите, что есть 4 способа подъема на 3 ступени. Представьте себе, что ноги человека настолько длинные, что могут подниматься по 11 ступеням за раз, при этом человеку разрешается подниматься только вверх.

    Тогда найдите количество путей, по которым вы можете подняться на 11 ступенек?

    Бонус : Обобщите это на nnn шагов.

    Отправьте свой ответ

    Трое детей, каждый в сопровождении опекуна, поступают в школу.Princi хочет опросить всех 6 человек одного за другим при одном условии, что ни один ребенок не будет опрошен до его опекуна. Какими способами это можно сделать?

    Перестановка и комбинация | Репетиторы 4 You

    Перестановка : Перестановка означает расположение из вещи. Слово расположение используется, если Порядок вещей считается .

    Комбинация: Комбинация значит подборка вещей. Слово выделение используется, когда порядок вещей не имеет значения .

    Пример: Предположим, нам нужно сформировать число, состоящее из трех цифры с использованием цифр 1,2,3,4 , для формирования В этом номере цифры должны быть в порядке . В зависимости от порядок, в котором мы расставляем цифры.Это пример из Перестановка .

    Сейчас предположим, что нам нужно сделать команду из 11 игроков из 20 игроков, это пример комбинации , потому что порядок игроков в команде не повлияет в смене команды. Независимо от того, в каком порядке мы перечисляем из игроков команда останется прежней! Для будет сформирована другая команда, по крайней мере, у одного игрока будет быть измененным.

    Теперь давайте посмотрим на два основных принципы подсчета:

    Дополнение правило: если эксперимент можно провести «n» способами, & другой эксперимент можно провести «м» способами то любой из двух экспериментов можно провести в (m + n) способов.Это правило может быть распространяется на любое конечное число экспериментов.

    Пример: Предположим, в комнате 3 двери, 2 с одной стороны и 1 с другой стороны. Мужчина хочет выйти из комнаты. Очевидно, у него есть «3» варианта. Он может выйти через дверь «A» или дверь «B» или дверь ‘C’.

    Умножение Правило: Если работа может быть выполнена m способами, другая работа может быть выполнена в ‘N’ способов, то обе операции могут быть выполняется m x n способами.Его можно распространить на любую конечную количество операций.

    Пример .: Предположим, мужчина хочет зачеркнуть комната, у которой 2 двери с одной стороны и 1 дверь с другой. сайт. У него есть 2 x 1 = 2 способа для этого.

    Факториал n: продукт первых «n» натуральных чисел обозначается n !.

    п! = п (п-1) (п-2) ..3.2.1.

    Бывший.5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120

    Примечание 0! = 1

    Доказательство! = п, (п-1)!

    Или же (п-1)! = [n x (n-1)!] / n = n! / п

    Положив n = 1, у нас

    О! = 1! / 1

    или 0 = 1

    Перестановка

    Количество перестановок «N» разные вещи взяты «r» время определяется по формуле: —

    n P r знак равно п! / (п-р)!

    Доказательство : Допустим, у нас есть «n» разных вещей a 1 , а 2 ……, а н .

    Очевидно, что первое место может быть заполненным «n» способами. Количество вещей осталось после заполнения первое место = n-1

    Значит, второе место может быть залил (n-1) способами. Теперь количество вещей осталось после заполнение первого и второго места = n — 2

    Теперь третье место может быть залил (n-2) способами.

    Таким образом, количество способов заполнение первое место = n

    Количество способов заправки второе место = n-1

    Количество способов заправки третье место = n-2

    Количество способов заправки r-е место = n — (r-1) = n-r + 1

    Путем умножения — правило подсчета, общее количествоспособов пополнения, во-первых, второе — п-е вместе: —

    п (п-1) (п-2) ———— (п-р + 1)

    Отсюда:
    n P r = п (п-1) (п-2) ————— (п-г + 1)

    = [n (n-1) (n-2) ———- (n-r + 1)] [(n-r) (n-r-1) —— 3. 2.1.] / [(n-r) (n-r-1)] —- 3.2.1

    n P r = n! / (N-r)!

    Количество перестановок «N» разных вещей, взятых одновременно, — это выдает: —

    n P n знак равно п!

    Доказательство :
    Теперь у нас есть n объектов и n мест.

    Номер способов пополнения I места = n

    Количество способов заправки второе место = n-1

    Количество способов заправки третье место = n-2

    Количество способов заправки r-е место, т.е. последнее место = 1

    Номер способов заполнения первое, второе, — n-е место
    = n (n-1) (n-2) —— 2.1.

    n P n = n!

    Концепт.

    У нас n P r = П! / П-р

    Путь r = n, имеем: —

    n P r = n! / (н-р)

    Но n P n = п!

    Ясно возможно, только когда n! = 1

    Следовательно это доказательство того, что 0! = 1

    Примечание : Факториал отрицательного числа не определен. В выражение –3! не имеет значения.

    Примеры

    Q. Сколько разных сигналов можно подать по 5 флагам из 8-флагов разных цветов?

    Отв. Количество способов извлечения 5 флажков из 8-лепестков = 8 P 5

    = 8! / (8-5)!

    = 8 х 7 х 6 х 5 х 4 = 6720

    В. Сколько слов может быть сделано с использованием букв слова «СИМПЛЕТОН» принимать все за раз?

    Отв. В слове есть «9» разных букв «СИМПЛЕТОН»

    Номер перестановок, принимающих все буквы за раз = 9 P 9

    = 9! = 362880.

    Количество перестановок n-вещи, взятые одновременно, в которых «P» одного типа, из них ‘g’ второго типа, ‘R’ из них третьего типа, а все остальные различное вычисляется по: —

    н! / П! х д! Икс р!

    Пример: Сколько способов могут ли буквы слова «довузовской» быть согласованный?

    13! / 2! X 2! X 2!

    Количество перестановок n-вещей, взятых «r» в то время, когда каждая вещь может быть повторен r раз: = n r .

    Доказательство.

    Количество способов заправки first –place = n

    Поскольку повторение разрешено, так

    Количество способов заправки второе место = n

    Количество способов заправки третье место

    Количество способов заправки r-е место = n

    Отсюда общее количество путей в котором можно заполнить первое, второе —- r-е места

    = п х п х п ————- r факторов.

    = n r

    Пример: У ребенка 3 кармана и 4 монеты. Какими способами он может положил монеты в карман.

    Отв. Первый монету можно положить 3 способами: второй, третий и Четвертые монеты также можно положить 3 способами.

    Итак общее количество путей = 3 х 3 х 3 х 3 = 3 4 = 81

    подробнее >>>

    Менделирующие законы сложения, умножения и предсказания


    Изображение: «Замороженные образцы для анализа eDNA хранятся в морозильной камере в Центре рыболовства Среднего Запада. »От
    USFWSmidwest. Лицензия: CC BY 2.0

    .

    Фонд классической генетики

    Репродукция позволяет живым существам передавать биологические черты будущим поколениям посредством феномена наследственности. Наследственная информация передается от родителей к потомству через гены .

    Основы классической генетики заложил австрийский монах Грегор Мендель. Его работа по гибридизации растений, опубликованная в 1866 году, легла в основу генетики.Его экспериментальные выводы позже были названы «законами наследования Менделя». Эпоха классической генетики началась с повторного открытия работ Менделя в 1900 году и продолжалась до тех пор, пока Уотсон и Крик не открыли ДНК в 1953 году. Эти открытия привели к нашему нынешнему пониманию генов и их функций на молекулярном уровне.

    Первый закон Менделя

    Закон сегрегации : пара генов, то есть аллелей, отделенных друг от друга во время образования гамет. Каждая гамета несет только один аллель.

    Второй закон Менделя

    Закон независимого ассортимента : Гены различных признаков сортируются независимо во время формирования гамет.

    Применение базовой вероятности для решения генетических проблем

    Вероятность — это вероятная частота возникновения события из ряда возможных или , количественно определяющая вероятность того, что событие произойдет . Если события не происходит, вероятность равна 0; если это так, вероятность равна 1, так что вероятность того, что событие произойдет, составляет 100%.Для неопределенного события, которое может произойти, а может и не произойти, вероятность составляет от 0 до 1.

    Согласно гипотезе Менделя, передача аллеля гамете является случайной, то есть оба аллеля имеют равные шансы попасть в любую гамету. Более того, комбинация гамет после оплодотворения также случайна.

    Концепция вероятности играет важную роль в менделевской генетике из-за случайности наследственных событий. Комбинации в основном бывают одного из следующих двух типов:

    1. Взаимоисключающие
    2. Независимый

    Взаимоисключающие комбинации : Возникновение одного события означает, что другие события не произойдут, поэтому их вероятность равна нулю.

    Независимые комбинации : Вероятность того, что событие произойдет или нет, не влияет на вероятность того, что произойдет какое-либо другое событие, поэтому события независимы друг от друга.

    Два разных правила вероятности предсказывают исход как взаимоисключающих, так и независимых событий.

    Дополнительное правило

    Это правило означает, что вероятность того, что произойдет одно или другое «взаимоисключающее» событие, равна сумме вероятностей того, что произойдет отдельное событие.Правило сложения применяется только к взаимоисключающим событиям. Правило сложения применяется только к случаям «либо / или».

    Например, вероятность аллеля P (вероятность y) или аллеля p (вероятность z) равна y + z, т. Е. ½ + ½ = 1. Правило сложения не может применяться к аллелю P и аллелю Q двух разных генов. потому что оба аллеля не исключают друг друга.

    Правило умножения

    Вероятность наступления «независимого» события равна произведению вероятности наступления каждого отдельного события.Сегрегация генов дает равное количество аллелей, которые будут сортировать независимо. Результаты таких скрещиваний предсказуемы с помощью правила умножения вероятностей. Правило умножения применяется к случаям «и… и».

    Например, предположим, что гены Pp (вероятность y) и Qq (вероятность z) осуществляют сортировку независимо. Вероятность гаметы PQ равна y * z, т.е. ½ * ½ = ¼ = 0,25

    Применение вероятности к тестовым крестам

    Фенотип можно объяснить, наблюдая за индивидом, а не за генотипом.Генотип высокого растения может быть либо гомозиготным (TT), либо гетерозиготным (Tt).

    • Гомозигота — это «чистая порода», потому что производится только один тип гамет.
    • Гетерозиготный гибрид. Он производит два разных типа гамет, т.е. половина гамет будет нести ген T, а другая половина — ген t.

    Мендель намеревался определить генотип доминирующих фенотипов растений, используя тестовые скрещивания, чтобы подтвердить обоснованность своих выводов. Он разработал систему для проверки генотипа человека, скрещивая его с человеком известного генотипа.Таким образом, особь с неизвестным генотипом по доминантному фенотипу скрещивается с гомозиготной рецессивной особью, которая выявляет неизвестный генотип .

    Квадрат Пеннета

    Площадь Пеннета названа в честь Реджинальда К. Пеннета, который открыл феномен генной связи, чтобы узнать о генетике и решении проблем. Построив квадрат Пеннета , можно просмотреть все возможные случайные события оплодотворения, а также вероятные генотипы и фенотипы . Однако применение его к шести генным проблемам и так далее может оказаться сложной задачей, поскольку это всего лишь визуальное представление возможных комбинаций.

    Тест-кросс используется для определения гомозиготности или гетерозиготности особи, то есть неизвестного генотипа. Дигибридные, тригибридные и другие громоздкие тестовые скрещивания могут быть решены с использованием правил сложения и умножения вероятностей для проверки перекрестных экспериментов.

    Вероятность предсказания скрещивания моногибридов и дигибридов

    Моногибридный кросс

    Вероятность появления гомозиготного или гетерозиготного признака в следующем поколении можно предсказать, применив правило сложения к моногибридному тест-кроссу.В следующем примере доминирующей комбинацией является (BB) для карих глаз и (bb) для рецессивного признака голубого цвета глаз. Гетерозиготный человек будет иметь карие глаза (Bb). Частоту можно рассчитать следующим образом:

    Изображение: «Квадрат Пеннета, показывающий крест BB x Bb для цвета глаз. Здесь гомозиготный доминантный кареглазый родитель и w: гетерозиготный кареглазый родитель дают 50% гомозиготных доминантных кареглазых потомков и 50% гетерозиготных кареглазых потомков. Пример, обсуждаемый в тексте, касается перекрестного теста между Bb и Bb »Purpy Pupple.Лицензия: CC BY-SA 3.0

    .

    Результаты : вероятность гомозиготы и гетерозиготы в поколении F2, если оба родителя гетерозиготны.

    • 25% потомков будут иметь гомозиготный доминантный генотип (ВВ).
    • 25% потомков будут иметь гомозиготный рецессивный генотип (bb).
    • 50% потомства будут иметь гетерозиготный генотип (Bb).
    Дигибридные и тригибридные кроссы

    Дигибридное скрещивание или тригибридное скрещивание имеет более одного рассматриваемого признака.Вероятности основаны на возможных моногибридных скрещиваниях . Дигибридное скрещивание можно легко понять, сделав два отдельных моногибридных скрещивания.

    Считается, что эти два признака наследуются независимо. Вероятность того, что семя будет зеленым или желтым, не зависит от вероятности того, что семя будет круглым или морщинистым. Однако преобладают желтые и округлые характеристики семян. Из-за независимого набора этих признаков мы можем применить правило вероятности произведения к случаю дигибридного скрещивания.

    Изображение: «Метод дигибридного кросса RrYy x RrYy» Тима ДеДжулио. Лицензия: Public Domain

    Предсказание неизвестного генотипа посредством тестового скрещивания

    Неизвестный генотип индивидуума можно предсказать с помощью метода Менделя, т.е. , создавая скрещивание гомозиготного рецессивного индивидуума и индивидуума с неизвестным генотипом, но доминантным фенотипом . Этот метод позволит выявить неизвестный генотип. Это означает важность моногибридного тестового скрещивания; он помогает обнаруживать рецессивные аллели, наносящие вред населению.

    В следующем примере коричневый цвет является доминирующим цветом глаз, а синий — рецессивным. Индивид с неизвестным генотипом с карими глазами может быть скрещен с гомозиготным рецессивным индивидом.

    Результаты можно предсказать следующим образом:

    • Если у 50% людей карие глаза и у 50% голубые глаза, то неизвестный генотип — гетерозигота (Bb).
    • Если все люди в следующем поколении имеют карие глаза, то неизвестный генотип является гомозиготным (BB).

    Ограничения законов Менделя

    Неожиданные фенотипы

    Одно из ограничений законов Менделя состоит в том, что почти все гены признаков, которые он изучал, были локализованы на разных хромосомах или на значительном расстоянии в одной и той же хромосоме; следовательно, результаты были предсказуемыми. Если проследить больше пар генов, появятся разные и неожиданные фенотипы из-за феномена кроссовера .

    Непрерывные вариации

    В естественных популяциях многие признаки, по-видимому, постоянно изменяются из-за полигенного наследования, которое возникает, когда несколько генов отвечают за одну характеристику или признак.Факторы окружающей среды, наряду с количеством генов, ответственных за один признак, вызывают огромных вариаций фенотипа признака в естественной популяции .

    Примеры таких черт включают цвет глаз, цвет кожи или рост. Количество пигмента больше в карих глазах и меньше в голубых, зеленых или серых глазах. Такие непрерывно меняющиеся черты обычно представлены колоколообразной диаграммой.

    Плейотропия

    Иногда единственный ген влияет на более чем один фенотип или признак человека, , который известен как плейотропия.Эти признаки могут быть не связаны, и аллели передаются так же, как и другие неплейотропные аллели.

    Это явление также является причиной множественных заболеваний у людей, таких как фенилкето мочевина и болезнь Марфана . При болезни Марфана хрусталик глаза, пальцы и сердце функционируют ненормально. Иногда он может быть причиной гибели эмбрионов, как показано в следующем примере.

    Изображение: «Квадрат Пеннета, иллюстрирующий летальный аллель желтой шерсти у мышей.»Пользователя Jcfidy. Лицензия: CC BY-SA 4.0

    .
    Доминирование

    Феномен доминирования применяется к диплоидным особям, у которых присутствуют по крайней мере два аллеля одного и того же гена . Однако доминирование не всегда бывает полным; время от времени оба аллеля проявляют себя, чтобы дать начало другому фенотипу. Внутренние факторы и факторы окружающей среды влияют на экспрессию генов.

    Совместное доминирование

    Ген может иметь более одной копии аллеля, т.е. более двух аллельных вариантов одного и того же гена.В этом случае фенотип также отличается от предсказанного с помощью менделизма. Если присутствует множественных аллелей и полностью выражены разные аллели , это называется совместным доминированием.

    Например, в случае групп крови аллели iA и iB для антигенов A и B являются доминантными над рецессивным аллелем i0; они полностью экспрессируются у гетерозиготных индивидуумов с группой крови AB.

    Ниже приводится пример совместного доминирования чалого крупного рогатого скота по окрасу шерсти.

    Изображение: «Эта диаграмма показывает совместное доминирование. В этом примере белый бык (WW) спаривается с красной коровой (RR), и их потомство демонстрирует совместное доминирование, выражающее как белые, так и рыжие волосы ». пользователя Hhughes15. Лицензия: CC BY-SA 4.0

    .
    Неполное доминирование

    Промежуточный фенотип у гетерозиготной особи известен как неполное доминирование. Это происходит, когда доминантный аллель не может полностью замаскировать эффект рецессивного аллеля .

    Пример: скрещиваются два растения львиный зев. У одного растения были красные цветы, а у другого — белые. Потомки имели розовые цветки, т.е. промежуточный фенотип. Это пример неполного доминирования.

    Избыточное доминирование

    Чрезмерное доминирование возникает, когда гетерозиготное потомство от двух гомозиготных родителей имеет фенотип, выходящий за пределы диапазона родителей.

    Например, скрещиваются два гомозиготных растения с длиной плода 10 см (SS) и 20 см (ss).Следующее поколение — это гетерозигота (Ss) с длиной плода 30 см.

    Влияние окружающей среды на фенотипы

    Иногда изменения экспрессии генов являются результатом изменения факторов окружающей среды, таких как температура и т. Д.

    Гималайские кролики

    Гималайские кролики имеют черные волосы на хвосте, ушах, носу и ногах. Однако волосы на туловище белые. Причиной этого явления является чувствительная к температуре экспрессия генов фермента тирозиназы .Гималайские кролики гомозиготны по мутантной форме фермента тирозиназы; он отвечает за выработку пигмента меланина, который придает волосам более темный цвет.

    Этот фермент работает только при температуре окружающей среды ниже 33 ° C (91,4 F). В области туловища хранится изрядное количество тепла, поэтому волосы на стволе кажутся светлыми. По той же причине сиамские кошки кажутся светлее летом и темнее зимой; у них есть такая же термочувствительная версия фермента тирозиназы.

    Эпистаз изменяет фенотипические соотношения

    Эпистаз определяется как взаимодействие генов в разных локусах . Экспрессия одного гена зависит от наличия определенного генотипа в других локусах. В некоторых случаях он также отвечает за полное подавление мутантного фенотипа.

    Например, гомозиготное родительское поколение белых цветков, где два аллеля отвечают за цвет цветков, подвергается перекрестному оплодотворению для получения пурпурных цветков в поколении F1.Дальнейшее скрещивание дает как белые, так и пурпурные цветки в поколении F2. Следовательно, эпистаз может изменить ожидаемые фенотипические соотношения . Появление пурпурного цвета в поколении F1 связано с взаимозависимостью ферментов в результате эпистатического явления.

    Современная генетика за гранью менделизма

    Менделирующая генетика заложила основу современной генетики и остается актуальной для многих признаков. Это хорошее введение в основные принципы генетики, но современная генетика отличается от менделевской генетики по следующим причинам:

    • Гипотеза Менделя о том, что один ген — один признак, не универсальна из-за многогенного наследования, когда многие гены контролируют один признак.
    • Независимый набор генов не применяется к тесно сцепленным генам, которые наследуются вместе из-за их расположения в непосредственной близости.
    • Из-за эпистаза предположение Менделя о том, что один ген не может влиять на другой, не применимо повсеместно.
    • Концепция Менделя о двух аллелях для одного гена больше не действует из-за появления концепции множественных аллелей.
    • Мендель предположил, что характеры могут быть либо доминирующими, либо рецессивными, но теперь мы знаем о концепциях неполного доминирования, кодоминирования и сверхдоминирования.

    перестановок и комбинаций — фундаментальный принцип подсчета (часть 2)

    Принцип умножения

    Привет. Теперь, когда у вас есть некоторое представление о подсчете связанных проблем и использовании умножения для ответа на них, я сформулирую принцип умножения немного формально:

    «Если набор объектов можно разделить на m различных типов, и каждого из этих типов можно разделить на n различных подтипов, то всего будет m x n различных типов объектов.”

    (Есть причина, по которой я выделил каждые и жирным шрифтом, потому что каждое , каждое имеет значение, и без них все будет иначе. Я вернусь к этому чуть позже.)

    Для нашего примера автомобилей мы могли бы разделить автомобили на 2 типа (седан и хэтчбек) и каждого из из них можно было бы разделить на 3 подтипа (модели), в результате чего 2 x 3 = 6 типов автомобилей.

    (Мы могли бы пойти другим путем и сначала разделить автомобили как модели, а затем разделить их на седаны и хэтчбеки.Ответ остался бы прежним: 3 х 2 = 6)

    Кроме того, каждые из этих 6 автомобилей можно разделить на 2 типа (красный и синий), что в сумме составляет 6 x 2 = 12 различных типов автомобилей.

    Правило умножения не ограничивается только классификацией объектов. Его также можно применять в разных контекстах. Рассмотрим эту проблему, например: если есть 3 разных рейса из A в B и 2 разных поезда из B в C, сколькими разными способами человек может добраться из A в C (используя только эти рейсы и поезда)?

    Вот вам все кейсы.

    Возможные маршруты — 1a, 1b, 2a, 2b, 3a и 3b — всего 6.

    Опять же, для каждый маршрут от A до B, есть 2 маршрута от B до C. И поскольку есть 3 маршрута от A до B, всего будет 3 x 2 разных маршрута.

    Другими словами, количество путей будет получено умножением количества маршрутов от A до B (3) на количество маршрутов от B до C (2), доступных для каждого маршрута от A до B: 3 х 2 = 6.

    Вот еще один способ сформулировать принцип умножения:

    «Если задача T может быть разделена на подзадачи T 1 и T 2 , которые могут быть выполнены m способами и n способами соответственно, и T будет завершена путем выполнения обоих T 1 и T 2 , то количество способов завершения Т будет mxn ”

    Давайте снова подумаем об этом примере.

    Две подзадачи T 1 и T 2 можно рассматривать как переход от A к B и переход от B к C соответственно, где T 1 может быть выполнен тремя способами, а T 2 может быть завершен 2 способами.

    Так как задача достижения от A до C будет завершена путем выполнения как T 1 , так и T 2 , поэтому количество способов достижения от A до C будет 3 x 2 = 6.

    Вот еще одна простая проблема.

    Какими способами вы можете добраться из A в D, учитывая возможные маршруты из A в B, из B в C и из C в D?

    Задача здесь — от A до D, которая будет завершена путем выполнения задач от A до B и от B до D .

    Здесь от B до D можно далее разделить на подзадачи от B до C (2 способа) и от C до D (3 способа), , обе из которых должны быть выполнены. Следовательно, количество способов добраться от B до D равно 2 x 3 = 6.

    И количество способов завершить от A до D будет 3 (от A до B) x 6 (от B до D) = 18 способов.

    Мы могли бы также напрямую записать это число как 3 (от A до B) x 2 (от B до C) x 3 (от C до D) = 18 способов.

    Краткое содержание урока

    Мы можем сформулировать принцип умножения следующим образом:

    ““ Если задача T может быть разделена на n подзадач T 1 , T 2 , T 3 ,….T n , который может быть выполнен в m 1 , m 2 , m 3 … m n способа соответственно, а T будет завершен путем выполнения каждых этих подзадач, затем количества способов завершение Т составит м 1 xm 2 xm 3 x ……. x м n

    На этом я остановлюсь, а в следующей части продолжу принцип сложения.

    Правило сложения для определения вероятностей

    Что такое правило сложения вероятностей?

    Правило сложения для вероятностей описывает две формулы: одна для вероятности одного из двух взаимоисключающих событий, а другая — для вероятности двух не исключающих друг друга событий.

    Первая формула — это просто сумма вероятностей двух событий. Вторая формула — это сумма вероятностей двух событий за вычетом вероятности того, что оба они произойдут.

    Ключевые выводы
    • Правило сложения для вероятностей состоит из двух правил или формул, одна из которых учитывает два взаимоисключающих события, а другая — два не исключающих друг друга события.
    • «Не исключающие друг друга» означает, что между двумя рассматриваемыми событиями существует некоторое перекрытие, и формула компенсирует это путем вычитания вероятности перекрытия P (Y и Z) из суммы вероятностей Y и Z.
    • Теоретически первая форма правила является частным случаем второй формы.

    Формулы для правил сложения вероятностей —

    Математически вероятность двух взаимоисключающих событий обозначается:

    Взаимодействие с другими людьми п ( Y или же Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z) P (Y или Z) = P (Y) + P (Z)

    Математически вероятность двух не исключающих друг друга событий обозначается следующим образом:

    Взаимодействие с другими людьми п ( Y или же Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) — п ( Y а также Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z) — P (Y \ text {и} Z) P (Y или Z) = P (Y) + P (Z) −P (Y и Z)

    Что вам говорит правило сложения вероятностей?

    Чтобы проиллюстрировать первое правило правила сложения вероятностей, рассмотрим кубик с шестью гранями и шансами на выпадение 3 или 6.Поскольку шансы выпадения 3 равны 1 из 6, а шансы выпадения 6 также 1 из 6, вероятность выпадения 3 или 6 составляет:

    1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

    Чтобы проиллюстрировать второе правило, рассмотрим класс, в котором 9 мальчиков и 11 девочек. В конце семестра 5 девочек и 4 мальчика получают оценку B. Если студент выбран случайно, каковы шансы, что он будет девочкой или четвертым? Поскольку шансы выбрать девушку составляют 11 из 20, шансы выбрать ученицу B равны 9 из 20, а шансы выбрать девушку, которая является ученицей B, составляют 5/20, шансы выбрать девушку или ученицу B находятся:

    11/20 + 9/20 — 5/20 = 15/20 = 3/4

    На самом деле два правила упрощаются до одного правила, второго.Это потому, что в первом случае вероятность двух взаимоисключающих событий равна 0. В примере с кубиком невозможно бросить одновременно 3 и 6 при одном броске одного кубика. Таким образом, эти два события исключают друг друга.

    Взаимная эксклюзивность

    Взаимоисключающие — это статистический термин, описывающий два или более событий, которые не могут совпадать.

    переместительный и сочетательный. Сумма нескольких слагаемых — «Семья и Школа»

    переместительный и сочетательный. Сумма нескольких слагаемых

    Переместительный закон сложения

    Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится. Это можно легко проверить, посчитав количество звёздочек, представленных на рисунке:

    Можно сначала посчитать зелёные звёздочки, потом жёлтые и сложить полученные результаты, получится  9  звёздочек. Или можно сначала посчитать жёлтые звёздочки, а потом зелёные, в результате сложения жёлтых и зелёных звёздочек сумма будет опять равна  9.

    Таким образом, для любых натуральных чисел  a  и  b  верно равенство:

    a + b = b + a,

    выражающее переместительный закон сложения:

    От перестановки слагаемых сумма не меняется.

    Сумма нескольких слагаемых

    При сложении нескольких слагаемых действия можно выполнять в любом порядке.

    Пример. Найти сумму трёх слагаемых:  5,  3  и  2.

    Решение: Сумму трёх слагаемых можно найти тремя способами:

    1-й способ:

    5 + 3 = 8,

    8 + 2 = 10.

    2-й способ:

    5 + 2 = 7,

    7 + 3 = 10.

    3-й способ:

    3 + 2 = 5,

    5 + 5 = 10.

    Сочетательный закон сложения

    Если при сложении чисел  5,  2  и  3  заменить какие-нибудь два числа их суммой, то результат сложения не измениться. Это можно легко проверить посчитав звёздочки на картинке:

    Можно посчитать зелёные, синие и жёлтые звёздочки отдельно, а потом сложить полученные результаты, получим  10  звёздочек. Или можно посчитать зелёные звёздочки отдельно, а синие и жёлтые вместе и после к зелёным звёздочкам прибавить сумму синих с жёлтыми, в результате получим опять  10  звёздочек.

    Из примера следует, что результат сложения не зависит от объединения слагаемых в сумму. Таким образом, для любых натуральных чисел  ab  и  c  верно равенство:

    a + b + c = a + (b + c) = b + (a + c)

    выражающее сочетательный закон сложения:

    Сумма трёх и более слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой.

    Математические Законы

    Переместительный закон сложения

    Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.

    Переместительный закон сложения

    От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:

    m + n = n + m

    Переместительный закон сложения работает для любых чисел.

    Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.

    Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.

    Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.

    При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.

    Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:

    Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:

    Чтобы сложить две дроби нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:

    Сочетательный закон сложения

    Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.

    Сочетательный закон сложения: два способа

    1. Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.
    2. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

    Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.

    Рассмотрим сумму из трех слагаемых:

    Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:

    • 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 5 + 4 = 8

    Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:

    • 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8

    В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.

    Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

    • (1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
    • 8 = 8

    Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:

    Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.

    Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.

    Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.

    Переместительный закон умножения

    С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.

    Переместительный закон умножения

    От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.

    Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:

    В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.

    Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:

    a * b = b * a

    Сочетательный закон умножения

    Рассмотрим еще один полезный закон в математике.

    Сочетательный закон умножения

    Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.

    Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.

    Рассмотрим пример:

    Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:

    • 2 * 3 = 6
    • 6 * 4 = 24
    • 2 * 3 * 4 = 24

    А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:

    • 3 * 4 = 12
    • 2 * 12 = 24
    • 2 * 3 * 4 = 24

    Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.

    • (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
    • 6 * 4 = 2 * 12
    • 24 = 24

    Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

    a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)

    Пример

    Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.

    Как решаем:

    Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:

    5 * 6 = 30

    30 * 7 = 210

    210 * 8 = 1680

    5 * 6 * 7 * 8 = 1680

    Ответ: 1680

    Распределительный закон умножения

    Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:

    Распределительный закон умножения

    • Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
    • Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

    То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:

    Сначала выполним действие в скобках:

    В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:

    Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:

    • (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
    • 3 * 2 = 6
    • 5 * 2 = 10
    • 6 + 10 = 16

    Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:

    (a + b) * c = a * c + b * c

    Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.

    Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.

    Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:

    c * (a + b) = c * a + c * b

     

    Пример 1

    Решить: 5 * (3 + 2).

    Как решаем:

    Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

    5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25

    Ответ: 25

     

    Пример 2

    Найти значение выражения 2 * (5 + 2).

    Как решаем:

    Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

    2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14

    Ответ: 4.

    Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.

     

    Пример 3

    Решить: 4 * (6 − 2).

    Как решаем:

    Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:

    4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16

    Ответ: 16

    Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:

    Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:

    Проверим справедливость этого закона:

    Посчитаем, чему равна левая часть равенства.

    Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.

    Так мы доказали справедливость распределительного закона.

    Задания для самопроверки

    Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂

    Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).

    Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).

    Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).

    Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).

    Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)

    Задание 6. Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним ((20 − 1) * 12 + 30) : 3?

    Задание 7. В смартфоне 32 гб памяти. Какое количество приложений можно установить, если одно занимает 1,2 гб?

    Задание 8. Верно ли равенство: 8 * 5 = 49?

     

    Ответы

    1. 56;
    2. 28;
    3. 100;
    4. 81;
    5. 173;
    6. Деление;
    7. 26;
    8. Неверно.

    Переместительный закон сложения. Математика, 1 класс: уроки, тесты, задания.


    1.

    Равенство по рисунку (домино)


    Сложность:
    лёгкое

    3


    2.

    Равенство по схеме


    Сложность:
    лёгкое

    4


    3.

    Пропущенное число (справа)


    Сложность:
    лёгкое

    1


    4.

    Пропущенное число (справа)


    Сложность:
    лёгкое

    1


    5.

    Значения двух сумм


    Сложность:
    среднее

    2


    6.

    Применение переместительного закона


    Сложность:
    среднее

    3


    7.

    Текстовая задача. Населённые пункты


    Сложность:
    среднее

    4


    8.

    Текстовая задача. Количество детей


    Сложность:
    среднее

    4


    9.

    Текстовая задача. Количество цветов


    Сложность:
    среднее

    4

    Переместительный закон сложения — правило и примеры решения задач

    Общие сведения


    Сложение — математическая операция, при помощи которой происходит увеличение исходного числа на определенное значение. Ее элементами являются минимум два слагаемых и результат. Последний называется суммой. Всего существуют два закона сложения. К ним относятся следующие:

    1. Коммутативный.
    2. Ассоциативный.


    Первый еще называется переместительным, а второй — сочетательным. Многие школьники путают правила сложения и умножения. Следует отметить, что для последнего предусмотрены три закона, т. е. распределительный, сочетательный и переместительный. У деления и умножения правила похожи, а вот для вычитания, как и для сложения, предусмотрено также два свойства.


    Чтобы не путать термины, необходимо рассмотреть каждое арифметическое действие по группам.

    Сложение и вычитание


    Сложение и вычитание являются взаимосвязанными математическими операциями. Для примера необходимо разобрать числовое выражение «10+20+30+40=100». Оно состоит из пяти элементов: четырех слагаемых и одного результата. Это математическое выражение можно записать в обратном виде 100−40−30−20=10. Данное тождество называется вычитанием.


    Иными словами, вычитание — математическая операция уменьшения заданного числа (уменьшаемого) на определенное число (вычитаемое), результатом которой является разность. Для сложения и вычитания применимо всего два закона: переместительный и сочетательный. Они используются для оптимизации вычислений.


    Следует отметить, что методика ускорения расчетов используется также в программировании и информатике. Кроме того, эти правила применяются и в высшей математике. Например, для сложения или вычитания векторов, а также для работы с числовыми множествами.

    Переместительное правило


    Переместительный закон сложения гласит: от перемены мест слагаемых значение суммы не изменится. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться числовым выражением 12+32+16+40=100. Если поменять местами элементы (слагаемые) в левой части, то должна также получиться сотня, т. е. 32+12+40+16=100. Утверждение доказано. Математическая запись или формула закона выглядит таким образом: R+T+S=T+S+R=S+T+R=M.


    Специалисты рекомендуют самостоятельно придумать числовое выражение и доказать истину формулировки переместительного свойства. Для вычитания также существует переместительный закон, который может быть сформулирован следующим образом: если поменять местами вычитаемое, то разность останется прежней.


    Для доказательства правила можно использовать такой же видоизмененный пример, что и для суммы «100−40−16−32=12». В нем вычитаемое эквивалентно группе элементов 40, 16 и 32. Если эти числа поменять местами, то результат не изменится, т. е. 100−32−40−16=12. Правило доказано. Для вычитания переместительный закон записывается в таком виде: М-R-T=S, М-R-S=T и М-T-S=R. Далее необходимо рассмотреть сочетательные правила.

    Сочетательный закон


    Сочетательное правило сложения и вычитания похожи. Их суть заключается в перегруппировке элементов. Следует отметить, что последняя не влияет на результат. Она необходима для упрощения вычислений. Сочетательный закон сложения формулируется таким образом: значение суммы не зависит от группировок слагаемых.


    Например, 4+11+6+9=30. Для удобства можно записать пример в таком виде: (4+6)+(11+9)=30. Результат не изменился. Кроме того, производить вычисления стало проще. В виде формулы закон можно записать в таком виде: М+R+T=М+(R+T)=(М+T)+R=S.


    Для вычитания формулировка правила звучит следующим образом: разность не изменится, если перегруппировать вычитаемые компоненты, т. е. 30−6−11−4=30-(6+4)-4=9. Формула закона имеет вид: М-R-T-P= М-R-(T+P)= N. Следует отметить, что числа можно группировать в произвольном порядке. Главное — придерживаться принципа вынесения знака за скобку (касается только вычитания).


    Некоторые ученики часто приписывают к арифметическим операциям сложения и вычитания распределительное свойство. Это большая ошибка, поскольку для суммы и разности его не существует вообще. Далее необходимо рассмотреть операции, в которых оно применяется.

    Произведение и деление


    Для умножения и деления применимы те же правила, что и для сложения и вычитания, но к ним добавляется еще и третье — распределительное свойство. В итоге список законов имеет такой вид:

    1. Переместительный.
    2. Сочетательный.
    3. Распределительный.


    Следует отметить, что формулировки для переместительного закона сложения и умножения практически идентичны. Для последней математической операции он звучит таким образом: произведение не изменится, когда будет выполнено перемещения одного сомножителя на место другого. Например, 2*3*4=2*4*3=24.


    В математической форме правило записывается в виде соотношения «RST=SRT=TRS=O». Для деления также используется возможность перемещения делителей, т. е. O: S: T=R или O: Т: S=R. На примере реализация правила выглядит таким образом: 60:2:15=2 или 60:15:2=2.


    Для умножения сочетательный закон формулируется в таком виде: значение произведения не изменится при группировке в любом порядке сомножителей, т. е. S*T*R=S*R*T=R*T*S=N. Для деления у него немного другой вид: делители могут группироваться в любом порядке, и это не повлияет на частное. Математическая форма записи выглядит следующим образом: N: T: R: M=N:T:(R:M)=O.


    Распределительное свойство для умножения и деления формулируется практически одинаково: произведение (деление) суммы или разности двух элементов на число эквивалентно умножению (делению) каждого элемента суммы или разности на искомый элемент. Законы имеют такие формы записи:

    1. Умножение: (S+T)*M=SM+TM или (S-T)*M=SM-TM.
    2. Деления: (S+T)/M=S/M+T/M или (S-T)/M=S/M-T/M.


    Если обратить внимание на формулы, то для сложения запись невозможна, поскольку это уже будет сочетательный закон. Например, в первом пункте необходимо заменить знак «*» на сложение. Соотношение будет иметь следующий вид: (S+T)+M — сочетательное свойство операции сложения. Далее необходимо разобрать пример на применение всех законов.

    Пример задачи


    Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют разобрать пример, в котором можно будет применить все законы арифметических операций. Числовое выражение задачи имеет такой вид: 5+6+5+4+20+(25+100)/5+(11+4)*4. Необходимо вычислить результат оптимальным методом. Решать задание нужно по такому алгоритму:

    1. Переместительный: 5+5+4+6+20+(25+100)/5+(11+4)*4.
    2. Сочетательный: (5+5+20)+(4+6)+(25+100)/5+(11+4)*4.
    3. Распределительный: (5+5+20)+(4+6)+25/5+100/5+11*4+4*4.
    4. Математические преобразования: 40+5+20+44+16
    5. Переместительный: 40+20+44+16+5.
    6. Сочетательный: (40+20)+(44+16)+5.
    7. Вычисление и результат: 125.


    Следует отметить, что к числовому выражению свойства арифметических операций можно применять многократно. Специалисты рекомендуют использовать алгоритм такого вида для оптимизации вычислений.


    Таким образом, законы математических операций применяются для оптимизации вычислений для нахождения результатов.

    Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)

    Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Детский сад — 7 класс.  / / Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)

    Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы.

    (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный=ассоциативный закон сложения)
    ab=ba (переместительный=коммутативный закон умножения)
    (ab)c=a(bc)  (сочетательный=ассоциативный закон умножения)
    a(b+c)=ab+ac (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно сложения)
    c(a-b)=ca–cb (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно вычитания)

    Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.

    TehTab.ru

    Реклама, сотрудничество: [email protected]

    Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

    Законы сложения целых чисел. — tutomath репетитор по математике

    Законы сложения целых чисел нужны для того, чтобы упростить сложения чисел. Ведь, прибавить все подряд числа не всегда легко, иногда лучше их сгруппировать. Для этого и нужны законы сложения целых чисел.

    Переместительный закон сложения.

    Правило и формула переместительного закона сложения.

    Сложение двух целых чисел не зависит от их порядка.
    a+b=b+a

    Пример:
    Если мы сложим 3+5=8 или 5+3=8 результат сложения не измениться.
    Если мы сложим (-3)+7=4 или 7+(-3)=4 результат сложения не измениться.

    Сочетательный закон сложения.

    Правило и формула сочетательного закона сложения.

    К сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, и результат не измениться.
    (a+b)+c=a+(b+c)

    Рассмотрим пример:
    (3+5)+9=8+9=17
    3+(5+9)=3+14=17
    От сочетания слагаемых сумма не поменялась.

    Делаем вывод на основе переместительного и сочетательного законов:

    1. Можно слагаемые менять местами.
    2. Записывать пример со слагаемыми без скобок. Скобки в сложении нужны для удобства восприятия примера.
    3. Записывать пример со слагаемыми со скобками, для более простого вычисления суммы.

    Доказательство:
    a+b+c+d=(a+b+c)+d=d+(a+b+c)= d+((a+b)+c)= d+(c+(a+b))=(d+c)+(a+b)=(c+d)+(a+b)

    a+b+c+d=(c+d)+(a+b)

    6+8+(-6)+(-8)=(6+(-6))+(8+(-8))=0+0=0

    Вопросы по теме:
    Какие законы сложения вы знаете?
    Ответ: переместительный и сочетательный закон.

    Можно ли менять местами слагаемые?
    Ответ: да по переместительному закону.

    Обязательно ли при сложении числа заключать в скобки?
    Ответ: нет.

    Пример №1:
    Вычислите, применяя законы сложения: а) 12+479+88 б) 3+154+16

    Решение:
    а) 12+479+88=(12+88)+479=100+479=579
    б) 3+154+16=3+(154+16)=3+170=173

    Пример №2:
    Примените переместительный закон сложения: а) 4+5 б) 1298+34

    Решение:
    а) 4+5=5+4=9
    б) 1298+34=34+1298=1332

    Пример №3:
    Примените сочетательный закон сложения: а) 2+(-4+5) б) (-1+3)+(-8)
    Решение:
    а) 2+(-4+5)=(2+(-4))+5=(-2)+5=3
    б) (-1+3)+(-8)=-1+(3+(-8))=-1+(-5)=-6

    Пример №4:
    Вычислите, применяя законы сложения: а) 23+((-23)+50) б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2
    Решение:
    а) 23+((-23)+50)=(23+(-23))+50=0+50=50
    б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2=(-2+2)+(-4+4)+(-8+8)=0

    Сложение. Свойства переместительного и сочетательного законов.

    Сложение натуральных чисел.

    Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 4+3=7. Это выражение означает, что к четырем единицам добавили три единицы и в итоге получили семь единиц.
    Числа 3 и 4, которые мы сложили называется слагаемыми. А результат сложение число 7 называется суммой.

    Сумма — это сложение чисел. Знак  плюс “+”.
    В буквенном виде этот пример будет выглядеть так:

    a+b=c

    Компоненты сложения:
    a — слагаемое, b — слагаемые, c – сумма.
    Если мы к 3 единицам добавим 4 единицы, то в результате сложения получим тот же результат он будет равен 7.

    Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые ответ остается неизменным:

    4+3=3+4

    Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения.

    Переместительный закон сложения.

    От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

    В буквенной записи переместительный закон выглядит так:

    a+b=b+a

    Если мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 4. И выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом выполним сложение к получившейся сумме 4, то получим выражение:

    (1+2)+4=7

    Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+4, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так:

    1+(2+4)=7

    Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод:

    (1+2)+4=1+(2+4)

    Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения.

    Переместительный и сочетательный закон сложения работает для всех неотрицательных чисел.

    Сочетательный закон сложения.

    Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

    (a+b)+c=a+(b+c)

    Сочетательный закон работает для любого количества слагаемых.  Этот закон мы используем, когда нам нужно сложить числа в удобном нам порядке. Например, сложим три числа 12, 6, 8 и 4. Удобнее будет сначала сложить 12 и 8, а потом прибавить к полученной сумме сумму двух чисел 6 и 4.
    (12+8)+(6+4)=30

    Свойство сложения с нулем.

    При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.

    3+0=3
    0+3=3
    3+0=0+3

    В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:

    a+0=a
    0+a=a

    Вопросы по теме сложение натуральных чисел:
    Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
    Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:

    Второй вариант таблицы сложения.

    Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.

    В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
    Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.

    В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
    Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.

    Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
    Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.

    Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
    Ответ: от трех слагаемых и больше.

    Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
    Ответ: a+b=b+a

    Примеры на задачи.
    Пример №1:
    Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
    Ответ: а) 22 б) 22

    Пример №2:
    Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
    1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
    Ответ: 20.

    Пример №3:
    Решите выражение:
    а) 5921+0  б) 0+5921
    Решение:
    а) 5921+0 =5921
    б) 0+5921=5921

    Калькулятор закона Вина

    С помощью этого калькулятора закона Вина можно легко оценить температуру объекта , основываясь на максимальной длине волны или частоте его спектра теплового излучения. Прочтите о законе смещения Вина, изучите формулу закона Вина и самостоятельно оцените температуру поверхности Солнца, лавы или любого горячего тела!

    Закон смещения Вина

    Закон смещения Вина описывает одно из соотношений между спектром излучения черного тела и его температурой .В нем говорится, что чем выше температура, тем меньше длина волны λ max , для которой кривая излучения достигает своего максимума.
    Сдвиг в сторону более коротких волн соответствует фотонам более высоких энергий. Другими словами, λ max (максимальная длина волны) обратно пропорциональна температуре .

    Закон Стефана-Больцмана учитывает полную мощность, излучаемую телом при любой температуре, и вместе с законом Вина они происходят из распределения Планка .

    Формула закона Вена

    Уравнение, описывающее закон Вина, очень простое:

    λ макс = б / т ,

    где:

    • λ max — вышеупомянутая пиковая длина волны света
    • T — абсолютная температура черного тела
    • b = 2,8977719 мм * K — постоянная смещения Вина

    Хотя соотношение между длиной волны и частотой электромагнитных волн довольно простое ( λ * f = c ), мы не можем вычислить пиковую частоту f max по этой аналогии.Причина в том, что спектральная яркость является своего рода функцией плотности энергии, поэтому ее форма и максимум зависят от аргумента (в нашем случае от длины волны или частоты). Зная, что формула для пиковой частоты:

    f макс = k * T ,

    , где k = 5,8789232 * 10¹⁰ Гц / K — числовая константа.

    Формула закона Вина не может быть получена из классической физики. Среди экспериментов есть многочисленные наблюдения, подтверждающие этот закон (например,ж., фотоэлектрический эффект), которые способствуют созданию квантовой механики.

    Как оценить температуру поверхности Солнца? — пример использования

    Вы знаете, как ученые могут определить температуру далеких объектов? Обычно они проводят спектроскопическое наблюдение, подгоняют функцию Планка к измерению и получают параметр, которым является температура.

    Однако мы также можем получить хорошую оценку, применив к результатам закон смещения Вина.Попробуем вычислить температуру поверхности Солнца:

    1. Найдите максимальную длину волны солнечного спектра. Это примерно λ max = 501,7 нм (или 5,017 * 10⁻⁷ м в научном представлении).
    2. Преобразуйте формулу закона Вина, чтобы получить температуру: T = b / λ max = 2,8977719 мм * K / 501,7 нм = 5776 K .

    Хотя черное тело — это всего лишь идеализированная модель, закон Вина универсален и может быть очень точным приближением для реальных объектов.Вы также можете определить температуру любого тела, например горячего металла или лавы, в зависимости от цвета излучаемого света — воспользуйтесь калькулятором закона Вина и выясните, удивит вас результат или нет!

    шасси. 6 Ключевые уравнения — University Physics Volume 3

    Закон смещения Вина λmaxT = 2,898 × ​​10−3м⋅KλmaxT = 2,898 × ​​10−3m⋅K
    Закон Стефана P (T) = σAT4P (T) = σAT4
    Постоянная Планка ч = 6.626 × 10–34Дж⋅с = 4,136 × 10–15 эВ⋅ш = 6,626 × 10–34Джс = 4,136 × 10–15 эВ⋅с
    Квант энергии излучения ΔE = hfΔE = hf
    Закон излучения черного тела Планка I (λ, T) = 2πhc2λ51ehc / λkBT − 1I (λ, T) = 2πhc2λ51ehc / λkBT − 1
    Максимальная кинетическая энергия
    фотоэлектрона
    Kmax = eΔVsKmax = eΔVs
    Энергия фотона Ef = hfEf = hf
    Энергетический баланс фотоэлектрона Kmax = hf − ϕKmax = hf − ϕ
    Частота среза fc = ϕhfc = ϕh
    Релятивистский инвариант
    уравнение энергии
    E2 = p2c2 + m02c4E2 = p2c2 + m02c4
    Зависимость энергии от импульса
    для фотона
    pf = Efcpf = Efc
    Энергия фотона Ef = hf = hcλEf = hf = hcλ
    Величина импульса фотона pf = hλpf = hλ
    Линейный вектор импульса фотона p → f = ℏk → p → f = ℏk →
    Комптоновская длина волны
    электрона
    λc = hm0c = 0.00243нм λc = hm0c = 0,00243нм
    Комптоновский сдвиг Δλ = λc (1 − cosθ) Δλ = λc (1 − cosθ)
    Формула Бальмера 1λ = RH (122−1n2) 1λ = RH (122−1n2)
    Формула Ридберга 1λ = RH (1nf2−1ni2), ni = nf + 1, nf + 2,… 1λ = RH (1nf2−1ni2), ni = nf + 1, nf + 2,…
    Первое условие квантования Бора Ln = nℏ, n = 1,2,… Ln = nℏ, n = 1,2,…
    Второе условие квантования Бора hf = | En-Em | hf = | En-Em |
    Радиус водорода Бора a0 = 4πε0ℏ2mee2 = 0.529Åa0 = 4πε0ℏ2mee2 = 0,529Å
    Радиус Бора n -й орбиты rn = a0n2rn = a0n2
    Значение энергии в основном состоянии,
    предел ионизации
    E0 = 18ε02mee4h4 = 13.6eVE0 = 18ε02mee4h4 = 13.6eV
    Энергия электрона на
    n -й орбите
    En = -E01n2En = -E01n2
    Энергия основного состояния
    водорода
    E1 = −E0 = −13,6 эВE1 = −E0 = −13,6 эВ
    n -я орбита
    водородоподобного иона
    rn = a0Zn2rn = a0Zn2
    n энергия
    водородоподобного иона
    En = −Z2E01n2En = −Z2E01n2
    Энергия материальной волны E = hfE = hf
    Длина волны де Бройля λ = hpλ = hp
    Соотношение частота-длина волны
    для волн материи
    λf = cβλf = cβ
    Принцип неопределенности Гейзенберга ΔxΔp≥12ℏΔxΔp≥12ℏ

    Сложение векторов

    С векторами и над векторами можно выполнять множество математических операций.Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результат). Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что результирующая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект. То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы.Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:

    Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить результирующую силу (т. Е. Векторную сумму всех отдельных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.

    В этом модуле задача суммирования векторов будет расширена на более сложные случаи, в которых векторы направлены в направлениях, отличных от чисто вертикального и горизонтального направлений.Например, вектор, направленный вверх и вправо, будет добавлен к вектору, направленному вверх и влево. Векторная сумма будет определена для более сложных случаев, показанных на диаграммах ниже.

    Существует множество методов для определения величины и направления результата сложения двух или более векторов. В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:

    Теорема Пифагора

    Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу.Этот метод неприменим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу. Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.

    Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрим следующую задачу:

    Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток.Определите результирующее смещение Эрика.

    В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу. Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).

    Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.

    Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

    Использование тригонометрии для определения направления вектора

    Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Функция синуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.

    Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ​​ниже.

    После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните, как говорилось ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор совершает относительно востока.)

    Расчетный угол не всегда соответствует направлению

    Мера угла, определяемая с помощью SOH CAH TOA, составляет , а не всегда в направлении вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.

    Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

    В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается сложением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу.Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.

    Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результата

    Величину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова к хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторных прогулок . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с домашней базы , эти 18 векторов смещения могут быть суммированы вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».

    Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова к хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены по направлению «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. Как только результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.

    Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.

    1. Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
    2. Укажите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
    3. Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
    4. Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
    5. Нарисуйте результат от хвоста первого вектора к голове последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
    6. Используя линейку, измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
    7. Измерьте направление результирующей, используя условные обозначения против часовой стрелки, о которых говорилось ранее в этом уроке.

    Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:

    20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град.

    МАСШТАБ: 1 см = 5 м

    Метод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.

    МАСШТАБ: 1 см = 5 м

    Интересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.

    15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град.

    МАСШТАБ: 1 см = 5 м

    При сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.

    МАСШТАБ: 1 см = 5 м

    Дополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.

    Мы хотели бы предложить …

    Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» на нашем веб-сайте и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.

    Закон Вены о перемещении | Постановление и уравнение

    Закон смещения Вина (названный в честь немецкого физика) описывает смещение этого пика с точки зрения температуры.

    Закон смещения Вина и тот факт, что частота обратно пропорциональна длине волны, также указывает на то, что пиковая частота f max ( цвет объекта ) пропорциональна абсолютной температуре T черного тела.

    Согласно закону смещения Вина , спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает пика на длине волны λ max , определяемой по формуле:

    , где T — абсолютная температура в Кельвинах, b — a константа пропорциональности, известная как константа смещения Вина , равна 2,8978 × 10 −3 км .

    Как видно из рисунка, кривая излучения абсолютно черного тела для различных температур имеет максимум на длине волны, обратно пропорциональной температуре. Закон Вена (названный в честь немецкого физика) описывает смещение этого пика с точки зрения температуры. Закон смещения Вина и тот факт, что частота обратно пропорциональна длине волны, также указывает на то, что пиковая частота f max ( цвет объекта ) пропорциональна абсолютной температуре T черного тела. Таким образом, при повышении температуры цвет свечения меняется с красного на желтый, с белого на синий.

    Согласно закону смещения Вина , спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает пика на длине волны λ max определяется по формуле:

    , где T — абсолютная температура в Кельвинах, b — a Константа пропорциональности, известная как Константа смещения Вина , равна 2.8978 × 10 −3 км . Следует отметить, что даже при раскаленной добела температуре 2000 К около 99% лучистой энергии все еще излучается в инфракрасном (невидимом) спектре.

    Хотя смещение этого пика является прямым следствием закона Планка , он был открыт Вильгельмом Вином за несколько лет до того, как Макс Планк разработал это более общее уравнение.

    Излучение черного тела

    Известно, что количество энергии излучения, испускаемого поверхностью на данной длине волны, зависит от материала тела и состояния его поверхности , а также температуры поверхности .Следовательно, различные материалы излучают разное количество лучистой энергии, даже если они имеют одинаковую температуру. Тело , которое излучает максимальное количество тепла для своей абсолютной температуры, называется черным телом .

    Черное тело — это идеализированное физическое тело, обладающее определенными свойствами. По определению, черное тело в тепловом равновесии имеет коэффициент излучения , равный ε = 1,0 . Реальные объекты не излучают столько тепла, как идеальное черное тело.Они излучают меньше тепла, чем черное тело, и поэтому называются серыми телами.

    Поверхность черного тела излучает тепловое излучение примерно 448 Вт на квадратный метр при комнатной температуре (25 ° C, 298,15 K). Реальные объекты с коэффициентом излучения менее 1,0 (например, медная проволока) излучают с соответственно более низкой интенсивностью (например, 448 x 0,03 = 13,4 Вт / м 2 ). Коэффициент излучения играет важную роль в решении проблем теплопередачи. Например, солнечные коллекторы тепла включают отдельные поверхности с очень низким коэффициентом излучения.Эти коллекторы тратят очень мало солнечной энергии из-за теплового излучения.

    Поскольку коэффициент поглощения и коэффициент излучения связаны между собой Законом Кирхгофа теплового излучения, черное тело также является идеальным поглотителем электромагнитного излучения.

    Закон теплового излучения Кирхгофа :

    Для произвольного тела, излучающего и поглощающего тепловое излучение в термодинамическом равновесии, коэффициент излучения равен коэффициенту поглощения.

    коэффициент излучения ε = поглощающая способность α

    Черное тело поглощает все падающее электромагнитное излучение, независимо от частоты или угла падения. Его поглощающая способность , таким образом, равна единице, что также является максимально возможным значением. Таким образом, черное тело является идеальным поглотителем (и идеальным излучателем ).

    Обратите внимание, что видимое излучение занимает очень узкую полосу спектра от 0.4–0,76 нм, мы не можем судить о черноте поверхности на основе визуальных наблюдений. Например, рассмотрим белую бумагу, которая отражает видимый свет и поэтому кажется белой. С другой стороны, он практически черный для инфракрасного излучения (коэффициент поглощения α = 0,94 ), поскольку они сильно поглощают длинноволновое излучение.

    Ссылки:

    Теплопередача:

    1. Основы тепломассообмена, 7-е издание. Теодор Л. Бергман, Эдриенн С.Лавин, Фрэнк П. Инкропера. John Wiley & Sons, Incorporated, 2011. ISBN: 9781118137253.
    2. Тепло- и массообмен. Юнус А. Ценгель. McGraw-Hill Education, 2011. ISBN: 9780071077866.
    3. Министерство энергетики США, термодинамики, теплопередачи и потока жидкости. Справочник Министерства энергетики США, том 2 от 3 мая 2016 г.

    Ядерная и реакторная физика:

    1. Дж. Р. Ламарш, Введение в теорию ядерных реакторов, 2-е изд., Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс (1983).
    2. Дж. Р. Ламарш, А. Дж. Баратта, Введение в ядерную инженерию, 3-е изд., Прентис-Холл, 2001, ISBN: 0-201-82498-1.
    3. У. М. Стейси, Физика ядерных реакторов, John Wiley & Sons, 2001, ISBN: 0-471-39127-1.
    4. Гласстон, Сесонске. Nuclear Reactor Engineering: Reactor Systems Engineering, Springer; 4-е издание, 1994 г., ISBN: 978-0412985317
    5. W.S.C. Уильямс. Ядерная физика и физика элементарных частиц. Clarendon Press; 1 издание, 1991 г., ISBN: 978-0198520467
    6. G.Р.Кипин. Физика ядерной кинетики. Аддисон-Уэсли Паб. Co; 1-е издание, 1965 г.
    7. Роберт Рид Берн, Введение в работу ядерных реакторов, 1988 г.
    8. Министерство энергетики, ядерной физики и теории реакторов США. Справочник по основам DOE, том 1 и 2. Январь 1993 г.
    9. Пол Ройсс, Нейтронная физика. EDP ​​Sciences, 2008. ISBN: 978-2759800414.

    Advanced Reactor Physics:

    1. K. O. Ott, W. A. ​​Bezella, Введение в статику ядерных реакторов, Американское ядерное общество, пересмотренное издание (1989), 1989, ISBN: 0-894-48033-2.
    2. К. О. Отт, Р. Дж. Нойхольд, Введение в динамику ядерных реакторов, Американское ядерное общество, 1985, ISBN: 0-894-48029-4.
    3. Д. Л. Хетрик, Динамика ядерных реакторов, Американское ядерное общество, 1993, ISBN: 0-894-48453-2.
    4. Э. Льюис, В. Ф. Миллер, Вычислительные методы переноса нейтронов, Американское ядерное общество, 1993, ISBN: 0-894-48452-4.

    Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


    Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

    Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

    • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
    • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
    • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
    • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
      браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
    • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

    Почему этому сайту требуются файлы cookie?

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie
    потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


    Что сохраняется в файле cookie?

    Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

    Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт
    не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к
    остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

    Сложение и вычитание векторов: графические методы

    Используйте графическую технику для добавления векторов, чтобы найти полное смещение человека, который идет следующими тремя путями (смещениями) на плоском поле.Сначала она проходит 25,0 м в направлении 49,0º к северу от востока. Затем она проходит 23,0 м в направлении 15,0º к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.

    Стратегия

    Изобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый A , второй B и третий C , сделав длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад.Описанный выше метод «голова к хвосту» дает возможность определить величину и направление результирующего смещения, обозначенное R .

    Решение

    (1) Нарисуйте три вектора смещения.

    (2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя их начальную величину и направление.

    (3) Нарисуйте результирующий вектор, R .

    (4) Используйте линейку, чтобы измерить звездную величину R , и транспортир, чтобы измерить направление R .Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ — измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью. Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх дном и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором.

    Рисунок 11

    В этом случае видно, что полное смещение R имеет величину 50,0 м и лежит в направлении 7.0º к югу от востока. Используя его величину и направление, этот вектор можно выразить как R = 50,0 м и θ = 7,0 ° к югу от востока.

    Обсуждение

    Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 12, и мы все равно получим то же самое решение.

    Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же. Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов. Сложение вектора — , коммутативное . Векторы можно добавлять в любом порядке.

    A + B = B + A.

    (Это верно и для сложения обычных чисел — например, вы получите тот же результат, прибавляете ли вы 2 + 3 или 3 + 2 ).

    Получение закона смещения Вина из закона Планка

    Закон смещения Вина утверждает, что кривая излучения черного тела для различных температур достигает пика на длине волны, обратно пропорциональной температуре. {\ frac {h \ nu} {k_B T}} — 1 \ right)} \ label {Planck2} \]

    Нам нужно вычислить производную уравнения \ ref {Planck2} по отношению к \ (\ nu \) и установить ее равной нулю, чтобы найти максимальную длину волны.{10} Гц / К) \, T \ end {align} \]

    В результате форма функции излучения абсолютно черного тела будет пропорционально изменяться по частоте с температурой. Когда Макс Планк позже сформулировал правильную функцию излучения черного тела, она не включала в явном виде постоянную Вина. Скорее, постоянная Планка h была создана и введена в его новую формулу. Из постоянной Планка h и постоянной Больцмана k можно получить постоянную Вина (уравнение \ ref {eq20}).

    Авторы и авторство

    .

    Законы сложения векторов. Процедура, условия и пример

    Векторы относятся к объектам, которые могут иметь как направление, так и величину. Если найдутся два любых вектора, имеющих одинаковую величину и направление, то эти два вектора считаются одинаковыми. Это геометрические объекты, представленные линией и стрелкой. Эта стрелка указывает направление вектора, тогда как длина линии представляет величину вектора. Следовательно, эти стрелки имеют начальную точку и конечную точку.Векторы представляют физические величины, такие как скорость, смещение и ускорение.

    Давайте рассмотрим закон сложения векторов pdf.

    Вектор имеет величину (то есть размер) и направление. Длина линии или стрелки, приведенной выше, показывает ее величину, а наконечник указывает направление. Теперь мы можем добавить два вектора, просто соединив их «голова к хвосту». Для лучшего понимания обратитесь к приведенной ниже диаграмме. Кроме того, не имеет значения, в каком порядке складываются два вектора, мы все равно получим один и тот же результат.

    (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

    Обозначение

    • Вектор часто может быть написан жирным шрифтом, как a или b.

    • Вектор также можно записать в виде букв хвоста и головы со стрелкой над ними, как показано справа.

    В этой статье мы обсудим сложение векторов, закон сложения векторов треугольника, закон сложения векторов параллелограмма и закон сложения векторов pdf.

    Что такое сложение двух векторов?

    В общих чертах говорится, что вы можете сложить два вектора, и в результате получится вектор.Например, рассмотрим 

    V=R2={(a,b)|a,b∈R} 

    Тогда для вектора (v1)=(x1 , y1), (v2)=(x2 , y2) имеем , 

    v1+v2=(x1 + x2 , y1 + y2)

    Каковы свойства сложения векторов?

    Добавление векторов удовлетворяет двум важным свойствам.

    1. Коммутативный закон гласит, что порядок сложения не имеет значения, то есть: А+В равно В+А.

    2 Ассоциативный закон гласит, что сумма трех векторов не зависит от того, какая пара векторов добавлена ​​первой, то есть (A+B)+C=A+(B+C).

    Треугольный закон сложения векторов

    Давайте обсудим треугольный закон сложения векторов в законе сложения векторов pdf. Предположим, у нас есть два вектора, а именно A и B, как показано.

    (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

    Теперь метод сложения этих двух векторов очень прост. Нам нужно просто поместить голову одного вектора над хвостом другого вектора, как показано на рисунке ниже.

    (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

    Теперь, после этого, нам нужно соединить другие конечные точки обоих векторов, как показано ниже,

    (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

    Результирующая заданных векторов (A и B) задается вектором C, который представляет собой сумму векторов A и B, то есть C = A+B

    Из закона сложения векторов pdf сложение векторов коммутативно по своей природе, т.е.е.

    Если С=А+В; тогда мы можем написать C = B+A

    Аналогично, если нам нужно вычесть оба вектора, используя закон треугольника, мы просто меняем направление любого вектора, а затем добавляем его к другому, как показано ниже.

    (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

    Теперь мы можем математически представить это как C = AB (поскольку они в противоположных направлениях). Это закон треугольника сложения векторов.

    Закон сложения векторов в виде параллелограмма

    Математический закон сложения векторов, называемый законом сложения векторов в виде параллелограмма, обычно утверждает, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов длины двух диагоналей параллелограмма.В евклидовой геометрии необходимо, чтобы параллелограмм имел равные противоположные стороны.

    (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

    Если ABCD — параллелограмм, то AB равен DC, а AD равен BC. Тогда в соответствии с определением закона параллелограмма это формулируется как

    2(AB)2 + 2 (BC)2 = (AC)2 + (BD)2

    . закон можно сформулировать так:

    2(AB)2 + 2 (BC)2= (AC)2

    Это потому, что в прямоугольнике две диагонали имеют одинаковую длину.т. е. (AC=BD)

    Закон сложения векторов в виде параллелограмма Процедура

    Шаги для закона сложения векторов в виде параллелограмма приведены ниже:

    Шаг 1) Нарисуйте вектор в подходящем масштабе в направлении вектор.

    Шаг 2) На этом шаге вам нужно нарисовать второй вектор в том же масштабе из хвоста первого заданного вектора.

    Шаг 3) Теперь вам нужно рассматривать эти векторы как смежные стороны, а затем завершить параллелограмм.

    Шаг 4) Теперь образованная диагональ в основном представляет результирующий вектор как по величине, так и по направлению.

    Каковы основные условия сложения векторов?

    Существенным условием для сложения двух векторов является то, что они должны иметь одинаковые размеры и одинаковые единицы измерения. Например, можно добавить вектор силы к другому вектору силы, когда они выражены в одних и тех же единицах, но нельзя добавить силу и скорость, так как они имеют разные размерности.

    Например: Если у нас есть скорости 30 м/с и 50 м/с в заданных направлениях, мы можем легко сложить их, но мы не можем напрямую сложить скорости, скажем, 3 км/с и 500 м/с, если только обе скорости не будут преобразованы в одни и те же единицы.

    Если два вектора принадлежат одному и тому же векторному пространству, они имеют одинаковую размерность, но также можно добавить два вектора с разными размерностями. Например, у нас есть вектор A=3i+4j и вектор B=8i+5j+9k, тогда мы также можем найти сумму, хотя они имеют разные размерности.Здесь мы должны рассмотреть A=3i+4j+0k. Сумма векторов A+B = 11i+9j+9k. Проще говоря, мы можем сказать, что два вектора можно сложить тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую единицу измерения.

    Где мы можем использовать концепцию сложения векторов?

    Существует множество областей, в которых может использоваться концепция сложения векторов, таких как различные области техники, такие как силы, магнитные поля, электрические поля, импульс, положение, траектории, угловой момент, поляризация, намагниченность, кинетическая плотность, крутящий момент, и скорости.Так как законы сложения векторов являются фундаментальными математическими законами, то они справедливы и приняты для всех векторов, в том числе и для векторных величин из областей физики, используемых в технике.

    Решенные вопросы

    1) Даны векторы A = 2i + 6j — 3k и B = 3i — 3j + 2k. Найдите А+В.

    Ответ. Сложим данные векторы,

     A = 2i + 6j — 3k + B = 3i — 3j + 2k

    = (2+3)i + (6-3)j + (-3+2)k

    Следовательно , A+B = 5i+ 3j-1k

    2) Предсказать сложение векторов PQ и QR, если PQ = (3, 2) и QR = (2, 6).

    Ответ. Согласно вопросу, PQ + QR = (3, 4) + (2, 6), что будет равно (3 + 2, 4 + 6). Следовательно, значение PQ + QR будет (5, 10).

    3) Вычислить a + 2b — 3c, если векторы положения a, b и c заданы как A (3, 4), B (5, -6) и C (4, -1)?

    Ответ. Поскольку A, B и C являются векторами положения точек A (3, 4), B (5, -6) и C (4, -1), поэтому соответствующие векторы будут равны

    a = 3i + 4j

    b = 5i — 6j

    c = 4i — j

    Теперь подставьте эти значения a, b и c в a + 2b — 3c, чтобы вычислить его значение.При расчете это значение выйдет как i — 5j.

    4) Вершины A, B и C треугольника ABC имеют векторы положения как a, b и c. Найдите значения векторов AB + BC + CA.

    Ответ. Согласно вопросу, a, b и c представляют собой векторы положения вершин A, B и C, поэтому в этом случае

    Вектор AB = b — a

    Вектор BC = c — b

    Вектор CA = a — c

    Теперь, чтобы вычислить значение AB + BC + CA, подставьте вышеуказанные значения в данную формулу.При расчете значение AB + BC + CA будет равно 0.

    Вопросы для самооценки и практики

    Вот несколько вопросов, которые даны вам для практики и оценки вашего изучения концепций соответственно.

    1) Чему будет равна сумма перемещений 15 км и 25 км, если между ними образуется угол 60 градусов?

    2) Вычислите величину вектора, полученного из двух векторов, заданных как (2, 3) и (2, -2). Также найдите угол между двумя векторами.

    3) Если сторона BC треугольника ABC имеет середину D такую, что сумма векторов AB + AC равна вектору AD, то вычислите значение a.

    4) Докажите, что сумма трех векторов, определенных с помощью медианы треугольника и направленных из вершин, равна нулю.

    Коммутативный закон – обзор

    1.

    Покажите, что ни одна из следующих двух формул тавтологически не влечет другую:

    (A↔(B↔C)),((A∧( B∧C))∨ ((¬A)∧((¬B)∧(¬C)))).

    Предложение : Требуется только два присваивания правды, а не восемь.

    2.
    (a)

    Есть ((( P Q ) → P ) → P аутология?

    (B)
    (B)

    Определить σ K K Рекурсивно следующим образом: Σ 0 = ( P q ) и σ K +1 k → P ).Для каких значений k σ k является тавтологией? (Часть (а) соответствует к = 2.)

    3.
    (A)

    Определите ли или нет (( p q ) ∨ ( q P )) является тавтологией.

    (B)
    (B)

    Определите ли или нет (( P Q ) → R ) Таурологически подразумевает (( P R ) ∨ ( Q R ) ).

    4.

    Покажите, что справедливо следующее:

    (a)

    Σ; α β тогда и только тогда, когда Σ (α → β).

    (б)

    α β тогда и только тогда, когда (α ↔ β).

    (Напомним, что Σ; α = Σ ∪ {α}, множество Σ вместе с одним возможным новым членом α.)

    5.

    Докажите или опровергните каждое из следующих утверждений:

    7 (a)

    Если либо Σ α, либо Σ β, то Σ (α ∨ β).

    (б)

    Если Σ (α ∨ β), то либо Σ α, либо Σ β.

    6

    6.
    (A)

    Показать, что если V 1 и V 2 — это задания истины, которые согласны на все символы предложения в WFF α, затем 1 (α) = 2 (α). Используйте принцип индукции.

    (b)

    Пусть S будет набором символов предложения, который включает символы в Σ и τ (и, возможно, больше).Покажите, что Σ τ тогда и только тогда, когда каждое присваивание истинности для S , которое удовлетворяет всем элементам Σ, также удовлетворяет τ. (Это простое следствие части (а). Смысл части (б) заключается в том, что нам не нужно беспокоиться о том, чтобы получить область истинностного присваивания точно совершенную, если она достаточно велика. Например. , одним из вариантов было бы всегда использовать присваивания истинности на множестве из 90 170 всех 90 171 символов предложения.)

    7.

    Вы находитесь в стране, населенной людьми, которые либо всегда говорят правду, либо всегда говорят неправду. Вы подходите к развилке дорог, и вам нужно знать, какая развилка ведет в столицу. Там есть местный житель, но он успевает ответить только на один утвердительный вопрос. Какой один вопрос вы должны задать, чтобы узнать, какую вилку взять? Предложение : Составьте таблицу.

    8.

    (Подстановка) Рассмотрим последовательность α 1 , α 2 , … из wffs.Для каждого wff φ пусть φ * будет результатом замены символа предложения A n на α n для каждого n .

    (a)

    Пусть v будет присваиванием истинности для множества всех символов предложения; определите u как истинное назначение, для которого u ( A n ) = (α n ). Покажите, что (φ) = (φ * ).Используйте принцип индукции.

    (b)

    Покажите, что если φ является тавтологией, то тавтологией является ϕ * . (Например, одной из выбранных нами тавтологий является (( A B ) ↔ ( B A )). β ∧ α)) — тавтология для любых в.ф.ф. α и β.)

    9.

    (Двойственность) Пусть α — в.ф.ф., единственными связующими символами которого являются ∧, ∨ и ¬. Пусть α * будет результатом перестановки ∧ и ∨ и замены каждого символа предложения его отрицанием.Покажите, что α * тавтологически эквивалентно (−α). Используйте принцип индукции.

    Замечание . Отсюда следует, что если α β, то α * β * .

    10.

    Скажите, что набор Σ 1 WFFS составляет эквивалент до набора Σ 2 WFFS IFF для любого WFF α, у нас есть Σ 1 αF IFF σ 2 α . Множество Σ является независимым тогда и только тогда, когда ни один элемент Σ не вытекает из остальных элементов Σ тавтологически.Покажите, что справедливо следующее.

    (a)

    Конечное множество вфф имеет независимое эквивалентное подмножество.

    (b)

    Бесконечное множество не обязательно должно иметь независимое эквивалентное подмножество.

    *(c)

    Пусть Σ = {Σ 0 , Σ 1 , …}; покажите, что существует независимое эквивалентное множество 2′. (По пункту (b) мы не можем надеяться, что Σ ⊆ Σ вообще.)

    11.

    …↔An)

    тогда и только тогда, когда v ( A i ) = F для четного числа i , 1 ≤ i (По ассоциативному закону для ↔ расположение скобок не имеет решающего значения.)

    12.

    В убийстве подозреваемых трое: Адамс, Браун и Кларк. Адамс говорит: «Я этого не делал. Жертвой был старый знакомый Брауна. Но Кларк ненавидел его». Браун заявляет: «Я этого не делал. Я даже не знал этого парня. Кроме того, меня всю неделю не было в городе. Кларк говорит: «Я этого не делал. В тот день я видел и Адамса, и Брауна в центре города с жертвой; кто-то из них, должно быть, сделал это.Предположим, что двое невиновных говорят правду, а виновный может и не быть. Кто это сделал?

    13.

    В рекламе теннисного журнала говорится: «Если я не играю в теннис, я смотрю теннис. И если я не смотрю теннис, я читаю о теннисе». Мы можем предположить, что говорящий не может выполнять более одного из этих действий одновременно. Что делает говорящий? (Переведите данные предложения на наш формальный язык, рассмотрите возможные назначения истинности.)

    14.

    Пусть S будет множеством всех символов предложения, и предположим, что v : S → { F, T } является присваиванием истины. Покажите, что имеется не более одного расширения, удовлетворяющего условиям 0-5, перечисленным в начале этого раздела. (Предположим, что 1 и 2 оба являются такими расширениями. Используйте принцип индукции, чтобы показать, что 1 = 2 .)

    15.

    Какая из следующих трех формул неавтологична?

    (A)

    ( B )

    (b)
    (b)

    (¬ ( A b ) → (¬ ( b a )))))

    (c)

    (((¬ A ) ∨ B ) ∧ ( A ∨ (¬ B )))

    Введение в векторы — Математическое понимание

    Определение вектора

    Вектор — это объект, который имеет как величину, так и направление.Геометрически мы можем изобразить вектор как направленный отрезок линии, длина которого равна величине вектора и со стрелкой, указывающей направление. Направление вектора от хвоста к голове.

    Два вектора одинаковы, если они имеют одинаковую величину и направление. Это означает, что если мы возьмем вектор и переместим его в новое положение (без поворота), то вектор, который мы получим в конце этого процесса, будет тем же вектором, который был у нас в начале.

    Два примера векторов представляют силу и скорость. И сила, и скорость имеют определенное направление. Величина вектор будет указывать силу силы или скорость, связанную со скоростью.

    Мы обозначаем векторы полужирным шрифтом, как в $\vc{a}$ или $\vc{b}$. Особенно при письме от руки, где нельзя легко писать полужирным шрифтом, люди иногда обозначают векторы стрелками, как в $\vec{a}$ или $\vec{b}$ или используют другие обозначения.Здесь нам не нужно будет использовать стрелки. Обозначим величину вектора $\vc{a}$ через $\|\vc{a}\|$. Когда мы хотим сослаться на число и подчеркнуть, что это не вектор, мы можем назвать это число скаляром. Мы будем обозначать скаляры с курсивом, как в $a$ или $b$.

    Вы можете изучить концепцию величины и направления вектора, используя приведенный ниже апплет. Обратите внимание, что перемещение вектора не меняет вектор, так как положение вектора не влияет на величину или направление.Но если вы растянете или повернете вектор, перемещая только его голову или хвост, величина или направление изменятся. (Этот апплет также показывает координаты вектора, о которых вы можете прочитать на другой странице.)

    Величина и направление вектора. Синяя стрелка обозначает вектор $\vc{a}$. Два определяющих свойства вектора, величина и направление, показаны красной полосой и зеленой стрелкой соответственно. Длина красной полосы — это величина $\|\vc{a}\|$ вектора $\vc{a}$.Зеленая стрелка всегда имеет длину единицу, но ее направление совпадает с направлением вектора $\vc{a}$. Единственным исключением является случай, когда $\vc{a}$ является нулевым вектором (единственным вектором с нулевой величиной), для которого направление не определено. Вы можете изменить любой конец $\vc{a}$, перетащив его мышью. Вы также можете переместить $\vc{a}$, перетащив середину вектора; однако изменение положения $\vc{a}$ таким образом не меняет вектор, так как его величина и направление остаются неизменными.

    Дополнительная информация об апплете.

    Существует одно важное исключение для векторов, имеющих направление. ноль вектор, выделенный полужирным шрифтом $\vc{0}$, является вектором нулевой длины. Поскольку у него нет длины, он не указывает ни в каком конкретном направлении. Существует только один вектор нулевой длины, поэтому мы можем говорить о нулевом векторе .

    Операции над векторами

    Мы можем определить ряд операций над векторами геометрически без ссылка на любую систему координат.Здесь мы определяем сложение, вычитание и умножение скаляром. На отдельных страницах мы обсуждаем два разных способа умножения двух векторов: скалярное произведение и перекрестное произведение.

    Добавление векторов

    По двум векторам $\vc{a}$ и $\vc{b}$ образуем их сумму $\vc{a}+\vc{b}$ следующим образом. Сдвигаем вектор $\vc{b}$ до тех пор, пока его хвост не совпадет с головой вектора $\vc{a}$. (Напомним, что такой перевод не меняет вектор.) Тогда направленный отрезок из хвоста $\vc{a}$ в начало $\vc{b}$ представляет собой вектор $\vc{a}+\vc{b}$.

    Сложение векторов — это способ объединения сил и скоростей. Например, если машина едет строго на север со скоростью 20 миль в час, а ребенок сзади Сиденье позади водителя бросает предмет со скоростью 20 миль в час в его сторону. брата или сестры, сидящего прямо к востоку от него, то скорость объекта (относительно земли!) будет в северо-восточном направлении. Векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник, где полная скорость равна гипотенуза.2}=20\кв{2}$ миль в час относительно земли.

    Добавление векторов удовлетворяет двум важным свойствам.

    1. Коммутативный закон, который гласит, что порядок сложения не имеет значения: $$\vc{a}+\vc{b}=\vc{b}+\vc{a}.$$ Этот закон также называется законом параллелограмма, как показано на рисунке ниже. изображение. Два ребра параллелограмма определяют $\vc{a}+\vc{b}$, а другая пара ребер определяет $\vc{b}+\vc{a}$. Но обе суммы равны равна той же диагонали параллелограмма.

    2. Ассоциативный закон, утверждающий, что сумма трех векторов не зависит от того, какая пара векторов добавляется первой: $$(\vc{a}+\vc{b})+\vc{c} = \vc{a} + (\vc{b}+\vc{c}).$$

    Вы можете изучить свойства сложения векторов с помощью следующего апплета. (Этот апплет также показывает координаты векторов, о которых вы можете прочитать на другой странице.)

    Сумма двух векторов. Сумма $\vc{a}+\vc{b}$ вектора $\vc{a}$ (синяя стрелка) и вектора $\vc{b}$ (красная стрелка) показана зеленой стрелкой . Поскольку векторы не зависят от их начального положения, обе синие стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{a}$, а обе красные стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{b}$. Сумму $\vc{a}+\vc{b}$ можно составить, поместив хвост вектора $\vc{b}$ в начало вектора $\vc{a}$. То же самое можно сделать, поместив хвост вектора $\vc{a}$ в начало вектора $\vc{b}$.Обе конструкции вместе образуют параллелограмм, сумма $\vc{a}+\vc{b}$ которого является диагональю. (По этой причине закон перестановки $\vc{a}+\vc{b}=\vc{b}+\vc{a}$ иногда называют законом параллелограмма.) Вы можете изменить $\vc{a} $ и $\vc{b}$, перетаскивая желтые точки.

    Дополнительная информация об апплете.

    Вычитание векторов

    Прежде чем определить вычитание, мы определим вектор $-\vc{a}$, который является противоположностью $\vc{a}$. Вектор $-\vc{a}$ — это вектор с той же величиной, что и $\vc{a}$, но направленной в противоположном направлении.

    Мы определяем вычитание как сложение с противоположным вектором: $$\vc{b}-\vc{a} = \vc{b} + (-\vc{a}).$$ Это эквивалентно переворачиванию вектора $\vc{a}$ при применении вышеуказанные правила добавления. Вы видите, как вектор $\vc{x}$ в ниже рисунок равен $\vc{b}-\vc{a}$? Обратите внимание, как это то же самое как утверждается, что $\vc{a}+\vc{x}=\vc{b}$, как и при вычитании скалярные числа.

    Скалярное умножение

    Имея вектор $\vc{a}$ и действительное число (скаляр) $\lambda$, мы можем сформировать вектор $\lambda\vc{a}$ следующим образом.Если $\lambda$ положительна, то $\lambda\vc{a}$ — это вектор, направление которого совпадает с направлением $\vc{a}$, а длина равна $\lambda$, умноженной на длину $ \vc{а}$. В этом случае умножение на $\lambda$ просто растягивает (если $\lambda>1$) или сжимает (если $0

    Если, с другой стороны, $\lambda$ отрицательно, то мы должны взять напротив $\vc{a}$ перед его растяжением или сжатием. Другими словами, вектор $\lambda\vc{a}$ указывает направление, противоположное вектору $\vc{a}$, а длина $\lambda\vc{a}$ равна $|\lambda|$, умноженной на длину $\vc{a}$.Независимо от знака $\lambda$, мы наблюдаем, что величина $\lambda\vc{a}$ в $|\lambda|$ умножается на величину $\vc{a}$: $\| \лямбда \vc{а}\| = |\лямбда| \|\vc{a}\|$.

    Скалярные умножения удовлетворяют многим из тех же свойств, что и обычное умножение.

    1. $s(\vc{a}+\vc{b}) = s\vc{a} + s\vc{b}$ (распределительный закон, форма 1)
    2. $(s+t)\vc{a} = s\vc{a}+t\vc{a}$ (распределительный закон, форма 2)
    3. $1\vc{a} = \vc{a}$
    4. $(-1)\vc{a} = -\vc{a}$
    5. $0\vc{a} = \vc{0}$

    В последней формуле ноль слева — это число 0, а ноль справа — это вектор $\vc{0}$, уникальный вектор, длина которого равна нулю.

    Если $\vc{a} = \lambda\vc{b}$ для некоторого скаляра $\lambda$, то мы говорим что векторы $\vc{a}$ и $\vc{b}$ параллельны. Если $\lambda$ отрицательно, некоторые люди говорят, что $\vc{a}$ и $\vc{b}$ антипараллельны, но мы не использовать этот язык.

    Мы смогли описать векторы, сложение векторов, вычитание векторов и скалярное умножение без привязки к какой-либо системе координат. Преимущество такого чисто геометрического рассуждения состоит в том, что наши результаты справедливы в целом, независимо от какой-либо системы координат, в которой живут векторы.Однако иногда полезно выражать векторы через координаты, как обсуждалось на странице о векторах в стандартных декартовых системах координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

    определений и законов вектора Алгебра

    Векторный анализ: определения и законы вектора Алгебра

    Обзор Тригонометрия плоскости



    Определения и законы векторной алгебры:

    1.Единичный вектор определяется как вектор, величина которого равна единице. Если мы разделим вектор на его величины, мы получаем единичный вектор в направлении исходной вектор. Единичный вектор может быть выражен как

    (3)

    Мы также можем выразить любой вектор через его величину и единичный вектор в том же направлении, что и

    (4)


    2. Вектор может быть представлен прямоугольным декартовым координаты как

    (5)

    где — орты вдоль осей x, y, z, соответственно.


    3. Величина вектора может быть определена как

    (6)

    4. Два вектора равны, только если они имеют одинаковую величину и направление. Это условие может быть описано математически как следует:

    Вектор равен вектору только тогда, когда


    5. При сложении двух или более векторов результирующий вектор называется результирующим.

    5.1 Коммутативный закон для сложения:

    5.2 Ассоциативный закон для сложения:



    7. Вектор можно умножить на другой вектор либо через точка или крест продукт

    7.1 Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину как показано ниже

    , где q — угол между векторами и .

    Скалярное произведение выполняется как

    В скалярном произведении порядок двух векторов не меняет результат.

    Ассоциативный закон умножения применим и к точке. товар.


    Обзор Тригонометрия плоскости

    Подчиняется ли сложение векторов ассоциативному закону?

    Вопрос задан: г-жой Леанной Ратке
    Оценка: 5/5 (47 голосов)

    Теперь, когда мы знаем, что ассоциативный закон сложения векторов утверждает, что сумма векторов остается неизменной независимо от их порядка или группировки, в которой они расположены …. Следовательно, этот факт известен как ассоциативный закон сложения векторов.

    Является ли сложение векторов коммутативным или ассоциативным?

    Из Закона сложения векторов в формате pdf сложение векторов является коммутативным по своей природе, т.е. Точно так же, если нам нужно вычесть оба вектора, используя закон треугольника, мы просто меняем направление любого вектора, а затем добавляем его к другому, как показано ниже.

    Подчиняется ли вычитание векторов ассоциативному закону?

    Вычитание векторов не подчиняется ассоциативному закону , так как можно найти ( A → — B → ) и B → — A → по отдельности , но в целом они не равны .Таким образом, ассоциативный закон не работает при вычитании векторов.

    Подчиняется ли сложение векторов ассоциативному закону класса 11?

    Утверждение: Ассоциативный закон гласит, что сложение векторов равно , в какую бы группу они ни добавлялись.

    Подчиняется ли сложение векторов коммутативному закону?

    1. Векторы удовлетворяют коммутативному закону сложения. Вектор смещения s 1 , за которым следует вектор смещения s 2 , приводит к тому же полному перемещению, что и в случае, когда сначала происходит перемещение s 2 , а за ним следует перемещение s 1 .

    Найдено 37 похожих вопросов

    Что такое коммутативный закон сложения?

    Коммутативный закон в математике, любой из двух законов, относящихся к числовым операциям сложения и умножения, выраженный символически: a + b = b + a и ab = ba . Из этих законов следует, что любая конечная сумма или произведение не меняются при изменении порядка членов или множителей.

    Что такое закон сложения векторов?

    Что такое треугольный закон сложения векторов? Треугольный закон сложения векторов гласит , что когда два вектора представлены как две стороны треугольника с порядком величины и направлением, то третья сторона треугольника представляет величину и направление результирующего вектора.

    Что такое сложение векторов ассоциативности?

    Ассоциативный закон сложения векторов гласит, что сумма векторов остается неизменной независимо от порядка или группировки, в которой они расположены .

    Что такое коммутативное свойство?

    Коммутативность — это математическое правило, согласно которому порядок умножения чисел не меняет произведение .

    Каковы свойства сложения векторов?

    Добавление векторов удовлетворяет двум важным свойствам.

    • Коммутативный закон, гласящий, что порядок сложения не имеет значения: a+b=b+a. …
    • Ассоциативный закон, утверждающий, что сумма трех векторов не зависит от того, какая пара векторов добавлена ​​первой: (a+b)+c=a+(b+c).

    Можно ли использовать вычитание векторов по коммутативному закону?

    Коммутативный закон и ассоциативный закон не могут быть применены к векторному вычитанию .

    Имеет ли значение порядок вычитания векторов?

    Быстрый ответ: « Да !» так как вы можете добавлять векторы в любом порядке и получать тот же ответ. В математике с обычными скучными старыми числами вы определенно можете сказать A + B = B + A… неважно, в каком порядке вы складываете числа. Это называется коммутативным свойством.

    Что называется разрешением вектора?

    Разрешение вектора — это разбиение одного вектора на два или более векторов в разных направлениях , которые вместе производят такой же эффект, как и сам одиночный вектор.Векторы, образованные после расщепления, называются компонентными векторами.

    Как доказать ассоциативность сложения?

    Доказательство ассоциативности

    Мы докажем ассоциативность, сначала зафиксировав натуральные числа a и b и применив индукцию по натуральному числу c . Для базового случая c = 0 (a+b)+0 = a+b = a+(b+0) Каждое уравнение следует по определению [A1]; первый с а+б, второй с б.

    Почему ток не подчиняется векторному закону сложения?

    Примечание: ток является вектором, потому что у него есть величина и направление. Но дело в том, что вектор всегда подчиняется закону сложения векторов. Поскольку ток не подчиняется и следует алгебраическому сложению, токи являются скалярными.

    Когда сложение двух векторов может быть равно нулю?

    Сумма двух векторов может быть равна нулю только тогда, когда направления противоположны и их величина аддитивно обратна друг другу .

    Каковы 2 примера коммутативного свойства?

    Коммутативное свойство сложения: изменение порядка слагаемых не меняет сумму. Например, 4 + 2 = 2 + 4 4 + 2 = 2 + 4 4 + 2 = 2 + 44, плюс , 2, равно, 2, плюс, 4. Ассоциативное свойство сложения: изменение группировки слагаемых делает не изменить сумму.

    Какие существуют 4 типа свойств?

    Есть четыре основных свойства чисел: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и тождественность .Вы должны быть знакомы с каждым из них.

    Что такое формула коммутативного свойства?

    Формула коммутативного свойства для умножения определяется как произведение двух или более чисел, которые остаются одинаковыми, независимо от порядка операндов. Для умножения формула коммутативного свойства выражается как (A × B) = (B × A).

    Как мы можем использовать этот закон, чтобы показать, что сложение векторов является ассоциативным?

    Поскольку мы знаем, что в соответствии с правилом от начала до конца, если начало одного вектора соединяется с хвостом другого вектора, то сумма обоих векторов будет вектором, образованным соединением хвоста одного вектора с началом другого .Следовательно, этот факт известен как ассоциативный закон сложения векторов.

    Каковы свойства нулевого вектора?

    Он определяется как вектор, который имеет нулевую длину или вообще не имеет длины и не имеет длины, он не указывает ни на какое конкретное направление . Следовательно, у него нет определенного направления или, можно сказать, неопределенного направления. Единичный элемент векторного пространства называется нулевым вектором.Он также известен как нулевой вектор.

    Что такое параллелограммный закон сложения векторов?

    Согласно закону сложения векторов параллелограмма, если два вектора действуют вдоль двух смежных сторон параллелограмма (имеющих величину, равную длине сторон), оба направлены в разные стороны от общей вершины, то результирующая представлена ​​диагональю параллелограмм, проходящий через одну и ту же общую вершину

    Какие существуют методы сложения векторов?

    Чтобы сложить или вычесть два вектора, сложите или вычтите соответствующие компоненты. Пусть →u=⟨u1,u2⟩ и →v=⟨v1,v2⟩ — два вектора. Сумма двух и более векторов называется равнодействующей. Результат двух векторов можно найти либо методом параллелограмма, либо методом треугольника .

    Для чего используется сложение векторов?

    С векторами и над ними можно выполнять различные математические операции.Одной из таких операций является сложение векторов. Два вектора могут быть сложены вместе для определения результата (или результирующего) . Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе.

    Что такое закон треугольника вектора?

    Закон, утверждающий, что если на тело действуют два вектора, представленные двумя сторонами треугольника, взятыми по порядку, то результирующий вектор представлен третьей стороной треугольника .

    Что такое закон треугольника для сложения векторов Как коммутативный закон и ассоциативный закон доказываются сложением векторов? – Pursuantmedia.com

    Что такое закон треугольника для сложения векторов Как коммутативный закон и ассоциативный закон доказываются сложением векторов?

    Коммутативный закон гласит, что порядок сложения не имеет значения, то есть: А+В равно В+А. 2 Ассоциативный закон, который гласит, что сумма трех векторов не зависит от того, какая пара векторов добавлена ​​первой, то есть: (А+В)+С=А+(В+С).

    Что такое треугольник и параллелограмм закон сложения векторов?

    Закон сложения векторов в виде параллелограмма: если два вектора, действующие одновременно на частицу, представлены по величине и направлению двумя соседними сторонами параллелограмма, проведенного из точки, то их равнодействующая полностью представлена ​​по величине и направлению диагональю этого параллелограмма. нарисован параллелограмм …

    Что такое треугольная сила закона?

    Треугольный закон сил утверждает, что если есть две силы, которые собираются или протекают через точку, то третья или охватывающая сторона треугольника такова, что.Равнодействующую двух сил, действующих в точке, также можно найти, используя закон сил треугольника.

    Что такое векторный треугольник?

    Закон, утверждающий, что если на тело действуют два вектора, представленные двумя сторонами треугольника, взятыми по порядку, результирующий вектор представлен третьей стороной треугольника.

    Что такое законы сложения векторов?

    Треугольный закон сложения векторов гласит, что если два вектора представлены в виде двух сторон треугольника с порядком величины и направления, то третья сторона треугольника представляет величину и направление результирующего вектора.

    Как происходит процесс деления вектора на два?

    Процесс разделения вектора на два компонента известен как разрешение или разрешение вектора.

    Что такое теорема Ламиса?

    Теорема Лами утверждает, что если три силы, действующие в точке, находятся в равновесии, то каждая из них прямо пропорциональна синусу угла между двумя оставшимися силами.

    Что такое правило силы?

    …постоянно, если на объект не действует внешняя сила; это означает, что любой объект либо остается в покое, либо продолжает равномерное прямолинейное движение, если на него не действует сила.

    Векторная алгебра II: скалярные и векторные произведения

    ‘) var head = document.getElementsByTagName(«head»)[0] var script = document.createElement(«сценарий») script.type = «текст/javascript» script.src = «https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js» script.id = «ecommerce-scripts-» ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document.querySelector(«[data-id=id_»+ метка времени +»]»).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.вариант-покупки»)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка.querySelector(«.цена-варианта-покупки») подписка.classList.remove («расширенный») var form = подписка.querySelector(«.форма-варианта-покупки») если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(«действие») document.querySelector(«#ecommerce-scripts-» ​​+ timestamp).addEventListener(«load», bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.querySelector(«.Информация о цене») var PurchaseOption = переключатель.родительский элемент если (переключить && форма && priceInfo) { toggle.setAttribute(«роль», «кнопка») toggle.setAttribute(«tabindex», «0») toggle.addEventListener («щелчок», функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(«aria-expanded») === «true» || ложный toggle.setAttribute(«aria-expanded», !expanded) форма.скрытый = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(«расширенный») } еще { покупкаOption.classList.remove(«расширенный») } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = окно.выборка && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Modal : ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = «ecomm-modal_» + метка времени + «_» + индекс var modal = новый модальный (modalID) модальный.domEl.addEventListener(«закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector(«кнопка[тип=отправить]»).фокус() } вар корзинаURL = «/корзина» var cartModalURL = «/cart?messageOnly=1» форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.перехват формы отправки ( Buybox.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { form.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.представить() } ) form.addEventListener («отправить», formSubmit, ложь) document.body.appendChild(modal.domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener («нажатие клавиши», функция (событие) { если (документ.activeElement.classList.contains(«цена-варианта-покупки») && (event.code === «Пробел» || event.code === «Enter»)) { если (document.activeElement) { событие.preventDefault() документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { var buyboxWidth = buybox.смещениеШирина ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.опция покупки»)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(«.цена-варианта-покупки») var form = option.querySelector(«.форма-варианта-покупки») var priceInfo = option.querySelector(«.Информация о цене») если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключать.щелчок() } еще { toggle.setAttribute («ария-расширенная», «ложь») form.hidden = «скрытый» priceInfo.hidden = «скрытый» } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.

    0 comments on “Переместительный закон векторов: Правило параллелограмма. Законы сложения векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.