Окружность и трапеция: Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

 

Площадь

 

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что

вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

   

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

 

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

 

 

 

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

   

Из треугольника ABC

   

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

   

   

 

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

   

   

 

 

 

 

 

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

   

 

 

 

 

 

Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

   

   

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

   

Отсюда

   

Описанная окружность и трапеция

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

1. Свойство сторон четырёхугольника описанного около окружности.

2. Теорему Пифагора. *Куда мы без неё )

3. Понятие средней линии трапеции.

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь.

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания).  Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

Ответ: 6

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 600, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 600 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее здесь п.6

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 1800 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

Ответ: 6

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности),  FC=3 (так как  DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности),  EB=4 (так как  AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Ответ: 7

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство  четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Значит

А средняя линия равна половине суммы оснований, то есть 10.

Ответ: 10

27938. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Радиус окружности равен половине высоты. Используя свойство указанное в предыдущей задаче получим:

Большая сторона у нас это СВ, следовательно можем вычислить AD=11–CB=11–7=4. Таким образом, радиус будет равен 2.

Ответ: 2

27915. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.

Посмотреть решение

27936. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

*Расскажите о сайте в социальных сетях.

2. Свойства равнобедренной трапации


ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны


Рассмотрено и

рекомендовано к использованию

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______


Москва

2015 год


Оглавление

Введение 2



  1. Определения 3

  2. Свойства равнобедренной трапеции 4

  3. Вписанные и описанные окружности 7

  4. Свойства вписанных и описанных трапеций 8

  5. Средние величины в трапеции 12

  6. Свойства произвольной трапеции 15

  7. Признаки трапеции 18

  8. Дополнительные построения в трапеции 20

  9. Площадь трапеции 25

. 10. Заключение

. Список используемой литературы


Приложение

  1. Доказательства некоторых свойств трапеции 27

  2. Задачи для самостоятельных работ

  3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

  4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.


  1. Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.


Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

2. Свойства равнобедренной трапеции


  1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.


  1. Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, а также противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.



  1. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

  2. В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.
  3. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.



  1. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

  2. С
    В равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований: d2 = c2 + a• b


10. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.


3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4. Свойства вписанных и описанных трапеций

  1. Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.


2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4. Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.



  1. Если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.



  1. Е
    сли в равнобокую трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое ее оснований.


  1. Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.
  2. Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.

  3. Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны: a2 + b2 = 4R2 = 2c2


1
0. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.


5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое


  1. Р
    адиус окружности, вписанной в трапецию, есть среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны трапеции, на которые она разбивается точкой касания.


  2. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое произведения оснований трапеции


  1. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему арифметическому оснований, если он соединяет середины боковых сторон (т.е. является средней линией трапеции). MN=(a+b)/2.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему гармоническому оснований, если он проходит через точку пересечения диагоналей KL =2 ab/(a+b)

  1. В любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные между собой.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади (равновеликие).


  1. В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство:


b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a
6.Свойства произвольной трапеции

1. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.


2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.


3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.


  1. Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d12 + d22 = c2 + d2 + 2ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d12 d22 = a2 b2

8. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7. Признаки трапеции


  1. Ч
    етырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда при его диагональном разбиении ровно два противолежащих треугольника равновелики. При этом квадрат площади каждого из них равен произведению площадей смежных с ним треугольников



  1. Если средняя линия четырехугольника равна полусумме противолежащих ей сторон, то четырехугольник является трапецией (или параллелограммом). Если m= (a+b)/2, то ABCD – трапеция (или параллелограмм)

  2. Т
    рапеция является равнобедренной, если углы при одном из оснований равны.


  3. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной

8. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.
2. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.
4
. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.


8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

11. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

12. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.
13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b)•h или

П
лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = mh.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.


  1. П
    лощадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны.
    Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату средней линии трапеции или квадрату высоты трапеции. S =h2

  2. Площадь произвольной трапеции со сторонами a, b, c, d:

  1. Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.
Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы


  1. Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

  2. Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

  3. Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

  4. Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М : Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN5-89155-188-3

  5. Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

  6. Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

  7. Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

  8. Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L. Доказать, что если основания трапеции равны а и b, то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b. Пря­мая KL параллельна основанию AD, следовательно, KОAD, треугольники ВKО и BAD подобны, поэтому


( 1 )


  1. AD BC, ∆AOD ~ ∆COB по двум углам. тогда: т.е.

  2. BD = DO + OD, следовательно

( 2 )

Подставим ( 2 ) в ( 1 ), получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L= KO + LO =


  1. Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

  • Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

Д
K
окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ

= х, МС = у, AN = и, ND = v. Имеем:

ВКМ ~ ∆AKN


M

x


B

C

Y
C ~ ∆NKD → →

O

v

u


A

N

D
BMO ∆DNO

CMO ANO поэтому .

Перемножая полученные равенства, получим , откуда следует

x=y, но тогда и u = v.


  1. дачи для самостоятельных работ и их решения

3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности.

Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252.

1 . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий сере­дины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Ответ: S = 6.

2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ.

psina
3. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в тра­пецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины основа­ний трапеции.

Ответ: 1и 7.


  1. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Ответ: S= 3ab

В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагона­ли QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR или длина стороны RS.

Ответ: RS > QR.



  1. В трапеции ABCD сторона АВ параллельна CD. Диагонали BD и АС трапеции пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС явля­ется равносторонним. Найти длину стороны ВС, если АВ = 5 и CD-3.

  2. В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол CAD равен 60°. Отношение площадей тре­угольников AOD и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, рав­но 4. Найти площадь трапеции.

Ответ: S=90√3.

Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238..

12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию. [√2Sctg а]


  1. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым утлом а при основании. Найти периметр этой трапеции. [8.R: sin а]

  2. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы трапеции и допустимые значения к.

[arccos(l — 1/к), π — arccos(l — 1/к), к > 1]

  1. На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании трапе­ции. [30°]

  2. Основания равнобедренной трапеции равны а и 6 (а > 6), угол при боольшем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около грапеции. [(√/а22+2аbcos2а):(2sin2а)].

  3. Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диагонапями, противолежащий боковой стороне, равен ɑ. Найти высоту трапе­ции…

[√Stg(½ ɑ)]

  1. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окружности.

  2. В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом arccos(—⅔)- найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и боль­шего основания трапеции.

  3. Отношение радиуса круга, описанного около трапеции, к радиусу круга, вписанного в нее, равно к (к > √2). Найти углы трапеции.


4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ √185. Площадь трапеции составляет


В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны Ь, а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна

151 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради­уса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно

Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности.25j В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая

диагональ равна

29j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно

Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ­ней. Тангенс острого угла трапецииравен



Достарыңызбен бөлісу:

Запоминаем и применяем свойства трапеции

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k2.
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 1800: α + β = 1800  и γ + δ = 1800.
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 900 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
  3. Если через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 1800 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*SАМЕ.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 1800 — МЕТ = 1800 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 1500 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 1800. Поэтому КАН = 300 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 300. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: SАКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см2.

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Свойства прямоугольной трапеции

В данной статье мы расскажем Вам о свойствах прямоугольной трапеции, как обычной, так и той, в которую вписана окружность.

Для начала напомним некоторые основные определения.

Трапеция – это четырехугольник, имеющий 2 параллельные друг другу стороны, причем 2 другие стороны параллельными не являются.

Прямоугольная трапеция — это такая трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна ее основаниям (изображена на рис.).

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон фигуры (на рис. EF).

Основные свойства прямоугольной трапеции

  1. Средняя линия EF равна половине суммы ее оснований BC и AD.

  2. Средняя линия EF параллельна основаниям трапеции BC и AD.
  3. На одной прямой размещаются:

    • точка пересечения (H) диагоналей прямоугольной трапеции AC и BD;
    • точка пересечения (E) продолжений боковых сторон трапеции AB и CD;
    • середины (F и G) оснований трапеции BC и AD.
    Данным свойством обладает как прямоугольная, так и равносторонняя трапеция.

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность

  1. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, это значит, что сумма ее оснований и сумма ее боковых сторон равны.
  2. Площадь трапеции ABCD можно найти, перемножив длины ее оснований BC и AD.
    S
    ABCD = BC * AD
  3. Четырехугольник, вершинами которого являются центр вписанной окружности (O), одна из вершин трапеции (A или B), а также точки 2 касания (M и E или M и К), является квадратом.

Узнать подробнее о свойствах трапеции с прямым углом, в которую вписана окружность, а также ознакомиться с доказательствами этих свойств, можно на сайте uznateshe.ru.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Скорее всего, Вам будет интересно:

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если  трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

   

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

средняя линия

трапеции ABCD,

AD||BC, то

   

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

   

Если AD=a, BC=b,

   

   

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

   

   

   

   

   

   

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

   

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

 

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

 

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

   

Значит, треугольник COD — прямоугольный,

   

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, ON — высота, проведённая к гипотенузе,

   

Урок Равнобедренную трапецию можно вписать в окружность

Равнобедренную трапецию можно вписать в окружность


Задача 1

Если трапеция равнобедренная, то ее можно вписать в окружность. Доказывать.

Пруф


Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD и
боковые стороны н.э. и до н.э. ( рис. 1a ).

Нам нужно доказать, что существует окружность, проходящая через все вершины
трапеции A , B , C и D .

Проведем диагонали трапеции AC и BD ( рис. 1b ) и
рассмотрим треугольники ABC и ABD .

Эти треугольники имеют общую сторону AB и конгруэнтные стороны BC и
AD   (последнее из-за того, что трапеция   ABCD  равнобедренная).



Рисунок 1a . К проблеме 1


   Рисунок 1b . К решению
        задачи 1

Углы   L BAD   и   L ABC  , заключенные между этими равными сторонами, равны, так как углы при основании равнобедренной трапеции  (см. урок
Трапеции и углы их оснований в теме Многоугольники раздела Геометрия на этом сайте).

Следовательно, треугольники ABC и ABD конгруэнтны в соответствии с SAS -критерием конгруэнтности треугольников.

Отсюда следует, что углы L ACB и L ADB равны как соответствующие углы конгруэнтных треугольников.

Таким образом, углы L ACB и L ADB равны и опираются на один и тот же отрезок AB .Значит, эти углы вписаны в окружность в соответствии с уроком
Обратная теорема о вписанных углах по теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте.

Доказательство завершено.

Обратное утверждение доказывается в уроке  Две секущие, параллельные окружности, отсекающие конгруэнтные дуги  по теме   Окружности и их свойства раздела   Геометрия  на этом сайте:  если трапеция вписана в окружность, то трапеция равнобедренная.

Комбинируя прямое и обратное утверждения, можно заключить, что   трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная .

Другие мои уроки по кругам на этом сайте в логическом порядке:
    — Окружность, ее хорды, касательные и секущие – основные определения,
    — Чем длиннее хорда, тем больше ее центральный угол,
    — Хорды ​​окружности и радиусы, перпендикулярные хордам,
    — Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания,
    — Угол, вписанный в окружность,
    — Две параллельные секущие окружности отсекают конгруэнтные дуги,
    — Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности,
    — Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга,
    — Угол между хордой и касательной к окружности,
    — Касательные сегменты к окружности из точки вне окружности,
    — Обратная теорема о вписанных углах,
    — Части хорд, пересекающиеся внутри окружности,
    — Метрические отношения для секущих, пересекающихся вне круга  и
    — Метрические соотношения для касательной и секущей, выпущенных из точки вне круга
по теме Окружности и их свойства раздела Геометрия и
    — КАК СДЕЛАТЬ дугу окружности пополам с помощью циркуля и линейки,
    — КАК найти центр окружности, заданной двумя хордами,
    — Решенные задачи на радиус и касательную к окружности,
    — Решенные задачи на вписанные углы,
    — Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность,
    — КАК ПОСТРОИТЬ касательную к окружности в данной точке окружности,
    — КАК ПОСТРОИТЬ касательную к окружности через заданную точку вне окружности,
    — КАК построить общую внешнюю касательную к двум окружностям,
    — КАК ПОСТРОИТЬ общую внутреннюю касательную к двум окружностям,
    — Решены задачи на хорды, пересекающиеся внутри окружности,
    – Решены задачи на секущие, пересекающиеся вне круга,
    — Решены задачи на касательную и секущую, выпущенную из точки вне круга
    — Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
    – Решены проблемы с касательными линиями, выпущенными из точки вне круга.
под текущую тему.

Обзор уроков по Свойствам Окружностей находится в этом файле СВОЙСТВА КРУГОВ, ИХ ХОРД, СЕКАНС И КАСАТЕЛЬНЫХ.
Для навигации по этим урокам можно использовать файл обзора или список ссылок выше.

Для навигации по всем темам/урокам онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл/ссылку  ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.

Видео-вопрос: Нахождение площади составной фигуры, состоящей из трапеции и полуокружности

Стенограмма видео

Использование 3.14 в качестве оценки для 𝜋 вычислить площадь данной фигуры.

Помня, что площадь — это пространство внутри фигуры, первое, что нам нужно сделать, это определить различные формы, составляющие эту составную фигуру. Фигура слева — полукруг, а фигура справа — трапеция. Мы знаем, что это правда, потому что это четырехугольник с парой параллельных сторон.

Чтобы найти площадь этой фигуры, нам нужно запомнить две важные формулы.Во-первых, площадь круга равна 𝜋, умноженной на квадрат радиуса. И мы помним, что это просто радиус в квадрате, и он не включает 𝜋. Вторая формула заключается в том, что площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на 𝑏 меньше единицы плюс 𝑏 меньше двух, где 𝑏 меньше единицы и 𝑏 меньше двух — длины параллельных сторон.

Итак, начнем с нахождения площади полукруга. Для этого возьмем формулу площади круга и половину ее. И это будет 𝜋𝑟 в квадрате над двумя.Радиус окружности — это расстояние от центра до внешней стороны. И мы видим, что это значение в девять миллиметров дано на диаграмме. Мы можем включить это в формулу вместе с тем фактом, что нам сказали использовать 3,14 для 𝜋, чтобы получить 3,14, умноженное на девять в квадрате на два.

Мы можем упростить этот расчет и оценить девять в квадрате как 81, чтобы получить 1,57, умноженное на 81. Мы можем вычислить это, используя метод без калькулятора, вычислив 157, умноженный на 81, а затем вспомнив, что наш ответ будет иметь два десятичных знака.Таким образом, мы находим площадь полукруга равной 127,17 квадратных миллиметров. Далее находим площадь трапеции по формуле. Мы можем подставить значения высоты как 13 миллиметров. Одна из параллельных сторон составляет семь миллиметров, а как насчет другой стороны?

Ну, мы знаем, что здесь у нас будет два радиуса, а это значит, что основание будет девять плюс девять, что равно 18. Таким образом, наш расчет равен половине, умноженной на 13, умноженной на семь плюс 18. Мы можем вычислить это, используя любой метод.Мы могли бы, например, взять 13 и умножить на 25, а затем найти половину этого числа. Или мы могли бы найти половину от 13, а затем умножить ее на 25. В любом случае, мы можем использовать метод без калькулятора, чтобы найти ответ 162,5. И единицами измерения здесь по-прежнему будут наши квадратные миллиметры.

Наконец, чтобы найти общую площадь данной фигуры, мы складываем площадь полукруга и площадь трапеции, чтобы получить ответ для площади данной фигуры 289,67 квадратных миллиметров.

Правильная трапеция, окружность, диаметр, измерение. Колледж геометрии, подготовка к SAT. Репетитор по математике онлайн

На рисунке изображена прямоугольная трапеция ABCD с основания AD и BC. Окружности диаметра CD и AB пересекаются в точках E и Ф.Докажите, что (1) AE = BF, (2) AD.BC = AF.AE. Оставить комментарий или решение.

 


 
 

Больше задач по геометрии:

Задача 530.
Циклический Четырехугольник, Диагональ, Диаметр, Перпендикуляр, Конгруэнтность.

Задача 528.
Треугольник, Медианы, Перпендикуляр, Измерение.

Задача 527.
Окружность, Касательная, Секущая, Хорда, Середина, Измерение.

Задача 526.
Равносторонний треугольник, Окружность, Хорда, Измерение.

Задача 525.
Окружности, Диаметр, Касательная, Радиус, Конгруэнтность, Измерение.

swift — Как нарисовать текст в виде трапеции (или круга)?

Здесь вам придется перейти на уровни CoreText. Хорошей новостью является то, что вы сможете рисовать текст практически в любой форме!

  расширение NSAttributedString {
    общедоступная функция рисования (в пути: CGPath) {
        пусть context = UIGraphicsGetCurrentContext()!

        пусть преобразование = CGAffineTransform (масштабX: +1, у: -1)

        пусть flippedPath = CGMutablePath()
        перевернутый путь.addPath (путь, преобразование: преобразование)

        пусть диапазон = CFRange (местоположение: 0, длина: 0)
        let framesetter = CTFramesetterCreateWithAttributedString(self)
        пусть кадр = CTFramesetterCreateFrame (набор фреймов, диапазон, flippedPath, ноль)

        контекст.saveGState()

        // Отладка: заполнить путь.
        context.setFillColor (красный: 1,0, зеленый: 0,0, синий: 0,0, альфа: 0,5)
        контекст.beginPath()
        context.addPath (путь)
        контекст.fillPath()

        context.concatenate (преобразование)

        CTFrameDraw (кадр, контекст)

        контекст.восстановитьGState()
    }
}
  

И вы можете использовать его так:

  let string = NSAttributedString(строка: "Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.")

пусть границы = CGRect (x: 0, y: 0, ширина: 120, высота: 120)

пусть путь = CGMutablePath()
path.move (к: CGPoint (x: 10, y: 10))
path.addLine (к: CGPoint (x: 110, y: 10))
path.addLine (к: CGPoint (x: 90, y: 110))
path.addLine (к: CGPoint (x: 30, y: 110))
дорожка.закрытьПодпуть()

UIGraphicsBeginImageContextWithOptions (bounds.integral.size, true, 0)
отложить {UIGraphicsEndImageContext()}

пусть context = UIGraphicsGetCurrentContext()!
context.setFillColor(UIColor.white.cgColor)
контекст.заполнить(.бесконечно)

string.draw(в: путь)

пусть изображение = UIGraphicsGetImageFromCurrentImageContext()!
  

Плохая новость заключается в том, что это решение не дает многоточия в конце. Если вы действительно этого хотите, вам может понадобиться внести некоторые коррективы в последнюю строку, которую дает вам фреймсеттер.

Площадь круга, треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, эллипса и сектора

Площадь равна площади поверхности!
Узнайте больше о площади или попробуйте калькулятор площади.

Треугольник
Площадь = ½ × b × h
б = база
h = высота по вертикали Квадрат
Площадь = a 2
а = длина стороны Круг
Площадь = π × r 2
г = радиус Сектор
Площадь = ½ × r 2 × θ
г = радиус
θ = угол в радиан

 

Пример: Какова площадь этого прямоугольника?

Формула:

Площадь = ш × в
ш = ширина
в = высота

Мы знаем w = 5 и h = 3 , поэтому:

Площадь = 5 × 3 = 15

Пример: Какова площадь этого круга?

Радиус = r = 3

Зона   = π × r 2
    = π × 3 2
    = π × (3 × 3)
    = 3.14159… × 9
    = 28,27 (до 2 знаков после запятой)

Пример: Какова площадь этого треугольника?

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

 

Более сложный пример:

Пример: Сэм косит траву за 0 долларов.10 за квадратный метр

Сколько Сэм зарабатывает за резку этой области:

Разобьем область на две части:

Часть А представляет собой квадрат:

Площадь A = a 2 = 20 м × 20 м = 400 м 2

Часть B представляет собой треугольник. Если смотреть сбоку, то его основание 20 м, а высота 14 м.

Площадь B = ½b × h = ½ × 20 м × 14 м = 140 м 2

Таким образом, общая площадь:

Площадь = Площадь A + Площадь B = 400 м 2 + 140 м 2 = 540 м 2

 

Сэм зарабатывает 0 долларов.10 за квадратный метр

заработок Сэма = 0,10 долл. США × 540 млн. 2 = 54 долл. США

 

1754, 1755, 1756, 1757, 1758, 1759, 1760, 1761, 3250, 3251

Радиус описанной окружности этой трапеции. Описанная окружность и трапеция

Как найти радиус описанной окружности трапеции?

В зависимости от этих условий это можно сделать разными способами. Готовой формулы радиуса окружности, описанной около трапеции, не существует.

I. Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, как радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершины которого являются вершинами трапеции

Окружность, описанная около трапеции, проходит через все ее вершины, следовательно, она описана для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае можно найти по одной из формул

где а — сторона треугольника, а — угол, противолежащий ей;

или по формуле

где а, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Для трапеции ABCD радиус можно найти, например, как радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABD:

где синус угла А можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

III. Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Радиус описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров со сторонами трапеции.(Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON также является медианой. Для треугольника BOC аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, то можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно составить

и приравнять правые части

Решая это уравнение относительно x, можно найти R.

IV.Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, то центр описанной окружности лежит в середине большего основания, а радиус равен половине большего основания.

\[(\Большой(\текст(Произвольная трапеция)))\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – сторонами.\круг\).

2) Так как \(AD\параллель BC\) и \(BD\) секанс, то \(\угол DBC=\угол BDA\) лежит поперек.
Также \(\угол BOC=\угол AOD\) как вертикальный.
Следовательно, в двух углах \(\треугольник BOC\sim\треугольник AOD\).

Докажем, что \(S_(\треугольник AOB)=S_(\треугольник COD)\). Пусть \(h\) — высота трапеции. Тогда \(S_(\треугольник ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\треугольник ACD)\). Потом: \

Определение

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.


Доказательство*

1) Докажем параллелизм.


Проведите линию \(MN»\параллельно AD\) (\(N»\в CD\) ) через точку \(M\) ). Тогда по теореме Фалеса (поскольку \(MN»\параллельно AD\параллельно BC, AM=MB\)) точка \(N»\) является серединой отрезка \(CD\)… Значит, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Нарисуем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть будет \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\).


Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) являются серединами отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Итак, \(MM»\) — это средняя линия \(\треугольник ABB»\) , \(NN»\) — это средняя линия \(\треугольник DCC»\) . Поэтому: \

Поскольку \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) являются прямоугольниками.По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Следовательно, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы «Похожие треугольники».

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


Проведите линию \(PN\) (\(P\) — точка пересечения продолжений сторон, \(N\) — середина \(BC\) ). Пусть она пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

Рассмотрим \(\треугольник BPN\) и \(\треугольник APM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол APM\) — общий, \(\угол PAM=\угол PBN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(AB\)). Означает: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол DPM\) — общий, \(\угол PDM=\угол PCN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(CD\)). Означает: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Отсюда \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\).Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, О, М\) лежат на одной прямой.


Пусть \(N\) — середина \(BC\) , \(O\) — точка пересечения диагоналей. Нарисуйте линию \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

\(\треугольник BNO\sim \треугольник DMO\) на два угла (\(\угол OBN=\угол ODM\) лежащие на \(BC\параллель AD\) и \(BD\) секущей; \(\ угол BON=\угол DOM\) как вертикальный).Означает: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Аналогично \(\треугольник CON\sim \треугольник AOM\). Означает: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Отсюда \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[(\Большой(\текст(Равнобедренная трапеция)))\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, равнобедренные.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) является параллелограммом, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Поскольку у них равные гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , эти треугольники конгруэнтны, следовательно, \(\угол DAB = \угол CDA\) .

2)

Так как \(AB=CD, \угол A=\угол D, AD\) — общее, то по первому признаку. Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Поскольку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\), то \(\угол BDA=\угол CAD\) . Следовательно, треугольник \(\треугольник AOD\) равнобедренный.Аналогично доказывается, что \(\треугольник BOC\) равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

2) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) такую, что \(\угол A = \угол D\) .


Достроим трапецию до треугольника \(AED\), как показано на рисунке.Так как \(\угол 1 = \угол 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как соответствуют параллельным прямым \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Точно так же углы \(2\) и \(4\) равны, но \(\угол 1 = \угол 2\) , тогда \(\угол 3 = \угол 1 = \угол 2 = \угол 4\ ), поэтому треугольник \(BEC\) также равнобедренный и \(BE = EC\) .

В конце концов \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), т.е. \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Так как \(\треугольник AOD\sim \треугольник BOC\), то мы обозначаем их коэффициент подобия через \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Подобно \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Поскольку \(AC=BD\) , тогда \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Итак, \(\треугольник AOD\) равнобедренный и \(\угол OAD=\угол ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\) (\(AC=BD, \угол OAD=\угол ODA, AD\)- общий).Итак, \(AB=CD\) , поэтому.

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами, являющимися основаниями, и двумя непараллельными сторонами, являющимися сторонами.

Существуют также такие названия, как равнобедренный или равнобедренный .

Это трапеция с прямыми углами на боковой стороне.

Trapeente Elements

A, B Основы трапециевидной (параллельный до б),

м, N — SCOP Trapeze,

D 1, D 2 — Диагонали Trapeze,

h- высота трапеция (отрезок, соединяющий основания и одновременно перпендикуляр к ним),

МН- средняя линия (отрезок, соединяющий середины сторон).(\circ)

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликие , то есть, имеющие равные площади, являются отрезками диагоналей и треугольников AOB и DOC, образованных сторонами.(2) .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой относительно:

\frac(OX)( OY) = \frac(BC)(AD)

Это будет верно и для высоты с самими диагоналями.

Проектная работа «Интересные свойства трапеции» Выполнили: учащиеся 10 класса Кудзаева Элина Баззаева Диана МКОУ СОШ с.Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые не изучаются в школьном курсе геометрии, но при решении геометрических задач ЕГЭ из расширенной части С 4, возможно необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапецию разделить прямой, параллельной ее основаниям, равной a и b, на две трапеции одинакового размера.Тогда отрезок этой прямой, заключенный между сторонами, равен a B k

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, равен: a in c

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельный основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, делится на его диагонали на три части. Тогда отрезки, примыкающие к сторонам, равны между собой.MP=OK R M O K

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности в среднем пропорционален отрезкам, на которые точка касания делит сторону. OSWA D. EO

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то ее диагональ перпендикулярна стороне OABCD

Свойства равнобедренной трапеции: В окружность можно вписать равнобедренная трапеция, если боковая сторона равна ее средней линии.C V A D h

1) Если условие задачи гласит, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, то можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанная окружность, точки касания и вершина трапеции представляет собой квадрат, сторона которого равна радиусу. (АМОЕ и БКОМ — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению половины суммы его оснований и высоты: Обозначим CF=m , FD=n .Так как расстояния от вершин до точек касания равны, то высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (как внутренняя односторонняя с AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90° (потому что биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, следовательно, ∠AKB=180-90=90º.Вывод: биссектрисы боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение используется при решении задач о трапеции, в которую вписана окружность.

I I Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS равнобедренный с основанием BS. Следовательно, ее биссектриса AK также является медианой, т. е. точка K является серединой BS. Если M и N — середины сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD.Поскольку M и K — середины треугольников AB и BS, MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Так как через точку М можно провести только одну прямую, параллельную данной, то точка К лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, ВС=ВК+КС=АВ+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме сторон трапеции.У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание вдвое больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Следовательно, AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме сторон трапеции.Равнобедренная трапеция в этом случае имеет большее основание в два раза больше стороны.

Если в равнобедренную трапецию со сторонами a, b, c, d можно вписать окружности и описать вокруг нее окружности, то площадь трапеции равна

— (греч. трапеция). 1) в геометрии четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, входящих в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ…… Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греч. trapezion, буквально стол), выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований (средней линии) и высоты. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь синонимов русского языка. трапециевидные п., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греч. trapezion, буквально стол), выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. таблица), четырехугольник, у которого две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке AD и BC), а две другие не параллельны.Расстояние между основаниями называется высотой трапеции (при… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ Четырехугольная плоская фигура, две противоположные стороны которой параллельны. Площадь трапеции равна половине суммы параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними… Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапециевидная, с внутренней резьбой. (от греческого трапециевидного стола). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух канатах (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, а, жен. 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (ее параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд, перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. ОТ… Толковый словарь Ожегова

Самка, геом. четырехугольник с неравными сторонами, из которых две постенные (параллельные).Трапеция – это подобный четырехугольник, у которого все стороны разведены. Трапецоэдр, тело, разрезанное трапециями. Толковый словарь Даля. В И. Дал. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Трапеция), США, 1956 г., 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает известный в прошлом воздушный гимнаст Майк Риббл. Однажды Майк выступал с отцом Тино. Молодой Орсини хочет Майка… … Киноэнциклопедия

Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.Расстояние между параллельными сторонами. высота Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и h метров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Фейсбук

Твиттер

В контакте с

одноклассников

Гугл+

Как найти площадь квадрата, прямоугольника, треугольника, круга, цилиндра, трапеции, призмы, сферы, параллелограмма, конуса, многоугольника

Измерение размеров границ фигур относительно просто.Вы просто запускаете линейку или расчет по краю. Но есть еще кое-что, что нужно понять, когда вы хотите узнать, как найти площадь фигуры, плоской или трехмерной. Шаг за шагом мы расскажем, как найти площадь квадрата, прямоугольника, треугольника, круга, полукруга, цилиндра, трапеции, призмы, сферы, параллелограмма, конуса, многоугольника и многого другого.

Геометрия занимается не только самими вычислениями, но и оптическим образом привносит реальные объекты в математику. Например, реальные вещи отображаются в виде графиков и рассчитываются с их помощью.Однако прежде чем мы перейдем к вычислению площадей и тел, давайте разберемся с основными формами.

На уроках математики учащиеся изучают решения для различных фигур. Однако это не так просто, в зависимости от формы площадь рассчитывается по разным формулам. Мы покажем вам, как вы можете научить своих детей находить площадь фигуры. Читайте также: Как легко найти межквартильный размах (IQR): пошаговое руководство

Как найти площадь квадрата

Определение квадрата

  • четыре стороны имеют одинаковую длину
  • четыре внутренних угла одного размера
  • имеет четыре оси симметрии
  • две диагонали имеют одинаковую длину

Как найти площадь квадрата: Площадь ( А) рассчитывается как длина, умноженная на ширину, что, однако, то же самое для квадрата… длина точно равна ширине.
Формула: A = длина x ширина

Пример 1:

Длина квадрата 5м, ширина 5м. Чему равна площадь прямоугольника?

Решение: A = 5 м x 5 м = 25 кв. м

Пример 2:

Площадь прямоугольника 25 кв.м. Одна сторона 5 метров. Как долго другая сторона?

Решение: 25 кв. м / 5 м = 5 м

Как найти площадь прямоугольника

Определение прямоугольника

Как узнать прямоугольник? Ну, для каждого прямоугольника противоположные стороны имеют одинаковую длину и параллельны.Две диагонали имеют одинаковую длину.

Чтобы найти площадь прямоугольника, площадь (A) рассчитывается путем умножения длины на ширину, что не равно длине.
Формула: A = длина x ширина

Как найти площадь треугольника

Как найти площадь треугольника или как найти площадь прямоугольного треугольника:

«a» — длина стороны основания треугольника
«h» — высота треугольника

Площадь: A = 0,5 · a · h
Пример: a = 3 см, b = 5 см

Решение: А = 0.5 · 3 см · 5 см = 7,5 см2

Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник имеет следующие характеристики:

  • Три страницы одинаковой длины
  • Три оси симметрии
  • Три угла по 60°

Равносторонний треугольник центрально-симметричен, так как три оси симметрии пересекаются в одной точке, на пересечении высот. Каждая ось симметрии делит треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника.На приведенном выше рисунке показан равносторонний треугольник:

.

Пример: Если вы используете для длины a = 2 м, вы получите площадь A = 1,732 м.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник со следующими характеристиками:

  • Две страницы одинаковой длины ( a = b )
  • Два равных угла при основании ( α = β )
  • Ось (линия симметрии) делит пополам основание и угол γ на вершине

Это показано на следующем рисунке:

Как найти площадь неправильного треугольника (разностороннего треугольника)

Неправильный треугольник — это треугольник, все стороны которого имеют разную длину.Или другими словами: страницы a, b и c имеют разную длину. С математической точки зрения это выглядит так: a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c. Хотя всем наверняка понятно, как выглядит такой треугольник, здесь опять графика.

Площадь неправильного треугольника (или разностороннего треугольника) получается путем взятия половины произведения основания на высоту треугольника. Таким образом, формула площади разностороннего треугольника с основанием «b» и высотой «h» равна «(1/2) bh».

Формула: A = [(1/2) × основание × высота]

Как найти площадь круга

Как найти площадь круга? Для этого сначала рассмотрим круг.Признаем: Круг имеет центр, границей круга всегда является расстояние «r» от этого центра. На графике над вами это показано.

Кроме радиуса есть еще так называемый диаметр. Диаметр в два раза больше радиуса. Кроме того, также необходимо так называемое число окружности (произносится: пи). В школе обычно используется число 3.14159.

Формулы площади круга:

Две формулы для вычисления площади круга выглядят так:

«A» — площадь круга в квадратных метрах [м2]
«Cul» — номер круга 3.14159
«r» — радиус окружности в метрах [м]
«d» — диаметр окружности в метрах [м]

Пример 1: Как найти площадь круга с радиусом

Радиус окружности 0,34 м. Обе приведенные выше формулы используются для расчета площади круга.

Решение: Подставляем радиус в первое уравнение и используем его для расчета площади. Чтобы использовать вторую формулу, радиус нужно сначала удвоить, чтобы получить диаметр.Подставляем этот диаметр во второе уравнение.

Как найти площадь круга диаметром

Чтобы использовать приведенную выше формулу для нахождения площади круга с диаметром, сначала нужно удвоить радиус, чтобы получить диаметр. Подставляем этот диаметр во второе уравнение.

Как найти площадь полукруга

Полукруг — это круг, который составляет половину круга. Таким образом, самый простой способ найти площадь полукруга — использовать радиус или диаметр, чтобы найти площадь, которая была бы, если бы это был полный круг (см. шаги выше), а затем разделить его пополам, чтобы получить площадь полукруга. полукруг.

Как найти площадь трапеции

Сначала небольшое напоминание: плоская фигура, заключенная в четыре линии, называется квадратом. Трапеция относится к классу четырехугольников и обладает следующими свойствами:

  • Квадрат, по крайней мере, с двумя параллельными сторонами
  • Две параллельные стороны называются основанием трапеции.
  • Одну из этих сторон основания (обычно более длинную) часто называют основанием трапеции.
  • Высота h трапеции — это расстояние между двумя параллельными сторонами.
  • Каждая трапеция имеет две диагонали, которые пересекаются в равных пропорциях.

Как найти площадь трапеции: Площадь А вычисляется как произведение ширины на высоту, где ширина рассчитывается путем сложения двух параллельных сторон и деления на 2.

Формула: A = (a + c) x 0,5 x h

Как найти площадь поверхности призмы

Призма – это геометрическое тело, в основе которого лежит многоугольник, а боковые ребра параллельны и имеют одинаковую длину.Призма создается параллельным перемещением плоского многоугольника вдоль прямой в пространстве, не лежащего в этой плоскости, и поэтому является особым многогранником. Часто проводится различие между прямой и наклонной призмой, а на приведенном выше рисунке показана прямая треугольная призма.

Как найти площадь прямоугольной призмы

Шаги, как найти площадь поверхности прямоугольной призмы, довольно просты. Вы находите площадь каждой из четырех сторон (используя приведенную выше формулу, как найти площадь прямоугольника) и складываете их вместе.

Как найти площадь поверхности треугольной призмы

В этом разделе мы имеем дело с формулами, как найти площадь поверхности призмы. Для этого мы сначала предоставим вам формулы, включая описание переменных и примеры для лучшего понимания. Начнем с формул:

Где:

«V» — объем призмы
«AG» — основание призмы
«h» — высота призмы
«AM» — внешняя поверхность
«UG» — периметр площади основания
«О» — поверхность призмы

Пример 1: как найти площадь поверхности треугольной призмы

Основание призмы состоит из прямоугольного треугольника.Катеты имеют длину 9 см и 12 см и высоту 20 см. Объем, боковая поверхность и поверхность должны быть рассчитаны.

Решение: Конечно, мы используем формулы для вычисления объема, чтобы вычислить объем. Поскольку это прямоугольный треугольник, мы можем работать с формулой площади треугольника здесь.

Далее вычисляем площадь поверхности. Для этого нам понадобится размер базовой области. У нас есть длины катета, поэтому длина гипотенузы по-прежнему отсутствует.Сумма этих трех длин и есть длина окружности основания призмы. Это значение мы умножаем на высоту на AM, чтобы получить площадь поверхности.

Наконец, определяем поверхность. Мы берем значения для AG и AM из предыдущих расчетов, чтобы теперь определить поверхность.

Как найти площадь поверхности цилиндра

Прежде всего, в том, как найти площадь цилиндра, мы должны кратко пояснить, что такое цилиндр. Согласно общему определению, цилиндр ограничен двумя параллельными плоскими поверхностями (основание и верхняя поверхность) и поверхностью оболочки или цилиндра, образованной параллельными прямыми линиями.На рисунке выше показан цилиндр.

Как найти площадь поверхности цилиндра : Чтобы вычислить поверхность цилиндра, вам нужен радиус «r» цилиндра и его высота «h». Тогда формула для расчета поверхности цилиндра «А» выглядит следующим образом:

А = 2 π r (r + h)

Пример:

Радиус цилиндра 2 метра, высота 3 метра. Какова площадь поверхности цилиндра?

Решение: Из текста берем информацию r = 2m и h = 3m.Подставляем эти значения в формулу.

A = 2 3,14159 2 м (2 м + 3 м)
A = 12,566 м (5 м)
A = 62,83 м 2
Поверхность цилиндра равна 62,83 м 2 .

Как найти площадь параллелограмма

Определение параллелограмма. Сначала краткое напоминание: плоская фигура, заключенная в четыре линии, называется квадратом. Параллелограмм относится к классу четырехугольников и обладает следующими свойствами:

  • Две противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину
  • Сумма соседних углов равна 180°
  • Противоположные углы равны
  • Диагонали делят друг друга пополам
  • Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Площадь: Площадь A рассчитывается как произведение ширины на высоту.
А = а х ч а

Как найти площадь ромба

Это тот же набор шагов, что и для нахождения площади параллелограмма. Но также вы можете использовать диагонали.

Плоская фигура, заключенная в четыре линии, называется квадратом. Ромб относится к классу квадратов и обладает следующими свойствами:

  • Ромб представляет собой плоский выпуклый квадрат с четырьмя сторонами равной длины (равносторонний квадрат)
  • Противоположные стороны параллельны друг другу
  • Две диагонали являются осями симметрии.
  • Диагонали перпендикулярны друг другу и делят друг друга пополам.
  • Противоположные углы имеют одинаковую величину
  • Сумма всех внутренних углов равна 360°.
  • Сумма смежных углов составляет 180°.

Площадь: Площадь A рассчитывается следующим образом.
A = 0,5 * e * f
Окружность: Окружность U ромба представляет собой сумму длин маршрутов.
U = а + b + c + d
U = 4a

Как найти площадь четырехугольника

Это тот же набор шагов, что и для нахождения площади параллелограмма, если вам нужно знать, как найти площадь правильного четырехугольника.

Как найти площадь многоугольника

Чтобы найти площадь правильного многоугольника, все, что вам нужно сделать, это следовать простой формуле: площадь = 1/2 x периметр x апофема.[1] Вот что это означает:
Периметр = сумма длин всех сторон
Апофема = отрезок, соединяющий центр многоугольника с серединой любой стороны, перпендикулярной этой стороне.

как найти площадь неправильной формы

Чтобы найти площадь неправильной формы, мы можем разделить неправильную форму на правильные многоугольники, а затем найти площадь каждого отдельного многоугольника.Следовательно, площадь данной неправильной формы = площади всех правильных многоугольников, на которые разбита неправильная форма.

Как найти площадь поверхности сферы

Поверхность сферы Формула:

  • «O» — поверхность сферы
  • «π» — номер окружности (3,14159)
  • «r» — радиус сферы

Пример: r = 2 см

Решение:


Как найти площадь поверхности конуса

Первый вопрос, который возникает: что такое круглый конус? Итак, прямой круглый конус имеет радиус r в качестве основания, вершина находится на высоте h по вертикали над центром круга.На приведенном выше рисунке показано, как выглядит прямой круглый конус, а также представлены соответствующие переменные для формул.

К формулам прямого круглого конуса:

Где:

  • «V» — объем круглого конуса
  • «π» — номер окружности, около 3,14159
  • «r» — радиус основания
  • «h» — высота круглого конуса
  • « AM » — внешняя поверхность
  • «AO» — поверхность
  • «s» — длина страницы

Пример 2: Расчет площади поверхности конуса

Круглый конус имеет радиус 40 см и высоту 60 см.Сначала вычисляем длину стороны «s», так как эта информация нам понадобится для дальнейшего расчета. Затем нам просто нужно вставить значения в другие формулы и все рассчитать.

Как найти площадь сектора или сегмента круга

В геометрии сегментом окружности называется часть площади круга, ограниченная дугой и хордой. Это также видно на графике выше. Формулы, включающие пример, также относятся к этому рисунку:

Где :

  • «α» угол в центральной точке (см. рисунок)
  • «b» длина дуги от A до B.
  • «h» — высота сегмента
  • «r» — радиус окружности
  • «s» — длина кругового сухожилия

Кроме того, следует отметить еще несколько. «А» — площадь области, нарисованной зеленым цветом. «М» означает центр круга. Для лучшего обзора также введены точки «А» и «В», которые обозначают концы дуги окружности.

Формулы сегмента круга и пример

Далее смотрим формулы сегмента окружности или сегмента окружности.Для этого можно использовать следующие формулы.

Пример : Необходимо вычислить площадь сегмента круга. Применяются следующие данные: h = 2 см, s = 6 см и b = 9 см. Какова площадь сегмента круга? Решение:

Как найти площадь поверхности квадратной пирамиды

Существует несколько способов, как найти площадь поверхности квадратной пирамиды. Вот несколько формул для этого. Что означают отдельные переменные, можно увидеть на графике.Недостающая информация: AO = поверхность пирамиды, AG = основание пирамиды, AM = внешняя поверхность пирамиды.

Совет: Вы должны использовать всю информацию в метрах, тогда вы получите результат в квадратных метрах.

Пример : Базовое ребро имеет длину 4 метра. Высота борта 5 метров. Насколько велика поверхность пирамиды?

Решение: Из текста берем информацию a = 4m и h s = 5m. Подставляем эту информацию в формулу:

Таким образом, площадь пирамиды составляет 56 м 2 .

Заключение

Геометрия не обязательно является любимым предметом ученика, но знания, полученные в школе, в частности, будут востребованы снова и снова в последующие годы и понадобятся на уроках математики.

Некоторые дети процветают, когда им наконец разрешают пользоваться компасом или когда они могут показать свое хорошее чувство пространства при рисовании форм и фигур. Большинство из них, однако, раздраженно стонут при вычислении углов или определении кубической поверхности или объема.

Геометрия как раздел математики уже является частью урока в первом классе начальной школы. Это правильно, ведь во многих сферах повседневной жизни геометрия помогает ответить на вопросы и решить задачи. Технология, которой не менее 4000 лет, использовалась, например, для топографической съемки в Древнем Египте. И даже сегодня многим профессиям, от модельеров до архитекторов, необходимы базовые геометрические знания.

В качестве основ геометрии вы познакомитесь:

  • Знакомство и обнаружение форм и тел
  • Распознавание тел с разных точек зрения
  • Поиск и рисование прямых углов и перпендикуляров
  • Распознавание сетей кубов
  • Разделение и добавление треугольников и квадратов
  • Поиск и рисование осей вращательной симметрии и зеркальные оси
  • Понимание кубических сетей
  • Завершение рисунка
  • Рисование кругов (циркулей)
  • Использование треугольников, линеек и циркуля
  • Увеличение и уменьшение масштабов
  • Формирование представления о площади
  • 92 Важное,

    2

    2 геометрические определения
    термин определение
    точка точка — это объект без протяженности.
    маршрут Линия — это кратчайшее возможное соединение между двумя точками.
    Just Прямая линия — это прямая линия без начала и конца.
    луч Луч — это прямая линия, имеющая начальную точку, но не имеющая конечной точки.
    параллельно Прямые линии параллельны, если они не пересекаются ни в одной точке.
    Сложные геометрические фигуры
    термин определение
    параллелограмм Параллелограмм – это квадрат с противоположными сторонами одинаковой длины.
    Трапеция Трапеция — это квадрат, у которого есть пара параллельных противоположных сторон.
    Цилиндр Цилиндр является одним из двух параллельных, плоских, конгруэнтных
    Ромб Ромб или ромб представляет собой параллелограмм с 4 сторонами одинаковой длины.

    0 comments on “Окружность и трапеция: Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.