Описанная окружность вокруг прямоугольного треугольника: Прямоугольный треугольник и описанная вокруг него окружность

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Определение и формулы описанной окружности прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Окружность, описанная около треугольника, содержит все вершины треугольника.

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

   

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема синусов:

   

где – радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, – катеты этого треугольника, – его гипотенуза, – острые углы треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике медиана , проведенная к гипотенузе, делит прямой угол в отношении . Найти катеты треугольника.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник и проведем медиану . Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, то медиана является радиусом описанной окружности и

   

Пусть , тогда из условия задачи следует, что и

   

Отсюда получаем, что .

Поскольку , то – равнобедренный, а значит и

   

А это означает, что – равносторонний, т.е. . Тогда по теореме Пифагора

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Серединный перпендикуляр к отрезку

      Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Рис.1

      Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку   D,   лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку   AB   (рис.2), и докажем, что треугольники   ADC   и   BDC   равны.

Рис.2

      Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты   AC   и   BC   равны, а катет   DC   является общим. Из равенства треугольников   ADC   и   BDC   вытекает равенство отрезков   AD   и   DB.   Теорема 1 доказана.

      Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

      Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка   E   находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки   E   и   A   лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок   EA   пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой   D.

Рис.3

      Докажем, что отрезок   AE   длиннее отрезка   EB.   Действительно,

      Таким образом, в случае, когда точки   E   и   A   лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Рис.4

      Теперь рассмотрим случай, когда точки   E   и   A   лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок   EB   длиннее отрезка   AE.   Действительно,

      Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

      Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Рис.5

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где   a , b , c   – стороны треугольника,   A , B , С   – углы треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где   A , B , С   – углы треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где   a , b , c   – стороны треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Посмотреть доказательство

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где   a , b , c   – стороны треугольника,   A , B , С   – углы треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где   A , B , С   – углы треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где   a , b , c   – стороны треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

      Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам   AC   и   AB   треугольника   ABC,   и обозначим точку их пересечения буквой   O   (рис. 6).

Рис.6

      Поскольку точка   O   лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   AC,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   AB,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

      Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

      Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим точку   O,   в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника   ABC   (рис. 6).

      При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке   O   и радиусами   OA,   OB,   OC   проходит через все три вершины треугольника   ABC,   что и требовалось доказать.

      Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Рис.7

справедливы равенства:

.

      Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса   R хорды окружности радиуса   R,   на которую опирается вписанный угол величины   φ ,   вычисляется по формуле:

      Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Рис.8

      Угол   MPN,   как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

      Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

      Формула (1) доказана.

      Из формулы (1) для вписанного треугольника   ABC   получаем (рис.7):

      Теорема синусов доказана.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Как найти радиус описанной около треугольника abc окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Окружность описанная около прямоугольного треугольника

Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:

Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!

То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:

Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.

Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием «Плач математика», рекомендую к прочтению учителям и ученикам.

Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:

Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. То есть если у четырехугольника обе пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признак прямоугольника. Прямоугольник является параллелограммом, и его диагонали равны. То есть если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

*Прямоугольник является параллелограммом, это его частный случай.

Итак, приступим:

Возьмем треугольник и относительно центра окружности повернем его на 1800 (перевернём его). У нас получится четырехугольник, вписанный в окружность:

Поскольку мы просто повернули треугольник, то противолежащие стороны четырехугольника равны, значит это параллелограмм. Поскольку треугольник повернут ровно на 180 градусов, значит его вершина диаметрально противоположна вершине «исходного» треугольника.

Получается, что диагонали четырёхугольника равны, так они являются диаметрами. Имеем четырёхугольник у которого противолежащие стороны равны и диагонали равны, следовательно это есть прямоугольник, а у него все углы прямые.

Вот и всё доказательство!

Можно рассмотреть и такое, тоже простое и понятное:

Посмотреть ещё одно доказательство =>>

Из точки С построим отрезок проходящий через центр окружности, другой конец которого будет лежать на противоположной точке окружности (точка D). Точку D соединим с вершинами А и В:Получили четырёхугольник. Треугольник АОD равен треугольнику СОВ по двум сторонам и углу между ними:

Из равенства треугольников следует, что AD = CB.

Аналогично и АС = DB.

Можем сделать вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. Кроме того, его диагонали равны –  АВ изначально дан как диаметр, СD также диаметр (проходит через точку О).

Таким образом, АСВD прямоугольник, значит все его углы прямые. Доказано!

Ещё один примечательный подход, который ярко и «красиво» говорит нам о том, что рассматриваемый угол всегда прямой.

Посмотрите и вспомните информацию про вписанный угол. А теперь посмотрите на эскиз:

Угол АОВ не что иное как центральный угол опирающийся на дугу АDB, и равен он 180 градусам. Да, АВ это диаметр окружности, но ничто нам не мешает считать АОВ центральным углом (это развёрнутый угол). Угол же АСВ является вписанным для него, он опирается также же дугу на АDB.

А мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то есть как бы мы не разместили точку С на окружности, угол АСВ всегда будет равен 90 градусам, то является прямым.

Какие выводы можно сделать применительно к решению задач, в частности включённых в экзамен?

Если в условии речь идёт о треугольнике вписанном в окружность и построенном на диаметре этой окружности, то однозначно этот треугольник является прямоугольным.

Если сказано, что прямоугольный треугольник вписан в окружность, то это означает, что его гипотенуза является совпадает с её диаметром (равна ему) и центр гипотенузы совпадает с центром окружности.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.

Окружность, описанная вокруг треугольника

Примечание
. В данном уроке изложены задачи по геометрии о треугольниках, вписанных в окружность. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме.

Задача Внутри окружности проведены хорды AB и BC, длина которых равна радиусу окружности. Определите величину угла ABC.

Решение.
Проведем к центру окружности, который обозначим буквой O, отрезки AO, BO и CO. Поскольку по условию задачи AB и BC равны радиусу окружности, а AO, BO и CO равны радиусу по определению, то в треугольнике ABO  AB=AO=BO=r (радиусу окружности), а в треугольнике BCO BC=OC=OB=r (радиусу окружности).

Таким образом, треугольники ABO и BCO — равносторонние. Углы равностороннего треугольника равны между собой и составляют 60 градусов. Таким образом углы ABO=OBC=60

0, а угол ABC равен сумме углов ABO и OBC, ABC = ABO + OBC = 600 + 600= 1200.

Ответ: Искомый угол ABC, образованный двумя хордами AB и BC равен 120 градусов.

Задача

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см. Найдите радиус описанной окружности.

Решение.
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. Значит R = 26/2 = 13 см.

Ответ: 13 см.

Задача

В треугольнике АВС угол В=60 градусов, АВ больше ВС на 1, радиус описанной окружности равен √7. Найдите площадь треугольника и длину стороны АС.

Решение.
обозначим BC как x, тогда AB = x+1
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника равен
R = a / 2sinα
где

a — сторона, противолежащая углу α
Таким образом, учитывая, что sin 60 градусов равен √3/2 :
√7 = AC / 2sin60º
√7 = AC / ( 2 √3/2 )
√7 = AC / √3
AC = √21

 Окружность, описанная вокруг треугольника | Описание курса | Окружность, описанная вокруг треугольника (часть 2) 

   

Вписанный и описанный треугольник — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

,

где — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

Ответ: .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Гипотенуза диаметр описанной окружности

Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:

Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!

То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:

Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.

Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием » Плач математика «, рекомендую к прочтению учителям и ученикам.

Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:

Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. То есть если у четырехугольника обе пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признак прямоугольника. Прямоугольник является параллелограммом, и его диагонали равны. То есть если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

*Прямоугольник является параллелограммом, это его частный случай.

Возьмем треугольник и относительно центра окружности повернем его на 180 0 (перевернём его). У нас получится четырехугольник, вписанный в окружность:

Поскольку мы просто повернули треугольник, то противолежащие стороны четырехугольника равны, значит это параллелограмм. Поскольку треугольник повернут ровно на 180 градусов, значит его вершина диаметрально противоположна вершине «исходного» треугольника.

Получается, что диагонали четырёхугольника равны, так они являются диаметрами. Имеем четырёхугольник у которого противолежащие стороны равны и диагонали равны, следовательно это есть прямоугольник, а у него все углы прямые.

Вот и всё доказательство!

Можно рассмотреть и такое, тоже простое и понятное:

Из точки С построим отрезок проходящий через центр окружности, другой конец которого будет лежать на противоположной точке окружности (точка D). Точку D соединим с вершинами А и В: Получили четырёхугольник. Треугольник АОD равен треугольнику СОВ по двум сторонам и углу между ними:

Из равенства треугольников следует, что AD = CB.

Аналогично и АС = DB.

Можем сделать вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. Кроме того, его диагонали равны – АВ изначально дан как диаметр, СD также диаметр (проходит через точку О).

Таким образом, АСВD прямоугольник, значит все его углы прямые. Доказано!

Ещё один примечательный подход, который ярко и «красиво» говорит нам о том, что рассматриваемый угол всегда прямой.

Посмотрите и вспомните информацию про вписанный угол . А теперь посмотрите на эскиз:

Угол АОВ не что иное как центральный угол опирающийся на дугу АDB, и равен он 180 градусам. Да, АВ это диаметр окружности, но ничто нам не мешает считать АОВ центральным углом (это развёрнутый угол). Угол же АСВ является вписанным для него, он опирается также же дугу на АDB.

А мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то есть как бы мы не разместили точку С на окружности, угол АСВ всегда будет равен 90 градусам, то является прямым.

Какие выводы можно сделать применительно к решению задач, в частности включённых в экзамен?

Если в условии речь идёт о треугольнике вписанном в окружность и построенном на диаметре этой окружности, то однозначно этот треугольник является прямоугольным.

Если сказано, что прямоугольный треугольник вписан в окружность, то это означает, что его гипотенуза является совпадает с её диаметром (равна ему) и центр гипотенузы совпадает с центром окружности.

Серединный перпендикуляр к отрезку
Окружность описанная около треугольника
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура Рисунок Свойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

  • В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
  • Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы и медиане, проведенной из прямого угла к гипотенузе.

Прямоугольный треугольник и описанная вокруг него окружность

Доказательство

Шаг 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (∠С = 90⁰).

Доказательство свойства. Шаг 1

Шаг 2

Проведем из прямого угла С медиану СО к биссектрисе АВ.

Доказательство свойства. Шаг 2

Шаг 3

СО = ВО=АО – т.е. все три вершины треугольника равноудалены от точки О.

Таким образом, точка О будет центром описанной вокруг этого треугольника окружности, а отрезки СО, ВО, АО будут являться радиусом описанной окружности.

В результате получим, что центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и равен медиане, опущенной на гипотенузу (R=CO).

Окружность треугольника — Открытый справочник по математике

Окружность треугольника — Открытый справочник по математике Окружность, проходящая через все три вершины треугольника
Также «Описанный круг». Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждой вершине чтобы изменить форму треугольника. Обратите внимание, что описанная окружность всегда проходит через все три точки.

Описанная окружность всегда проходит через все три вершины треугольника. Его центр находится в точке, где все серединные перпендикуляры стороны треугольника пересекаются.Этот центр называется центром окружности. Видеть центр окружности треугольника, чтобы узнать больше об этом.

Обратите внимание, что центр круга может быть внутри или снаружи треугольника. Отрегулируйте треугольник выше и попытайтесь получить эти случаи.

Радиус описанной окружности также называют радиусом описанной окружности треугольника.

Для прямоугольных треугольников

В случае прямоугольный треугольник, в гипотенуза это диаметр описанной окружности, а ее центр находится точно в середина гипотенузы.Это та же ситуация, что и теорема Фалеса, где диаметр стягивает прямой угол к любой точке окружности.

Если вы перетащите треугольник на рисунке выше, вы можете создать такую ​​же ситуацию.

Для равносторонних треугольников

В случае равностороннего треугольника где все три стороны (a,b,c) имеют одинаковую длину, радиус описанной окружности определяется по формуле: где s — длина стороны треугольника.

Если ты знаешь все три стороны

Если известны длины (a,b,c) трех сторон треугольника, радиус описанной окружности определяется по формуле:

Если известна одна сторона и противоположный ей угол

Диаметр описанной окружности определяется по формуле: где a — длина одной стороны, а A — угол, противоположный этой стороне.

Это дает диаметр , поэтому радиус составляет половину этого

Это вытекает из Закон синусов.

Построение описанной окружности треугольника

Центр описанной окружности и описанную окружность треугольника можно построить с помощью циркуля и линейки. Построение окружности треугольника содержит анимированную демонстрацию техники и рабочий лист, чтобы попробовать ее самостоятельно.

Другие темы треугольника

Общий

Периметр/площадь

Типы треугольников

Треугольные центры

Конгруэнтность и подобие

Решение треугольников

Тесты и упражнения с треугольниками

(C) Открытый справочник по математике, авторское право, 2011 г.
Все права защищены

вписанных и описанных прямоугольных треугольников

Несколько учащихся в своих размышлениях о разделе «Наши кружки» отметили, что задания по оценке успеваемости помогли им «объединить все, чему мы научились, чтобы найти правильные ответы на сложные задачи».

Мы начали с диаграммы из урока формирующего оценивания Mathematics Assessment Project. Вписание и описание прямоугольных треугольников

и попросил студентов на

1.Вычислите радиусы описанной окружности для прямоугольного треугольника со сторонами 5 единиц, 12 единиц и 13 единиц. Покажите и обоснуйте каждый шаг своих рассуждений.

2. С помощью математики подробно объясните, как вычислить радиусы описанной окружности прямоугольного треугольника со сторонами любой длины: a, b и c (где c — гипотенуза).

Второе задание было немного более структурированным. Круги в треугольниках – результат задания ученика в рамках проекта Mathematics Assessment Project.

Студенты получили следующее:

На этой диаграмме показана окружность, которая касается сторон прямоугольного треугольника, длина сторон которого равна 3 единицам, 4 единицам и 5 единицам.

1. Докажите, что треугольники AOX и AOY равны.

2. Что вы можете сказать о размерах отрезков CX и CZ?

3. Найдите r, радиус окружности. Четко объясните свою работу и покажите все свои расчеты.

Интересно, что было бы, если бы мы попросили учащихся определить радиус вписанной окружности без такого количества вспомогательных линий, которые уже даны на рисунке? Вместо этого, что, если бы мы использовали ту же фигуру, что и в первом задании?

Другой учитель преподал этот урок моим ученикам.Она сохранила свою работу для меня, потому что даже с нарисованными вспомогательными линиями студенты по-разному понимали структуру (и особенно выражения, которые они написали для длин отрезков).

 

Затем их попросили определить радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника со сторонами 5, 12, 13, а затем их попросили обобщить полученные результаты.

На этой диаграмме показана окружность, которая касается сторон прямоугольного треугольника, длина сторон которого равна 5 единицам, 12 единицам и 13 единицам.

4. Нарисуйте вспомогательные линии, как в предыдущем задании, и найдите радиус окружности в этом прямоугольном треугольнике 5, 12, 13. Объясните свою работу и покажите свои расчеты.

5. С помощью математики подробно объясните, как вычислить радиусы вписанной окружности прямоугольного треугольника со сторонами любой длины: a, b и c (где c — гипотенуза).

 

Интересно, как технологии справляются с такими задачами?
У нас был подготовлен скелет диаграммы для студентов, которые хотели ее использовать.

Студенты должны были измерить себя, чтобы конструкция помогла разобраться в математике. Я считаю, что эта технология может быть полезна тем, кто не знает, с чего начать. Что вы замечаете, когда треугольник правильный?

Может ли это помочь им  рассуждать абстрактно и количественно , начиная с количественного и доводя до обобщения? Может ли это помочь им разобраться в проблемах и упорно решать их , когда они не знают, что еще делать на бумаге?

У нас также был подготовлен скелет диаграммы вписанного круга для тех, кто хотел его использовать.

Какие вспомогательные линии (или отрезки) вы бы построили и измерили для вписанной окружности?

Технология может помочь им сделать предположение о длине радиуса, а затем вернуться к математике, чтобы понять, почему.

Итак, путешествие продолжается… Может быть, когда-нибудь я наберусь смелости, чтобы начать наш блок «Круги» с этой задачи и позволить математике разворачиваться в контексте задачи по мере необходимости.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Связанные

 

Свойства и примеры вписанных и описанных треугольников

| Треугольник, вписанный в окружность — Видео и расшифровка урока

Как построить треугольник, вписанный в окружность

Как мы определили ранее, описанную окружность треугольника также можно назвать вписанным треугольником в окружность .Но как это устроено?

Вот простые шаги по построению треугольника , вписанного в окружность .

  • Первый шаг — нарисовать треугольник с помощью линейки, как показано на рис. 2.

Рисунок 2. Треугольник.

  • Второй шаг — провести серединный перпендикуляр к каждой стороне треугольника с помощью циркуля и линейки. Напомним, что биссектриса — это прямая, перпендикулярная другой прямой и делящая эту прямую пополам.Серединный перпендикуляр к третьей стороне треугольника необязателен, так как он просто пересекает другие стороны в той же точке. Обратите внимание на точку пересечения этих серединных перпендикуляров. Здесь должен быть центр круга. Он обозначен точкой O на рис. 3.

Рис. 3. Треугольник и серединные перпендикуляры каждой стороны.

  • Третий шаг — нарисовать круг с помощью циркуля с центром в точке O, начиная с одной вершины треугольника и проходя через все три вершины.Центр окружности называется центром описанной окружности треугольника, показанного на рисунке 4.

Рис. 4. Описанная окружность треугольника и центр описанной окружности.

Теперь у нас есть описанная окружность треугольника или вписанный треугольник в окружность . Углы треугольника — это вписанные углы, опирающиеся на дуги окружности в точке вдоль окружности.

Рис. 5. Треугольник, вписанный в окружность.

Окружность, вписанная в треугольник

Определение , вписанного в , означает, что один объект нарисован внутри другого, пересекаясь, но не выходя за его границы. Окружность , вписанная в треугольник , — это окружность, начерченная внутри треугольника и касающаяся каждой стороны треугольника ровно в одной точке. Пример показан на рисунке 6.

Рис. 6. Окружность, вписанная в треугольник.

Название — окружность, вписанная в треугольник или вписанная окружность треугольника используется, имея в виду окружность внутри треугольника. Ему также можно дать другое имя, относящееся к треугольнику, содержащему круг; то есть описанный треугольник окружности . На этот раз круг содержится в треугольнике.В свою очередь, стороны треугольника являются касательными окружности.

Как построить окружность, вписанную в треугольник

Окружность , вписанную в треугольник , также называемый описанным треугольником окружности , можно построить, выполнив следующие простые шаги:

  • Сначала нужно нарисовать треугольник с помощью линейки, как показано на рисунке 7.

Рисунок 7. Треугольник.

  • Второй шаг — построить биссектрису каждого угла треугольника с помощью циркуля и линейки.Как показано на рисунке 8, эти биссектрисы пересекаются в одной точке внутри треугольника. Биссектриса третьего угла также необязательна, так как она просто пересекает остальные в одной и той же точке. В этой точке находится центр окружности. Он называется в центре треугольника.

Рис. 8. Треугольник с биссектрисами угла.

  • Третий шаг, опять же с помощью циркуля и линейки, состоит в том, чтобы провести биссектрису каждой стороны треугольника, проходящую через центр вписанной окружности.На этот раз, чтобы найти точку, где круг будет касаться каждой стороны треугольника. Как показано на рисунке 9, точка, в которой каждая биссектриса пересекает каждую сторону треугольника, также является точкой, в которой окружность пересекает каждую сторону треугольника.

Рисунок 9. Треугольник с биссектрисами угла и серединными перпендикулярами.

  • Четвертый шаг — построить окружность с помощью циркуля.С компасом, расположенным в центре треугольника, выберите любую точку на любой стороне треугольника, где биссектриса пересекает сторону треугольника, и начните рисовать окружность. Окружность должна проходить или касаться всех трех точек, как показано на рисунке 10.

Рис. 10. Окружность, вписанная в треугольник и центр вписанной окружности.

Теперь у нас есть окружность , вписанная в треугольник , называемый описанным треугольником окружности .Этот круг считается самым большим кругом, который может содержаться внутри треугольника.

Рис. 11. Окружность, вписанная в треугольник.

Краткий обзор урока

описанная окружность треугольника — это окружность, которая ограничивает и содержит треугольник внутри себя. Вершины треугольника расположены вдоль границы окружности. Его также называют вписанным треугольником в круг , который относится к треугольнику внутри круга, вершины которого находятся на круге.Чтобы построить описанную окружность треугольника , первым шагом будет начертить треугольник. Затем с помощью циркуля и линейки начертите серединный перпендикуляр к сторонам треугольника. Обратите внимание, где перпендикулярные биссектрисы пересекаются друг с другом. Именно там находится центр центра. Он называется центром описанной окружности треугольника. Наконец, нарисуйте круг с помощью циркуля, расположенного в центре окружности, начиная с любой вершины треугольника; окружность должна касаться всех трех вершин треугольника.

Окружность , вписанная в треугольник , представляет собой окружность, нарисованную внутри треугольника и касающуюся каждой стороны треугольника ровно в одной точке. Его также называют 90 189 описанным треугольником круга 90 190, который относится к треугольнику, содержащему круг внутри себя. Стороны треугольника касаются окружности. Этот круг считается самым большим кругом, который может содержаться внутри треугольника. Чтобы построить окружность , вписанную в треугольник , первым делом нужно нарисовать треугольник.Затем с помощью циркуля и линейки начертите биссектрису каждого угла треугольника. Точка пересечения биссектрисы угла является центром окружности. Эта точка называется в центре треугольника. Затем снова с помощью циркуля и линейки начертите биссектрису каждой стороны треугольника, проходящую через центр вписанной окружности. Точка, где каждая биссектриса пересекает каждую сторону треугольника, также является точкой касания каждой стороны треугольника с окружностью.Наконец, нарисуйте круг, используя циркуль, расположенный в центре, начиная с любой точки касания, как указано на каждой стороне треугольника, и круг должен пройти все три из них.

Как построить описанную окружность в треугольнике? – Assemblymade.com

Как построить описанную окружность в треугольнике?

Постройте биссектрису одной стороны треугольника. Постройте биссектрису другой стороны. Там, где они пересекаются, находится центр описанной окружности.Поместите компас в центральную точку, отрегулируйте его длину, чтобы он достигал любого угла треугольника, и нарисуйте описанный круг!

Можно ли описать окружность вокруг любого треугольника?

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, т. е. в каждом треугольнике есть вписанная окружность.

Что из перечисленного является треугольником, описанным окружностью?

Центральная точка описанной окружности называется «центр окружности». Для остроугольного треугольника центр описанной окружности находится внутри треугольника.В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на стороне, противоположной прямому углу. Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности находится вне треугольника.

Каков радиус описанной окружности △ ABC?

Для любого треугольника △ABC пусть s = 12 (a+b+c). Тогда радиус r его вписанной окружности равен r=Ks=√s(s−a)(s−b)(s−c)s. Вспомните из геометрии, как разделить угол пополам: используйте циркуль с центром в вершине, чтобы нарисовать дугу, которая пересекает стороны угла в двух точках.

Какова площадь треугольника, описанного около окружности?

Мы знаем, что площадь круга = π*r2, где r — радиус данного круга.Мы также знаем, что радиус окружности равностороннего треугольника = (сторона равностороннего треугольника)/√3.

Как найти описанный треугольник?

Чтобы описать треугольник, все, что вам нужно сделать, это найти центр описанной окружности (на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Затем вы можете найти радиус круга, потому что расстояние от центра круга до одной из вершин треугольника является радиусом.

Что такое радиус описанной окружности?

В геометрии описанная окружность или описанная окружность многоугольника — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника.Центр этой окружности называется центром описанной окружности, а ее радиус называется радиусом описанной окружности.

Что означает описанная окружность?

: окружность, проходящая через все вершины многоугольника (например, треугольника)

Всегда ли центр описанной окружности находится внутри треугольника?

Центр описанной окружности не всегда находится внутри треугольника. На самом деле она может быть вне треугольника, как в случае с тупоугольным треугольником, или может падать на середину гипотенузы прямоугольного треугольника.Смотрите фотографии ниже, чтобы увидеть примеры этого.

Как найти окружность, описанную вокруг треугольника?

Как найти окружность, описанную вокруг треугольника?

Описанные окружности Когда окружность описывает треугольник, треугольник находится внутри круга, и треугольник касается окружности каждой вершиной. найти середину каждой стороны .Найдите биссектрису, проходящую через каждую середину. Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром окружности.

Какова формула описанной окружности?

Уравнение описанной окружности в трехлинейных координатах x : y : z равно a/x + b/y + c/z = 0 . Уравнение описанной окружности в барицентрических координатах x : y : z равно a2/x + b2/y + c2/z = 0,

.

Можно ли описать окружность вокруг любого треугольника?

Для данного треугольника описанной окружностью является окружность, проходящая через все три вершины треугольника .Центр описанной окружности — это центр описанной окружности треугольника, точка, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон.

Каков радиус окружности, описывающей треугольник?

Для треугольника △ABC пусть s = 12 (a+b+c). Тогда радиус R его описанной окружности равен R=abc4√s(s−a)(s−b)(s−c) . В дополнение к описанной окружности в каждом треугольнике есть вписанная окружность, т. е. окружность, к которой касаются стороны треугольника, как на рис. 12.

Чему равна площадь описанного круга?

Мы знаем, что площадь круга = π*r2 , где r — радиус данного круга. Мы также знаем, что радиус окружности равностороннего треугольника = (сторона равностороннего треугольника)/√3. Следовательно, площадь = π*r2 = π*a2/3.

Каков радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?

В прямоугольном треугольнике △ ABC со сторонами a и b, прилегающими к прямому углу, радиус вписанной окружности равен r, а радиус описанной окружности равен R .

Круг какого размера подходит к треугольнику?

Самая большая окружность, которая помещается внутри треугольника и только касается трех сторон треугольника, называется вписанной окружностью или вписанной окружностью .

Является ли хорда иногда радиусом?

Answer Expert Verified (false) Хорда никогда не бывает радиусом . Хорда — это отрезок, две конечные точки которого являются точками на окружности.

Как нарисовать описанную окружность на треугольнике?

Шагов: 1 Постройте биссектрису одной стороны треугольника.2 Постройте биссектрису другой стороны. 3 Там, где они пересекаются, находится центр описанной окружности. 4 Поместите циркуль в центральную точку, отрегулируйте его длину, чтобы он достигал любого угла треугольника, и нарисуйте описанную окружность!

Как найти радиус описанной окружности?

Найдите радиус R описанной окружности для треугольника △ABC из примера 2.6 в разделе 2.2: a = 2 , b = 3 и c = 4 . Затем нарисуйте треугольник и круг.В примере 2.6 мы нашли A = 28,9∘, поэтому 2R = a sinA = 2 sin28,9∘ = 4,14, поэтому R = 2,07.

Где находится центр описанной окружности треугольника?

Описанная окружность всегда проходит через все три вершины треугольника. Его центр находится в точке пересечения всех серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Этот центр называется центром окружности. Подробнее об этом см. в центре описанной окружности треугольника. Обратите внимание, что центр круга может быть внутри или снаружи треугольника.

Всегда ли описанная окружность треугольника проходит через все три вершины?

Окружность треугольника Окружность, проходящая через все три вершины треугольника Также «Описанная окружность». Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждой вершине, чтобы изменить форму треугольника. Обратите внимание, что описанная окружность всегда проходит через все три точки. Описанная окружность всегда проходит через все три вершины треугольника.

⇐ Какова формула тороида? Кто лучший музыкальный дуэт всех времен? ⇒
Похожие сообщения:

Как найти длину окружности

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Окружность треугольника Калькулятор

[1]  2021/09/15 01:55   40-летний уровень / Другое / Очень /

Цель использования
больше соответствует размерам спецификации производителя.Я собрал расстояние между канавками 1 и 3 и рассчитал новый диаметр инструмента для использования в качестве смещения на станке с ЧПУ.

[2]  2021/04/30 00:52   Младше 20 лет / Начальная школа/ Учащийся средней школы / Очень много /

Цель использования
Убедился, что делаю геометрию правильно.

[3]  14.01.2021 01:33   20-летний уровень / Учитель / Исследователь / Очень /

Цель использования
Найти минимальный размер трубы для конструкции с треугольным поперечным сечением

2 [

2 4]  2020/05/02 15:27   50-летний уровень / Пенсионер / Очень /

Цель использования
Рассчитать диаметр делительной окружности (PCD) для детали, которая будет изготовлена ​​на фрезерном станке с ЧПУ.

[5]  31.03.2020 15:27   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /

Назначение
Подготовка к SAT.
Комментарий/Запрос
Спасибо.

[6]  2020/02/22 12:44   60 лет и старше / Пенсионер / Очень /

Назначение
Расчет размеров сменной детали для 3D-печати
[7]  2020/01/31 17:39   Младше 20 лет / Начальная школа/ Учащийся средней школы / Очень /

Цель использования
домашнее задание

До 20 лет / Начальная школа / Ученик младших классов средней школы / Очень /

Цель использования
Научитесь ограничивать.

[9]  2019/06/09 00:31   60 лет и старше / Пенсионер / Очень /

Цель использования
Пишу себе компьютерную программу на BASIC для фрезерования многоугольников из стального прутка, Я машинист-любитель
Комментарий/Запрос
Спасибо за доступ к формулам.

[10]  01.05.2019 19:22   Младше 20 лет / Высшая школа / Университет / Аспирант / Очень /

Назначение
Для расчета внутреннего диаметра стопорного кольца 3D-принтера на задняя часть корпуса рефлектора фары.

0 comments on “Описанная окружность вокруг прямоугольного треугольника: Прямоугольный треугольник и описанная вокруг него окружность

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.