Применение законов кирхгофа: Законы Кирхгофа и их применение

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.
Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I12=-I21; I13=-I31 и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами

Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

Законы Кирхгофа • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Карьера Густава Кирхгофа во многом типична для немецкого физика XIX столетия. Германия позже своих западных соседей подошла к индустриальной революции и потому сильнее нуждалась в передовых технологиях, которые способствовали бы ускоренному развитию промышленности. В результате ученые, прежде всего естественники, ценились в Германии очень высоко. В год окончания университета Кирхгоф женился на дочери профессора, «соблюдя, тем самым, — как пишет один из его биографов, — два обязательных условия успешной академической карьеры». Но еще до этого, в возрасте двадцати одного года, он сформулировал основные законы для расчета токов и напряжений в электрических цепях, которые теперь носят его имя.

Середина XIX века как раз стала временем активных исследований свойств электрических цепей, и результаты этих исследований быстро находили практические применения. Базовые правила расчета простых цепей, такие как закон Ома, были уже достаточно хорошо проработаны. Проблема состояла в том, что из проводов и различных элементов электрических цепей технически уже можно было изготовлять весьма сложные и разветвленные сети — но никто не знал, как смоделировать их математически, чтобы рассчитать их свойства. Кирхгофу удалось сформулировать правила, позволяющие достаточно просто анализировать самые сложные цепи, и законы Кирхгофа до сих пор остаются важным рабочим инструментом специалистов в области электронной инженерии и электротехники.

Оба закона Кирхгофа формулируются достаточно просто и имеют понятную физическую интерпретацию. Первый закон гласит, что если рассмотреть любой узел цепи (то есть точку разветвления, где сходятся три или более проводов), то сумма поступающих в цепь электрических токов будет равна сумме исходящих, что, вообще говоря, является следствием закона сохранения электрического заряда. Например, если вы имеете Т-образный узел электрической цепи и по двум проводам к нему поступают электрические токи, то по третьему проводу ток потечет в направлении от этого узла, и равен он будет сумме двух поступающих токов. Физический смысл этого закона прост: если бы он не выполнялся, в узле непрерывно накапливался бы электрический заряд, а этого никогда не происходит.

Второй закон не менее прост. Если мы имеем сложную, разветвленную цепь, ее можно мысленно разбить на ряд простых замкнутых контуров. Ток в цепи может различным образом распределяться по этим контурам, и сложнее всего определить, по какому именно маршруту потекут токи в сложной цепи. В каждом из контуров электроны могут либо приобретать дополнительную энергию (например, от батареи), либо терять ее (например, на сопротивлении или ином элементе). Второй закон Кирхгофа гласит, что чистое приращение энергии электронов в любом замкнутом контуре цепи равно нулю. Этот закон также имеет простую физическую интерпретацию. Если бы это было не так, всякий раз, проходя через замкнутый контур, электроны приобретали или теряли бы энергию, и ток бы непрерывно возрастал или убывал. В первом случае можно было бы получить вечный двигатель, а это запрещено первым началом термодинамики; во втором — любые токи в электрических цепях неизбежно затухали бы, а этого мы не наблюдаем.

Самое распространенное применение законов Кирхгофа мы наблюдаем в так называемых последовательных и параллельных цепях. В последовательной цепи (яркий пример такой цепи — елочная гирлянда, состоящая из последовательно соединенных между собой лампочек) электроны от источника питания по серии проводов последовательно проходят через все лампочки, и на сопротивлении каждой из них напряжение падает согласно закону Ома.

В параллельной цепи провода, напротив, соединены таким образом, что на каждый элемент цепи подается равное напряжение от источника питания, а это означает, что в каждом элементе цепи сила тока своя, в зависимости от его сопротивления. Примером параллельной цепи является соединение ламп «лесенкой»: напряжение подается на шины, а лампы смонтированы на поперечинах. Токи, проходящие через каждый узел такой цепи, определяются по первому закону Кирхгофа.

Применение законов Кирхгофа для расчета цепей переменного тока

Формулировка этих законов точно такая же для цепей переменного тока, если использовать мгновенные или комплексные значения этих величин.

Рассмотрим их на примере схемы

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа, определим емкостное сопротивление каждого из конденсаторов и индуктивного сопротивления катушек.

XC1=XC2=

Определяем комплексные сопротивления

ZC1=-jXC1ZC2=-jXC2ZL2=jXL2ZL3=jXl3

I1=I2+I3

R1I1+JXL2I2-jXC2I2-jX

C1I1=E2

R3I3+jXL3I3-(-jXC2)I2-jXL2I2=E2-E3

Часто условия задачи или схема заданы так:

Найти: I

В задаче R=10 Ом XL=20 Ом XC=30 Ом

В комплексной форме: ZL=20j ZC=-30j

Z=R+jXL-JXC=10+20j-30j=10-10j Ом

U=20В U=Um*Sin(ωt±φ) φ=0 => U=Ue=20e=20

Схема замещения реальных элементов

Ранее было показано, что в целях переменного тока сопротивление оказывают:

  1. Lp – индуктивность тока

  2. Rобщ – сопротивление провода обмотки

  3. Rg – сопротивление диэлектрика

При расчете задач с сопротивлением мы всегда считали, то сопротивление в чистом виде. На тех частотах, на которых работают электротехнические устройства так и есть, но на высоких частотах в основном для радиотехнических устройств картина меняется. В качестве примера рассмотрим кусок провода.

ρ – удельное сопротивление (по таблице)

S – площадь поперечного сечения

На высоких частотах (начиная с сотен кГц) сказывается поверхностный эффект. Его суть в том, что переменное магнитное поле наводит в проводнике вихревые токи. Они вытесняют рабочий ток к поверхности проводника и внутренняя часть проводника не используется. Условно получается трубка. Очевидно, что резко уменьшается площадь, а значит повышается сопротивление. Поэтому проводные линии высокочастотных связей изготавливают би-металлическими.

Если рассмотреть проволочный реостат, то в схеме замещения приходится учитывать индуктивность обмотки, хотя она так же сказывается на высоких частотах.

XL=ωLP R>>ωLP

Сопротивление проводника так же зависит от температуры

R=R0(1+α∆t), где α – температурный коэффициент (по справочнику)

В катушках индуктивности существует сопротивление обмотки, особенно, если провод имеет малый диаметр, а обмотка большое число витков. В идеальной катушке напряжение и ток сдвинуты на π/2, а в реальности меньше.

Качество элементов оценивается его добротностью.

В конденсаторах далее не учитывали сопротивление диэлектриков, считая его бесконечно большим. Токи утечек внутри конденсатора отсутствовали.

ωс – емкостная проводимость g=1/Rg – проводимость утечки.

Рассмотренные схемы замещения относятся к конкретным элементам электрических цепей. Аналогичным образом приходится учитывать сопротивление дорожек схемы и контактное сопротивление, емкость между дорожками или индуктивность проводов.

На высоких частотах возможны и резонансные явления (из-за паразитных L и C) Цепи с индуктивными связанными элементами взаимная индуктивность.

Два элемента электрической цепи называются индуктивно связанными, если протекание тока по 1 из них вызывает появление ЭДС в другом.

w1,w2 – число витков катушки

Пропустим ток I по первой катушке. При протекании тока по обмотке с числом витков w и можно определить потокосцепление.

Ψ11=w11*Φ

‘11’ – значит поле создано первой катушкой и обхватывает именно эту катушку.

Из рисунка видим, что поле 1й катушки охватывает 2ю катушку. Ее потокосцепление равно:

При влиянии поля первой катушки на вторую, вводим понятие взаимной индуктивности. M21 [Гн] Генри.

Допустим, ток протекает по 2й обмотке:

Картина распределяет поле аналогичная и так же можно определить взаимную индуктивность этих обмоток. Оказывается, что нет разницы с какой стороны эту взаимную индуктивность определять.

M21=M12=M {XМ}=ωM – сопротивление взаимной индуктивности.

Степень индуктивной связи

<1

Закон Кирхгофа

Немецкий ученый Густав Кирхгоф наряду с другими исследованиями сформулировал основной закон, помогающий рассчитывать токи и напряжения в различных видах электрических цепей, который известен, как закон Кирхгофа.

История создания закона Кирхгофа

В середине 19-го века свойства различных электрических цепей активно исследовались с целью их дальнейшего применения на практике. К тому времени уже был совершен переход от простых цепей к более сложным и одним законом Ома было уже не обойтись. Возникла необходимость в расчетах очень сложных и разветвленных цепей.

Именно Кирхгоф сформулировал основные правила, с помощью которых стало возможным рассчитывать цепи практически любой сложности.

Первый закон Кирхгофа

В первом законе рассматривается узел цепи, представляющий собой точку схождения или разветвления трех проводов и более. В этом случае количество поступающего и исходящего электрического тока в общей сумме каждого вида будет одинаково. Таким образом, соблюдается закон сохранения электрического заряда.

Например, при Т-образном узле сумма токов, поступающих по двум проводам, равна току, выходящему по третьему проводу. В противном случае, в узле постоянно происходило бы накопление электрических зарядов, чего, практически, никогда не случается.

Второй закон Кирхгофа

При сложной и разветвленной цепи, она мысленно разбивается на несколько обыкновенных замкнутых контуров. Распределение тока по этим контурам происходит различными путями. В этом случае, достаточно сложно определить маршрут протекания того или иного тока. В каждом контуре у электронов происходит либо приобретение дополнительной энергии, либо ее потеря из-за возникшего сопротивления. Таким образом, общая энергия электронов в каждом замкнутом контуре имеет нулевое значение. В противном случае, с физической точки зрения, происходило бы постоянное возрастание или убывание электрического тока.

Применение законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа широко применяются в различных видах цепей, которые могут быть последовательными либо параллельными. Наиболее типичным примером последовательной цепи служит елочная гирлянда, где все лампочки соединяются в последовательную цепь. В такой цепи в соответствии с законом Ома напряжение постепенно падает. В параллельных цепях напряжение остается одинаковым, а сила тока каждого элемента напрямую зависит от его сопротивления. Определение токов, проходящих по каждому узлу таких цепей, производится в соответствии с первым законом Кирхгофа.

Расчет цепи по законам Кирхгофа

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

$$ \sum{i} = 0, $$

или в комплексной форме

$$ \sum{\underline{I}} = 0. $$

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

$$ \sum{\underline{Z} \cdot \underline{I}} = \sum{\underline{E}}. $$

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{у}-1 $, где $ N_\textrm{у} $ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{в}-N_\textrm{у}+1 $, где $ N_\textrm{в} $ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что

контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.


Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).


Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline{J}_{1} $, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0; $$

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0; $$

для узла «3 у.»:

$$ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0; $$

для узла «4 у.»:

$$ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0. $$

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1}; $$

для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2}; $$

для контура «3 к.»:

$$ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3}; $$

где $ \underline{Z}_{C} = -\frac{1}{\omega C} $, $ \underline{Z}_{L} = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0 \\ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0 \\ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0 \\ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0 \\ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1} \\ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2} \\ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3} \end{cases} $$

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline{Z}_{C1} & R_{2} & 0 & -\underline{Z}_{L1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_{2} & R_{4} & 0 & \underline{Z}_{C2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{Z}_{L1} & 0 & R_{1}+\underline{Z}_{L2} & R_{3} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \underline{I}_{1} \\ \underline{I}_{2} \\ \underline{I}_{3} \\ \underline{I}_{4} \\ \underline{I}_{5} \\ \underline{I}_{6} \\ \underline{I}_{7} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline{J}_{1} \\ \underline{E}_{1} \\ \underline{E}_{2} \\ \underline{E}_{3} \\ \end{bmatrix} $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
>> A = [1  -1 -1    0   0        0  0;
       -1   0  0   -1   0        1  0;
        0   1  0    1   1        0 -1;
        0   0  1    0  -1        0  0;
      Zc1  R2  0 -Zl1   0        0  0;
        0 -R2 R4    0 Zc2        0  0;
        0   0  0  Zl1   0 (R1+Zl2) R3];
>> b = [0;
        0;
        0;
       J1;
       E1;
       E2;
       E3];
>> I = A\b

В результате получим вектор-столбец $ \underline{\bold{I}} $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Применение закона Ома и законов Кирхгофа для расчета электрических цепей

При помощи закона Ома и двух законов Кирхгофа можно рассчитать режим работы электрической цепи любой сложности.

Общей задачей расчета является определение токов во всех участках цепи при заданных параметрах элементов цепи и известной конфигурации цепи.

Для составления уравнений по закону Ома и двум законам Кирхгофа следует, прежде всего, выбрать направления токов во всех ветвях рассчитываемой цепи.

При записи уравнений для узлов цепи по первому закону Кирхгофа необходимо иметь в виду, что число независимых уравнений на единицу меньше общего числа узлов y, то есть нужно составить y – 1 уравнение. Действительно, если составить уравнения для всех y узлов, то ток каждой ветви войдет дважды в уравнение, так как ветвь соединяет два узла с противоположными знаками. При суммировании всех левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получается тождественно ноль.

При составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа необходимо также составить независимую систему. В частности, независимая система будет получена, если выбрать контуры так, чтобы каждый следующий содержал хотя бы одну ветвь, не вошедшую в контуры, для которых уже составлены уравнения. Такие контуры называются независимыми.

Число неизвестных токов равно числу ветвей b. Для определения этих токов необходимо составить b независимых уравнений. Так как по первому закону Кирхгофа составляется y – 1 независимых уравнений, то на основании второго закона Кирхгофа должно быть составлено b – (y – 1) уравнений.

Например, для нашей цепи может быть составлено два уравнения по первому закону Кирхгофа (для узлов 1, 2):

.

На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома можно составить три уравнения для трех контуров. Для контура 1:

,

для контура 2:

,

для контура 3:

.

Для приведенной схемы число узлов y = 2, то есть по первому закону Кирхгофа нужно составить одно уравнение (2–1=1). Число неизвестных токов равно числу ветвей b = 3. Следовательно, по второму закону Кирхгофа должно быть составлено два уравнения (3–(2–1)=2). Из трех контуров этой цепи в качестве независимых можно взять любую пару контуров.

После совместного решения системы независимых уравнений определяются токи в ветвях цепи. Если для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, то из этого следует, что его действительное направление противоположно выбранному.

Применение этого метода для сложных цепей часто требует значительной затраты времени, поэтому желательно, когда это возможно, вести расчеты более простыми методами.

 


как они проявляются в работе электромагнитной цепи, примеры расчета

Считается, что каждый образованный человек должен обладать минимальными знаниями физики, например, знать закон Ома.

Но знать закон Ома мало, ведь вокруг нас действует гораздо больше. Ученый из Германии Г. Кирхгоф, занимавшийся рядом естественных наук, вывел закон, по которой сегодня работают все электрические цепи.

Закон Кирхгофа объясняют, как распределяется ток на контуре цепи. Поговорим о правилах, которые вывел немецкий учёный.

Первое правило

В первом определении закона Кирхгофа описано, что общее суммирование токов, проходящим по веткам, равняется 0. Постоянство токов объясняется тем, что неважно, сколько токов втекает в узлы пересечения — такое же количество будет вытекать.

Точку в соединении ветвей обозначают как узел в электрической цепи. В каждой ветке на своё сопротивление есть свой ток.

Эта формула соответствует тем электрическим цепям, где ток считается постоянным.

Когда закон Кирхгофа применяется для цепи, где ток считается переменным, используется I, обозначающее мгновенное напряжение.

Формула производится в форме комплекса, но расчёт при этом не изменится:

Благодаря такому подходу к расчётам учитывается реактивные и активные значения, присутствующие в цепи.

Второе правило Кирхгофа

Первое правило закона Кирхгофа существует для описания распределения тока среди веток цепи.

Второе правило Кирхгофа описывает, что суммарное падение напряжения будет равно суммарному количеству электродвижущих сил.

Это значит, что электродвижущие силы, воздействующие на определённые места в цепи, распределятся пропорционально сопротивлению. Об этом говорится в законах Ома.

Для переменного тока суммарное количество электродвижущих сил будет равна сумме падений напряжений в ветках электрической цепи.

В формуле Z означает абсолютное сопротивление, включающее реактивную и резистивную элементы, зависящие от частоты переменного тока. Формула суммы сопротивления и индуктивности:

Более наглядно данная формула может выглядеть следующим образом:

При этом:

Какими могут быть варианты расчёта правила Кирхгофа

Теперь рассмотрим, как можно применять описанные правила в жизни. Выбрав направления обходов контура Вы сможете верно разместить знаки в формуле. Рассмотрим следующий вариант:

Выберем путь, идущий параллельно стрелке часов, отметим на примере:

Пунктиром мы обозначили, как будет проходить ток в схеме.

Далее составим само уравнение закона Кирхгофа согласно правилам, сначала по второму.

Перед ЭДС ставим минус, если сила будет двигаться против часовой стрелки. Для всех контуров используются свои знаки.

При первом контуре сила будет совпадать с направлением контура. Первый будет выглядеть так:

Второе будет выглядеть так:

Третий будет выглядеть так:

Напряжение зависит от направления. По часовой стрелке значения будут положительными. Против часовой стрелки значения будут отрицательными.

Обход контура является своего рода условным значением, который нужен для того, чтобы правильно поставить знаки в формулах. На правильность вычисления это значение не влияет. Иногда это может затруднить расчёт в целом, но скорее всего значение останется то же.

Теперь посмотрим на эту цепь:

В этой схеме у электродвижущей силы четыре источника. Не забудьте сначала выбрать направление контура.

Составляем формулу по первому рассмотренному закону. Начальный узел рассчитывается следующим образом:

Второй будет таким:

Третий таким:

Узла 4, но уравнения при этом 3, и эти цифры не являются ошибкой. Число формул согласно первому правилу выглядит так:

Так, уравнений будет на одно меньше, чем узлов, и при этом все токи будут описаны.

Строим формулы по второму закону Кирхгофа. Первый контур будет выглядеть так:

Второй контур будет таким:

Третий контур вычисляется следующим образом:

Подставляя значения из реальной жизни Вы сможете убедиться, что все эти законы действующие и правильные. Примеры к закону Кирхгофа, о которых мы рассказали, достаточно лёгкие, задачи из жизни бывают гораздо сложнее.

При вычислении путём применения данных правил главным образом нужно следить за тем, куда направлен ток и как обходит контур, чтобы подставить в уравнение правильные значения.

Действие правил и закона Кирхгофа в электромагнитной цепи

Расчёты магнитных цепей необходимы для вычислений верных значений. Расчёт будет тем же, но числа изменятся.

МДС, или магнитная движущая силы, определена витками в катушке и проходящее через них электричество:

МДС является множителем поля и тока.

Можно провести вычисление через сопротивление:

В этих формулах средняя длина участок цепи и проницаемость магнита разделены. Для магнитной цепи формула будет выглядеть следующим образом:

Через узел общее число магнитного потока будет равно нулю.

Сумма магнитной движущей силы в контуре равно сумме напряжения магнита.

Магнитный поток можно высчитать следующим образом:

А переменное поле магнита рассчитывается так:

Применяя эти знания на практике, посмотрим на следующий вариант контура.

Математическая формула будет следующей:

При наличии зазора рисунок будет выглядеть так:

Сопротивление магнитного потока будет вычисляться согласно описанным законам:

Сопротивление в зазоре будет таким:

Лучше понять всё написанное помогут наглядный урок по закону Кирхгофа от ведущего эксперта и профессора в области физики. Для того, чтобы разобраться в написанном и понять происходящее, советуем посмотреть данный урок:

Учёные веками вносили неоценимый вклад в развитие науки и объяснения жизни вокруг нас, это касается и Г. Кирхгофа.

Благодаря его правилам и выведенному закону можно рассчитать многие значения в электрической цепи. Пользуйтесь ими, чтобы легко проводить расчёты!

Закон Кирхгофа: определение и применение — видео и расшифровка урока

Законы Кирхгофа

Названы в честь своего создателя, Густава Кирхгофа, Законы Кирхгофа могут помочь вам понять ток и напряжение в цепи, а также могут быть использованы для анализа сложных цепей, которые нельзя свести к одному эквивалентному сопротивлению, используя то, что вы уже знаете о последовательных и параллельных резисторах.

Закон Кирхгофа о соединении гласит, что сумма токов, входящих в соединение, должна равняться сумме токов, выходящих из соединения.Ток никогда не расходуется в цепи, поэтому имеет смысл, что весь ток, который входит в соединение, также должен возвращаться обратно.

Контурный закон Кирхгофа гласит, что сумма изменений напряжения вокруг и в замкнутом контуре в цепи всегда должна быть равна нулю. Это означает, что если вы суммируете напряжение на каждом элементе цепи по всему контуру, вы получите ноль.

Пример задачи

Давайте посмотрим, как использовать два закона Кирхгофа для анализа сложной схемы, подобной той, которая сейчас у вас на экране:

Первым шагом является определение количества ветвей в цепи и определение переменной тока для каждой ветви.Вам нужно найти только один ток в каждой ветви, потому что каждая точка ветви будет иметь точно такое же количество тока; но разные ветви могут иметь разные токи.

В этой схеме вы можете видеть, что у нас есть три ответвления, и мы пометили три тока и определили их направление. Как же мы узнали направление тока в каждой ветви? Мы этого не сделали! Большую часть времени в сложной цепи, подобной этой, вы не сможете сказать, в каком направлении будет течь ток в ветви цепи, просто взглянув на нее.

Все в порядке! Вам просто нужно выбрать направление и убедиться, что все ваши расчеты согласуются с ним. Если вы выбрали неправильное направление, при расчете тока оно будет отрицательным. Это позволит вам узнать, что ток на самом деле идет в направлении, противоположном тому, как вы предсказывали.

Теперь вы можете использовать закон соединения, чтобы написать первое уравнение, которое мы будем использовать для анализа этой цепи.

Следующим шагом будет маркировка всех батарей и резисторов, чтобы вы знали направление напряжения на каждом из них.Пометьте батареи, посмотрев, какая сторона длиннее на принципиальной схеме. По соглашению, длинная сторона батареи на принципиальной схеме — это положительная сторона, а короткая — отрицательная.

Мы маркируем резисторы в зависимости от направления, в котором через них проходит ток. Ток должен проходить через каждый резистор от ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО к ОТРИЦАТЕЛЬНОМУ. Сторона резистора, через которую сначала проходит ток, должна быть помечена как положительная, а сторона, из которой он выходит, должна быть помечена как отрицательная.

Теперь мы готовы применить закон петли. Прежде чем вы сможете написать какие-либо уравнения, вы должны сначала идентифицировать петли. Опять же, не имеет значения, в каком направлении вы рисуете петли, потому что закон Кирхгофа о петлях говорит нам, что сумма напряжений вокруг любой замкнутой петли равна нулю.

В этой задаче выберем эти две петли и обозначим их S1 и S2:

Начните с начала каждого контура и складывайте все напряжения, пока не вернетесь к тому, с чего начали.Помните, что напряжение на резисторе можно найти, используя закон Ом, который равен V = IR.

Используйте положительные и отрицательные знаки, которыми вы пометили батареи и резисторы, чтобы определить, нужно ли добавлять или вычитать напряжение на каждом элементе схемы.

Если ваша петля переходит от отрицательного к положительному, когда вы перемещаетесь по элементу схемы, вы ДОБАВЛЯЕТЕ напряжение к общему значению. Если оно меняется от положительного к отрицательному, когда вы перемещаетесь по элементу схемы, вы ВЫЧИТАЕТЕ напряжение из общего значения.

Для двух циклов, показанных выше, вы должны получить следующие два уравнения закона цикла, которые вы сейчас видите на экране:

Теперь мы использовали законы Кирхгофа, чтобы получить три уравнения, одно из закона соединения и два из закона петли. Мы можем решить их как одновременную систему уравнений, чтобы найти ток в каждой ветви. Вы должны получить три тока:

Итоги урока

Давайте повторим, что мы узнали.Помните, что ток — это поток электронов по цепи, а напряжение — это разность электрических потенциалов между двумя точками цепи. Законы Кирхгофа помогают нам понять, как работают ток и напряжение в цепи. Их также можно использовать для анализа сложных цепей, которые нельзя свести к одному эквивалентному сопротивлению, используя то, что вы уже знаете о последовательных и параллельных резисторах.

Кирхгоф изобрел два основных закона.

  1. Закон Кирхгофа о соединении гласит, что сумма токов, входящих в соединение, должна равняться сумме токов, выходящих из соединения.
  2. Контурный закон Кирхгофа гласит, что сумма изменений напряжения вокруг и в замкнутом контуре в цепи всегда должна быть равна нулю.

Теперь вы сможете лучше понимать сложные схемы.

Законы Кирхгофа для тока и напряжения

Законы Кирхгофа служат лучшим инструментом для методов анализа цепей.Работа Георга Ома (закон Ома) легла в основу создания закона Кирхгофа о токе (KCL) и закона Кирхгофа о напряжении (KVL) Густавом Робертом Кирхгофом в 1845 году. Цель этого поста — дать лучшее понимание законов Кирхгофа о токе и напряжении. , его применения, преимущества и ограничения.

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа — это два уравнения, которые касаются сохранения энергии и заряда применительно к электрическим цепям. Они очень важны при анализе замкнутых и сложных электрических цепей, таких как мостовые или Т-образные сети, в которых расчет напряжений или токов, циркулирующих в цепи, с использованием только закона Ома становится затруднительным.

Рис. 1 – Введение в первый и второй законы Кирхгофа

Законы тока и напряжения Кирхгофа

Законы тока и напряжения Кирхгофа можно разделить на два отдельных закона, т. KCL) или Первый закон

  • Закон Кирхгофа о напряжении (KVL) или Второй закон
  • Закон тока Кирхгофа (KCL) или Первый закон :

    Закон тока Кирхгофа Первый закон Кирхгофа.В нем говорится, что «общий ток или заряд, входящий в соединение или узел, точно равен току, выходящему из узла, поскольку внутри узла не теряется заряд». Можно также сказать, что сумма токов в сети проводников, сходящихся в узле, равна нулю.

    Рис. 2 – Визуальное представление закона токов Кирхгофа

    Из приведенного выше рисунка можно сделать вывод, что сумма токов, входящих и исходящих из узла, равна нулю (0). Ток, текущий к узлу, считается положительным, а ток, текущий от узла или соединения, считается отрицательным.

    Другими словами, KCL может быть определена как алгебраическая сумма всех токов, входящих и исходящих из узла, должна быть равна нулю, т.е. I вх + I вых = 0. ) или второй закон :

    Вторым законом законов Кирхгофа является закон Кирхгофа о напряжении. В нем говорится, что в любой сети с замкнутым контуром сумма значений ЭДС в любом замкнутом контуре равна сумме падений потенциала в этом контуре.

    Рис.3 – Визуальное представление закона Кирхгофа о напряжении

    Другими словами, это также можно сказать так: «Общее напряжение вокруг контура равно сумме всех падений напряжения в одном и том же контуре», что равно нулю.

    Применение законов Кирхгофа

    Приложения включают:

    • Их можно использовать для анализа любой электрической цепи.
    • Расчет тока и напряжения сложных цепей.

    Преимущества законов Кирхгофа

    Преимущества:

    • Расчет неизвестных токов и напряжений прост.
    • Упрощение и анализ сложных замкнутых контуров становятся управляемыми.

    Ограничения законов Кирхгофа

    Ограничение обоих законов Кирхгофа заключается в том, что они работают в предположении, что в замкнутом контуре нет флуктуирующего магнитного поля. Могут быть индуцированы электрические поля и ЭДС, что приводит к нарушению правила петли Кирхгофа в присутствии переменного магнитного поля.

      Читайте также:  Цепь серии . Принцип работы, характеристики, области применения, преимущества , Ограничения и Решенные примеры!  

    Законы Кирхгофа о цепях считаются основой любого анализа электрических цепей.Существует два типа законов цепей Кирхгофа: закон тока Кирхгофа и закон напряжения Кирхгофа. С помощью этих законов и уравнения для отдельных компонентов (резистора, конденсатора и катушки индуктивности) мы анализируем цепи. В 19 веке ученый по имени Густав Роберт Кирхгоф внес большой вклад в эту теорию и обеспечил лучшее понимание электрических цепей. Он также обнаружил, что ток течет со скоростью света в проводнике.

    Чтобы получить подробную информацию о кинетической теории газов, кандидаты могут посетить статью по ссылке.

    Терминология цепи

    1. Цепь: Это замкнутый путь, по которому протекает ток.
    2. Путь: Путь рассматривается как одна линия, состоящая из элементов цепи и источников.
    3. Узел: Узел определяется как терминал или соединение, в котором два или более элемента будут соединены вместе и, таким образом, имеют общую точку для более чем одной ветви.
    4. Ответвление : ответвление состоит из таких элементов, как резисторы и источники, подключенные между двумя узлами.
    5. Цикл: Цикл — это замкнутый путь, в котором элементы подсчитываются только один раз.
    6. Сетка: Сетка представляет собой разомкнутый контур и открытый путь без элементов в нем.

    Если элементы соединены последовательно, ток, протекающий через каждый из них, одинаков. Если элементы соединены параллельно, напряжение на каждом компоненте остается одинаковым.

    Подробнее о расстоянии и смещении см. в статье по ссылке.

    Густав Роберт Кирхгоф

    Густав Роберт Кирхгоф — немецкий физик, родился 12 марта 1824 года.Он способствовал фундаментальному пониманию электрических цепей, спектроскопии и излучения излучения черного тела нагретыми объектами. В 19 веке Густав Роберт Кирхгоф внес большой вклад в эту теорию и обеспечил лучшее понимание электрических цепей. Он также обнаружил, что ток течет со скоростью света в проводнике.

    Первый закон – Закон Кирхгофа о токе (KCL)

    Первый закон Кирхгофа касается тока в цепи.Согласно этому закону алгебраическая сумма токов в любом узле цепи равна нулю. Суммарный ток, входящий в соединение, точно равен полному току, выходящему из перехода. Этот закон основан на законе сохранения зарядов.

    Из изображения ниже мы можем сказать, что:

    \((i_2 + i_3 + i_5 + i_6 + i_7) = (i_1 + i_4 + i_8)\)

    ∑ входящий = ∑ исходящий

    Вы также можете проверьте подробности о Векторе.

    В. Найдите силу тока в данной цепи.

    Ответ. В узле возможно только одно значение тока

    Итак, здесь нарушение KCL

    Итак, ток в цепи невозможен.

    Ознакомьтесь со статьей о равномерном круговом движении здесь.

    Совет по памяти

    • KCL применим к любой сети с сосредоточенными параметрами, независимо от характера сети; одностороннее или двустороннее, активное или пассивное, линейное или нелинейное.
    • KCL не применяется к распределенным сетям.
    • Ток всегда течет по пути с меньшим сопротивлением.
    • KCL всегда обеспечивает сохранение заряда.
    • Максимальный ток протекает при коротком замыкании из-за нулевого сопротивления.
    • В разомкнутой цепи отсутствует ток из-за бесконечного сопротивления.

    Получите подробную информацию о вихревых токах и токах смещения.

    Второй закон – закон Кирхгофа для напряжения (KVL)

    Закон Кирхгофа для напряжения или второй закон относится к падению напряжения в цепи.Когда в цепи течет ток, величина тока изменяется в соответствии с произведением тока на сопротивление или ЭДС, с помощью которой он подключен к цепи. Согласно этому закону алгебраическая сумма напряжений (или падений напряжения) на любом замкнутом пути сети в определенном направлении равна нулю.

    Знак при движении по циклу полностью зависит от пользователя,

    Если мы рассмотрим переход от положительного (+) к отрицательному (–) (это зависит от пользователя), он действует как падение или прирост.

    Этот знак не влияет на ответ.

    Предположим, мы рассматриваем это как падение (-) при переходе от положительного (+) к отрицательному (-).

    • Начнем с сопротивления R1. Ток идет от одной точки к другой (от положительной к отрицательной), а падение напряжения принимается за отрицательное (-).
    • При переходе от ЭДС E2 ток изменяется от положительного к отрицательному, и падение принимается как –E2
    • Аналогично для R2 и R3
    • Наконец, при переходе от E1 ток изменяется от отрицательного к положительному, и здесь берется коэффициент усиления.

    -iR1 – E2 – iR2 + E1 = 0

    E1 – E2 = iR1 + iR2

    В. Найти ток I в данной цепи.

    Ответ. Применяем КВЛ в заданном контуре тогда получаем,

    120 – 30 I – 2VA + VA = 0

    120 = 30 I + VA …………… (1)

    Также из закона Ом на выходе получаем можно получить

    ВА = – 15 л ……………….. (2)

    Решая уравнения (1) и (2) получаем

    л = 8 Ампер.

    Итак, в цепи протекает ток 8А.

    Подробную информацию о проверке питания в цепи переменного тока см. здесь.

    Совет по памяти

    • KVL применим к любой сети с сосредоточенными параметрами, независимо от характера сети; одностороннее или двустороннее, активное или пассивное, линейное или нелинейное.
    • KVL не применяется к распределенным сетям.
    • Падение напряжения при коротком замыкании равно нулю из-за нулевого сопротивления.
    • КВЛ всегда экономит энергию.
    • В разомкнутой цепи возникает максимальное напряжение из-за бесконечного сопротивления.
    • Напряжение постоянно в параллельной цепи и делится в последовательной цепи.

    Применение закона Кирхгофа

    Закон Кирхгофа используется для нахождения:

    1. Значения тока, напряжения и внутреннего сопротивления в цепях постоянного тока.
    2. Применяя этот закон, мы также можем найти неизвестное сопротивление в цепи.
    3. Мост Уитстона является важным применением закона Кирхгофа. Он используется в сетке и анализе узлов.

    Ограничения закона Кирхгофа

    1. Законы ККЛ и КВЛ не подходят для цепей переменного тока высокой частоты.Закон тока применяется только тогда, когда электрический заряд в цепи постоянен.
    2. Где КВЛ применяется в предположении, что магнитные поля не меняются в замкнутом контуре. Поэтому мы не можем применять КВЛ, когда магнитное поле меняется внутри цепи.

    Прочитайте об атоме и ядрах здесь.

    Законы Кирхгофа о цепях: сводка

    1. Густав Кирхгоф дает лучшее понимание решения и применения электрических цепей.
    2. Первый закон Кирхгофа гласит, что полный ток, который входит в узел или соединение, равен полному току или заряду, выходящему из узла.Он основан на принципе сохранения заряда. Это также известно как правило соединения.
    3. Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения равна сумме подъемов напряжения. Этот закон основан на законе сохранения энергии. Это также известно как правило цикла.

    Мы надеемся, что приведенные выше заметки о Законах Кирхгофа о схемотехнике помогли вам лучше понять предстоящие ЕГЭ и другие конкурсные экзамены. Попрактикуйтесь сейчас в приложении Testbook, пройдя бесплатные пробные тесты.

    Кроме того, подробно ознакомьтесь с Типами термодинамических процессов , чтобы ускорить подготовку.

    Часто задаваемые вопросы о законах Кирхгофа

    Q.1 Что такое первый закон Кирхгофа?

    Ответ 1 Согласно этому закону алгебраическая сумма токов в любом узле цепи равна нулю. Суммарный ток, входящий в соединение, точно равен полному току, выходящему из перехода. Этот закон основан на законе сохранения зарядов.

    Q.2 Что такое второй закон Кирхгофа?

    Ответ 2 Согласно этому закону алгебраическая сумма напряжений (или падений напряжения) на любом замкнутом пути сети в определенном направлении равна нулю.

    Q.3 Что такое цепь?

    Ответ 3 Цепь – это замкнутый путь, по которому протекает ток.

    В.4 Что такое петля?

    Ответ 4 Цикл — это замкнутый путь, в котором элементы подсчитываются только один раз.

    Q.5 Что такое узел?

    Ответ 5 Узел определяется как терминал или соединение, в котором два или более элементов будут соединены вместе и, таким образом, имеют общую точку для более чем одной ветви.

    Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

    • Получайте мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

    • Получите Daily GK и текущие события Capsule и PDF-файлы

    • Получите более 100 бесплатных пробных тестов и викторин


    Подпишись бесплатно У вас уже есть аккаунт? Войти

    Следующий пост

    Правила Кирхгофа | Физика

    Найдите токи, протекающие в цепи на рисунке 5.

    Рисунок 5. Эта схема аналогична схеме на рисунке 1, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви помечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для нахождения токов используются правила Кирхгофа.

    Стратегия

    Эта цепь настолько сложна, что токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.Токи были обозначены на рисунке I 1 , I 2 и I 3 , и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам найти три неизвестных тока.

    Раствор

    Начнем с применения первого правила Кирхгофа или правила соединения в точке а.Это дает

    I I I 3 ,

    , так как I 1 впадает в соединение, а I 2 и I 3 вытекают. Применение правила соединения в точке e дает точно такое же уравнение, так что никакой новой информации не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — нужны три независимых уравнения, поэтому необходимо применить правило цикла.Теперь рассмотрим петлю abcdea. Двигаясь от a к b, мы пересекаем R 2 в том же (предполагаемом) направлении, что и текущий I 2 , поэтому изменение потенциала равно − I 2 R 2 . Затем, переходя от b к c, мы переходим от – к +, так что изменение потенциала равно +ЭДС 1 . Пересечение внутреннего сопротивления r 1 от c к d дает − I 2 r 1 .Завершение цикла путем перехода от d к a снова пересекает резистор в том же направлении, что и его ток, что дает изменение потенциала - I 1 R 1 . Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Таким образом,

    - I 2 R R 2 + EMF 1 - I 2 R 1 - I 1 R 1 = - I = - I 2 ( R 2 + R 1 1 ) + EMF 1 - I 1 R 1 = 0.

    Подстановка значений сопротивления и ЭДС из принципиальной схемы и отмена единицы ампер дает

    −3 I 2 + 18 − 6 I 1 = 0,

    Теперь применение правила цикла к aefgha (мы могли бы выбрать и abcdefgha) аналогичным образом дает

    + I

    + 1 1 R 1 + I 3 R 3 + I 3 R 2 - EMF 2 = + I 1 R R 1 + I 3 ( R 3 + R 2 ) - EMF 2 = 0.

    Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

    +6 I 1 + 2 I 3 − 45 = 0,

    Этих трех уравнений достаточно, чтобы решить три неизвестных тока. Сначала решим второе уравнение для I 2 :

    I = 6 − 2 I 1 .

    Теперь решите третье уравнение для I 3 :

    I = 22,5 − 3 I 1 .

    Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для I 1 :

    I I 1 = I 2 I 3 3 = (6-2 I 1 ) + (22.5-3 I 1 ) = 28,5 - 5 я 1 .

    Объединение терминов дает

    6 I 1 = 28,5 и

    I = 4,75 А.

    Подстановка этого значения вместо I 1 обратно в четвертое уравнение дает

    I 2 = 6 − 2 I 1 = 6 − 9,50

    I = −3,50 А.

    Знак минус означает, что I 2 течет в направлении, противоположном принятому на рисунке 5.Наконец, подставив значение I 1 в пятое уравнение, мы получим

    I 3 = 22,5 − 3 I 1 = 22,5 − 14 . 25

    I = 8,25 А.

    Обсуждение

    Просто в качестве проверки отметим, что действительно I 1 = I 2 + I 3 . Результаты также можно проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

    Руководство для начинающих по законам Кирхгофа

    В этом уроке мы узнаем о законах Кирхгофа. Закон тока Кирхгофа или KCL и закон напряжения Кирхгофа или KVL — два очень важных математических равенства в анализе электрических цепей.

    Введение

    Многие электрические цепи сложны по своей природе, и вычисления, необходимые для нахождения неизвестных величин в таких цепях, с использованием простого закона Ома и методов упрощения последовательно-параллельной комбинации невозможны.Поэтому для упрощения этих схем используются законы Кирхгофа.

    Эти законы являются фундаментальными аналитическими инструментами, которые используются для нахождения решений напряжений и токов в электрической цепи, независимо от того, может ли она быть переменного или постоянного тока. Элементы в электрической цепи связаны множеством возможных способов, поэтому для определения параметров электрической цепи эти законы очень полезны.

    Прежде чем узнать больше о законе Кирхгофа, мы должны рассмотреть некоторые термины, относящиеся к электрическим цепям.

    Узел : Узел или соединение — это точка в цепи, где соединены два или более электрических элемента. Это определяет уровень напряжения с эталонным узлом в цепи.

    Ответвление : Непрерывный проводящий путь между двумя соединениями, который содержит электрический элемент в цепи, называется ответвлением.

    Петля : В электрической цепи петля представляет собой независимый замкнутый путь в цепи, который следует последовательности ветвей таким образом, что он должен начинаться и заканчиваться одним и тем же узлом и не должен касаться другого соединения или узла. чем один раз.

    Сетка: В электрической цепи сетка — это петля, внутри которой нет никакой другой петли.

    Вернуться к началу

    Законы Кирхгофа

    В 1847 году Густав Роберт Кирхгоф, немецкий физик, разработал эти законы для описания зависимости напряжения и силы тока в электрической цепи. Этими законами являются: закон напряжения Кирхгофа (KVL) и закон тока Кирхгофа (KCL).

    Вернуться к началу

    Текущий закон Кирхгофа (KCL)

    Это также называется законом сохранения заряда, потому что заряд или ток не могут быть созданы или уничтожены в стыке или узле.В нем говорится, что алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю. Таким образом, ток, входящий в узел, должен быть равен сумме токов, выходящих из узла.

    На приведенном выше рисунке токи I1 и I2 входят в узел, а токи I3 и I4 выходят из узла. Применяя KCL в узле, предположим, что входящие токи положительны, а выходящие токи отрицательны, мы можем записать как

    I1 + I2 + (-I3) + (-I4) = 0
    I1 + I2 = I3 + I4

    Вернуться к началу

    Пример проблемы KCL

    Рассмотрим рисунок ниже, где мы должны определить токи IAB   и Ix с помощью KCL.

    Применяя закон тока Кирхгофа в точке А, мы получаем

    ИАБ = 0,5 – 0,3

    IAB = 0,2 А

    Аналогично, применяя KCL в точке B, получаем

    ИАБ = 0,1 + Ix

    0,2 = 0,1 + Ix

    Ix = 0,2 – 0,1 = 0,1 А

    Вернуться к началу

    Закон Кирхгофа о напряжении (KVL)

    Закон напряжения Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю, то есть сумма напряжений источника равна сумме падений напряжения в цепи.Если в элементе ток течет от более высокого потенциала к более низкому, то мы рассматриваем это как падение напряжения.

    Если ток течет от более низкого потенциала к более высокому, то мы рассматриваем это как повышение напряжения. Таким образом, энергия, рассеиваемая током, должна быть равна энергии, отдаваемой источником питания в электрической цепи.

    Рассмотрим приведенную выше схему, в которой направление тока выбрано по часовой стрелке. Различные падения напряжения в приведенной выше цепи: V1 положительный, IR1 отрицательный (падение напряжения), IR2 отрицательный (падение напряжения), V2 отрицательный, IR3 отрицательный (падение напряжения), IR4 отрицательный (падение напряжения) , V3 положительный, IR5 отрицательный и V4 отрицательный.Применив КВЛ, получим

    V1 + (-IR1) + (-IR2) + (-V2) + (-IR3) + (-IR4) + V3 + (-IR5) + (-V4) = 0

    V1 – IR1 – IR2 – V2 – IR3 – IR4 + V3 – IR5 – V4 = 0

    V1 – V2 + V3 – V4 = IR1+ IR2 +IR3 + IR4 + IR5

    Следовательно, KVL также известен как закон сохранения электрической энергии, потому что сумма падений напряжения (произведение сопротивления и тока) равна сумме источников напряжения в замкнутом пути.

    Вернуться к началу

    Пример закона напряжения Кирхгофа

    1.Давайте рассмотрим схему с одним контуром, показанную ниже, и примем направление тока как замкнутый путь DEABCD. В этой схеме с помощью КВЛ надо найти напряжение V1.

    Применяя KVL к этому замкнутому контуру, мы можем записать как

    ВЭД + ВАЭ + VBA + VCB + VDC = 0

    Где

    Напряжение точки Е относительно точки D, ВЭД = -50 В

    Напряжение точки D относительно точки C, В пост. тока = -50 В

    Напряжение точки А относительно точки Е.ВАЭ = I * R

    ВАЭ = 500м* 200

    ВАЭ = 100 В

    Аналогично Напряжение в точке C относительно точки B, VCB = 350 м*100

    ВКБ = 35 В

    Учитывать напряжение в точке A относительно точки B, VAB = V1

    VBA= -V1

    Затем с помощью KVL

    -50 + 100 – В1 + 35 – 50 = 0

    В1 = 35 Вольт

    2. Рассмотрим приведенную ниже типичную двухконтурную цепь, в которой мы должны найти токи I1 и I2, применяя законы Кирхгофа.

    Внутри цепи есть два контура. Рассмотрите пути контуров, как показано на рисунке.

     

    Применяя КВЛ к этим шлейфам получаем

    Для первого цикла,

    2 (И1 + И2) + 4И1 – 28 = 0

    6I1 + 2I2 = 28 ——— (1)

    Для второго контура,

    -2(I1 + I2) – 1I2 + 7 = 0
    -2I1 – 3I2 = -7 ——– (2)

    Решив приведенные выше 1 и 2 уравнения, мы получим,

    I1 = 5 А и I2 = -1 А

    Вернуться к началу

    Пример задачи по законам Кирхгофа

    Теперь воспользуемся законами Кирхгофа для тока и напряжения, чтобы найти падения тока и напряжения в цепи ниже.Как и в приведенной выше задаче, эта схема также содержит два контура и два соединения. Рассмотрим текущее направление, указанное на рисунке.

    Применим текущий закон Кирхгофа к обоим соединениям, тогда получим

    На развязке 1, I = I1 + I2

    На развязке 2, I1 + I2 = I

    Применим закон напряжения Кирхгофа к обеим петлям, тогда получим

    В первом цикле,

    1,5 В – 100 I1 = 0

    I1 = 1,5/100

    = 0,015 А

    Во втором цикле

    100(I1-I2) – 9В – 200I2 = 0

    100I1- 300I2 = 9

    Подставляя значение I1 в приведенное выше уравнение, затем

    1.5 – 300I2 = 9

    – 300I2 = 7,5

    I2 = -0,025

    Тогда ток в переходе I = I1 + I2

    I = 0,015 – 0,025

    I = – 0,01

     Вернуться к началу

    Применение законов Кирхгофа

    • Используя эти законы, мы можем найти неизвестные сопротивления, напряжения и токи (направление и величину).
    • В методе ветвей нахождение токов через каждую ветвь, проводимую путем применения KCL в каждом соединении и KVL в каждом контуре цепи.
    • В методе контурных токов нахождение тока через каждый независимый контур осуществляется путем применения КВЛ для каждого контура и подсчета всех токов в любом элементе контура.
    • Используется в узловом методе нахождения напряжений и токов.
    • Эти законы можно применять для анализа любой цепи независимо от ее состава и структуры.

    Наверх

    6.3 Правила Кирхгофа. Введение в электричество, магнетизм и электрические цепи

    ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

    К концу раздела вы сможете:
    • Государственное правило пересечения Кирхгофа
    • Государственное правило петли Кирхгофа
    • Анализ сложных цепей с использованием правил Кирхгофа

    Мы только что видели, что некоторые схемы можно анализировать, сводя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению.Многие сложные схемы невозможно проанализировать с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах. В этом разделе мы подробно остановимся на использовании правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке 6.3.1 известна как многоконтурная схема , состоящая из соединений. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы расположены последовательно или параллельно, и их можно уменьшить.Попробуйте. Резисторы  и  соединены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления. То же самое верно для резисторов и . Но что вы делаете тогда?

    Несмотря на то, что эту цепь нельзя проанализировать с помощью уже изученных методов, для анализа любой цепи, простой или сложной, можно использовать два правила анализа цепей. Эти правила известны как правила Кирхгофа в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

    (рис. 6.3.1)  

    Рис 6.3.1  Эта схема не может быть сведена к комбинации последовательного и параллельного соединений. Однако мы можем использовать правила Кирхгофа для его анализа.

    ПРАВИЛА КИРХГОФА


    • Первое правило Кирхгофа — правило соединения . Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения:

      (6.3.1)  

    • Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любой замкнутой цепи (петли) должна быть равна нулю: 90 510

      (6.3.2)  

    Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по решению проблем по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

    Первое правило Кирхгофа

    Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рис. 6.3.2). Как указывалось ранее, узел или узел — это соединение трех или более проводов. Ток — это поток заряда, а заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, втекающий в соединение, должен вытекать наружу.

    (рис. 6.3.2)  

    Рисунок 6.3.2  Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов, поступающих в соединение, должна быть равна сумме токов, выходящих из соединения.

    Хотя это упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в сантехническом узле. Если провода на Рисунке 6.3.2 были заменены водопроводными трубами, а вода предполагалась несжимаемой, объем воды, втекающей в соединение, должен быть равен объему воды, вытекающей из соединения.

    Второе правило Кирхгофа

    Второе правило Кирхгофа ( петлевое правило ) применяется к разности потенциалов. Правило цикла сформулировано в терминах потенциальной, а не потенциальной энергии, но они связаны, поскольку . В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поставлялась источником напряжения, энергия должна передаваться в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжения, подаваемые источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю.Например, рассмотрим простую петлю без соединений, как на рисунке 6.3.3.

    (рис. 6.3.3)  

    Рисунок 6.3.3  Простая петля без соединений. Правило цикла Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

    Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки , , , и служат ссылками и не имеют никакого другого значения. Полезность этих ярлыков скоро станет очевидной. Петля обозначена как Loop , а метки помогают отслеживать разность напряжений, когда мы перемещаемся по цепи.Начните с точки и двигайтесь к ней. К уравнению добавляется напряжение источника напряжения и вычитается падение потенциала на резисторе. От точки до вычитается падение потенциала. От  до  вычитается падение потенциала. От точек до ничего не делается, потому что нет компонентов.

    На рис. 6.3.4 показан график изменения напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, тогда как напряжение уменьшается, когда мы пересекаем резистор.Падение потенциала или изменение электрического потенциала равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

    (рис. 6.3.4)  

    Рисунок 6.3.4  График напряжения при перемещении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор. Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

    Тогда правило цикла Кирхгофа утверждает

       

    Уравнение контура можно использовать для определения тока через контур:

       

    Эту петлю можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем возможности метода Кирхгофа в следующем разделе.

    Применение правил Кирхгофа

    Применяя правила Кирхгофа, мы получаем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в цепях. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления.Каждый раз, когда правило применяется, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то задача решаема.

    Использование метода анализа Кирхгофа требует выполнения нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.


    Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа
    1. Обозначьте точки на электрической схеме строчными буквами. Эти метки просто помогают с ориентацией.
    2. Найдите соединения в цепи. Соединения — это точки, в которых соединяются три или более проводов.Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток указывает на соединение и по крайней мере один ток указывает на соединение.
    3. Выберите петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться по крайней мере в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
    4. Применить правило соединения. Опять же, некоторые соединения не должны быть включены в анализ. Вам нужно только использовать достаточное количество узлов, чтобы включить каждый текущий.
    5. Применить правило цикла.Используйте карту на рисунке 6.3.5.

    (рис. 6.3.5)  

    Рисунок 6.3.5  Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до . (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном течению тока, добавьте падение потенциала. (c) При перемещении через источник напряжения от отрицательной клеммы к положительной клемме добавьте падение потенциала.(d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной клемме вычтите падение потенциала.

    Рассмотрим некоторые шаги этой процедуры более подробно. При нахождении соединений в цепи не беспокойтесь о направлении токов. Если направление протекания тока неочевидно, достаточно выбрать любое направление, если по крайней мере один ток указывает на соединение, а по крайней мере один ток направлен из соединения. Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному течению тока, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

    Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

    См. рис. 6.3.6. В этой цепи есть два соединения: соединение  и соединение . Точки , , и не являются соединениями, потому что соединение должно иметь три или более соединения. Уравнение для соединения , а уравнение для соединения .Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

    (рис. 6.3.6)  

    Рисунок 6.3.6  На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, Соединение и Соединение , но следует рассматривать только одно, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

    При выборе петель в схеме необходимо столько петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 6.3.7 показаны четыре варианта циклов для решения примера схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов, чтобы полностью решить схему.Вариант (г) отражает больше циклов, чем необходимо для решения схемы.

    (рис. 6.3.7)  

    Рисунок 6.3.7 Панели (a)–(c) достаточны для анализа цепи. В каждом случае две показанные петли содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы. На панели (d) показаны три использованные петли, что больше, чем необходимо. Любые два цикла в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла обеспечивает избыточную информацию.

    Рассмотрим схему на рис. 6.3.8(a). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала пометьте схему, как показано в части (b).

    (рис. 6.3.8)  

    Рисунок 6.3.8  (a) Многоконтурная схема. (b) Подпишите схему, чтобы помочь с ориентацией.

    Далее определите развязки. В этой схеме точки  и  соединены по три провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа, нарисовав стрелки, представляющие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рисунке 6.3.9(б). Junction показывает это, а Junction показывает это. Поскольку Junction предоставляет ту же информацию, что и Junction , ею можно пренебречь. В этой схеме три неизвестных, поэтому для ее анализа нам нужны три линейно независимых уравнения.

    (рис. 6.3.9)  

    Рисунок 6.3.9  (a) Эта схема имеет два соединения, обозначенных b и e, но в анализе используется только узел b. (б) Маркированные стрелки представляют токи в и из соединений.

    Далее нам нужно выбрать петли.На рис. 6.3.10 контур включает в себя источник напряжения, резисторы и . Цикл начинается с точки , затем проходит через точки , , и , а затем возвращается к точке . Второй контур, Loop , начинается в точке  и включает резисторы  и  и источник напряжения .

    (рис. 6.3.10)  

    Рисунок 6.3.10  Выберите петли в цепи.

    Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на Рисунке 6.3.5. Начиная с точки и двигаясь к точке, сопротивление пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается.Перемещаясь от точки к точке, резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается. При переходе от точки к точке источник напряжения пересекается с отрицательной клеммы на положительную, поэтому добавляется . Между точками  и нет компонентов.  Сумма разностей напряжений должна быть равна нулю:

       

    Наконец, мы проверяем цикл. Мы начинаем с точки и движемся к ней, пересекая ее в направлении, противоположном текущему потоку.Потенциальное падение добавлено. Затем мы пересекаем  и  в том же направлении, что и текущий поток  , и вычитаем падения потенциала  и . Обратите внимание, что ток через резисторы  и  одинаков, поскольку они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную клемму, и источник напряжения вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

    .

       

    Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить для трех неизвестных.

       

    Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока . Сначала добавьте уравнение (1) раз к уравнению (2). Результат помечен как уравнение. (4):

       

       

    Затем вычтите уравнение (3) из уравнения (2). Результат помечен как уравнение. (5):

       

       

    Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока . Складывая семь раз уравнение (4) и трижды уравнение. (5) приводит к , или . Используя уравнение(4) приводит к . Наконец, уравнение (1) дает . Один из способов проверить согласованность решений — проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

    .

       

       

    Обратите внимание, что решение для текущего  отрицательно. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединения, указывает направление, противоположное обычному протеканию тока. Мощность, подаваемая вторым источником напряжения, равна и не равна .

    ПРИМЕР 6.3.1


    Расчет силы тока с помощью правил Кирхгофа

    Найдите токи, протекающие в цепи на рисунке 6.3.11.

    (рис. 6.3.11)  

    Рисунок 6.3.11  Эта схема представляет собой комбинацию последовательных и параллельных конфигураций резисторов и источников напряжения. Эту цепь нельзя проанализировать с помощью методов, описанных в разделе «Электродвижущая сила», но ее можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа.
    Стратегия

    Эта цепь настолько сложна, что токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.Течения обозначены на рисунке , и , и сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от  до . В решении мы применяем правила соединения и петли, ищем три независимых уравнения, которые позволяют нам найти три неизвестных тока.

    Решение

    Применение правил соединения и петли приводит к следующим трем уравнениям. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

       

    Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

       

    Упростите уравнения. Первое уравнение контура можно упростить, разделив обе части на . Второе уравнение цикла можно упростить, разделив обе части на .

       

    Результат:

       

    Значение

    Метод проверки расчетов заключается в вычислении мощности, рассеиваемой резисторами, и мощности, выдаваемой источниками напряжения:

       

       

       

       

       

       

       

       

    Подводимая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

    ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 6.6


    При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой цепью, будет ли источник напряжения всегда обеспечивать питание цепи или источник напряжения может потреблять энергию?

    ПРИМЕР 6.3.2


    Расчет силы тока с помощью правил Кирхгофа

    Найдите ток, протекающий в цепи на рисунке 6.3.12.

    (рис. 6.3.12)  

    Рис 6.3.12  Эта схема состоит из трех резисторов и двух батарей, соединенных последовательно. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.
    Стратегия

    Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только одна петля и нет узлов. Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки  к точке . Рассмотрите цикл и используйте рисунок 6.3.5, чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку 6.3.5 батарея будет добавлена, а батарея вычтена.

    Решение

    Применение правила соединения приводит к следующим трем уравнениям. У нас одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

       

    Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

       

       

    Значение

    Мощность, рассеиваемая или потребляемая цепью, равна мощности, подаваемой в цепь, но обратите внимание, что ток в батарее протекает через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет энергию.

       

       

       

       

       

       

    Подводимая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей.

    ПРОВЕРЬТЕ ВАШЕ ПОНИМАНИЕ 6.7


    При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие контуры использовать и направление тока, протекающего через каждый контур. При анализе схемы в примере 6.3.2 направление тока было выбрано по часовой стрелке, от точки a до точки b .Как изменились бы результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки к точке?

    Несколько источников напряжения

    Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть соединены последовательно, параллельно или в комбинации.

    Последовательно положительная клемма одной батареи подключается к отрицательной клемме другой батареи. Любое количество источников напряжения, включая батареи, может быть соединено последовательно.Две батареи, соединенные последовательно, показаны на рисунке 6.3.13. Использование правила цикла Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

    .

       

       

    (рис. 6.3.13)  

    Рисунок 6.3.13  (a) Две батареи, соединенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, где каждая батарея смоделирована как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

    Когда источники напряжения соединены последовательно, их внутренние сопротивления могут быть сложены вместе, а их ЭДС могут быть сложены вместе, чтобы получить общие значения.Распространены последовательные соединения источников напряжения, например в фонарях, игрушках и др. приборах. Обычно ячейки соединяют последовательно для получения большей общей ЭДС. На рисунке 6.3.13 напряжение на клеммах равно

    .

       

    Обратите внимание, что в каждой батарее присутствует одинаковый ток, поскольку они соединены последовательно. Недостатком последовательного соединения ячеек является аддитивность их внутренних сопротивлений.

    Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь.Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа ААА, каждая с напряжением на клеммах 10 000 000 000 ₽, чтобы питать фонарик.

    Последовательно можно соединить любое количество аккумуляторов. Для батарей, соединенных последовательно, напряжение на клеммах равно

    .

    (6.3.3)  

    , где эквивалентное сопротивление равно .

    Когда нагрузка подключена к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке 6.3.14, мы можем найти ток:

       

       

       

    Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

    (рис. 6.3.14)  

    Рисунок 6.3.14  Две батареи соединены последовательно со светодиодной лампочкой, как в фонарике.

    Источники напряжения, такие как батареи, также могут быть подключены параллельно. На рис. 6.3.15 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, подключенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи соединены параллельно, положительные клеммы соединены вместе, а отрицательные клеммы соединены вместе, а сопротивление нагрузки подключено к положительной и отрицательной клеммам.Обычно параллельно подключенные источники напряжения имеют одинаковые ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения параллельны, общая ЭДС такая же, как и отдельные ЭДС каждой батареи.

    (рис. 6.3.15)  

    Рисунок 6.3.15  (a) Две батареи подключены параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея в качестве источника ЭДС и внутреннего резистора. Два источника ЭДС имеют одинаковые ЭДС (каждый из которых помечен ), соединенные параллельно, которые производят одинаковую ЭДС.

    Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рис. 6.3.15(b). В точках  и есть две петли и узел.

       

    Решение для тока через нагрузочный резистор дает , где . Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе. Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

    Параллельно можно соединить любое количество аккумуляторов. Для батарей, соединенных параллельно, напряжение на клеммах равно

     В.

    (6.3.4)  

    , где эквивалентное сопротивление равно .

    Например, некоторые дизельные грузовики используют две батареи параллельно; они производят общую ЭДС, но могут обеспечить больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

    Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют одинаковую ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше отдельных внутренних сопротивлений.Батареи соединены последовательно, чтобы увеличить напряжение на клеммах нагрузки. Батареи соединены параллельно для увеличения тока нагрузки.

    Солнечные батареи

    Другим примером, связанным с несколькими источниками напряжения, является комбинация солнечных элементов , соединенных как последовательно, так и параллельно для получения желаемого напряжения и тока. Фотоэлектрическая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте.Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этого учебника, но, как правило, фотоны, ударяясь о поверхность солнечного элемента, создают электрический ток в элементе.

    Большинство солнечных элементов сделаны из чистого кремния. Большинство отдельных ячеек имеют выходное напряжение около 100 мА, а выходной ток зависит от количества солнечного света, падающего на ячейку (падающее солнечное излучение, известное как инсоляция). При ярком полуденном солнечном свете типичные монокристаллические клетки производят ток на единицу площади, составляющий около  площади поверхности клетки.

    Отдельные солнечные элементы электрически соединены в модули для удовлетворения потребностей в электроэнергии. Их можно соединить последовательно или параллельно, как батареи, о которых говорилось ранее. Массив или модуль солнечных элементов обычно состоит из ячеек между и с выходной мощностью до .

    Солнечные элементы, как и батареи, обеспечивают напряжение постоянного тока. Ток от источника постоянного напряжения является однонаправленным. Большинству бытовых приборов требуется переменный ток (ac) напряжения.

    Цитаты Кандела

    Контент под лицензией CC, конкретное указание авторства

    • Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected] Получено с : http://cnx.org/contents/[email protected] Лицензия : CC BY: Attribution

    Законы Кирхгофа для тока и напряжения

    В 1845 году немецкий физик Густав Кирхгоф впервые описал два закона, которые стали центральными в электротехнике.Закон тока Кирхгофа, также известный как закон соединения Кирхгофа, и первый закон Кирхгофа определяют способ распределения электрического тока, когда он пересекает соединение — точку, где встречаются три или более проводников. Иными словами, законы Кирхгофа гласят, что сумма всех токов, выходящих из узла электрической сети, всегда равна нулю.

    Эти законы чрезвычайно полезны в реальной жизни, поскольку описывают отношение значений токов, протекающих через точку соединения, и напряжений в контуре электрической цепи.Они описывают, как электрический ток течет во всех миллиардах электрических приборов и устройств, а также в домах и на предприятиях, которые постоянно используются на Земле.

    Законы Кирхгофа: основы

    В частности, законы гласят:

    Алгебраическая сумма тока в любом соединении равна нулю.

    Поскольку ток — это поток электронов через проводник, он не может накапливаться на стыке, а это означает, что ток сохраняется: то, что входит, должно выйти.Представьте хорошо известный пример соединения: распределительную коробку. Эти коробки установлены на большинстве домов. Это коробки, в которых находится проводка, по которой должно проходить все электричество в доме.

    При выполнении расчетов ток, втекающий и выходящий из перехода, обычно имеет противоположные знаки. Вы также можете сформулировать Текущий закон Кирхгофа следующим образом:

    Сумма токов в соединении равна сумме токов вне соединения.

    Вы можете более конкретно разбить эти два закона.

    Текущий закон Кирхгофа

    На картинке показано место соединения четырех проводников (проводов). Токи v 2 и v 3 втекают в узел, а v 1 и v 4 вытекают из него. В этом примере правило соединения Кирхгофа дает следующее уравнение:

    v 2 + v 3 = v 1 + v 4

    Закон Кирхгофа о напряжении

    Закон напряжения Кирхгофа описывает распределение электрического напряжения внутри контура или замкнутого проводящего пути электрической цепи.Закон Кирхгофа о напряжении гласит:

    Алгебраическая сумма разностей напряжений (потенциалов) в любом контуре должна быть равна нулю.

    Различия в напряжении включают в себя те, которые связаны с электромагнитными полями (ЭМП) и резистивными элементами, такими как резисторы, источники питания (например, батареи) или устройства — лампы, телевизоры и блендеры — подключенные к цепи. Представьте себе это как повышение и понижение напряжения по мере того, как вы проходите по любому из отдельных контуров в цепи.

    Закон Кирхгофа о напряжении возникает потому, что электростатическое поле в электрической цепи является консервативным силовым полем. Напряжение представляет собой электрическую энергию в системе, поэтому думайте о нем как о частном случае сохранения энергии. Когда вы проходите по петле, когда вы достигаете начальной точки, имеет тот же потенциал, что и в начале, поэтому любые увеличения и уменьшения по петле должны компенсироваться для полного изменения нуля. Если бы они этого не сделали, то потенциал в начальной/конечной точке имел бы два разных значения.

    Положительные и отрицательные знаки в законе напряжения Кирхгофа

    Использование правила напряжения требует некоторых соглашений о знаках, которые не обязательно так ясны, как в правиле тока. Выберите направление (по часовой стрелке или против часовой стрелки), чтобы пройти по петле. При переходе от положительного к отрицательному (+ к -) в ЭДС (источнике питания) напряжение падает, поэтому значение отрицательное. При переходе от отрицательного к положительному (от - к +) напряжение увеличивается, поэтому значение положительное.

    Помните, что, путешествуя по цепи, чтобы применить закон Кирхгофа о напряжении, убедитесь, что вы всегда двигаетесь в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки), чтобы определить, представляет ли данный элемент увеличение или уменьшение напряжения.Если вы начнете прыгать, двигаясь в разные стороны, ваше уравнение будет неверным.

    При переходе через резистор изменение напряжения определяется по формуле:

    И*Р

    где I — значение тока, а R — сопротивление резистора. Пересечение в том же направлении, что и ток, означает, что напряжение падает, поэтому его значение отрицательно. При пересечении резистора в направлении, противоположном току, значение напряжения положительное, поэтому оно увеличивается.

    Применение закона напряжения Кирхгофа

    Самые основные применения законов Кирхгофа относятся к электрическим цепям. Возможно, вы помните из школьного курса физики, что электричество в цепи должно течь в одном непрерывном направлении. Например, если вы щелкаете выключателем света, вы разрываете цепь и, следовательно, выключите свет. Как только вы снова щелкнете выключателем, вы снова включите цепь, и свет снова загорится.

    Или подумайте о том, чтобы повесить гирлянды на свой дом или рождественскую елку.Если перегорает хотя бы одна лампочка, гаснет вся цепочка огней. Это потому, что электричеству, остановленному разбитым светом, некуда деваться. Это то же самое, что выключить свет и разорвать цепь. Другой аспект этого в отношении законов Кирхгофа заключается в том, что сумма всего электричества, входящего в соединение и вытекающего из него, должна быть равна нулю. Электричество, поступающее в соединение (и протекающее по цепи), должно равняться нулю, потому что входящее электричество также должно выходить.

    Итак, в следующий раз, когда вы будете возиться со своей распределительной коробкой или наблюдать за тем, как это делает электрик, натягивая электрические гирлянды или включая или выключая телевизор или компьютер, вспомните, что Кирхгоф первым описал, как все это работает, тем самым открывая эпоху электричество.

    0 comments on “Применение законов кирхгофа: Законы Кирхгофа и их применение

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.