Тангенс половинного угла: Урок 36. формулы половинного аргумента — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Урок 36. формулы половинного аргумента — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №36. Формулы половинного аргумента.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

2) Преобразовывать тригонометрические выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

3) Решение уравнения с использованием формулы синуса, косинуса половинного аргумента.

Глоссарий по теме

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла  при помощи тригонометрических функций угла α. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; . Их называют формулы половинного аргумента.

Повторим формулу косинуса двойного аргумента .

А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:

и

Пример. а) Найти , если .

Вычислим по формуле

б) Найти , если .

Вычислим по формуле .

  • Запишем формулу косинуса двойного аргумента в виде и заменим х на . Тогда получим:, учтём, что

, получаем

(1) формула синуса половинного аргумента.

Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде

(2) формула косинуса половинного угла.

По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .

Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.

Например, .

Пример. Известно, что . Найдите ; ;

1) найдём по формуле: ; .

По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .

2) ; найдём по формуле ,

Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.

3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то

  • Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).

сократим на 2 , и учитывая, что , получим:

формула тангенса половинного аргумента (3).

Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то

Пример. Найти и , если известно, что и .

По формуле (3) находим , а Найдём положение угла

По условию ,( разделим на 2)

, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .

  • Выведем формулу, по которой можно найти через .

Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то

, разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(4)

(5)

Пример. Найти , если .

По формуле (5) .

С помощью доказанных на этом уроке формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.

Пример. Доказать тождество .

Представим , а , преобразуем левую часть тождества

, но , то

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Известно, что и . Найдите ; ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) cos 2)

в) tg 3)

г) ctg 4)3

5)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента.

№3.Вычислите

Ответ:12.

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№4. Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№5.Вычислите .

Ответ: 0,5.

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента.

№6. Известно, что. Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)-

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, определения тангенса и котангенса.

№7. Вычислите и установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) ; 1)

б) ; 2)

в) ; 3) 0,25

Ответ:

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где .

№8.Упростите выражения и установите соответствие между множествами выражений А и В:

А В

а); 1)

б); 2)

в) ; 3)

Ответ:

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса.

№9*. Упростите выражение .

Выберите правильный ответ:1)2)3)2.

Ответ:2)

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№10*. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№11*.Вычислите .

Ответ:1,5.

Подсказка: используйте формулы синуса двойного угла, где ; квадрата суммы и основное тригонометрическое тождество.

№12*.Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№13*.Вычислите. Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса и котангенса.

№14*.Решите уравнения и выберите верный ответ:

1); 2);3)

Ответ: 2)

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента, разделив предварительно обе части уравнения на 2.

Проверочная работа:

№1.

а) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)2

Ответ:

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

б) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)

Ответ:

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2.Вычислите: а); б)

Ответ: а) 5; б) 6

Подсказка: используйте формулу тангенса двойного угла, где .

№3.

а)Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

б) Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

Подсказка: используйте определение тангенса и котангенса, основное тригонометрическое тождество, формулу синуса и косинуса двойного угла, где .

Формулы половинного угла (аргумента) онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы половинного угла (и другие формулы) тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы половинного угла (аргумента) − теория, доказательство, примеры

Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции угла . Выведем формулы половинного угла для функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Воспользуемся следующими формулами двойного угла (подробнее смотрите на странице Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн):

Подставим в (1) и (2) . Тогда имеем

Из равенств (3) и (4) найдем соответвсвенно и :

Следовательно:

Равенства (5) и (6) (или (7) и (8)) являются формулами половинного угла для функций синус и косинус. Для выведения формул для тангенса и котангенса запишем основные тригонометрические тождества для этих функций:

Тогда

Откуда:

Отметим, что в знак формулах (7), (8), (11) и (12) совпадает со знаком тригонометрической функции для угла .

Выражения (11) и (12) являются формулами половинного угла для функций тангенс и котангенс. Отметим, что определен тогда, когда (т.е. , где Z -множество целых чисел). определен тогда, когда (т.е. ).

Выведем другие формулы для половинного угла тангенса и котангенса. Для этого воспользуемся формулами (9) и (10).

Вторая формула для тангенса половинного угла:

или

Третья формула для тангенса половинного угла:

или

Вторая формула для котангенса половинного угла:

или

Третья формула для котангенса половинного угла:

или

Заметим, что формулы (15) и (16) можно также получить, учитывая равенство (или ).

Примеры применения формул половинного угла (аргумента)

Пример. Вычислить используя формулу половинного угла.

Решение. Воспользуемся формулой (7). Так как знак синуса угла 15° положительно, то берем формулу (7) со знаком «+»:

Ответ:

Формулы половинного угла в тригонометрии

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α2 при помощи тригонометрических функций угла α. В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α. Формулу для tg любого угла αопределяет tgα2, значение угла α≠π+2π·z при z равном любому целому числу ( выражение 1+cosα с таким же значением α не должно принимать значение 0). Формула ctg угла считается справедливой для любого угла α, где половинный угол имеет место быть, α≠2π·z.

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sinα2=±1-cosα2, cosα2=±1+cosα2, tgα2=±1-cosα1+cosα, ctgα2=±1+cosα1-cosα

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α2.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cosα=1-2·sin2α2 и cosα=2·cos2α2-1. Упростив первое выражение по sin2α2, получим саму формулу половинного угла sin2α2=1-cosα2, второе выражение по cos2α2 получим cos2α2=1+cosα2.

Чтобы доказать формулы половинного угла для tg и ctg угла α2, необходимо применить основные тригонометрические тождества tgα2=sinα2cosα2 и ctgα2=cosα2sinα2, к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin, которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

tg2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα21+cosα2=1-cosα1+cosα;ctg2α2=cos2α2sin2α2=1-cosα21+cosα2=1+cosα1-cosα;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Пример 1

Известно, что cos30°=32. Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Решение

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos2α2=1+cosα2.

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos215°=1+cos30°2=1+322=2+34. После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos215°=2+34, тогда cos 15°=2+34=2+32. Ответ: cos 15°=2+32.

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α2 и α, а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin27α=1-cos14α2 или sin2 5α17=1-cos10α172, то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

 

 

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Формула тангенса половинного угла — это… Что такое Формула тангенса половинного угла?

В тригонометрии, формула тангенса половинного угла связывает тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла:

Различные вариации этой формулы выглядят следующим образом:

В области определения угла θ имеем

Геометрическое доказательство

Геометрическое доказательство формулы тангенса половинного угла

Универсальная тригонометрическая подстановка

В различных приложениях полезно записывать тригонометрические функции (такие как синус и косинус) через рациональные функции новой переменной t, равной тангенсу половинного угла. Эти тождества полезны при вычислении первообразных.

Существование формулы тангенса половинного угла основано на том факте, что окружность является алгебраической кривой порядка 0. Поэтому можно ожидать, что ‘круговые функции’ могут быть сведены к рациональным функциям.

Геометрические построения выглядят следующим образом: на тригонометрическом круге для любой точки, имеющей координаты (cos φ, sin φ), проведём прямую, проходящую через круг и точку с координатами (−1,0). Эта прямая пересекает ось ординат (ось y) в некоторой точке с координатой y = t. Путём простых геометрических построений можно показать, что t = tg(φ/2). Уравнение проведённой прямой таково y = (1 + x)t. Уравнение для определения точек пересечения указанной прямой и окружности представляет собой квадратное уравнение относительно t. Два решения этого уравнения — это (−1, 0) и (cos φ, sin φ). Это позволяет нам записать (cos φ, sin φ) как рациональные функции от t (решения даны ниже).

Заметим также, что параметр t стереографическую проекцию точки (cos φ, sin φ) на ось y с центром проекции, расположенным в точке (−1,0). Поэтому формула тангенса половинного угла даёт нам переход от стереографической координаты t к тригонометрическому кругу и стандартной угловой координате φ.

Имеем

и

 

Из этих формул можно выразить арктангенс через натуральный логарифм

При нахождении первообразных от функций, содержащих sin(φ) и cos(φ), подстановка Вейерштрасса выглядит следующим образом. Принимая

получаем

и следовательно

Гиперболические тождества

Можно получить полностью аналогичные выводы для гиперболических функций. Точка на гиперболе (на её правой ветви) определяется координатами (ch θ, sh θ). Проецируя её на ось y из центра (−1, 0), получаем следующее:

и тогда тождества для гиперболических функций таковы

и

 

Использование этих подстановок для нахождения первообразных было представлено Карлом Вейерштрассом.

Выражение θ через t приводит к следующим соотношениям между гиперболическим арктангенсом и натуральным логарифмом:

См. также

Ссылки

Формулы половинного угла (формулы понижения степени)

Формулы половинного угла (формулы понижения степени)

Тригонометрические формулы понижения степени

 

Тригонометрические формулы понижения степени или, как их еще называют, формулы половинного угла связывают тригонометрические функции угла α/2 и тригонометрические функции угла α.

 

Формулы половинного угла – это формулы понижения степени, так как в левой части этих формул стоят квадраты тригонометрических функций, тогда как в правой части стоит первая степень косинуса.

 

Синус половинного угла

Квадрат синуса половинного угла равен половине разности единицы и косинуса этого угла.

 

Синус половинного угла равен плюс-минус корень квадратный из половины разности единицы и косинуса этого угла

Знак перед корнем выбирается в зависимости от знака синуса в той четверти, в которую попадает угол α/2 в левой части.

Косинус половинного угла

 

Квадрат косинуса половинного угла равен половине суммы единицы и косинуса этого угла.

Косинус половинного угла равен плюс-минус корень квадратный из половины суммы единицы и косинуса этого угла

Знак перед корнем выбирается в зависимости от знака косинуса в той четверти, в которую попадает угол α/2 в левой части.

Тангенс половинного угла

 

Квадрат тангенса половинного угла равен дроби: в числителе – единица минус косинус α, в знаменателе единица плюс косинус α.

Тангенс половинного угла равен плюс-минус корень квадратный из дроби: в числителе – единица минус косинус α, в знаменателе единица плюс косинус α.

Знак перед корнем выбирается в зависимости от знака тангенса в той четверти, в которую попадает угол α/2 в левой части.

Котангенс половинного угла

 

Квадрат котангенса половинного угла равен дроби: в числителе – единица плюс косинус α, в знаменателе единица минус косинус α.

Котангенс половинного угла равен плюс-минус корень квадратный из дроби: в числителе – единица плюс косинус α, в знаменателе единица минус косинус α.

Знак перед корнем выбирается в зависимости от знака котангенса в той четверти, в которую попадает угол α/2 в левой части.

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Помогите решить / разобраться (М)

Благодарю Dmitriy40 !!!
Информация к размышлению. Сразу признаюсь решение не моё (мне помогли и благодарность присутствовала с моей стороны).
Вся суть … (Что бы не вычислять неизвестную координату точки ниже предложенным способом.
И уже зная координаты центра одной из окружностей применяя тангенс половинного угла как определить неизвестную координату центра второй окружности ?)
Дано:
1. Декартова система координат на плоскости. Точка начало координат.
2. Точка принадлежащая оси ординат и имеющая степень свободы в положительном направлении.
3. Точка принадлежащая оси абсцисс и имеющая степень свободы в положительном направлении.
4. Через эти точки проходит прямая.
5. На координатной плоскости расположены две окружности , таким образом что касаются и этой прямой и осей координат.
6. Требуется найти координаты центров каждой из окружностей.

7. Найдём координаты :
Дано , так как а ; ; и ;

;

тогда

по теореме Пифагора

отсюда

;

точка подставим координату точки

в уравнение прямой

Теперь найдём неизвестную координату другой окружности.

Дано , так как а ; ; и ;

;

тогда

по теореме Пифагора

отсюда

;

точка подставим координату точки

в уравнение прямой

Вот нам и известны координаты центров обеих из окружностей.
Перемещая точку по оси абсцисс будет изменяться координата точки а также координата точки .
Вопрос если произвести вычисление координат точки выше указанным способом, возможно ли как то посчитать (неизвестную пока, если её не вычислять выше указанным способом) координату точки через тангенс половинного угла ?
Я старался

Кажется вопрос решён … нужно время что бы переварить информацию.
Благодарю Модераторов и Администраторов за то что «мучали» карантином. Иначе так и не собрался бы, чтобы по аналогии с точкой найти координату точки (а ведь для когото это и в уме расчитывается )

Синус, косинус, тангенс двойного и половинного угла

08.04.20
Классная работа
Синус, косинус,
тангенс двойного угла и
половинного
Глава VIII. §9,10
Упростите полученные выражения
sin 2 sin( )
sin cos cos sin
cos 2 cos( )
cos cos sin sin
tg tg
tg 2 tg ( )
1 tg tg
Запишите полученные формулы
sin 2 sin( )
sin cos cos sin 2 sin cos
cos 2 cos( )
cos cos sin sin cos sin
2
2
tg tg
2tg
tg 2 tg ( )
2
1 tg tg
1 tg
Формулы двойного угла
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin
2
2tg
tg 2
2
1 tg
2
Стр.300, №1045 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin 48
2)tg92
5
3) cos
3
Стр.300, №1045 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin 48 sin( 2 24 ) 2 sin 24 cos 24
2)tg92
5
3) cos
3
Стр.300, №1045 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin 48 sin( 2 24 ) 2 sin 24 cos 24
2tg 46
2)tg92 tg (2 46 )
1 tg 2 46
5
3) cos
3
Стр.300, №1045 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin 48 sin( 2 24 ) 2 sin 24 cos 24
2tg 46
2)tg92 tg (2 46 )
2
1 tg 46
5
5
3) cos
cos( 2
)
3
6
Стр.300, №1045 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin 48 sin( 2 24 ) 2 sin 24 cos 24
2tg 46
2)tg92 tg (2 46 )
2
1 tg 46
5
5
2 5
2 5
sin
3) cos
cos( 2
) cos
6
6
3
6
Стр.300, №1046 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin(
2
)
Пошаговая
проверка
Стр.300, №1046 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin(
2
) sin( 2 (
4
2
))
Стр.300, №1046 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
1) sin(
) sin( 2 (
4 2
2 sin( ) cos( )
4 2
4 2
2
))
Стр.300, №1046 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
3) cos(
2
)
Стр.300, №1046 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
3) cos(
2
) cos 2(
4
2
)
cos ( ) sin ( )
4 2
4 2
2
2
Стр.300, №1046 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
5) sin
Стр.288, №122 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
5) sin sin 2
2
2 sin
2
cos
2
Стр.300, №1046 (1,3,5)
Выразить синус, косинус и тангенс,
используя формулы двойного угла
5) sin sin 2
2
2 sin
2
cos
2
Стр.300, №1047 (1,3)
Вычислить, не используя
калькулятора
1)2 sin 15 cos15
2tg15
3)
2
1 tg 15
Стр.300, №1047 (1,3)
Вычислить, не используя
калькулятора
1
1)2 sin 15 cos15 sin 30
2
2tg15
3
3)
tg30
2
1 tg 15
3
Стр.301, №1048 (2)
Вычислить, не используя
калькулятора
2
2) cos sin
8
8
2
Стр.301, №1048 (2)
Вычислить, не используя
калькулятора
2
2
2) cos sin
cos( 2 ) cos
8
8
8
4
2
2
2
2
4)
(cos sin )
2
8
8
Стр.301, №1048 (4)
Вычислить, не используя
калькулятора
2
2
4)
(cos sin )
2
8
8
2
2
2
(cos 2 cos sin sin )
2
8
8
8
8
Стр.301, №1048 (4)
Вычислить, не используя
калькулятора
2
2
4)
(cos sin )
2
8
8
2
2
2
(cos 2 cos sin sin )
2
8
8
8
8
Стр.301, №1048 (4)
Вычислить, не используя калькулятора
2
2
4)
(cos sin )
2
8
8
2
2
2
(cos 2 cos sin sin )
2
8
8
8
8
2
(1 sin )
2
4
Стр.301, №1048 (4)
Вычислить, не используя калькулятора
2
2
4)
(cos sin )
2
8
8
2
2
2
(cos 2 cos sin sin )
2
8
8
8
8
2
2
2
(1 sin )
1
1
2
4
2
2
Стр.301, №1050(1)
3
Вычислить sin 2 , если sin ;
5
2
Решение:
cos …
sin 2 …
Проверка
Стр.301, №1050(1)
3
Вычислить sin 2 , если sin ;
5
2
Решение:
3 2
4
cos 1 ( )
5
5
3
4
24
sin 2 2 ( )
5
5
25
Замените угол разностью,
заполнив пропуски:
cos 40 cos(90 …)
sin 50 sin( 90 …)
sin 20 sin( 90 …)
cos15 cos(90 …)
Замените угол разностью,
заполнив пропуски:
cos 40 cos(90 40 )
sin 50 sin( 90 40 )
sin 20 sin( 90 70 )
cos15 cos(90 75 )
Запишите в тетрадь формулы
Задачи №3, стр.283
cos( )
2
sin( )
2
Заполните пропуски:
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
cos(90 )
sin( 90 )
Формулы замены
синуса на косинус или
косинуса на синус
cos( ) sin
2
cos(90 ) sin
sin( ) cos
2
sin( 90 ) cos
Стр.301, №1053 (1)
2 cos 40 cos 50
Обсудите в паре и дайте
рекомендации для решения
Стр.301, №1053(1)
2 cos 40 cos 50 2 sin 50 cos 50 sin 100
40 50 90
углы, дополняющие друг друга до 90º
Запишите угол, дополняющий
данный угол до 90º или
10 и …
86 и …
и
и
и
3
2
Углы, дополняющие друг друга до 90ºили
10
и 90 10 80
86 и
4
и
2
и
2
и
3
2 3
2
Стр.301, №1054(1)
Упростить выражение
sin 2
2
(sin cos ) 1
Стр.301, №1054(1)
Упростить выражение
sin 2
2
(sin cos ) 1
sin 2
2
2
sin 2 sin cos cos 1
Стр.301, №1054(1)
Упростить выражение
sin 2
2
(sin cos ) 1
sin 2
2
2
sin 2 sin cos cos 1
sin 2
2 sin cos
Стр.301, №1054(1)
Упростить выражение
sin 2
2
(sin cos ) 1
sin 2
2
2
sin 2 sin cos cos 1
sin 2
1
2 sin cos
Стр.301, №1054(2)
Упростить выражение
1 cos 2
1 cos 2
Стр.301, №1054(2)
Упростить выражение
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
Стр.301, №1054(2)
Упростить выражение
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos 2 1 (cos sin )
2
1 cos sin
2
2
1 cos sin
2
2
2
Стр.301, №1054(2)
Упростить выражение
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos sin cos 1 sin
2
2
2
2
1 cos sin 1 cos sin
2
2
2
2
Стр.301, №1054(2)
Упростить выражение
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos sin cos 1 sin
2
2
2
2
1 cos sin 1 cos sin
2
2
cos cos
2
2
sin sin
2
2
2
2
Стр.301, №1054(2)
Упростить выражение
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos sin cos 1 sin
2
2
2
2
1 cos sin 1 cos sin
2
2
2
cos cos 2 cos
2
2
2
sin sin 2 sin
2
2
2
2
Стр.301, №1054(2)
Упростить выражение
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos 2 1 (cos sin )
2
2
1 cos sin cos 1 sin
2
2
2
2
1 cos sin 1 cos sin
2
2
2
cos cos 2 cos
2
сtg
2
2
2
sin sin 2 sin
2
2
2
2
Стр.301, №1056(1)
1
Вычислить sin 2 , если sin cos
2
Стр.301, №1056(1)
1
Вычислить sin 2 , если sin cos
2
(sin cos )
2
Стр.301, №1056(1)
1
Вычислить sin 2 , если sin cos
2
Ваши предложения по решению
(sin cos ) sin 2 sin cos cos
2
2
2
Стр.301, №1056(1)
1
Вычислить sin 2 , если sin cos
2
Ваши предложения по решению
(sin cos ) sin 2 sin cos cos
2
2
1 sin 2 …
2
Стр.301, №1056(1)
1
Вычислить sin 2 , если sin cos
2
Ваши предложения по решению
(sin cos ) sin 2 sin cos cos
1
1 sin 2
4
2
sin 2 …
2
2
Стр.301, №1056(1)
1
Вычислить sin 2 , если sin cos
2
Ваши предложения по решению
(sin cos ) sin 2 sin cos cos
1
1 sin 2
4
1
3
sin 2 1
4
4
2
2
2
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение
4 cos x sin 2x
Ваши предложения по решению
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение: 4 cos x sin 2x
Решение:
4 cos x sin 2x 0
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение: 4 cos x sin 2x
Решение:
4 cos x sin 2x 0
4 cos x 2 sin x cos x 0
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение: 4 cos x sin 2x
Решение:
4 cos x sin 2x 0
4 cos x 2 sin x cos x 0
cos x(4 2 sin x) 0
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение: 4 cos x sin 2x
Решение:
4 cos x sin 2x 0
4 cos x 2 sin x cos x 0
cos x(4 2 sin x) 0
cos x 0; 4 2 sin x 0
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение: 4 cos x sin 2x
Решение:
4 cos x sin 2x 0
4 cos x 2 sin x cos x 0
cos x(4 2 sin x) 0
cos x 0;
4 2 sin x 0
x k , k R
2
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение: 4 cos x sin 2x
Решение:
4 cos x sin 2x 0
4 cos x 2 sin x cos x 0
cos x(4 2 sin x) 0
cos x 0;
4 2 sin x 0
sin x 2
x k , k R
2
Стр.302, №1059(3)
Решить уравнение: 4 cos x sin 2x
Решение:
4 cos x sin 2x 0
4 cos x 2 sin x cos x 0
cos x(4 2 sin x) 0
4 2 sin x 0
cos x 0;
sin
x
2
x k , k R
Корней нет
2
Ответ : x
2
k , k R
Средний балл за урок:
«5»- все было понятно и задания
выполнялись без особого труда;
«4» – были трудные моменты, осталось
еще раз разобрать задания, чтобы не было
проблем в будущем;
«3»- остались непонятными некоторые
задания из-за пробелов в знаниях. Следует
поработать индивидуально.
Оцените усвоение материала
в классе
Домашнее задание
1. Рассмотреть презентацию
2. Решение задач переписать в
тетрадь
3. Выполнить проверочную работу на
якласс.

Формулы двойного и половинного угла (Триггер без слез, часть 8)

Формулы двойного угла и половинного угла (Триггер без слез, часть 8)

Триггер без слез, часть 8:

Copyright 19972022 Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме: Очень часто вы можете упростить свою работу , расширив что-то вроде sin(2A) или cos(A) в функции простой А. Иногда это работает по-другому и сложное выражение становится проще , если вы видите его как функция половины угла или удвоенного угла.Формулы кажутся пугающе, но на самом деле это просто вариации уравнения 48 и уравнение 50.

Синус или косинус двойного угла

С помощью уравнения 48 вы можете найти sin( A  + B ). Что произойдет, если вы установите Б  =  А ?

sin( A + A ) = sin A cos A + cos A sin A

Но A  + A всего лишь 2 A , и два члена в правой части равны.Следовательно:

sin 2 А = 2 sin А cos А

Формула косинуса так же проста:

cos( A  + A ) = cos A  cos A  − грех А грех А

cos 2 А = cos² А  − sin² А

Хотя это действительно так, это не совсем удовлетворительно. было бы неплохо есть формула для cos 2 A с точки зрения только синуса или только косинуса.К счастью, мы можем использовать sin² x + cos² x  = 1 устранить либо синус, либо косинус из этой формулы:

cos 2 А = cos² А  − sin²  А = cos² A  − (1 − cos² A ) = 2 cos² А  − 1

cos 2 А = cos² А  − sin²  А = (1 − sin² A ) − sin² A = 1 − 2 sin² А

В разных случаях вам придется использовать все три формы формула для cos 2 A .Не беспокойтесь слишком о том, где идут знаки минус и единицы; просто помните, что вы всегда можете трансформировать любой из них в другие, используя старый добрый sin² x + cos² x  = 1,

(59) sin 2 A = 2 sin A cos A

cos2 A  = cos² A  − sin² A  = 2 cos² A  − 1  = 1 − 2 sin² A

Есть очень крутая секунда доказательство этих формул с помощью Сойерса замечательная идея.Кроме того, есть простой способ найти функции более высокие кратные: 3 A , 4 A и так далее.

Тангенс двойного угла

Чтобы получить формулу для загара 2 A , вы можете начать с уравнение 50 и положим B = A, чтобы получить tan( A  + A ), или используйте уравнение 59 для sin 2 A / cos 2 A и разделить верх и низ на cos² A . В любом случае, вы получаете

(60) tan 2 A = 2 tan A / (1 − tan² A )

Синус или косинус половины угла

А как насчет формул синуса, косинуса и тангенса половины угол? Поскольку A  = (2 A )/2, можно ожидать, что двойной угол формулы уравнение 59 и уравнение 60 могут быть использованы.И действительно они, хотя вы должны выбрать тщательно.

Например, sin 2 A не очень помогает. Поместите A  =  B /2, и вы получите

.

sin B  = 2 sin( B /2) cos( B /2)

Это верно, но нет простого способа решить sin( B /2) или cos( B /2).

Уравнение 59 для cos 2 А . Помещать 2 А  =  В или A  =  B /2 и вы получите

cos B  = cos² ( B /2) − sin² ( B /2) = 2 cos² ( B /2) − 1 = 1 − 2 sin² ( B /2)

Используйте только первую и последнюю части:

cos  B = 1 − 2 sin² ( B /2)

Немного переставить:

sin² ( B / 2) = (1 − cos B ) / 2

и извлеките квадратный корень из

грех( В /2) = √(1 − cos  B )/2

Вам нужен знак плюс или минус, потому что sin( B /2) может быть положительный или отрицательный, в зависимости от B .Для любого данного B (или B /2) будет только один правильный знак, который вы уже знаете из схемы которые мы исследовали в разделе «Функции любого угла».

Пример: Если B  = 280, то B /2 = 140, и вы знаете, что sin 140 положителен, потому что угол находится в квадранте II (над осью).

Чтобы найти cos( B /2), начните с другой части cos 2 Формула из уравнения 59:

cos 2 A = 2 cos² A  − 1

Как и прежде, положим  = B /2:

cos B = 2 cos² ( B / 2) − 1

Переставить и решить для cos( B /2):

cos² ( B / 2) = (1 + cos B )/2

cos( В /2) = √(1 + cos  B )/2

Вы должны выбрать правильный знак для cos( B /2) в зависимости от значение B /2, так же, как и с sin( B /2).Но, конечно, знак синуса не всегда совпадает со знаком косинуса.

(61) sin( B /2) = √(1 − cos B )/2

cos( B /2) = √(1 + cos B )/2

Пример: Найдите sin 75, т.е. грех 5π/12.

Решение: 75 — это половина 150, и вы знаете функции 150 именно потому, что они такие же, как функции 30, плюс-минус минус знак.

грех 75 = грех(150/2) = √(1 − cos 150)/2 

Здесь cos 150 отрицательно, потому что 150 слева от начала координат, в квадранте II, и 180 − 150 = 30, поэтому

, потому что 150 = — cos 30 = −(√3)/2

sin 75 должен быть положительным, потому что 75 находится в Квадрант I.Следовательно,

грех 75 = √(1 − (−√3/2))/2

sin 75 = √(2 + √3)/4

грех 75 = √2 + √3 / 2

Выражение √2 + √3 называется вложенный радикал . Некоторые из них можно разложить на более простые √ a  + √ b форма, но некоторые не могут. Удаление радикалов (или удаление радикалов) объясняет, как вы можете сказать, может ли конкретный из них быть не вложенным, и дает простой способ распаковать его. Этот может быть невложенным, что приводит к

грех 75 = (√6 + √2)/4

Тангенс половины угла

Найти тангенс( B /2) можно обычным способом, разделив синус по косинусу из уравнения 61:

tan( B /2) = sin( B /2)/cos( B /2) = √(1 − cos B )/(1 + cos B )

В формулах синуса и косинуса мы не могли избежать квадрата корни, но в этой формуле тангенса мы можем.Умножьте вершину и внизу на √1+cos B :

тан( B /2) = √(1 − cos B ) / (1 + cos B )

тан( B /2) = √(1 − cos B ) (1 + cos B ) / (1 + cos B )

тан( B /2) = √1−cos² B / (1+cos B )

Тогда используйте уравнение 38, ваш старый друг: sin² x  + cos² x  = 1;

тан( B /2) = √sin² B / (1+cos B ) = sin B / (1+cos B )

Если умножить верх и низ на √1-cos B вместо √1+cos  B , вы получите другую форму полуугла формула тангенса:

tan( B /2) = sin( B /2)/cos( B /2) = √(1-cos B ) / (1+cos B )

тан( B /2) = √(1 − cos B ) / ((1+cos  B )(1 − cos  B ))

тан( B /2) = (1-cos B ) / √1-cos² B

тан( B /2) = (1 − cos B ) / √sin² B  = (1-cos B ) / sin B

Формулы тангенса половинного угла можно резюмировать следующим образом:

(62) tan( B /2) = (1 − cos B ) / sin B  = sin B / (1 + cos B )

Вы можете задаться вопросом, что случилось со знаком плюс или минус в коричневый( B /2).К счастью для нас, он выпадает. Начиная с cos B всегда находится в диапазоне от -1 до +1, (1 — cos B ) и (1 + cos  B ) никогда не бывают отрицательными для любого B . И синус любого угла всегда имеет тот же знак, что и тангенс соответствующий полуугол.

Пожалуйста, не верьте мне на слово. Есть только четыре возможности, и их достаточно легко вычислить в таблице. (Просмотрите обозначение интервала, если вам нужно к.)

Б /2 Q I, (0;90) Q II, (90;180) Q III, (180;270) Q IV, (270;360)
желтовато-коричневый( B /2) + +
Б (0;180), Q I или II (180;360), Q III или IV (360;540), Q I или II (540;720), Q III или IV
син Б + +

Конечно, вы можете не обращать внимания на весь вопрос знака синуса и просто назначьте правильный знак, когда вы делаете вычисление.

Еще один вопрос, который может у вас возникнуть уравнение 62: что произойдет, если cos B  = −1, так что (1 + cos  B ) = 0? Разве у нас нет деления на ноль ? Ну, посмотри немного повнимательнее те обстоятельства. Уголки B , для которых cos B  = −1 180, 540 и так далее. Но в этом случае половинные углы B /2 равны 90°, 270° и т. д.: углы, для которых тангенс не определен. Таким образом, проблема деление на ноль никогда не возникает.

А в другой формуле sin B  = 0 не является проблема. За исключением случаев, когда cos B  = −1, это соответствует B  = 0, 360, 720 и т. д. Но половинные углы В /2 равны 0, 180, 360 и так далее. Для всех них, tan( B /2) = 0, как вы можете убедиться из второй половины уравнения 62.

Практические задачи

Чтобы получить максимальную пользу от этих проблем, работайте над ними без предварительного просмотра решений.Вернитесь к главе текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге труднее обмануть себя в том, действительно ли ты понять проблему полностью.

Вы найдете полный решения для всех проблем. Только не проверяй свой ответы, но проверьте и свой метод.

1 Используйте формулы половинного угла, чтобы найти sin 90 и cos 90. Конечно, вы их уже знаете; эта проблема просто для практики в работе с формулами и простыми числами.

2Используйте формулы двойного угла, чтобы найти sin 120, cos 120 и тангенс 120 точно. Опять же, вы уже знать это; Вы просто осваиваетесь с формулами.

3 3 А  = 2 А  + А . Используйте формулы двойного угла вместе с формулы синуса или косинуса суммы найти формулы для sin 3 A только через sin A , и cos 3 A только с точки зрения cos A .

(Это на самом деле сделано, в более позднем раздел, используя другой метод.)

4 Дано sin 3 A  = (3 − 4 sin² A ) sin A и cos 3 A  = (4 cos² A  − 3) cos  A , найти tan 3 A только с точки зрения tan A . Проверьте себя, вычислив тангенс (2 A + A ).

5 Найдите точно синус, косинус и тангенс числа π/8.

Кстати: классное доказательство формул двойного угла

Не могу не отметить еще одну интересную вещь о Чудесная идея Сойера: вы также можете использовать его для доказательства формулы двойного угла напрямую.Из формулы Эйлера для e i x можно сразу получить формулы для cos 2 A и sin 2 A , не прибегая к формулам сумм углов. Вот как.

Помните законы показателей: x а б  = ( x а ) б . Один важным частным случаем является то, что x 2 b  = ( x b ).Используйте это с формулой Эйлера:

cos 2 A  + i sin 2 A = е я (2 А )

cos 2 A  + i sin 2 A = (e i A )

cos 2 A  + i sin 2 A = (cos A  + i sin A )

cos 2 A + i sin 2 A = cos² A + 2i sin A cos A + isin² A

cos 2 A + i sin 2 A = cos² A + 2i sin A cos A − sin² A

cos 2 А  + я грех 2 А = (cos² A  − sin² A ) + i (2 sin  A  cos A )

Поскольку действительные части слева и справа должны быть равны, у вас есть формула для cos 2 A .Так как мнимые части должны быть равны, у вас есть формула для sin 2 A . Вот и все.

Кстати: Формулы для нескольких углов

Описанная выше техника еще более эффективна для получения формулы для функций 3 A , 4 A или любого кратного угла A . Чтобы вывести формулы для n A , разверните n -я степень (cos A  + i sin A ), затем соберите действительные и мнимые термины.

Это было вдохновлено чтением Пола Нахинса в мае 2009 года. Воображаемая сказка: История √−1 (Принстон, 1998).

Чтобы показать метод, я выведу функции 3 А и 4 А . Вы можете попробовать метод грубой силы cos( А  + 2 А ), sin(2 A  + 2 A ) и т. д., и посмотрите, сколько усилия мой метод экономит.

Функции 3

A

Теорема де Муавра говорит нам что

cos 3 A  + i sin 3 A = (cos A  + i sin A )

Разверните правую часть по биномиальной теореме, помня что i = −1 и я = -я:

cos 3 A  + i sin 3 A = cos³ A + 3 i cos² A sin A − 3 cos A sin² A  − i sin³ A

Соберите действительные и мнимые термины:

cos 3 A  + i sin 3 A = (cos³ A  − 3 cos  A sin²  A ) + i (3 cos² A sin A  − sin³ A )

Установите действительную часть слева равной действительной части на правильно найти формулу для cos 3 A :

cos 3 А = cos³ A  − 3 cos A sin² A

Было бы неплохо иметь формулу, включающую только cos A , а не sin A .Чтобы получить это, фактор и затем использовать sin² A  = 1 − cos²  A :

cos 3 А = cos A (cos² A − 3 sin² A )

cos 3 А = cos A (cos² A  − 3(1 − cos² A ))

cos 3 А = cos A (cos² A − 3 + 3 cos² A )

cos 3 А = cos A (4 cos² A  − 3)

Возвращаясь к формуле с собранным слагаемых, приравняем мнимую часть слева к действительной части справа найти формулу для sin 3 A :

sin 3 А = 3 cos² A sin A  − sin³ A

sin 3 А = sin A (3 cos² A − sin² A )

sin 3 А = sin A (3(1 − sin² A ) − sin² A )

sin 3 А = sin A (3 − 4 sin² A )

Формулу тангенса легко получить: просто разделите.Но получается будет проще, если вы не разделите окончательные формы, а скорее необработанные термины, собранные сверху:

sin 3 А = 3 cos² A sin A  − sin³ A

cos 3 А = cos³ A  − 3 cos A sin² A

tan 3 А = sin 3 А / cos 3 А

тан 3 А = (3 cos² A sin A  − sin³ A ) / (cos³ A  − 3 cos A sin² A )

Умножьте верхний и нижний коэффициенты, затем разделите их на cos² A :

тан 3 А = (sin A (3 cos² A  − sin² A )) / (cos A (cos² A  − 3 sin² A ))

тан 3 А = (sin A (3 − tan² A )) / (cos A (1 − 3 tan²  A ))

тан 3 А = (sin A  / cos A ) (3 − tan²  A ) / (1 − 3 tan²  A )

тан 3 А = tan A (3 − tan² A ) / (1 − 3 tan²  A )

(63) sin 3 A = sin A (3 − 4 sin² A )

cos 3 A = cos A (4 cos² A  − 3)

tan 3 A = tan A (3 − tan² A ) / (1 − 3 tan² A )

Функции 4

A

Больше не нужно искать функции 4 A .Поскольку техника аналогична, я просто пройдусь по шагам без комментариев. Первый, Теорема де Муавра:

cos 4 A  + i sin 4 A = (cos A  + i sin A ) 4

cos 4 A  + i sin 4 A = cos 4   A  + 4 i cos³ A sin A  − 6 cos² A  sin² A  − 4 i cos A  sin³ A  + sin 4   A

cos 4 A  + i sin 4 A = (cos 4   A  −  6 cos² A  sin² A  + sin 4   A ) + i (4 cos³ A  sin A  − 4 cos A  sin³ A )

Установите действительные части равными, чтобы получить cos 4 A :

cos 4 А = cos 4   A  − 6 cos² A  sin² A  + sin 4   A

cos 4 А = cos 4   A  − 6 cos² A  sin² A  + (sin² A )

cos 4 А = cos 4   A  − 6 cos² A  (1 − cos² A ) + (1 − cos² A )

cos 4 А = COS 4

4 — 6 COS² A + 6 COS 4 A + 1 — 2 COS² A + COS 4 A

cos 4 А = 8 cos 4   A  − 8 cos² A  + 1

Установите равные мнимые части, чтобы получить sin 4 A :

sin 4 А = 4 cos³ A sin A − 4 cos A sin³ A

sin 4 А = 4 sin A cos A (cos² A − sin² A )

sin 4 А = 4 sin A cos A (1 − sin² A − sin² A )

sin 4 А = 4 sin A cos A (1 − 2 sin² A )

К сожалению, первая степень cos A не может быть изменено на что-то, включающее только грех A .Или, скорее, это можно , но по себестоимости. cos A будет заменен на √1 − sin²  A , и мы должны выяснить правильный знак каждый раз.

Теперь формула тангенса:

тангенс 4 А = sin 4 А / cos 4 А

тан 4 А = (4 cos³ A  sin A  − 4 cos A  sin³ A ) / (cos 4   A  − 6 cos² A  sin² A  + sin 4   A )

Разделить верх и низ на cos 4  A:

тан 4 А = (4 tan A  − 4 tan³ A ) / (1 − 6 tan² A  + tan 4   A )

Есть несколько возможностей упростить эту формулу, но ни один из них явно не превосходит других, так что я просто размножьте тангенс A сверху дроби:

тан 4 А = 4 tan A  (1 − tan²  A ) / (1 − 6 tan² A  + tan 4   A )

(64) sin 4 A = 4 sin A cos A (1 − 2 sin² A )

cos 4 A = 8 cos 4   A  − 8 cos² A  + 1

tan 4 A = 4 tan A (1 − tan² A ) / (1 − 6 tan² A  + tan 4   A

) )

далее: 9/Обратные функции

Формулы половинного угла — Примеры | Идентификаторы половинного угла

Мы изучаем формул половины угла (или тождества половины угла) в тригонометрии.Формулы половинного угла можно получить, используя формулы двойного угла. Как известно, формулы двойного угла можно вывести, используя формулы суммы и разности углов тригонометрии. Полууглы в формулах половинного угла обычно обозначаются как θ/2, x/2, A/2 и т. д., а половинный угол представляет собой дольный угол. Формулы половинного угла используются для нахождения точных значений тригонометрических отношений углов, таких как 22,5° (что составляет половину стандартного угла 45°), 15° (что составляет половину стандартного угла 30°) и т. д.

Давайте рассмотрим формулы половинного угла вместе с их доказательствами и несколькими решенными примерами здесь.

Что такое формулы половинного угла?

В этом разделе мы увидим формулы половинного угла для sin, cos и tan. Нам известны значения тригонометрических функций (sin, cos, tan, cot, sec, cosec) для таких углов, как 0°, 30°, 45°, 60° и 90° из тригонометрической таблицы. Но чтобы узнать точные значения sin 22,5°, tan 15° и т. д., формулы половинного угла чрезвычайно полезны.Кроме того, они помогают доказать несколько тригонометрических тождеств. У нас есть формулы половинного угла, полученные из формул двойного угла, и они выражаются через половинные углы, такие как θ/2, x/2, A/2 и т. д. Вот список важных формул половинного угла:

Полуугольные тождества

Вот популярные тождества половинного угла, которые мы используем при решении многих задач тригонометрии:

  • Формула половины угла sin: sin A/2 = ±√[(1 — cos A) / 2]
  • Формула половинного угла для cos: cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]
  • Формула половины угла tan: tan A/2 = ±√[1 — cos A] / [1 + cos A] (или) sin A / (1 + cos A) (или) (1 — cos A) / грех А

Вывод формул половинного угла с использованием формул двойного угла

Чтобы вывести приведенные выше формулы, сначала выведем следующие формулы половинного угла.Формулы двойного угла основаны на двойных углах, таких как 2θ, 2A, 2x и т. д. Мы знаем, что формулы двойного угла для sin, cos и tan равны

.
  • sin 2x = 2 sin x cos x
  • cos 2x = cos 2 x — sin 2 x (или)
    = 1 — 2 sin 2 x (или)
    = 2 cos 2 х — 1
  • тан 2x = 2 тан х / (1 — тан 2 х)

Если мы заменим x на A/2 в обеих частях каждого уравнения формулы двойного угла, мы получим половинные тождества углов (поскольку 2x = 2(A/2) = A).

  • sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2)
  • cos A = cos 2 (A/2) — sin 2 (A/2) (или)
    = 1 — 2 sin 2 (A/2) (или)
    = 2 cos 2 (А/2) — 1
  • тангенс A = 2 тангенс (A/2) / (1 — тангенс 2 (A/2))

Мы также можем вывести одну формулу половины угла, используя другую формулу половины угла. Например, только из формулы cos A мы можем вывести 3 важных тождества полууглов для sin, cos и tan, которые упомянуты в первом разделе.Вот доказательство формулы половинного угла.

Полуугольная формула защиты от греха

Теперь докажем формулу половины угла для синуса. Используя одну из приведенных выше формул для cos A, мы имеем

cos A = 1 — 2 sin 2 (A/2)

Отсюда,

2 sin 2 (A/2) = 1 — cos A

sin 2 (A/2) = (1 — cos A) / 2

sin (A/2) = ±√[(1 — cos A) / 2]

Формула половинного угла для вычисления Cos

Теперь мы докажем формулу половины угла для функции косинуса.Используя одну из приведенных выше формул cos A,

cos A = 2 cos 2 (A/2) — 1

Отсюда,

2 cos 2 (A/2) = 1 + cos A

cos 2 (A/2) = (1 + cos A) / 2

cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]

Полуугольная формула получения загара

Мы знаем, что тангенс (A/2) = [sin (A/2)] / [cos (A/2)]

Из формул половинного угла sin и cos,

тангенс (A/2) = [±√(1 — cos A)/2] / [±√(1 + cos A)/2]

= ±√[(1 — cos A) / (1 + cos A)]

Это одна из формул загара (А/2).Выведем две другие формулы, рационализировав здесь знаменатель.

тангенс (A/2) = ±√[(1 — cos A) / (1 + cos A)] × √[(1 — cos A) / (1 — cos A)]

= √[(1 — cos A) 2 / (1 — cos 2 A)]

= √[(1 — cos A) 2 / sin 2 A]

= (1 — cos A) / sin A

Это вторая формула загара (А/2). Чтобы вывести другую формулу, давайте умножим и разделим приведенную выше формулу на (1 + cos A).Тогда мы получаем

тангенс (A/2) = [(1 — cos A) / sin A] × [(1 + cos A) / (1 + cos A)]

= (1 — cos 2 A) / [sin A (1 + cos A)]

= sin 2 A / [sin A (1 + cos A)]

= sin A / (1 + cos A)

Таким образом, tan (A/2) = ±√[(1 — cos A) / (1 + cos A)] = (1 — cos A) / sin A = sin A / (1 + cos A).

Формула половинного угла с использованием полупериметра

В этом разделе мы увидим формулы половинного угла с использованием полупериметра.т. е. это формулы половины угла через стороны треугольника. Рассмотрим треугольник ABC, где AB = c, BC = a и CA = b.

Выведем здесь одну из этих формул. Мы знаем, что полупериметр треугольника равен s = (a + b + c)/2. Отсюда имеем 2s = a + b + c. Из одной из приведенных выше формул

cos A = 2 cos²(A/2) — 1 (или)

2 cos²(A/2) = 1 + cos A

Теперь, используя закон косинусов,

2 cos 2 (A/2) = 1 + [ (b 2 + c 2 — a 2 ) / (2bc) ]

2 cos 2 (A/2) = [2bc + b² + c² — a²] / [2bc]

2 cos 2 (A/2) = [ (b + c)² — a²] / [2bc] [с использованием формулы (a+b)²]

2 cos 2 (A/2) = [ (b + c + a) (b + c — a) ] / [2bc] [с использованием формулы a² — b²]

2 cos 2 (A/2) = [ 2s (2s — 2a) ] / [2bc] [As 2s = a + b + c]

2 cos 2 (A/2) = [ 2s (s — a) ] / [bc]

cos 2 (A/2) = [s(s — a)] / [bc]

cos (A/2) = √[s (s — a)] / [bc]

Мы получили одну формулу половинного угла для косинуса угла A/2.Точно так же мы можем получить другие тождества половинного угла косинуса, используя полупериметр. Другая формула синусов половинного угла может быть получена с использованием полупериметра.

sin 2 (A/2) = (1 − cos A)/2

= (1/2)[1−(b 2 +c 2 −a 2 )/2bc] (используя закон косинусов)

= (1/2)(а 2 — (b-c) 2 )/2bc

= (1/2)(а + b — с) (а + с — b)/2bc

= (1/2){(а + b + с) — 2с}{(а + b + с) — 2b}/2bc

= (1/2)(2s — 2c)(2s — 2b)/2bc

= (с — б) (с — с)/бк

⇒ sin (A/2) = √[(s − b)(s − c)/bc]

Точно так же мы можем вывести другие формулы половины угла синуса.Формулы половинного угла для функции тангенса можно вывести по формуле tan (A/2) = sin (A/2)/cos (A/2).

Темы, связанные с полуугловыми тождествами

Часто задаваемые вопросы о Half Angle Formula

Что такое формулы половинного угла в тригонометрии?

Формулы половинного угла дают значения половинных углов, таких как A/2, x/2 и т. д. тригонометрических соотношений. Формулы половинного угла для sin, cos и tan равны

.
  • sin A/2 = ±√[(1 — cos A) / 2]
  • cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]
  • тангенс A/2 = ±√[1 — cos A] / [1 + cos A]

Что такое формула половинного угла для греха?

Формула половины угла для sin равна sin A/2 = ±√[(1 — cos A) / 2].У нас есть другая формула половинного угла греха с точки зрения полупериметра. Если a, b и c — стороны треугольника, а A, B и C — их соответствующие противоположные углы, то sin A/2 = √[(s — b) (s — c)/bc].

Что такое формула половинного угла для косинуса?

Формула половинного угла для cos: cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]. У нас есть еще одна формула половинного угла cos через полупериметр. Если a, b и c — стороны треугольника, а A, B и C — соответствующие им противоположные углы, то cos (A/2) = √[s (s — a)/bc].

Что такое формула половинного угла для касательной?

Формула половины угла тангенса: tan (A/2) = ±√[1 — cos A] / [1 + cos A] = (1 — cos A) / sin A = sin A / (1 + cos A) . У нас есть еще одна формула половинного угла тангенса в терминах полупериметра. Если a, b и c — стороны треугольника, а A, B и C — соответствующие им противоположные углы, то sin A/2 = √[(s — b) (s — c)] / [s(s) — а)].

Зачем использовать формулы половинного угла?

Мы используем формулы половины угла для нахождения тригонометрических отношений половин стандартных углов, например, мы можем найти тригонометрические отношения углов, таких как 15°, 22.5° и т. д., используя тождества половинного угла. Их можно использовать для доказательства различных тригонометрических тождеств. Они также используются при решении интегралов.

Как вывести формулу половины угла Cos?

Используя формулу двойного угла для cos,

cos 2x = 2 cos 2 х — 1

Заменив x на (A/2), мы получим

.

cos A = 2 cos 2 (A/2) — 1

Мы решим это для cos (A/2).

2 cos 2 (A/2) = 1 + cos A

cos 2 (A/2) = (1 + cos A) / 2

cos A/2 = ±√(1 + cos A) / 2

Что такое тангенс 15 ° с использованием тождеств половинного угла?

Использование полуугловой идентичности tan,

тангенс (A/2) = (1 — cos A) / sin A

Замена А = 30°,

тангенс (30°/2) = (1 — cos 30°) / sin 30°

= [1 — (√3/2)] / (1/2)

= [(2 — √3) / 2] / (1/2)

= 2 — √3

Следовательно, тангенс 15° = 2 — √3.2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 — \cos \alpha}}{2},\;\; \Стрелка вправо\влево| {\ грех \ гидроразрыва {\ альфа} {2}} \ справа | = \ sqrt {\ frac {{1 — \ cos \ alpha}} {2}} , \; \; \Rightarrow \sin \frac{\alpha}}{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 — \cos\alpha}}{2}} .\]

Мы получили тождество синуса половины угла:

Знак \(\pm\) в начале правой части означает, что квадратный корень может быть положительным или отрицательным — в зависимости от квадранта, в котором угол \(\frac{\alpha }{2}\) вранье.2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 + \cos \alpha}}{2},\;\; \Стрелка вправо\влево| {\ cos \ frac {\ alpha {2}} \ right | = \ sqrt {\ frac {{1 + \ cos \ alpha}} {2}}, \; \; \Rightarrow \cos\frac{\alpha}}{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos\alpha}}{2}} .\]

Следовательно,

Знак зависит от квадранта, в котором находится \(\frac{\alpha }{2}\).

Тангенс половины угла

Теперь мы можем вывести формулу для вычисления \(\tan \frac{\alpha}{2}.\) Используя приведенные выше тождества, мы получаем

\[{\tan ^2}\frac{\alpha}}{2} = \frac{{{{\sin}^2}\frac{\alpha}}{2}}}{{{{\cos}^ 2}\frac{\alpha}{2}}} = \frac{{1 — \cos \alpha}}{{1 + \cos \alpha}}. 2} \ frac {\ alpha {2}}} {{\ sin \ alpha}} = \ frac {{1 — \ cos \ alpha }} {{\ грех \ альфа}}, \]

или

Котангенс половины угла

По определению,

\[\cot \frac{\alpha }{2} = \frac{1}{{\tan \frac{\alpha }{2}}}.\]

Таким образом, мы имеем следующие тождества половинного угла для котангенса:

См. решенные проблемы на стр. 2.

4. Формулы половинного угла

М. Борна

Разработаем формулы для синуса, косинуса и тангенса половинного угла.

Формула половинного угла — синус

Начнем с формулы косинуса двойного угла, с которой мы познакомились в прошлом разделе.

cos 2 θ = 1− 2sin2 θ

Резюме формулы

На этой странице мы выводим следующие формулы:

`sin (альфа/2)=+-sqrt((1-cos альфа)/2`

`cos (альфа/2)=+-sqrt((1+cos альфа)/2`

`tan (альфа/2)=(1-cos альфа)/(sin альфа`

Теперь, если мы позволим

`тета=альфа/2`

, затем 2 θ = α и наша формула становится:

`cos α = 1 − 2\ sin^2(α/2)`

Теперь найдем

`грех (альфа/2)`

(То есть мы получаем `sin(alpha/2)` слева от уравнения, а все остальное справа):

`2\ sin^2(α/2) = 1 − cos α`

`sin^2(α/2) = (1 − cos α)/2`

Решение дает нам следующий синус половинного угла тождество:

`sin (альфа/2)=+-sqrt((1-cos альфа)/2`

Знак (положительный или отрицательный) `sin(alpha/2)` зависит от квадранта в котором лежит `α/2`.2(alpha/2)=(1+cos alpha)/2`

Решая `cos(α/2)`, получаем:

`cos (альфа/2)=+-sqrt((1+cos альфа)/2`

Как и прежде, нужный нам знак зависит от квадранта.

Если `α/2` находится в первом или четвертом квадрантах , формула использует положительный регистр:

`cos (альфа/2)=sqrt((1+cos альфа)/2`

Если `α/2` находится в втором или третьем квадрантах , формула использует отрицательный регистр:

`cos (альфа/2)=-sqrt((1+cos альфа)/2`

Формула половинного угла — касательная

Тангенс половинного угла определяется как:

`tan (альфа/2)=(1-cos альфа)/(sin альфа)`

Доказательство

Сначала вспомним `tan x = (sin x) / (cos x)`.2а))`

Затем извлекаем квадратный корень:

`=(1-cos a)/(sin a)`

Конечно, нам нужно было бы учитывать положительные и отрицательные знаки, в зависимости от рассматриваемого квадранта[email protected]`, используя приведенное выше отношение синуса половинного угла.(текст(о)))/2)`

`=+-sqrt(((1+0.866))/2)`

`=0,9659`

Первый квадрант, так что положительный.

2. Найдите значение `sin(alpha/2)`, если `cos alpha=12/13`, где 0° < α < 90°.

Ответить

`sin (альфа/2)=+-sqrt((1-cos альфа)/2)`

`= кв.((1-12/13)/2)`

`=кв.((1/13)/2)`

`= кв.(1/26)`

`=0,1961`

Мы выбираем положительное, потому что находимся в первом квадранте.2сек\ тета`

`=(1+cos тета)сек\ тета`

`=(1+cos тета)1/(cos тета)`

`=сек\тета+1`

`=»RHS»`

Калькулятор половинного угла

Наконец-то сбылась ваша самая большая мечта — вы купили себе маленькую хижину в горах ! Ну, это еще не совсем хижина, пока это всего лишь участок земли , на котором вы будете строить, но это, безусловно, начало. И после консультации с нашим калькулятором временной стоимости денег вы решили, что это лучшая форма инвестиций.

Вы подняли социальное дистанцирование на новый уровень и выбрали район вдали от цивилизации . К сожалению, это означает, что даже до того, как вы пустите бригаду для закладки бетонного фундамента, вы должны убедиться, что техника сможет туда безопасно добраться . В частности, необходимо подготовить стабильный подъезд , хотя бы гравийный. Придет время апгрейдить до асфальта, а пока придется делать .

Есть одно место, требующее особого внимания — 30 -градусный уклон, который является серьезным препятствием для более тяжелой строительной техники.Тем не менее, команда говорит вам, что , если бы вы только могли сгладить его вдвое, тогда все должно быть в порядке .

Подождите, кто-нибудь упоминал, что делит угол пополам? Теперь, это должно быть кусок пирога для калькулятор половинного угла !

Для получения точных данных о том, что, где и как следует сплющивать, необходимо произвести некоторые расчеты наклона . Но чтобы найти его градиент, было бы полезно знать тригонометрические функции угла , с которым вы имеете дело.(В конце концов, мы можем думать о наклоне как о гипотенузе большого прямоугольного треугольника.) Конечно, мы могли бы просто поискать данные в Google, но , что интересного в этом ? Ответ: забава заключается в использовании калькулятора тождеств половинного угла !

Давайте разберем это на простое пошаговое решение/инструкцию .

  • Мы знаем, что наклон находится под углом 30 градусов, и мы хотели бы уменьшить его до половины этого . Для нахождения тригонометрических функций в этом случае достаточно ввести в вычислитель половинного угла данные, с которых мы начинаем .
  • В поле « Угол » мы вводим 30 градусов, и как только мы это сделаем, инструмент выдаст ответ , как для полного угла, так и для половинного.
  • Заметим также, что 30 является частным случаем прямоугольного треугольника, поэтому калькулятор половинного угла покажет вам точные значения тригонометрических функций до того, как мы их округлим, т. е. в виде дроби с квадратом корни.

Кстати, давайте теперь посмотрим , как использовать тождества триггера половинного угла, чтобы найти ответ вручную .Итак, возьмите лист бумаги, и , давайте приступим к делу !

Прежде всего, начнем с очевидного : половина 30 градусов это 15 градусов. Это означает, что наш полуугол находится в первом квадранте (потому что он находится между 0 и 90 градусов). Далее это означает , где синус, косинус и тангенс положительны . Поэтому для формул половинного угла sin, cos и tan мы будем использовать тождества с + , где у нас был знак ± .

Начнем с синуса . Напомним, что cos(30°) = √3/2 , поэтому:

Далее, формула половины угла косинуса дает:

Наконец, из формулы полуугла тангенса мы получаем:

Вот оно! Теперь у нас есть вся информация, необходимая для того, чтобы приступить к работе и уменьшить этот угол подъема. Или… Может сначала небольшой поход в гору? Работа может подождать час или два, не так ли?

Искусство решения проблем

В тригонометрии тригонометрических тождеств — это уравнения, содержащие тригонометрические функции, которые верны для всех входных значений.Тригонометрические функции имеют множество тождеств, из которых в эту статью включены только наиболее широко используемые.

Пифагорейские тождества

Пифагорейские тождества утверждают, что

Используя определение единичной окружности тригонометрии, поскольку точка определена как находящаяся на единичной окружности, она находится на расстоянии одного от начала координат. Тогда по формуле расстояния . Чтобы получить два других пифагорейских тождества, разделите на или или и подставьте соответствующую тригонометрию вместо отношений, чтобы получить желаемый результат.

Тождества сложения углов

Тождества сложения тригонометрических углов формулируют следующие тождества:

Есть много доказательств этих тождеств. Для краткости приведем здесь только один.

Тождество Эйлера утверждает, что . У нас есть это Глядя на действительную и мнимую части, мы получаем формулы сложения углов синуса и косинуса.

Чтобы вывести формулу сложения тангенсов, мы сводим задачу к использованию синуса и косинуса, делим числитель и знаменатель на и упрощаем.по желанию.

Двухугольные тождества

Тригонометрические тождества двойного угла легко выводятся из формул сложения углов, если просто положить . Это дает:

Тождество косинуса двойного угла

Вот две одинаково полезные формы тождества косинуса с двойным углом. Оба они получены с помощью пифагорейского тождества косинусного тождества двойного угла, приведенного выше.

Кроме того, следующие тождества полезны при интегрировании и выводе тождеств половинного угла.Они представляют собой простую перестановку двух вышеперечисленных.

Полуугольные тождества

Тригонометрические тождества половинного угла формулируют следующие равенства:

Плюс или минус не означает, что есть два ответа, но что знак выражения зависит от квадранта, в котором находится угол.

Рассмотрим два выражения, перечисленные в разделе косинуса двойного угла для и , и подставьте вместо .Затем извлечение квадратного корня дает желаемые тождества полууглов для синуса и косинуса. Что касается тождества тангенса, разделите тождества половин угла синуса и косинуса.

Тождества произведение-сумма

Идентичности произведения к сумме следующие:

Их можно получить, расширив и или и , а затем объединив их, чтобы изолировать каждый термин.

Тождества суммы и произведения

Подстановка и в тождества произведения к сумме дает тождества суммы к произведению.

Другие личности

Вот некоторые тождества, менее значимые, чем приведенные выше, но все же полезные.

Трехугольные тождества

Все эти разложения можно доказать с помощью трюка и выполнения тождеств сложения углов. То же самое для и для .

Четно-нечетные тождества

Функции , , и нечетные, а и четные. Другими словами, шесть тригонометрических функций удовлетворяют следующим равенствам:

Они получены из определений единичного круга тригонометрии.Сделать любой угол отрицательным — это то же самое, что отразить его по оси X. Это сохраняет его координату x прежней, но делает его координату y отрицательной. Таким образом, и .

Преобразование идентификаторов

Следующие тождества полезны при преобразовании тригонометрических функций.

Все это можно доказать с помощью тождеств сложения углов.

Тождество Эйлера

Тождество Эйлера — это формула комплексного анализа, которая связывает комплексное возведение в степень с тригонометрией.В нем говорится, что для любого действительного числа , где постоянная Эйлера и мнимая единица. Тождество Эйлера имеет фундаментальное значение для изучения комплексных чисел и широко считается одной из самых красивых формул в математике.

Подобно выводу тождеств произведения на сумму, мы можем выделить синус и косинус, сравнив и , что дает следующие тождества:

Они также могут быть получены с помощью вычислений и . Эти выражения иногда используются для определения тригонометрических функций.

Разное

Это личности, которые недостаточно существенны, чтобы оправдать их собственный раздел.

Ресурсы

См. также

Формулы половинного и двойного угла

Написано репетитором Майклом Б.

Цель

В этом разделе вы познакомитесь с формулами, устанавливающими взаимосвязь между основными тригонометрическими значениями
(sin, cos, tan) для определенного угла и тригонометрическими значениями
для угла, который в два раза больше или равен половине первого угла. .Эти отношения могут быть очень полезны
в доказательствах, а также при решении задач, потому что их часто можно использовать для упрощения уравнения.

Формулы двойного угла

Учитывая тригонометрические значения угла α, мы хотели бы иметь возможность определить тригонометрические значения
для другого угла 2α:

Этого можно легко добиться, если понять, что 2α = α + α, и использовать тригонометрические
формулы суммирования. Вспомним три формулы суммирования:


Из них мы можем вывести формулы двойного угла для sin(2α), cos(2α) и tan(2α):




Кроме того, формула cos(2α) имеет две альтернативные, но распространенные формы.Используя тождество sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1, мы также можем вывести две формулы:


Также важно отметить, что следующие соотношения
НЕ истинны:


Формулы половинного угла

Как и в случае с формулами двойного угла, при заданных тригонометрических значениях угла α мы хотели бы иметь возможность определить тригонометрические значения
для другого угла α/2:

Находя sin и cos из альтернативных форм cos(2α), а затем подставляя α = α/2, мы получаем:


В отношении этих двух уравнений следует отметить одну важную вещь.Обычно, когда вы видите символ «±» в математических уравнениях, это обычно означает использование как положительного, так и отрицательного ответа. Например, в квадратном уравнении есть два ответа — один для положительной версии и один для отрицательной версии радикала. Однако в этом случае следует выбрать только один ответ (либо положительный , либо отрицательный ). Выбор не является произвольным — учащийся должен использовать информацию, доступную в заданной задаче, чтобы определить, какой ответ является правильным.Обычно это делается путем определения того, в каком квадранте находится угол α/2, поскольку знак каждой тригонометрической функции строго определяется квадрантом угла (ASTC).

Формула касательной половины угла также имеет три версии, которые могут быть полезны в различных сценариях:


Примеры

Пример №1

Для заданного угла, для которого sin(α) = -3/5 в квадранте III, определите значения для sin(2α), cos(2α), tan(2α), sin(α/2), cos(α/2 ) и тангенс (α/2).

Решение:

Прежде чем мы начнем вычислять 3 значения двойного угла и 3 значения половинного угла, давайте сначала найдем cos(α) и tan(α), так как они будут полезны в наших вычислениях. Используя соотношение Пифагора и тот факт, что косинус отрицателен, а тангенс положителен в квадранте III, мы можем определить, что cos(α) = -4/5 и tan(α) = 3/4. Кроме того, поскольку мы знаем, что α находится в квадранте III, мы можем написать 180° < α=””><>, и, разделив все члены этого неравенства на 2, мы можем далее написать 90° < α/2=”” ><>.Это показывает, что α/2 находится в квадранте II.

Теперь мы можем легко вычислить:

Найти sin(2α) :

Найти cos(2α) :

Найти загар(2α) :

Найти sin(α/2) :

Найти cos(α/2) :

Найти тангенс (α/2) :



или


или 7

Пример #2

Используйте тождества, чтобы упростить и написать точное выражение для каждого из следующих с помощью одной тригонометрической функции:

Решение:

.

0 comments on “Тангенс половинного угла: Урок 36. формулы половинного аргумента — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.