Таблица числовые промежутки 6 класс: Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств.  В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Виды числовых промежутков

Определение 1

Каждый числовой промежуток характеризуется:

  • названием;
  • наличием обычного или двойного неравенства;
  • обозначением;
  • геометрическим изображением на координатой прямой.

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

Определение 2
  • Открытый числовой луч. Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.

Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x<a или x>a, где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a — (x<a) или больше a — (x>a).

Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x<a обозначается  виде промежутка (−∞, a), а для x>a, как (a, +∞).

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой  и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной.  Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее.  Тогда неравенство вида x<a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x>a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a. Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

При заданном строгом неравенстве x>−3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат (−3, ∞) . То есть это все точки, лежащие правее, чем -3.

Пример 2

Если имеем неравенство вида x<2,3, то запись (−∞, 2,3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Определение 3
  • Числовой луч. Геометрический смысл  в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.

Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x≤a или x≥a. Для такого вида приняты специальные обозначения вида (−∞, a] и [a, +∞), причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Пример 3

Неравенство вида x≥5 соответствует записи [5, +∞), тогда получаем луч такого вида:

Определение 4
  • Интервал. Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств a<x<b, где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b, а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a, но меньше b. Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a, b). Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пример 4

Пример интервала −1<x<3,5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (−1, 3,5). Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Определение 5
  • Числовой отрезок. Данный промежуток отличается тем, что он включает в себя граничные точки, тогда имеет запись вида a≤x≤b. Такое нестрогое неравенство говорит о том, что при записи в виде числового отрезка применяют квадратные скобки [a, b], значит, что точки включаются во множество и изображаются закрашенными.

Пример 5

Рассмотрев отрезок, получим , что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2≤x≤3, которое изображаем  в виде 2, 3. На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.

Определение 6
  • Полуинтервалы. Это промежуточные интервалы с включением приграничных точек. Они записываются при помощи двойных неравенств вида a<x≤b или a≤b<c, где (a, b] и [a, b). Изобразим на координатной прямой.

Пример 6

Если имеется полуинтервал (1, 3], тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1<x≤3, при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3, где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Таблица числовых промежутков

Определение 7

Промежутки могут быть изображены в виде:

  • открытого числового луча;
  • числового луча;
  • интервала;
  • числового отрезка;
  • полуинтервала.

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

6 класс 23.11.20 Теория. Числовые промежутки.

23.11.2020г.

Математика

6 а/б класс. Ссылка на видеоурок https://youtu.be/qT5qXlDDd-s

Тема урока: Числовые промежутки. Понятие множества, элемента множества, подмножества. Пересечение и объединение множеств. Графическая и аналитическая модель числовых промежутков.

Открой тетрадь и запиши число на полях и «

Классная работа».

Ниже запиши тему урока.

Запишите в тетрадь все определения, таблицу и примеры.

Числовые промежутки или просто промежутки — множества всех чисел, удовлетворяющих неравенству. По другому, это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой.

Числовые промежутки – луч и открытый луч

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «луч», «открытый луч», «отрезок», «интервал», «числовые промежутки», а также научимся записывать по рисунку числовые промежутки и неравенства.

Для рассмотрения новых понятий воспользуемся рисунками, на которых изображена координатная прямая. Правда, без обозначенных на ней начала отсчета и единичного отрезка. Мы это сделали для того, чтобы не загромождать рисунок.

На координатной прямой отмечена точка a, штриховкой отмечены все точки прямой, которые лежат правее a,т.е. числа большие числаa.

Такое множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают так:

Читают так: а плюс бесконечность или от а до плюс бесконечности.

Для любого числа х из этого множества верно неравенство х a.

Таким образом, открытый луч – это луч, начало которого ему не принадлежит.

Строгие и нестрогие неравенства

Рассмотрим еще один открытый луч:

На координатной прямой штриховкой отмечены точки, которые расположены слева от точки а. Эти числа меньше, чем а.

Данное множество точек (чисел) обозначается так:

И читается: от минус бесконечности до а.

Для любого числа х этого открытого луча верно неравенство

 

Обратите внимание, на рисунках, которые мы рассмотрели, точка, соответствующая числу а, обозначена незакрашенным кружочком.

Если закрасить кружок, то множество чисел изменится.

В этом случае число, обозначающее точку а, тоже принадлежит к заштрихованному множеству. Получается луч.

Данные множества записываются с помощью квадратной скобки:

   

Такие неравенства называют нестрогими.

Неравенства вида х a и х строгими.

Числовые промежутки – интервал и отрезок

Рассмотрим еще два рисунка.

На обоих рисунках штриховкой обозначены точки (числа), которые находятся между точками a и b. В первом случае числа a и b не входят в множество – точки не закрашены, во втором входят – точки закрашены.

Первое множество называют интервалом и обозначают с помощью круглых скобок (a; b).

На втором рисунке изображен тот же интервал, но к нему присоединили его концы точки а и b, поэтому это уже не интервал, а отрезок, и записывается данное множество с помощью квадратных скобок [а; b].

Для всех точек интервала (a; b) верно двойное неравенство а

Для всех точек х, принадлежащих отрезку [а; b], верно двойное нестрогое неравенство а ≤ х ≤ b, (х больше или равен а, но меньше или равен b).

Запись числового промежутка и неравенства по рисунку

«Луч», «открытый луч», «отрезок», «интервал» – это всё числовые промежутки.

Часто при решении задачи мы рисуем схему по ее условию, а затем составляем уравнение. И схема и уравнение – это математические модели ситуации, описанной в задаче.

Схема – графическая модель, уравнение – аналитическая модель.

Аналогично дело обстоит и с числовыми промежутками.

Числовой промежуток – это все числа, соответствующие определенному условию.

Условие соответствует какой-либо математической ситуации. Можно построить как графическую, так и аналитическую модель, кроме того сделать еще и символическую запись.

Например, все числа меньшие 3.

В данном случае числовым промежутком будет открытый луч, графическая модель будет такая:

Аналитической моделью является строгое неравенство х а символическая запись (-∞; 3).

Графическими моделями для числовых промежутков являются: луч, открытый луч, отрезок, интервал.

Аналитическими моделями: строгие, нестрогие неравенства, а так же двойные неравенства.

Обобщим полученную знания о числовых промежутках в следующей таблице.

Виды числовых промежутков: (перерисуйте в тетрадь данную таблицу)

В таблице  a  и  b  — это граничные точки, а  x  — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.

Сделай паузу. Выполни упражнения:


Теперь рассмотрим на конкретных примерах виды числовых промежутков.

Открытый луч 

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а, значит, расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством  x  2.  Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок —  (2; +∞),  данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство  x 

Замкнутый луч 

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства   x ⩾ 2   и   x ⩽ 2   можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так:  [2; +∞)  и  (-∞; 2],  читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством   -2 ⩽ x ⩽ 3   или обозначить  [-2; 3],  такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством   -2 x 

Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так:  (-2; 3]  и  [-2; 3).  Читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3, и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.

Теперь рассмотрим, какие операции можно производить с числовыми промежутками.

Пересечение и объединение числовых промежутков

Пересечение числовых промежутков

Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают А∩В. Промежуток [3;5] является пересечением промежутков [-1;5] и [3;7]. Это можно записать так: [-1;5]∩[3;7]=[3;5].

Промежутки [0;4] и [6;10] не имеют общих элементов. Если множество не имеет общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. Значит, пересечение промежутков [0;4]∩[6;10]=0.


Объединение числовых промежутков

Каждое число из промежутка [1;7] принадлежит хотя бы одному из промежутков [1;5] и [3;7], то есть, либо промежутку [1;5], либо промежутку [3;7], либо им обоим. 

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, называют объединением этих множеств обозначают A B.

Промежуток [1;7] является объединением промежутков [1;5] и [3;7]. Это можно записать так: 

Заметим, что объединение промежутков не всегда представляет собой промежуток, например множество не является  промежутком.

Теперь подведи итоги своей работе на уроке и устно ответь на вопросы:

  1. Что такое числовой промежуток?

  2. Какими скобками обозначается строгое неравенство?

  3. Что называют пересечением множеств А∩В?

  4. Что называют объединением множеств A B?

Сделай в тетради все необходимы записи, разбери еще раз непонятные для тебя моменты, отдохни 15 минут.

Теперь открой файл «23.11.20 Практикум Числовые промежутки», рассмотри примеры решенных заданий, выполни упражнения самостоятельно, пришли на проверку свою работу.

Урок 11. Числовые промежутки — гдз по математике для 6 класса Зубарева И.И., Мордкович А.Г.

н.332

Условие:

Решение:

Советы:

Свойства многочленов:
1) Члены многочлена можно менять местами.
2) Прибавление к многочлену нуля или нулевого многочлена не изменят его.
3) В многочлене можно приводить подобные члены.

н.333

Условие:

Решение:

Советы:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак "+", скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых в скобках.
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак "−", скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого в скобках, не противоположный.
Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком "+" перед ними, нужно записать в скобках все его члены с теми же знаками.
Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком "−" перед ними, нужно записать в скобках все его члены с противоположными знаками.

н.334

Условие:

Решение:

Советы:

Алгебраическая дробь не определена, когда при подстановке числового значения вместо переменной получается деление на нуль.

н.335

Условие:

Решение:

Советы:

Для разложения многочлена на множители можно использовать:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) применение формул сокращенного умножения;
3) способ группировки;
4) выделение полного квадрата;
5) применение разных способов разложения на множители.

н.336

Условие:

Решение:

Советы:

Внимательно читайте условие задания.

н.337

Условие:

Решение:

Советы:

Соседи числа — это число, которое предшествует этому числу при счете (предыдущее число), и число, которое при счёте следует за ним.

н.338

Условие:

Решение:

Советы:

Увеличить число на несколько единиц - использовать действие сложение, знак"+" Уменьшить на несколько единиц- использовать действие вычитание, знак "-".

н.339

Условие:

Решение:

Советы:

Сумма, разность, произведение рациональных чисел является рациональным числом (без деления на нуль).

н.340

Условие:

Решение:

Советы:

Сложение — это математическое действие. Числа, которые складываются, называются слагаемыми. 

н.342

Условие:

Решение:

Советы:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.

н.343

Условие:

Решение:

Советы:

Непростые натуральные числа, больше 1, называют составными числами.

н.344

Условие:

Решение:

Советы:

Вычитание — обратное сложению арифметическое действие, посредством которого от одной величины отнимается другая величина.

н.345

Условие:

Решение:

Советы:

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа и второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго плюс куб второго числа.

н.346

Условие:

Решение:

Советы:

Чтобы определить, делиться ли одно натуральное число на другое, можно это делимое число разложить на множители.

н.347

Условие:

Решение:

Советы:

Запомните: натуральные числа - те, которые используем при счете (когда нам необходимо посчитать людей или предметы).

н.348

Условие:

Решение:

Советы:

Задача на нахождение суммы всегда решается действием сложения.
Задача на нахождение остатка решается действием вычитания. знак "-"

н.349

Условие:

Решение:

Советы:

Разность квадратов двух чисел равно произведению суммы этих чисел и их разности.

н.350

Условие:

Решение:

Советы:

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.

н.351

Условие:

Решение:

Советы:

Натуральные числа не могут быть отрицательными. Поэтому натуральное число получаем, если мы из большего отнимаем меньшее, но не наоборот.

н.352

Условие:

Решение:

Советы:

Сантиметр (см) – единица измерения длины. Дециметр (дм) – более крупная единица измерения длины.1 дм = 10 см.

н.353

Условие:

Решение:

Советы:

10 единиц какого−либо разряда, дает 1 единицу более высокого разряда.

н.354

Условие:

Решение:

Советы:

Два действительных числа равны между собой, если они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины имеют одинаковые целые части и одинаковые цифры соответствующих разрядов.

355

Условие:

Решение:

Советы:

Умножение обратно делению и наоборот деление обратное умножению. Так как в примерах первое число сначала делится(умножается) на одно число и умножается(делится) на это же число, то решением уравнения будет первое число из выражения.

н.356

Условие:

Решение:

Советы:

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности.

н.357

Условие:

Решение:

Советы:

Правила:
от перемены местами множителей произведение не меняется;
чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель;
чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное

н.358

Условие:

Решение:

Советы:

Рациональные числа − это числа, которые можно записать в виде десятичной периодической дроби.
Иррациональные числа − это числа, которые можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

н.359

Условие:

Решение:

Советы:

Действительные числа − это все рациональные и иррациональные числа.

н.360

Условие:

Решение:

Советы:

Свойства многочленов:
1) Члены многочлена можно менять местами.
2) Прибавление к многочлену нуля или нулевого многочлена не изменят его.
3) В многочлене можно приводить подобные члены.

н.361

Условие:

Решение:

Советы:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак "+", скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых в скобках.
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак "−", скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого в скобках, не противоположный.
Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком "+" перед ними, нужно записать в скобках все его члены с теми же знаками.
Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком "−" перед ними, нужно записать в скобках все его члены с противоположными знаками.

н.362

Условие:

Решение:

Советы:

Алгебраическая дробь не определена, когда при подстановке числового значения вместо переменной получается деление на нуль.

н.363

Условие:

Решение:

Советы:

Для разложения многочлена на множители можно использовать:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) применение формул сокращенного умножения;
3) способ группировки;
4) выделение полного квадрата;
5) применение разных способов разложения на множители.

Неравенство задающее числовой промежуток таблица. Числовой интервал

Числовой интервал

Промежуток , открытый промежуток , интервал — множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a x b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .

В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток — все числа меньшие a и промежуток — все числа большие a .

Термин промежуток используется в составе сложных терминов:

  • при интегрировании — промежуток интегрирования ,
  • при уточнении корней уравнения — промежуток изоляции
  • при определении сходимости степенных рядов — промежуток сходимости степенного ряда .

Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Числовой интервал» в других словарях:

    От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия

    Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a

    Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия

    Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия

    Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

    МИКРОСКОП — (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия

    ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий — Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия

    Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора

К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

Название Изображение Неравенство Обозначение
Открытый луч x > a (a ; +∞)
x a (-∞; a )
Замкнутый луч x &ges; a [a ; +∞)
x &les; a (-∞; a ]
Отрезок a &les; x &les; b [a ; b ]
Интервал a x b (a ; b )
Полуинтервал a x &les; b (a ; b ]
a &les; x b [a ; b )

В таблице a и b — это граничные точки, а x — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а значит расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок — (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство x

Замкнутый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x &ges; 2 и x &les; 2 можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так: , читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 &les; x &les; 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Интервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 x

Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3), читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.

Среди числовых множеств, то есть множеств , объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки . Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.

В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.

Навигация по странице.

Виды числовых промежутков

Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:

  • название числового промежутка,
  • отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
  • обозначение,
  • и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.

Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).

Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.

    Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч . Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.

    Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa , где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a (в случае неравенства xa ).

    Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa , как (a, +∞) .

    Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:

    Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.

    Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3 задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞) . А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3 , не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x

    Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам . В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.

    Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a или x≥a . Для них приняты обозначения (−∞, a] и . А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:

    Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.

    Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами . Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a

Таблица числовых промежутков

Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:

  • открытый числовой луч;
  • числовой луч;
  • интервал;
  • полуинтервал.

Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков :


Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Определение 1

Каждый числовой промежуток характеризуется:

  • названием;
  • наличием обычного или двойного неравенства;
  • обозначением;
  • геометрическим изображением на координатой прямой.

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

Определение 2

  • Открытый числовой луч. Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.

Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x a , где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a — (x a) .

Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x a , как (a , + ∞) .

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a . Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

При заданном строгом неравенстве x > − 3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат (− 3 , ∞) . То есть это все точки, лежащие правее, чем — 3 .

Пример 2

Если имеем неравенство вида x

Определение 3

  • Числовой луч. Геометрический смысл в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.

Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x ≤ a или x ≥ a . Для такого вида приняты специальные обозначения вида (− ∞ , a ] и [ a , + ∞) , причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Пример 3

Неравенство вида x ≥ 5 соответствует записи [ 5 , + ∞) , тогда получаем луч такого вида:

Определение 4

  • Интервал. Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств a

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пример 4

Пример интервала − 1

Определение 5

  • Числовой отрезок. Данный промежуток отличается тем, что он включает в себя граничные точки, тогда имеет запись вида a ≤ x ≤ b . Такое нестрогое неравенство говорит о том, что при записи в виде числового отрезка применяют квадратные скобки [ a , b ] , значит, что точки включаются во множество и изображаются закрашенными.

Пример 5

Рассмотрев отрезок, получим, что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2 ≤ x ≤ 3 , которое изображаем в виде 2 , 3 . На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.

Определение 6 Пример 6

Если имеется полуинтервал (1 , 3 ] , тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1 Определение 7

Промежутки могут быть изображены в виде:

  • открытого числового луча;
  • числового луча;
  • интервала;
  • числового отрезка;
  • полуинтервала.

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

3. Числовые промежутки. Краткосрочный план

Работа с классом. Ввод новой темы: Обычно решая задания, мы озвучиваем конкретный ответ, или несколько ответов, или утверждаем что нет ответа. В задании 4) Прочитайте неравенство и перечислите несколько значений переменной, удовлетворяющее данному неравенству: А) x > 3;      Б) x £ 12;        В) -8< x £ 1,8 — у каждого свой ответ.

Мы не ответили сколько всего решений и конкретно какие.

Математические модели бывают не только алгебраические (в виде числового равенства, уравнения, неравенства), но и словесные (в виде словесного описания реальной ситуации), графические (в виде схемы, графика, чертежа). Учащиеся уже знакомы со всеми этими видами моделей. Напоминаем, что алгебраическую модель ещё называют аналитической, а графическую – геометрической. Чтобы свободно оперировать любыми видами математических моделей, нужно учиться переходить от одного из них к другому.

Если изобразим на числовом луче решение неравенства — это будет точный ответ, так как решений бесконечно много.

 

Так изображается полный ответ на вопрос задания 4. Это геометрическое изображение ответа на вопрос о решении неравенств, называемые числовыми промежутками.

Определение: Множество чисел, расположенных между числами  и , называют числовым промежутком.

У каждого промежутка есть свое название.

Виды числовых промежутков: интервал, отрезок, полуинтервал, луч, открытый луч.

Так как у неравенств бесконечное множество решений, записать все невозможно. Решение можно отобразить на оси координат. Отображённое на оси координат решение неравенства можно записать в виде числового интервала.

Вид неравенства и обозначение точки на оси координат (закрашенная или пустая)

Запись принадлежности конечной точки интервалу

≤ или ≥∙(конечная точка включена)

[или] — квадратные скобки

< или >  (конечная точка не включена)

( или ) — круглые скобки

Общий вид на таблице. Приложение 2

С целью экономии времени, можно после объяснения и разбора каждого случая, раздать учащимся таблицу для пользования.

Первичное закрепление. Особое внимание уделяем:

·      правильным формулировкам;

·      верному использованию круглых и квадратных скобок при обозначении числового промежутка;

·      верному использованию светлых кружков («выколотых» точек) и тёмных при изображении числовых промежутков на координатной прямой.

Для отработки навыков умения работать с таблицей, решить следующее задание.

Для заданного неравенства прочитайте данные числовые промежутки, изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, пользуясь таблицей.

Дальнейшее закрепление провести в руппах.

Основные числовые промежутки. Числовой интервал

Цели:

  • Обучающие : формировать умения работать с числовыми промежутками, изображать на координатной прямой промежуток и множество чисел, удовлетворяющих неравенству; прививать навыки графической культуры.
  • Развивающие : развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи, развитие любознательности учащихся, познавательного интереса к предмету.
  • Воспитательные : воспитание интереса к математике через использование и применение ИКТ; создание условий для формирования коммуникативных навыков.

Оборудование: Учебник “Алгебра-8” под ред. С.А.Теляковского; компьютер; проектор, экран, Презентация .

Тип урока: комбинированный

Формы работы: фронтальная, индивидуальная

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (Презентация )

Здравствуйте, ребята, сегодня у нас на уроке гости, но мы не будем волноваться и продуктивно поработаем.

2. Актуализация опорных знаний, умений и навыков (слайды 2-4).

Устная работа

Проводится с помощью демонстрации презентации с заданиями.

1) Между какими целыми числами заключено число:

А) 1,3 Б) — 5,5 В)

2) Между какими целыми числами заключено число:

А) √3; Б) √15; В) √72.

Прочитайте неравенство и назовите несколько значений переменной, удовлетворяющее данному неравенству:

А) x Б) x > 7;
В) — 1

Как называется Множество всех чисел, удовлетворяющих данному условию?

3. Закрепление изученного материала (слайд 5)

1) Определение числового промежутка. Множество всех чисел, удовлетворяющих данному условию, называется числовым промежутком

2) (слайд 6) Тема нашего урока «Числовые промежутки».
(слайд 7) «Луч», «открытый луч», «отрезок», «интервал» — это всё числовые промежутки.
Часто при решении задачи мы рисуем схему по ее условию, а затем составляем уравнение. И схема и уравнение — это математические модели ситуации, описанной в задаче.
Схема — графическая модель, уравнение — аналитическая модель.
Аналогично дело обстоит и с числовыми промежутками.
Числовой промежуток — это все числа, соответствующие определенному условию.
Условие соответствует какой-либо математической ситуации. Можно построить как графическую, так и аналитическую модель, кроме того сделать еще и символическую запись.
Например, все числа меньшие 3.

В данном случае числовым промежутком будет открытый луч, графическая модель будет такая:
Аналитической моделью является строгое неравенство х Графическими моделями для числовых промежутков являются: луч, открытый луч, отрезок, интервал.
Аналитическими моделями: строгие, нестрогие неравенства, а так же двойные неравенства
3) (слайд 8) Проверка домашнего задания
4) (слайд 9) Работа с Цифровыми ресурсами из school-collection.edu.ru–71
а) изобразите на координатной прямой числовые промежутки (Задание 1)
б) запишите промежутки, изображенные на рисунке

4. Физминутка (слайды 10, 11)

5) (слайд 12) Светофор — разноуровневые задания
6) (слайд 14) — тестовые задания (сколько чисел принадлежит промежутку)
7) (слайд 15) — задания на сопоставления с последующей проверкой
8) работа по учебнику стр. 185

Работа по вариантам:

1 вар 2 вар

№815(а) №815(б)
№816(а) №816(б)
№819(а) №819(б)
№825(а) №825(б)
№823(а) №823(б)

Самопроверка

5. Итог урока

Итак, подведем итог нашего урока. Ответим на вопросы.
Дайте определение числового промежутка.
Перечислите виды числовых промежутков. Приведите примеры

Среди числовых множеств, то есть множеств , объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки . Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.

В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.

Навигация по странице.

Виды числовых промежутков

Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:

  • название числового промежутка,
  • отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
  • обозначение,
  • и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.

Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).

Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.

    Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч . Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.

    Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa , где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a (в случае неравенства xa ).

    Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa , как (a, +∞) .

    Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:

    Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.

    Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3 задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞) . А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3 , не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x

    Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам . В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.

    Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a или x≥a . Для них приняты обозначения (−∞, a] и . А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:

    Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.

    Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами . Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a

Таблица числовых промежутков

Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:

  • открытый числовой луч;
  • числовой луч;
  • интервал;
  • полуинтервал.

Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков :


Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Ответ — Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ

Положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Числовым промежутком называется связанное множество действительных чисел, то есть такое, что если 2 числа принадлежат этому множеству, то все числа заключенные между ними также принадлежат этому множеству. Существует несколько в некотором смысле различных типов непустых числовых промежутков: Прямая, открытый луч, замкнутый луч, отрезок, полуинтервал, интервал

Числовая прямая

Множество всех действительных чиселназывают ещё числовой прямой. Пишут.

На практике нет необходимости различать понятие координатной или числовой прямойв геометрическом смысле и понятие числовой прямой, введённое настоящим определением. Поэтому эти разные понятия обозначаются одним и тем же термином.

Открытый луч

Множество чисел таких, чтоилиназывают открытым числовым лучом. Пишутили соответственно:.

Замкнутый луч

Множество чисел таких, чтоилиназывают замкнутым числовым лучом. Пишутили соответственно:.

Множество чисел таких, чтоназывают числовым отрезком.

Замечание. В определении не оговаривается, что . Предполагается, что случайвозможен. Тогда числовой промежуток превращается в точку.

Интервал

Множество чисел , таких чтоназывают числовым интервалом.

Замечание. Совпадение обозначений открытого луча, прямой и интервала не случайно. Открытый луч можно понимать как интервал, один из концов которого удалён в бесконечность, а числовую прямую — как интервал, оба конца которого удалены в бесконечность.

Полуинтервал

Множество чисел , таких чтоилиназывают числовым полуинтервалом.

Пишут или, соответственно,

3.Функция.График функции. Способы задания функции.

Ответ — Если даны две переменные х и y, то говорят, что переменная y является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения ходнозначно определить значение у.

Запись F = у(х) означает, что рассматривается функция, позволяющая для любого значения независимой переменной х (из числа тех, которые аргумент х вообще может принимать) находить соответствующее значение зависимой переменной у.

Способы задания функции.

Функция может быть задана формулой, например:

у = 3х2 – 2.

Функция может быть задана графиком. Т называется периодом функции. Примеры. А. у = соs х, Т = 2. В. у = tg х, Т =. С. у = {х}, Т = 1. D. у =, эта функция не является периодической. Четность Определение. Функция f называется четной, если для всех х из D(f) выполняется свойство f(-х) = f(х). Если f(-х) = -f(х), то функция называется нечетной. Если ни одно из указанных соотношений не выполняется, то функция называется функцией общего вида. Примеры. А. у = соs (х) — четная; В. у = tg (х) — нечетная; С. у = {х}; y=sin(x+1) – функции общего вида. Монотонность Определение. Функция f: X -> R называется возрастающей (убывающей), если для любых
выполняется условие:
Определение. Функция Х ->R называется монотонной на X, если она на X возрастающая или убывающая. Если f монотонна на некоторых подмножествах из X, то она называется кусочно-монотонной. Пример. у = cos х — кусочно-монотонная функция.

Числовой интервал

Промежуток , открытый промежуток , интервал — множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b , то есть множество чисел x , удовлетворяющих условию: a x b . Промежуток не включает концов и обозначается (a ,b ) (иногда ]a ,b [ ), в отличие от отрезка [a ,b ] (замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек .

В записи (a ,b ) , числа a и b называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток — все числа меньшие a и промежуток — все числа большие a .

Термин промежуток используется в составе сложных терминов:

  • при интегрировании — промежуток интегрирования ,
  • при уточнении корней уравнения — промежуток изоляции
  • при определении сходимости степенных рядов — промежуток сходимости степенного ряда .

Кстати, в английском языке словом interval называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval .

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: «Астрель», «АСТ», 2002

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Числовой интервал» в других словарях:

    От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия

    Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a

    Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия

    Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия

    Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

    МИКРОСКОП — (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия

    ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий — Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия

    Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора

К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

Название Изображение Неравенство Обозначение
Открытый луч x > a (a ; +∞)
x a (-∞; a )
Замкнутый луч x &ges; a [a ; +∞)
x &les; a (-∞; a ]
Отрезок a &les; x &les; b [a ; b ]
Интервал a x b (a ; b )
Полуинтервал a x &les; b (a ; b ]
a &les; x b [a ; b )

В таблице a и b — это граничные точки, а x — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а значит расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок — (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство x

Замкнутый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x &ges; 2 и x &les; 2 можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так: , читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 &les; x &les; 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Интервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 x

Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3), читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.

Tables

Таблица помогает нам организовать и проанализировать набор значений данных. В этом разделе мы рассмотрим таблицы частот и стемплоты (т.е. стеблево-листовые участки).


Таблицы частот

Таблица частот представляет собой табличное представление набора данных в порядке возрастания с соответствующими им частотами. Это — это простое устройство для подсчета частоты появления значения данных.

Примечание:

Слово «частота» означает «как часто».


Пример 7

За выполнение задания 25 учащихся получили следующие баллы:

4     7 5     9 8     6 7     7 8     5 6     9     8
5     8 7     4 7     3 6     8 9     7 6     9

Представьте эту информацию в таблице частот и найдите моду.

Решение:

Таблица частот выглядит следующим образом:

Наиболее часто встречается 7 баллов.


Интервалы классов

Данные группируются в интервала класса , если таблица частот становится слишком большой, чтобы помочь нам организовать, интерпретировать и проанализировать данные. частота интервала класса — это количество значений данных, попадающих в диапазон, заданный интервалом.

Размер интервала класса часто выбирается как 5, 10, 15 или 20 и т. д. Каждый интервал класса начинается со значения, кратного размеру.

Например, если размер интервала класса равен 5, то класс интервалы должны начинаться с 0, 5, 10, 15, 20 и т. д. Интервалы классов будут затем 0-4, 5-9, 10-14 и т.д.


Таблицы частот с интервалами классов

Таблица частот для набора данных, содержащего большое количество данных значений строится следующим образом:

  • Определите диапазон данных набора данных.
  • Определите ширину интервалов классов.
  • Разделите диапазон на выбранную ширину интервала класса, чтобы определить количество интервалов.

Пример 8

Школьная медсестра взвесила 30 учеников 10 класса. Их вес (в кг) были записаны следующим образом:

50     52 53     54 55     65 60     70 48     63
74     40 46     59 68     44 47     56 49     58
63     66 68     61 57     58 62     52 56     58

а.Представьте эту информацию в таблице частот.
б. Прокомментируйте режим таблицы.

Решение:

а.

Есть 7 интервалов занятий. Это разумно для приведенных данных.

Таблица частот выглядит следующим образом:

б.

Мы замечаем, что модальный интервал класса составляет 55-59.То есть большая часть школьники весят от 55 до 59 кг.


Участки стебля (участки стебля и листьев)

Стемплом (график ствола и листьев) — это устройство, используемое для группировки небольшой набор данных (примерно до 50 значений данных). Набор данных расположен в в порядке возрастания, сохраняя при этом все исходные значения данных. Это позволяет нам найти первый квартиль, медиана и третий квартиль легко. stemplot полезен для получения информации о центре, распространении, форме и выбросы распределения.


Создание шаблона

В stemplot каждое значение данных считается состоящим из двух частей: основы и листа . Первые цифры значения данных образуют основу, а конечная цифра (цифры) становится листом.

Далее следуют три примера stemplot:

  • Значения данных 65, 70 и 74 записываются, как показано ниже:

 

  • Значения данных 349, 366 и 480 записываются, как показано ниже:

  • Значения данных 35.8, 36.2 и 36.9 записываются, как показано ниже:


Примечание:

Чтобы построить участок, мы:

  • введите стебли слева от вертикальной разделительной линии и лист справа от вертикальной разделительной линии для каждого значения данных
  • запишите каждое значение данных, как указано в наборе данных, чтобы построить неупорядоченный шаблон.
  • Затем мы создаем упорядоченный шаблон из неупорядоченной версии с помощью расположение листьев в порядке возрастания.

Пример 9

Подготовьте шаблон для следующего набора оценок, которые являются отметками получено 16 студентами:

Решение:

Схема для значений оценки в диапазоне от 21 до 74 выглядит следующим образом:

Этот шаблон не заказан.

Упорядоченный ствол получается путем расположения листьев по порядку, как показано ниже.


Примечание:

Для каждого значения данных стебель представляет собой разряд десятков, а лист — разряд единиц.


Пример 10

Следующие данные представляют количество пробежек за подачу игрока. забил за сезон.

Построить упорядоченный шаблон для отображения данных.

Решение:

Дается упорядоченный шаблон для оценок в диапазоне от 4 до 127. ниже. Стебли 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 образованы десятками цифры; тогда как основы 10, 11 и 12 образованы сотнями и десятки цифр. Листья формируются единичными цифрами значений.

Замечаем, что баллы 4, 116 и 127 отделены от основного тело данных.Итак, 4, 116 и 127 — это выбросов . Stemplot для данные, состоящие из выбросов, могут быть отображены следующим образом:

Примечание:

Значение 4 указано в верхней части таблицы как выброс, а значения 116 и 127 указаны под таблицей как выбросы.


Основные термины

таблицы, таблицы частот, класс интервалы, стеблевые диаграммы, стебель-и-лист участки, стебель, лист

Интервалы

Интервал: все числа между двумя заданными числами.

Пример: все числа от 1 до 6 являются интервалом

Все числа?

Да. Все действительные числа, лежащие между этими двумя значениями.

Пример: интервал от 2 до 4 включает такие числа, как:

2.1 2.1111 2,5 2,75 2.80001

7 / 2 3.7937

И многое другое!

Включая цифры на каждом конце?

Ааа… может да, может нет… надо сказать!

Пример: «допускаются ящики массой до 20 кг»

Если ваш ящик ровно 20 кг … это будет разрешено или нет?

Не совсем понятно.

Давайте посмотрим, как быть точным в каждом из трех популярных методов:

  • Неравенства
  • Числовая линия
  • Обозначение интервала

Неравенства

С неравенствами мы используем:

  • > больше
  • ≥ больше или равно
  • < меньше
  • ≤ меньше или равно

Вот так:

Пример: x ≤ 20

Говорит: «x меньше или равно 20»

А значит: до включительно 20

Обозначение интервала

В «Обозначении интервалов» мы просто записываем начальное и конечное число интервала и используем:

  • [ ] квадратная скобка, когда мы хотим, чтобы включало конечное значение, или
  • ( ) круглая скобка, когда мы не делаем

Вот так:

Пример: (5, 12]

Означает от 5 до 12, не включает 5, а делает включает 12

Номер строки

С помощью числовой линии мы рисуем толстую линию, чтобы показать значения, которые мы включаем, и:

  • закрашенный кружок, когда мы хотим включить конечное значение, или
  • открытый круг, когда мы не

Вот так:

Пример:

означает все числа от 0 до 20, не включает 0, а не включает 20

 

Все три метода вместе

Вот удобная таблица, показывающая все 3 метода (интервал от 1 до 2):

  Из 1   До 2
  В том числе 1 Кроме Включая 1   Кроме Включая 2 В том числе 2
Неравенство: х ≥ 1
«больше чем
или равный
х > 1
«больше чем»
 
  х < 2
«меньше чем»
 
х ≤ 2
«менее
или равный
Номер строки:  
Обозначение интервала: [1 (1   2) 2]

 

Пример: к добавить 1 , а к не включить 2 :

Неравенство:

х ≥ 1 и х < 2

или вместе: 1 ≤ x < 2

Номер строки:
Обозначение интервала: [1, 2)

Другие примеры

Пример 1: «Распродажа не дороже 10 долларов»


Это означает от до включительно 10 долларов.

И будет справедливо сказать, что все цены выше $0.00.

В качестве неравенства мы показываем это как:

Цена ≤ 10 и Цена > 0

На самом деле мы могли бы объединить это в:

0 < Цена ≤ 10

В строке номера это выглядит так:

И используя интервальную нотацию это просто:

(0, 10]

 

 

Пример 2: «Участникам должно быть от 14 до 18 лет»

Таким образом, 14 включено, а «быть 18-летним» идет вплоть до (но не включая) 19.

В виде неравенства это выглядит так:

14 ≤ Возраст < 19 лет

В числовой строке это выглядит так:

И используя запись интервала, это просто:

[14, 19)

Разве не забавно, что мы измеряем возраст совершенно иначе, чем что-либо еще? Мы остаемся 18-летними до тех пор, пока нам не исполнится 19. Мы не говорим, что нам 19 (с точностью до ближайшего года) с 18½ и далее .

Открыто или Закрыто

Термины «Открыто» и «Закрыто» иногда используются независимо от того, включено или нет конечное значение:

(а, б)   а < х < б   открытый интервал
[а, б)   а ≤ х < b   закрыто слева, открыто справа
(а, б]   а < х ≤ б   открыт слева, закрыт справа
[а, б]   а ≤ х ≤ б   закрытый интервал

Это интервалы конечной длины.У нас также есть интервалы бесконечной длины.

В бесконечность (но не дальше!)

Мы часто используем Infinity в записи интервалов.

Бесконечность — это , а не реальное число , в данном случае это просто означает «продолжение…»

Пример: x больше или равно 3:

[3, +∞)

Обратите внимание, что мы используем круглую скобку с бесконечностью, потому что мы не достигаем ее!

Есть 4 возможных «бесконечных конца»:

Интервал   Неравенство    
(а, +∞)   х > а   «больше а»
[а, +∞)   х ≥   «больше или равно»
(-∞, а)   х <   «меньше чем»
(-∞, а]   х ≤   «меньше или равно»

Мы могли бы даже показать без ограничений , используя это обозначение: (-∞, +∞)

Два интервала

У нас может быть два (или более) интервала.

Пример: x ≤ 2 или x >3

В числовой строке это выглядит так:

А запись интервала выглядит так:

(-∞, 2] U (3, +∞)

Мы использовали букву «U» для обозначения союза (объединения двух наборов).


Примечание: будьте осторожны с подобным неравенством.
Не пытайтесь соединить это в одно неравенство:

2 ≥ x > 3 неправильно!

это не имеет смысла (вы не можете быть меньше 2
и больше 3 одновременно).

Соединение и пересечение

Мы только что увидели, как соединить два множества с помощью «Союза» (и символа ).

Существует также «Пересечение», что означает «должен быть в обоих». Подумайте «где они пересекаются?».

Символ пересечения представляет собой перевернутую букву «U», например:

Пример:   (-∞, 6]  ∩ (1, ∞)

Первый интервал доходит до (включительно) 6

Второй интервал начинается с (но не включая) 1 и далее.

Пересечение (или перекрытие) этих двух наборов идет от 1 до 6 (не включая 1, включая 6):

(1, 6]

 

Заключение

  • Интервал — это все числа между двумя заданными числами.
  • Важно показать, включены ли начальный и конечный номера
  • Существует три основных способа отображения интервалов: Неравенства, Числовая линия и Обозначение интервалов.

 

 

Сноска: геометрия, алгебра и множества

Возможно, вы этого не заметили… но на самом деле мы использовали:

все в одной теме. Разве математика не удивительна?

 

Обозначение интервалов — определение, примеры, типы интервалов

Обозначение интервала — это способ представления интервала на числовой прямой.Другими словами, это способ записи подмножеств действительной числовой прямой. Интервал включает в себя числа, лежащие между двумя конкретными заданными числами. Например, набор чисел x, удовлетворяющих условию 0 ≤ x ≤ 5, представляет собой интервал, содержащий 0, 5 и все числа от 0 до 5.

Давайте подробно разберемся с обозначением интервалов и различными типами интервалов, используя решенные примеры.

Что такое интервальная запись?

Интервальная нотация — это способ выражения подмножества действительных чисел числами, которые их связывают.Мы можем использовать это обозначение для представления неравенств. Мы знаем, что интервал, выраженный как 1 < x < 5, обозначает набор чисел, лежащих между 1 и 5.

Примеры обозначения интервалов

Предположим, мы хотим выразить множество действительных чисел {x |-2 < x < 5} с помощью интервала. Это может быть выражено в виде интервальной нотации (-2, 5).

Множество действительных чисел может быть выражено как (-∞, ∞).

Различные типы интервалов

Интервалы можно классифицировать на основе чисел, которые содержит набор.Некоторые наборы включают конечные точки, указанные в нотации, в то время как некоторые могут частично включать или не включать конечные точки. В общем, есть три типа интервалов, обозначенных как

.
  • Открытый интервал
  • Закрытый интервал
  • Полуоткрытый интервал

Открытый интервал

Этот тип интервала не включает конечные точки неравенства. Например, набор {х | -3 < x < 1} не включает конечные точки -3 и 1.Это выражается с использованием обозначения открытого интервала: (-3, 1).

Закрытый интервал

Этот тип интервала включает в себя конечные точки неравенства. Например, набор {х | -3 ≤ x ≤ 1} включают конечные точки, -3 и 1. Это выражается с использованием записи с закрытым интервалом: [-3,1].

Полуоткрытый интервал

Этот тип интервала включает только одну из конечных точек неравенства. Например, набор {х | -3 ≤ x < 1} включает конечную точку -3.Это выражается с использованием нотации полуоткрытого интервала: [-3,1)

Обозначения для разных типов интервалов

Мы можем следовать определенным правилам и символам, чтобы представить нотацию интервала для различных типов интервалов. Давайте разберемся с различными символами, которые можно использовать для записи определенного типа интервала.

Символ для обозначения интервала

Обозначения, которые мы используем для различных интервалов:

  • [ ]: это квадратная скобка, которая используется, когда обе конечные точки включены в набор.
  • ( ): это круглая скобка, которая используется, когда обе конечные точки исключены из набора.
  • ( ]: это полуоткрытая скобка, которая используется, когда левая конечная точка исключена, а правая конечная точка включена в набор.
  • [ ]: это также полуоткрытая скобка, которая используется, когда левая конечная точка включена, а правая конечная точка исключена из набора.

Числовое представление различных типов интервалов

Различные типы записи интервалов могут быть представлены на числовой прямой.Посмотрите на удобную таблицу, которая различает все типы интервалов, используя их представление на числовой прямой.

Обозначение интервала Неравенство Номер строки Тип интервала
(а, б) {х | а < х < б}

Открытый интервал
[а, б] {х | а ≤ х ≤ б}

Закрытый интервал
[а, ∞) {х | х ≥ а}

Полуоткрытый интервал
(а, ∞) {х | х > а}

Полуоткрытый интервал
(-∞, а) {х | х < а}

Полуоткрытый интервал
(-∞, а] {х | х ≤ а}

Полуоткрытый интервал

Преобразование неравенства в интервальную запись

Выполните шаги, указанные ниже, чтобы преобразовать неравенство в представление интервала.

  1. Нарисуйте набор решений интервала на числовой прямой.
  2. Запишите числа в интервальном представлении так, чтобы меньшее число шло первым в числовой строке слева.
  3. Если множество неограниченно слева, используйте символ «-∞», а если оно неограниченно справа, используйте символ «∞».

Давайте возьмем несколько примеров неравенства и преобразуем их в интервальную запись.

Неравенство Номер строки Обозначение интервала
х ≤ 3

(-∞, 3]
х < 5

(-∞, 5)
х ≥ 2

(2,∞]

Важные примечания по записи интервалов:

  • Интервальное обозначение используется для выражения набора неравенств.
  • Существует 3 типа обозначения интервала: открытый интервал, закрытый интервал и полуоткрытый интервал.
  • Интервал без символа бесконечности называется ограниченным интервалом.
  • Интервал, содержащий символ бесконечности, называется неограниченным интервалом.

Связанные статьи:

Часто задаваемые вопросы об интервальной нотации

Что вы подразумеваете под интервальной нотацией?

Интервальная нотация — это метод представления любого подмножества строки действительных чисел.Мы используем различные символы в зависимости от типа интервала для записи его обозначения. Например, набор чисел x, удовлетворяющих условию 1 ≤ x ≤ 6, представляет собой интервал, содержащий 1, 6 и все числа от 1 до 6.

Что такое интервальная запись на графике?

Когда мы представляем набор решений интервала на числовой прямой, это граф для обозначения интервала.

Как изобразить запись интервала с помощью числовой строки?

Мы можем изобразить запись интервала для данного набора чисел на основе типа числа и конкретных символов для скобок, используемых для заключения набора для данного конкретного типа.

Что такое символ ∪ для записи интервалов?

Символ объединения «∪» используется для обозначения объединения двух или более интервалов в любой нотации интервалов. Интервальная нотация определяется как метод, используемый для представления любого подмножества строки действительных чисел.

Какие существуют типы интервалов?

Существуют разные типы интервалов, которые можно представить, следуя разным наборам правил записи интервалов. Эти типы обозначений интервалов могут быть указаны как

.
  • Открытый интервал
  • Закрытый интервал
  • Полуоткрытый интервал

Как преобразовать неравенство в интервальную запись?

Мы можем преобразовать неравенство в запись интервала, используя шаги, указанные ниже,

  • Во-первых, нам нужно изобразить набор решений интервала на числовой прямой.
  • Затем запишите числа в интервальном представлении так, чтобы меньшее число значилось первым в числовой строке слева.
  • Используйте символ «-∞» для неограниченного множества слева, а если оно неограниченно справа, используйте символ «∞».

Как исключить числа из записи интервалов?

Мы используем круглые скобки, чтобы исключить числа из записи интервалов. Эти числа обычно являются конечными точками данного множества. Чтобы исключить промежуточный набор чисел, мы можем использовать два разных набора и объединить их вместе, используя символ объединения «∪».

Описание данных | Математика для гуманитарных наук

После того, как мы собрали данные опросов или экспериментов, нам необходимо обобщить и представить данные таким образом, чтобы они были понятны читателю. Мы начнем с графического представления данных, а затем рассмотрим числовые сводки данных.

Графическое представление категориальных данных

Категориальные, или качественные, данные — это фрагменты информации, которые позволяют нам классифицировать исследуемые объекты по различным категориям.Обычно мы начинаем работу с категориальными данными с суммирования данных в таблице частот .

Таблица частот

Таблица частот — это таблица с двумя столбцами. В одном столбце перечислены категории, а в другом — частота встречаемости элементов в категориях (сколько элементов попадает в каждую категорию).

Пример 1

Страховая компания определяет страховые премии транспортных средств на основе известных факторов риска. Если человек считается более рискованным, его страховые взносы будут выше.Одним из возможных факторов является цвет вашего автомобиля. Страховая компания считает, что люди с автомобилями определенного цвета чаще попадают в аварии. Чтобы исследовать это, они изучают полицейские отчеты о недавних столкновениях с полными потерями. Данные обобщены в таблице частот ниже.

Цвет Частота
Синий 25
Зеленый 52
Красный 41
Белый 36
Черный 39
Серый 23

Иногда нам нужен еще более интуитивно понятный способ отображения данных.Здесь на помощь приходят диаграммы и графики. Существует множество способов графического отображения данных, но мы сконцентрируемся на одном очень полезном типе графика, который называется гистограммой. В этом разделе мы будем работать с гистограммами, которые отображают категориальные данные; следующий раздел будет посвящен столбчатым диаграммам, отображающим количественные данные.

Гистограмма

Гистограмма — это график, который отображает столбец для каждой категории, причем длина каждого столбца указывает частоту этой категории.

Чтобы построить гистограмму, нам нужно провести вертикальную и горизонтальную оси. Вертикальное направление будет иметь шкалу и измерять частоту каждой категории; горизонтальная ось в этом случае не имеет масштаба. Построение гистограммы проще всего описать на примере.

Пример 2

Используя приведенные выше данные об автомобилях, обратите внимание, что самая высокая частота равна 52, поэтому наша вертикальная ось должна идти от 0 до 52, но мы могли бы также использовать от 0 до 55, чтобы мы могли ставить решетку каждые 5 единиц:

Обратите внимание, что высота каждой полосы определяется частотой соответствующего цвета.Горизонтальные линии сетки приятны, но не обязательны. На практике вам будет полезно рисовать гистограммы с помощью миллиметровой бумаги, чтобы линии сетки уже были на месте, или с помощью технологии. Вместо линий сетки мы могли бы также перечислить частоты в верхней части каждого столбца, например:

.

В этом случае наша диаграмма может выиграть от переупорядочения от наибольшего к наименьшему значению частоты. Такое расположение может упростить сравнение похожих значений на диаграмме, даже без линий сетки.Когда мы располагаем категории в порядке убывания частоты таким образом, это называется диаграммой Парето .

Диаграмма Парето

A Диаграмма Парето представляет собой гистограмму, упорядоченную от самой высокой до самой низкой частоты

Пример 3

Преобразовав гистограмму из предыдущей в диаграмму Парето, мы получим:

Пример 4

В ходе опроса взрослых спросили, беспокоят ли их лично различные экологические проблемы.Цифры (из 1012 опрошенных), которые указали, что они «сильно обеспокоены» некоторыми выбранными проблемами, приведены ниже.

Экологическая проблема Частота
Загрязнение питьевой воды 597
Загрязнение почвы и воды токсичными отходами 526
Загрязнение воздуха 455
Глобальное потепление 354

Эти данные могут быть представлены графически в виде гистограммы:

Чтобы показать относительные размеры, обычно используется круговая диаграмма.

Круговая диаграмма

Круговая диаграмма представляет собой круг с клиньями разного размера, размеченными как кусочки пирога или пиццы. Относительные размеры клиньев соответствуют относительным частотам категорий.

Пример 5

Для наших данных о цвете автомобиля круговая диаграмма может выглядеть так:

Круговые диаграммы часто выигрывают от включения частот или относительных частот (процентов) в диаграмму рядом с секторами круговой диаграммы. Часто наличие названий категорий рядом с секторами круговой диаграммы также делает диаграмму более понятной.

Пример 6

На круговой диаграмме справа показан процент избирателей, поддерживающих каждого кандидата, баллотирующегося на место в местном сенате.

Если в округе 20 000 избирателей, круговая диаграмма показывает, что около 11% из них, около 2 200 избирателей, поддерживают Ривза.

Круговые диаграммы выглядят красиво, но их сложнее рисовать вручную, чем гистограммы, поскольку для их точного рисования нам нужно вычислить угол, который каждый клин срезает с кругом, а затем измерить угол с помощью транспортира.Компьютеры гораздо лучше подходят для рисования круговых диаграмм. Обычные программы, такие как Microsoft Word или Excel, OpenOffice.org Write или Calc или Google Docs, могут создавать гистограммы, круговые диаграммы и другие типы диаграмм. Есть также множество онлайн-инструментов, которые могут создавать графики.

Попробуйте сейчас

Создайте гистограмму и круговую диаграмму, чтобы проиллюстрировать оценки за экзамен по истории ниже.

A: 12 учеников, B: 19 учеников, C: 14 учеников, D: 4 ученика, F: 5 учеников

Не увлекайтесь графиками! Люди иногда добавляют к графикам функции, которые не помогают передать информацию.Например, трехмерные гистограммы, подобные показанной ниже, обычно не так эффективны, как их двумерные аналоги.

Вот еще один способ, которым причудливость может привести к неприятностям. Вместо простых полос заманчиво заменить осмысленными изображениями. Этот тип графика называется пиктограммой .

Пиктограмма

Пиктограмма представляет собой статистическую графику, в которой размер изображения предназначен для представления частоты или размера представляемых значений.

Пример 7

Профсоюз может создать график справа, чтобы показать разницу между средней зарплатой менеджера и средней зарплатой рабочего.

Глядя на картинку, логично предположить, что зарплата менеджера в 4 раза больше зарплаты рабочего — площадь мешка выглядит примерно в 4 раза больше. Однако на самом деле зарплата менеджеров всего в два раза больше, чем зарплата рабочих, что отразилось на картинке, сделав сумку менеджера в два раза выше.

Еще одно искажение гистограмм возникает из-за того, что для базовой линии задано значение, отличное от нуля. Базовый уровень — это нижняя часть вертикальной оси, представляющая наименьшее количество случаев, которые могли произойти в категории. Обычно это число должно быть равно нулю.

Пример 8

Сравните два графика ниже, показывающие поддержку прав на однополые браки по данным опроса, проведенного в декабре 2008 года. Разница в вертикальной шкале на первом графике предполагает другую историю, чем истинные различия в процентах; на втором графике кажется, что вдвое больше людей выступают против права на брак, чем поддерживают его.

Попробуйте сейчас

Был проведен опрос людей, согласны ли они с позициями 4-х кандидатов на пост окружного управления. Представляет ли круговая диаграмма хорошее представление этих данных? Объяснять.

Графическое представление количественных данных

Количественные или числовые данные также могут быть сведены в таблицы частот.

Пример 9

Учитель записывает баллы за 20-балльную викторину для 30 учеников своего класса.Очки:

19 20 18 18 17 18 19 17 20 18 20 16 20 15 17 12 18 19 18 19 17 20 18 16 15 18 20 5 0 0

Эти оценки можно свести в таблицу частот, сгруппировав аналогичные значения:

Оценка Частота
0 2
5 1
12 1
15 2
16 2
17 4
18 8
19 4
20 6

Используя эту таблицу, можно было бы создать стандартную гистограмму из этой сводки, как мы сделали для категорийных данных:

Однако, поскольку баллы являются числовыми значениями, эта диаграмма не имеет особого смысла; первый и второй столбцы отстоят друг от друга на пять значений, в то время как последующие столбцы отстоят друг от друга только на одно значение.Правильнее было бы трактовать горизонтальную ось как числовую прямую. Этот тип графика называется гистограммой .

Гистограмма

Гистограмма похожа на гистограмму, но где горизонтальная ось представляет собой числовую линию

Пример 10

Для указанных выше значений гистограмма будет выглядеть так:

Обратите внимание, что на гистограмме столбец представляет значения на горизонтальной оси от значения в левой части столбца до значения справа от столбца, но не включая его.Некоторые люди предпочитают, чтобы столбцы начинались с ½ значений, чтобы избежать этой двусмысленности.

К сожалению, не многие распространенные программные пакеты могут правильно отображать гистограммы. Лучшее, что вы можете сделать в Excel или Word, — это гистограмма без промежутка между столбцами и добавленным интервалом для имитации числовой горизонтальной оси.

Если у нас есть большое количество широко варьирующихся значений данных, создание таблицы частот, в которой перечисляются все возможные значения как категории, приведет к исключительно длинной таблице частот и, вероятно, не выявит никаких закономерностей.По этой причине для количественных данных принято группировать данные по интервалам классов .

Интервалы классов

Интервалы классов — это группировки данных. В общем, мы определяем интервалы классов так, чтобы:

  • Все интервалы одинакового размера. Например, если первый класс содержит значения от 120 до 129, второй класс должен включать значения от 130 до 139.
  • Обычно у нас есть от 5 до 20 классов, в зависимости от количества данных, с которыми мы работаем.

Пример 11

Предположим, что мы собрали данные о весе 100 мужчин в рамках исследования питания. Для наших данных о весе у нас есть значения в диапазоне от минимума в 121 фунт до максимума в 263 фунта, что дает общий диапазон 263-121 = 142. Мы можем создать 7 интервалов шириной около 20, 14 интервалов шириной около 10 или где-то посередине. Часто нам приходится экспериментировать с несколькими возможностями, чтобы найти то, что хорошо представляет данные. Давайте попробуем использовать ширину интервала 15.Мы могли бы начать со 121 или со 120, так как это хорошее круглое число.

Интервал Частота
120–134 4
135–149 14
150–164 16
165–179 28
180–194 12
195–209 8
210–224 7
225–239 ​​ 6
240–254 2
255–269 3

Гистограмма этих данных будет выглядеть так:

Во многих пакетах программного обеспечения вы можете создать график, похожий на гистограмму, поместив интервалы классов в качестве меток на гистограмму.

Другие типы графиков, такие как круговые диаграммы, возможны для количественных данных. Полезность различных типов графиков зависит от количества интервалов и типа представляемых данных. Например, круговую диаграмму наших данных о весе трудно читать из-за количества используемых нами интервалов.

Попробуйте сейчас

Общая стоимость учебников на семестр собрана с 36 учащихся. Создайте гистограмму для этих данных.

140 долларов 160 долларов 160 долларов 165 долларов 180 $ 220 долларов 235 долларов 240 долларов 250 долларов 260 долларов 280 долларов 285 долларов
285 долларов США 285 долларов 290 долларов 300 долларов 300 долларов $305 310 $ 310 $ 315 $ 315 $ $320 $320
330 долларов 340 $ 345 $ 350 долларов 355 долларов 360 $ 360 $ 380 $ 395 долларов США 420 долларов 460 долларов 460 долларов

При сборе данных для сравнения двух групп желательно создать график, на котором сравниваются количества.

Пример 12

Приведенные ниже данные взяты из задачи, цель которой — как можно быстрее подвести компьютерную мышь к цели на экране. В 20 испытаниях целью был небольшой прямоугольник; на остальных 20 мишенью был большой прямоугольник. Время достижения цели фиксировалось в каждом испытании.

Интервал
(миллисекунды)
Частота:
маленькая цель
Частота:
большая цель
300–399 0 0
400–499 1 5
500–599 3 10
600–699 6 5
700–799 5 0
800–899 4 0
900–999 0 0
1000–1099 1 0
11:00–1199 0 0

Одним из вариантов представления этих данных может быть сравнительная гистограмма или столбчатая диаграмма, в которой столбцы для небольшой целевой группы и большой целевой группы расположены рядом друг с другом.

Полигон частот

Альтернативным представлением является полигон частот . Полигон частот начинается как гистограмма, но вместо рисования полосы в середине каждого интервала помещается точка на высоте, равной частоте. Обычно точки соединяются прямыми линиями, чтобы подчеркнуть распределение данных.

Пример 13

На этом графике легче увидеть, что время реакции в целом было короче для более крупной цели и что время реакции для меньшей цели было более разбросанным.

Числовые сводки данных

Часто желательно использовать несколько чисел для обобщения распределения. Одним из важных аспектов распределения является расположение его центра. Сначала обсуждаются меры центральной тенденции. Вторым аспектом распределения является то, насколько оно рассредоточено. Другими словами, насколько данные в распределении отличаются друг от друга. Во втором разделе описываются меры изменчивости.

Меры центральной тенденции

Начнем с попытки найти наиболее «типичное» значение набора данных.

Обратите внимание, что мы только что использовали слово «типичный», хотя во многих случаях вы можете подумать об использовании слова «средний». Нам нужно быть осторожными со словом «средний», поскольку оно означает разные вещи для разных людей в разных контекстах. Одно из наиболее распространенных применений слова «среднее» — это то, что математики и статистики называют средним арифметическим , или просто старое доброе означает для краткости. «Среднее арифметическое» звучит довольно причудливо, но вы, вероятно, вычисляли среднее значение много раз, даже не осознавая этого; среднее — это то, о чем думает большинство людей, когда они используют слово «средний».

Среднее

Среднее набора данных представляет собой сумму значений данных, деленную на количество значений.

Пример 14

Экзаменационные баллы Марси за ее последний урок математики были: 79, 86, 82, 94. Среднее значение этих значений будет:

[латекс]\фракция{79+86+82+94}{4}=85,25\\[/латекс]. Обычно мы округляем средние значения до одного десятичного знака больше, чем исходные данные. В этом случае мы округлим 85,25 до 85,3.

Пример 15

Количество пасов приземления (TD), выполненных каждой из 31 команды Национальной футбольной лиги в сезоне 2000 года, показано ниже.

37 33 33 32 29 28 28 23 22 22 22 21 21 21 20
20 19 19 18 18 18 18 16 15 14 14 14 12 12 9 6

Складывая эти значения, мы получаем всего 634 ТД. Разделив на 31 количество значений данных, мы получим [latex]\frac{634}{31}=20,4516\\[/latex]. Целесообразно округлить до 20,5.

Для нас было бы наиболее правильным сообщить, что «Среднее количество пасов приземления, выполненных в НФЛ в сезоне 2000 года, составляло 20,5 передач», но нередко можно увидеть более случайное слово «средний», используемое вместо « иметь в виду.

Попробуйте сейчас

Цена баночки арахисового масла в 5 магазинах составляла: 3,29 доллара, 3,59 доллара, 3,79 доллара, 3,75 доллара и 3,99 доллара. Найдите среднюю цену.

Пример 16

У ста семей в определенном районе спрашивают их годовой доход домохозяйства с точностью до 5 тысяч долларов. Результаты обобщены в таблице частот ниже.

Доход (в тысячах долларов) Частота
15 6
20 8
25 11
30 17
35 19
40 20
45 12
50 7

Вычисление среднего значения вручную может оказаться сложным, если мы попытаемся ввести все 100 значений:

[латекс]\displaystyle\frac{\stackrel{6\text{terms}}}{\overbrace{15+\cdots{+}15}}+\stackrel{8\text{terms}}{\overbrace{20+ \cdots{+}20}}+\stackrel{11\text{terms}}{\overbrace{25+\cdots{+}25}}+\cdots}{100}[/latex]

Мы могли бы вычислить это проще, заметив, что прибавление 15 к самому себе шесть раз равносильно тому, что 15 × 6 = 90.Используя это упрощение, мы получаем

[латекс]\frac{15\cdot6+20\cdot8+25\cdot11+30\cdot17+35\cdot19+40\cdot20+\cdot12+50\cdot7}{100}=\frac{3390}{100}= 33.9\\[/латекс]

Средний доход домохозяйства в нашей выборке составляет 33,9 тысячи долларов (33 900 долларов США).

Пример 17

Продолжая последний пример, предположим, что новая семья переезжает в соседний пример, доход домохозяйства которого составляет 5 миллионов долларов (5000 тысяч долларов). Добавив это к нашей выборке, наше среднее значение теперь:

[латекс]\frac{15\cdot6+20\cdot8+25\cdot11+30\cdot17+35\cdot19+40\cdot20+\cdot12+50\cdot7+5000\cdot1}{101}=\frac{3390} {101}=83.069\\[/латекс]

Хотя 83,1 тысячи долларов (83 069 долларов США) является правильным средним доходом домохозяйства, он больше не представляет собой «типичную» величину.

Представьте значения данных на качелях или весах. Среднее значение — это значение, которое поддерживает баланс данных, как показано на рисунке ниже.

Если мы нарисуем данные о наших домохозяйствах, значение данных в размере 5 миллионов долларов будет настолько далеко вправо, что среднее значение должно быть скорректировано, чтобы сохранить баланс

По этой причине при работе с данными, имеющими выбросов — значений, выходящих далеко за пределы первичной группировки, — обычно используется другая мера центра, медиана .

Медиана

Медиана набора данных — это значение в середине, когда данные упорядочены.

Чтобы найти медиану, начните с перечисления данных в порядке от наименьшего к наибольшему или от наибольшего к наименьшему.

Если количество значений данных, N , нечетное, то медианой является среднее значение данных. Это значение можно найти, округлив N /2 до следующего целого числа.

Если число значений данных четное, то среднего значения нет, поэтому мы находим среднее значение двух средних значений (значения N /2 и N /2 + 1)

Пример 18

Возвращаясь к данным о футбольных приземлениях, начнем с перечисления данных по порядку.К счастью, он уже был в порядке убывания, поэтому мы можем работать с ним, не переупорядочивая его сначала.

37 33 33 32 29 28 28 23 22 22 22 21 21 21 20
20 19 19 18 18 18 18 16 15 14 14 14 12 12 9 6

Поскольку имеется 31 значение данных, нечетное число, медианой будет среднее число, 16-е значение данных [latex]\frac{31}{2}=15,5\\[/latex], округлить до 16, оставив 15 значений ниже и 15 выше). 16-е значение данных равно 20, поэтому среднее количество пасов приземления в сезоне 2000 года составляло 20 пасов.Обратите внимание, что для этих данных медиана довольно близка к среднему значению, которое мы рассчитали ранее, 20,5.

Пример 19

Найдите медиану результатов этих тестов: 5 10 8 6 4 8 2 5 7 7

Начнем с перечисления данных по порядку: 2 4 5 5 6 7 7 8 8 10

Поскольку имеется 10 значений данных, четное число, среднего числа нет. Итак, мы находим среднее значение двух средних чисел, 6 и 7, и получаем [латекс]\фрак{6+7}{2}=6,5\\[/латекс].

Средний балл за тест был 6.5.

Попробуйте сейчас

Цена баночки арахисового масла в 5 магазинах составляла: 3,29 долл. США, 3,59 долл. США, 3,79 долл. США, 3,75 долл. США и 3,99 долл. США. Найдите среднюю цену.

Пример 20

Давайте теперь вернемся к исходным данным о доходах домохозяйств:

Доход (в тысячах долларов) Частота
15 6
20 8
25 11
30 17
35 19
40 20
45 12
50 7

Здесь у нас есть 100 значений данных.Если бы мы этого еще не знали, мы могли бы найти это, сложив частоты. Поскольку 100 — четное число, нам нужно найти среднее значение двух средних значений данных: 50-го и 51-го значений данных. Чтобы найти их, мы начинаем считать снизу вверх:

.

Существует 6 значений данных по 15 долларов США, поэтому значения с 1 по 6 равны 15 000 долларов США. значения от 15 до (14+11)=25 равны 25 000 долл. США. 42+19)=61 $35 тыс.

Отсюда мы можем сказать, что значения 50 и 51 будут равны 35 тысячам долларов, а среднее значение этих двух значений равно 35 тысячам долларов.Средний доход в этом районе составляет 35 тысяч долларов.

Пример 21

Если мы добавим нового соседа с семейным доходом в 5 миллионов долларов, то будет 101 значение данных, и 51-е значение будет медианой. Как мы обнаружили в последнем примере, 51-е значение составляет 35 тысяч долларов. Обратите внимание, что в этом случае новый сосед не повлиял на медиану. Медиана не так сильно зависит от выбросов, как среднее.

В дополнение к среднему и медиане существует еще одно распространенное измерение «типичного» значения набора данных: режим .

Режим

Режим — это элемент набора данных, который встречается чаще всего.

Этот режим довольно бесполезен для таких данных, как вес или рост, где существует большое количество возможных значений. Этот режим чаще всего используется для категорийных данных, для которых невозможно вычислить медиану и среднее значение.

Пример 22

В ходе исследования цвета автомобиля мы собрали данные

.
Цвет Частота
Синий 3
Зеленый 5
Красный 4
Белый 3
Черный 2
Серый 3

Для этих данных режим — зеленый, так как это значение данных встречается чаще всего.

Набор данных может иметь более одного режима, если несколько категорий имеют одинаковую частоту, или не иметь режимов, если каждая категория встречается только один раз.

Попробуйте сейчас

Рецензентов попросили оценить продукт по шкале от 1 до 5. Найти

  1. Средний рейтинг
  2. Средний рейтинг
  3. Рейтинг режима
Рейтинг Частота
1 4
2 8
3 7
4 3
5 1

Меры вариации

Рассмотрим эти три набора баллов за тест:

Секция A: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Секция B: 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10
Секция C: 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6

Все три из этих наборов данных имеют среднее значение 5 и медиану 5, однако наборы оценок совершенно разные.В разделе А у всех были одинаковые баллы; в разделе B половина класса не набрала баллов, а другая половина получила высший балл, если предположить, что это была викторина с 10 баллами. Раздел C был не таким последовательным, как раздел A, но и не таким разнообразным, как раздел B.

В дополнение к среднему и медиане, которые являются мерами «типичного» или «среднего» значения, нам также нужна мера того, насколько «разбросан» или разнообразен каждый набор данных.

Существует несколько способов измерения этого «разброса» данных. Первый самый простой и называется модельного ряда .

Диапазон

Диапазон — это разница между максимальным и минимальным значением набора данных.

Пример 23

Используя баллы викторины, указанные выше,

  • Для раздела A диапазон равен 0, так как максимум и минимум равны 5, а 5–5 = 0
  • Для раздела B диапазон равен 10, поскольку 10 – 0 = 10
  • Для раздела C диапазон равен 2, поскольку 6 – 4 = 2

В последнем примере диапазон показывает, насколько разбросаны данные.Однако предположим, что мы добавляем четвертый раздел, Раздел D, с оценками 0 5 5 5 5 5 5 5 5 10.

Этот раздел также имеет среднее значение и медиану, равные 5. Диапазон равен 10, но этот набор данных сильно отличается от раздела B. Чтобы лучше прояснить различия, нам придется обратиться к более сложным мерам вариации.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — это мера вариации, основанная на измерении того, насколько сильно каждое значение данных отклоняется или отличается от среднего значения.Несколько важных характеристик:

  • Стандартное отклонение всегда положительное. Стандартное отклонение будет равно нулю, если все значения данных равны, и будет увеличиваться по мере распространения данных.
  • Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и исходные данные.
  • Стандартное отклонение, как и среднее значение, может сильно зависеть от выбросов.

Используя данные из раздела D, мы можем вычислить для каждого значения данных разницу между значением данных и средним значением:

значение данных отклонение: значение данных — среднее значение
0 0 — 5 = -5
5 5 — 5 = 0
5 5 — 5 = 0
5 5 — 5 = 0
5 5 — 5 = 0
5 5 — 5 = 0
5 5 — 5 = 0
5 5 — 5 = 0
5 5 — 5 = 0
10 10 − 5 = 5

Мы хотели бы получить представление о «среднем» отклонении от среднего, но если мы найдем среднее значение значений во втором столбце, отрицательные и положительные значения компенсируют друг друга (так будет всегда), поэтому, чтобы предотвратить это, мы возводим в квадрат каждое значение во втором столбце:

значение данных отклонение: значение данных — среднее значение отклонение в квадрате
0 0−5 = −5 (−5) 2 = 25
5 5 — 5 = 0 0 2 = 0
5 5-5 = 0 0 2 = 0
5 5 — 5 = 0 0 2 = 0
5 5 — 5 = 0 0 2 = 0
5 5 — 5 = 0 0 2 = 0
5 5 — 5 = 0 0 2 = 0
5 5 — 5 = 0 0 2 = 0
5 5 — 5 = 0 0 2 = 0
10 10 − 5 = 5 (5) 2 = 25

Затем мы складываем квадраты отклонений, чтобы получить 25 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 25 = 50.Обычно мы делим результат на количество баллов, n (в данном случае 10), чтобы найти среднее значение отклонений. Но мы делаем это только в том случае, если набор данных представляет собой совокупность; если набор данных представляет выборку (как это почти всегда и бывает), мы вместо этого делим на n  – 1 (в данном случае 10 – 1 = 9).

Таким образом, в нашем примере у нас будет 50/10 = 5, если раздел D представляет совокупность, и 50/9 = около 5,56, если раздел D представляет выборку. Эти значения (5 и 5,56) называются, соответственно, дисперсией генеральной совокупности и выборочной дисперсией для раздела D.

Дисперсия может быть полезной статистической концепцией, но обратите внимание, что единицами дисперсии в этом случае будут точки в квадрате, поскольку мы возвели в квадрат все отклонения. Что такое точки в квадрате? Хороший вопрос. Мы бы предпочли иметь дело с единицами, с которых начали (в данном случае с точками), поэтому, чтобы преобразовать обратно, мы возьмем квадратный корень и получим:

. Стандартное отклонение

населения [латекс] = \ sqrt {\ frac {50} {10}} = \ sqrt {5} \ приблизительно {2,2} \\ [/ латекс]

или

Стандартное отклонение

населения [латекс] = \ sqrt {\ frac {50} {9}} \ приблизительно {2.4}\\[/латекс]

Если мы не уверены, является ли набор данных выборкой или генеральной совокупностью, мы обычно предполагаем, что это выборка, и округляем ответы до одного знака после запятой, чем исходные данные, как мы сделали выше.

Для вычисления стандартного отклонения:

  1. Найдите отклонение каждых данных от среднего. Другими словами, вычтите среднее значение из значения данных.
  2. Возведение в квадрат каждого отклонения.
  3. Добавьте квадраты отклонений.
  4. Разделить на n количество значений данных, если данные представляют всю совокупность; разделите на n − 1, если данные взяты из выборки.
  5. Извлеките квадратный корень из результата.

Пример 24

Вычисляя стандартное отклонение для раздела B выше, мы сначала вычисляем, что среднее значение равно 5. Использование таблицы может помочь отслеживать ваши вычисления для стандартного отклонения:

Отклонение 90 873: значение данных — среднее 90 874
значение данных отклонение в квадрате
0 0 – 5 = –5 (−5) 2 = 25
0 0 – 5 = –5 (−5) 2 = 25
0 0 – 5 = –5 (−5) 2 = 25
0 0 – 5 = –5 (−5) 2 = 25
0 0 – 5 = –5 (−5) 2 = 25
10 10 — 5 = -5 (5) 2 = 25
10 10 — 5 = -5 (5) 2 = 25
10 10 — 5 = -5 (5) 2 = 25
10 10 — 5 = -5 (5) 2 = 25
10 10 — 5 = -5 (5) 2 = 25

Предполагая, что эти данные представляют совокупность, мы добавим квадраты отклонений, разделим на 10, количество значений данных и вычислим квадратный корень:

[латекс] \ displaystyle \ sqrt {\ frac {25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25} {10}} = \ sqrt {\ frac {250} {10}} = 5\\[/латекс]

Обратите внимание, что стандартное отклонение этого набора данных намного больше, чем у раздела D, поскольку данные в этом наборе более разбросаны.

Для сравнения, стандартные отклонения всех четырех разделов:

Раздел А: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Стандартное отклонение: 0
Секция B: 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 Стандартное отклонение: 5
Секция С: 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 Стандартное отклонение: 0,8
Раздел D: 0 5 5 5 5 5 5 5 5 10 Стандартное отклонение: 2,2

Попробуйте сейчас

Цена банки арахисового масла в 5 магазинах: 3 доллара.29, 3,59 доллара, 3,79 доллара, 3,75 доллара и 3,99 доллара. Найдите стандартное отклонение цен.

Если стандартное отклонение является мерой вариации, основанной на среднем значении, квартили основаны на медиане.

Квартили

Квартили — это значения, которые делят данные на четверти.

Первый квартиль (Q 1 ) — это значение, ниже которого находятся 25 % значений данных; третий квартиль (Q 3 ) — это значение, ниже которого находится 75% значений данных.Вы могли догадаться, что второй квартиль совпадает с медианой, поскольку медиана — это значение, при котором 50 % значений данных находятся ниже него.

Разделяет данные на четверти; 25% данных находятся между минимумом и Q 1 , 25% находятся между Q 1 и медианой, 25% находятся между медианой и Q 3 , а 25% находятся между Q 3 и медианой. максимальное значение

Несмотря на то, что квартили не представляют собой 1-числовую сводку вариации, как стандартное отклонение, квартили используются со средними, минимальными и максимальными значениями для формирования 5-числовой сводки данных.

Итог из пяти чисел

Итог пяти чисел имеет следующую форму:

Минимум, Q 1 , Медиана, Q 3 , Максимум

Чтобы найти первый квартиль, нам нужно найти такое значение данных, чтобы 25% данных были ниже него. Если n — это количество значений данных, мы вычисляем локатор, находя 25% от n . Если этот локатор представляет собой десятичное значение, мы округляем его и находим значение данных в этой позиции. Если локатор представляет собой целое число, мы находим среднее значение данных в этой позиции и следующее значение данных.Это идентично процессу, который мы использовали для поиска медианы, за исключением того, что мы используем 25% значений данных, а не половину значений данных в качестве локатора.

Чтобы найти первый квартиль, Q

1

Начните с упорядочивания данных от наименьшего к наибольшему

Вычислить локатор: L = 0,25 n

Если L является десятичным значением:

  • Округлить до L +
  • Использовать значение данных в L + -й позиции

Если L является целым числом:

  • Найдите среднее значение данных в позициях L и L + 1.

Чтобы найти третий квартиль, Q

3

Используйте ту же процедуру, что и для Q 1 L = 0,75 n

Примеры должны помочь прояснить это.

Пример 25

Предположим, мы измерили 9 самок и их рост (в дюймах), отсортированный от наименьшего к наибольшему:

59 60 62 64 66 67 69 70 72

Чтобы найти первый квартиль, мы сначала вычисляем локатор: 25% от 9 равно L = 0,25(9) = 2.25. Так как это значение не является целым числом, округлим до 3. Первый квартиль будет третьим значением данных: 62 дюйма.

Чтобы найти третий квартиль, мы снова вычисляем локатор: 75% от 9 равно 0,75(9) = 6,75. Поскольку это значение не является целым числом, мы округляем до 7. Третий квартиль будет седьмым значением данных: 69 дюймов.

Пример 26

Предположим, мы измерили 8 самок и их рост (в дюймах), отсортированный от наименьшего к наибольшему:

59 60 62 64 66 67 69 70

Чтобы найти первый квартиль, мы сначала вычисляем локатор: 25% от 8 равно L = 0.25(8) = 2. Поскольку это значение равно целому числу , мы найдем среднее значение 2-го и 3-го значений данных: (60+62)/2 = 61, поэтому первый квартиль равен 61 дюйму.

Третий квартиль вычисляется аналогично, используя 75% вместо 25%. L = 0,75(8) = 6. Это целое число, поэтому мы найдем среднее значение 6-го и 7-го значений данных: (67+69)/2 = 68, поэтому Q 3 равно 68.

Обратите внимание, что медиану можно вычислить таким же образом, используя 50%.

Сводка из 5 чисел объединяет первый и третий квартиль с минимальным, медианным и максимальным значениями.

Пример 27

Для выборки из 9 женщин медиана равна 66, минимум 59 и максимум 72. Итог 5 чисел: 59, 62, 66, 69, 72.

Для выборки из 8 женщин медиана равна 65, минимум 59 и максимум 70, поэтому сводка по 5 числам будет: 59, 61, 65, 68, 70.

Пример 28

Возвращаемся к нашим данным о результатах викторины. В каждом случае локатор первого квартиля равен 0,25(10) = 2,5, поэтому первый квартиль будет 3-м значением данных, а третий квартиль будет 8-м значением данных.Создание пятизначных сводок:

Раздел и данные Сводка из 5 цифр
Раздел А: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5, 5, 5, 5, 5
Секция B: 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 0, 0, 5, 10, 10
Секция С: 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 4, 4, 5, 6, 6
Раздел D: 0 5 5 5 5 5 5 5 5 10 0, 5, 5, 5, 10

Конечно, при относительно небольшом наборе данных находить сводку из пяти чисел немного глупо, так как сводка содержит почти столько же значений, сколько и исходные данные.

Попробуйте сейчас

Общая стоимость учебников на семестр собрана с 36 учащихся. Найдите 5-значную сводку этих данных.

140 долларов 160 долларов 160 долларов 165 долларов 180 $ 220 долларов 235 долларов 240 долларов 250 долларов 260 долларов 280 долларов 285 долларов
285 долларов США 285 долларов 290 долларов 300 долларов 300 долларов $305 310 $ 310 $ 315 $ 315 $ $320 $320
330 долларов 340 $ 345 $ 350 долларов 355 долларов 360 $ 360 $ 380 $ 395 долларов США 420 долларов 460 долларов 460 долларов

Пример 29

Возвращаясь к ранее полученным данным о доходах домохозяйств, создайте сводку из пяти чисел.

Доход (в тысячах долларов) Частота
 15 6
20 8
25 11
30 17
35 19
40 20
45 12
50 7

Добавляя частоты, мы видим, что в таблице представлено 100 значений данных.В Примере 20 мы обнаружили, что медиана составляет 35 тысяч долларов. Мы видим в таблице, что минимальный доход составляет 15 тысяч долларов, а максимальный — 50 тысяч долларов.

Чтобы найти Q 1 , мы вычисляем локатор: L = 0,25(100) = 25. Это целое число, поэтому Q 1 будет средним значением 25-го и 26-го значений данных.

Подсчет данных, как мы делали раньше,

Существует 6 значений данных по 15 долларов США, поэтому значения с 1 по 6 составляют 15 000 долларов США.

Следующие 8 значений данных равны 20 долларам, поэтому значения от 7 до (6+8)=14 равны 20 тысячам долларов

Следующие 11 значений данных составляют 25 долларов США, поэтому значения от 15 до (14+11)=25 равны 25 000 долларов США.

Следующие 17 значений данных составляют 30 долларов США, поэтому значения с 26 по (25+17)=42 равны 30 000 долларов США

25-е значение данных составляет 25 тысяч долларов, а 26-е значение данных — 30 тысяч долларов, поэтому Q 1 будет средним из них: (25 + 30)/2 = 27 долларов.5 тысяч.

Чтобы найти Q 3 , мы вычисляем локатор: L = 0,75(100) = 75. Это целое число, поэтому Q 3 будет средним значением 75-го и 76-го значений данных. Продолжая наш подсчет с предыдущего,

Следующие 19 значений данных составляют 35 долларов США, поэтому значения с 43 по (42+19)=61 равны 35 000 долларов США.

Следующие 20 значений данных составляют 40 долларов США, поэтому значения от 61 до (61+20)=81 равны 40 000 долларов США.

В эту группу входят как 75-е, так и 76-е значения данных, поэтому Q 3 будет равняться 40 тысячам долларов.

Объединяя эти значения в сводку из пяти чисел, мы получаем: 15, 27,5, 35, 40, 50

Обратите внимание, что сводка из 5 чисел делит данные на четыре интервала, каждый из которых будет содержать около 25 % данных. В предыдущем примере это означает, что около 25% домохозяйств имеют доход от 40 тысяч до 50 тысяч долларов.

Для визуализации данных имеется графическое представление 5-числовой сводки, называемой ящичной диаграммой или диаграммой с ячейками и усами.

Коробка

Блочная диаграмма представляет собой графическое представление сводки из пяти чисел.

Чтобы создать блочную диаграмму, сначала рисуется числовая линия. От первого квартиля до третьего квартиля проводится прямоугольник, и через него проводится линия по медиане. «Усы» растянуты до минимального и максимального значений.

Пример 30

Блочная диаграмма ниже основана на данных о росте 9 женщин с суммой из 5 чисел: 59, 62, 66, 69, 72.

Пример 31

Приведенная ниже диаграмма основана на данных о доходах домохозяйств со сводкой из 5 чисел: 15, 27.5, 35, 40, 50

Попробуйте сейчас

Создайте ящичковую диаграмму на основе данных о ценах на учебники из последней версии Try it Now.

Блочные диаграммы особенно полезны для сравнения данных двух групп населения.

Пример 32

Ниже показан график времени обслуживания в двух ресторанах быстрого питания.

В то время как в магазине 2 среднее время обслуживания было немного меньше (2,1 минуты против 2,3 минуты), в магазине 2 менее постоянны данные с более широким разбросом данных.

В магазине 1 75% покупателей были обслужены в течение 2,9 минут, а в магазине 2 75% покупателей были обслужены в течение 5,7 минут.

В какой магазин следует поторопиться? Это зависит от вашего мнения об удаче: 25% покупателей в магазине 2 должны были ждать от 5,7 до 9,6 минут.

Пример 33

На диаграмме ниже показана масса тела при рождении детей с тяжелым идиопатическим респираторным дистресс-синдромом (SIRDS). Коробчатая диаграмма разделена, чтобы показать вес при рождении выживших и невыживших младенцев.

При сравнении двух групп на диаграмме видно, что вес умерших младенцев при рождении в целом меньше, чем вес выживших младенцев. На самом деле мы можем видеть, что средний вес при рождении выживших младенцев совпадает с третьим квартилем умерших младенцев.

Точно так же мы можем видеть, что первый квартиль выживших больше, чем средний вес умерших, а это означает, что более 75% выживших имели вес при рождении больше, чем средний вес при рождении умерших.

Глядя на максимальное значение для тех, кто умер, и на третий квартиль выживших, мы видим, что более 25% выживших имели вес при рождении выше, чем самый тяжелый умерший младенец.

Блочная диаграмма дает нам быстрый, хотя и неформальный способ определить, что масса тела при рождении, скорее всего, связана с выживанием младенцев с SIRDS.


Eureka Math, 6 класс, модуль 6, ключ к ответу на урок 5 – CCSS Math Answers

Engage NY Eureka Math Class 6 Модуль 6 Урок 5 Ответы на вопросы

Eureka Math Class 6 Модуль 6 Урок 5 Пример Ключ ответа

Пример 1: Таблица относительных частот

На уроке 4 мы исследовали данные об окружности головы, полученные баскетбольными командами мальчиков и девочек.Ниже приведена таблица частот окружностей головы, которые они измерили.

Изабель, одна из баскетболисток, указала, что большинство бейсболок были маленькими (S), средними (M) или большими (L). Чтобы решить, была ли Изабель права, игроки добавили в таблицу столбец относительной частоты.

Относительная частота — это частота для интервала, деленная на общее количество значений данных. Например, относительная частота для очень маленькой (XS) крышки равна 2, делённой на 40, или 0.05. Это представляет долю значений данных, которые были XS.

Упражнения 1–4:

Упражнение 1.
Заполните столбец относительной частоты в таблице ниже.

Ответ:

Упражнение 2.
Какова сумма столбца относительной частоты?
Ответ:
Сумма столбца относительной частоты равна 1.000 или 100%.

Упражнение 3.
Какой интервал имеет наибольшую относительную частоту? Какова ценность?
Ответ:
Интервал с наибольшей относительной частотой — средние шапки, 550—569, относительная частота которых равна 0.375, или 37,5%.

Упражнение 4.
Какой процент окружностей головы находится между 530 и 589 мм? Покажите, как вы определили ответ
.
Ответ:
0,200 + 0,375 + 0,225 = 0,800, или 80%

Пример 2: Гистограмма относительной частоты

Игроки решили построить гистограмму, используя относительные частоты вместо частот. Они заметили, что относительные частоты в таблице колеблются от близких к 0 до примерно 0,40. Они нарисовали числовую линию и отметили интервалы на этой линии.Затем они нарисовали вертикальную линию и назвали ее «Относительная частота». Они добавили шкалу к этой строке, начав с 0 и считая по 0,05, пока не достигли 0,40.

Они завершили гистограмму, нарисовав столбцы так, чтобы высота каждого столбца соответствовала относительной частоте для этого интервала. Вот завершенная гистограмма относительной частоты:

Упражнения 5–6:

Упражнение 5.

а. Опишите форму гистограммы относительной частоты окружностей головы из примера 2.
Ответ:
Форма относительной частоты слегка скошена вправо.

б. Как форма этой гистограммы относительной частоты соотносится с гистограммой частоты, которую вы нарисовали в упражнении 5 урока 4?
Ответ:
Форма на обеих гистограммах одинакова.

с. Изабель сказала, что большинство кепок, которые нужно было заказывать, были маленькими (S), средними (M) и большими (L). Была ли она права? Какой процент крышек, которые нужно заказать, маленькие, средние или большие?
Ответ:
Она была права.Общий процент мелких, средних и крупных копов составил 80% (20% мелких, 37,5% средних и 22,5% крупных, всего 80%).

Упражнение 6.
Вот таблица частот вместимости арен для баскетбольных команд НБА.

а. Каково общее количество арен НБА?
Ответ:
Всего в НБА 29 арен.

б. Заполните столбец относительной частоты. Округлите относительные частоты до тысячных.
Ответ:
См. таблицу выше.

с. Постройте гистограмму относительной частоты.
Ответ:

д. Опишите форму гистограммы относительной частоты.
Ответ:
Фигура слегка скошена вправо.

эл. Какой процент арен имеет вместимость от 18 500 до 19 999 мест?
Ответ:
Приблизительно 0,516 или 51,6% арен имеют вместимость от 18 500 до 19 999 мест.

ф. Как соотносится эта гистограмма относительной частоты с гистограммой частоты, которую вы нарисовали в Задаче 2 набора задач в Уроке 4?
Ответ:
Обе гистограммы имеют одинаковую форму.

Eureka Math, 6 класс, модуль 6, урок 5, набор задач, ключ ответа

Вопрос 1.
Ниже приведена гистограмма относительной частоты максимального падения (в футах) для выбранной группы американских горок.

а. Опишите форму гистограммы относительной частоты.
Ответ:
Форма наклонена вправо.

б. Что форма говорит вам о максимальном падении (в футах) американских горок?
Ответ:
Форма говорит нам о том, что большинство американских горок имеют максимальный перепад o между 50 и 170 футами, но у некоторых американских горок максимальный перепад немного больше, чем у других.

с. Джером сказал, что более половины значений данных находятся в интервале от 50 до 130 футов. Вы согласны с Джеромом? Почему или почему нет?
Ответ:
Я согласен с Джеромом, потому что этот интервал содержит 60% данных.

Вопрос 2.
В приведенной ниже таблице частотности показана продолжительность выбранных фильмов, показанных в местном кинотеатре за последние 6 месяцев.

 

а. Заполните столбец относительной частоты. Округлите относительные частоты до тысячных.
Ответ:

б. Какой процент продолжительности фильма больше или равен 130 минутам?
Ответ:
0,107 + 0,036 = 0,143, или 14,3% продолжительности фильмов больше или равны 130 минутам.

с. Нарисуйте гистограмму относительной частоты. (Подсказка: обозначьте шкалу относительных частот, начиная с О и заканчивая 0,30, отмечая интервалы в 0,05.)
Ответ:

д. Опишите форму гистограммы относительной частоты.
Ответ:
Гистограмма имеет форму холма и приблизительно симметрична.

эл. Что форма говорит вам о продолжительности фильмов?
Ответ:
Форма говорит нам о том, что продолжительность большинства фильмов составляет от 100 до 130 минут.

Вопрос 3.
В приведенной ниже таблице показано количество миль по шоссе на галлон для различных компактных автомобилей.

 

а. Каково общее количество компактных автомобилей?
Ответ:
Всего малолитражных автомобилей 16.

б. Заполните столбец относительной частоты. Округлите относительные частоты до тысячных.
Ответ:

с. Какой процент автомобилей расходует по шоссе от 31 до 37 миль на галлон, не считая 37 миль?
Ответ:
0,250 + 0,313 = 0,563, или 56,3% автомобилей расходуют по шоссе от 31 до 37 миль на галлон.

д. Хуан нарисовал гистограмму относительной частоты пробега в милях на галлон для компактных автомобилей, значение 0,35 показано справа. Хуан правильно нарисовал гистограмму? Поясните свой ответ.

Ответ:
Хуан неправильно нарисовал гистограмму, потому что он не оставил пробелов далеко от интервалов 43-< 46 и 46-< 49.Эти пробелы необходимы для представления относительной частоты нуля. Он также забыл нарисовать черту для конечного интервала, 49-< 52.

Eureka Math Class 6 Модуль 6 Урок 5 Выходной билет Ключ к ответу

Вопрос 1.
Калькуляторы разрешены для решения задач.

Мама Гектора устроила распродажу мелочей, и после того, как она продала предмет, она подсчитала сумму денег, которую получила за этот предмет. Ниже приведена таблица частот, созданная мамой Гектора:

.

 

а.Каково было общее количество вещей, проданных на распродаже?
Ответ:
Всего продано 27 штук.

б. Заполните столбец относительной частоты. Округлите относительные частоты до тысячных.
Ответ:

с. Какой процент товаров, проданных мамой Гектора, был продан за 15 долларов или больше, но меньше 20 долларов?
Ответ:
37% товаров, проданных мамой Гектора, были проданы за 15 долларов или больше, но меньше 20 долларов.

Распределение частот и интервал классов

Прочитав эту статью, вы узнаете о частотном распределении и интервале классов.

Данные, собранные в ходе испытаний и экспериментов, могут иметь мало значения для исследователя, пока они не будут систематизированы или систематизированы. Поэтому мы должны организовать данные в классы или группы на основе определенных характеристик.

Эти принципы классификации данных по группам называются частотным распределением. В этом процессе мы объединяем баллы в относительно небольшие числа интервалов классов, а затем указываем количество случаев в каждом классе.

Шаги:

Правила классификации баллов по так называемому частотному распределению могут быть установлены следующим образом:

1. Определите диапазон или разрыв между самой высокой и самой низкой оценкой. Самый высокий балл в таблице 2.5 равен 197, а самый низкий — 142, поэтому диапазон составляет 55 (т. е. 197–142). Баллы в Таблице 2.5 представляют результаты тестов 50 студентов колледжей по модифицированной форме армейского экзамена «Альфа».

2. Затем мы должны определиться с количеством классов. Обычно у нас есть от 6 до 20 занятий одинаковой продолжительности. Если количество результатов/событий достаточно велико, у нас обычно бывает от 10 до 20 классов. Количество классов, когда меньше 10, учитывается только тогда, когда количество баллов/значений не слишком велико.

Здесь, если мы возьмем длину интервала классов за 10, тогда количество интервалов классов будет 55/10 = 5,5 или 6, что меньше желаемого количества классов.Если мы возьмем длину класса 5, то количество классов будет 55/5 = 11, что на 1 меньше фактического количества классов, показанного в таблице 2.6, а именно 12.

Интервал в 3 единицы дает 19 классов; интервал 10, 6 занятий. Интервал 3 приведет к слишком большому разбросу данных, что приведет к потере преимущества группировки; тогда как интервал в 10 разбил бы баллы на слишком грубые категории. Соответственно, интервал 5 выбран как наиболее подходящий для данных таблицы 2.5.

3.Формулу также можно использовать для принятия решения о длине интервала класса или h, если мы знаем диапазон баллов и количество классов, используемых в группировке, как

4. Определив продолжительность интервала занятий и количество занятий, необходимо решить, с чего начать занятия. Поскольку для данных в Таблице 2.5 наименьшая оценка равна 142, мы могли бы начать со 140, поскольку обычно первый класс начинается с числа, кратного интервалу класса (h).

5.После записи 12 интервалов классов в порядке возрастания снизу вверх и сопоставления соответствующих интервалов классов для каждого из показателей мы представляем частотное распределение, как показано в таблице 2.6.

6. Подсчитайте баллы в соответствующих интервалах, как показано в таблице 2.6. В первом столбце таблицы интервалы классов перечислены последовательно от наименьших баллов внизу столбца до самых высоких баллов вверху. Каждый интервал класса охватывает 5 баллов.Первый интервал «от 140 до 145» начинается со 140 баллов и заканчивается 144, таким образом, включая 5 баллов 140, 141, 142, 143 и 144.

Интервал второго класса «от 145 до 150» начинается с 145 и заканчивается на 149. Самый верхний интервал класса «от 195 до 200» начинается с 195 баллов и заканчивается 199 при счете 200, таким образом, включая 195, 196, 197, 198 и 199.

Возьмем первую оценку в первом столбце, т.е. 185. Оценка 185 находится в интервале класса «185-190», но не в «180-185», поэтому подсчет (/) отмечен против «185-190». .Второй балл в первом столбце равен 147, что лежит в интервале классов «145-150», поэтому подсчет (/) отмечен против «145-150». Точно так же, взяв все 50 баллов, подсчеты ставятся один за другим. При подсчете очков ставьте крестик или кружок на отмеченных баллах, так как ошибка может свести весь процесс к нулю.

Общее количество очков должно быть 50, т.е. общее количество очков. Когда против определенного интервала класса есть четыре подсчета (////) и вы должны отметить пятый подсчет, скрестите четыре подсчета (////), чтобы получилось 5.Таким образом, отмечая подсчеты, мы делаем кластер из 5 подсчетов. Подсчитывая количество подсчетов, частоты записывают для каждого из интервалов класса. Это завершает построение таблицы. Сумма столбца ‘ f называется N.

Методы описания границ интервала между классами :

Три метода описания ограничений класса:

(а) Эксклюзивный метод:

В исключающем методе формирования класса мы добавляем интервал 5 к нижнему пределу самого низкого класса, чтобы найти верхний предел класса как 140 + 5 = 145.Таким образом, наш самый низкий класс становится 140-145. Остальные пределы классов и классы получаются путем добавления интервала, т.е. 5, к каждой единице ограничения класса, мы достигаем 12-го класса как 195-200, который содержит наивысший балл 197 в данных в таблице. 2.5. Сформированные таким образом 12 классов показаны в таблице 2.7.

Таким образом, при эксклюзивном методе формирования классов классы формируются таким образом, что верхняя граница одного класса является нижней границей следующего класса, и, следовательно, этот метод классификации обеспечивает преемственность между двумя последовательными классами, что существенно для большинства статистических расчетов. .

Однако учащиеся должны учитывать, что в эксклюзивных классах всегда предполагается, что оценка или наблюдение, равные верхнему пределу, являются эксклюзивными, например, оценка 145 будет включена в класс «145–150», а не в «140–145». . Лучший способ выражения исключающих классов приведен в таблице 2.8.

(b) Инклюзивный метод:

В отличие от эксклюзивных классов, инклюзивные классы включают оценки или наблюдения, которые равны верхнему пределу класса.При формировании таких классов мы начинаем с нижнего предела 140 баллов для первого класса, а затем формируют низший класс как 140-144 так, чтобы включить 5 баллов (5 — интервал).

Эти 5 баллов: 140, 141, 142, 143 и 144. Остальные 11 классов получаются путем добавления интервала к каждому пределу класса предыдущего класса, пока мы не получим наивысший класс как 195-199. Сформированные таким образом инклюзивные классы перечислены в таблице 2.9.

Теперь из дальнейшего обсуждения становится ясно, что исключительный метод следует использовать, когда данные имеют непрерывный характер или были также измерены в долях единицы.Инклюзивный способ формирования классов может быть предпочтительным, когда измерения переменной даны в целых числах. Для дискретной переменной могут использоваться «включающие классы», тогда как для непрерывной переменной должны использоваться «исключающие классы».

В связи с этим инклюзивные классы обычно используются при классификации данных, связанных с образованием и психологией, поскольку в таких случаях, как правило, мы измеряем нашу переменную в целых числах или измерения преобразуются в ближайшее целое число.

(c) Истинный или фактический предел класса:

Мы видим, что в инклюзивном методе верхний предел класса не равен нижнему пределу класса следующего класса, и поэтому между классами нет преемственности. Однако для статистического расчета желательно, чтобы занятия были непрерывными.

Чтобы преодолеть эту трудность, мы предполагаем, что наблюдение или оценка представляет собой не просто точку на непрерывной шкале, а интервал единичной длины, средней точкой которого является данная оценка.Например, 140 баллов по тесту представляют собой интервал от 139,5 до 140,5 на континууме. Точно так же 144 балла можно представить интервалом от 143,5 до 144,5.

Таким образом, математическое значение оценки представляет собой интервал, который простирается от 0,5 единицы ниже до 0,5 единицы выше номинальной стоимости оценки на континууме. Эти ограничения класса оценки называются истинным или фактическим ограничением класса. Таким образом, истинный предел класса для класса 140-144 становится 139,5-144,5.

Этапы группировки можно резюмировать следующим образом:

1. Определитесь с количеством занятий.

2. Определите диапазон, т. е. разницу между самым высоким и самым низким значениями в данных.

3. Разделите диапазон на количество классов, чтобы приблизительно оценить размер интервала (h).

4. Найдите нижний предел класса самого низкого класса и добавьте к нему класс-интервал, чтобы получить верхний предел класса.

5.Получите ограничения класса для оставшихся классов, добавив интервал класса к ограничениям предыдущего класса.

6. Подсчитайте количество частот в каждом классе и сверьтесь с общим количеством наблюдений.

Три метода описания границ интервалов классов в частотном распределении:

Три способа выражения границ интервалов классов в частотном распределении — это эксклюзивный метод, инклюзивный метод и истинные границы классов.В (А) интервал «от 140 до 145» означает, как мы уже видели, что все оценки от 140 до 145 включительно попадают в эту группу.

Интервалы в (B) охватывают те же расстояния, что и в (A), но верхняя и нижняя границы каждого интервала определены более точно. Оценка 140 в непрерывной серии обычно означает интервал от 139,5 до 140,5; и что 144 балла означают от 143,5 до 144,5.

Соответственно, чтобы точно выразить тот факт, что интервал начинается со 140 и заканчивается на 144, мы можем написать 139.5 (начало 140 баллов) в качестве нижнего предела и 144,5 (конец 144 баллов или начало 145 баллов) в качестве верхнего предела этого этапа.

Интервалы классов в (С) выражают те же факты более ясно, чем в (А), и менее точно, чем в (В). Таким образом, «140-144» означает, что этот интервал начинается со 140 баллов и заканчивается 144 баллами; но точные пределы интервала не указаны.

Для быстрого подсчета результатов в соответствующих интервалах метод (С) предпочтительнее, чем (В) или (А).В (А) довольно легко, даже будучи начеку, позволить счету 160, скажем, соскользнуть в интервал «от 155 до 160» просто благодаря наличию 160 на верхней границе интервала. . Метод (B) неуклюж и занимает много времени из-за необходимости писать 5 в начале и в конце каждого интервала.

Метод (С), хотя и является самым простым для табулирования, представляет собой трудность, заключающуюся в том, что в дальнейших расчетах нужно постоянно помнить, что выраженные ограничения класса не являются фактическими ограничениями класса: этот интервал «140-144» начинается со 139.5 (не 140) и заканчиваться на 144,5 (не 144). Если это ясно понять, метод (C) так же точен, как (B) или (A).

На приведенной ниже диаграмме (A), (B) и (C) показаны три способа идентичного выражения одних и тех же фактов:

Подготовка стола:

Подготовка полного стола сама по себе является искусством. Он должен содержать всю необходимую информацию в минимально возможном пространстве. Какова цель составления таблиц и как должна использоваться табулированная информация, являются основными моментами, которые следует учитывать при подготовке статистической таблицы.

Идеальная таблица должна состоять из следующих основных пунктов:

1. Номер таблицы:

Для удобства поиска и идентификации таблица должна быть пронумерована. Этот номер должен быть написан в центре вверху таблицы. Иногда его пишут непосредственно перед заголовком таблицы.

2. Название:

У хорошей таблицы должен быть четко сформулированный, краткий и недвусмысленный заголовок, описывающий характер данных, содержащихся в таблице.В нем также должно быть указано расположение данных и охватываемый период. Его следует размещать по центру вверху таблицы, сразу под номером таблицы (или сразу после номера таблицы в той же строке).

3. Надписи:

Заголовки в таблице обозначают краткие и не требующие пояснений вертикальные столбцы. Заголовки также могут включать заголовки и подзаголовки. Единицы содержащихся данных также должны быть указаны для каждого столбца. Обычно в столбцах должна быть представлена ​​относительно менее важная и более короткая классификация.

4. Заглушки:

Заглушки — краткие и не требующие пояснений заголовки горизонтальных рядов. Обычно относительно более важная классификация дается в строках. Также переменная с большим количеством классов обычно представлена ​​строками. Например, строки могут обозначать баллы, классы и столбцы — данные, относящиеся к полу учащихся. Таким образом, будет много строк для баллов, классов, но только два столбца для студентов мужского и женского пола.

5. Корпус:

Тело таблицы содержит числовую информацию или частоту наблюдений в разных ячейках. Такое расположение данных соответствует описанию заголовков и заглушек.

6. Примечания:

В нижней части таблицы даны сноски для пояснения любого факта или информации, включенной в таблицу, которые нуждаются в пояснении. Таким образом, они предназначены для объяснения или предоставления дополнительных сведений о данных, которые не были включены в заголовок, подписи и заглушки.

7. Источники данных:

Наконец, следует также упомянуть источник информации, из которого берутся данные. Это может предпочтительно включать имя автора, том, страницу и год публикации.

Требования к хорошему столу :

Хорошая статистическая таблица — это не просто небрежное группирование столбцов и строк, она должна быть такой, чтобы в ней сводилась общая информация в легкодоступной форме на минимально возможном пространстве.Таким образом, при подготовке таблицы необходимо иметь четкое представление о том, какая информация должна быть представлена, какие факты следует сравнивать и какие моменты необходимо подчеркнуть.

Несмотря на то, что не существует жесткого правила формирования таблицы, следует помнить о нескольких общих моментах:

1. Таблица должна быть сформирована в соответствии с объектами статистического исследования.

2. Таблица должна быть составлена ​​с научной точки зрения, чтобы ее можно было легко понять.

3.Таблица должна быть сформирована в соответствии с форматом бумаги.

4. Если цифры в таблице большие, их следует соответствующим образом округлить или приблизить.

5. Строки и столбцы в таблице должны быть пронумерованы, а некоторые подчеркнутые цифры могут быть обведены «рамкой» или «кругом» или выделены жирным шрифтом.

6. Расположение строк и столбцов должно быть в логическом и систематическом порядке. Это расположение может быть в алфавитном порядке; в хронологическом порядке или по размеру.

7.Строки и столбцы разделяются одинарными, двойными или толстыми линиями.

8. Средние значения или итоги по разным строкам должны быть указаны справа от таблицы, а по столбцам — внизу таблицы.

9. В случае невозможности разместить всю информацию в одной таблице лучше иметь две или более связанных таблиц.

Определение середины интервала между классами :

В заданном интервале класса баллы распределяются по всему интервалу.Это предположение делается независимо от того, равен ли интервал 3, 5 или 10 единицам. Если мы хотим представить все оценки в пределах заданного интервала каким-то одним значением, логичным выбором будет середина интервала.

Например, в интервале «175-179» средняя точка равна 177. Почему 177 является средней точкой этого интервала, показано ниже графически:

Простое правило для вычисления середины интервала:

Поскольку интервал равен 5 единицам, из этого следует, что средняя точка должна быть равна 2.5 единиц от нижней границы класса, т. е. 174,5 + 2,5; или 2,5 единицы от верхней границы класса, т.е. 179,5 – 2,5 = 177,

Для нахождения середины интервала, когда в частотном распределении используются баллы, а не точные пределы, т. е. (С), подставьте в формулу (таблица 2.11)

Графическое представление данных :

Статистические методы относятся к сбору, классификации, табулированию, представлению, анализу и интерпретации статистических данных. Классификация и табулирование статистических данных приводят числовые факты к логическому расположению.

Они малопонятны и усложняются с увеличением размера данных и атрибутов. Уильям Плэйфер, изобретатель представления данных графическим методом, попытался устранить упомянутые выше недостатки табуляции.

Графический метод в основном используется для того, чтобы дать более простое, постоянное представление и подчеркнуть относительный аспект данных. Графическое представление очень желательно, когда необходимо описать факт в определенный момент времени или в течение определенного периода времени.Нельзя забывать, что табулирование статистических данных необходимо, а графическое представление — нет. Данные наносятся на график из таблицы. Это будет означать, что графическая форма не может заменить табличную форму данных, она может дополнить табличную форму.

Графическое представление имеет ряд преимуществ, некоторые из которых перечислены ниже:

(i) Графики представляют собой наглядные пособия, которые дают представление о заданном наборе числовых данных с высоты птичьего полета. Они представляют данные в простой, доступной для понимания форме.

(ii) Графики, как правило, более привлекательны, увлекательны и впечатляющи, чем набор числовых данных. Они более приятны глазу и оставляют в памяти более неизгладимое впечатление по сравнению с сухими и неинтересными статистическими цифрами. В них легко разберется даже неспециалист, не имеющий никакого статистического образования.

(iii) Они более привлекательны и как таковые широко используются для представления статистических данных и фактов на большинстве выставок, торговых или промышленных ярмарок, общественных мероприятий, статистических отчетов и т. д.Графики имеют универсальное применение.

(iv) Они производят значимое впечатление в уме почти до того, как мы думаем. Они также экономят много времени, так как требуется очень мало усилий, чтобы понять их и сделать из них осмысленные выводы.

(v) Другим преимуществом графической формы данных является то, что они делают основные характеристики групп и рядов видимыми с первого взгляда. Если данные не представлены в графическом виде, зрителю придется изучать все подробности о том или ином явлении, а это занимает много времени.Когда данные представлены в графической форме, мы можем получить информацию, не вдаваясь в подробности.

(vi) Если необходимо изучить взаимосвязь между двумя переменными, полезным приемом является графическая форма данных. Графики помогают нам изучать отношения одной части к другой и ко всему набору данных.

(vii) Графическая форма данных также является очень полезным инструментом для указания направления исследований. Исследования не могут проводиться без учета желаемой цели, и графическая форма помогает в достижении этой желаемой цели, предлагая направление исследований.

(viii) Короче говоря, графическая форма статистических данных переводит сложные и огромные данные в легко понятную форму и вносит в них элемент простоты.

Ограничения :

Как обсуждалось ранее, графическая форма является дополнительной и не может заменить таблицу. Табулирование является «обязательным», а графическая форма — «вариантом». Это в лучшем случае только наводит на размышления и не может выявить некоторые несоответствия. Они могут быть намеренно использованы заинтересованными лицами.Они когда-то, несравнимы.

Основное ограничение графической формы заключается в том, что графики не могут отображать столько наборов фактов или столько информации, сколько может быть показано в таблице. В таблице может быть много строк и столбцов, чтобы представить данные в их истинном виде, в то время как мы не можем построить график с множеством переплетающихся и связанных линий. Такая форма графика станет более сложной и запутанной, чем табличная форма. Предоставленная информация также будет иметь ограниченное использование.

Другим ограничением графической формы является то, что информация не представлена ​​подробно.Он просто дает краткую картину общей ситуации и является наиболее наводящим на размышления. В таблице мы можем упомянуть любую цифру из любого количества цифр, в графе это невозможно. График не может точно представить данные от 1 (одного) до миллиона.

Алгебраические принципы графического представления :

Графики нельзя строить бессистемно. Все типы графиков не подходят для каждой группы данных. Цель запроса помогает в выборе соответствующего типа графика.

При построении графиков проводят две простые линии — вертикальную и горизонтальную — и пересекают друг друга под прямым углом, образуя четыре квадранта. Горизонтальная линия называется осью X или «абсциссой», а вертикальная линия называется осью Y или «ординатой». Точка, в которой пересекаются две оси, равна нулю как для X, так и для Y и называется «точкой начала», «нулевой точкой» или «О».

На рис. 2.0 X’X — ось X, а Y’Y — ось Y. Положительные значения показаны справа от O по оси X и над O по оси Y.Точно так же отрицательные значения изображены слева от O на оси X и ниже O на оси Y. Таким образом, 1-й квадрант будет давать положительные значения как по оси X, так и по оси Y. Эта точка обозначена буквой «М».

2-й квадрант или точка «N» предоставит положительные значения по оси Y и отрицательные значения по оси X. Точка «N», координаты которой x’ = – 3 и У = + 11. 3-й квадрант или точка «P» покажет отрицательные значения по обеим осям, т.е. x’ = – 10 и У’ =-10 и квадрант 4 или точка ‘Q’ будет показывать отрицательное значение по оси Y и положительное по оси X i.е. Y = – 5 и x = + 4.

Нельзя предполагать, что масштабы для обеих осей будут одинаковыми. У нас могут быть разные масштабы для разных осей. Определение масштаба зависит от нашего удобства, а также от типа и характера данных. Итак, следующая проблема заключается в выборе масштаба.

Масштаб или масштабы должны быть выбраны таким образом, чтобы соответствовать размеру миллиметровой бумаги и вмещать все цифры. Масштаб необходимо выбирать таким образом, чтобы была хорошо видна точность данных. Иногда нам нужно показать колебания, в таком случае шкала должна показывать колебания.

Если масштаб очень мал, т. е. большое количество данных представлено на очень маленьком расстоянии, колебания могут быть нечетко видны. У нас может быть разный масштаб для разных осей, и мы должны выбирать масштабы таким образом, чтобы график не был ни слишком резким, ни слишком плоским.

Следующим пунктом является то, на каких осях должна быть изображена та или иная переменная. Переменные бывают двух типов — зависимые и независимые. Общепринятой практикой является отображение зависимой переменной по оси «Y», а независимой переменной по оси «X».

Наконец, каждому графику нужно дать название, которое должно быть как можно более ясным и полным. В отсутствие лица не будет в состоянии узнать о характере расследования и представления фактов этого расследования.

Математика / Числовая линия От Pre-K до 6 класса

Числовая линия: мощная и универсальная модель
Ага! Момент

Числовая линия — мощная модель, которая помогает учащимся развивать гибкость мышления.На протяжении всего курса Common Core числовая линия используется для того, чтобы дать учащимся возможность развить четкое представление о числах и распознавать отношения между числами. Учащиеся начальной школы развивают свое мышление, используя манипулятивные приемы и числовой путь, что в конечном итоге приводит их к пониманию того, как использовать числовую прямую. Простота числовой линии позволяет учащимся математики всех уровней развивать понимание относительной величины и положения чисел. Это также сильно помогает учащимся работать над улучшением навыков визуализации операций.Ниже показано, как эта модель развивается от класса PK к классу 6.

Pre-K

В классе PK учащиеся учатся считать «по математике» от 1 до 5, начиная с мизинца левой руки и двигаясь к большому пальцу левой руки. , который подготавливает их к счету от 6 до 10, начиная с правого большого пальца и продолжая правым мизинцем.

Это готовит их к пониманию числового пути и числовой прямой. В эти ранние начальные годы учащиеся узнают, что числа на числовой прямой увеличиваются слева направо.Часть числовой прямой слева от нуля рассматривается гораздо позже.

Учащиеся также обнаруживают закономерность  1 more  путем построения числовой лестницы для величин от 1 до 5, понимая, что по мере продвижения на один шаг вправо они увеличивают значение на 1 больше, чем в начале.

Класс K

В классе K учащиеся продолжают эту идею о том, что каждое последующее число относится к количеству, которое на единицу больше, чем предыдущее число. Они также признают, что число перед любым заданным числом на единицу меньше этого числа, продолжая обучение ПК, где ученики ломали башню из 5, удаляя по одному кубику за раз, считая в обратном порядке.Это понимание позволяет учащимся развить идею подсчета, а не подсчета всего, что начинается в классе K и развивается дальше в 1 классе. Учащимся предоставляется множество возможностей для развития их понимания чисел и создания интуитивно понятных стратегий для решения задач на сложение и вычитание. с помощью Рекенрека. Это также помогает заложить основу для понимания учащимися числовой прямой.

1 класс

В 1 классе учащиеся используют числовой путь для решения различных задач.В приведенной ниже задаче учащиеся решают неизвестную часть:

5 + ___ = 8

Ученики могут начать с 5, перейти к 8 и определить, что имеется 3 прыжка, поэтому пропущенное значение равно 3. После первого определения неизвестного значение 3, учащиеся могут затем снова использовать числовой путь, чтобы решить связанное предложение с вычитанием, 8–5 = _____ и определить, что неизвестное равно 3. поддерживается 20-бусинным Рекенреком.Учащиеся могут видеть числа до 10 в виде числовой линии и развивать свое чувство числа. Они начинают работать с часами как с круговой числовой линией, где часы сделаны из ленты и отмечены 12 точками.

Учащиеся считают в прямом и обратном порядке с интервалом в пять и соотносят место на ленте со временем. Во 2-м классе учащиеся также связывают сложение и вычитание с длиной и начинают использовать линейку в качестве числовой линии, где они измеряют длину отрезков, находят сумму обоих отрезков и сравнивают длины (см. изображение ниже слева).

К концу 2 класса учащиеся рисуют и обозначают столбчатую диаграмму для представления данных. Они замечают, как числа на диаграмме помогают записывать данные, а также предоставляют инструмент, который позволяет более эффективно создавать диаграмму, а не подсчитывать каждое поле для записи значения в каждой категории. Учащиеся также узнают, что шкала помогает проводить более точные сравнения, и связывают шкалу на графике с числовой линией.

3-й класс

В 3-м классе учащиеся имеют много возможностей использовать числовую линейку, чтобы улучшить свое понимание различных математических концепций.   Они опираются на свои знания во 2-м классе и используют числовую линейку на уроках Эврики, чтобы определять время с точностью до минуты. Они считают пятерками и единицами и решают текстовые задачи с временными интервалами в пределах 1 часа, считая в прямом и обратном порядке. Числовая линия используется в качестве инструмента, помогающего складывать и вычитать для решения словесных задач с временными интервалами в пределах 1 часа.

Взято из урока математики «Эврика» в 3 классе.

Кроме того, учащиеся используют числовую линейку, чтобы видеть дроби как числа, и начинают использовать интервал от 0 до 1, где 1 представляет целое.Они разбивают, расставляют, считают и сравнивают дроби. Они также замечают, что эквивалентные дроби расположены в одной и той же точке, и признают, что целые числа можно записать в виде дробей.

4-й класс

В 4-м классе учащиеся расширяют свои знания в 3-м классе, изучая единичные дроби, чтобы изучить эквивалентность дробей и распространить это понимание на смешанные числа. Различные модели используются для облегчения сравнения дробей и смешанных чисел, а также их представления. Эталонные дроби, такие как 1/2, 1/3 и 1/4, имеют решающее значение, поскольку учащиеся работают над обобщением и пониманием размера относительных дробей и смешанных чисел.

В приведенной ниже задаче учащегося просят:  Использовать числовой ряд, умножение и деление для разложения и составления дробей. Учащиеся сначала разбивают числовую прямую на трети, а затем разлагают одну треть на 4 равные части. Затем они пишут числовое предложение, используя умножение, чтобы показать дробь, эквивалентную 1 трети в числовой строке (4/12).

Учащиеся также записывают эквивалентность в виде числового предложения, используя деление. Учащиеся озвучивают, что четыре копии 1 двенадцатой равны 1 трети, и можно составлять более мелкие единицы, чтобы получить более крупную единицу.

В 4 классе учащиеся также используют числовой ряд для сравнения дробей.

5-й класс

В 5-м классе учащиеся на основе своей работы в 4-м классе складывают дроби и вычитают дроби из целых и смешанных чисел.

0 comments on “Таблица числовые промежутки 6 класс: Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.