Теория вероятности таблица: Таблицы распределений

Плескунов_Справочник_по_теории.indd

%PDF-1.3 % 1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream 2017-01-18T15:15:59+05:002017-01-18T15:16:47+05:002017-01-18T15:16:47+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:0bd7c874-b18a-4ccd-92b3-1655f6a5514exmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1xmp.id:A0B9B29E66DDE611B1F88B40C447181Aproof:pdf1xmp.iid:9EB9B29E66DDE611B1F88B40C447181Axmp.did:A1FE3A220EB6E611B075E867973EEB89xmp.did:BF81B306D74DE411B24FB20E6B9967A1default

  • convertedfrom application/x-indesign to application/pdfAdobe InDesign CS6 (Windows)/2017-01-18T15:15:59+05:00
  • application/pdf
  • Плескунов_Справочник_по_теории.indd
  • Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001 endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 9 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 31 0 obj > endobj 32 0 obj > endobj 33 0 obj > endobj 34 0 obj > endobj 35 0 obj > endobj 36 0 obj > endobj 37 0 obj > endobj 68 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 566.929 411.024]/Type/Page>> endobj 69 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 566.929 411.024]/Type/Page>> endobj 70 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 566.929 411.024]/Type/Page>> endobj 71 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 566.929 411.024]/Type/Page>> endobj 72 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 566.929 411.024]/Type/Page>> endobj 73 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 566.929 411.024]/Type/Page>> endobj 86 0 obj >stream HSK14]kҊ#!-M陿NdکxVU3#y5#2ܽ~8V»~Ⱥ)d3pSj 1tʏ}- ,H ,T}{sݒZu܎ix_p;PGCEuTɾVZ[_׃c!E4eiIȣ+IXh}XvpMpŮ,v!Xv1[ Bߨ{Sqޕ[F3Ɠ |)h=}iٟrR+e֯ݚjAr iܲ3\yh¡?߭6*UZic34D|m` /0/;cǼxiM4!X4!-S>ԟBUd3 n`

    Таблица лапласа, полная таблица значений функции Лапласа на сайте webmath.ru

    Содержание:

    Таблица значений функции Лапласа — это вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.{2}}{2}} d t$$

    При разных значениях t; F(–t) = –F(t) (функция нормального распределения).

    Таблица значений функции Лапласа


    t F(t)
    0.00 0.00000
    0.01 0.00798
    0.02 0.01596
    0.03 0.02393
    0.04 0.03191
    0.05 0.03988
    0.06 0.04784
    0.07 0.05581
    0.08 0.06376
    0.09 0.07171
    0.10 0.07966
    0.11 0.08759
    0.12 0.09552
    0.13 0.10348
    0.14 0.11134
    0.15 0.11924
    0.16 0.12712
    0.17 0.13499
    0.18
    0.14285
    0.19 0.15069
    0.20 0.15852
    0.21 0.16633
    0.22 0.17413
    0.23 0.18191
    0.24 0.18967
    0.25 0.19741
    0.26
    0.20514
    0.27 0.21284
    0.28 0.22052
    0.29 0.22818
    0.30 0.23582
    0.31 0.24344
    0.32 0.25103
    0.33 0.25860
    0.34
    0.26614
    0.35 0.27366
    0.36 0.28115
    0.37 0.28862
    0.38 0.29605
    0.39 0.30346
    0.40 0.31084
    0.41 0.31819
    0.42 0.32552
    0.43 0.33280
    0.44 0.34006
    0.45 0.34729
    0.46 0.35448
    0.47 0.36164
    0.48 0.36877
    0.49 0.37587
    0.50 0.38292
    0.51 0.38995
    0.52 0.39694
    0.53 0.40389
    0.54 0.41080
    0.55 0.41768
    0.56 0.42452
    0.57 0.43132
    0.58 0.43809
    0.59
    0.44481
    0.60 0.45149
    0.61 0.45814
    0.62 0.46474
    0.63 0.47131
    0.64 0.47783
    0.65 0.48431
    0.66 0.49075
    0.67
    0.49714
    0.68 0.50350
    0.69 0.50981
    0.70 0.51607
    0.71 0.52230
    0.72 0.52848
    0.73 0.53461
    0.74 0.54070
    0.75 0.54675
    0.76 0.55275
    0.77 0.55870
    0.78 0.56461
    0.79 0.57047
    0.80 0.57629
    0.81 0.58206
    0.82 0.58778
    0.83 0.59346
    0.84 0.59909
    0.85 0.60468
    0.86 0.61021
    0.87 0.61570
    0.88 0.62114
    0.89 0.62653
    0.90 0.63188
    0.91 0.63718
    0.92 0.64243
    0.93 0.64763
    0.94 0.65278
    0.95 0.65789
    0.96 0.66294
    0.97 0.66795
    0.98 0.67291
    0.99 0.67783
    t F(t)
    1.00 0.68269
    1.01 0.68750
    1.02 0.69227
    1.03 0.69699
    1.04 0.70166
    1.05 0.70628
    1.06 0.71086
    1.07 0.71538
    1.08 0.71986
    1.09 0.72429
    1.10 0.72867
    1.11 0.73300
    1.12 0.73729
    1.13 0.74152
    1.14 0.74571
    1.15 0.74986
    1.16 0.75395
    1.17 0.75800
    1.18 0.76200
    1.19 0.76595
    1.20 0.76986
    1.21 0.77372
    1.22 0.77754
    1.23 0.78130
    1.24 0.78502
    1.25 0.78870
    1.26 0.79233
    1.27 0.79592
    1.28 0.79945
    1.29 0.80295
    1.30 0.80640
    1.31 0.80980
    1.32 0.81316
    1.33 0.81648
    1.34 0.81975
    1.35 0.82298
    1.36 0.82617
    1.37 0.82931
    1.38 0.83241
    1.39 0.83547
    1.40 0.83849
    1.41 0.84146
    1.42 0.84439
    1.43 0.84728
    1.44 0.85013
    1.45 0.85294
    1.46 0.85571
    1.47 0.85844
    1.48 0.86113
    1.49 0.86378
    1.50 0.86639
    1.51 0.86696
    1.52 0.87149
    1.53 0.87398
    1.54 0.87644
    1.55 0.87886
    1.56 0.88124
    1.57 0.88358
    1.58 0.88589
    1.59 0.88817
    1.60 0.89040
    1.61 0.89260
    1.62 0.89477
    1.63 0.89690
    1.64 0.89899
    1.65 0.90106
    1.66 0.90309
    1.67 0.90508
    1.68 0.90704
    1.69 0.90897
    1.70 0.91087
    1.71 0.91273
    1.72 0.91457
    1.73 0.91637
    1.74 0.91814
    1.75 0.91988
    1.76 0.92159
    1.77 0.92327
    1.78 0.92492
    1.79 0.92655
    1.80 0.92814
    1.81 0.92970
    1.82 0.93124
    1.83 0.93275
    1.84 0.93423
    1.85 0.93569
    1.86 0.93711
    1.87 0.93852
    1.88 0.93989
    1.89 0.94124
    1.90 0.94257
    1.91 0.94387
    1.92 0.94514
    1.93 0.94639
    1.94 0.94762
    1.95 0.94882
    1.96 0.95000
    1.97 0.95116
    1.98 0.95230
    1.99 0.95341
    t F(t)
    2.00 0.95450
    2.01 0.95557
    2.02 0.95662
    2.03 0.95764
    2.04 0.95865
    2.05 0.95964
    2.06 0.96060
    2.07 0.96155
    2.08 0.96247
    2.09 0.96338
    2.10 0.96427
    2.11 0.96514
    2.12 0.96599
    2.13 0.96683
    2.14 0.96765
    2.15 0.96844
    2.16 0.96923
    2.17 0.96999
    2.18 0.97074
    2.19 0.97148
    2.20 0.97219
    2.21 0.97289
    2.22 0.97358
    2.23 0.97425
    2.24 0.97491
    2.25 0.97555
    2.26 0.97618
    2.27 0.97679
    2.28 0.97739
    2.29 0.97798
    2.30 0.97855
    2.31 0.97911
    2.32 0.97966
    2.33 0.98019
    2.34 0.98072
    2.35 0.98123
    2.36 0.98172
    2.37 0.98221
    2.38 0.98269
    2.39 0.98315
    2.40 0.98360
    2.41 0.98405
    2.42 0.98448
    2.43 0.98490
    2.44 0.98531
    2.45 0.98571
    2.46 0.98611
    2.47 0.98649
    2.48 0.98686
    2.49 0.98723
    2.50 0.98758
    2.51 0.98793
    2.52 0.98826
    2.53 0.98859
    2.54 0.98891
    2.55 0.98923
    2.56 0.98953
    2.57 0.98983
    2.58 0.99012
    2.59 0.99040
    2.60 0.99068
    2.61 0.99095
    2.62 0.99121
    2.63 0.99146
    2.64 0.99171
    2.65 0.99195
    2.66 0.99219
    2.67 0.99241
    2.68 0.99263
    2.69 0.99285
    2.70 0.99307
    2.71 0.99327
    2.72 0.99347
    2.73 0.99367
    2.74 0.99386
    2.75 0.99404
    2.76 0.99422
    2.77 0.99439
    2.78 0.99456
    2.79 0.99473
    2.80 0.99489
    2.81 0.99505
    2.82 0.99520
    2.83 0.99535
    2.84 0.99549
    2.85 0.99563
    2.86 0.99576
    2.87 0.99590
    2.88 0.99602
    2.89 0.99615
    2.90 0.99627
    2.91 0.99639
    2.92 0.99650
    2.93 0.99661
    2.94 0.99672
    2.95 0.99682
    2.96 0.99692
    2.97 0.99702
    2.98 0.99712
    2.99 0.99721
    t F(t)
    3.00 0.99730
    3.01 0.99739
    3.02 0.99747
    3.03 0.99755
    3.04 0.99763
    3.05 0.99771
    3.06 0.99779
    3.07 0.99786
    3.08 0.99793
    3.09 0.99800
    3.10 0.99806
    3.11 0.99813
    3.12 0.99819
    3.13 0.99825
    3.14 0.99831
    3.15 0.99837
    3.16 0.99842
    3.17 0.99848
    3.18 0.99853
    3.19 0.99858
    3.20 0.99863
    3.21 0.99867
    3.22 0.99872
    3.23 0.99876
    3.24 0.99880
    3.25 0.99855
    3.26 0.99889
    3.27 0.99892
    3.28 0.99896
    3.29 0.99900
    3.30 0.99903
    3.31 0.99907
    3.32 0.99910
    3.33 0.99913
    3.34 0.99916
    3.35 0.99919
    3.36 0.99922
    3.37 0.99925
    3.38 0.99928
    3.39 0.99930
    3.40 0.99933
    3.41 0.99935
    3.42 0.99937
    3.43 0.99940
    3.44 0.99942
    3.45 0.99944
    3.46 0.99946
    3.47 0.99948
    3.48 0.99950
    3.49 0.99952
    3.50 0.99953
    3.51 0.99955
    3.52 0.99957
    3.53 0.99958
    3.54 0.99960
    3.55 0.99961
    3.56 0.99963
    3.57 0.99964
    3.58 0.99966
    3.59 0.99967
    3.60 0.99968
    3.61 0.99969
    3.62 0.99971
    3.63 0.99972
    3.64 0.99973
    3.65 0.99974
    3.66 0.99975
    3.67 0.99976
    3.68 0.99977
    3.69 0.99978
    3.70 0.99978
    3.71 0.99979
    3.72 0.99980
    3.73 0.99981
    3.74 0.99982
    3.75 0.99982
    3.76 0.99983
    3.77 0.99984
    3.78 0.99984
    3.79 0.99985
    3.80 0.99986
    3.81 0.99986
    3.82 0.99987
    3.83 0.99987
    3.84 0.99988
    3.85 0.99988
    3.86 0.99989
    3.87 0.99989
    3.88 0.99990
    3.89 0.99990
    3.90 0.99990
    3.91 0.99991
    3.92 0.99991
    3.93 0.99992
    3.94 0.99992
    3.95 0.99992
    3.96 0.99992
    3.97 0.99993
    3.98 0.99993
    3.99 0.99993

    Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

    Основные формулы теории вероятности / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

    №№

    п/п

    Понятия,
    обозначения

    Содержание, формула

    1

    Множество

    Множество $A-$ совокупность каких-либо объектов $a$, называемых элементами множества: $a\in A$

    2

    Дополнение $\overline A $ 
    { не $A$ }

    $\overline A $ содержит все элементы, не принадлежащие $A$

    3

    Равенство
    множеств $A=B$

    Два множества $A$ и $B$ равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов

    4

    Объединение { сумма } множеств $C=A+B$

    Множество $C$ состоит из всех элементов, принадлежащих или множеству $A$, или множеству $B$ или и $A$ и $B$ одновременно

    5

    Пересечение
    { произведение }
    множеств $C=A\cdot B$

    Множество $C$ состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$ и множеству $B$

    6

    Разность двух
    множеств $C=A-B$

    $C$ состоит из элементов множества $A$, которые не являются элементами множества $B$

    7

    Эквивалентные
    множества

    Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие.n$

    12

    Стохастический эксперимент

    Это опыт { испытание } , результат которого заранее не определен

    13

    Достоверное
    событие

    Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий { опыта, эксперимента } называется достоверным событием

    14

    Случайное
    событие

    Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании

    15

    Невозможное
    событие

    Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий

    16

    Относительная частота события $A$

    Отношение $\nu (A)=\frac { m } { n } $ числа экспериментов $m$, завершившихся событием $A$, к общему числу $n$ проведенных экспериментов

    17

    Статистическое определение
    вероятности

    Если при неограниченном увеличении числа экспериментов относительная частота события $\nu (A)$ стремится к некоторому фиксированному числу, то событие $A$ стохастически устойчиво и это число $p(A)$ называют вероятностью события $A$

    18

    Определение
    вероятности в классической
    схеме

    $P(A)=\frac { m } { n } $, где $m$ – число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих наступлению события $A$, $n$ – общее число всех равновозможных исходов

    19

    Вероятность
    суммы
    { объединения } , двух событий $A$ и $B$

    $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

    20

    Вероятность
    произведения двух зависимых
    событий $A$ и $B$

    $P(AB)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$,

    где $P(B\vert A)$ – условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ с ненулевой вероятностью произошло

    21

    Независимые
    события $A$ и $B$

    Это такие события, для которых $P(B\vert A)=P(B)$ и $P(A\vert B)=P(A)$.2 } { 2 } } } dt$; $\Phi (-x)=-\Phi (x)$  { таблица 4 }

    27

    Понятие
    случайной
    величины

    Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом.

    28

    Понятие
    дискретной
    случайной
    величины { ДСВ $X$ }

    ДСВ $X$ – случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, то есть численные значения которой образуют конечное или счетное множество.

    29

    Закон
    распределения
    дискретной
    случайной
    величины

    Соответствие между значениями $x_1, x_2, \cdots $ дискретной случайной величины и их вероятностями $p_1, p_2, \cdots $ называется законом распределения и может быть задан таблично или аналитически { то есть с помощью формул } .\infty { p_k =1 } $

    30

    Понятие
    непрерывной
    случайной
    величины { НСВ $X$ }

    НСВ $X$ – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть множество значений непрерывной случайной величины несчетно.

    31

    Функция
    распределения. Свойства функции распределения

    Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция действительного переменного $x$, определяемая равенством $F(x)=P(X\lt x)$, где $P(X\lt x)$ — вероятность того, что случайная величина $X$ принимает значение, меньше $x$

    Функция распределения $F(x)$ для ДСВ $X$, которая может принимать значения $x_1 ,x_2 ,…x_n $ c соответствующими вероятностями $p_1 ,p_2 ,…,p_n$  имеет вид $F(x)=\sum\limits_ { x_k \lt x } { P(X\lt x_k ) } $, где символ $x_k \lt x$ означает, что суммируются вероятности $p_k $ тех значений, которые меньше $x$.

    Функция является разрывной.

    Случайная величина $X$ называется непрерывной, если ее функция распределения $F(x)$ является непрерывно дифференцируемой.

    Вероятность того, что СВХ примет значение из промежутка $\left[ { \alpha ;\beta }\right)$, равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала:

    $P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$

    Свойства функции распределения

    1. $0\leqslant F(x)\leqslant 1$ 

    2. Если $x_1 \lt x_2 $, то $F(x_1 )\leqslant F(x_2 )$, то есть функция распределения является неубывающей.

     

    31

    Функция
    распределения. Свойства функции распределения

    3. Функция $F(x)$ в точке $x_0 $  непрерывна слева, то есть $\mathop { \lim } \limits_ { x\to x_0 -0 } F(x)=F(x_0 )$; $F(x_0 -0)=F(x_0 )$

    4. Если все возможные значения  СВХ принадлежат интервалу $(a;b)$, то $F(x)=0$ при $x\leqslant a$, $F(x)=1$ при $x\geqslant b$ 

    5. Если все возможные значения СВХ принадлежат бесконечному интервалу $\left( { -\infty ;+\infty }\right)$, то $\mathop { \lim } \limits_ { x\to -\infty } F(x)=0;\mathop { \lim } \limits_ { x\to +\infty } F(x)=1;$

    Если $X$ – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно заданное определенное значение, равна нулю:

    $P(X=\alpha )=0$

    Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства:

    $P(\alpha \lt X\lt \beta )=P(\alpha \leqslant X\leqslant \beta )=P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=$

    $=P(\alpha \lt X\leqslant \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$

    32

    Плотность
    распределения
    вероятностей
    непрерывной
    случайной
    величины.4 } -3.$

    Для нормального распределения $Э_x =0$.

    Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной кривой Гаусса, имеют $Э_x \gt 0$.
    У более плосковершинных кривых $Э_x \lt 0.$

    Теория вероятностей — это… Что такое Теория вероятностей?

    Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

    История

    Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)[2].

    Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

    Основные понятия теории

    См. также

    Ссылки

    Литература

    А

    • Ахтямов, А. М. «Экономико-математические методы» : учеб. пособие Башк. гос. ун-т. — Уфа : БГУ, 2007.
    • Ахтямов, А. М. «Теория вероятностей». — М.: Физматлит, 2009

    Б

    • Боровков, А. А. «Математическая статистика», М.: Наука, 1984.
    • Боровков, А. А. «Теория вероятностей», М.: Наука, 1986.
    • Булдык, Г. М. «Теория вероятностей и математическая статистика», Мн., Высш. шк., 1989.
    • Булинский, А. В., Ширяев, А. Н. «Теория случайных процессов», М.: Физматлит, 2003.
    • Бекарева, Н. Д. «Теория вероятностей. Конспект лекций», Новосибирск НГТУ
    • Баврин, И. И. « Высшая математика» (Часть 2 «Элементы теории вероятностей и математической статистики»), М.: Наука, 2000.

    В

    Г

    • Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1977.
    • Гмурман, В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. пособие — 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006.-479 с.:ил (Основы наук).
    • Гмурман, В. Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике»: Учеб. пособие — 11-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2006.-404 с. (Основы наук).
    • Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей», — М.: Наука, 1988.
    • Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей», УРСС. М.: 2001.
    • Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. «Элементарное введение в теорию вероятностей», 1970.
    • Горбань, И. И. «Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы» – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с.
    • Горбань, И. И. «Справочник по теории случайных функций и математической статистике», Киев: Институт кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины, 1998.
    • Гурский Е. И. «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике», — Минск: Высшая школа, 1975.

    Д

    • П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.

    Е

    • А. В. Ефимов, А. Е. Поспелов и др. 4 часть // Сборник задач по математике для втузов. — 3-е изд., перераб. и дополн.. — М.: «Физматлит», 2003. — Т. 4. — 432 с. — ISBN 5-94052-037-5

    К

    • Колемаев, В. А. и др. «Теория вероятностей и математическая статистика», — М.: Высшая школа, 1991. http://www.iqlib.ru/book/preview/b0ce99dc4e1741128564b81841ae6ce0
    • Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974.
    • Коршунов, Д. А., Фосс, С. Г. «Сборник задач и упражнений по теории вероятностей», Новосибирск, 1997.
    • Коршунов, Д. А., Чернова, Н. И. «Сборник задач и упражнений по математической статистике», Новосибирск. 2001.
    • Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для ВУЗов. — 2- изд., перераб. и доп.-М:ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573 с.
    • Кузнецов, А. В. «Применение критериев согласия при математическом моделировании экономических процессов», Мн.: БГИНХ, 1991.

    Л

    • Лихолетов И. И., Мацкевич И. Е. «Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике», Мн.: Выш. шк., 1976.
    • Лихолетов И. И. «Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1976.
    • Лоэв М.В «Теория вероятностей», — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

    М

    • Маньковский Б. Ю., «Таблица вероятности».
    • Мацкевич И. П., Свирид Г. П. «Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1993.
    • Мацкевич И. П., Свирид Г. П., Булдык Г. М. «Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1996.
    • Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Издательство Мир, Москва, 1973.
    • Млодинов Л. (Не)совершенная случайность

    П

    • Прохоров, А. В., В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков. «Задачи по теории вероятностей», Наука. М.: 1986.
    • Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. «Теория вероятностей», — М.: Наука, 1967.
    • Пугачев, В. С. «Теория вероятностей и математическая статистика», Наука. М.: 1979.

    Р

    • Ротарь В. И., «Теория вероятностей», — М.: Высшая школа, 1992.

    С

    • Свешников А. А. и др., «Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций», — М.: Наука, 1970.
    • Свирид, Г. П., Макаренко, Я. С., Шевченко, Л. И. «Решение задач математической статистики на ПЭВМ», Мн., Выш. шк., 1996.
    • Севастьянов Б. А., «Курс теории вероятностей и математической статистики», — М.: Наука, 1982.
    • Севастьянов, Б. А., Чистяков, В. П., Зубков, А. М. «Сборник задач по теории вероятностей», М.: Наука, 1986.
    • Соколенко А. И., «Высшая математика», учебник. М.: Академия, 2002.

    Ф

    • Феллер, В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения».

    Х

    • Хамитов, Г. П., Ведерникова, Т. И. «Вероятности и статистики», БГУЭП. Иркутск.: 2006.

    Ч

    • Чистяков, В. П. «Курс теории вероятностей», М., 1982.
    • Чернова, Н. И. «Теория вероятностей», Новосибирск. 2007.

    Ш

    Примечания

    Теория вероятности в покере. Таблица вероятностей в покере

    Для заядлого участника карточных состязаний вероятности в покере выступают в роли одного из наиболее увлекательных моментов в ходе всего турнира.

    Одна категория развития событий встречается действительно часто, то есть можно сказать, что некоторые сценарии особенно распространены. 

    Тем, кто играет в покер регулярно, не составит труда, как говорят в школе, зазубрить такие возможные варианты развития событий.

    Те азартные участники, что еще с университетских лав знакомы с понятием теория вероятности, в покере сумеют отлично применить полученные знания на практике.

    Расчеты можно выполнять как собственноручно, так и вооружившись специальными программами для покера, которых сегодня предлагается великое множество. Но, так или иначе, самостоятельно мыслить и рассуждать, анализировать и принимать решение нужно, потому как ни одна программа не поможет мозгу развиваться и совершенствоваться. 

    Ниже будут приведены те сведения, которые помогут произвести расчет вероятности в покере с целью выигрыша. По истечению времени важно все изложенные данные сохранить в голове, чтобы не зависеть от таблиц на электронном, или, к примеру, бумажном носителе. 

    Только так можно будет констатировать факт того, что успех обеспечен!

    Вероятности в покере – измерительный показатель от нуля до ста процентов. Он показывает, с какой частотой может произойти то или иное развитие событий в ходе покерного турнира. 

    Понимание данного термина и его значения предоставляет покеристу возможность реально расценить ситуацию, анализировать перспективу каждого действия, что возможно выполнять при конкретном сценарии.

    Таблица вероятностей в покере станет полезной подсказкой, из которой можно получить сведения о том, каковы шансы банка в покере. Именно эти данные помогут принять правильное решение в ходе карточного состязания.

    Вариации таблиц

    Не существует единого стандарта, описанного в одной таблице, вооружившись которой можно было бы считать себя «повелителем» покера и безудержно побеждать. Все было бы слишком просто и скучно. 

    Покер – это полотно математических исчислений. Которые, на выходе, могут ответить на вопрос, есть ли смысл рисковать или стоит сбросить карты. Расчет вероятности в покере зависит от того, как прошла раздача, на основании этого и формируется таблица.

    Известны такие вариации вероятностей:

    • Префлоп;
    • при традиционных префлоп выставлениях;
    • формирования сочетания с карманной парой;
    • с двумя карточными элементами в одной масти;
    • с 2-мя картами разных мастей;
    • с двумя непарными картами на флопе в покере.

    И это еще не весь список. Предлагается также таблица вероятностей в покере, которая именуется «текстуры флопа». Данные сведения пригодятся участнику на префлопе. Здесь можно ознакомиться с возможностью выпадения флопов конкретной структуры. 

    Так, собрать на префлопе:

    • Три одинаковых по рангу карты есть вероятность в 0,24%;
    • Сочетание с парой в наборе (например, 7-7-2) – 17%;
    • Три карты одной масти – чуть больше 5%;
    • 2 одномастные карты – 55%;
    • Сочетание «радуга» (полный разнобой) – 40%;
    • 3 по увеличению (одна за другой) – 3,5%;
    • 2 по возрастанию – 40%;
    • Отсутствие карт по старшинству по порядку – больше чем 55%.

    Исходя из вышеприведенных данных, которые предстают перед участником в виде таблицы, можно самостоятельно, реально оценив увиденное, понять, что велика вероятность попадания на попарный флоп, но при этом флоп с 3 картами одного ранга – это чаще исключение, нежели регулярно повторяющееся правило. 

    Вооружившись таблицей, можно изучить вероятность комбинаций в покере при конкретной раздаче и оценить собственные шансы на успех!

    Перспектива улучшить собственную ситуацию?

    Ответ на поставленный вопрос есть, но его сложно назвать однозначным. Все зависит от раздачи. Теория вероятности в покере в вопросе улучшения выпавшей комбинации также предстает в форме табличных данных. 

    Ниже приведем перспективы в процентном выражении, которые ответят на вопрос, какова вероятность комбинаций в покере по улучшению комбинации в покере с флопа до терна:

    Расчет вероятности в покере по укреплению и улучшению собственных позиций в ходе состязания дает возможность принять решение о том, выходить из игры или продолжить борьбу за банк, потому как табличные сведения говорят о реальных перспективах выигрыша. 

    Дополнительно о вероятностях

    Таблица вероятностей в покере, исходя из которой просматривается перспектива улучшения набора с флопа к риверу, предстает в виде следующих перспектив, выраженных в процентах:

    • Сет – фул хаус/ривер – 33%;
    • 2 пары – Full House/ривер – 17%;
    • Флеш-дро – флеш/ривер – 35%;
    • Раннер-раннер дро – флеш к риверу – чуть больше 4%;
    • Двустороннее стрит дро – стрит к риверу – 17%;
    • Пара к одной из 2-х оверкарт – ривер – 24%.

    Вышеприведенные ситуации придут на помощь к покеристу в случае, когда необходимо произвести анализ вариаций на постфлопе. 

    Вероятность комбинаций в покере, а точнее их улучшение с терна к риверу возможно в следующем процентном выражении данных:

    • Сет до Full House или еще выше – 22,7%;
    • 2 пары до фул хауса – 8,7%;
    • Flesh-dro до флеша – 19,6%;
    • Двусторонний стрит до стрита – 17,4%;
    • «дырявый» стрит до стрита – 8,7%;
    • Карманная пара до трипса – 4,3%;
    • Пара к одной из овер карт – 13%.

    Так, вооружившись данными, приведенными выше, можно оценить перспективу возможности улучшения набора посредством последней карты ривера. Анализируя информацию по разным ситуациям, стоит акцентировать внимание на том, что вероятность существенно возрастает, если сравнивать с аналогичной возможностью от флопа до терна за счет карты, что уже вышла.

    Так или иначе, для того чтобы вести успешную и увлекательную борьбу, расчет вероятности в покере проводить необходимо в обязательном порядке. Будучи хорошо подкованным в данном вопросе можно смело вступать в турниры и играть по-крупному. 

    Главное, чтобы азарт не сыграл злую шутку и не сумел отодвинуть здравый математический просчет на задний план.

    Истинным знатокам прекрасно известно правило: чем больше времени уходит на размышления и рассуждения о карточных сочетаниях, тем лучше это скажется на профессионализме и сноровке покериста.

    Покер – это долгая игра. Даже незамысловатый расчет, порой, поможет раскусить оппонента и понять, какие карты он имеет на руках. Такие знания позволяют владеть ситуацией и верно следовать правильным путем к победе.

    Теория вероятности в покере занимает далеко не последнюю роль. Она позволяет адекватно расценивать собственные возможности и реалии состязания, его исхода. Владение информацией о вероятности – это превосходная подсказка, которая призвана при необходимости прийти на помощь и сохранить деньги или же станет надежной поддержкой в получении победы и завоевании крупного денежного выигрыша. 

    Да что там финансы!? Колоссальное удовольствие от процесса разумного, логичного, обдуманного состязания несравнимо ни с чем.

    You have no rights to post comments

    {rd}$ Пример 1.4.2, большую часть я понимаю, но в конце застрял. Этот пример призван показать, что $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ не обязательно означает, что $X$ и $Y$ независимы.

    Чтобы показать это, он представил таблицу дискретного совместного распределения $X$ и $Y$ следующим образом:

    , где $a>0$, $b>0$ и $c\geq 0$, а также $2a+2b+c=1$.

    Это дает мне первый вопрос:

    Я понимаю, что он делает общую вероятность равной $1$, и каждый одиночные вероятности неотрицательны.Тогда нам нужны только $a,b,c\geq 0$, но почему вместо этого он сделал $a,b>0$ и $c\geq0$?

    Легко видеть, что $\mathbb{E}(XY)=0=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$, поскольку $X$ и $Y$ симметрично распределены относительно $0$, таким образом, $\mathbb{E}X=0$ и $\mathbb{E}Y=0$, из которых следует, что $\mathbb{E}X\mathbb{E}Y=0$, и таблица устроена так, что $xy \mathbb{P}_{X,Y}(x,y)=0$ для всех $x,y$, поэтому $\mathbb{E}(XY)=0$.

    Однако для доказательства зависимости он сказал

    Они не являются независимыми, поскольку $$\mathbb{P}(X=1, Y=1)=0\neq ab=\mathbb{P}(X=1)\mathbb{P}(Y=1).$$

    Это вызывает у меня вторую путаницу:

    Как он узнал вероятность самих $X$ и $Y$? Стол — это совместное распределение, верно?

    Действительно ли он имел в виду, что $\mathbb{P}(X)$ является столбцом, когда $Y=0$? Но тогда по тому же аргументу $\mathbb{P}(Y)$ является столбцом, когда $X=0$. Тогда нам нужны $2a+c=1$ и $2b+c=1$, откуда следует $a=b$, а он этого не требует.

    Есть ли способ получить «одиночное распределение» из дискретной объединенной таблицы распределения?

    Кроме того, буду очень признателен, если кто-нибудь научит меня вычислять $\mathbb{E}(Y|X)$ по этой таблице.Благодарю вас!

    Заранее большое спасибо!

    Теория вероятностей. Это второй пост в серии… | Бруно Гонсалвеш

    Фото Эрики Ли на Unsplash

    Причинно-следственный вывод

    Это второй пост в серии, в которой мы прорабатываем «Причинно-следственный вывод в статистике» — хороший учебник для начинающих, соавтором которого является сам Джудея Перл.

    Партнерская ссылка Amazon: https://amzn.to/3gsFlkO

    Вы можете найти первый пост здесь и весь соответствующий нам код Python в сопутствующем репозитории GitHub:

    Пока я сделаю все возможное, чтобы представить содержание в ясной доступным способом, я настоятельно рекомендую вам приобрести книгу самостоятельно и следовать ей.Итак, без лишних слов, приступим!

    В этом разделе Перл продолжает знакомить нас с вводной информацией, которая понадобится нам позже, сосредоточившись на основах теории вероятностей и статистического анализа.

    Он начинает с определения нескольких полезных терминов:

    • Переменная — Любое свойство или дескриптор, которые могут принимать несколько значений. Примерами могут быть пол, образование и т. д.
    • Событие — присвоение значения или набора значений переменной или набору переменных.Одним из примеров может быть «субъект — выпускник колледжа мужского пола».

    Как правильно выразился Перл, «вероятность — это то, как мы выражаем неопределенность», что делает ее краеугольным камнем причинно-следственной связи и слишком важной, чтобы ее игнорировать. Здесь я предлагаю сделать шаг назад, чтобы освежить нашу память об основных принципах вероятности, прежде чем перейти к условной вероятности, предполагая базовое знакомство с базовой вероятностью.

    Андрей Колмогоров, один из основателей теории вероятностей, определил вероятность, используя 3 аксиомы:

    • Аксиома 1: Вероятность — это действительное число, большее или равное 0.
    • Аксиома 2: Суммарная вероятность равна 1.
    • Аксиома 3: Вероятность взаимоисключающих событий равна сумме вероятностей.

    Это означает, что интуитивно мы можем думать о вероятности как о области. Общая площадь (с учетом всех возможностей) имеет размер 1, где вероятность каждого возможного события является долей этой общей площади. Наконец, взаимоисключающие события представлены непересекающимися областями, а не взаимоисключающие события перекрываются.Или, более наглядно:

    Основная иллюстрация вероятности

    Давайте теперь рассмотрим простой пример (таблица 1.5 в книге):

    Численность мужчин и женщин по уровню образования

    Мы быстро видим, что у нас есть 2 переменные: пол и образование, и всего 8 возможных событий, по одному для каждой строки в таблице. Для каждого события дано также количество раз, когда оно произошло в популяции 2440 человек. Это называется таблицей частотного распределения и обычно создается путем анализа отдельных записей и табулирования результатов.

    Альтернативный способ представления приведенной выше таблицы:

    Сводная версия предыдущей таблицы

    , где мы просто свернули в столбце «Образование». Это известно как таблица непредвиденных обстоятельств . Значения, выделенные фиолетовым цветом, представляют собой итоговые значения для каждой строки/столбца и обычно называются маргиналами (поскольку они написаны на полях таблицы :), а зеленая ячейка — это общая численность населения.

    Вероятность каждого события может быть легко рассчитана путем простого деления соответствующего числа на общую совокупность, таким образом,

    Где N представляет количество событий из таблицы.С другой стороны, вероятность того, что случайно выбранный индивидуум является мужчиной, равна:

    Другой способ вычисления того же значения состоит в том, чтобы рассматривать каждое подмножество мужчин отдельно:

    Этот подход суммирования по всем подмножествам переменной известен. как , маргинализируя по этой переменной. Вы можете увидеть, как относится к выполнению расчета по строкам/столбцам таблицы непредвиденных обстоятельств выше.

    И наоборот, поскольку мы знаем, что общая вероятность должна быть равна единице, мы имеем:

    Более интересный пример может быть, если нам нужна вероятность того, что случайно выбранный человек является выпускником средней школы ИЛИ женщиной.В этом случае у нас есть перекрывающиеся результаты:

    1.3.3 — Условная вероятность

    Теперь, когда мы освежили нашу память в отношении основ вероятности, мы можем догнать Перл и перейти к условной вероятности. Перл определяет P(A|B) , условную вероятность A при данном B, как «вероятность того, что произойдет некоторое событие A, при условии, что мы знаем, что произошло какое-то другое событие B.

    На практике это означает, что для таблицы, подобной приведенной выше, какова вероятность A после того, как вы отфильтруете исходную таблицу так, что у вас будет только подмножество данных, для которого B верно.

    Математически мы можем записать:

    Условная вероятность

    Итак, если мы хотим P(высшая школа | женщина), мы имеем:

    Это концептуально то же самое, что и сокращение нашей исходной таблицы до только женских строк:

    И вычисление P (высшая школа) в этой уменьшенной вселенной возможностей. В этом случае мы использовали бы только вторую строку нашей таблицы непредвиденных обстоятельств, чтобы найти:

    И наоборот,

    И, используя таблицу непредвиденных обстоятельств, также тривиально вычислить:

    Какие доли мужчин и женщин в общем Население аспирантуры.

    Как мы видим, обусловливание вероятностей просто эквивалентно переопределению наших возможных результатов, чтобы они были просто подмножеством исходных.

    1.3.4 — Независимость

    Мы можем сказать, что A не зависит от B, если

    Независимость

    Другими словами, знание о B (подходящее подмножество нашего набора данных) не меняет вероятность A.

    Простое обобщение этой идеи является концепция условной независимости . Мы говорим, что два события А и В условно независимы при наличии третьего события С, если знания С достаточно, чтобы сделать А и В независимыми.Другими словами:

    Условная независимость

    Стоит потратить некоторое время на ознакомление с этими концепциями, поскольку они будут фундаментальными для того, что будет дальше. Итак, давайте рассмотрим простой пример игры с подбрасыванием монеты, в которой мы подбрасываем две чистых монеты , назовем их A и B, и вы выигрываете игру, если выпадает хотя бы один орел.

    Четыре возможных результата подбрасывания монеты показаны слева, а результат игры справа.

    Игра подбрасывания монеты

    Легко видеть, что результаты подбрасывания монеты А или монеты В независимы:

    Аналогично для случая, когда А=Решка.

    С другой стороны, когда мы смотрим на то, кто выигрывает при проигрыше, ситуация меняется. Общая вероятность выигрыша:

    Пока:

    Показывая, что выигрыш не зависит от B, так как мы знаем, что если B=орел, то мы автоматически выигрываем.

    Теорема Байеса

    Этого уже достаточно для одного поста, но давайте сделаем еще один шаг, чтобы завершить нашу теоретическую картину.

    Продолжая нашу игру с подбрасыванием монеты, мы также можем легко вычислить, что:

    Однако мы ожидаем, что P(Win|B=Heads) должно быть связано с P(B=Heads | Win).

    Действительно, уже на нашем первом изображении мы видели:

    И из нашего определения условной вероятности мы знаем, что:

    Приравнивая два выражения для P(C), находим:

    Теорема Байеса

    Известная теорема Байеса, первая предложенный преподобным Томасом Байесом в 1763 году, и который в последние годы привел к развитию байесовской статистики, из которой берет начало подход Перла к причинно-следственным связям.

    Каждый термин в выражении теоремы Байеса имеет конкретное имя:

    Где мы можем думать о апостериорном как об обновленном значении предшествующего с учетом доступного доказательства и его вероятности.

    Применяя это выражение к приведенному выше примеру, мы находим:

    и подставляем числа, которые мы вычислили выше:

    Как и прежде.

    Из этого простого примера вы уже можете увидеть силу теоремы Байеса. Это не только позволяет нам изменить порядок обусловливания выражения, но и позволяет обновить наши представления о мире. Мы перешли от первоначального ( до ) ожидания, что P(B=головы)=1/2, к обновленному (апостериорному) ожиданию, что P(B=головы)=2/3, на основании того факта, что мы *знаем*, что конечным результатом игры была победа.

    В следующем посте мы рассмотрим еще много примеров использования теоремы Байеса и ее применения в причинно-следственном выводе.

    Условная вероятность с примерами Для Data Science — Data Science Дуния

    Как как следует из названия, условная вероятность — это вероятность события при некоторое заданное условие. И исходя из условия, наше выборочное пространство сводится к условный элемент.

    Например, найдите вероятность того, что человек подпишется на страховку, если он взял ипотечный кредит.Здесь место для выборки ограничено лицами, взявшими ипотечный кредит.

    Кому понимать Условная вероятность, рекомендуется иметь понимание основ вероятностей, таких как взаимоисключающие и независимые события, совместные, Союз и предельные вероятности и вероятность против статистики и т. д. В случае, если вы хотите пересмотреть эти концепции, вы можете сослаться на них здесь Вероятность Основы науки о данных.

    Вики Определение:

    В теории вероятностей условная вероятность — это мера вероятности наступления события при условии, что произошло другое событие.Если интересующим событием является А, а событие В известно или предполагается, что оно произошло, «условная вероятность А при заданном В» или «вероятность А при условии В» обычно записывается как P(A | B ), иногда PB(A) или P(A / B) — Wikipedia

    Теперь может возникнуть вопрос, например, зачем использовать условную вероятность и какова ее значение в науке о данных?

    Возьмем пример из реальной жизни. Вероятность продажи телевизора в данный обычный день может составлять всего 30%.Но если учесть, что данный день Дивали, то шансов продать телевизор гораздо больше. Условная вероятность продажи телевизора в день Дивали может составлять 70%. Мы можем представить эти вероятности как P(телевизионные продажи в случайный день) = 30%. P(телевизионная продажа, учитывая, что сегодня Дивали) = 70%.

    Таким образом, условная вероятность помогает специалистам по данным получать лучшие результаты из заданного набора данных, а инженерам по машинному обучению помогает создавать более точные модели для прогнозов.

    Давайте глубже погрузиться в это больше:

    В следующей таблице представлены люди разных возрастных групп, которые не выполнили и не выполнили свои обязательства по кредитам.

    Условная вероятность Пр. Таблица 1

    Преобразование приведенной выше таблицы в вероятности

    Условная вероятность Пр. Таблица 2

    Таким образом, если мы сможем преобразовать рассматриваемые данные в табличную форму, то выборочное пространство сократится либо до полного столбца, либо до полной строки, а остальная часть выборочного пространства станет неактуальной.

    Что это вероятность того, что человек не будет дефолт по кредиту при условии, что он / она средних лет?

    P(Нет | Средний возраст) = 0,586/0,690 = 0,85 [см. таблицу – 2, данные формы вероятности]

    P(Нет|Средний В возрасте ) = 27368/32219 = 0,85 [ссылаясь на таблицу -1, обычные нумерованные данные]

    Если вы заметили, очень ясно, что в числителе это Совместная Вероятность то есть Вероятность того, что человек не погасит долг по кредиту, а также человек средних лет.

    А в знаменателе это предельная вероятность, которая является вероятностью Человек средних лет.

    Отсюда мы также можем определить условную вероятность как отношение совместных вероятность к предельной вероятности.

    П(А|В) = Р(А и В)/Р(В)

    Снова давайте зададим вопрос немного по-другому, изменив порядок, как показано ниже.

    Что это вероятность того, что человек среднего возраста, если он / она не дефолт в кредит?

    Теперь посмотрите, поле выборки изменилось на цветную строку, обозначающую лиц, которые не просрочили ссуду.

    Условная вероятность Пр. Таблица 3

    P (средний возраст | Нет) = 0,586/0,816 = 0,72 (порядок имеет значение)

    Теперь вы снова что-то заметили, вероятность меняется за счет изменения порядка событий.

    Отсюда в Условный порядок вероятности имеет значение.

    Визуализация условной вероятности с использованием дерева вероятностей Дерево условной вероятности

    Объяснение:

    Я попытался объяснить каждый логика ветвления внутри самого дерева.Теперь давайте углубимся в вопросы, которые объяснит важность дерева вероятностей при расчете условных вероятностей.

    П(Молодой и Нет)?
    • Используйте стандартную формулу условной вероятности:
    • P(Молодые | Нет) = P(Молодые и Нет)/P(Нет) откуда следует:
    • P(Молодые и Нет) = P(Молодые | Нет) * P (Нет)
    • По дереву вероятностей мы знаем вероятность P(Young | No) = 0,275 и P(No) = 0,816.
    • Теперь смотрите правую сторону, все значения вероятностей известны, поэтому подставьте их в приведенное выше уравнение, и мы получим желаемую вероятность.
    • P(Молодые и Нет) = 0,275 * 0,816 = 0,2244 = ~0,225

    P(Нет и Молодые)? (Заказ изменен)
    • P(Нет и Молодой) = P(Молодой и Нет) = 0,225 [такой же как выше]
    • В порядке совместной вероятности не имеет значения

    P(Янг)?
    • Посмотрите на все ветви, связанные с Юнгом (оканчивающиеся Юнгом), и получают сумму произведений значения вероятности в ветви
    • , что означает
    • P(Young) = 0.816 * 0,275 + 0,184 * 0,419 = 0,301496 = ~ 0,302

    Р(Нет)?
    • P(Нет) = 0,816 (Прямо с дерева)

    P(Молодой | Нет)?
    • P(Молодой | Нет) = p(Молодой | Не неплательщик) = 0,275 [см. дерево]

    P(Нет | Молодой)? [Порядок изменено]
    • P(Нет | Молодой) = P(Молодой и Нет)/P(Молодой) [у нас есть уже рассчитать вероятности правой стороны в приведенном выше расчете]
    • P(No | Young) = 0.225/0,302 = 0,745

    Сейчас давайте рассмотрим стандартную формулу условной вероятности .

    От условной вероятности мы знаем, что

    • П(А|В) = P(A и B)/P(B)
    • P(A и B) = P(B) * P(A|B) ————–[1]

    Аналогично

    • П(Б|А) = P(B и A)/P(A) = P(A и B)/P(A) [В порядке совместной вероятности не материя]
    • P(A и B) = P(A) * P(B|A) ———[2]

    Из уравнение [1] и [2],

    • P(B) * P(A|B) = P(A) * P(B|A)
    • P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B ) [также известный как Теорема Байеса ]

    Теперь, если мы хотим найти P (Нет | Юнга).Тогда мы можем напрямую использовать полученную выше формулу. Потому что значения P(Young | No) , а также P(Young) будут получены из дерева вероятностей, и ввод приведенной выше формулы даст результат. мы узнаем больше о теореме Байеса в следующем посте.

    Условная вероятность Пример

    Объяснение

    Я попытался объяснить данную проблему, используя дерево вероятностей, как показано выше. Однако, если что-то непонятно, я записываю, что мне дают и что спрашивают. И как рассчитать то, что просят.

    P(A становится генеральным директором) = 0,2, P(B становится генеральным директором) = 0,3, P(C становится генеральным директором) = 0,4.

    Из вопроса нам нужно правильно вывести, что все более поздние вероятности являются условными вероятностями. Вот в чем хитрость. Поскольку они будут принимать полезные решения только после того, как станут генеральным директором. Следовательно, мы должны читать эти вероятности как ниже

    .
    • P(Принятие полезных решений | A выбран генеральным директором) = 0,5
    • P(Принятие полезных решений | B выбран генеральным директором) = 0.45
    • P(Принятие полезных решений | C выбран генеральным директором) = 0,6

    Итак, теперь P(принятие полезных решений) есть не что иное, как общая вероятность. Следовательно, будет вычислена сумма произведений каждой связанной вероятности ветви. (ветвь с полезными решениями, см. дерево). Следовательно:

    P(при наличии выгодных решений) = 0,2*0,05 + 0,3*0,45 + 0,4*0,6 = 0,475

    Теорема Байеса Пример

    Объяснение

    • P(письма приходят на аккаунт 1) = 0.70
    • P(письма приходят на аккаунт 2) = 0,20
    • P(письма приходят на аккаунт 3) = 0,10
    • P(письмо спам | доставлено на аккаунт 1) = P(Спам | аккаунт 1) = 0,01
    • P(спам | доставлено на учетную запись 2) = P(Спам | учетная запись 2) = 0,02
    • P(письмо является спамом | доставлено на учетную запись 3) = P(Спам | учетная запись 3) = 0,05

    Используя теорему Байеса,

    P(Учетная запись 2 | электронная почта является спамом) = P(Учетная запись 2) * P(Спам | Учетная запись 2)/P(Спам)

    Значения числителя известны, знаменатель P(Спам) известен как общая вероятность и рассчитывается путем взятия значений вероятности суммы произведений каждой ветви [ветви, заканчивающиеся на Спам, см. в дереве].

    P(Спам) = 0,70*0,01 + 0,20*0,02 + 0,10*0,05

    P(счет 2) = 0,20 [данные в вопросе]

    P( Спам | Аккаунт 2) = 0,02 [дан вопрос]

    Собрав все вместе, P( Аккаунт 2 | электронная почта является спамом) = 0,20 * 0,02/( 0,70 * 0,01 + 0,20 * 0,02 + 0,10 * 0,05)

    Ответ: P(Аккаунт 2 | электронная почта является спамом) = 0,25

    Итак, это все об условной вероятности для науки о данных. В следующих постах я подробно опишу теорему Байеса и распределения вероятностей, которые завершат серию «Вероятность для науки о данных».

    Свяжитесь с нами для получения более подробной информации и обсуждения.

    Нравится:

    Нравится Загрузка…

    Связанные

    Вероятностные правила

    Часто нам нужно вычислить вероятность события по известным вероятности других событий. В этом уроке рассматриваются некоторые важные правила которые упрощают эти вычисления.

    Примечание: Ваш браузер не поддерживает видео HTML5. Если вы просматриваете эту веб-страницу в другом браузере (т.е.g., последняя версия Edge, Chrome, Firefox или Opera), вы можете посмотреть видеообработку этого урока.

    Определения и обозначения

    Прежде чем обсуждать правила вероятности, мы сформулируем следующие определения:

    • Два события взаимно эксклюзивный или непересекающийся если они не могут произойти одновременно.
    • Вероятность того, что событие А произойдет при условии, что произошло событие В, называется условная вероятность .Условная вероятность события A при данном событии B обозначается символом P(A|B).
    • Дополнение события — это событие, которое не происходит. Вероятность того, что событие А произойдет 90 490, а не 90 491, обозначается P(A’).
    • Вероятность того, что события A и B оба произойдут, равна вероятность пересечения точек А и В. Вероятность пересечения Событий А и В обозначается Р(А ∩ В). Если события А и В взаимоисключающие, P(A ∩ B) = 0.
    • Вероятность того, что произойдут события A или B, равна вероятность союза А и В. Вероятность объединения событий A и B обозначается Р(А ∪ В) .
    • Если возникновение события А изменяет вероятность Событие B, затем События A и B зависят от . С другой стороны, если возникновение события А не меняется вероятность события B, то события A и B равны независимый .

    Правило вычитания

    В предыдущий урок, мы узнали два важных свойства вероятности:

    • Вероятность события находится в диапазоне от 0 до 1.
    • Сумма вероятностей всех возможных событий равна 1.

    Из этих свойств непосредственно следует правило вычитания.

    Правило вычитания . Вероятность что событие А произойдет, равно 1 минус вероятность того, что событие А произойдет , а не происходить.

    P(A) = 1 — P(A’)

    Предположим, например, что вероятность того, что Билл окончит колледж составляет 0,80. Какова вероятность того, что Билл не закончит колледж? По правилу вычитания вероятность того, что Билл не закончит учебу 1.00 — 0,80 или 0,20.

    Правило умножения

    Правило умножения применимо к ситуации, когда мы хотим знать вероятность пересечения двух событий; то есть мы хотим знать вероятность того, что два события (событие А и событие В) произойдут одновременно.

    Правило умножения Вероятность того, что произойдут события A и B, равна равна вероятности того, что событие А произойдет, умноженной на вероятность того, что Событие B происходит при условии, что произошло A.

    P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)

    Пример
    В урне 6 красных и 4 черных шарика.Два шарика вытащены без замена из урн. Какова вероятность того, что оба шарики черные?

    Решение: Пусть A = событие, состоящее в том, что первый шарик черный; и пусть В = случае, если второй шарик черный. Нам известно следующее:

    • В начале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, Р(А) = 4/10.
    • После первого выбора в урне 9 шариков, 3 из которых чернить.Следовательно, P(B|A) = 3/9.

    Следовательно, по правилу умножения:

    P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
    P(A ∩ B) = (4/10) * (3/9) = 12/90 = 2/15 = 0,133

    Правило сложения

    Правило сложения применяется к следующей ситуации. У нас есть два события, и мы хотим знать вероятность того, что любое событие произойдет.

    Правило сложения Вероятность того, что Событие A или событие B происходит равна вероятности того, что событие А произойдет, плюс вероятность того, что событие Произойдет B минус вероятность того, что произойдут оба События A и B.

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)

    Примечание: Ссылаясь на тот факт, что P(A ∩ B) = P(A)P( B | A ), Правило сложения также может быть выражено следующим образом:

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A)P( B | A )

    Пример
    Студент идет В библиотеку. Вероятность того, что она проверит (а) работу художественной литературы — 0,40, (b) научно-популярная работа — 0,30 и (c) обе художественные а документальная литература — 0,20. Какова вероятность того, что студент проверит художественное произведение, научно-популярная литература или и то, и другое?

    Решение: Пусть F = событие, когда учащийся проверяет художественную литературу; и разреши N = событие, когда учащийся проверяет научно-популярную литературу.Затем на основании правила сложения:

    P(F ∪ N) = P(F) + P(N) — P(F ∩ N)
    P(F ∪ N) = 0,40 + 0,30 — 0,20 = 0,50

    Проверьте свое понимание

    Задача 1

    В урне 6 красных и 4 черных шарика. Два шарика нарисованы с заменой из урны. Какова вероятность того, что оба шарики черные?

    (А) 0,16
    (Б) 0,32
    (В) 0,36
    (Г) 0,40
    (Д) 0,60

    Решение

    Правильный ответ А.Пусть A = событие, состоящее в том, что первый шарик черный; и пусть В = случае, если второй шарик черный. Нам известно следующее:

    • В начале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, Р(А) = 4/10.
    • После первого выбора заменяем выбранный шарик; так что есть еще В урне 10 шариков, из них 4 черных. Следовательно, P(B|A) = 4/10.

    Следовательно, по правилу умножения:

    P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
    P(A ∩ B) = (4/10)*(4/10) = 16/100 = 0.16

    Калькулятор вероятности

    Используйте калькулятор вероятности для расчета вероятности событие из известных вероятностей других событий. Вероятность Калькулятор бесплатный и простой в использовании. Калькулятор вероятности можно найти в Stat Trek. Главное меню на вкладке Инструменты статистики. Или вы можете нажать кнопку ниже.

    Калькулятор вероятностей

    Задача 2

    Из колоды обычных игральных карт случайным образом вытягивается карта. Вы выиграете 10 долларов, если карта пиковая или туз.Какова вероятность того, что вы выиграете игра?

    (A) 1/13
    (B) 13/52
    (C) 4/13
    (D) 17/52
    (E) Ничего из вышеперечисленного.

    Решение

    Правильный ответ C. Пусть S = событие, состоящее в том, что карта пиковая; и пусть А = случае, если карта является тузом. Нам известно следующее:

    • В колоде 52 карты.
    • Есть 13 пик, поэтому P(S) = 13/52.
    • Тузов 4, поэтому P(A) = 4/52.
    • Существует 1 туз, который также является пикой, поэтому P(S ∩ A) = 1/52.

    Следовательно, по правилу сложения:

    P(S ∪ A) = P(S) + P(A) — P(S ∩ A)
    P(S ∪ A) = 13/52 + 4 /52 — 1/52 = 16/52 = 4/13. аккумуляторные батареи. В целях безопасности и контроля точная оценка температуры каждого элемента батареи имеет жизненно важное значение.Используя спектроскопию электрохимического импеданса (EIS), температуру батареи можно определить по импедансу. Однако выполнение измерений EIS одновременно на одной и той же частоте на каждой ячейке в батарейном блоке вызывает перекрестные помехи в окружающих ячейках, что может привести к неточным измерениям EIS в батарейных блоках. Кроме того, токи, протекающие через пакет, мешают измерениям импеданса на уровне ячейки. В этой статье мы предлагаем, анализируем и проверяем метод оценки температуры батареи в аккумуляторном блоке при наличии этих возмущений.Во-первых, мы расширяем существующую и эффективную систему оценки температуры на основе импеданса для оценки температуры каждой ячейки в батарее при наличии перекрестных помех и токов (разряда). Во-вторых, предложенный метод анализируется и проверяется на двухэлементном аккумуляторном блоке, что является первым шагом к разработке этого метода для полноразмерного аккумуляторного блока. Моделирование методом Монте-Карло используется для поиска подходящих настроек измерения, которые дают небольшие ошибки оценки, и экспериментально продемонстрировано, что в диапазоне температур метод дает точность ± 1 ° C с точки зрения смещения при наличии обоих возмущений.(Среднюю) внутреннюю температуру батареи можно определить по импедансу батареи с помощью спектроскопии электрохимического импеданса. Поскольку в существующей литературе этот метод преимущественно исследуется на уровне ячейки, в этой статье метод оценки температуры на основе импеданса расширяется до его применения в аккумуляторных блоках в реальных приложениях. Таким образом, помехи, вызванные перекрестными помехами и токами заряда (разряда), включены в метод оценки, и экспериментальные результаты показывают, что расширенный метод дает точность +/- 1 градус Цельсия.

    Совместные, предельные и условные вероятности — Веб-сайт обзора статистики ENV710

    Вероятность: Совместные, предельные и условные вероятности — Веб-сайт обзора статистики ENV710 перейти к содержанию

    Вероятности могут быть маргинальными, совместными или условными. Понимание их различий и того, как ими манипулировать, является ключом к успеху в понимании основ статистики.

     

    Предельная вероятность : вероятность события (p(A)), ее можно рассматривать как безусловную вероятность.Это не обусловлено другим событием. Пример: вероятность того, что вытянутая карта будет красной (p(red) = 0,5). Другой пример: вероятность того, что вынутая карта равна 4 (p(четыре)=1/13).

     

    Совместная вероятность : p(A и B). Вероятность возникновения события A и события B. Это вероятность пересечения двух или более событий. Вероятность пересечения A и B можно записать как p(A ∩ B). Пример:  вероятность того, что на карте четыре и красное = p(четыре и красное) = 2/52=1/26.(В колоде из 52 карт две красные четверки: 4 черви и 4 бубны).

     

    Условная вероятность : p(A|B) — это вероятность наступления события A при условии, что событие B произошло. Пример: учитывая, что вы вытащили красную карточку, какова вероятность того, что это четверка (p(четыре|красная))=2/26=1/13. Таким образом, из 26 красных карточек (учитывая красную карточку) есть две четверки, поэтому 2/26 = 1/13.

     

     

     

    Приведенное ниже уравнение является средством манипулирования совместными, условными и пограничными вероятностями.Как вы можете видеть в уравнении, условная вероятность A при данном B равна совместной вероятности A и B, деленной на маргинал B. Давайте используем наш пример с картой для иллюстрации. Мы знаем, что условная вероятность четверки при красной карточке равна 2/26 или 1/13. Это должно быть эквивалентно совместной вероятности красного и четырех (2/52 или 1/26), деленной на предельное P(красное) = 1/2. И низко и вот, это работает! Так как 1/13 = 1/26 разделить на 1/2. Для диагностического экзамена вы должны уметь манипулировать совместными, пограничными и условными вероятностями.

     

     

     

     

    Теорема Байеса: уравнение, которое позволяет нам манипулировать условными вероятностями. Для двух событий, A и B, теорема Байеса позволяет нам перейти от p(B|A) к p(A|B), если мы знаем 90 545 предельных вероятностей исходов A и вероятность B при заданных исходах of A. Вот уравнение теоремы Байеса для двух событий с двумя возможными исходами (A и не A).

     

    Предположим, мы знаем, что 1% женщин старше 40 лет имеют рак молочной железы.

    [р(рак)=0,01]

     

    Давайте предположим, что 90% женщин, у которых есть рак молочной железы, получат


    положительный результат на рак молочной железы на маммограмме.

     

    [p(положительный тест|рак)=0,9]

     

    Восемь процентов женщин, у которых нет рака, также будут иметь положительный результат теста.

    [p(положительный тест|нет рака)=0,08]

    Какова вероятность того, что у женщины рак, если у нее положительный результат [p(рак|положительный тест)]?

     

    Будем называть p(рак) = P(A), а P(положительный тест) = P(B).Мы хотим знать P(A|B) – вероятность заболевания раком, если у вас положительный тест.

     

    Используя теорему Байеса, мы подсчитали, что вероятность того, что у женщины рак молочной железы, при положительном результате теста равна примерно 0,10. Это имеет интуитивно понятный смысл, поскольку (1) этот результат превышает 1% (процент рака молочной железы среди населения в целом).

     

     

     

     

    Подписаться Элизабет А.Олбрайт, доктор философии в Твиттере @enviro_prof. Если вы нашли эту страницу полезной, пожалуйста, дайте ссылку или поделитесь ею через Facebook или Twitter. Спасибо!


     

     

    Фото предоставлено Мэтью Дж. Киди, Тринидад и Тобаго.

     

     

    Теорема Байеса, правило суммы и правило произведения

    В этом посте вам нужно слушать и действительно изучать основы.Все современные подходы к машинному обучению используют теорию вероятностей. AlphaStar — это пример, когда DeepMind создал множество различных ИИ, используя модели нейронных сетей, для популярной игры StarCraft 2. Например, эти ИИ использовали вероятность, чтобы выяснить, выиграет ли он следующий бой или где будет следующая атака врага. , а затем использовал эту информацию как часть своего решения.

    Вам не нужны никакие другие предварительные знания, прежде чем читать это. Это вводится снизу вверх.

    1. Введение в логику
    2. Обзор формул
    3. Правило сумм
    4. Правило произведения
    5. Теорема Байеса
    6. Пример 1
    7. Пример 2
    8. Маргинализация
    9. Пример 3 9000


    Введение в логику

    Откуда мы можем проследить вероятность, спросите вы. Вероятность восходит к логическим рассуждениям. На ум приходят такие утверждения, как мой велосипед был украден’ и ‘мой велосипед находится не там, где я его оставил , поскольку они могут быть как истинными, так и ложными.В логических рассуждениях вы также используете противоположное истине, например. мой велосипед НЕ был украден . Они преобразуются в два утверждения: A и B .

    Способ, которым мы могли бы логически рассуждать об этих утверждениях, состоит в том, чтобы установить, какие из них истинны, а какие ложны.

    Если мой велосипед украли, то он точно не там, где я его оставил.
    Или, если А истинно, то Б истинно.

    Что произойдет, если мы поменяем порядок операторов A и B?

    Если моего велосипеда нет там, где я его оставил, значит, его почти наверняка украли?
    Или, если B истинно, A почти наверняка истинно?

    Следующее, о чем мы могли бы начать рассуждать, это противоположность утверждению, т.е.грамм. противоположностью «мой велосипед не там, где я его оставил» будет «мой велосипед там, где я его оставил».

    Еще одно утверждение с «отрицанием», означающее НЕ или противоположное, как я объяснил.

    Если мой велосипед находится там, где я его оставил, мой велосипед не был украден
    Или, если $\overline{B}$ истинно, то $\overline{A}$ истинно.

    Другими словами, мы получили бы степень уверенности. Иными словами, мы бы начали рассуждать о том, какова вероятность того, что какое-то событие является истинным — какова может быть вероятность того, что мой велосипед украли, если мой велосипед находится не там, где я его оставил?


    Говоря языком степени уверенности, у нас есть вероятности, в которых есть ответ на вышеупомянутый вопрос.Пишем так:

    Какова вероятность того, что мой велосипед украли, если он находится не там, где я его оставил?
    Или, если B истинно, какова вероятность того, что A истинно?
    Или, $P(A|B)$

    Последнее утверждение гласит: «Какова вероятность того, что А истинно, при условии, что В истинно?»

    Можно также сказать, что вероятность того, что А истинно при условии, что В истинно, больше, чем вероятность того, что А истинно при условии, что В неверно. Проще говоря, вероятность того, что мой велосипед был украден, если мой велосипед находится не там, где я его оставил, больше, чем вероятность того, что мой велосипед украдут, если мой велосипед находится там, где я его оставил.

    $$ P(A|B) > P(A|\overline{B}) $$

    В этих простых терминах мы можем рассуждать о неопределенности в этом мире, как я только что показал вам.


    Теперь нам нужно перенести эти простые термины в теорию вероятностей, где правило сумм, произведение и теорема Байеса — это все, что вам нужно.

    A, B и C могут быть любыми тремя предложениями. Мы могли бы выбрать C как логическую константу true, что означает $C=1$. Обратите внимание, что вероятность чего-то измеряется с точки зрения истинности или ложности, что на бинарном языке переводится как 1 или 0.Когда вероятность чего-то приближается к 1, это означает, что это очень вероятно, а когда вероятность чего-то приближается к 0, это означает, что это очень маловероятно.

    Отличный способ визуализировать эту форму отрицания — это площадь некоторого прямоугольника, где мы можем иметь степень уверенности в S. Скажем, $S=0,8$, и тогда сумма 1 будет равна $\ верхняя черта{S}=0,2$. Это может не иметь смысла, но всегда думайте о том, что нам нужно добраться до 1, тогда будет более ясно, что «противоположное» 0.8 это 0,2.

    Ниже приведена таблица, кратко поясняющая значение каждого термина. Взгляните на это, это одна из основных теорий вероятности языка.

    Срок Обозначение Объяснение
    Отрицание $\overline{A}$ не — истина, если А ложно
    Соединение $АВ$ и — истина, если истинны и A, и B
    Разделение $А+В$ или — верно, если верно A или B

    Я рассмотрел только отрицания, но я думаю, что союзы и дизъюнкции также имеют смысл.Чтобы A и B были истинными, мы обозначаем, что $AB$. Чтобы A или B были истинными, мы обозначаем, что $A+B$.

    Формулы

    Вот все формулы, которые вам нужно знать.

    $$ Сумма\, правило:\\ P(A|C)+P(\overline{A}|C)=1 $$

    $$ Произведение\, правило:\\ P(AB|C)=P(B|AC)P(A|C) $$

    $$ Теорема Байеса: \\ P(A|BC)=\frac{P(B|AC)P(A|C)}{P(B|C)} $$

    Позвольте мне объяснить каждый из них.

    Правило сумм

    Правило сумм говорит нам, что вероятность события A и отрицания (противоположности) этого события $\overline{A}$ равны единице.Видите ли, C может быть константой, которую мы приравняем к 1. Это означает, что C исчезает из уравнения, поскольку оно истинно (1 — это то же самое, что истинно). Помните, что мы спрашиваем: «Какова вероятность того, что А при условии, что С истинно?», поэтому, если С истинно, мы можем удалить его.

    $$ P(A|C)+P(\overline{A}|C)=1 \Leftrightarrow P(A)+P(\overline{A})=1 $$

    Событие A может быть любым числом от 0 до 1; это означает, что если A равно 0 (ложь), $\overline{A}$ равно 1 (истина), потому что именно так работает отрицание.Это просто означает противоположность бинарного оператора.

    Правило произведения

    То же, что применяется к правилу сумм, применяется и к правилу произведения. Это означает, что буква C снова исчезает, поскольку она выбрана как истина, то есть мы просто выносим ее за скобки.

    $$ P(AB|C)=P(B|AC)P(A|C) \Leftrightarrow P(AB)=P(B|A)P(A) $$

    Теорема Байеса

    Сначала я приведу уравнение, а потом объясню.

    $$ P(A|BC)=\frac{P(B|AC)P(A|C)}{P(B|C)} \\ = \frac{P(B|AC)P(A|C)}{P(B|AC)P(A|C)+P(B|\overline{A}C)P(\overline{A }|С)} \\ \Leftrightarrow P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$

    Помните, что C можно положить равным 1, то есть мы убираем C из уравнения.Для завершения этого требуется много примеров, так что оставайтесь со мной здесь, пока я объясню, как можно использовать эту формулу. Сначала позвольте мне привести простой пример, а затем перейти к более сложному примеру. За этим может быть довольно сложно следить, так что держитесь крепче.

    Пример 1:

    Какова вероятность пожара, когда вы видите дым? Вы знаете эти факты:

    • Пожары случаются в 1% случаев, когда вы видите дым
    • Дым, вероятно, возникает в 10% случаев
    • Дым, вероятно, возникает в 90% случаев, когда есть огонь

    Первое, что мы могли бы сделать, это записать вероятность на нашем языке, языке теории вероятностей.Мы можем использовать F для огня и S для дыма, чтобы получить предложение $P(F|S)$, то есть если есть дым, насколько вероятно, что это огонь?

    Вот здесь и пригодится теорема Байеса.

    $$ P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \Leftrightarrow P(F|S)=\frac{P(S|F)P(F)} {П(С)} $$

    Поскольку мы знаем все факты, мы получаем, что вероятность дыма при условии, что мы видим огонь, равна $P(S|F)=0,90$. А вероятность пожара равна $P(F)=0.01$, а вероятность наличия дыма $P(S)=0,10$. Чтобы перевести это в формулу

    $$ P(F|S)=\frac{P(S|F)P(F)}{P(S)}=\frac{0,90 \times 0,01}{0,10}=0,09=9\% $$

    Это означает, что когда мы видим дым, в 9% случаев это, скорее всего, огонь.

    Пример 2:

    Какова вероятность истинно положительного результата на заболевание? Вы знаете эти факты:

    • Тест на заболевание правильно определяет его в 99% случаев (истинно положительный)
    • Тест на заболевание неправильно определяет его в 2% случаев (ложноположительный)
    • 1% случаев население страдает от болезни

    Прежде всего мы должны выяснить, что здесь есть что.Начнем с каждого пункта. Здесь мы используем T для истинного положительного результата, F для ложноположительного результата и D для болезни. Вероятность истинно положительного результата при наличии у вас заболевания составляет $P(T|D)=0,99$. Вероятность ложноположительного результата при наличии у вас заболевания составляет $P(F|D)=0,02$. Вероятность заболевания $P(D)=0,01$. Тогда вероятность отсутствия заболевания будет равна $P(\overline{D})=1-P(D)=0,99$.

    Обратите внимание, что $P(T|D)=0,99$ равно $P(F|\overline{D})=0,99$, а также $P(F|D)=0.02$ совпадает с $P(T|\overline{D})=0,02$. Это потому, что это отрицание, то есть противоположное утверждению. $P(T|\overline{D})$ означает «вероятность истинно положительного результата при отсутствии заболевания». Это запутанная логика, но позвольте ей полностью усвоиться. Попробуйте рассуждать на листе бумаги, как это может быть.

    Чтобы включить это в формулу теоремы Байеса, нам не нужно ничего, кроме того, что я только что изложил для вас, но сначала позвольте мне суммировать некоторые важные моменты:

    • $P(T|D)=0.99$, или $P(F|\overline{D})=0,99$
    • $P(F|D)=0,02$, или $P(T|\overline{D})=0,02$

    Вы может подумать, что мы можем уменьшить запутанность, и мы смогли это сделать. Мы могли бы свести проблему к рассмотрению только истинных положительных результатов… то есть полностью удалить F. С этого момента нас не волнует F, так как есть лучший способ обозначить его. Кроме того, позвольте мне подытожить остальную часть того, что мы выяснили:

    • $P(T|D)=0,99$
    • $P(T|\overline{D})=0,02$
    • $P(D)= 0.01$
    • $P(\overline{D})=0,99$

    Теперь, когда мы упростили запутанную логику, мы можем подставить это в формулу теоремы Байеса. Напомним себе, что было задано в вопросе.
    Какова вероятность истинно положительного результата заболевания? Или в терминах теоремы Байеса: $P(D|T)$. Давайте подставим формулу и сыграем :

    $$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {P (B)} \Leftrightarrow P(D|T)=\frac{P(T|D)P(D)}{P(T)} = \фракция{0,99 \раз 0.01}{П(Т)} $$

    Все выглядит хорошо, верно? Неправильный! Видите ли, нам нужно расширить термин $P(T)$, поскольку мы на самом деле не знаем, что это такое. Мы не можем присвоить ему значение, как мы могли бы с другими терминами. Давайте напомним себе и о правиле сумм, и о правиле произведения, потому что для решения этой задачи нам нужны оба.

    На самом деле это кроется в определении теоремы Байеса, которое я вам не дал полностью. При выводе теоремы Байеса использовалось правило произведения и суммы, поэтому вы могли бы почувствовать себя обманутыми, если бы читали об этой теореме в другом месте.

    $$ P(A|BC)=\frac{P(B|AC)P(A|C)}{P(B|C)} \Leftrightarrow P(A|B)= \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \\ \Leftrightarrow \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})} $$

    Чтобы представить это в контексте, то, что нам нужно в нашем знаменателе в дроби, это именно то, что было получено из теоремы Байеса. Давайте применим это к нашему случаю, не так ли!!

    $$ P (D | T) = \ frac {0,99 \ times 0,01} {P (T | D) P (D) + P (T | \ overline {D}) P (\ overline {D})} \\ = \ гидроразрыва {0.99 х 0,01 {0,99 х 0,01 + 0,02 х 0,99} = 0,33 = 33 % $$

    Суть того, чему я вас здесь учил, заключается в том, что вы можете использовать теорему Байеса по-разному.


    Маргинализация и теорема Байеса

    Далее мы должны принять тот факт, что также могут произойти небинарные события (или предложения), и нам нужен какой-то способ вычислить вероятность этого. Например, при многократном бросании игральной кости.

    Нам нужно расширение A в знаменателе в теореме Байеса, поскольку, когда A не является бинарным (имеется в виду, что это может быть не только A или $\overline{A}$), это также важно в случае, когда мы рассматриваем что-то не бинарное.{n}P(B|A_j)P(A_j)} $$

    Пояснение на картинке ниже. Но позвольте мне напечатать это здесь.
    Теперь у нас есть ситуация, когда A имеет $A_1,…,A_n$ случаев (читай: от $A_1$ до $A_n$ случаев). Но это имеет смысл использовать только тогда, когда есть 3 или более случаев, так что помните об этом.

    Мы выбираем любой случай из n доступных случаев, вероятность которого мы хотим найти, затем мы заменяем $A_i$ на тот случай, который вы выбрали в формуле. Затем, когда мы дойдем до части в зеленом прямоугольнике, в знаменателе у нас будет большая греческая буква сигма.Этот символ $\sum$ означает «сумма», поэтому мы суммируем от $j=1$ до $n$.

    В переводе на английский язык, мы суммируем от случая 1 ($j=1$) до случая n, сумма означает, что мы заполняем значение для $P(B|A_j)P(A_j)$ для каждого случая $j$ и добавить каждый случай вместе итеративно. Это означает, что мы начинаем с случая 1, заполняем значения, затем со случая 2, заполняем значения вплоть до случая n. Затем мы складываем их все, чтобы получить окончательный результат.


    Пример 3:

    Какова вероятность того, что покупатель, приехавший из Копенгагена, потратит на какой-либо товар больше медианы, чем остальные покупатели? Для примера предположим, что это мясо.Это собирается из набора данных всех клиентов. Мы знаем эти факты:

    • Люди из Копенгагена потратили 19,5%, жители Гонконга потратили 7,8%, а остальные (в мире) потратили 72,7%.
    • 48,4% жителей Копенгагена тратят больше среднего
    • 35,2% жителей Гонконга тратят больше среднего
    • 56,7% жителей остального мира тратят больше среднего

    Итак, как бы мы поступили? проблема? Давайте начнем с определения различных предложений:

    • Вероятность того, что клиент из Копенгагена купит больше, чем медиана, равна $P(M|C)=0.484 $, где M — медиана, а C — Копенгаген
    • Вероятность того, что покупатель из Гонконга купит больше, чем медиана, равна $P(M|H)=0,352$, где M — медиана, а H — Гонконг
    • Вероятность покупатель из остального мира, покупающий больше медианы, равен $P(M|R)=0,567$, где M — медиана, а R — остальной мир
    • $P(C)=0,195$
    • $P( H)=0,078$
    • $P(R)=0,727$

    В этой задаче у нас есть 3 случая – Копенгаген, Гонконг и остальной мир.

    0 comments on “Теория вероятности таблица: Таблицы распределений

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.