Действия с неравенствами: Действия с неравенствами | Алгебра

основные ошибки и полезные лайфхаки

Вы умеете решать неравенства? Уверены?

Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.

При решении неравенств мы можем:

1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны

3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.

4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).

5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.

Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.

1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.

Например, в неравенстве > нельзя поделить левую и правую часть на . Правильный способ: перенести всё в левую часть неравенства, разложить на множители и решить неравенство методом интервалов.

> 0

> 0

Получаем, что < 0 или > . «Сократив» на , который может быть отрицательным, мы не получили бы правильного ответа.

2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.

Как, например, решить неравенство

>

Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.

> 0

Разложим левую часть на множители.

> 0

Решим неравенство, пользуясь свойствами квадратичной функции , и запишем ответ: < или > .

Запомним: ответы типа « > » абсурдны.

Как решать неравенство > 0? Это типичная «ловушка для абитуриентов». Так и хочется сказать, что > 0 (то есть извлечь корень из неравенства). Но этого делать нельзя. Выражение положительно при всех , кроме нуля. Правильное решение неравенства: .

4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.

5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.

6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.

7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.

При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.

Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.

А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.

Решите неравенство

Запишем ОДЗ:

Что будет, если действовать «по шаблону» — то есть собрать всё в левой части неравенства и привести к одному знаменателю? — Будет много вычислений и выражение четвертой степени.

Может быть, сделаем проще? Представим дробь в виде суммы дробей и .

Продолжаем упрощать левую часть:

Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.

Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.

Ответ: .

Сложение и умножение неравенств. Примеры и решение

Математические выражения, соединённые одинаковыми знаками неравенства, называются неравенствами одного знака или неравенствами одинакового смысла:

x + 5 > y   и   25 > y — 2   — неравенства одного знака.

Математические выражения, соединённые разными знаками неравенств, называются неравенствами противоположных знаков или неравенствами противоположных смыслов:

x + 5 < y   и   25 >

y — 2   — неравенства противоположных знаков.

Сложение

Неравенства одного знака можно почленно складывать, в результате получится неравенство того же знака.

+a > b+a < b
c > d      и      c < d
a + c > b + da + c < b + d

Пример. Сложить почленно верные неравенства:

7 < 10   и   1 < 2.

Решение:


Умножение

Неравенства одного знака с положительными членами можно почленно перемножать, в результате получится неравенство того же знака.

×a > b×a < b
c > d      и      c < d
a · c > b · da · c < b · d

Пример. Перемножить неравенства:

4 > 2   и   5 > 3.

Решение:


Общие сведения о неравенствах

Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

Предварительные навыки

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

Пример: 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.


Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 8. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.


Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5».

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

2 < 5 или 2 = 5

Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.


Двойное неравенство

Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9


Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

Неравенство > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

Если бы нам было дано нестрогое неравенство ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.


Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1. Решить неравенство 2> 6

Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2> 6 получится верное неравенство.

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2> 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2> 6. 

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

В левой части осталась переменная x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство > 3 будет верным.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Отметим, что неравенство > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

А поскольку неравенство > 3 равносильно исходному неравенству 2> 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству > 3, будут подходить и неравенству 2> 6. Покажем это.

Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство > 3, а потом в исходное 2> 6.

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства > 3. Знак  в математике означает бесконечность.

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.


Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ ≤ 8 записывается так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

Множество решений неравенства 2 ≤ ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

Изобразим числовой луч, заданный неравенством ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≥ 3.

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

[ ; +∞ )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

Запишем ответ к неравенству ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

x ∈  [ 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≥ 3 является нестрогим.

Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, которые меньше a, включая само число a. 

К примеру, если = 2, то неравенство примет вид ≤ 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства ≤ 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≤ 2.

Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

Запишем ответ к неравенству ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 ]

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ 2 является нестрогим.

Открытый числовой луч

Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

Пусть = 3. Тогда неравенство примет вид > 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

( ; +∞ )

Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( 3 ; +∞ )

В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a, исключая число a. 

К примеру, если = 2, то неравенство примет вид x < 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x < 2. Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

( −∞ ; a )

Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈  ( −∞ ; 2 )

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.

Отрезок

Отрезком называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ ≤ 8 является нестрогим.

Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

[ a ; b ]

Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

Интервал

Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Изобразим интервал на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < < 8 не принадлежат множеству его решений.

На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

( a ; b )

Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < < 8.

Полуинтервал

Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b.

Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

a ; b )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  [ 2 ; 8 )

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < ≤ 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 < ≤ 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: ( a ; b ]. Запишем ответ к неравенству 2 < ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈  ( 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.


Изображение числовых промежутков на координатной прямой

Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством > 5

Вспоминаем, что неравенством вида a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:


Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:


Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:


Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

Неравенством вида a < x < b, задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5, а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5, но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:


Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [−1; 2) и [2; 5]

В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка. Промежуток [−1; 2) является полуинтервалом, промежуток [2; 5] — отрезком.

У полуинтервала [−1; 2) левая граница принадлежит ему, а правая нет.

А у отрезка [2; 5] обе границы принадлежат ему.

Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2) и [2; 5], первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:

Граница 2 закрашена потому что она входит в промежуток [2; 5].


Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.

Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:


Примеры решения неравенств

Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

Например, неравенство 2> 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

Неравенство 2> 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство > 2

Получившееся неравенство > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

Пример 1. Решить неравенство − 7 < 0

Прибавим к обеим частям неравенства число 7

− 7 + 7 < 0 + 7

В левой части останется x, а правая часть станет равна 7

< 7

Путём элементарных преобразований мы привели неравенство − 7 < 0 к равносильному неравенству < 7. Решениями неравенства < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)

x ∈  ( −∞ ; 7 )

На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2

2 < 7

Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

4 < 7

Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

А поскольку неравенство < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство


Пример 2. Решить неравенство −4x < −16

Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству > 4. Решениями неравенства > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Изобразим множество решений неравенства > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

3− 6y> 1 − 1

Приведём подобные слагаемые:

−3y > 0

Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 4. Решить неравенство 5(− 1) + 7 ≤ 1 − 3(+ 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

Решениями неравенства  являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

 


Пример 5. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6> 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

Решениями неравенства  являются все числа, которые больше . Граница  не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является строгим.

Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 6. Решить неравенство 

Умножим обе части на 6

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5< 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

Решениями неравенства < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является < 6 строгим.

Изобразим множество решений неравенства < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 7. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 10

В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

Перенесем члены без x в правую часть

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 10

Решениями неравенства ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является ≤ 3,5 нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 8. Решить неравенство 4 < 4< 20

Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4< 20

Решениями неравенства 1 < < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < < 5 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства 1 < < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2≤ 0

Разделим все члены неравенства на −2

Получили неравенство 0,5 ≥ ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

0 ≤ ≤ 0,5

Решениями неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ ≤ 0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 10. Решить неравенство 

Умножим обе неравенства на 12

Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 2

Решениями неравенства ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ −0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 11. Решить неравенство 

Умножим все части неравенства на 3

Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Когда решений нет

Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6> 2(3+ 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6> 6+ 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6− 6> 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

Получили неравенство 0> 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0> 2 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0> 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6> 2(3+ 1).


Пример 2. Решить неравенство 

Умножим обе части неравенства на 3

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0< −8 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0< −8, то не имеет решений и исходное неравенство .

Ответ: решений нет.


Когда решений бесконечно много

Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

Пример 1. Решить неравенство 5(3− 9) < 15x

Раскроем скобки в правой части неравенства:

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3− 9) < 15x имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3− 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.


Пример 2. Решить неравенство: 31(2+ 1) − 12> 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведём подобные слагаемые:

Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2+ 1) − 12> 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( −∞; +∞ )


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:

Задание 2. Решите неравенство:

Задание 3. Решите неравенство:

Задание 4. Решите неравенство:

Задание 5. Решите неравенство:

Задание 6. Решите неравенство:

Задание 7. Решите неравенство:

Задание 8. Решите неравенство:

Задание 9. Решите неравенство:

Задание 10. Решите неравенство:

Задание 11. Решите неравенство:

Задание 12. Решите неравенство:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Числовые неравенства и их свойства

Начало урока

(4 мин)

Приветствие учащихся

Психологический настрой  

Я улыбнусь вам, а вы улыбнетесь друг другу. И подумаете: как хорошо, что мы сегодня здесь все вместе. Мы скромны и добры, приветливы и ласковы. Мы все здоровы.

— Глубоко вдохните и выдохните. 

Выдохните вчерашнюю обиду.

Я желаю всем нам хорошего урока. 

Сегодня на уроке мы исследуем свойства числовых неравенств и будем решать примеры К концу урока вы сможете выполнять действия с неравенствами Метод «Да и нет»(Каждому обучающемуся раздаются карточки если да — он поднимает зеленую карточку , если нет -красную ). • Если перед скобками стоит знак -,то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняются (нет) • Чтобы умножить алгебраическую сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить (Да ) • Слагаемые,имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми (Да) • Чтобы привести подобные слагаемые,надо : 1) сложить их коэффициенты (да) • Запись суммы ас+вс в виде произведения (а+в)с называют вынесением общего множителя за скобки (да). Ф.О учителем (учащиеся правильно ответившие на вопрос,поощряются смайликами )

Карточки зеленого и красного цвета, интерактивная доска      

Середина урока

(18 мин)

Работа в группах

Метод «Вращающиеся станции» (Класс поделен на несколько» станций». Каждая группа находится около своей «станции.» Участникам отведено время не более 6 минут) для обсуждения новой темы и для фиксирования новой темы. По истечении времени группы переходят к другим станциям, где продолжают обсуждение нового материала.

Станция «Правило»

Числовым неравенством называется выражение вида

a< b, a≤ b, для обсуждения новой а>b ,а   

 ≥b

где a≤ b ⇔ a< b, a= b,

и а ≥b ⇔ a> b, a= b

Решить неравенство — значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.  

Станция «Свойства неравенств»

Основные свойства. a < b ⇔ b > a a < b и b < c ⇔ a < c a < b ⇔ a + c < b + c или a — c < b — c a < b и c < 0 ⇔ a⋅c> b⋅с или а/c >b/c a < b и c > 0 ⇔a⋅c<b⋅c или a/c<( b)/c a + b > c ⇔a — c > — b a >b ⇔ — a < — b Станция » Действия с неравенствами» a < b и c < d ⇔ a + c < b + d a < b и c > d ⇔ a — c > b — d a > b >0 и c > d >0 ⇔a⋅c>b⋅d Ф.О самопроверка по дескрипторам Выбери верное утверждение: 1) 5,6>4,3; 2) -9,7>6,5; 3) -0,9>1; 4) 0,1> 0 . Дескрипторы: знают правило числового неравенства; определяют верное неравенство; представляют на координатной прямой. Физминутка Потрудились- отдохнем, Встанем- глубоко вздохнем. Руки в стороны, вперед, влево, вправо, поворот.  

Три наклона, прямо встать, Руки вниз, затем поднять, Руки плавно опустили, всем улыбку подарили ИР. Дифференцированные задания Цель: проверить усвоение учащимися нового материала. Уровень А Сравните числа 1) х-у=0 2) -2,5 и -2,3 3) -2 и 5 Уровень В 1) Прибавьте к обеим частям неравенства -8,5 <1,7 число -6 2) Вычислите из обеих частей неравенства -91/12 <20 число 16 3) Запишите верное неравенство, которое получится если умножить обе части неравенства -4,8<2,5 на число 3 Уровень С 1)Докажите, что ,если а>1,8 и в >9,то1) 5а+4в>38 Дескрипторы: сравнивает числа применяет правило сложения, вычитания, умножения чисел, имеющих разные знаки. доказывает двойное неравенство Взаимопроверка. Ответы на ИД  

Рефлексия

(5 мин)

Метод «Светофор»

Учитель предлагает ученикам установить по результатам их работы степень достижения ими учебной цели и приобретение уверенности в своих знаниях.

• Зеленый – цели достигнуты, уверенно движутся вперед.

• Желтый – частичная динамика, достигнуты отдельные элементы успеха, не достаточная степень уверенности, обращаются за советом, помощью.

• Красный – цели не достигнуты, находятся в замешательстве, о чем ставят в известность учителя. Данный метод поможет учителям на начальной стадии обнаружить трудности и позволит ученикам проявлять оперативность в своевременном обращении за помощью к учителю.  

Учебное пособие математика 6 класс

Раздаточный материал  

§ Как решать линейные неравенства

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой знак сравнения: «>», «», «≤» или «≥».

Рассмотрим пример линейного неравенства.

x − 6

Так как в неравенстве «x − 6 » неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Как решить линейное неравенство

Важно!

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом «1».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Запомните!

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x − 6 x + 6
x

Итак, мы получили ответ к неравенству «x ». Но что означает такой ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

Запомните!

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

  • если неравенство строгое, то число отмечается как «пустая» точка. Это означает, что число не входит в область решения;
  • если неравенство нестрогое, то число отмечается как «заполненная» точка. Это означает, что число входит в область решения.

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x » все решения неравенства, то есть область слева от числа «14».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство «x − 6 » даст верный результат.

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 ».

12 − 6          6 (верно)

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Важно!

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее «14») будет являться решением неравенства «x − 6 ».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».

Запомните!

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

  • Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то
    знак самого неравенства остаётся прежним.
  • Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то
    знак самого неравенства меняется на противоположный.

Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.

          2x > 16     | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)      
x > 8        
Ответ: x > 8

Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x ≥ 0

Используем правило переноса.

9 − 3x ≥ 0
−3x ≥ −9

Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9
                   −3x ≥ −9      | :(−3)
−3x : (−3) ≤ −9 :(−3)
x ≤ 3
Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств

  • 4(x − 1) ≥ 5 + x
    4x − 4 ≥ 5 + x
    4x − x ≥ 5 + 4
           3x ≥ 9       | (:3)
    3x (:3) ≥ 9 (:3)
    x ≥ 3
    Ответ: x ≥ 3
  • x + 2 x + 2 x − 3x −2x −2x 0 | :(−2)
    −2x : (−2) > 0 : (−2)
    x > 0
    Ответ: x > 0

Показательные неравенства — как решать? Примеры, методы решения и свойства

Определение показательных неравенств

Показательными считаются неравенства, которые включают в себя переменную, стоящую в показателе степени: .

Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.

Для изучения этой темы стоит повторить:

И, конечно, для решения смешанных неравенств, включающих в себя тригонометрические и логарифмические, также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = ax, где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а положительно, но не равно единице. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения функции всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число (большее нуля) во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2-2 = 4, 2-4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х верно неравенство ax > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

  • , когда функция возрастает, т. е. ;

  • , когда функция убывает, т. е. .

На этом свойстве показательных неравенств так или иначе основываются все методы решения, и сейчас мы разберемся, как им пользоваться.

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости…

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

3х > 9

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

3х > 32

х > 2

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

0,5х > 0,52

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,52 = 0,25;

0,53 = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х < 2. Неудивительно, если вспомнить, о чем мы писали в самом начале, когда рисовали графики возрастающей и убывающей показательной функции.

Если а > 1, то , и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени.

Если 0 < а < 1, то , т. е. одинаковые основания по-прежнему можно убрать, но при этом необходимо поменять знак неравенства.

Для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

3х < 243

3х < 35

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

х < 5

Ответ: х ∈ (−∞; 5).

Пример 2

, обратите внимание — мы поменяли знак, поскольку .

Ответ: .

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

9х + 27 < 12 × 3х

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3х, обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

9х + 27 < 12 × 3х

(3х)2— 12 × 3х + 27 < 0

3х = у при y > 0

y2 — 12y + 27 < 0

3 < y < 9

Пришло время выполнить обратную замену.

3 < 3х < 9

31 < 3х < 32

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 < х < 2

Ответ: х ∈ (1;2).

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Преобразуем неравенство:

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Поскольку выражение 2х + 2 всегда больше нуля, мы можем домножить на него все неравенство и сократить.

и

Ответ:

Пример 2

Обозначим 3х через новую переменную y:

3х = y, при условии что y > 0.

Применим метод интервалов и получим:

Произведем обратную замену:

Поскольку 3 больше 1, знаки не меняем:

Ответ: .

Однородные показательные неравенства

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2х и 5х. Следовательно, можно разделить обе части на 2 или 5. Выберем 5, т. е. 25х. В итоге у нас получится:

Если обозначить новой переменной y (при условии, что y > 0), получим квадратное неравенство:

y2— y — 2 > 0

y1 > 2

y2 < -1

Исходя из этого, у нас образуется следующее неравенство:

Поскольку меньше 1, функция убывающая и мы должны поменять знак:

Ответ: .

Пример 2

Но где здесь одинаковая сумма степеней? Сейчас будет:

Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Но для использования данного метода точки пересечения должны быть целыми числами. Если бы мы имели дело с уравнением, такие точки стали бы его корнями.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

Итак, нам нужны графики двух функций: и , а также точка их пересечения.

Очевидно, что абсциссой точки пересечения является х = 1, при этом график функции ниже в области .

Ответ: .

Пример 2

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция находится выше — диапазон значений х от -∞ до -1.

Ответ: .

Оценить число в неравенствах

Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные. Требуется оценить результат арифметических действий над этими переменными (т. е. получаемые новые числа).

Например, даны два таких исходных двойных неравенства:

  • –1 < p < 10;
  • 2,5 < q < 3,2.

Требуется оценить числа, которые получаются в результате следующих действий над переменными:

  • 0,1 × p,
  • 1/q,
  • p + q,
  • q – p,
  • p3.

При оценке числа 0,1p воспользуемся следующими свойством числовых неравенств:

  • Если a < b и c > 0, то ac < bc. В данном случае c = 0,1.
  • Если a < b и b < c, то a < c. В данном случае b = 0,1p, a = –1 × 0,1, c = 10 × 0,1.

На основе этих свойств мы можем умножить все части исходного двойного неравенства (не меняя знаки сравнения) на 0,1 и таким образом получить оценку для числа 0,1p:

–1 × 0,1 < 0,1p < 10 × 0,1
–0,1 < 0,1p < 1

То есть, число 0,1p лежит в пределах от –0,1 до 1.

При оценке числа 1/q следует воспользоваться свойством числовых неравенств, описывающим дроби:

  • Если a < b и оба числа положительны, то 1/a > 1/b.

Отсюда можно заключить, что в исходном неравенстве следует поменять знаки сравнения на обратные:

1 / 2,5 > 1/q > 1/3,2

Запишем неравенство наоборот:

1/3,2 < 1/q < 1/2,5

Выполним действия:

0,3125 < 1/q < 0,4

Для оценки числа p + q используются такое свойство числовых неравенств:

  • Если a < b, то a + c < b + c. Пусть в данном случае c = q.

Оба числовых неравенства складываются почленно:

–1 + 2,5 < p + q < 10 + 3,2
1,5 < p+q < 13,2

Число q – p можно представить в виде суммы: –p + q и решить также как выше. Однако по сравнению с предыдущим числом (p + q), здесь p сначала надо умножить на –1. Для выполнения этого действия воспользуемся таким свойством числовых неравенств:

  • Если a < b и c < 0, то ac > bc. В данном случае c = –1.

Таким образом, из исходного неравенства получается неравенство противоположного смысла, т. е. меняются знаки на обратные:

–1 × –1 > –1p > –1 × 10

Перевернем неравенство и выполним действия:

–10 < –p < 1

Теперь можно сложить q и –p:

–10 + 2,5 < q – p < 1 + 3,2
–7,5 < q – p < 4,2

Для оценки числа p3 воспользуемся таким свойством:

  • Если n — нечетное число, то для любых чисел a и b если a < b, то и an < bn.

(–1)3 < p3 < 103
–1 < p3 < 1000

Если бы p возводился в квадрат или в любую другую четную степень, то таким свойством мы бы воспользоваться без оглядки на абсолютные значения не могли. Так если бы вместо –1 было число –20, то (–20)2 > 102.

Правила операций над неравенствами

Если ваш преподаватель конечной математики попросит вас решить линейное неравенство, вы можете использовать почти те же правила, что и при решении линейных уравнений. Однако есть два огромных исключения, о которых вы узнаете здесь.

В следующем списке перечислены все правила, которые необходимо знать при выполнении операций над неравенствами. Обратите внимание, что хотя в этом списке показан только символ <, те же самые правила применяются к любому неравенству, включая >, ≤ и ≥.

  • Если a < b , то a + c < b + c. Добавление одного и того же числа к каждой стороне неравенства не меняет направление символа неравенства.
  • Если a < b , то a c < b c . Вычитание одного и того же числа с каждой стороны неравенства не меняет направление символа неравенства.
  • Если a < b и если c положительное число, то a · c < b · c. Умножение каждой стороны неравенства на положительное число не меняет направления символа неравенства.
  • Если a < b и если c положительное число, то Деление каждой стороны неравенства на положительное число не меняет направления символа неравенства.
  • Если a < b и если c отрицательное число, то a · c > b · c. Умножение каждой стороны неравенства на отрицательное число меняет направление символа неравенства на противоположное.
  • Если a < b и если c отрицательное число, то Деление каждой стороны неравенства на отрицательное число меняет направление символа неравенства на противоположное.
Теперь давайте применим эти правила к некоторым примерам. Во-первых, упростите линейное неравенство 4 x – 3 ≥ 21 и найдите x . Сначала нужно прибавить по 3 к каждой стороне, а затем разделить каждую сторону на 4. Символ неравенства остается в том же направлении.

Любое число 6 или больше является решением неравенства 4 x – 3 ≥ 21.

Теперь давайте попробуем пример с делением на отрицательное число: решите 16 – 5 x < 11 для x .В этом случае сначала нужно вычесть по 16 с каждой стороны, а затем разделить на –5. Деление на отрицательное число означает, что вы переворачиваете символ неравенства.

Любое число больше 1 является решением неравенства 16 – 5 x < 11.

Решение неравенств: обзор

Решение Неравенства: обзор (стр. 2 из 3)

Секции: линейные неравенства, Квадратные неравенства, Другое неравенства


Предыдущие неравенства называются «линейными» неравенствами, потому что мы имеем дело с линейные выражения типа « x 2″ (« х > 2 дюйма это просто » х 2 > 0″, перед вы закончили ее решать).Когда у нас есть неравенство с « x 2 » как член высшей степени, он называется «квадратичным неравенством». Способ решения сложнее.

    Сначала я должен найти x- перехватывает связанного квадратичного, потому что точки пересечения находятся там, где у = х 2 3 х + 2 равно до нуля.Графически подобное неравенство просит меня найти, где график находится выше или ниже оси x . Проще всего найти, где на самом деле пересекает ось x , так что я начну там.

    Факторинг, Я получаю х 2 3 х + 2 = ( х 2)
    ( х 1) = 0, значит х = 1 или х = 2.Затем график пересекает ось x в 1 и 2, а числовая ось разбита на интервалы (отрицательная бесконечность, 1), (1, 2), и (2, положительная бесконечность). Между x -перехватами, график либо выше оси (и, следовательно, положителен, либо больше, чем ноль), либо ниже оси (и, следовательно, отрицательный, или меньше нуля).

    Есть два разных алгебраические способы проверки этой положительности или отрицательности на интервалы. Я покажу оба.

    1) Метод контрольных точек. Интервалы между x -перехватами (отрицательная бесконечность, 1), (1, 2), и (2, положительная бесконечность).Я выберу точку (любую точку) внутри каждого интервала. Я посчитаю значение y в таком случае. Каким бы ни был знак этого значения, это знак за весь этот интервал.

    Для (отрицательная бесконечность, 1), скажем, я выбираю x = 0; затем у = 0 0 + 2 = 2, что положительный. Это говорит о том, что и положительно на всем интервале (отрицательная бесконечность, 1), и этот интервал, таким образом, является частью решения (поскольку я ищу решение «больше нуля»).

    Для интервала (1, 2), я выберу, скажем, х = 1,5; затем и = (1,5) 2 3(1,5) + 2 = 2,25 4,5 + 2 = 4,25 4,5 = 0,25, что отрицательно. Затем и отрицательно на всем этом интервале, и тогда этот интервал не является частью решения.

    Для интервала (2, положительная бесконечность), я выберу, скажем, x = 3; затем и = (3) 2 3(3) + 2 = 9 9 + 2 = 2, что положителен, и тогда этот интервал является частью решения.Затем полное решение неравенства x < 1 и x > 2. Это решение указывается по-разному:

      неравенство обозначение
      интервал, или набор, обозначение
      номер строка со скобками
      (скобки
      используются для закрытых интервалы)
      номер линия с открытыми точками
      (используются закрытые точки
      для закрытых интервалы)

    Особое решение формат, который вы используете, будет зависеть от вашего текста, вашего учителя и вашего вкуса.Каждый формат одинаково действителен. Авторские права Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены

    2) Факторный метод. Факторинг, I получить у = х 2 3 х + 2 = ( х 2)( х 1). теперь буду считать каждый из этих факторов в отдельности.

    Фактор х 1 положительный для х > 1; аналогично х 2 положительно для х > 2.Оглядываясь назад когда я впервые узнал о негативных цифры, я знаю что (плюс)(плюс) = (плюс), (минус)(минус) = (плюс) и (минус)(плюс) = (минус). Итак, чтобы вычислить знак и = х 2 3 х + 2, я только очень необходимо знать знаки факторов. Тогда я смогу применить то, что знаю про умножение минусов.

    Первый, Я настроил сетку, показывающую факторы и числовую линию.
    Сейчас Я отмечаю интервалы, в которых каждый фактор положителен.
    Где факторы не положительные, они должны быть отрицательными.
    Сейчас Я умножаю столбцы, чтобы вычислить знак и . на каждом интервале.

    Тогда решение x 2 3 х + 2 > 0 являются два интервала со знаком «плюс»:

      (отрицательный бесконечность, 1) и (2, положительная бесконечность).

    Сначала я нахожу нули, которые являются конечными точками интервалов: y = 2 х 2 + 5 х + 12 =
    (2 х 3)( х 4) = 0 для x = 3 / 2 и х = 4.Итак, конечные точки интервалов будет 3 / 2 и 4. Интервалы находятся между конечными точками, поэтому интервалы (отрицательные бесконечность, 3 / 2 ], [ 3 / 2 , 4] и [4, положительная бесконечность). (Обратите внимание, что я использую скобки для конечных точек в неравенствах «или равно» вместо скобок, потому что конечные точки будут включены в окончательное решение.)

    Чтобы найти интервалы где и отрицательно по методу контрольных точек, я просто выбираю точку в каждом интервале. Я могу использовать такие точки, как x = 2, х = 0 и х = 5.

    Чтобы найти интервалы где и отрицательно по факторному методу, я просто решаю каждый фактор: 2 x 3 положительно для 2 х 3 > 0, 3 > 2 х , 3/2 > х , или x < 3 / 2 ; и х 4 положительно для х 4 > 0,
    х > 4.Затем я заполняю сетку:

          

    Тогда решение для это неравенство составляет все х в

      (отрицательный бесконечность, 3 / 2 ] и [4, положительная бесконечность) .

<< Предыдущая Топ  |  1 | 2 | 3   | Возврат к индексу  Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет.«Решение неравенства: обзор». Пурпурная математика . Доступно по номеру
     https://www.purplemath.com/modules/ineqsolv2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 

Неравенства — выпуск по математике для уровня A

При работе с неравенствами важно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число направление неравенства изменяется.

При решении квадратных неравенств (неравенств с x 2 в них) необходимо разобрать различные случаи решения неравенства.

Пример

Решить x 2 + 3x + 2 > 0

Теперь мы можем разложить левую часть на множители, чтобы получить:

(х + 2)(х + 1) > 0

Чтобы решить это, нам нужно разделить его на несколько случаев, основываясь на изменении знака одного из факторов:

х < -2 -2 < х < -1  х > -1
(х + 2) минус

положительный

положительный
(х + 1) отрицательный

отрицательный

положительный
(х + 2)(х + 1) положительный

отрицательный

положительный

Итак, когда x < -2, например, мы знаем, что (x + 2) меньше 0 и (x + 1) меньше нуля.Следовательно, (x + 2)(x + 1) > 0 (поскольку отрицательное умножение на отрицательное = положительное).

Следовательно, из таблицы (x + 2)(x + 1) > 0, когда x < -2 или x > -1 .

Нарисовать такую ​​таблицу проще.

В качестве альтернативы вы можете нарисовать график x 2 + 3x + 2 > 0 и посмотреть, где график лежит над осью x. Вы должны получить такой же ответ.

Линейные неравенства

Линейные неравенства можно решить перестановкой почти так же, как и линейные уравнения.Однако вы должны убедиться, что вы меняете направление неравенства при делении или умножении на отрицательное значение.

Пример

Решите неравенство                                                         8 – 3x > 23.

Вычтите 8 из обеих частей уравнения:                      -3x > 15.

Разделите обе части уравнения на -3:                                x < -5.

Неравенство, в котором x с обеих сторон, рассматривается как соответствующее уравнение.

Пример

Решить неравенство                        5x – 3 > 3x – 10.

Вычесть 3 раза с обеих сторон:           2x – 3 > — 10.

Прибавьте 3 к обеим сторонам:                               2x > -7.

Разделите обе части на 2:                             x > — 3,5

Квадратные неравенства

Если квадратное выражение нельзя разложить на множители, можно использовать формулу для нахождения точек пересечения кривой с осью x.

Пример

Решите неравенство x 2 + 2x – 5 > 0.

Из схемы выше, x 2 +2x – 5 > 0, когда x < 1- √6 или когда x > -1 + √6.

 

Дебаты о неравенстве в США | Совет по международным отношениям

Введение

Неравенство в доходах и богатстве в Соединенных Штатах значительно выше, чем почти в любой другой развитой стране, и оно растет, вызывая усиление общенациональных дебатов.Глобальный финансовый кризис 2008 года, медленное и неравномерное восстановление и экономический шок, вызванный пандемией COVID-19, усугубили эти тенденции и заставили директивные органы принять ответные меры.

Подробнее от наших экспертов

Почему цепочки поставок заблокированы? Глобальное управление для борьбы с незаконными финансовыми потоками

Экономисты говорят, что причины усугубления неравенства сложны и включают неспособность адаптироваться к глобализации и технологическим изменениям, изменение налоговой политики, снижение переговорных позиций среди рабочих и давнюю расовую и гендерную дискриминацию.Последствия неравенства также разнообразны, и они усугубляют кризисы, такие как пандемия, и углубляют социальные разногласия. Неравенство также может ослабить демократию и привести к авторитарным движениям. Президент Джо Байден пообещал сократить экономическое неравенство за счет новых социальных расходов, финансируемых за счет более высоких налогов на богатых и корпорации, но он сталкивается с противодействием со стороны тех, кто считает, что его планы заходят слишком далеко.

Насколько неравны Соединенные Штаты?

Подробнее:

Неравенство

У.С. Экономика

COVID-19

Глобализация

Торговля

По данным беспартийного Бюджетного управления Конгресса [PDF], неравенство доходов в Соединенных Штатах росло на протяжении десятилетий, при этом доходы высшего эшелона работников быстро превышали доходы остального населения. Даже среди высокооплачиваемых прирост доходов был сильно смещен в сторону верхней части этой группы.

Рост заработной платы генеральных директоров иллюстрирует эту тенденцию.В 1965 году типичный корпоративный генеральный директор зарабатывал примерно в двадцать раз больше, чем обычный рабочий; к 2018 году соотношение составляло 278:1, по данным Института экономической политики, прогрессивного аналитического центра. В период с 1978 по 2018 год вознаграждение генерального директора увеличилось более чем на 900 процентов, а вознаграждение работникам — всего на 11,9 процента.

Картина почти такая же, если посмотреть на богатство, т. е. общую чистую стоимость, а не годовой доход. В 2021 году 10% самых богатых американцев владели почти 70% акций США.S. богатство, по сравнению с примерно 61 процентом в конце 1989 года. Доля, принадлежащая следующим 40 процентам, соответственно упала за этот период. Беднейшие 50% (примерно шестьдесят три миллиона семей) владели примерно 2,5% богатства в 2021 году. 

Подробнее от наших экспертов

Почему цепочки поставок заблокированы? Глобальное управление для борьбы с незаконными финансовыми потоками

Краткий обзор ежедневных новостей

Сводка мировых новостей с анализом CFR доставляется на ваш почтовый ящик каждое утро.
Большинство будних дней.

Еженедельный дайджест последних новостей CFR о самых важных событиях недели в области внешней политики, включающий краткие сведения, мнения и разъяснения.
Каждую пятницу.

Подборка оригинальных анализов, визуализаций данных и комментариев, посвященных дискуссиям и усилиям по улучшению здоровья во всем мире. Еженедельно.

Вводя свой адрес электронной почты и нажимая «Подписаться», вы соглашаетесь получать объявления от CFR о наших продуктах и ​​услугах, а также приглашения на мероприятия CFR. Вы также соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности и Условиями использования.

Кроме того, неравенство в Соединенных Штатах выше, чем в других богатых странах. Это отражено в неуклонном росте коэффициента Джини в США, показателя экономического неравенства в стране, который колеблется от нуля (полностью равное) до ста (полное неравенство).По данным Организации экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), группы стран с развитой экономикой, в 2019 году коэффициент Джини в США составлял сорок — такой же, как в Болгарии и Турции, и значительно выше, чем у Канады, Франции и Германии.

Недавние экономические потрясения усугубили эти тенденции. Так называемая Великая рецессия с 2007 по 2009 год привела к падению доходов, и даже когда они восстановились до докризисного уровня в 2015 году, средний доход остался таким же, как и в 2000 году: 70 200 долларов.Восстановление также было неравномерным: к 2016 году у 10% самых богатых людей было больше богатства, чем в 2007 году, а у 90% самых бедных — меньше.

Подробнее:

Неравенство

Экономика США

COVID-19

Глобализация

Торговля

Эксперты говорят, что экономические потрясения, вызванные пандемией COVID-19, в том числе самый большой всплеск безработицы в современной истории, также усугубят неравенство.Низкооплачиваемых рабочих гораздо чаще увольняли и реже нанимали повторно, хотя масштабные правительственные стимулы помогли смягчить последствия. Между тем, бум цен на акции и жилье в первую очередь пошел на пользу богатым американцам, которые владеют большей частью этих активов. Хотя заработная плата росла самыми быстрыми темпами за последние десятилетия, росли и цены, и эта инфляция фактически свела на нет рост заработной платы.

Почему неравенство имеет значение?

Эксперты считают, что неравенство тормозит экономический рост и способствует политической дисфункции.Концентрация доходов и богатства снижает уровень спроса в экономике, потому что богатые домохозяйства, как правило, тратят меньше своего дохода, чем более бедные. Сокращение возможностей для домохозяйств с низкими доходами также может нанести ущерб экономике. «Когда те, кто находится в самом низу распределения доходов, подвергаются большому риску не реализовать свой потенциал, экономика расплачивается не только более слабым спросом сегодня, но и более низким ростом в будущем», — пишет экономист Джозеф Стиглиц [PDF ].

В последние годы по всему миру были избраны популистские лидеры, что некоторые исследователи связывают с отсутствием безопасности, вызванным экономическим неравенством.Состоятельные люди могут оказывать огромное влияние на правительство, финансируя политические кампании, еще больше укрепляя свою власть. В отчете Организации Объединенных Наций за 2020 год содержится предупреждение о том, что растущее неравенство подрывает доверие к демократическим обществам и способствует распространению авторитарных и нативистских движений.

Однако некоторые эксперты говорят, что вред от неравенства преувеличен. Аналитики либертарианского Института Катона, например, утверждают, что имеет смысл сосредоточиться на бедности, потому что неравенство не имеет значения, пока все живут лучше.Кроме того, предпринимательство приносит пользу обществу в целом, даже если оно делает некоторых людей богатыми, утверждают они. Общий уровень бедности в Соединенных Штатах резко снизился более чем на 10 процентных пунктов в период с 1959 по 1969 год, но с тех пор он колеблется около 12,5 процента.

«Мы должны хотеть жить в обществе с разумной степенью мобильности, а не в обществе, где люди рождаются в относительном экономическом положении, которое они никогда не могут покинуть», — писал консервативный аналитик Рамеш Поннуру в 2015 году.«Но пока эти условия соблюдены, отношение доходов 1% самых богатых к среднему рабочему должно быть довольно низким в нашем списке проблем».

Каково состояние экономической мобильности в США?

Американцы уже давно гордятся своей способностью продвигаться вверх по лестнице доходов, но есть признаки того, что экономическая мобильность в США исчезает. Доля американцев, которые зарабатывают больше, чем их родители, сократилась с более чем 90 процентов среди тех, кто родился в 1940-х годах, до 50 процентов среди тех, кто родился в 1980-х годах.

Экономист из Гарвардского университета Радж Четти, активно изучавший социальную мобильность, обнаружил, что мобильность в Соединенных Штатах сильно различается по стране [PDF]. Некоторые богатые города имеют высокую мобильность, наравне с такими странами, как Дания и Канада, в то время как дети в некоторых районах с низким уровнем дохода имеют менее 5 процентов шансов попасть в верхнюю пятую часть распределения доходов, если они начинают с нижней пятой части.

Общая экономическая мобильность в США ниже, чем во многих других развитых странах, что, по мнению некоторых экспертов, мешает U.С. экономический рост. В исследовании Стэнфордского университета 2016 года [PDF] Соединенные Штаты уступили нескольким другим богатым странам, включая Австралию, Канаду, Францию, Германию и Японию.

Как учитываются раса, этническая принадлежность и пол?

Связь между расой, этнической принадлежностью и неравенством хорошо задокументирована. С 1960 года средний уровень благосостояния белых домохозяйств утроился, в то время как богатство чернокожих домохозяйств почти не увеличилось. На протяжении десятилетий уровень безработицы среди чернокожих американцев был примерно в два раза выше, чем среди белых американцев.Чернокожие американцы также недостаточно представлены в высокооплачиваемых профессиях, включая корпоративное руководство. По состоянию на 2020 год только четыре генерального директора компаний из списка Fortune 500 являются чернокожими. Согласно исследованию Четти, дети чернокожих и американских индейцев имеют гораздо более низкую экономическую мобильность по сравнению с белыми, азиатами и детьми латиноамериканского происхождения.

Сегодняшнее неравенство в США коренится в системном расизме и наследии рабства. Благодаря политике, известной как красная черта, которая стала результатом программы «Новый курс» в 1930-х годах, чернокожим американцам систематически отказывали в ипотеке, что приводило к сегрегации жилья и неравенству в собственности на жилье, которое является основным источником богатства.Хотя расовая дискриминация в сфере жилья была запрещена Законом о справедливом жилищном обеспечении 1968 года, ее последствия сохраняются. Точно так же чернокожие американцы были исключены из льгот G.I. Билл после Второй мировой войны, которому многие приписывают помощь в росте среднего класса.

Чернокожие американцы также сталкиваются с дискриминацией на рынке труда, потому что найм часто осуществляется внутри компании через сети, которые их исключают, говорит Уильям Э. Сприггс, профессор экономики в Университете Говарда и главный экономист Американской федерации труда и Конгресса промышленных организаций. (АФТ-КПП).

Пандемия COVID-19 обнажила многие из этих различий. Американские индейцы, чернокожие и латиноамериканцы чаще были госпитализированы с COVID-19 и умирали от него, чем белые американцы — неравенство, которое Кэтрин Пауэлл из CFR называет «цветом COVID». Цветных людей чаще увольняли; и их с большей вероятностью считали основными работниками, выполняющими работу, которая обычно сопряжена с более высоким риском заражения вирусом, например, кассой и доставкой посылок.

Существование гендерного разрыва в оплате труда также вполне обосновано, хотя его причины ведутся спорами.По словам Элизы Гулд из Института экономической политики, разрыв в оплате труда сократился за последние сорок лет, поскольку женщины получили больше образования, но с 2000 года он не сократился так сильно. Гулд частично объясняет это дискриминацией и недопредставленностью женщин на высокооплачиваемых должностях.

Какую роль играет образование?

Самая высокая заработная плата приходится на работу, требующую высокого уровня образования. Согласно исследованию 2019 года [PDF], проведенному экономистами Федеральной резервной системы, в 2016 году американские семьи, возглавляемые кем-то со степенью бакалавра, зарабатывали в два раза больше, чем семьи, возглавляемые кем-то без нее, а семьи со степенью последипломного образования зарабатывали почти в три раза больше. Банк св.Луи. Доля национального дохода, получаемого семьями, имеющими хотя бы одну степень бакалавра, увеличилась с 45 до 63 процентов в период с 1989 по 2016 год

.

Разница еще более очевидна для собственного капитала. В 2016 году семьи, возглавляемые обладателями ученой степени, имели почти в восемь раз больше богатства, чем семьи без высшего образования. По данным U.S., в 2015 году почти 25% людей без диплома средней школы жили в бедности, по сравнению с 5% людей с высшим образованием.С. Бюро переписи населения. Доля американцев со степенью бакалавра неуклонно росла после окончания Второй мировой войны, достигнув примерно 38 процентов в 2021 году. Соединенные Штаты выше среднего показателя по ОЭСР по уровню высшего образования, но отстают от нескольких других богатых стран, включая Канаду. Японии и Южной Кореи.

Тем не менее, высшее образование не гарантирует хорошую работу. Хотя надбавка к заработной плате в колледже (процент, на который заработная плата выпускников колледжей превышает заработную плату выпускников средних школ) быстро росла с 1979 по 2000 год, с тех пор она снизилась, и даже среди выпускников колледжей существует значительное неравенство в доходах.Исследование Федеральной резервной системы показало, что надбавка за богатство в колледже (увеличение собственного капитала в результате получения степени) значительно снизилась для белых американцев, родившихся в 1980-х годах, и полностью исчезла для чернокожих американцев, родившихся в то десятилетие. Согласно исследованию, это уменьшение отдачи может быть связано с резко возросшей стоимостью обучения в колледже, которая с 1978 года выросла почти в три раза по сравнению с темпами роста потребительских цен.

А как насчет налоговых ставок?

За последние полвека высшие ставки подоходного налога в США неоднократно снижались, что, по мнению некоторых экспертов, способствовало росту неравенства.Когда президент Джон Ф. Кеннеди вошел в Белый дом в 1961 году, максимальная ставка налога составляла более 90 процентов. Сегодня максимальная ставка составляет 37 процентов. Доля верхнего 1 процента в доходах резко увеличилась после того, как президент Рональд Рейган сократил налоги в начале 1980-х годов.

Аналогичным образом, корпоративный подоходный налог неуклонно снижался как доля корпоративной прибыли и как процент от валового внутреннего продукта за последние полвека. Закон о снижении налогов и занятости от 2017 года резко снизил корпоративную ставку с 35 до 21 процента.

Налог на прирост капитала, налог на продажу активов, включая акции, землю и предметы искусства, также со временем снизился, хотя в 2013 году ставка была увеличена до 20 процентов. Богатые, как правило, получают больше выгоды от прироста капитала, чем от постоянного дохода от занятости, что заставляет некоторых экспертов утверждать, что разрыв между налогом на прирост капитала и подоходным налогом способствует неравенству.

Каковы другие факторы роста неравенства?

Свою роль играют долгосрочные экономические факторы, повышающие вознаграждение высокооплачиваемых работников и снижающие заработную плату на низко- и среднеквалифицированных должностях.Эти силы, по словам экспертов, включают в себя ослабление рабочей силы, усиление монополизации экономики и глобализацию. Некоторые американцы извлекли большую выгоду из глобализированного мира, благодаря которому они могут охватить больше потребителей и производить продукцию с меньшими затратами. Но глобализация также привела к жесткой конкуренции за американских рабочих, поскольку некоторые рабочие места были перемещены за границу, а заработная плата осталась на прежнем уровне.

Упадок профсоюзов является еще одним фактором, способствующим этому: средний член профсоюза зарабатывает примерно на 25 процентов больше, чем его коллега, не входящий в профсоюз.В 1983 г. около 20% всех рабочих были представлены профсоюзами. К 2019 году это число упало до 6,2 процента. Это несоразмерно затронуло чернокожих рабочих, которые исторически были более склонны к объединению в профсоюзы. Тем не менее, влияние профсоюзов растет, поскольку быстрое восстановление экономики после пандемии привело к ограничению рынка труда, на котором работники имеют больше рычагов воздействия.

Затем идет торговая политика, извечный спор, который обострился после избрания президента Дональда Трампа в 2016 году.Трамп уже давно критически относится к торговым сделкам США, утверждая, что другие страны, особенно Китай, воспользовались преимуществами Соединенных Штатов в ущерб американским рабочим. Многие экономисты оспаривают роль торговли в сокращении рабочих мест в обрабатывающей промышленности, утверждая, что такие потери были компенсированы прибылью в других секторах [PDF] и что заработная плата увеличилась в результате торговли.

Третьи говорят, что причиной потери рабочих мест в первую очередь являются технологические изменения, включая автоматизацию, а не торговля.В Foreign Affairs бывший торговый представитель США Роберт Лайтхайзер пишет, что, хотя торговля — не единственная причина исчезновения рабочих мест, «нельзя отрицать, что аутсорсинг рабочих мест с высокооплачиваемых мест на низкооплачиваемые опустошил общины в Америке. Ржавый пояс и другие места».

Каковы некоторые политические предложения по решению проблемы неравенства?

Предложения, выдвинутые в последние годы для решения проблемы неравенства в доходах и богатстве, включали поддержку профсоюзов и повышение минимальной заработной платы; сделать налоговый кодекс более прогрессивным, а также облагать налогом богатство наряду с доходом; и расширение доступа к образованию, включая дошкольное образование и колледж.

Одним из инструментов решения проблемы неравенства доходов, которому уделяется значительное внимание, является более прогрессивный налоговый кодекс, означающий, что более высокие доходы облагаются налогом по более высокой ставке, чем более низкие. Некоторые эксперты и политики утверждают, что перемещение большего количества денег от богатых к бедным уменьшит неравенство и принесет пользу обществу в целом. Но другие говорят, что более высокие налоги задушат экономический рост и инновации. Демократы обычно придерживаются первой точки зрения, а республиканцы — второй, хотя некоторые президенты-демократы снизили налоги, а некоторые президенты-республиканцы повысили их.Позиции партий по налогам в последние годы окаменели.

Предлагаемые налоги на богатство, а не на доход, становятся все более популярными среди демократов, и их поддержали сенаторы Берни Сандерс и Элизабет Уоррен на президентских праймериз 2020 года. В марте 2022 года, впервые в качестве президента, Байден призвал к введению налога на богатство, предложив «минимальный подоходный налог для миллиардеров» в своем годовом бюджетном запросе. Домохозяйства стоимостью более 100 миллионов долларов должны будут платить налог в размере не менее 20 процентов своего дохода, в том числе на так называемую нереализованную прибыль от таких активов, как акции, которые выросли в цене, но не были проданы.Критики оспаривают достоинства такого перераспределения, утверждая, что такой налог будет вреден для экономики, труден для реализации и даже неконституционен.

Байден также предложил увеличить налог на унаследованное имущество, известный как налог на наследство или, по мнению критиков, налог на смерть. В то время как сторонники говорят, что такой налог резко сократит неравенство, другие утверждают, что это может привести к большему уклонению от уплаты налогов и препятствовать инвестициям и предпринимательству. Байден также призвал к повышению ставки корпоративного налога, максимальной ставки подоходного налога и налога на прирост капитала.

Чтобы решить проблему роста стоимости обучения в колледже и расширить доступ к высшему образованию, некоторые политики, в том числе Сандерс и Уоррен, предложили бесплатное обучение в государственных колледжах и ликвидацию задолженности по студенческим кредитам. Тем временем некоторые республиканцы, в том числе Трамп, настаивали на выделении большего количества федеральных денег на обучение навыкам и профессиям в качестве альтернативы.

Чтобы помочь сократить разрыв в занятости чернокожих, Сприггс из Университета Говарда предлагает сделать все объявления о вакансиях общедоступными, использовать компьютерные алгоритмы для лучшего сопоставления соискателей с вакансиями и поощрять компании, особенно фирмы Силиконовой долины, нанимать больше чернокожих студентов.Сприггс также выступает за более строгий контроль и соблюдение антидискриминационных законов.

Некоторые эксперты, в том числе Эдвард Олден из CFR, считают, что пандемия должна заставить Вашингтон переоснастить экономику США. Более сильная система социальной защиты, включая более высокие пособия по безработице, строгую политику в отношении отпусков по болезни и большее количество программ переподготовки, может помочь работникам справиться с потрясениями и сделать экономику более устойчивой. «Стране нужна не серия краткосрочных мер по спасению, а долгосрочные планы по обеспечению защиты большинства американцев от таких кризисов в будущем», — пишет Олден.

%PDF-1.4 % 1421 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 1421 63 0000000016 00000 н 0000003066 00000 н 0000003236 00000 н 0000003757 00000 н 0000003861 00000 н 0000004415 00000 н 0000004914 00000 н 0000005375 00000 н 0000005806 00000 н 0000006352 00000 н 0000007170 00000 н 0000007775 00000 н 0000007863 00000 н 0000008392 00000 н 0000008507 00000 н 0000008620 00000 н 0000009234 00000 н 0000009664 00000 н 0000010183 00000 н 0000010571 00000 н 0000011073 00000 н 0000011671 00000 н 0000012152 00000 н 0000012844 00000 н 0000013559 00000 н 0000013653 00000 н 0000014145 00000 н 0000015556 00000 н 0000016026 00000 н 0000017174 00000 н 0000017319 00000 н 0000018863 00000 н 0000019082 00000 н 0000020532 00000 н 0000021956 00000 н 0000023043 00000 н 0000023443 00000 н 0000023783 00000 н 0000024188 00000 н 0000024274 00000 н 0000025476 00000 н 0000026192 00000 н 0000029490 00000 н 0000033707 00000 н 0000046052 00000 н 0000050162 00000 н 0000059863 00000 н 0000062558 00000 н 0000065848 00000 н 0000065919 00000 н 0000066018 00000 н 0000099480 00000 н 0000099766 00000 н 0000100196 00000 н 0000100225 00000 н 0000100759 00000 н 0000138886 00000 н 0000139157 00000 н 0000139691 00000 н 0000166346 00000 н 0000166602 00000 н 0000002857 00000 н 0000001592 00000 н трейлер ]/Предыдущая 1392813/XRefStm 2857>> startxref 0 %%EOF 1483 0 объект >поток h-ToL[UVjA,ȿexC(VF(«0й,e-L»86′[o5SO+0Eh5}7}{~{^P%[email protected]»9 9″вНР&0рПм\кУФвТКPz3Բ͓+ӭuОнпнм>_lcR_S+rf/J oh] /FtT 71T=Μ

@\cXqJÖGb{ˠLM-ҋ#Kxplz m~vG^5’X]p’pV#̢8J|MS|Cc;SM’ʵN1ֱª?:R{*S>`*tIG+B z$R-‘k-Yk,SǗ-V’yYJiVF1=

Решение и построение неравенств с помощью умножения или деления — Концепция

Неравенства подчиняются другим правилам, чем уравнения при умножении. Решение неравенства с помощью умножения требует поиска отрицательных чисел. Когда мы умножаем обе части на отрицательное число, мы должны изменить направление знака неравенства. Это происходит при использовании мультипликативных инверсий для упрощения, как при решении многошаговых уравнений.

Когда вы решаете неравенства, обычно это похоже на то, как вы решаете уравнение, когда у вас есть знак равенства.Однако есть одно действительно важное отличие, и я хочу перейти к нему всего за секунду.
Первое, что я хочу, чтобы вы, ребята, помнили, когда вас попросят изобразить неравенство на числовой прямой, вы будете использовать незакрашенный кружок для одного из этих символов или закрытый кружок для одного из этих символов.
Затем, когда вы решаете, вы решаете его так же, как если бы это было уравнение, за исключением того, что если вы умножаете или делите на отрицательное число, вам нужно изменить направление символа неравенства.И я хочу показать вам, что я имею в виду и как это выглядит [IB] или почему, например, посмотрите, 6 больше, чем четыре. Это истинное утверждение о неравенстве, которое всегда имеет место, это будет пример, в котором используются только числа, а не буквы, чтобы вы, ребята, могли понять, о чем я говорю.
Скажем так, я хотел умножить обе части на -2, и мне разрешено это делать. Мне разрешено умножать что-либо на значение, если я выполняю точно такой же процесс с обеих сторон символа неравенства.Поэтому я умножаю свой -2. Теперь у меня -12 больше, чем -8, это неправда, +12 больше, чем +8. Но когда в дело вмешивается этот негатив, все становится очень сложно, и именно об этом я и говорю, я буду повторять это много-много раз. Если вы когда-либо умножаете обе стороны или делите обе стороны на отрицательное значение, вам нужно изменить направление символа неравенства. Мне нужно изменить этого парня, поэтому вместо того, чтобы говорить, что 12 больше, извините, -12 больше, чем -8. Я должен сказать -12 меньше, чем -8.Вы можете видеть, что раньше это был такой знак неравенства, но я перевернул его, чтобы напомнить вам, что теперь он выглядит так. Это самая важная вещь, о которой следует помнить каждый раз, когда вы решаете неравенства, особенно если вы собираетесь умножать или делить на отрицательное значение.

Борьба с неравенством в Южной Азии

Abstract
Неравенство в Южной Азии кажется умеренным, если рассматривать стандартные показатели, такие как индекс Джини, который основан на потребительских расходах на душу населения.Но другие свидетельства указывают на огромные пробелы, от непомерного богатства на одном конце до отсутствия доступа к самым элементарным услугам на другом. В связи с этим возникает вопрос: насколько сильно неравенство в Южной Азии? И какое это имеет значение? В этой книге всесторонне рассматриваются масштабы, природа и факторы неравенства в этом очень динамичном регионе мира. В нем обсуждается, как некоторые аспекты неравенства, такие как высокая отдача от инвестиций в человеческий капитал, способствуют экономическому росту, в то время как другие, такие как высокая отдача от погони за рентой или разбитые устремления, подрывают его.Опираясь на различные источники данных, он анализирует вклад, который возможности в молодом возрасте, мобильность во взрослом возрасте и поддержка на протяжении всей жизни вносят в неравенство в любой момент времени. Не менее важно и то, что книга проливает свет на перспективы избавления от неблагоприятных условий с течением времени. Анализ показывает, что Южная Азия плохо работает с точки зрения возможностей. Доступ к базовым услугам в лучшем случае является частичным, и его можно проследить по характеристикам при рождении, включая пол, местонахождение и касту.Наоборот, регион показал хорошие результаты с точки зрения географической и профессиональной мобильности, несмотря на его загроможденную урбанизацию и широко распространенную неформальность. Миграция и рабочие места послужили обездоленным группам лучше, чем остальным, подчеркнув важность программ урбанизации и развития частного сектора. Поддержка находится где-то посередине. Широко распространены программы борьбы с бедностью. Но мобилизация государственных ресурсов ограничена, и большая их часть тратится на регрессивные субсидии, в то время как межправительственные трансферты не делают достаточно для смягчения пространственного неравенства.

0 comments on “Действия с неравенствами: Действия с неравенствами | Алгебра

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.