Таблица арифметических квадратных корней – Таблица квадратных корней

Таблица квадратных корней

В таблице приведены квадратные корни натуральных чисел от 1 до 100.

√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
√121 = 11
√144 = 12
√169 = 13
√196 = 14
√225 = 15
√256 = 16
√289 = 17
√324 = 18
√361 = 19
√400 = 20
√441 = 21
√484 = 22
√529 = 23
√576 = 24
√625 = 25
√676 = 26
√729 = 27
√784 = 28
√841 = 29
√900 = 30
√961 = 31
√1024 = 32
√1089 = 33
√1156 = 34
√1225 = 35
√1296 = 36
√1369 = 37
√1444 = 38
√1521 = 39
√1600 = 40
√1681 = 41
√1764 = 42
√1849 = 43
√1936 = 44
√2025 = 45
√2116 = 46
√2209 = 47
√2304 = 48
√2401 = 49
√2500 = 50
√2601 = 51
√2704 = 52
√2809 = 53
√2916 = 54
√3025 = 55
√3136 = 56
√3249 = 57
√3364 = 58
√3481 = 59
√3600 = 60
√3721 = 61
√3844 = 62
√3969 = 63
√4096 = 64
√4225 = 65
√4356 = 66
√4489 = 67
√4624 = 68
√4761 = 69
√4900 = 70
√5041 = 71
√5184 = 72
√5329 = 73
√5476 = 74
√5625 = 75
√5776 = 76
√5929 = 77
√6084 = 78
√6241 = 79
√6400 = 80
√6561 = 81
√6724 = 82
√6889 = 83
√7056 = 84
√7225 = 85
√7396 = 86
√7569 = 87
√7744 = 88
√7921 = 89
√8100 = 90
√8281 = 91
√8464 = 92
√8649 = 93
√8836 = 94
√9025 = 95
√9216 = 96
√9409 = 97
√9604 = 98
√9801 = 99
√10000 = 100

naobumium.info

Квадратный корень. Подробная теория с примерами.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для начала почитай комментарии внизу этой статьи, чтобы понять насколько крутой материал ты сейчас читаешь! )

А теперь давай попробуем разобраться, что это за понятие такое "квадратный корень".

К примеру, перед нами уравнение  .

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом  ?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ:   и   (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ  

Давай разберемся с корнем до конца...

СОДЕРЖАНИЕ


 

Введение понятия арифметического квадратного корня​

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .
 .

А почему же число   должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен  ?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим:  , а не  .

Может,  ? Опять же, проверяем:  .

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

 

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что «квадратным корнем из числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  ».

А в самом начале мы разбирали пример  , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом  , ответом были   и  , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру,   не равносильно выражению  .

Из   следует, что

 , то есть   или  ;   (не помнишь почему так? Почитай тему "Модуль числа"!)

А из   следует, что  .

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как  , так и  .

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат

.

Итак, вкратце на примере, нужно ли ставить "плюс-минус" (этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это):

Пусть есть две ситуации:

1)  

2)  

В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет   (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня  

Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда "одно неотрицательное число", то есть 8.

А теперь попробуй решить такое уравнение  .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля:   – не подходит.

Двигаемся дальше  ;   – меньше трех, тоже отметаем.

А что если  ? Проверим:   – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между   и  , а также между   и  .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они

не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции   и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из  , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что   Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение.   и   уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.


Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной   км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора:  .

Таким образом,  .

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что  . Корень из двух приблизительно равен  , но, как мы заметили раньше,   -уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от   до  , а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что   в квадрате равно  , а также, наоборот, что   – это   в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;

Ответы:

 


Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  .

Ответы:

 

 Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Свойство Пример

Корень произведения равен произведению корней:

  

 

Корень из дроби - это корень из числителя и корень из знаменателя:

 , если  

 

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

 , при  

 

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

 

 

 

Минуууточку.   это  , а это значит, что мы можем записать вот так:

 

 

Усвоил? Вот тебе следующий:

 

 

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

 

 

 

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

 

 

Теперь полностью самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  

 

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

 

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

 , если  .

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

 

Ну что, давай разбираться на примерах:

 

 

Вот и вся наука. А вот такой пример:

 

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

 

А что, если попадется такое выражение:

 

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

 

 

А вот такой примерчик:

 

 

Еще ты можешь встретить такое выражение:

 

 

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

 

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

 

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа   – это число, квадратный корень которого равен  .

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен  , в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно,  !

Рассмотрим на примерах:

 
 

 

 

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

 

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

 

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

 

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:


 
 

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

А вот и ответы:

 

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко! 

 

 

Допустим, у нас записано число  

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из  !

 

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

 
Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример -  
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

 

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

 

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше:   или  ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

 

 

 

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если  , значит,  .

Отсюда твердо делаем вывод, что  . И никто не убедит нас в обратном!

 

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

 

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

 

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

 

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

 

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

 

 

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

 

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

 

Вот и все, не так все и страшно, правда?

 

Получилось  ? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

 

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

 

Ну что, начнем раскладывать   на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на   (вспоминаем признаки делимости):

 

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

 

Ну что, получилось  ? Молодец, все верно!

 

Подведем итоги

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .
     .
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  3. Свойства арифметического корня:
    Свойство Пример
    Корень произведения равен произведению корней , если    
    Корень из дроби - это корень из числителя и корень из знаменателя. , если    
    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при    
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

 

Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь, но без ограничений) и решебник и программу подготовки "100gia".

Условия их приобретения изложены здесь: кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!

 

 

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

youclever.org

Таблица корней

В данной статье мы с вами разберем такое понятие как квадратный корень, какие бывают виды корней, а так же рассмотрим таблицу корней и то как ей пользоваться.

Итак, что же такое квадратный корень. Для того чтобы это понять воспользуемся примерами из школьного курса и рассмотрим простое уравнение, типа: х2 = 4. Что бы его решить нужно понять какое число нужно возводить в квадрат для получения 4. Это не так уж и сложно так как таблица умножения подсказывает нам что это 2 либо -2. с целью упрощения математического решения и ввели понятие квадратного корня с присвоением ему специального символа ?.

Квадратным корнем положительного числа а, будет только положительное число квадрат от которого равняется а.

Как вы думаете почему а может быть только положительное число. Опять обратимся к примеру и найдем корень для ?(-9). И это будет 32 = 9, но не - 9, а если возьмем -3. Проверим (-3)2 = 9. Опять не получается и все это из-за того что не существует таких чисел, которые в квадрате давали бы число со знаком минус.

Можно заметить что квадратный корень в решении, может быть только положительным числом, но почему тогда в первом уравнении упоминалось как 2 так и -2? Объясняю, есть квадратные уравнения и арифметические квадратные корни от числа и это разные вещи. Например х2=4 не тоже самое что х=?4.

Да, в этом легко запутаться, но когда нужно только извлечь корень от какого либо числа, то в ответе получим исключительно положительный ответ.

Для удобства и быстроты нахождения решений, существует таблица корней, которая содержит в себе уже готовые извлеченные корни. Пользуйтесь!
Верхняя строка содержит единицы, а левый столбец десятки. К примеру вам необходимо узнать квадратный корень числа 54. Ищем десятки с левой стороны (это будет цифра 5), а единицы с верху (это будет цифра 4). При пересечении этих значений и находится нужный нам ответ который равен 6,7082.


Таблица корней от 0 до 99


Также есть таблица квадратов, не путайте с таблицей корней. Выглядит она так:


Она удобно если вам нужно сразу получить значение двухзначного числа в квадрате. К примеру, нужно возвести 89 в квадрат. Находим 8 слева, 9 сверху, на пересечении значение квадрата - 7921.

Чем больше вы будите работать с корнями, тем реже будите пользоваться данной таблицей. Так как все значения со временем запоминаются. Это как таблица умножения, которой мы пользуемся только для изучения и запоминания.

С корнями возможно производить только три действия и это:

- умножать,
- делить,
-возводить в степень.

Свойства и Примеры объединены и показаны в таблице.

Когда срочно нужна курсовая работа, а времени на её написание практически нет. Стоит обратиться за помощью, которая находиться на сайте http://zakazat-kursovuyu.ru/index.php/zakaz-kursovoj. Ценой и качеством Вы будите приятно удивленны.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Таблица корней по алгебре

Таблица корней - это таблица, с помощью которой можно извлекать квадратные корни чисел от 0 до 99. Пользоваться таблицей очень легко. Просто выберите число десятков по вертикали и число единиц по горизонтали, результат будет на их пересечении. Например, √36=6. 3 выбирается слева, 6 - сверху. Возможно, вам также будет интересна таблица квадратов.

Извлечение корней онлайн

https://uchim.org/matematika/tablica-kornej - uchim.org

Таблица корней по алгебре (числа от 0 до 99, округление до пятого знака)
√x0123456789
0011,414211,7320522,236072,449492,645752,828433
13,162283,316623,46413,605553,741663,8729844,123114,242644,3589
24,472144,582584,690424,795834,8989855,099025,196155,29155,38516
35,477235,567765,656855,744565,830955,9160866,082766,164416,245
46,324566,403126,480746,557446,633256,70826,782336,855656,92827
57,071077,141437,21117,280117,348477,41627,483317,549837,615777,68115
67,745977,810257,874017,9372588,062268,124048,185358,246218,30662
78,36668,426158,485288,5448,602338,660258,71788,774968,831768,88819
88,9442799,055399,110439,165159,219549,273629,327389,380839,43398
99,486839,539399,591669,643659,695369,746799,797969,848869,899499,94987

Таблица корней в виде компактной картинки (удобно для шпаргалки, например, в 8 классе):

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица корней по алгебре

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:


Ссылка: https://uchim.org/matematika/tablica-kornej

Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

uchim.org

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\), при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\)? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\)).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\), а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\), \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.  

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\): \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\), то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\), а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\), а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя   \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\);   \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\);   \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\).   \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\). Так как \(44100:100=441\), то \(44100=100\cdot 441\). По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\), то есть \(441=9\cdot 49\).
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\)). Так как \(5=\sqrt{25}\), то \[5\sqrt2=\sqrt{25}\cdot \sqrt2=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\] Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\).

 

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\). Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\), то есть \(4\sqrt2\).  

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\), поэтому \(\sqrt{16}=4\). А вот извлечь корень из числа \(3\), то есть найти \(\sqrt3\), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.  

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\), равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\).
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\).   \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\).   \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – полож

shkolkovo.net

Справочная таблица по теме: Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень.

Определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают .

Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением.

Н,

Свойства арифметического квадратного корня:

где а - любое число;

где а≥0, b≥0;

где а≥0, b>0.

Н,

С помощью свойств корня, не применяя калькулятор и таблицы, вычислить:

Вынесение множителя из-под знака корня.

Внесение множителя под знак корня.

infourok.ru

Числа / math5school.ru

2

3

5

7

    11

    13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

   107

   109

113

127

131

137

139

   149

   151

157

163

167

173

179

181

   191

   193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277 

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373 

379

383

389

397

401

409

419

421

   431

   433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

   821

   823

827 

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991 

997

1009

1013

1019

1021

 1031

 1033

1039

1049

1051

 1061

 1063

1069

1087

1091

1093

1097

1103

1109

1117

1123

1129

1151

1153

1163

1171

1181

1187

1193

1201

1213

1217

1223

1229

1231

1237

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1321

1327

1361

1367

1373

1381

1399

1409 

1423

1427

1429

1433

1439

1447 

1451

1453

1459

1471

1481

1483

 1487

 1489

1493

1499

1511

1523

1531

1543

1549

1553

1559

1567

1571

1579

1583

1597

1601

1607

1609

1613

1619

1621

1627

1637

1657

1663

1667

1669

1693

1697

1699

1709

1721

1723

1733

1741

1747

1753

1759

1777

1783

1787

1789

1801

1811

1823

1831

1847

1861

1867

1871

1873

1877

1879

1889

1901

1907

1913

1931

1933

 1949

 1951

1973

1979

1987

1993

1997

1999

2003

2011

2017

2027

2029

2039

2053

2063

2069

2081

2083

 2087

 2089

2099

2111

2113

 2129

 2131

2137

2141

2143

2153

2161

2179

2203

2207

2213

2221

2237

2239

2243

2251

2267

2269

2273

2281

2287

2293

2297

2309

2311

2333

2339 

2341

2347

2351

2357

2371

2377

2381

2383

2389

2393

2399

2411

2417

2423

2437

2441

2447

2459

2467

2473

2477

2503

2521

2531

2539

2543

2549

2551

2557

2579

2591

2593

2609

2617

2621

2633

2647

2657

2659

2663

2671

2677

2683

2687

2689

2693

2699

2707

2711

2713

2719

2729

2731 

2741

2749

2753

2767

2777

2789

2791

2797

2801

2803

2819

2833

2837

2843

2851

2857

2861

2879

2887

2897

2903

2909

2917

2927

2939

2953

2957

2963

2969

2971

 2999

 3001

3011

3019

3023

3037

3041

3049

3061

3067

3079

3083

3089

3109

3119

3121

3137

3163

3167

3169

3181

3187

3191

3203

3209

3217

3221

3229

3251

3253

 3257

 3259

3271

3299

3301

3307

3313

3319

3323

3329

3331

3343

3347

3359

3361

 3371

 3373

3389

3391

3407

3413

3433

3449

3457

3461 

3463

 3467

 3469

3491

3499

3511

3517

3527

3529

3533

3539

3541

3547

3557

3559

3571

3581

3583

3593

3607

3613

3617

3623

3631

3637

3643

3659 

3671

3673

3677

3691

3697

3701

3709

3719

3727

3733

3739

3761

3767

3769

3779

3793

3797

3803

3821

3823

3833

3847

3851

3853

3863

3877

3881

3889

3907

3911

3917

3919

3923

3929

3931

3943

3947

3967

3989

4001

4003

4007

4013

4019

4021

4027

4049

4051

4057

4073

4079

4091

4093

4099

4111

4127

4129

4133 

4139

4153

4157

4159

4177

4201

4211

4217

4219

 4229

 4231

4241

4243

4253

4259

4261

 4271

 4273

4283

4289

4297

4327

4337

4339

4349

4357

4363

4373

4391

4397

4409

4421 

4423

4441

4447

4451

4457

4463

4481

4483

4493

4507

4513

4517

4519

4523

4547

4549

4561

4567

4583

4591

4597

4603

4621

4637

4639

4643

4649

4651

4657

4663

4673

4679

4691

4703

4721

4723

4729

4733

4751

4759

4783

4787

4789

4793

4799

4801

4813

4817

4831

4861

4871

4877

4889 

4903

4909

4919

4931

4933

4937

4943

4951

4957

4967

4969

4973

4987

4993

4999

5003

5009

5011

 5021

 5023

5039

5051

5059

5077

5081

5087

5099

5101

5107

5113

5119

5147 

5153

5167

5171

5179

5189

5197

5209

5227

5231

5233

5237

5261

5273

5279

5281

5297

5303

5309

5323

5333

5347

5351

5381

5387

5393

5399

5407

5413

5417

5419

5431

5437

5441

5443

5449

5471

5477

5479

5483

5501

5503

5507

5519

5521

5527

5531

5557

5563

5569

5573

5581

5591

5623 

5639

5641

5647

5651

5653

 5657

 5659

5669

5683

5689

5693

5701

5711

5717

5737

5741

5743

5749

5779

5783

5791

5801

5807

5813

5821

5827

5839

5843

5849

5851

5857

5861 

5867

5869

 5879

 5881

5897

5903

5923

5927

5939

5953

5981

5987

6007

6011

6029

6037

6043

6047

6053

6067

6073

6079

6089

6091

6101

6113

6121

6131

6133

6143

6151

6163

6173

6197

6199

6203

6211

6217

6221

6229

6247

6257

6263

6269

6271

6277

6287

6299

6301

6311

6317

6323

6329 

6337

6343

6353

6359

6361

6367

6373

6379

6389

6397

6421

6427

6449

6451

6469

6473

6481

6491

6521

6529

6547

6551

6553

6563

6569

6571

6577

6581

6599

6607

6619

6637 

6653

6659

6661

6673

6679

6689

6691

 6701

 6703

6709

6719

6733

6737

6761

6763

 6779

 6781

6791

6793

6803

6823

6827

6829

6833

6841

6857

6863

6869

6871

6883

6899

6907

6911

6917

6947

6949

 6959

 6961

6967

6971

6977

6983

6991

6997

7001

7013

7019

7027

7039

7043

7057

7069

7079 

7103

7109

7121

7127

7129

7151

7159

7177

7187

7193

7207

7211

7213

7219

7229

7237

7243

7247

7253

7283

7297

7307

7309

7321

7331

7333

7349

7351

7369

7393

7411

7417 

7433

7451

7457

7459

7477

7481

7487

7489

7499

7507

7517

7523

7529

7537

7541

7547

7549

7559

7561

7573

7577

7583

7589

7591

7603

7607

7621

7639

7643

7649

7669

7673

7681

7687

7691

7699

7703

7717

7723

7727

7741

7753

7757

7759

7789

7793

7817

7823

7829

7841

7853

7867

7873 

7877

7879

7883

7901

7907

7919

7927

7933

7937

7949

7951

7963

7993

8009

8011

8017

8039

8053

8059

8069

8081

8087

8089

8093

8101

8111

8117

8123

8147

8161

8167

8171

8179

8191

8209

8219

8221

 8231

 8233

8237

8243

8263 

8269

8273

8287

8291

8293

8297

8311

8317

8329

8353

8363

8369

8377

8387

8389

8419

8423

8429

8431

8443

8447

8461

8467

8501

8513

8521

8527

8537

8539

8543

8563

8573

8581

8597

8599

8609

8623

8627

8629

8641

8647

8663

8669 

8677

8681

8689

8693

8699

8707

8713

8719

8731

8737

8741

8747

8753

8761

8779

8783

8803

8807

8819

8821

8831

8837

8839

8849

8861

8863

8867

8887

8893

8923

8929

8933 

8941

8951

8963

8969

8971

 8999

 9001

9007

9011

9013

9029

9041

9043

9049

9059

9067

9091

9103

9109

9127

9133

9137

9151

9157

9161

9173

9181

9187

9199

9203

9209

9221

9227

9239

9241

9257

9277

9281

9283

9293

9311

9319

9323

9337

9341

9343

9349

9371

9377

9391

9397

9403

9413 

9419

9421

 9431

 9433

9437

9439

 9461

 9463

9467

9473

9479

9491

9497

9511

9521

9533

9539

9547

9551

9587

9601

9613

9619

9623

9629

9631

9643

9649

9661

9677

9679

9689

9697

9719 

9721

9733

9739

9743

9749

9767

9769

9781

9787

9791

9803

9811

9817

9829

9833

9839

9851

9857

9859 

9871

9883

9887

9901

9907

9923

9929

9931

9941

9949

9967

9973

math4school.ru

0 comments on “Таблица арифметических квадратных корней – Таблица квадратных корней

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *