Формулы сокращенного умножения картинки – Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Методическая разработка по теме: Формулы сокращенного умножения

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, показатели степеней складываются, а основание остается прежним

am * an = am + n

37 * 32 = 39

При делении степеней с одинаковыми основаниями, показатели степеней вычитаются, а основание остаются прежним.

am : an = am - n

37 :32 = 35

При возведении степени в степень, показатели степени перемножаются, а основание остается прежним.

(am)n = am *n

(37)2 = 314

Степень произведения равна произведению степеней множителей.

(abc)m  = ambmcm

(3 * 5* 2)2=32 *52 *22

Степень частного равна частному степеней делимого и делителя

Степень с отрицательным показателем вычисляется по формуле

При возведении 1 в любую степень получается 1

1m = 1

199 = 1

При возведении 0 в любую натуральную степень получается  0

0m = 0

047 = 0

Степень с дробным показателем вычисляется по формуле

nsportal.ru

Математика для блондинок: Формулы сокращенного умножения

Страничка моего любимого справочника по математике, на которой увековечены формулы сокращенного умножения. Весьма полезная штучка, довольно часто приходилось заглядывать. Не смотря на заголовок, я что-то в упор не вижу формул сокращенного деления. Как видите, даже в справочниках бывают ошибки и опечатки. Нельзя слепо верить книжкам, как бы они не назывались.
Формулы сокращенного умножения

Здесь и сами формулы сокращенного умножения, и их названия. И так, на картинке у нас представлены: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма и разность кубов, сумма и разность четвертых степеней, произведение двучленов, преобразование произведения и другие обитатели математического зоопарка.

Очень примечательна формула преобразования произведения в сумму и разность. Оба элемента возводятся в квадрат. А возведение в квадрат - это то же умножение.  Это мы друг другу можем сколько угодно рассказывать, что умножение - это многократное сложение. Математику не так-то просто обмануть.

Очень поражает странность математиков. Как когда-то какой-то церковно-приходской дьячок нацарапал гусиным пером формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности, так их из учебника в учебник и переписывают. Абсолютное отсутствие мозгов и воображения. Даже в школе никто из математиков никогда не учился. Или это им в институте мозги матаном убивают? Любой школьник знает, что от перестановки местами слагаемых сумма не меняется. Я вот о чем.

Квадрат суммы и квадрат разности
Не знаю, как вас, а меня простота и красота такой математики покорила раз и навсегда. Не надо забывать, что вся современная математика проходит мимо жизни. Это древние математики научили нас измерять расстояния, время и углы. Они научили нас складывать и умножать. Что прижилось от современной математики? Проценты. Тупые бюрократы считают процент отката, обыватели изучают проценты по кредитам, бизнесмены дрожат над процентами прибыли. Вот такая она, современная математика жадных мародеров.

Кстати, вопрос для любознательных блондинок. Смотрим на предпоследнюю формулу возведения в квадрат трех слагаемых. Теперь вопрос. Если возвести в квадрат четыре слагаемых, то в результате получим сумму квадратов четырех слагаемых плюс удвоенные произведения... Сколько элементов ещё нужно прибавить? Работают ли правила комбинаторики? Я ответ не знаю. Честно.

www.webstaratel.ru

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Цели:

- Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

- Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a2 - b2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a3 - b

3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) (40+1)2

б) 982

Решение:

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

982 = (100 – 2)2 = 1002 - 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Решение

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х - у)2 + (х + у)2

Решение

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х - у)2 + (х + у)2 = х2 - 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х

2 + 2у2

 

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

mirurokov.ru

Формулы сокращенного умножения с примерами

Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями), решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:


А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)
Решение:


Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:


Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Решение:

\((1+5x)^2-12x-1= \)

               

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы...

\(=1+10x+25x^2-12x-1=\)

 

…и приведем подобные слагаемые.

\(=25x^2-2x\)

 

Готово.

Ответ: \(25x^2-2x\).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Решение:

\((368)^2+2·368·132+(132)^2=\)

               

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(=(368+132)^2=\)

 

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

\(=(500)^2=250 000.\)

 

Готово.

Ответ: \(250 000\).

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).

Решение:

\((2a-3)^2-4(a^2-a)=\)

               

Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки.

\(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=\)

 

Теперь приведем подобные слагаемые.

\(=-8a+9=\)

 

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\)

 

Пишем ответ.

Ответ: \(8\).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:


Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями

Пример. Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\).

Решение:

\(\frac{x^2-9}{x-3}\)\(=\)

               

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

\(=\) \(\frac{x^2-3^2}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\)

 

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

\(=x+3\)

 

Готов ответ.

Ответ: \(x+3\).

Пример.Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\).
Решение:

\(25x^4-m^{10} t^6\)

               

Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^{nm}\) и \(a^n b^n=(ab)^n\).

\(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=\)

 

Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).

\(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )\)

 

Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) .
Решение:

\(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\)\(=\)

               

На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

\(\frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).

\(\frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.

\(\frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)

 

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

\(x-2y-3\)

 

Готов ответ.

Скачать статью

cos-cos.ru

Формулы сокращённого умножения | Алгебра

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения – это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab  –  сумма квадратов

a2 - b2 = (a + b)(a - b)  –  разность квадратов

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2  –  квадрат суммы

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2  –  квадрат разности

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)  –  сумма кубов

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)  –  разность кубов

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3  –  куб суммы

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3  –  куб разности

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения:

  • Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

    a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

    Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

    (a + b)2 - 2ab = (a + b)(a + b) - 2ab =

    = a2 + ab + ab + b2 - 2ab = a2 + b2

  • Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

    a2 - b2 = (a + b)(a - b)

    Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

    (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2

  • Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

    (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

  • Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

    Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

    (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

  • Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

    Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

    (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3

  • Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

    Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

    (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3

  • Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

    (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) =

    = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

  • Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

    Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

    (a - b)3 = (a - b)(a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2) =

    = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a2 + 2ab + b2

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a2 + ab + b2,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы – это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a2 - 2ab + b2

Это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a2 - ab + b2,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

naobumium.info

Формулы сокращённого умножения многочленов — Википедия

Формулы сокращённого умножения многочленов

 — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

  • 1 Формулы для квадратов
  • 2 Формулы для кубов
  • 3 Формулы для четвёртой степени
  • 4 Формулы для n-ой степени
  • 5 Некоторые свойства формул
  • 6 См. также
  • 7 Литература

Формулы для квадратов

  • (a±b)2=a2±2ab+b2{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
  • a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
  • (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}

Формулы для кубов

  • (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
  • a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2){\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
  • (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}

Формулы для четвёртой степени

  • (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
  • a4−b4=(a−b)(a+b)(a2+b2){\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a2−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}})

Формулы для n-ой степени

  • an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+...+a2bn−3+abn−2+bn−1){\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
  • a2n−b2n=(a+b)(a2n−1−a2n−2b+a2n−3b2−...−a2b2n−3+ab2n−2−b2n−1){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
  • a2n−b2n=(an+bn)(an−bn){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
  • a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n−a2n−1b+a2n−2b2−...+a2b2n−2−ab2n−1+b2n){\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

Некоторые свойства формул

  • (a−b)2n=(b−a)2n{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
  • (a−b)2n+1=−(b−a)2n+1{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

См. также

  • Многочлен
  • Бином Ньютона
  • Факторизация многочленов

Литература

  • М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

ru.wikipedia.org

7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения

1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)2 = a2+2ab+b

  a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)2 = a2-2ab+b2

 а)   (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2

б)   (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a2–b2 = (a–b)(a+b)

a)      9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

а)  (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

 

Запись имеет метки: Правила и формулы сокращенного умножения

www.mathematics-repetition.com

0 comments on “Формулы сокращенного умножения картинки – Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *