Ax 2 c: Реши уравнение ax^2=c — Школьные Знания.com

Виды неполных квадратных уравнений

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

  • ax2 + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
  • ax2 + c = 0, когда коэффициент b = 0.
  • ax2 = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Проще всего решаются уравнения вида ax2 = 0. Если a по определению квадратного уравнения не может быть равно нулю, то очевидно, что нулю может быть равен только x2, а значит, и сам x. У уравнений такого вида всегда есть один корень, он равен 0. Например:

–3x2 = 0
x2 = 0/–3
x2 = 0
x = √0
x = 0

Уравнения вида ax2 + c = 0 преобразуются к виду ax2 = –c и решаются аналогично предыдущему.

Однако корней здесь либо два, либо не одного.

ax2 + c = 0
ax2 = –c
x2 = –c/a
x = √(–c/a)

Здесь если подкоренное выражение отрицательно, то корней у уравнения нет. Если положительно, то корней будет два: √(–c/a) и –√(–c/a). Пример решения подобного уравнения:

4x2 – 16 = 0
4x2 = 16
x2 = 16 / 4
x2 = 4
x = √4
x1 = 2; x2 = –2

Неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0 решается вынесением общего множителя за скобку. В данном случае им является x. Получается уравнение x(ax + b) = 0. Это уравнение имеет два корня: либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая второе уравнение получаем x = –b/a. Таким образом, уравнения вида ax2 + bx = 0 имеют два корня: x1 = 0, x2 = –b/a. Пример решения такого уравнения:

3x2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x1 = 0; x2 = 10/3 = 3,(33)

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом.

Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax

2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax2

+ bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Смотрите также:

  1. Теорема Виета
  2. Следствия из теоремы Виета
  3. Тест на тему «Значащая часть числа»
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией

Как решать квадратные уравнения? Формулы и Примеры

Понятие квадратного уравнения

Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Есть три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школе Skysmart и попробуйте сами!


Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x2 — 2x + 6 = 0
  • x2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Запоминаем!

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax2 + c = 0, при b = 0;
  • ax2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax

2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax2 = 0.

Уравнение ax2 = 0 равносильно x2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x2 = 0 является нуль, так как 02 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x2 = 0.

Как решаем:

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

    −6x2 = 0

    x2 = 0

    x = √0

    x = 0

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax

2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax2 = - c,
  • разделим обе части на a: x2 = - c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x2 = - c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = - c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x2 = - c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)2 = - c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)2 = - c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению ax2 + c = 0, которое:

  • не имеет корней при — c/а < 0;
  • имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x2 + 5 = 0.

Как решать:

  1. Перенесем свободный член в правую часть:

    8x2 = - 5

  2. Разделим обе части на 8:

    x2 = - 5/8

  3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax

2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x2 + 0,125x = 0

Как решать:

  1. Вынести х за скобки

    х(0,5x + 0,125) = 0

  2. Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  3. Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  4. Разделить:

    х = 0,25

  5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Формула Виета


Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

 

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x2 − 6x + 8 = 0.

Как решаем:

  1. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

  2. Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

  3. Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x2 − 6x + 8 = 0. p>

     

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Выводим формулу корней квадратного уравнения

Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax2 + bx + c = 0.

Отсюда выводы про корни уравнения :

И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

Повторим:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

  • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b2−4ac;
  • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
  • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = - b2/2a;
  • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x2 + 28x — 49 = 0.

Как решаем:

  1. Найдем дискриминант: D = 282 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
  2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
  3. Найдем корень

    х = - 28/2(-4)

    х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x2 = 0.

Как решаем:

  1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    54 — 6x2 = 0 | *(-1)

    6x2 — 54 = 0

  2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    6x2 = 54

    х2 = 9

    х = ±√9

    х1 = 3, х2 = - 3

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x2— х = 0.

Как решаем:

  1. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    х(х — 1) = 0

    х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x2— 10 = 39.

Как решаем:

  1. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    x2— 10 = 39

    x2= 39 + 10

    x2= 49

    х = ±√49

    х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x2— 4x+94 = 0.

Как решаем:

  1. Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4)2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Приходите решать примеры на бытовых ситуациях, с красочными героями и в интерактивном формате.

Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2- 4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2- ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D1 = n2- ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

  • вычислить D1= n2- ac;
  • если D1< 0, значит действительных корней нет;
  • если D1= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
  • если же D1> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x2- 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x2- 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

  • x₁ + x₂ = - b/a,
  • x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x2- 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Свойства коэффициентов квадратного уравнения - Квадратные уравнения

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

Свойство 1

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если          a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то

x1 = 1, x2 = c/a

Свойство 2

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0Если          a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то 

x1 = -1, x2 = -c/a

        Пример:

        341x2 + 290x - 51 = 0

        Решение:

        Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

        Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию                                       

        свойства 2

        341 - 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы         

        можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

        Ответ: -1; 51/341.

Свойство 3

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0. Коэффициент b представлен в виде 2k, т.е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде

D = (b/2)2 + a*c

Пример:

        3x2 + 2,2x - 0,16 = 0

        Решение:

        Коэффициент b = 2,2 

        D = 1,12 + 3 * (-0,16) = 1,69

x1,2 = (-1,1 ± 1,3)/3   

Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b2 - 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 - 4x + 2 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = -4,  c = 2.

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 3 · 2 = 16 - 24 = -8,

D < 0.

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x2 - 6x + 9 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -6,  c = 9.

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0,

D = 0.

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ:  3.

Пример 3.

x2 - 4x - 5 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -5

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

D > 0.

Уравнение имеет два корня:

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,

x2 = (4 - 6) : 2 = -1.

Ответ:  5,  -1.

Урок 28. решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0. формула корней квадратного уравнения - Алгебра - 8 класс

Конспект

Квадратные уравнения можно решать методом выделения квадрата двучлена.

Напомним формулы квадрата разности и квадрата суммы.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Рассмотрим уравнение 5x2 – 6x + 1 = 0.

Преобразуем к приведённому виду. Разделим на 5 обе части уравнения:

Второй коэффициент представим в виде произведения:

Для выделения квадрата двучлена не хватает квадрата вычитаемого. Прибавим выражение к разности и, чтобы ничего не изменилось, вычтем его же:

Преобразуем уравнение в квадрат двучлена:

Перенеся слагаемые таким образом, чтобы в левой части был квадрат разности, а справа от знака равенства находилось свободное число, получим:

Извлечение корня из квадрата приводит к двум линейным уравнениям:
или .

В итоге получим x = 1 или x = 0,2.

Алгоритм решение квадратного уравнения в общем виде

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

Деление на первый коэффициент квадратного трёхчлена – получение приведённого квадратного уравнения:

Получение уравнения вида – квадрат многочлена слева, свободное число справа:

Приведение к общему знаменателю:

Число корней этого уравнения зависит от знака правой части.

4a2 > 0, значит, знак дроби зависит от знака выражения b2 – 4ac.

D = b2 – 4ac.

D – дискриминант.

Возможны три случая.

1. D = b2 – 4ac < 0.
Значит и уравнение не имеет действительных корней.

2. D = b2 – 4ac = 0.
Уравнение принимает вид , очевидно, что . Т. е. квадратное уравнение имеет один корень.

3. D = b2 – 4ac > 0.
или .
Получим два корня:
или .

Формула корней квадратного уравнения

, где D = b2 – 4ac.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение необходимо найти его дискриминант. Если он будет отрицательным, то сделать вывод, что корней нет. Если дискриминант окажется положительным или равным нулю, то корни можно будет найти, используя формулу корней квадратного уравнения.

Решим уравнение 5x2 – 6x + 1 = 0.

D = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 • 5 • 1 = 36 – 20 = 16 > 0.
Значит, уравнение имеет два корня.

Т. е. x1 = 0,2; x2 = 1.

Отдельно выделяют квадратные уравнения, у которых второй коэффициент является чётным числом.


D1 = k2 – ac
1. D1 = k2 – ac < 0. Нет корней.
2. D1 = k2 – ac ≥ 0. Корни уравнения: .

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Квадратичная функция y = ax² + bx + c. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1. Координаты точки пересечения графика квадратичной функции с осью Oy

Сложность: лёгкое

1
2. Значение квадратичной функции вида y = ax² + bx + c

Сложность: лёгкое

1
3. Координаты вершины параболы квадратичной функции вида y = ax² + bx

Сложность: лёгкое

2
4. Направление ветвей параболы

Сложность: лёгкое

1
5. Координаты вершины параболы квадратичной функции вида y = ax² + c

Сложность: лёгкое

1
6. Координаты вершины параболы квадратичной функции вида y = ax² + bx + c

Сложность: лёгкое

2
7. Значения квадратичной функции, таблица

Сложность: лёгкое

1,5
8. Точки пересечения графика квадратичной функции с осями координат

Сложность: лёгкое

1
9. Вопросы по графику квадратичной функции

Сложность: среднее

4
10. Построение графика квадратичной функции

Сложность: среднее

3
11. Нули квадратичной функции (определение графическое)

Сложность: лёгкое

1
12. Наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции (определение аналитическое)

Сложность: среднее

3
13. Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции (определение графическое)

Сложность: среднее

2
14. Интервалы знакопостоянства квадратичной функции

Сложность: среднее

2
15. Положительные и отрицательные значения квадратичной функции

Сложность: среднее

2
16. Интервалы возрастания и убывания квадратичной функции

Сложность: среднее

2
17. Принадлежность точки графику квадратичной функции (аналитическое решение)

Сложность: среднее

2
18. Построение графика и исследование квадратичной функции

Сложность: сложное

4
19. Максимальная площадь прямоугольного треугольника

Сложность: сложное

3
20. Максимальная площадь прямоугольника при данном периметре

Сложность: сложное

4
21. Максимальное значение функции

Сложность: сложное

3

Объяснение квадратичной формулы | Purplemath

Purplemath

Часто самый простой способ решить « ax 2 + bx + c = 0» для значения x - это разложить на множители квадратичный коэффициент, установить каждый коэффициент равным нулю и затем решить каждый фактор. Но иногда квадратичная величина слишком беспорядочная, или она вообще не учитывается, или вам просто не хочется вводить множители.Хотя факторинг не всегда может быть успешным, квадратная формула всегда может найти решение.

Квадратичная формула использует « a », « b » и « c » из « ax 2 + bx + c », где « a », » b c " - это просто числа; они представляют собой «числовые коэффициенты» квадратного уравнения, которые они дали вам решить.

MathHelp.com

Квадратичная формула получена из процесса завершения квадрата и официально записана как:

Квадратичная формула: для ax 2 + bx + c = 0, значения x , которые являются решениями уравнения, даются как:

Чтобы квадратичная формула работала, ваше уравнение должно иметь форму «(квадратичная) = 0». Кроме того, "2 a " в знаменателе Формулы находится под всем, что указано выше, а не только под квадратным корнем. И внизу это «2 a », а не просто «2». Убедитесь, что вы осторожны, чтобы не уронить квадратный корень или «плюс / минус» в середине ваших вычислений, иначе я могу гарантировать, что вы забудете «вставить их обратно» в свой тест, и вы запутаетесь себя вверх. Помните, что « b 2 » означает «квадрат ВСЕГО из b , включая его знак», поэтому не оставляйте b 2 отрицательным, даже если b отрицательно, потому что квадрат негатива - это позитив.

Другими словами, не будьте небрежны и не пытайтесь сокращать путь, потому что это только навредит вам в долгосрочной перспективе. Поверьте мне в этом!

Вот несколько примеров того, как работает квадратичная формула:

Это квадратичное значение множителя:

x 2 + 3 x - 4 = ( x + 4) ( x - 1) = 0

. .. поэтому я уже знаю, что решения: x = –4 и x = 1. Как мое решение будет выглядеть в квадратичной формуле? Используя a = 1, b = 3 и c = –4, мое решение выглядит так:

Тогда, как и ожидалось, решение будет x = –4, x = 1.


Предположим, у вас есть ax 2 + bx + c = y , и вам предлагается вставить ноль для y .Соответствующие значения x являются интерцепциями x на графике. Таким образом, решение ax 2 + bx + c = 0 для x означает, среди прочего, что вы пытаетесь найти x -перехватов. Поскольку было два решения для x 2 + 3 x - 4 = 0, тогда на графике должно быть два интерцепта x . Построив график, мы получим кривую ниже:

Как вы можете видеть, точки пересечения x (красные точки выше) соответствуют решениям, пересекая ось x на x = –4 и x = 1.Это показывает связь между построением графиков и решением: когда вы решаете "(квадратичный) = 0", вы находите точки пересечения x графика. Это может быть полезно, если у вас есть графический калькулятор, потому что вы можете использовать квадратичную формулу (при необходимости) для решения квадратичной, а затем использовать свой графический калькулятор, чтобы убедиться, что отображаемые интервалы x имеют те же десятичные значения, что и делать решения, предоставляемые квадратной формулой.

Обратите внимание, однако, что отображение графика калькулятором, вероятно, будет иметь некоторую ошибку округления, связанную с пикселями, поэтому вы должны проверить, были ли вычисленные и нанесенные на график значения достаточно близкими; не ожидайте точного совпадения.


  • Решите 2
    x 2 - 4 x - 3 = 0. При необходимости округлите ответ до двух десятичных знаков.

Нет множителей при (2) (- 3) = –6, которые в сумме дают –4, поэтому я знаю, что эту квадратичную нельзя разложить на множители. Я буду применять квадратичную формулу. В этом случае a = 2, b = –4 и c = –3:

Тогда ответ: x = –0.58, x = 2,58 с округлением до двух десятичных знаков.

Предупреждение: «Решение», «корни» или «нули» квадратичной функции обычно должны быть в «точной» форме ответа. В приведенном выше примере точная форма - это квадратный корень из десяти. Вам нужно будет получить аппроксимацию калькулятора, чтобы построить график пересечений по оси x или упростить окончательный ответ в текстовой задаче. Но если у вас нет веских оснований полагать, что ответ должен быть округленным, всегда используйте точную форму.

Сравните решения 2 x 2 - 4 x - 3 = 0 с интерцепциями x на графике:

Как и в предыдущем примере, интервалы x совпадают с нулями из квадратичной формулы. Это всегда правда. «Решениями» уравнения являются также точки пересечения x соответствующего графика.


URL: https: // www.purplemath.com/modules/quadform.htm

Алгебра: квадратные уравнения без линейного члена

Алгебра: квадратные уравнения без линейного члена - EnchantedLearning.com Рекламное объявление.

EnchantedLearning.com - это сайт, поддерживаемый пользователями.
В качестве бонуса участники сайта получают доступ к версии сайта без баннерной рекламы и страниц, удобных для печати.
Щелкните здесь, чтобы узнать больше.


(Уже зарегистрированы? Нажмите здесь.)

Решение квадратных уравнений без линейных членов:
Есть много способов решить квадратные уравнения. Самый простой тип квадратных уравнений имеет вид: ax 2 - c = 0 (без линейного члена, то есть без члена x 1 ). Этот тип уравнения также называется чистым квадратным уравнением и легко решается путем добавления c к каждой стороне, деления каждой стороны на a и последующего извлечения квадратного корня из каждой стороны.

Например:

Некоторые квадратные уравнения немного сложнее, например ax 2 + e = dx 2 + d.Проблемы этого типа также легко решить. Первый шаг - упростить уравнение путем объединения одинаковых членов (объединить элементы в квадрате и числа). Затем уравнение решается так же, как и в предыдущем примере (в математике проблемы часто решаются путем сведения их к типу задач, которые вы уже знаете, как решать).

Например:

Перейти к рабочим листам для печати по квадратным уравнениям (без линейного члена).


Enchanted Learning ®
Более 35 000 веб-страниц
Примеры страниц для потенциальных подписчиков или щелкните ниже

Нажмите, чтобы прочитать нашу Политику конфиденциальности



Зачарованный поиск обучения

Найдите на веб-сайте Enchanted Learning:

Рекламное объявление.Рекламное объявление. Рекламное объявление.

Авторские права © 2005-2018 EnchantedLearning.com ------ Как процитировать веб-страницу

Quadratics

Квадраты - многочлены степени 2.

Они бывают разных форм, но всегда имеют квадрат.

Примеры

Квадратичное выражение:

Квадратное уравнение:

Квадратичная функция:

Квадратичный график:

Квадратичное неравенство:

Квадратичное отображение:

Квадратичные графики

Квадратичные графики имеют отличительную U-образную форму
называется параболой.

Улыбка положительной параболы:

у = ах 2

Отрицательные параболы нахмурились!

у = - ах 2

Рисование парабол вида y = ax

2

Выберите значения для x и поместите их в таблицу.

Разработать соответствующий для у.

Постройте эти точки и соедините их плавной кривой.

Пример

Заполните таблицу значений для
уравнение y = x 2

Построение этих точек и объединение их плавной кривой дает

Обратите внимание, насколько симметричен график!

Пример

Заполните таблицу значений для
уравнение y = -5x 2

Построение этих точек и объединение их плавной кривой дает

Снова обратите внимание на симметричность графика!

Работа в обратном направлении

Пример

Найдите уравнение следующей параболы
вида y = ax 2

График имеет вид y = ax 2
Данная координата (2, 1)
Итак, x = 2 и y = 1 находятся на кривой

Подставить и решить

Параболы вида y = a (x-b)

2

Пример

Заполните таблицу значений для
уравнение y = (x-2) 2

Нанесение этих точек и объединение их плавной кривой дает



На этот раз график симметричен, когда x = 2

Точка поворота (2,0)

Ось симметрии b
в уравнении y = a (x-b) 2

Пример

Найдите уравнение следующей параболы
вида y = a (x-b) 2

График имеет вид y = a (x-b) 2
Данная координата (2, 3)
Итак, x = 2 и y = 3 находятся на кривой
. Подставляем и решаем

Параболы вида y = a (x-b)

2 + c

Пример

Заполните таблицу значений уравнения
у = -2 (х + 3) 2 + 2

Обратите внимание, что ось симметрии x = - 3

Работа в обратном направлении

Пример

Найдите уравнение следующей параболы
вида y = a (x-b) 2 + c

График имеет вид y = a (x-b) 2 + c

Данная координата (-3, -2)
Итак, x = -3 и y = -2 находятся на кривой


На графике b = -2, поскольку это ось симметрии.

Заменить x = -3, y = -2 и b = -2

Точка (-2, -5) также находится на кривой.

Итак, c = -5

Заменить на -2 = a + c

Подставляя a, b и c в исходное уравнение
у = а (х-б) 2 + с

Ось симметрии

Это квадрат в законченной квадратной форме.

Завершение площади

Параболы вида y = ax

2 + bx + c

Пример

Заполнить таблицу значений
для уравнения y = 2x 2 + 3x - 2


Поворотные точки

Положительные параболы имеют минимальную точку поворота.

Пример

Найдите точку поворота квадратичной

у = х 2 + 3х + 2

Точка поворота находится на оси симметрии.

Отрицательные параболы имеют максимальную точку поворота.

Корни

Корень уравнения - это значение, которое удовлетворяет условию
уравнение, когда его выражение установлено равным нулю.

Например, 0 = x 2 + 2x -3

Максимально возможное количество корней
совпадает со степенью многочлена,
поэтому у квадратичной может быть не более двух корней.
Не все квадраты имеют корни.

Чтобы найти корни квадратичной,
Нарисуйте график и посмотрите, где он пересекает ось x.

или

Установить y = 0 и разложить на множители (если возможно)

Пример

Из графика видно, что уравнение y = x 2 + 2x –3 имеет корни
х = -3 и х = 1

Это то же самое, что установить y на ноль и разложить на множители: -

Любая скобка может равняться 0, поэтому необходимо учитывать обе:

Таблица Excel

Построение парабол

Чтобы нарисовать график
y = ax 2 + bx + c

  • Определите форму как U (a> 0) или ∩ (a <0)
  • Найдите корни уравнения.

(ах 2 + bx + c = 0)

  • Отметьте корни на своей оси.
  • Отметьте точку (0, c) на вашей оси.
  • Найдите ось симметрии.

(½ пути между корнями)

  • Используйте это значение x, чтобы найти точку поворота.
  • Соедините значения плавной кривой.

Пример

Эскиз y = x 2 - 2x - 3

Это будет U-образная форма, так как a = 1

Он обрежет ось Y в точке (0, -3)

Пример

Эскиз y = 3-2x-x 2

Это будет форма ∩, так как a = -1

Он обрежет ось Y в точке (0,3)

Квадратные уравнения

Стандартная форма Квадратные уравнения имеют вид

Чтобы найти решение квадратного уравнения:

Записать выражение в стандартной квадратичной форме

Факторизуйтесь, если можете:

{Не забудьте найти общие множители и разницу двух квадратов}

Используйте квадратные формулы

Примеры

Решить 3x - 6x 2 = 0

Решить 49 - 9x 2 = 0

Решить 15x 2 - x - 6 = 0

Решить 15x 2 - x + 1 = 7

Факторизация квадратичных расчетов

Квадратичная формула

Если квадратичная величина не факторизуется,

попробуйте квадратичную формулу:

Пример

Решить 2 + 4x -5x 2 = 0

Дайте свой ответ в виде сурда.

Пример

Найдите корни 2 + 4x -5x 2

Ответьте правильно с точностью до двух десятичных знаков.

Не все квадраты разложить на множители

Дискриминант

Примеры


Дискриминант
б 2 - 4ac
= 3 2 - 4x1x4
= 9–16
= - 7

b 2 - 4ac <0
Нет настоящих корней

b 2 - 4ac
= 3 2 - 4x1x (-2)
= 9 +8
= 17

b 2 - 4ac> 0
Два отличных настоящих корня

б 2 - 4ac
= 6 2 - 4x1x9
= 36–36
= 0

b 2 - 4ac = 0
Корни равные и настоящие

Работа в обратном направлении

Пример

Корни (x - 1) (x + k) = -4 равны. 2-26 = 0b4−11b2−26 = 0

Если bbb действительное и положительное значение, то сколько bbb до 1 десятичного знака?

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения.Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни. Мы уже видели, что завершение квадрата - полезный метод решения квадратных уравнений.Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции

f ( x ) = ax 2 + bx + c

даются по формуле корней квадратного уравнения. Корни функции - это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю. Следовательно, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение:

ax 2 + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая x и упрощая, получаем

Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась. Мы называем термин b 2 −4 ac дискриминантом .Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет.

2. b 2 −4 ac = 0 Существует один действительный корень.

3. b 2 −4 ac > 0 Есть два действительных корня.

Рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Настоящие корни отсутствуют

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой. Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

f ( x ) = x 2 - 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

b 2 −4 ac = (−3) 2 - 4 · 1 · 4 = 9 - 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит выше оси x. Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: Один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке.Чтобы увидеть это, мы установили b 2 −4 ac = 0 в формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы. Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, - это

y = x 2 ,

, где действительный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

f ( x ) = −4 x 2 + 12 x - 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b 2 −4 ac = (12) 2 - 4 · −4 · −9 = 144 - 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x .Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехватывание). Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

f ( x ) = 2 x 2 -11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b 2 - 4 ac = (−11) 2 - 4 · 2 · 5 = 121 - 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже:

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение - это уравнение, которое можно записать как

ось 2 + bx + c = 0

, когда a 0.

Существует три основных метода решения квадратных уравнений: разложение на множители, использование формулы квадратов и завершение квадрата.

Факторинг

Чтобы решить квадратное уравнение факторингом,

  1. Поместите все члены с одной стороны от знака равенства, оставив ноль с другой стороны.

  2. Коэффициент

    .

  3. Установите каждый коэффициент равным нулю.

  4. Решите каждое из этих уравнений.

  5. Проверьте, подставив свой ответ в исходное уравнение.

Пример 1

Решить x 2 - 6 x = 16.

Следуя инструкциям,

x 2 - 6 x = 16 становится x 2 - 6 x - 16 = 0

Коэффициент

.

( x - 8) ( x + 2) = 0

Установка каждого коэффициента на ноль,

Затем проверить,

Оба значения, 8 и –2, являются решениями исходного уравнения.

Пример 2

Решить y 2 = - 6 y - 5.

Устанавливая все члены равными нулю,

y 2 + 6 y + 5 = 0

Коэффициент

.

( y + 5) ( y + 1) = 0

Установка каждого коэффициента на 0,

Для проверки, y 2 = –6 y - 5

Квадратичный с отсутствующим членом называется неполным квадратичным (если не пропущен член ax 2 ).

Пример 3

Решить x 2 - 16 = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 - 16 = 0

Пример 4

Решить x 2 + 6 x = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 + 6 x = 0

Пример 5

Решить 2 x 2 + 2 x - 1 = x 2 + 6 x - 5.

Во-первых, упростите, поместив все термины в одну сторону и комбинируя одинаковые термины.

Теперь фактор.

Для проверки, 2 x 2 + 2 x - 1 = x 2 + 6 x - 5

Квадратичная формула

Многие квадратные уравнения не могут быть решены факторизацией. Обычно это верно, когда корни или ответы не являются рациональными числами. Второй метод решения квадратных уравнений включает использование следующей формулы:

a, b, и c взяты из квадратного уравнения, записанного в его общей форме

ось 2 + bx + c = 0

, где a - это число перед x 2 , b - это число перед x , а c - это число без переменной рядом с ним (a .k.a., «постоянная»).

При использовании формулы квадратного уравнения вы должны знать о трех возможностях. Эти три возможности различаются частью формулы, называемой дискриминантом. Дискриминант - это значение под знаком корня, b 2 - 4 ac . Квадратное уравнение с действительными числами в качестве коэффициентов может иметь следующее:

  1. Два разных действительных корня, если дискриминант b 2 - 4 ac является положительным числом.

  2. Один действительный корень, если дискриминант b 2 - 4 ac равен 0.

  3. Нет действительного корня, если дискриминант b 2 - 4 ac является отрицательным числом.

Пример 6

Найдите x : x 2 - 5 x = –6.

Установка всех членов равными 0,

x 2 - 5 x + 6 = 0

Затем замените 1 (который, как предполагается, стоит перед x 2 ), –5 и 6 вместо a , b и c, соответственно в формуле корней квадратного уравнения и упростите.

Поскольку дискриминант b 2 - 4 ac положительный, вы получаете два разных действительных корня.

Пример производит рациональные корни. В примере , квадратная формула используется для решения уравнения, корни которого нерациональны.

Пример 7

Решить относительно y : y 2 = –2y + 2.

Установка всех членов равными 0,

y 2 + 2 y - 2 = 0

Затем замените 1, 2 и –2 на a , b и c, соответственно в формуле корней квадратного уравнения и упростите.

Обратите внимание, что два корня иррациональны.

Пример 8

Решить относительно x : x 2 + 2 x + 1 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 - 4 ac равен 0, уравнение имеет один корень.

Квадратичная формула также может использоваться для решения квадратных уравнений, корни которых являются мнимыми числами, то есть они не имеют решения в действительной системе счисления.

Пример 9

Найдите x : x ( x + 2) + 2 = 0 или x 2 + 2 x + 2 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 - 4 ac отрицателен, это уравнение не имеет решения в действительной системе счисления.

Но если бы вы выразили решение с помощью мнимых чисел, решения были бы такими.

Завершение квадрата

Третий метод решения квадратных уравнений, который работает как с действительными, так и с мнимыми корнями, называется завершением квадрата.

  1. Запишите уравнение в виде ax 2 + bx = - c .

  2. Убедитесь, что a = 1 (если a 1, умножьте уравнение на, прежде чем продолжить).

  3. Используя значение b из этого нового уравнения, сложите обе части уравнения, чтобы получить полный квадрат в левой части уравнения.

  4. Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения.

  5. Решите полученное уравнение.

Пример 10

Решить относительно x : x 2 - 6 x + 5 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 9 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

x - 3 = ± 2

Решить.

Пример 11

Решить относительно y : y 2 + 2 y - 4 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 1 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

Решить.

Пример 12

Решите относительно x : 2 x 2 + 3 x + 2 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a ≠ 1, умножаем уравнение на.

Добавьте или с обеих сторон.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

В действительной системе счисления нет решения. Вам может быть интересно узнать, что завершение квадратного процесса для решения квадратных уравнений использовалось для уравнения ax 2 + bx + c = 0 для вывода формулы квадратичного уравнения.

Чтобы построить графики уравнений в форме f (x) = ax + bx + c и интерпретировать эти графики ppt скачать

Презентация на тему: «Урок 9-2 Построение графиков y = ax + bx + c Цель: построить графики уравнений вида f (x) = ax + bx + c и интерпретировать эти графики. 2 2.» - Стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = "4502451947"] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = "4502451947"]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1

2 Урок 9-2 Построение графика y = ax + bx + c Цель: Построить график уравнений вида f (x) = ax + bx + c и интерпретировать эти графики. 2 2

3

4 В Уроке 9-1 мы исследовали графики y = ax 2 и y = x 2.

5 y = a (0) + b (0) + c 2 y = ax + bx + c 2 y = 0 + 0 + cy = c  Следовательно, c в квадратном уравнении является точкой пересечения параболы с y. перехват для каждой функции.

6 Пример 1 a. Учитывая уравнение y = -x - 4, определите, открывается ли парабола вверх или вниз. б) Определите точку пересечения по оси Y без ее построения. c. Составьте таблицу значений и нанесите график функции. г. Определите его ось симметрии и вершину. 2

7 Пример 2 Рассмотрим уравнение f (x) = 2x - 8x + 6 и воспользуемся таблицей значений, чтобы ответить на вопросы. Ваша таблица должна включать отрицательные и положительные значения. Если возможно, определить вершину параболы, используя таблицу значений? Какое уравнение оси симметрии параболы? Найдите точку пересечения оси Y без построения графиков. Постройте параболу. Каковы координаты x двух точек, где y = 16? 2

8 Пример 2 Рассмотрим уравнение f (x) = 2x - 8x + 6 и воспользуемся таблицей значений, чтобы ответить на вопросы.Ваша таблица должна включать отрицательные и положительные значения. Если возможно, определить вершину параболы, используя таблицу значений? Какое уравнение оси симметрии параболы? Найдите точку пересечения оси Y без построения графиков. Постройте параболу. Каковы координаты x двух точек, где y = 16? 2

9

10 Прочтите Урок 9-3 и заполните учебное пособие.

0 comments on “Ax 2 c: Реши уравнение ax^2=c — Школьные Знания.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *