Значение косинуса: Таблица косинусов углов от 0° до 360°

Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° - 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.

Таблица косинусов углов от 0° - 360°. Углы с шагом в 1°. Версия для печати.

cos(0°)=cos(360°)=1; точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1") здесь.

Углы
1° - 90°

Углы
91 ° - 180°

Углы
181° - 270°

Углы
271 ° - 360°

Угол

Cos

cos= 0.9998
cos= 0.9994
cos= 0.9986
cos= 0.9976
cos= 0.9962
cos= 0.9945
cos= 0.9925
cos= 0.9903
cos= 0.9877
10° cos= 0.9848
11° cos= 0.9816
12° cos= 0.9781
13° cos= 0.9744
14° cos= 0.9703
15° cos= 0.9659
16° cos= 0.9613
17° cos= 0.9563
18° cos= 0.9511
19° cos= 0.9455
20° cos= 0.9397
21° cos= 0.9336
22° cos= 0.9272
23° cos= 0.9205
24° cos= 0.9135
25° cos= 0.9063
26° cos= 0.8988
27° cos= 0.891
28°
cos= 0.8829
29° cos= 0.8746
30° cos= 0.866
31° cos= 0.8572
32° cos= 0.848
33° cos= 0.8387
34° cos= 0.829
35° cos= 0.8192
36° cos= 0.809
37° cos= 0.7986
38° cos= 0.788
39° cos= 0.7771
40°
cos= 0.766
41° cos= 0.7547
42° cos= 0.7431
43° cos= 0.7314
44° cos= 0.7193
45° cos= 0.7071
46° cos= 0.6947
47° cos= 0.682
48° cos= 0.6691
49° cos= 0.6561
50° cos= 0.6428
51° cos= 0.6293
52°
cos= 0.6157
53° cos= 0.6018
54° cos= 0.5878
55° cos= 0.5736
56° cos= 0.5592
57° cos= 0.5446
58° cos= 0.5299
59° cos= 0.515
60° cos= 0.5
61° cos= 0.4848
62° cos= 0.4695
63° cos= 0.454
64°
cos= 0.4384
65° cos= 0.4226
66° cos= 0.4067
67° cos= 0.3907
68° cos= 0.3746
69° cos= 0.3584
70° cos= 0.342
71° cos= 0.3256
72° cos= 0.309
73° cos= 0.2924
74° cos= 0.2756
75° cos= 0.2588
76° cos= 0.2419
77° cos= 0.225
78° cos= 0.2079
79° cos= 0.1908
80° cos= 0.1736
81° cos= 0.1564
82° cos= 0.1392
83° cos= 0.1219
84° cos= 0.1045
85° cos= 0.0872
86° cos= 0.0698
87° cos= 0.0523
88° cos= 0.0349
89° cos= 0.0175
90° cos= 0

Угол

Cos

91° cos= -0.0175
92° cos= -0.0349
93° cos= -0.0523
94° cos= -0.0698
95° cos= -0.0872
96° cos= -0.1045
97° cos= -0.1219
98°
cos= -0.1392
99° cos= -0.1564
100° cos= -0.1736
101° cos= -0.1908
102° cos= -0.2079
103° cos= -0.225
104° cos= -0.2419
105° cos= -0.2588
106° cos= -0.2756
107° cos= -0.2924
108° cos= -0.309
109° cos= -0.3256
110°
cos= -0.342
111° cos= -0.3584
112° cos= -0.3746
113° cos= -0.3907
114° cos= -0.4067
115° cos= -0.4226
116° cos= -0.4384
117° cos= -0.454
118° cos= -0.4695
119° cos= -0.4848
120° cos= -0.5
121° cos= -0.515
122°
cos= -0.5299
123° cos= -0.5446
124° cos= -0.5592
125° cos= -0.5736
126° cos= -0.5878
127° cos= -0.6018
128° cos= -0.6157
129° cos= -0.6293
130° cos= -0.6428
131° cos= -0.6561
132° cos= -0.6691
133° cos= -0.682
134° cos= -0.6947
135° cos= -0.7071
136° cos= -0.7193
137° cos= -0.7314
138° cos= -0.7431
139° cos= -0.7547
140° cos= -0.766
141° cos= -0.7771
142° cos= -0.788
143° cos= -0.7986
144° cos= -0.809
145° cos= -0.8192
146° cos= -0.829
147° cos= -0.8387
148° cos= -0.848
149° cos= -0.8572
150° cos= -0.866
151° cos= -0.8746
152° cos= -0.8829
153° cos= -0.891
154° cos= -0.8988
155° cos= -0.9063
156° cos= -0.9135
157° cos= -0.9205
158° cos= -0.9272
159° cos= -0.9336
160° cos= -0.9397
161° cos= -0.9455
162° cos= -0.9511
163° cos= -0.9563
164° cos= -0.9613
165° cos= -0.9659
166° cos= -0.9703
167° cos= -0.9744
168° cos= -0.9781
169° cos= -0.9816
170° cos= -0.9848
171° cos= -0.9877
172° cos= -0.9903
173° cos= -0.9925
174° cos= -0.9945
175° cos= -0.9962
176° cos= -0.9976
177° cos= -0.9986
178° cos= -0.9994
179° cos= -0.9998
180° cos= -1

Угол

Cos

181° cos=-0.9998
182° cos=-0.9994
183° cos=-0.9986
184° cos=-0.9976
185° cos=-0.9962
186° cos=-0.9945
187° cos=-0.9925
188° cos=-0.9903
189° cos=-0.9877
190° cos=-0.9848
191° cos=-0.9816
192° cos=-0.9781
193° cos=-0.9744
194° cos=-0.9703
195° cos=-0.9659
196° cos=-0.9613
197° cos=-0.9563
198° cos=-0.9511
199° cos=-0.9455
200° cos=-0.9397
201° cos=-0.9336
202° cos=-0.9272
203° cos=-0.9205
204° cos=-0.9135
205° cos=-0.9063
206° cos=-0.8988
207° cos=-0.891
208° cos=-0.8829
209° cos=-0.8746
210° cos=-0.866
211° cos=-0.8572
212° cos=-0.848
213° cos=-0.8387
214° cos=-0.829
215° cos=-0.8192
216° cos=-0.809
217° cos=-0.7986
218° cos=-0.788
219° cos=-0.7771
220° cos=-0.766
221° cos=-0.7547
222° cos=-0.7431
223° cos=-0.7314
224° cos=-0.7193
225° cos=-0.7071
226° cos=-0.6947
227° cos=-0.682
228° cos=-0.6691
229° cos=-0.6561
230° cos=-0.6428
231° cos=-0.6293
232° cos=-0.6157
233° cos=-0.6018
234° cos=-0.5878
235° cos=-0.5736
236° cos=-0.5592
237° cos=-0.5446
238° cos=-0.5299
239° cos=-0.515
240° cos=-0.5
241° cos=-0.4848
242° cos=-0.4695
243° cos=-0.454
244° cos=-0.4384
245° cos=-0.4226
246° cos=-0.4067
247° cos=-0.3907
248° cos=-0.3746
249° cos=-0.3584
250° cos=-0.342
251° cos=-0.3256
252° cos=-0.309
253° cos=-0.2924
254° cos=-0.2756
255° cos=-0.2588
256° cos=-0.2419
257° cos=-0.225
258° cos=-0.2079
259° cos=-0.1908
260° cos=-0.1736
261° cos=-0.1564
262° cos=-0.1392
263° cos=-0.1219
264° cos=-0.1045
265° cos=-0.0872
266° cos=-0.0698
267° cos=-0.0523
268° cos=-0.0349
269° cos=-0.0175
270° cos=0

Угол

Cos

271° cos=0.0175
272° cos=0.0349
273° cos=0.0523
274° cos=0.0698
275° cos=0.0872
276° cos=0.1045
277° cos=0.1219
278° cos=0.1392
279° cos=0.1564
280° cos=0.1736
281° cos=0.1908
282° cos=0.2079
283° cos=0.225
284° cos=0.2419
285° cos=0.2588
286° cos=0.2756
287° cos=0.2924
288° cos=0.309
289° cos=0.3256
290° cos=0.342
291° cos=0.3584
292° cos=0.3746
293° cos=0.3907
294° cos=0.4067
295° cos=0.4226
296° cos=0.4384
297° cos=0.454
298° cos=0.4695
299° cos=0.4848
300° cos=0.5
301° cos=0.515
302° cos=0.5299
303° cos=0.5446
304° cos=0.5592
305° cos=0.5736
306° cos=0.5878
307° cos=0.6018
308° cos=0.6157
309° cos=0.6293
310° cos=0.6428
311° cos=0.6561
312° cos=0.6691
313° cos=0.682
314° cos=0.6947
315° cos=0.7071
316° cos=0.7193
317° cos=0.7314
318° cos=0.7431
319° cos=0.7547
320° cos=0.766
321° cos=0.7771
322° cos=0.788
323° cos=0.7986
324° cos=0.809
325° cos=0.8192
326° cos=0.829
327° cos=0.8387
328° cos=0.848
329° cos=0.8572
330° cos=0.866
331° cos=0.8746
332° cos=0.8829
333° cos=0.891
334° cos=0.8988
335° cos=0.9063
336° cos=0.9135
337° cos=0.9205
338° cos=0.9272
339° cos=0.9336
340° cos=0.9397
341° cos=0.9455
342° cos=0.9511
343° cos=0.9563
344° cos=0.9613
345° cos=0.9659
346° cos=0.9703
347° cos=0.9744
348° cos=0.9781
349° cos=0.9816
350° cos=0.9848
351° cos=0.9877
352° cos=0.9903
353° cos=0.9925
354° cos=0.9945
355° cos=0.9962
356° cos=0.9976
357° cos=0.9986
358° cos=0.9994
359° cos=0.9998
360° cos=1
таблица косинусов, косинусы углов в угловых градусах ,cos α, cosinus, сколько составляет косинус?, узнать косинус, косинус градусов

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций

Доп. Инфо:

  1. Таблица синусов углов от 0° - 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений синусов.
  2. Таблица синусов, она-же косинусов точная.
  3. Таблица косинусов углов от 0° - 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов.
  4. Таблица тангенсов углов углов от 0° - 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
  5. Таблица котангенсов углов углов от 0° - 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений котангенса, ctg
  6. Таблица тангенсов, она же котангенсов точная.
  7. Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций.
  8. Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.
  9. Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.
  10. Таблица соответствия угловых градусов, радиан, оборотов, тысячных (артиллерийских РФ). 0-360 градусов, 0-2π радиан.

Таблица косинусов (полная, градусы и значения)

В данной таблице представлены значения косинусов от 0° до 360°. Таблица косинусов нужна, чтобы узнать, чему равен косинус угла. Нужно только найти его в таблице. Для начала короткая версия таблицы.

https://uchim.org/matematika/tablica-kosinusov - uchim.org

Таблица косинусов для 0°-180°

cos(1°)0.9998
cos(2°)0.9994
cos(3°)0.9986
cos(4°)0.9976
cos(5°)0.9962
cos(6°)0.9945
cos(7°)0.9925
cos(8°)0.9903
cos(9°)0.9877
cos(10°)0.9848
cos(11°)0.9816
cos(12°)0.9781
cos(13°)0.9744
cos(14°)0.9703
cos(15°)0.9659
cos(16°)0.9613
cos(17°)0.9563
cos(18°)0.9511
cos(19°)0.9455
cos(20°)0.9397
cos(21°)0.9336
cos(22°)0.9272
cos(23°)0.9205
cos(24°)0.9135
cos(25°)0.9063
cos(26°)0.8988
cos(27°)0.891
cos(28°)0.8829
cos(29°)0.8746
cos(30°)0.866
cos(31°)0.8572
cos(32°)0.848
cos(33°)0.8387
cos(34°)0.829
cos(35°)0.8192
cos(36°)0.809
cos(37°)0.7986
cos(38°)0.788
cos(39°)0.7771
cos(40°)0.766
cos(41°)0.7547
cos(42°)0.7431
cos(43°)0.7314
cos(44°)0.7193
cos(45°)0.7071
cos(46°)0.6947
cos(47°)0.682
cos(48°)0.6691
cos(49°)0.6561
cos(50°)0.6428
cos(51°)0.6293
cos(52°)0.6157
cos(53°)0.6018
cos(54°)0.5878
cos(55°)0.5736
cos(56°)0.5592
cos(57°)0.5446
cos(58°)0.5299
cos(59°)0.515
cos(60°)0.5
cos(61°)0.4848
cos(62°)0.4695
cos(63°)0.454
cos(64°)0.4384
cos(65°)0.4226
cos(66°)0.4067
cos(67°)0.3907
cos(68°)0.3746
cos(69°)0.3584
cos(70°)0.342
cos(71°)0.3256
cos(72°)0.309
cos(73°)0.2924
cos(74°)0.2756
cos(75°)0.2588
cos(76°)0.2419
cos(77°)0.225
cos(78°)0.2079
cos(79°)0.1908
cos(80°)0.1736
cos(81°)0.1564
cos(82°)0.1392
cos(83°)0.1219
cos(84°)0.1045
cos(85°)0.0872
cos(86°)0.0698
cos(87°)0.0523
cos(88°)0.0349
cos(89°)0.0175
cos(90°)0
cos(91°)-0.0175
cos(92°)-0.0349
cos(93°)-0.0523
cos(94°)-0.0698
cos(95°)-0.0872
cos(96°)-0.1045
cos(97°)-0.1219
cos(98°)-0.1392
cos(99°)-0.1564
cos(100°)-0.1736
cos(101°)-0.1908
cos(102°)-0.2079
cos(103°)-0.225
cos(104°)-0.2419
cos(105°)-0.2588
cos(106°)-0.2756
cos(107°)-0.2924
cos(108°)-0.309
cos(109°)-0.3256
cos(110°)-0.342
cos(111°)-0.3584
cos(112°)-0.3746
cos(113°)-0.3907
cos(114°)-0.4067
cos(115°)-0.4226
cos(116°)-0.4384
cos(117°)-0.454
cos(118°)-0.4695
cos(119°)-0.4848
cos(120°)-0.5
cos(121°)-0.515
cos(122°)-0.5299
cos(123°)-0.5446
cos(124°)-0.5592
cos(125°)-0.5736
cos(126°)-0.5878
cos(127°)-0.6018
cos(128°)-0.6157
cos(129°)-0.6293
cos(130°)-0.6428
cos(131°)-0.6561
cos(132°)-0.6691
cos(133°)-0.682
cos(134°)-0.6947
cos(135°)-0.7071
cos(136°)-0.7193
cos(137°)-0.7314
cos(138°)-0.7431
cos(139°)-0.7547
cos(140°)-0.766
cos(141°)-0.7771
cos(142°)-0.788
cos(143°)-0.7986
cos(144°)-0.809
cos(145°)-0.8192
cos(146°)-0.829
cos(147°)-0.8387
cos(148°)-0.848
cos(149°)-0.8572
cos(150°)-0.866
cos(151°)-0.8746
cos(152°)-0.8829
cos(153°)-0.891
cos(154°)-0.8988
cos(155°)-0.9063
cos(156°)-0.9135
cos(157°)-0.9205
cos(158°)-0.9272
cos(159°)-0.9336
cos(160°)-0.9397
cos(161°)-0.9455
cos(162°)-0.9511
cos(163°)-0.9563
cos(164°)-0.9613
cos(165°)-0.9659
cos(166°)-0.9703
cos(167°)-0.9744
cos(168°)-0.9781
cos(169°)-0.9816
cos(170°)-0.9848
cos(171°)-0.9877
cos(172°)-0.9903
cos(173°)-0.9925
cos(174°)-0.9945
cos(175°)-0.9962
cos(176°)-0.9976
cos(177°)-0.9986
cos(178°)-0.9994
cos(179°)-0.9998
cos(180°)-1

Таблица косинусов для 181°-360°

cos(181°)-0.9998
cos(182°)-0.9994
cos(183°)-0.9986
cos(184°)-0.9976
cos(185°)-0.9962
cos(186°)-0.9945
cos(187°)-0.9925
cos(188°)-0.9903
cos(189°)-0.9877
cos(190°)-0.9848
cos(191°)-0.9816
cos(192°)-0.9781
cos(193°)-0.9744
cos(194°)-0.9703
cos(195°)-0.9659
cos(196°)-0.9613
cos(197°)-0.9563
cos(198°)-0.9511
cos(199°)-0.9455
cos(200°)-0.9397
cos(201°)-0.9336
cos(202°)-0.9272
cos(203°)-0.9205
cos(204°)-0.9135
cos(205°)-0.9063
cos(206°)-0.8988
cos(207°)-0.891
cos(208°)-0.8829
cos(209°)-0.8746
cos(210°)-0.866
cos(211°)-0.8572
cos(212°)-0.848
cos(213°)-0.8387
cos(214°)-0.829
cos(215°)-0.8192
cos(216°)-0.809
cos(217°)-0.7986
cos(218°)-0.788
cos(219°)-0.7771
cos(220°)-0.766
cos(221°)-0.7547
cos(222°)-0.7431
cos(223°)-0.7314
cos(224°)-0.7193
cos(225°)-0.7071
cos(226°)-0.6947
cos(227°)-0.682
cos(228°)-0.6691
cos(229°)-0.6561
cos(230°)-0.6428
cos(231°)-0.6293
cos(232°)-0.6157
cos(233°)-0.6018
cos(234°)-0.5878
cos(235°)-0.5736
cos(236°)-0.5592
cos(237°)-0.5446
cos(238°)-0.5299
cos(239°)-0.515
cos(240°)-0.5
cos(241°)-0.4848
cos(242°)-0.4695
cos(243°)-0.454
cos(244°)-0.4384
cos(245°)-0.4226
cos(246°)-0.4067
cos(247°)-0.3907
cos(248°)-0.3746
cos(249°)-0.3584
cos(250°)-0.342
cos(251°)-0.3256
cos(252°)-0.309
cos(253°)-0.2924
cos(254°)-0.2756
cos(255°)-0.2588
cos(256°)-0.2419
cos(257°)-0.225
cos(258°)-0.2079
cos(259°)-0.1908
cos(260°)-0.1736
cos(261°)-0.1564
cos(262°)-0.1392
cos(263°)-0.1219
cos(264°)-0.1045
cos(265°)-0.0872
cos(266°)-0.0698
cos(267°)-0.0523
cos(268°)-0.0349
cos(269°)-0.0175
cos(270°)-0
cos(271°)0.0175
cos(272°)0.0349
cos(273°)0.0523
cos(274°)0.0698
cos(275°)0.0872
cos(276°)0.1045
cos(277°)0.1219
cos(278°)0.1392
cos(279°)0.1564
cos(280°)0.1736
cos(281°)0.1908
cos(282°)0.2079
cos(283°)0.225
cos(284°)0.2419
cos(285°)0.2588
cos(286°)0.2756
cos(287°)0.2924
cos(288°)0.309
cos(289°)0.3256
cos(290°)0.342
cos(291°)0.3584
cos(292°)0.3746
cos(293°)0.3907
cos(294°)0.4067
cos(295°)0.4226
cos(296°)0.4384
cos(297°)0.454
cos(298°)0.4695
cos(299°)0.4848
cos(300°)0.5
cos(301°)0.515
cos(302°)0.5299
cos(303°)0.5446
cos(304°)0.5592
cos(305°)0.5736
cos(306°)0.5878
cos(307°)0.6018
cos(308°)0.6157
cos(309°)0.6293
cos(310°)0.6428
cos(311°)0.6561
cos(312°)0.6691
cos(313°)0.682
cos(314°)0.6947
cos(315°)0.7071
cos(316°)0.7193
cos(317°)0.7314
cos(318°)0.7431
cos(319°)0.7547
cos(320°)0.766
cos(321°)0.7771
cos(322°)0.788
cos(323°)0.7986
cos(324°)0.809
cos(325°)0.8192
cos(326°)0.829
cos(327°)0.8387
cos(328°)0.848
cos(329°)0.8572
cos(330°)0.866
cos(331°)0.8746
cos(332°)0.8829
cos(333°)0.891
cos(334°)0.8988
cos(335°)0.9063
cos(336°)0.9135
cos(337°)0.9205
cos(338°)0.9272
cos(339°)0.9336
cos(340°)0.9397
cos(341°)0.9455
cos(342°)0.9511
cos(343°)0.9563
cos(344°)0.9613
cos(345°)0.9659
cos(346°)0.9703
cos(347°)0.9744
cos(348°)0.9781
cos(349°)0.9816
cos(350°)0.9848
cos(351°)0.9877
cos(352°)0.9903
cos(353°)0.9925
cos(354°)0.9945
cos(355°)0.9962
cos(356°)0.9976
cos(357°)0.9986
cos(358°)0.9994
cos(359°)0.9998
cos(360°)1

Как легко запомнить таблицу косинусов (видео)

Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций: таблица синусов, таблица тангенсов и таблица котангенсов.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица косинусов (полная, градусы и значения)

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Определение 1

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке: 

 

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Пример 1

При повороте из точки A на 360·z°, она переходит в себя. А1(1, 0). Синус 0°, 360°, 720° равен 0, а косинус равен 1.  Представим это в виде формулы: sin (360°·z)=0 и cos (360°·z)=1 .

Можно определить, что tg (360°·z)=01=0 , а котангенс не определен. 

Пример 2

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1).  По определению:  sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 . 

Пример 3

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Пример 4

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270+360·z° мы попадем в A1(0, −1). Мы находим значения всех функций кроме тангенса.  

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °…, точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла −52 °.  Выполним построения. 

Согласно рисунку, абсцисса А1 ≈ 0,62, а ордината ≈ −0,78. Соответственно, sin(-52°)≈-0,78 и cos(-52°)≈0,62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом. 

Выполняем вычисления:  tg(-52°)≈-0, 780, 62≈-1,26 и ctg(-52°)≈0,62-0,78≈-0,79. 

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Определение 2

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 5

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1. Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла,  равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 12-122=32 .  Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30°=121=12 и sin 60°=321=32 . 

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30°=321=32 и cos 60°=121=12 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий. 

Вычисляем: tg 30°=1232=13=33 и tg 60°=3212=3 . Находим котангенс по подобной схеме: сtg 30°=3212=3 и сtg 60°=1232=13=33 .  После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45° и гипотенузой, которая равна 1. Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 22 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: ctg 45°=2222=1 . 

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Определение 3

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 . 

Определение 4

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Пример 6

Необходимо найти значение синуса угла π8, если tg π8=2-1 . 

Сначала найдем котангенс угла: ctgπ8=1tgπ8=12-1=2+1(2-1)·(2+1)= 2+1(2)2-12=2+1  Воспользуемся формулой 1+ctg2α=1sin2α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin2π8=11+ctg2π8=11+(2+1)2=14+22=12·(2+2)=2-22·(2+2)·(2-2)==2-22·(22-(2)2)=2-24

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π8=sin2π8=2-24=2-22 .  sin π8=2-22.

Сведение к углу 

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Пример 7

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Пример 8

Найдите значение tgπ8 . 

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства tg2π8=1-cosπ41+cosπ4 . Значения косинуса угла π4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=1-221+22=2-22+2==(2-2)2(2+2)·(2-2)=(2-2)222-(2)2=(2-2)22 

Угол π8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: tgπ8=tg2π8=(2-2)22=2-22=2-1

tgπ8=2-1.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность.°}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos⁡\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Содержание:


Аргумент и значение


Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.


2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.


3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.



Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).

Например, для числа \(\frac{π}{6}\) - косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).


Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.


Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать - проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.


Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.


И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) - всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).


Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) - целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла - отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

- там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
- там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III  четверти – фиолетовая область).2⁡x}\)
котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sin⁡x}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

Функция \(y=\cos{x}\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) - соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:


График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

      - область определения – любое значение икса:   \(D(\cos{⁡x} )=R\)
      - область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\cos{x} )=[-1;1]\)
      - четная:   \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)
      - периодическая с периодом \(2π\):   \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)
      - точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
             ось ординат:   \((0;1)\)
      - промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция отрицательна на интервалах:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
      - промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция убывает на интервалах:    \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
       - максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
             функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Смотрите также:

Синус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения \(\cos⁡x=a\)

Скачать статью

Таблица косинусов | Главный механик

Содержание статьи
  1. Что такое косинус угла и как его применять в решении задач
  2. Как рассчитать косинус угла без формул
  3. Калькулятор расчета косинуса онлайн
  4. Примеры решения задач по геометрии по нахождению неизвестных величин с применением таблицы косинусов Брадиса

Таблица косинусов
это удобное решение для проведения быстрых расчетов, когда нужно получить числовое значение косинуса того или иного угла. В статье мы узнаем, что такое косинус, чем похожи и как связаны таблица синусов и косинусов, как использовать таблицу синусов Брадиса для получения конкретных числовых значений косинуса того или иного угла.

Что такое косинус угла и как его применять в решении задач

Начнем с того, что каждый знает, что такое прямоугольный треугольник. Им называется такой треугольник, у которого один из углов (C) прямой (равен 90°), остальные два угла (? и ?) острые. Он имеет стандартное обозначение углов и сторон. Тогда, что такое косинус угла, можно рассмотреть дальше.

Прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) – катеты, сторона с (AB) – гипотенуза

Прямой угол всегда равен 90°, острый – всегда меньше, а тупой – больше 90°

Согласно теореме косинусов, что бы рассчитать угол α или β, нужно знать длину гипотенузы (АВ) и прилежащий к этому углу катет.

Косинус – это отношение прилежащей стороны к гипотенузе:
  • cos α = b деленное на с;
  • cos β = а(BC)/с(AB) .

То есть, если вам нужно узнать, например, какой высоты делать крышу над домом, если известна ширина дома и угол наклона крыши, что бы снег не задерживался, то высоту конька рассчитать не составит труда, применяя теорему косинусов. Нужно помнить, что такие функции, как косинусы и синусы в формулах зависят от угла. Синус работает с противолежащей стороной, косинус с работает прилежащей.

Это тригонометрические формулы для вычисления углов в треугольнике через тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс

Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе

Если треугольник не прямоугольный, его параметры также можно рассчитать, используя теорему Евклида. Суть ее в том, что треугольник, лежащий на плоскости, и имеющий стороны а, b, с, а также углом α, который находится напротив стороны а, может быть рассчитан по следующей формуле:

а²= b²+с²-2²· b· cos α или:

Отсюда можем найти cos α, cos α =( b²+2²- а²) : 2bс.

Небольшое уточнение: если угол α менее 90°, тогда b²+2²- а² > 0, если α =90°, то b²+2²- а²=0, если α >90°,то есть угол тупой, то и b²+2²- а²< 0.

То же самые расчеты делаем для других углов треугольника:

  • с² = а² + b² – 2аb cosγ,
  • b² = а² + с² – 2ас cosβ.

Как рассчитать косинус угла без формул
Есть некоторые углы, рассчитать косинус которых можно без формул, применяя
таблицу синусов и косинусов π. В ней расчет идет через число π, которое делится на целое число, в зависимости от размера угла, то есть sin 30° = π : 6 или 0,5, cos 30° = √3: 2. В такой таблице есть данные косинуса 30 градусов, косинуса 45 градусов, косинуса 60 градусов, косинуса 90 градусов, косинуса 120 градусов, косинус 180 градусов, косинус 270 градусов, косинус 360 градусов, косинус 0, а также аналогичные значения синусов.

Ниже приведена таблица косинусов, дополнительно указаны синусы в их числовом выражении.

Значение угла α (градусов) Значение угла α в радианах COS (косинус) 
Косинус 0 градусов01
Косинус 15 градусовπ/120.9659
Косинус 30 градусовπ/60.866
Косинус 45 градусовπ/40.7071
Косинус 50 градусов5π/180.6428
Косинус 60 градусовπ/30.5
Косинус 65 градусов13π/360.4226
Косинус 70 градусов7π/180.342
Косинус 75 градусов5π/120.2588
Косинус 90 градусовπ/20
Косинус 105 градусов 5π/12-0.2588
Косинус 120 градусов2π/3-0.5
Косинус 135 градусов3π/4-0.7071
Косинус 140 градусов7π/9-0.766
Косинус 150 градусов5π/6-0.866
Косинус 180 градусовπ-1
Косинус 270 градусов3π/20
Косинус 360 градусов1

Калькулятор расчета косинуса онлайн

Примеры решения задач по геометрии по нахождению неизвестных величин с применением таблицы косинусов Брадиса

Пример 1: Для примера решим следующую задачу. Берем прямоугольный треугольник, у него нужно найти оба угла, но известны гипотенуза с = 12 см, сторона b = 9,2 см. По теореме косинусов

cos α = b : с, cos α = 9,2: 12 = 0, 7667. Далее открываем таблицу Брадиса и научимся, как ею пользоваться для нахождения косинуса угла. С левой стороны таблицы мы напротив косинусов находим ближайшее значение 0, 7672, которое соответствует 39°, поднимаем линию до значения минут и находим 54′.

Но наше значение меньше табличного на 0,0006, что становит 3′. Тогда мы вычитаем эту поправку 3′, 39°54′ – 3′ = 39°51′. Второй угол находим, исходя из того, что сумма всех углов в треугольнике не должна превышать 180°. Поэтому 180° – (90° + 39°51′) = 50° 09′. Угол β = 50° 09′. Решаем задачу дальше. Ищем сторону а. Для этого мы можем использовать два способа.

  1. по формуле а²= b²+с²-2²· b· cos α находим сторону а;
  2. по формуле cos β=sinα = а: с, а = с · cos β.

Второй вариант немного проще в вычислении. Обращаемся к таблице Брадиса снова. У нас ближайшее значение 50° 06′ = 0,6414. Поправка на 3′ составляет 0, 0007. Тогда 0, 6414 + 0,0007 = 0,6421.

По условию с = 12 см, тогда а = 12 · 0,6421 = 7,7 см. Задача решена. Если значения углов простые, таблица косинусов и синусов может упростить вычисление. Можно использовать следующие тождества: sin (90°+15°) = cos 15°= cos (90°-75°) = sin 75° Функции повторяются, только нужно учитывать знак. Если нужно найти косинус 145 градусов, находим угол до 90 градусов. 180 °– 145° = 35°. Косинус 35 градусов будет 0,8192 по таблице, если это 145°, это будет значение с отрицательным значением -0,8192.

Пример 2: Рассмотрим треугольник с произвольными углами, ни один из которых не равен 90°. Мы имеем две стороны с =12 см, b = 8,2 см, а также угол α, который равен 31°12′. Найти третью сторону. Формула, которая применялась в предыдущей задаче, не подходит, так как у нас треугольник не прямоугольный (по крайней мере мы это ещё не рассчитали). Используем формулу из теоремы косинусов:

а² = b²+с²-2²· b· cos α. Косинус угла находим на пересечении угла 31° и 12′. Он равен числу 0,8554, которое мы и подставляем в формулу.

а² = 67, 24 + 144 -4 · 8,2 · 0,8554 = 211,24 – 28,07 = 183,17. Находим а = √183,17 = 13, 54 (см)

Если будет стоять задание найти ещё и углы треугольника, используем формулу:

с² = а² + b² – 2аb cos γ, отсюда cos γ = (b² + а² – с²): 2 bс. cos γ = (8,2² + 13,54² – 12²): 2· 8,2·12 = (64,24 + 183, 17 – 144): 196,8 = 0, 5255. Открываем таблицу Брадиса. Это число соответствует 58° 18′. Согласно теореме о правилах трёх углов в треугольнике находим третий угол:

180° – 58° 18′-31°12′ =89° 30′. Задача решена!

Можно не рассчитывать самому, а использовать сервис и высчитать косинус онлайн, когда регистрируешься на сайте, и любое вычисление приходит автоматически. Минус такого сервиса, его нельзя применять на экзамене по математике. В качестве справочного материала таблицы предоставляются. Естественно, надо хорошо уметь ими пользоваться, так как на экзамен отводится ограниченное количество времени.

COS0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'1'2'3' 
COS60'54'48'42'36'30'24'18'12'6'0'1'2'3'
90°0.0000
89°0.00001735527087105122140157175369
88°175192209227244262279297314332349369
87°349366384401419436454471488506523369
86°523541558576593610628645663680698369
85°6987157327507677858028198378540.0872369
84°0.0872889906924941958976993101110281045369
83°10451063108010971115113211491167118412011219369
82°12191236125312711288130513231340135713741392369
81°13921409142614441461147814951513153015471564369
80°15641582159916161633165016681685170217190.1736369
79°0.17361754177117881805182218401857187418911908369
78°19081925194219591977199420112028204520622079369
77°20792096211321302147216421812198221522332250369
76°22502267228423002317233423512368238524022419368
75°24192436245324702487250425212538255425710.2588368
74°0.25882605262226392656267226892706272327402756368
73°27562773279028072823284028572874289029072924368
72°29422940295729742990300730243040305730743090368
71°30903107312331403156317331903206322332393256368
70°32563272328933053322333833553371338734040.3420358
69°0.34203437345334693486350235183535355135673584358
68°35843600361636333649366536813697371437303746358
67°37463762377837953811382738433859387538913907358
66°30973923393939553971398740034019403540514067358
65°40674083409941154131414741634179419542100.4226358
64°0.42264242425842744289430543214337435243684384358
63°43844399441544314446446244784493450945244540358
62°45404555457145864602461746334648466446794695358
61°46954710472647414756477247874802481848334848358
60°48484863487948944909492449394955497049850.5000358
59°0.50005015503050455060507550905105512051355150358
58°51505165518051955210522552405255527052845299257
57°52995314532953445358537353885402541754325446257
56°54465461547654905505551955345548556355775592257
55°55925606562156355650566456785693570757210.5736257
54°0.57365750576457795793580758215835585058640.5878257
53°58785892590659205934594859625976599060046018257
52°60186032604660606074608861016115612961436157257
51°61576170618461986211622562396252626662806293257
50°62936307632063346347636163746388640164140.6428247
49°0.64286441645564686481649465086521653465476561247
48°65616574658766006613662666396652666566786691247
47°66916704671767306743675667696782679468076820246
46°68206833684568586871688468968909692169346947246
45°69476959697269846997700970227034704670590.7071246
44°0.70717083709671087120713371457157716971817193246
43°71937206721872307242725472667278729073027314246
42°73147325733773497361737373857396740874207431246
41°74317443745574667478749075017513752475367547246
40°75477559757075817593760476157627763876490.7660246
39°0.76607672768376947705771677277738774977607771246
38°77717782779378047815782678377848785978697880245
37°78807891790279127923793479447955796579767986245
36°79867997800780188028803980498059807080808090235
35°80908100811181218131814181518161817181810.8192235
34°0.81928202821182218231824182518261827182818290235
33°82908300831083208329833983488358836883778387235
32°83878396840684158425843484438453846284718480235
31°84808490849985088517852685368545855485638572235
30°85728581859085998607861686258634864386520.8660134
29°0.86608669867886868695870487128721872987388746134
28°87468755876387718780878887968805881388218829134
27°88298838884688548862887088788886889489028910134
26°89108918892689348942894989578965897389808988134
25°89888996900390119018902690339041904890560.9063134
24°0.90639070907890859092910091079114912191289135124
23°91359143915091579164917191789184919191989205123
22°92059212921992259232923992459252925992569272123
21°92729278928592919298930493119317932393309336123
20°93369342934893549361936793739379938393910.9397123
19°93979403940994159421942694329438944494490.9455123
18°94559461946694729478948394899494950095059511123
17°95119516952195279532953795429548955395589563123
16°95639568957395789583958895939598960396089613122
15°96139617962296279632963696419646965096550.9659122
14°96599664966896739677968196869690969496999703112
13°97039707971197159720972497289732973697409744112
12°97449748975197559759976397679770977497789781112
11°97819785978997929796979998039806981098139816112
10°98169820982398269829983398369839984298450.9848112
0.98489851985498579860986398669869987198749877011
98779880988298859888989098939895989899009903011
99039905990799109912991499179919992199239925011
99259928993099329934993699389940994299439945011
99459947994999519952995499569957995999609962011
99629963996599669968996999719972997399749976001
99769977997899799980998199829983998499859986000
99869987998899899990999099919992999399939994000
99949995999599969996999799979997999899980.9998000
999899999999999999991.00001.00001.00001.00001.00001.0000000
1.0000

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Подобные треугольники
  5. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 300, В = 600.

Так как катет, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы, то

Но С другой стороны, Итак,

Из основного тригонометрического тождества получаем:

Так как , то:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 450, В = 450. Данный треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника, поэтому  АВ = АС.

По теореме Пифагора откуда

Следовательно,

Составим таблицу значений sin , cos , tg для углов , равных 300, 450, 600:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 642, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 652, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1018, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1020, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1022, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1023, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1087, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1088, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1090, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1215, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Косинус

КОСИНУС УГЛА (cos) – это отношение прилежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе.

Рассмотрим по квадрантам изменения функции косинуса угла а при том же движении подвижного радиуса ОВ по окружности от 0° до 360°.

По определению косинуса угла: cos α = OC / OB. Для единичной окружности, где ОВ=1, это длина отрезка ОС. Следовательно, косинус угла – это величина проекции подвижного отрезка ОВ на ось х.

Величина отрезка ОС изменяется (в пределах окружности) на оси х в зависимости от положения подвижного радиуса (величины угла).

Рассмотрим изменения функции (отрезка ОС) при движении подвижного радиуса по окружности и увеличении угла. Пределы изменения косинуса угла будем определять по квадрантам.

В I квадранте (ОС):

при α = 0° cos α  = 1;

при 0° < α < 90° 1 > cos α > 0;

при α = 90° cos α = 0.

Во II квадранте (ОС1):

при α = 90°  cos α = 0;

при 90° < α < 180° 0 > cos α  > -1;

при α = 180°  cos α = -1.

За пройденный подвижным радиусом (ОВ) первый полукруг изменился от 1 до -1, наибольшее и наименьшее его значения совпадают с длиной радиуса на положительной и отрицательной полуосях х.

Второй полукруг движения подвижного радиуса можно рассматривать как положительное направление (при движении ОВ дальше против часовой стрелки) и как отрицательное направление (если ОВ вращать по часовой стрелке). Рассмотрим только положительное направление.

В III квадранте (ОС2):

при α = 180°  cos α = -1;

при 180° < α < 270° -1 <  cos α < 0;

при α = 270°  cos α = 0;

В IV квадранте (ОС3):

при α = 270°  cos α = 0;

при 270° < α < 360° 0 <  cos α < 1;

при α = 360°  cos α = 1.

За пройденный второй полукруг изменился от -1 до 1, а наименьшее и наибольшее его значения совпадают с длиной радиуса на отрицательной и положительной полуоси х.

За весь оборот подвижного радиуса ОВ, от совпадения с ОА до второго их совпадения, угол численно изменился от 0° до 360°, а численное значение косинуса угла изменялось в предела от 1 до -1.

Численное значение синуса и косинуса угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от параметров прямоугольного треугольника и его расположения на плоскости. Функции синуса и косинуса угла в численном значении не превышают 1.

Вычислить значения синуса и косинуса любого острого угла прямоугольного треугольника всегда можно, если известны длины его катетов и гипотенузы, но чаще вычисления не производят, а считывают значения функций по таблицам логарифмов тригонометрических функций в зависимости от величины острого угла.


Косинус

Косинус, записываемый как cos⁡ (θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения косинусов

Существует два основных способа обсуждения тригонометрических функций: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводятся определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины соседней стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

  • Соседний: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
  • Справа: сторона, противоположная θ.
  • Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника напротив прямого угла.

Пример:

Найдите cos (⁡θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать функцию косинуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Самолет пролетает над человеком. Человек регистрирует угол возвышения 25 °, когда расстояние по прямой (гипотенуза треугольника) между человеком и самолетом составляет 14 миль. Какое расстояние по горизонтали между самолетом и человеком?

Учитывая информацию выше, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, в котором x - это расстояние по горизонтали между человеком и плоскостью, расстояние по прямой между человеком и плоскостью - это гипотенуза, а расстояние по вертикали между конечными концами треугольника. x, а гипотенуза образует прямой угол треугольника.Затем мы можем найти горизонтальное расстояние x, используя функцию косинуса:

x = 14 × cos⁡ (25 °) ≈ 12,69

Горизонтальное расстояние между человеком и самолетом составляет около 12,69 миль.

Определение единичного круга

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичный круг - это круг радиуса 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах).Использование определений единичного круга позволяет нам расширить область определения тригонометрических функций на все действительные числа. См. Рисунок ниже.

Учитывая точку (x, y) на окружности единичной окружности, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза - это радиус единичного круга, или 1. θ - это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованной вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки.Конечная сторона угла - это гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус единичной окружности. Следовательно, он всегда имеет длину 1. Таким образом, мы можем использовать определение косинуса в прямоугольном треугольнике, чтобы определить, что

означает, что значение x любой точки на окружности единичной окружности равно cos⁡ (θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острых углов прямоугольных треугольников, если он находится в пределах области cos domain (θ).Область определения функции косинуса - (-∞, ∞), а диапазон функции косинуса - [-1, 1].

Значения функции косинуса

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения косинуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда косинусов Тейлора. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение косинуса вручную, и вам будет предоставлена ​​таблица, калькулятор или другие справочные материалы.

Калькулятор косинусов

Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение косинуса угла или угол по значению косинуса.

Уголки общеупотребительные

Хотя мы можем найти cos (θ) для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов в радианах и градусах, а также координаты их соответствующих точек на единичной окружности.

Приведенный выше рисунок служит справочным материалом для быстрого определения косинусов (значение x) и синусов (значение y) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, косинус имеет значение 0 при 90 ° и значение 1 при 0 °.Синус следует противоположному шаблону; это потому, что синус и косинус являются совместными функциями (описанными позже). Другие часто используемые углы - 30 ° (), 45 ° (), 60 ° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, поскольку они очень часто используются.

Один из методов, который может помочь запомнить эти значения, - это выразить все значения cos (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0 ° и до 90 °, cos⁡ (0 °) = 1 =.Последующие значения cos (30 °), cos (45 °), cos (60 °) и cos (90 °) следуют шаблону, так что, используя значение cos (0 °) в качестве эталона, найти значения косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже:

С 90 ° до 180 ° вместо этого мы увеличиваем число под корнем на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол. Косинус отрицателен в квадрантах II и III, поэтому значения будут равными, но отрицательными. .В квадрантах I и IV значения будут положительными. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для синуса. При необходимости обратитесь к странице синуса.

Знание значений косинуса и синуса для углов в первом квадранте позволяет нам определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах в координатной плоскости с помощью опорных углов.

Базовые углы

Базовый угол - это острый угол (<90 °), который можно использовать для обозначения угла любой меры.Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол от 0 ° до 90 °. Это всегда наименьший угол (относительно оси x), который может быть получен с конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ '.

Поскольку θ 'является опорным углом θ, cos both (θ) и cos⁡ (θ') имеют одинаковое значение. Например, 30 ° - это опорный угол 150 °, и если мы обратимся к единичному кругу, мы увидим, что косинусы обоих имеют величину, хотя и имеют разные знаки.Поскольку все углы имеют опорный угол, нам действительно нужно знать только значения cos⁡ (θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения той же величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки, основанные на квадранте, в котором находится конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

-
Косинус Синус Касательная
Квадрант I + + +
Квадрант II - + -
Квадрант III - +
Квадрант IV + - -

Как только мы определим опорный угол, мы можем определить значение тригонометрических функций в любом из других квадрантов, применив соответствующий знак их значения для опорного угла.Следующие шаги можно использовать, чтобы найти опорный угол заданного угла, θ:

  1. Вычтите 360 ° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть от 0 ° до 360 ° или от 0 до 2π). Если полученный угол составляет от 0 ° до 90 °, это опорный угол.
  2. Определите, в каком квадранте находится конечная сторона угла (начальная сторона угла расположена вдоль положительной оси x)
  3. В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол.В квадранте I θ '= θ.
Квадрант II Квадрант III Квадрант IV
θ '= 180 ° - θ θ '= θ - 180 ° θ '= 360 ° - θ

Пример:

Найдите cos⁡ (120 °).

  1. θ уже находится между 0 ° и 360 °
  2. 120 ° лежит во II квадранте
  3. 180 ° - 120 ° = 60 °, поэтому исходный угол составляет 60 °

.120 ° находится в квадранте II, а косинус отрицателен во втором квадранте, поэтому:

Пример:

Найдите cos⁡ (1050 °).

  1. 1050 ° - 360 ° = 690 ° - 360 ° = 330 °
  2. 330 ° лежит в квадранте IV
  3. 360 ° - 330 ° = 30 °, поэтому исходный угол равен 30 °

. 330 ° находится в квадранте IV, а косинус положительный в квадранте IV, поэтому:

Свойства функции косинуса

Ниже приводится ряд свойств функции косинуса, которые может быть полезно знать при работе с тригонометрическими функциями.

Косинус является совместной функцией синуса

Кофункция - это функция, в которой f (A) = g (B) при условии, что A и B являются дополнительными углами. В контексте косинуса и синуса

cos⁡ (θ) = sin⁡ (90 ° - θ)

sin⁡ (θ) = cos⁡ (90 ° - θ)

Пример:

cos⁡ (30 °) = sin⁡ (90 ° - 30 °) = sin⁡ (60 °)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡ (30 °) и sin⁡ (60 °) и увидеть, что:

Косинус - четная функция

Четная функция - это функция, в которой f (x) = f (-x), что означает, что отражение графика по оси y даст тот же график.Таким образом,

cos⁡ (θ) = cos⁡ (-θ)

Пример:

cos⁡ (60 °) = cos⁡ (-60 °)

cos⁡ (60 °) = cos⁡ (300 °)

Обращаясь к единичной окружности, мы видим, что cos⁡ (60 °) = и cos⁡ (-60 °) эквивалентен cos⁡ (300 °), который также равен. Это только один пример, но это свойство верно для всех θ.

Косинус - периодическая функция

Периодическая функция - это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

е (х + р) = е (х)

для всех x в области f, p - наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся к нашей начальной точке. Если мы посмотрим на функцию косинуса, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π - это период функции косинуса. Мы можем записать это как:

cos⁡ (θ + 2π) = cos⁡ (θ)

Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как

cos⁡ (θ + 2πn) = cos⁡ (θ)

, где n - целое число.

На рисунке ниже показан пример этой периодичности.

Синим цветом мы это видим. . Если мы прибавим 2π к, мы получим угол, показанный красным,. Как видно из рисунка, несмотря на разную степень поворота в обоих углах, их конечные стороны абсолютно одинаковы, что означает, что. Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидеть, что оно имеет то же значение косинуса, что и. Такова природа периодических функций. называются концевыми углами; это углы с одинаковой начальной и конечной сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

1.

2.

График функции косинуса

График косинуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞

Если бесконечно повторять эту часть y = cos inde (x) слева и справа, то получится полный график косинуса.Ниже приведен график, показывающий четыре периода функции косинуса в интервале [-4π, 4π].

На этом графике мы видим, что y = cos⁡ (x) демонстрирует симметрию оси y; отражение графика косинуса по оси y дает тот же график. Это подтверждает, что косинус является четной функцией, поскольку cos⁡ (x) = cos⁡ (-x).

Уравнение общего косинуса

Общий вид функции косинуса

y = A · cos (B (x - C)) + D

где A, B, C и D - константы.Чтобы иметь возможность изобразить уравнение косинуса в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y = cos⁡ (x), как показано выше. Чтобы применить все, что написано ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A - амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y = cos⁡ (x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A = 1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон cos (x) .

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, функция y = 2 cos⁡ (x) (красный) имеет амплитуду, которая в два раза больше, чем у исходного графика косинуса.

B - используется для определения периода функции; период функции - это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей совпадающей точки) и может быть найден как. В y = cos⁡ (x) период равен 2π. Мы можем подтвердить это, посмотрев на пики на графике косинусов. При x = 0 y = cos⁡ (x) имеет пик.Первый раз на функции появляется еще один пик при x = & plusmn2π, подтверждая, что период косинуса равен 2π.

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, который имеет период 2π, y = cos⁡ (2x) (красный) имеет период . Это означает, что график повторяется каждое π, а не каждые 2π.

C - фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево. Если C положительно, функция сдвигается вправо.Остерегайтесь знака; если у нас есть уравнение, то C нет, потому что это уравнение в стандартной форме. Таким образом, мы бы сместили единицы графика влево.

На рисунке ниже показаны y = cos⁡ (x) (фиолетовый) и (красный). Используя один из пиков графика косинуса в качестве ориентира, мы можем увидеть, что пик в точке (0,1) был смещен влево от своего исходного положения и теперь находится в точке (, 1).

D - вертикальный сдвиг функции; если D положительно, график сдвигается вверх на D единиц, а если он отрицателен, график сдвигается вниз.

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, с центром на оси x (y = 0), y = cos⁡ (x) +5 (красный) с центром на линии y = 5 (синий).

Объединив все приведенные выше примеры, на рисунке ниже показан график (красный) по сравнению с графиком y = cos⁡ (x) (фиолетовый).

См. Также синус, касательную, единичную окружность, тригонометрические функции, тригонометрию.


cos (x) | функция косинуса

cos (x), функция косинуса.

Определение косинуса

В прямоугольном треугольнике ABC синус α, sin (α) равен определяется как отношение между стороной, прилегающей к углу α, и сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза):

cos α = b / c

Пример

b = 3 дюйма

c = 5 дюймов

cos α = b / c = 3/5 = 0,6

График косинуса

TBD

Правила косинуса

Название правила Правило
Симметрия cos (- θ ) = cos θ
Симметрия cos (90 ° - θ ) = sin θ
Пифагорейская идентичность sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1
cos θ = sin θ / tan θ
cos θ = 1 / сек θ
Двойной угол cos 2 θ = cos 2 θ - грех 2 θ
Сумма углов cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β
Разница углов cos ( α-β ) = cos α cos β + sin α грех β
Сумма к продукту cos α + cos β = 2 cos [( α + β ) / 2] cos [( α-β ) / 2]
Отличие от продукта cos α - cos β = - 2 sin [( α + β ) / 2] sin [( α-β ) / 2]
Закон косинусов
Производная cos ' x = - sin x
Интегральный ∫ cos x d x = sin x + C
Формула Эйлера cos x = ( e ix + e - ix ) / 2

Функция обратного косинуса

Арккосинус x определяется как функция, обратная косинусу x, когда -1≤x≤1.

Когда косинус y равен x:

cos y = x

Тогда арккосинус x равен функции обратного косинуса x, которая равна y:

arccos x = cos -1 x = y

Пример

arccos 1 = cos -1 1 = 0 рад = 0 °

См .: Функция Arccos

Таблица косинусов

x

(°)

x

(рад)

cos x
180 ° π -1
150 ° 5π / 6 -√3 / 2
135 ° 3π / 4 -√2 / 2
120 ° 2π / 3 -1/2
90 ° π / 2 0
60 ° π / 3 1/2
45 ° π / 4 √2 / 2
30 ° π / 6 √3 / 2
0 ° 0 1


См. Также

Функция косинуса

Функция косинуса - это периодический функция, которая очень важна в тригонометрии.

Самый простой способ понять функцию косинуса - использовать единичную окружность. Для заданного угла измерения θ , нарисуйте единичный круг на координатной плоскости и нарисуйте угол с центром в начале координат, с одной стороной в качестве положительного Икс -ось. В Икс -координата точки, где другая сторона угла пересекает круг, равна потому что ( θ ) , а у -координата грех ( θ ) .

Есть несколько значений косинуса, которые следует запомнить, исходя из 30 ° - 60 ° - 90 ° треугольники а также 45 ° - 45 ° - 90 ° треугольники .

Зная эти значения, вы можете получить много других значений для функции косинуса.Помните, что cos \ theta; положительно в квадрантах я а также я V и отрицательные в квадрантах я я а также я я я .

Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость, чтобы показать часть функции косинуса, часть между 0 а также 2 π .

Для значений θ меньше, чем 0 или больше чем 2 π вы можете найти ценность потому что ( θ ) с помощью опорный угол .

График функции в более широком интервале показан ниже.

Обратите внимание, что функция - это вся реальная линия, а диапазон - - 1 ≤ у ≤ 1 .

В период из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 2 π . То есть форма кривой повторяется каждые 2 π -единичный интервал на Икс -ось.

В амплитуда из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 1 , то есть высота волны.

Модифицированная функция у знак равно а потому что ( б Икс ) имеет амплитуду а и период 2 π / б .

косинусов

Затем рассмотрим углы 30 ° и 60 °.В прямоугольном треугольнике 30 ° -60 ° -90 ° отношения сторон равны 1: √3: 2. Отсюда следует, что sin 30 ° = cos 60 ° = 1/2, и sin 60 ° = cos 30 ° = √3 / 2.

Эти выводы занесены в эту таблицу.

Угол Градусов Радианы Косинус синус
90 ° π /2 0 1

/3
1/2 √3 / 2
45 ° π /4 √2 / 2 √2 / 2
30 ° π /6 √3 / 2 1/2
0 ° 0 1 0
Упражнения
Все эти упражнения относятся к прямоугольным треугольникам со стандартной маркировкой.

30. b = 2,25 метра и cos A = 0,15. Найдите a и c.

33. b = 12 футов и cos B = 1/3. Найдите c и a.

35. b = 6,4, c = 7,8. Найдите A, и a.

36. A = 23 ° 15 ', c = 12.15. Найдите a, и b.

Подсказки

30. Косинус A связывает b с гипотенузой c, , поэтому вы можете сначала вычислить c. Как только вы узнаете b и c, , вы сможете найти a по теореме Пифагора.

33. Вы знаете b и cos B. К сожалению, cos B - это отношение двух сторон, которых вы не знаете, а именно a / c. Тем не менее, это дает вам уравнение, с которым можно работать: 1/3 = a / c. Тогда c = 3 a. Тогда из теоремы Пифагора следует, что a 2 + 144 = 9 a 2 . Вы можете решить это последнее уравнение для a , а затем найти c.

35. b и c дают A, по косинусам и a по теореме Пифагора.

36. A и c дают a по синусам и b по косинусам.

ответов

30. c = b / cos A = 2,25 / 0,15 = 15 метров; a = 14,83 метра.

33. 8 a 2 = 144, поэтому a 2 = 18. Следовательно, a равно 4,24 'или 4'3 ".
c = 3 a , что равно 12.73 'или 12'9 ".

35. cos A = b / c = 6,4 / 7,8 = 0,82. Следовательно, A = 34,86 ° = 34 ° 52 ', или около 35 °.
a 2 = 7,8 2 - 6,4 2 = 19,9, поэтому a составляет около 4,5.

36. a = c sin A = 12,15 sin 23 ° 15 '= 4,796.
b = c cos A = 12,15 cos 23 ° 15 '= 11.17.

Cosine - определение математического слова

Cosine - определение математического слова - Math Open Reference В прямоугольный треугольник, косинус угла - это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H). Попробуй это Перетащите любой вершину треугольника и посмотрите, как вычисляются косинусы A и C.

Функция косинуса, наряду с синусом и тангенсом, является одной из трех наиболее распространенных тригонометрические функции.В любом прямоугольном треугольнике косинус угла - это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H). В формуле он записывается просто как «cos».

Часто вспоминается как «CAH», что означает Косинус Смежно над Гипотенуза. См. SOH CAH TOA.

В качестве примера предположим, что мы хотим найти косинус угла C на рисунке выше (сначала нажмите «сбросить»). Из приведенной выше формулы мы знаем, что косинус угла - это смежная сторона, деленная на гипотенузу.Соседняя сторона - это BC и имеет длину 26. Гипотенуза - это AC с длиной 30. Таким образом, мы можем написать Это деление на калькуляторе получается 0,866. Таким образом, мы можем сказать: « Косинус 30 ° равен 0,866 » или

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти косинус 30 °. Как и выше, должно получиться 0,8660.
(Если нет - убедитесь, что калькулятор настроен на работу в градусах, а не радианы).

Пример - использование косинуса для нахождения гипотенузы

Если мы посмотрим на общее определение - мы видим, что есть три переменные: размер угла x и длины двух сторон (смежная и гипотенуза).Итак, если у нас есть какие-то два из них, мы можем найти третий.

На рисунке выше нажмите «Сброс». Представьте, что мы не знаем длины гипотенузы H. Мы знаем, что косинус A (60 °) - это смежная сторона (15), деленная на H. Из нашего калькулятора мы находим, что cos60 равен 0,5, поэтому мы можем написать Транспонирование: что составляет 30, что соответствует цифре выше.

Функция обратного косинуса - arccos

Для каждой тригонометрической функции, такой как cos, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, cos является обратной величиной arccos и т. Д.

Когда мы видим «arccos A», мы интерпретируем его как «угол, косинус которого равен A».

cos60 = 0,5 Означает: косинус 60 градусов равен 0,5
arccos0.5 = 60 Означает: угол, косинус которого равен 0,5, равен 60 градусам.

Мы используем его, когда знаем, что такое косинус угла, и хотим узнать фактический угол.

Также определение арккосинуса и Обратные функции - тригонометрия

Большие и отрицательные углы

В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти косинус любого угла, независимо от его размера, а также косинус отрицательных углов. Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.

Построение функции косинуса

Когда косинус угла отображается в зависимости от угла, в результате получается форма, аналогичная приведенной выше.

Для получения дополнительной информации см. Графики функции косинуса.

Производная cos (x)

В расчетах производная cos (x) равна –sin (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или наклон cos (x) составляет –sin (x) . Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Единичный круг: функции синуса и косинуса

Результаты обучения

  • Найдите значения функции для синуса и косинуса особых углов.
  • Укажите область и диапазон функций синуса и косинуса.
  • Используйте исходные углы для оценки тригонометрических функций.
  • Оцените значения синуса и косинуса с помощью калькулятора.

Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начнем с рисования единичного круга, круга с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2.Угол (в радианах), который пересекает [latex] t [/ latex], образует дугу длиной [latex] s [/ latex]. Используя формулу [latex] s = rt [/ latex] и зная, что [latex] r = 1 [/ latex], мы видим, что для единичной окружности , [latex] s = t [/ latex].

Напомним, что оси x- ​​ и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемых квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление, в котором будет разворачиваться положительный угол. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [латекс] t [/ латекс] мы можем обозначить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходными данными тригонометрических функций [latex] f \ left (t \ right) = \ cos t [/ latex] и [latex] f \ left (t \ right) = \ sin t [/ latex] соответственно. Это означает [латекс] x = \ cos t [/ latex] и [латекс] y = \ sin t [/ latex].

Рис. 2. Единичная окружность с центральным углом [латекс] t [/ латекс] радиан

A Общее примечание: Unit Circle

Единичная окружность имеет центр [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс] и радиус [латекс] 1 [/ латекс].В единичном круге длина перехваченной дуги равна радианам центрального угла [латекс] 1 [/ латекс].

Пусть [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] будет конечной точкой на единичной окружности дуги длины дуги [latex] s [/ latex]. Координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] этой точки могут быть описаны как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса

Теперь, когда у нас есть помеченная единичная окружность, мы можем узнать, как координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] соотносятся с длиной дуги и углом .Синусоидальная функция связывает действительное число [латекс] t [/ латекс] с координатой y точки, в которой соответствующий угол пересекает единичную окружность. Точнее, синус угла [латекс] t [/ латекс] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 2 синус равен [latex] y [/ latex]. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход - мера угла; его выход - координата y соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла [латекс] t [/ латекс] равна значению x конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 3 косинус равен [латекс] х [/ латекс].

Рисунок 3

Поскольку понятно, что синус и косинус являются функциями, нам не всегда нужно записывать их в скобках: [latex] \ sin t [/ latex] то же самое, что [latex] \ sin \ left (t \ right) [ / latex] и [latex] \ cos t [/ latex] то же самое, что и [latex] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].{2} [/ латекс]. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. В случае сомнений используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Общее примечание: функции синуса и косинуса

Если [латекс] t [/ latex] является действительным числом и точка [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичном круге соответствует углу [латекса] t [/ latex] , затем

[латекс] \ cos t = x [/ латекс]

[латекс] \ sin t = y [/ латекс]

Как сделать: по точке

P [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичной окружности, соответствующей углу [латекс] t [/ latex], найдите синус и косинус.
  1. Синус [latex] t [/ latex] равен y -координате точки [latex] P: \ sin t = y [/ latex].
  2. Косинус [latex] t [/ latex] равен x -координате точки [latex] P: \ text {cos} t = x [/ latex].

Пример 1: Поиск значений функции для синуса и косинуса

Точка [латекс] P [/ латекс] - это точка на единичной окружности, соответствующая углу [латекс] t [/ латекс], как показано на рисунке 4. Найдите [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex] и [latex] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

Рисунок 4

Показать решение

Мы знаем, что [latex] \ cos t [/ latex] - это координата x соответствующей точки на единичном круге, а [latex] \ sin t [/ latex] - это координата y соответствующей точки. точка на единичной окружности. Итак:

[латекс] \ begin {align} x & = \ cos t = \ frac {1} {2} \\ y & = \ sin t = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} [/ латекс]

Попробуй

Определенный угол [латекс] t [/ латекс] соответствует точке на единичной окружности в [латекс] \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) [/ latex], как показано на рисунке 5.Найдите [latex] \ cos t [/ latex] и [latex] \ sin t [/ latex].

Рисунок 5

Показать решение

[латекс] \ cos \ left (t \ right) = - \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ sin \ left (t \ right) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Для квадрантных углов соответствующая точка единичной окружности попадает на ось x- ​​ или y . {2} t = 1 [/ латекс]

Как сделать: учитывая синус некоторого угла [латекс] t [/ latex] и его положение в квадранте, найдите косинус [latex] t [/ latex].

  1. Замените известное значение [латекс] \ sin \ left (t \ right) [/ latex] на Пифагорову идентификацию.
  2. Решить относительно [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].
  3. Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится [латекс] t [/ латекс].

Пример 3: Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

Если [латекс] \ sin \ left (t \ right) = \ frac {3} {7} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится во втором квадранте, найдите [latex] \ cos \ left (т \ справа) [/ латекс].{2} \ left (t \ right) = \ frac {40} {49} \\ \ text {cos} \ left (t \ right) = \ pm \ sqrt {\ frac {40} {49}} = \ pm \ frac {\ sqrt {40}} {7} = \ pm \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \ end {gather} [/ latex]

Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- ​​ является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицателен. \ circ [/ latex] или [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex], как показано на рисунке 9.Треугольник \ circ [/ latex] - это равнобедренный треугольник, поэтому координаты x- ​​ и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- ​​ и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.

Рисунок 9

При [latex] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex], что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам угол первого квадранта . Это означает, что радиус лежит вдоль линии [латекс] y = x [/ latex].{2} = \ frac {1} {2} \\ x = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {gather} [/ latex]

В квадранте I [латекс] x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ latex].

При [латексе] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex] или 45 градусах,

[латекс] \ begin {собранный} \ left (x, y \ right) = \ left (x, x \ right) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}}, \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) \\ x = \ frac {1} {\ sqrt {2}}, y = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ \ cos t = \ frac { 1} {\ sqrt {2}}, \ sin t = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {gather} [/ latex]

Если мы затем рационализируем знаменатели, мы получим

[латекс] \ begin {align} \ cos t & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \\ \ sin t & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {\ sqrt {2}} {2 } \ end {align} [/ latex]

Следовательно, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] координаты точки на окружности радиусом [латекс] 1 [/ latex] под углом [латекс] 45 ^ \ circ [/ latex] - это [латекс] \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) [/ latex].\ circ [/ latex], как показано на рисунке 12.

Рисунок 11

Рисунок 12

Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину [латекс] 2y [/ latex], и поскольку все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что [latex] r = 2y [/ latex] или [latex] y = \ frac {1} {2 } г [/ латекс]. Поскольку [латекс] \ sin t = y [/ latex],

[латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} r [/ latex]

А так как [latex] r = 1 [/ latex] в нашем единичном круге ,

[латекс] \ begin {align} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1 \ right) = \ frac {1} {2 } \ end {align} [/ latex]

Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.\ circ [/ латекс]. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника [латекс] ABC [/ латекс] имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

Рисунок 13

Угол наклона [латекс] ABD [/ латекс] составляет 30 °. Так, если двойной, угол [латекс] ABC [/ латекс] равен 60 °. [latex] BD [/ latex] - это серединный перпендикуляр к [latex] AC [/ latex], поэтому он разрезает [latex] AC [/ latex] пополам. Это означает, что [latex] AD [/ latex] - это [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] радиус или [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].\ circ [/ latex] - это [латекс] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ [/ latex], поэтому мы можем найти синус и косинус.

[латекс] \ begin {собранный} \ left (x, y \ right) = \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \\ x = \ frac {1} {2}, y = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ cos t = \ frac {1} {2}, \ sin t = \ frac {\ sqrt {3} } {2} \ end {gather} [/ latex]

Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице ниже приведены эти значения.

Угол 0 [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ latex], или 30 ° [латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ latex], или 45 ° [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], или 60 ° [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], или 90 °
Косинус 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] 0
Синус 0 [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] 1

На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.

Рисунок 14

Использование калькулятора для определения синуса и косинуса

Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов , мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Обратите внимание : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы для входного значения. Когда мы вычисляем [латекс] \ cos \ left (30 \ right) [/ latex] на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в радианном режиме.

Как сделать: если задан угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.


  1. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
  2. Нажмите кнопку COS.
  3. Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
  4. Нажмите ENTER.

Пример 4: Использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса

Вычислить [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) [/ latex] с помощью графического калькулятора или компьютера.\ circ [/ latex], например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть входных данных:

SIN (20 × π ÷ 180) ВВОД

Попробуй

Вычислить [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex].

Показать решение

приблизительно 0,866025403

Определение области и диапазона функций синуса и косинуса

Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области и диапазоны.Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, какие наименьшие и наибольшие числа могут входить в функции? Поскольку углы меньше 0 и углы больше [латекс] 2 \ pi [/ latex] все еще могут быть нанесены на единичный круг и имеют реальные значения [latex] x, y [/ latex] и [latex] r [/ latex], не существует нижнего или верхнего предела углов, которые могут входить в функции синуса и косинуса. Входными данными для функций синуса и косинуса является поворот от положительной оси x , и это может быть любое действительное число.

Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшие и наибольшие возможные значения их производительности? Мы можем увидеть ответы, исследуя единичную окружность , как показано на рисунке 15. Границы координаты x равны [латекс] \ влево [-1,1 \ вправо] [/ латекс]. Границы координаты y также являются [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex]. Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса равен [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].

Рисунок 15

Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса.Поскольку значение синуса является координатой y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но будет иметь противоположное значение x . Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с таким же косинусом будет иметь то же значение x , но будет иметь противоположное значение y .Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на рисунке 16, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны. Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ sin \ left (t \ right) = \ sin \ left (\ alpha \ right) \ hfill & \ text {и} \ hfill & \ cos \ left (t \ right) = - \ cos \ left (\ alpha \ right) \ hfill \\ \ sin \ left (t \ right) = - \ sin \ left (\ beta \ right) \ hfill & \ text {и} \ hfill & \ cos \ left (t \ right) = \ cos \ left (\ beta \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

Рисунок 16

Напомним, что опорный угол угла - это острый угол [латекс] t [/ латекс], образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью. \ circ \ mathrm {-t} | [/ latex].\ circ [/ latex]

Попробуй

Найдите опорный угол [латекса] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

Использование опорных углов

А теперь давайте вернемся к колесу обозрения, представленному в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Какая у всадника новая высота? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах больше 90 градусов или при отрицательном угле .Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.

Использование опорных углов для оценки тригонометрических функций

Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если мы знаем косинус или синус его опорного угла.Абсолютные значения косинуса и синуса угла такие же, как и у опорного угла. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений y в этом квадранте.

Общее примечание: использование опорных углов для определения косинуса и синуса

Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы.Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

Как: для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.


  1. Измерьте угол между конечной стороной данного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
  2. Определите значения косинуса и синуса опорного угла.
  3. Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.\ circ \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex]

  4. [latex] \ frac {5 \ pi} {4} [/ latex] находится в третьем квадранте. Его опорный угол составляет [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} - \ pi = \ frac {\ pi} {4} [/ latex]. Косинус и синус [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] оба равны [latex] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. В третьем квадранте значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, поэтому:

    [латекс] \ cos \ frac {5 \ pi} {4} = - \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ text {и} \ sin \ frac {5 \ pi} {4} = - \ гидроразрыв {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]

Попробуй

а.\ circ \ right) = \ frac {- \ sqrt {2}} {2} [/ latex]
б. [латекс] \ cos \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ sin \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) = - \ frac {1} {2} [/ latex]

Использование опорных углов для поиска координат

Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности. Они показаны на рисунке 19.Найдите время, чтобы узнать координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] всех основных углов в первом квадранте.

Помимо изучения значений специальных углов, мы можем использовать опорные углы, чтобы найти координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об опорных углах вместе с удостоверениями

[латекс] \ begin {собрано} x = \ cos t \\ y = \ sin t \ end {собрано} [/ latex]

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу.Затем мы берем значения синуса и косинуса опорного угла и даем им знаки, соответствующие значениям квадранта y, и x .

Как сделать: учитывая угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] точки.

  1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к оси x .
  2. Найдите косинус и синус опорного угла.
  3. Определите соответствующие знаки для [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]
    в данном квадранте.

Пример 7: Использование единичной окружности для поиска координат

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].

Показать решение

Мы знаем, что угол [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex] находится в третьем квадранте.

Во-первых, давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x .Чтобы найти опорный угол угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс] \ pi [/ латекс].

[латекс] \ frac {7 \ pi} {6} - \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

Затем находим косинус и синус опорного угла:

[латекс] \ begin {gather} \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ end {gather} [/ latex]

Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте.Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, косинус и синус отрицательны.

[латекс] \ begin {gather} \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = - \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = - \ frac {1} {2} \ end {gather} [/ latex]

Теперь мы можем вычислить координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], используя тождества [latex] x = \ cos \ theta [/ latex] и [latex] y = \ sin \ theta [ /латекс].

Координаты точки: [latex] \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, - \ frac {1} {2} \ right) [/ latex] на единичной окружности.{2} t = 1 [/ латекс]

Ключевые понятия

  • Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
  • Используя единичную окружность, синус угла [латекс] t [/ latex] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс], тогда как косинус угол [latex] t [/ latex] равен x -значению конечной точки.
  • Значения синуса и косинуса наиболее точно определяются, когда соответствующая точка единичной окружности попадает на ось.
  • Когда синус или косинус известен, мы можем использовать пифагорову тождество, чтобы найти другое. Пифагорейская идентичность также полезна для определения синусов и косинусов особых углов.
  • Калькуляторы и программное обеспечение для построения графиков полезны для поиска синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
  • Все функции синуса и косинуса являются действительными числами.
  • Диапазон функций синуса и косинуса: [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
  • Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус его опорного угла.
  • Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
  • Опорный угол угла - это размерный угол [латекс] t [/ латекс],
    , образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью.
  • Опорные углы можно использовать для определения синуса и косинуса исходного угла.
  • Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.

Глоссарий

функция косинуса
значение x точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу
Пифагорейская идентичность
является следствием теоремы Пифагора, утверждающей, что квадрат косинуса заданного угла плюс квадрат синуса этого угла равняется 1
синусоидальная функция
значение y точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу
единичный круг
круг с центром в [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс]
и радиусом

Синус и косинус объяснены визуально

Синус и косинус объяснены визуально

Разъяснение визуально

Виктор Пауэлл

с текстом Льюиса Лехе

Синус и косинус - a.k.a., sin (θ) и cos (θ) - функции, раскрывающие форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины с углом θ, sin (θ) - это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) - это отношение соседней стороны к гипотенузе. Независимо от размера треугольника, значения sin (θ) и cos (θ) одинаковы для данного θ, как показано ниже.

Посмотрите на крайний левый рисунок выше (единичный круг). Гипотенуза треугольника имеет длину 1, поэтому (удобно!) Отношение его смежности к его гипотенузе равно cos (θ), а отношение его противоположности к гипотенузе равно sin (θ).Следовательно, поместив треугольники в точку (0,0) плоскости x / y, можно найти функции sin (θ) и cos (θ), записав значения x и y для каждого θ. Нажмите ниже, чтобы увидеть, как разворачивается этот процесс. Углы указаны в радианах (т. Е. Π / 4, π / 2, ...).

Конечно, компьютеры и калькуляторы на самом деле не рисуют круги, чтобы найти синус и косинус. Вместо этого они используют приближения, подобные ряду Тейлора: \ [\ begin {выровнено} \ sin {\ theta} = θ - \ frac {\ theta ^ 3} {3!} + \ frac {\ theta ^ 5} {5!} - \ frac {\ theta ^ 7} {7!} \ cdots \ \ \ cos {\ theta} = 1 - \ frac {\ theta ^ 2} {2!} + \ frac {\ theta ^ 4} {4!} - \ frac {\ theta ^ 6} {6!} \ cdots \ конец {выровнено} \]

Используя синус и косинус, можно описать любую точку (x, y) как альтернативу, точку (r, θ), где r - длина сегмента от (0,0) до точки, а θ - угол между этим сегментом и осью абсцисс.Это называется полярной системой координат, и правило преобразования: (x, y) = (rcos (θ), rsin (θ)). Поиграйте с рисунками ниже, чтобы увидеть преобразование в реальном времени между декартовыми (т.е. координатами x / y) и полярными координатами.

Для получения дополнительных объяснений посетите домашнюю страницу проекта «Визуальное объяснение».

Или подпишитесь на нашу рассылку.


Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus. комментарии предоставлены .

0 comments on “Значение косинуса: Таблица косинусов углов от 0° до 360°

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *