Формула для определения импеданса цепи переменного тока – . . —

Импеданс. Расчёт

Импеданс (impedance) – комплексное, полное сопротивление переменному току электрической цепи с активным и реактивным сопротивлением.

Импеданс и общий сдвиг фаз для синусоидального тока можно рассчитать исходя из последовательного или параллельного соединения элементов цепи.

Последовательное соединение

При последовательном соединении, согласно Закону Ома для переменного тока, во всех элементах цепи ток будет общим I = U/Z, а значения напряжений на каждом элементе определятся пропорционально его сопротивлению:
на выводах резистора U_R = IR; на выводах конденсатора U_C = IX_C; на выводах катушки U_L = IX_L.

Векторы индуктивной и ёмкостной составляющих напряжения направлены в противоположные стороны.
С учётом отрицательного ёмкостного сдвига, общее напряжение на реактивных элементах U_X = U_L — U_C .
Пропорционально напряжению, получим общее реактивное сопротивление

X = X_L — X_C .
Векторы напряжений на активной и реактивной составляющей импеданса имеют угол сдвига фаз 90 градусов.
U , U_R и U_X представим в виде прямоугольного треугольника напряжений с углом сдвига фаз φ.

Тогда получим соотношение, согласно Теореме Пифагора, U ² = U_R² + U_X² .
Следовательно, с учётом пропорциональности элементов R, L, C значениям напряжений на их выводах, определим импеданс, который будет равен квадратному корню из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений цепи.

X_L = ωL = 2πfL — реактивное сопротивление индуктивности.
X_C = 1/(ωC) = 1/(2πfC) — реактивное сопротивление ёмкости.

Угол сдвига фаз φ и его дополнение до 90° δ определятся тригонометрическими функциями из треугольника сопротивлений с катетами

R, X и гипотенузой Z, как показано на рисунке:

Обычно, для облегчения расчётов, импеданс представляют в виде комплексного числа, где действительной его частью является активное сопротивление, а мнимой — реактивное.
Для последовательного соединения импеданс можно записать в комплексном виде следующим образом:

Z = R + jX

Тогда в тригонометрической интерпретации модулем этого числа будет импеданс, а аргументом — угол φ.
В соответствии с формулой Эйлера, запишем показательную форму комплексного импеданса:

Z = |Z|e^jargZ = Ze^jφ

Отсюда активная составляющая импеданса R = Zcosφ
Реактивная составляющая X = Zsinφ.

---

Параллельное соединение

Для вычисления импеданса при параллельном соединении активных и реактивных сопротивлений будем исходить из суммы обратных им величин — проводимостей

y = 1/Z, G = 1/R, b = 1/X.

y = 1/Z = √(G² + b²)

Сдвиг фаз в этом случае будет определён треугольником сопротивлений следующим образом:

Комплексную проводимость, как величину, обратную комплексному импедансу, запишем в алгебраической форме:

Y = G — jb

Либо в показательной форме:

Y = |Y|e ^-jφ = ye ^-jφ

Здесь:
Y — комплексная проводимость.
G — активная проводимость.
b — реактивная проводимость.
y — общая проводимость цепи, равная модулю комплексной проводимости.
e — константа, основание натурального логарифма.
j — мнимая единица.
φ — угол сдвига фаз.

---

Онлайн-калькулятор расчёта импеданса и угла сдвига фаз

Необходимо вписать значения и кликнуть мышкой в таблице.
При переключении множителей автоматически происходит пересчёт результата.

Последовательное соединение Z = √(R²+(XL-Xc)²)

Параллельное соединение Z = 1/√(1/R²+(1/XL-1/Xc)²)

---

Похожие страницы с расчётами:

Реактивное сопротивление. Расчёт.
Частота резонанса колебательного контура LC. Расчёт.
Реактивная мощность и компенсация. Расчёт.

tel-spb.ru

Электрический импеданс — Википедия

Электри́ческий импеда́нс (ко́мплексное электри́ческое сопротивле́ние^[1]) (англ. impedance от лат. impedio «препятствовать») — комплексное сопротивление между двумя узлами цепи или двухполюсника для гармонического сигнала.

Это понятие и термин ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году^[2][3].

Резистор — пассивный элемент, обладающий чисто активным сопротивлением. Реактивная составляющая комплексного сопротивления резистора равна нулю, так как соотношение между напряжением на резисторе и током через него не зависит от частоты тока/напряжения и является пассивным элементом, поскольку не содержит внутренних источников энергии. Если к его концам приложить некоторое напряжение

U (подсоединить источник напряжения), то через резистор пойдёт электрический ток I. Если через резистор пропустить электрический ток I (подсоединить источник тока), то между концами резистора возникнет падение напряжения U. Резистор характеризуется электрическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения U, к току I (см. закон Ома для участка цепи):

R=UI.{\displaystyle R={\frac {U}{I}}.}

Применение понятия «электрическое сопротивление» к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) при постоянном токе приводит к тому, что:

• сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю:

если пропустить через идеальную катушку индуктивности некоторый постоянный ток

I, то при любом значении I, падение напряжения на катушке будет нулевым:

U=0;{\displaystyle U=0;}

R=UI=0I=0;{\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {0}{I}}=0;}

если приложить к конденсатору некоторое постоянное напряжение U, то при любом значении U, ток через конденсатор будет нулевым:

I=0;{\displaystyle I=0;}

R=UI=U0=∞.{\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {U}{0}}=\infty .}

Это справедливо лишь для постоянного тока и напряжения. В случае же приложения к реактивному элементу переменного тока и напряжения, свойства реактивных элементов существенно иные:

• напряжение между выводами катушки индуктивности не равно нулю;
• ток, протекающий через конденсатор, не будет равен нулю.

Такое поведение не может быть описано в терминах активного сопротивления для постоянного тока, поскольку активное сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов между током и напряжением.

Было бы удобно иметь некоторый параметр аналогичный активному сопротивлению и для реактивных элементов, который бы связывал ток и напряжение на них подобно активному сопротивлению в формуле закона Ома для постоянного тока.

Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при воздействиях на них гармонических сигналов. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некой константой (подобной в некотором смысле активному сопротивлению), которая и получила название «электрический импеданс» (или просто «импеданс»). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно в таком представлении одновременно учитывается и амплитудные, и фазовые характеристики гармонических сигналов и откликов систем на гармоническое воздействие.

Импедансом z^(jω){\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;} называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник в установившемся режиме, то есть после завершения переходных процессов. Для линейных пассивных цепей с постоянными параметрами в установившемся режиме импеданс не зависит от времени. Если время t в математическом выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

z^(jω)=u^(jω,t)i^(jω,t)=U(ω)ej(ωt+ϕu(ω))I(ω)ej(ωt+ϕi(ω))=U(ω)ejϕu(ω)I(ω)ejϕi(ω)=U^(jω)I^(jω){\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;={\frac {{\hat {u}}(j\omega ,t)\;}{{\hat {i}}(j\omega ,t)\;}}={\frac {U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}{I(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{i}(\omega ))}}}={\frac {U(\omega )e^{j\phi _{u}(\omega )}}{I(\omega )e^{j\phi _{i}(\omega )}}}={\frac {{\hat {U}}(j\omega )\;}{{\hat {I}}(j\omega )\;}}}

(1)

Здесь:

Исторически сложилось, что в электротехнике обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплексных функций частоты записывают как f(jω){\displaystyle f(j\omega )}, а не f(ω){\displaystyle f(\omega )}. Такое обозначение подчёркивает, что используются комплексные представления гармонических функций вида ejωt{\displaystyle e^{j\omega t}}. Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: U˙(jω){\displaystyle {\dot {U}}(j\omega )\;} чтобы отличать от соответствующих действительных величин.

Алгебраическая форма[править | править код]

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом z^(jω){\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;} можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением ℜ(z^(jω)){\displaystyle \Re ({\hat {z}}(j\omega ))} и чисто реактивный элемент с импедансом ℑ(z^(jω)){\displaystyle \Im ({\hat {z}}(j\omega ))}

Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма[править | править код]

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько фаза тока отстаёт от фазы напряжения или опережает.

Понятие импеданса в классической форме применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его параметры не менялись со временем и закончились переходные процессы. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени t, поскольку при вычислении импеданса множитель ejωt{\displaystyle e^{j\omega t}} в (1) не сокращается.

• Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении — для бесконечно малой амплитуды сигнала для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для неё.

Обобщенный импеданс в s-плоскости и преобразование Лапласа[править | править код]

Импедансы, определённые через комплексную частоту jω{\displaystyle j\omega }, позволяют вычислять частотный отклик некоторой линейной цепи, возбуждаемой гармоническим сигналом, причём только в установившемся режиме. Для расчёта отклика цепи на сигнал, произвольно изменяющийся во времени применяется обобщенный импеданс — функции комплексной переменной s=σ+jω{\displaystyle s=\sigma +j\omega } и отклик цепи во временно́й области вычисляется через обратное преобразование Лапласа, причем в таких вычислениях возбуждающий сигнал fin(t){\displaystyle f_{in}(t)} из временного представления должен быть предварительно преобразован в комплексное представление Ft(s){\displaystyle F_{t}(s)} через прямое преобразование Лапласа:

Ft(s)=∫0∞fin(t)e−stdt.{\displaystyle F_{t}(s)=\int _{0}^{\infty }f_{in}(t)e^{-st}\,dt.}

Комплексный отклик системы выражается обычным способом через преобразованное комплексное представление возбуждающего сигнала и комплексную передаточную функцию системы H(s){\displaystyle H(s)}:

Ft,H(s)=H(s) Ft(s).{\displaystyle F_{t,H}(s)=H(s)\ F_{t}(s).}

Двухполюсник	Обобщённый импеданс
Резистор	R{\displaystyle R\,}
Катушка индуктивности	sL{\displaystyle sL\,}
Конденсатор	1sC{\displaystyle {\frac {1}{sC}}\,}

Комплексная передаточная функция вычисляется обычным методом расчёта электрических цепей, например, по правилам Кирхгофа, в формулы в качестве сопротивлений подставляются обобщённые импедансы. Обобщённые импедансы пассивных двухполюсников приведены в таблице. Например, обобщённый импеданс цепи, состоящей из последовательно включённых резистора и катушки индуктивности будет R+sL{\displaystyle R+sL}.

Отклик цепи во временно́й области вычисляется обратным преобразованием Лапласа:

fF,H(t)=L−1[H(s) Ft(s)]=12πi∫σ1−j⋅∞σ1+j⋅∞estH(s) Ft(s)ds,{\displaystyle f_{F,H}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H(s)\ F_{t}(s)]={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}H(s)\ F_{t}(s)\,ds,}

где σ1 {\displaystyle \sigma _{1}\ } — некоторое вещественное число, выбираемое из условий сходимости интеграла.

Пример вычисления временно́го отклика RC-фильтра нижних частот на ступенчатое возмущение

Пассивный RС-фильтр нижних частот 1-го порядка

Простейший фильтр нижних частот 1-го порядка изображён на рисунке и состоит из последовательно соединённых резистора и конденсатора, образующего делитель напряжения для входного сигнала где выходной сигнал снимается с конденсатора, обобщённый комплексный коэффициент передачи HRC(s){\displaystyle H_{RC}(s)} такого делителя:

HRC(s)=1/sCR+1/sC=1sRC+1=1sT+1,{\displaystyle H_{RC}(s)={\frac {1/sC}{R+1/sC}}={\frac {1}{sRC+1}}={\frac {1}{sT+1}},}

где обозначено T=RC{\displaystyle T=RC} — постоянная времени RС-цепи.

Ступенчатый входной сигнал можно выразить через функцию Хевисайда h(t){\displaystyle h(t)}:

Uin(t)=U0 h(t),{\displaystyle U_{in}(t)=U_{0}\ h(t),}

где U0{\displaystyle U_{0}} — амплитуда ступеньки.

Преобразование Лапласа входного сигнала:

Fin(s)=L[U0 h(t)]=∫0∞e−stU0h(t)dt=U0/s.{\displaystyle F_{in}(s)={\mathcal {L}}[U_{0}\ h(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\,U_{0}\,h(t)\,dt=U_{0}/s.}

Uout(t)=L−1[HRC(s) Fin(s)]=12πi∫σ1−j⋅∞σ1+j⋅∞est1sT+1⋅U0sds=U0(1−e−t/T).{\displaystyle U_{out}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)]={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}{\frac {1}{sT+1}}\cdot {\frac {U_{0}}{s}}\,ds=U_{0}(1-e^{-t/T}).}

Таким образом, получен отклик цепи при нулевом начальном условии (UC=0{\displaystyle U_{C}=0} при t=0{\displaystyle t=0}), такой же, как и при применении другого метода расчёта, например, из решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Для практического применения расчета цепей (и других расчётов) составлены подробные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа многих часто встречающихся при расчётах функций.

Комбинируя преобразование Лапласа с использованием его свойств и интеграл Дюамеля обычно относительно легко найти отклики во временной области самых различных линейных электрических цепей.

Идеальные элементы[править | править код]

Резистор[править | править код]

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению R и не зависит от частоты:

zR=R{\displaystyle z_{R}=R}

(2)

Конденсатор[править | править код]

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

i(t)=CdUdt.{\displaystyle i(t)=C{\frac {dU}{dt}}.}

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

u^(jω,t)=U(ω)ej(ωt+ϕu(ω)){\displaystyle {\hat {u}}(j\omega ,t)=U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

i^(jω,t)=Cddt(U(ω)ej(ωt+ϕu(ω)))=jωCU(ω)ej(ωt+ϕu(ω)).{\displaystyle {\hat {i}}(j\omega ,t)=C{\frac {d}{dt}}\left(U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}\right)=j\omega CU(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}.}

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

z^C(jω)=1jωC=−jωC.{\displaystyle {\hat {z}}_{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}.}

(6)

Катушка индуктивности[править | править код]

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

z^L(jω)=jωL.{\displaystyle {\hat {z}}_{L}(j\omega )\;=j\omega L.}

(7)

Общий случай[править | править код]

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс идеальных последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

Z^(jω) =R+1jωC+jωL=R−jωC+jωL=R+j(−1ωC+ωL).{\displaystyle {\hat {Z}}(j\omega )\ =R+{\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L=R-{\frac {j}{\omega C}}+j\omega L=R+j\left(-{\frac {1}{\omega C}}+\omega L\right).}

(8)

ru.wikipedia.org

Полное сопротивление цепи переменного тока

В предыдущих статьях мы узнали, что всякое сопротивление, поглощающее энергию, называется активным, а сопротивление, не поглощающее энергии, безваттным или реактивным. Кроме того, мы установили, что реактивные сопротивления делятся на два вида — индуктивные и емкостные.

Однако существуют цепи, где сопротивление не является чисто активным или чисто реактивным. То есть цепи, где вместе с активным сопротивлением включены в цепь, как емкости, так и индуктивности.

Введем понятие полного сопротивления цепи переменному току — Z, которое соответствует векторной сумме всех сопротивлений цепи (активных, емкостных и индуктивных). Понятие полного сопротивления цепи нам необходимо для более полного понимания закона Ома для переменного тока

На рисунке 1 представлены варианты электрических цепей и их классификация в зависимости от того какие элементы (активные или реактивные) включены в цепь.

Рисунок 1. Классификация цепей переменного тока.

Полное сопротивление цепи с чисто активными элементами соответствует сумме активных сопротивлений цепи и рассматривалось нами ранее. О чисто емкостном и индуктивном сопротивлении цепи мы тоже с вами говорили, и оно зависит соответственно от общей емкости и индуктивности цепи.

Рассмотрим более сложные варианты цепи, где последовательно с активным сопротивлением в цепь включено индуктивное и реактивное сопротивление.

Полное сопротивление цепи при последовательном соединении активного и реактивного сопротивления.

В любом сечении цепи, изображенной на рисунке 2,а, мгновенные значения тока должны быть одинаковыми, так как в противном случае наблюдались бы скопления и разрежения электронов в каких-либо точках цепи. Иными словами, фазы тока по всей длине цепи должны быть одинаковыми. Кроме того, мы знаем, что фаза напряжения на индуктивном сопротивлении опережает фазу тока на 90°, а фаза напряжения на активном сопротивлении совпадает с фазой тока (рисунок 2,б). Отсюда следует, что радиус-вектор напряжения U_L (напряжение на индуктивном сопротивлении) и напряжения U_R (напряжение на активном сопротивлении) сдвинуты друг относительно друга на угол в 90°.

Рисунок 2. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.        а) — схема цепи; б) — сдвиг фаз тока и напряжения; в) — треугольник напряжений; д) — треугольник сопротивлений.

Для получения радиуса-вектора результирующего напряжения на зажимах А и В (рис.2,а) мы произведем геометрическое сложение радиусов-векторов U_L и U_R. Такое сложение выполнено на рис. 2,в, из которого видно, что результирующий вектор U_AB является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Из геометрии известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

По закону Ома напряжение должно равняться силе тока, умноженной на сопротивление.

Так как сила тока во всех точках цепи одинакова, то квадрат полного сопротивления цепи (Z²) будет также равен сумме квадратов активного и индуктивного сопротивлений, т. е.

                                      (1)

 

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого равенства, получим,

                                       (2)

 

 Таким образом, полное сопротивление цепи, изображенной на рис 2,а, равно корню квадратному из суммы квадратов активного и индуктивного сопротивлений

Полное сопротивление можно находить не только путем вычисления, но и путем построения треугольника сопротивлений, аналогичного треугольнику напряжений (рис 2,д), т. е. полное сопротивление цепи переменному току может быть получено путем измерения гипотенузы, прямоугольного треугольника, катетами которого являются активное и реактивное сопротивления. Разумеется, измерения катетов и гипотенузы должны производиться в одном и том же масштабе. Так, например, если мы условились, что 1 см длины катетов соответствует 1 ом, то число омов полного сопротивления будет равно числу сантиметров, укладывающихся на гипотенузе.

Полное сопротивление цепи, изображенной на рис.2,а, не является ни чисто активным, ни чисто реактивным; оно содержит в себе оба эти вида сопротивлений. Поэтому угол сдвига фаз тока и напряжения в этой цепи будет отличаться и от 0° и от 90°, то есть он будет больше 0°, но меньше 90°. К которому из этих двух значений он будет более близок, будет зависеть от того, какое из этих сопротивлений имеет преобладающее значение в цепи. Если индуктивное сопротивление будет больше активного, то угол сдвига фаз будет более близок к 90°, и наоборот, если преобладающим будет активное сопротивление, то угол сдвига фаз будет более близок к 0°.

В цепи, изображенной на рис 3,а, соединены последовательно активное и емкостное сопротивления. Полное сопротивление такой цепи можно определить при помощи треугольника сопротивлений так же, как мы определяли выше полное сопротивление активно-индуктивной цепи.

Рисунок 3. Полное сопротивление цепи с активным сопротивлением и емкостью.                                                а) — схема цепи; б) — треугольник сопротивлений.

Разница между обоими случаями состоит лишь в том, что треугольник сопротивлений для активно-емкостной цепи будет повернут в другую сторону (рис 3,б) вследствие того, что ток в емкостной цепи не отстает от напряжения, а опережает его.

Для данного случая:

(3)

 

 

 В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений (рис. 4,а), сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.

Рисунок 4. Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C. а) — схема цепи; б) — треугольник сопротивлений.

Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности, т. е.

                           (4)

 

 

Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений (X_L или X_C преобладает).

После того как мы по формуле (4) определили общее реактивное сопротивление цепи, определение полного сопротивления не представит затруднений. Полное сопротивление будет равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, т. е.

                                     (5)

 

 

Или

                         (6)

 

 

 

Способ построения треугольника сопротивлений для этого случая изображен на рис. 4 б.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного элемента.

Для того чтобы вычислить полное сопротивление цепи, составленной из активного и индуктивного сопротивлений, соединенных между собой параллельно(рис. 5,а), нужно сначала вычислить проводимость каждой из параллельных ветвей, потом определить полную проводимость всей цепи между точками А и В и затем вычислить полное сопротивление цепи между этими точками.

Рисунок 5. Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивных элементов. а) — параллельное соединение R и L; б) — параллельное соединение R и C.

Проводимость активной ветви, как известно, равна 1/R, аналогично проводимость индуктивной ветви равна 1/ωL , а полная проводимость равна 1/Z

Полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной проводимости, т. е.

                       (7)

 

 

 

 

Приводя к общему знаменателю подкоренное выражение, получим:

  (8)

 

 

 

 

 откуда:

                              (9)

 

 

 

 

Формула (9) служит для вычисления полного сопротивления цепи, изображенной на рис. 5а.

Нахождение полного сопротивления для этого случая может быть произведено и геометрическим путем. Для этого нужно построить в соответствующем масштабе треугольник сопротивлений, и затем произведение длин катетов разделить на длину гипотенузы. Полученный результат и будет соответствовать полному сопротивлению.

Аналогично случаю, рассмотренному выше, полное сопротивление при параллельном соединении R и С (рис 5б) будет равно:

                             (10)

 

 

 

 

 

 Полное сопротивление может быть найдено также и в этом случае путем построения треугольника сопротивлений.

В радиотехнике наиболее часто встречается случай па¬раллельного соединения индуктивности и емкости, например колебательный контур для настройки приемников и передатчиков. Так как катушка индуктивности всегда обладает кроме индуктивного еще и активным сопротивлением, то эквивалентная (равноценная) схема колебательного контура будет содержать в индуктивной ветви активное сопротивление (рис 7).

Рисунок 6. Эквивалентная схема колебательного контура.

Формула полного сопротивления для этого случая будет:

                   (11)

 

 

 

 Так как обычно активное сопротивление катушки (R) бывает очень мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением (ωL), то мы имеем право формулу (11) переписать в следующем виде:

 (12)

 

 

 В колебательном контуре обычно подбирают величины L и С таким образом, чтобы индуктивное сопротивление равнялось емкостному, т. е. чтобы соблюдалось условие

                                     (13)

 

 

 При соблюдении этого условия полное сопротивление колебательного контура будет равно:

                                     (14)

 где L—индуктивность катушки в Гн;

С—емкость конденсатора в Ф;

R—активное сопротивление катушки в Ом.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

www.sxemotehnika.ru

Полная цепь переменного тока и её виды. Импеданс и его формула. Особенности импеданса живой ткани.

Полная цепь переменного тока — это цепь из генератора, а также R, C, и L элементов, взятых в разных сочетаниях и количествах.

Для разбора проходящих в электрических цепях процессов используют полные последовательные и параллельные цепи.

Последовательная цепь — это такая цепь, где всœе элементы бывают соединœены последовательно, один за другим.

В параллельной цепи R, C, L элементы соединœены параллельно.

Особенности полной цепи:

1.Соблюдается закон Ома

2.Полная цепь оказывает переменному току сопротивление. Это сопротивление принято называть полным (мнимым, кажущимся) или импедансом.

3.Импеданс зависит от сопротивления всœех элементов цепи, обозначается Z и вычисляется не простым, а геометрическим (векторным) суммированием. Для последовательно соединœенных элементов формула импеданса имеет следующее значение:

здесь:

Z — импеданс последовательной цепи,

R — активное сопротивление,

X_L – индуктивное и X_C – ёмкостное сопротивление,

L — индуктивность катушки (генри),

C — ёмкость конденсатора (фарад).

Так как ёмкостное и индуктивное сопротивления дают для напряжения сдвиг фаз в противоположном направлении, возможен случай, когда X_L = X_C. При этом алгебраическая сумма модулей будет равна нулю, а импеданс – наименьшим.

Состояние, при котором в цепи переменного тока ёмкостное сопротивление равно индуктивному, принято называть резонансом напряжения. Частота͵ при которой X_L = X_C, принято называть резонансной частотой. Эту частоту n_p можно определить по формуле Томсона:

4.Особенности импеданса живой ткани и её эквивалентная электрическая схема.

При пропускании тока через живую ткань, её можно рассматривать как электрическую цепь, состоящую из определœенных элементов.

Экспериментально установлено, что это цепь обладает свойствами активного сопротивления и ёмкости. Это доказывается выделœением тепла и уменьшением полного сопротивления ткани с возрастанием частоты. Свойств индуктивности у живой ткани практически не обнаруживается. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, живая ткань представляет собой сложную, но не полную электрическую цепь.

Импеданс живой ткани можно рассматривать как для последовательного, так и для параллельного соединœения её элементов.

При последовательном соединœении токи через элементы равны, общее приложенное напряжение будет векторной суммой напряжений на R и C элементах и формула импеданса последовательной цепи будет иметь вид:

Z_ — импеданс последовательной цепи,

R — её активное сопротивление,

X_C — ёмкостное сопротивление.

При параллельном соединœении напряжения на R и C элементах равны, общий ток будет векторной суммой токов каждого элемента͵ а фомула импеданса будет следующей:

Теоретические формулы импеданса живой ткани при параллельном и последовательном соединœении её элементов от экспериментальных отличаются следующим:

1.При последовательной схеме соединœения практические данные дают большие отклонения на низких частотах.

2.При параллельной схеме эти измерения показывают конечное значение Z, хотя теоретически оно должно стремиться к нулю.

Эквивалентная электрическая схема живой ткани – это условная модель, приближенно характеризующаяживую ткань, как проводник переменного тока.

Схема позволяет судить:

1.Какими электрическими элементами обладает ткань

2.Как соединœены эти элементы.

3.Как будут меняться свойства ткани при изменении частоты тока.

В корне схемы лежат три положения:

1.Внеклеточная среда и содержимое клетки есть ионные проводники с активным сопротивлением среды Rср и клетки Rк.

2.Клеточная мембрана есть диэлектрик, но не идеальный, а с небольшой ионной проводимостью, а, следовательно, и сопротивлением мембраны Rм.

3.Внеклеточная среда и содержимое клетки, разделённые мембраной, являются конденсаторами См определœенной ёмкости (0,1 – 3,0 мкФ/см²).

В случае если в качестве модели живой ткани взять жидкую тканевую среду – кровь, содержащую только эритроциты, то при составлении эквивалентной схемы нужно учитывать пути электрического тока.

Их два:

1.В обход клетки, через внеклеточную среду.

2.Через клетку.

Путь в обход клетки представлен только сопротивлением средыRср.

Путь через клетку сопротивлением содержимого клетки Rк, а также сопротивлением и ёмкостью мембраны.Rм, См.

В случае если заменить электрические характеристики соответствующими обозначениями, то получим эквивалентные схемы разной степени точности:

Схема Фрике (ионная проводимость не

учитывается).

Схема Швана (ионная проводимость учитывается в виде сопротивления мембраны)

Обозначения на схеме:

Rcp — активное сопротивление клеточной среды

Rk — Сопротивление клеточного содержимого

Cm — ёмкость мембраны

Rm — сопротивление мембраны.

Анализ схемы показывает, что при увеличении частоты тока проводимость клеточных мембран увеличивается, а полное сопротивление тканевой среды уменьшается, что соответствует практически проведенным измерениям.

referatwork.ru

Расчет импеданса в параллельном соединении элементов цепи

Любая электрическая цепь включает в себя ряд элементов, среди которых встречаются активные и реактивные составляющие. При параллельном соединении активного, емкостного и индуктивного элемента схема выглядит таким образом:

Рис. 1. Параллельное соединение элементов электрической цепи

В зависимости от конкретной ситуации тот или иной элемент может исключаться из цепи, меняя тем самым характер нагрузки. Для геометрического определения суммарного значения всех сопротивлений производится сложение векторов. В зависимости от типа реактивной нагрузки результирующий вектор импеданса будет смещаться в положительный или отрицательный квадрант.

Рис. 2. Векторное сложение сопротивления

Для вычисления полного сопротивления Z составляется уравнение согласно теоремы пифагора. Только сложению подлежит не сопротивление, а проводимость цепи. Из-за чего уравнение для определения сопротивления можно будет выразить по следующей формуле:

Где Z – комплексное сопротивление участка,  R – активное сопротивление участка, X – реактивное сопротивление участка.

При этом реактивное сопротивление выражается как геометрическая сумма проводимости катушки и конденсатора.

А отдельно расчет X_L и X_C при известных параметрах сети, емкости и индуктивности самих элементов выполняется по таким формулам:

X_L = w * L = 2 * π * f  * L,

 

 

 

Для определения углов δ и φ необходимо применить тригонометрические функции к отношению соответствующих проводимостей или сопротивлений.

В связи с большим количеством расчетов, применяемых формул и необходимостью использования тригонометрических функций определение импеданса в параллельной цепи является достаточно сложной задачей, особенно, если делать это вручную. Но, при использовании онлайн калькулятора для расчета комплексного сопротивления достаточно ввести частоту, емкость конденсатора, индуктивность катушки и омическое сопротивление резистора. А все расчеты система произведет самостоятельно.

www.asutpp.ru

Калькулятор расчета импеданса в последовательном соединении элементов цепи

В различных электрических цепях все нагрузки подразделяются на активные, индуктивные и емкостные. В определенных ситуациях все они могут включаться последовательно:

Последовательное соединение элементов цепи

При их последовательном соединении общее сопротивление участка рассчитывается как геометрическое сложение всех векторов сопротивлений нагрузок.

Для математического сложения используется теорема Пифагора, применив которую получим формулу расчета импеданса последовательной цепи:

Где, Z – полное сопротивление (комплексное),  R – активное сопротивление, как правило, выражаемое резистивной нагрузкой, X – реактивное сопротивление, определяемое геометрической сумой сопротивлений индуктивной и емкостной составляющих. Геометрически обе эти величины лежат в одной плоскости, но имеют противоположное направление, поэтому полное реактивное сопротивление рассчитывается по формуле:

X = X_L — X_C

Для определения индуктивного и емкостного сопротивления, при известных параметрах катушки и конденсатора расчет выполняется по формулам:

X_L = w * L = 2 * π * f  * L,

 

 

 

Чтобы определить углы между соответствующими составляющими импеданса в последовательной цепи используются арктангенс для соотношений активного и реактивного сопротивления. А расчет выполняется по формулам:

Как видите, осуществление подобного расчета достаточно сложная и трудоемкая процедура. Поэтому для упрощения работы для определения импеданса при последовательном соединении гораздо легче воспользоваться онлайн калькулятором. В нем вам потребуется указать частоту, емкость, индуктивность и активное сопротивление, а программа произведет все вычисления самостоятельно.

www.asutpp.ru

Расчет полного сопротивления в цепи переменного тока — импеданс

Понятие импеданса используется в разных сферах науки. Существуют разные его формы: гидродинамический, артериальный (медицинский термин, состоит из статического и кинетического компонентов), используемый при измерении гидростатического давления. Есть и электрический импеданс, описывающий полное сопротивление цепного фрагмента. Электрику необходимо знать, от чего зависит и как вычисляется эта величина в однофазных и трехфазных цепях с трансформаторами тока и иными компонентами.

Импеданс описывает сопротивление всей цепи

Что такое импеданс

Это понятие описывает комплексное сопротивление цепи или ее межузлового участка. Оно было введено лондонским инженером и физиком О. Хевисайдом в 1886 году. В состав полного сопротивления цепи входят активная и реактивная компоненты. Фазовый сдвиг и само значение импенданса при электротоке, чья кривая имеет форму синусоиды, могут быть рассчитаны с ориентиром на то, каким образом соединены входящие в цепь компоненты.

Аналогия с электрическим сопротивлением проводника на примере резистора

Чтобы суметь рассчитать импеданс цепи, нужно представлять, как себя ведут различные входящие в нее элементы: катушки индуктивности, резисторные и емкостные детали, с точки зрения вклада в составляющие общей резистивности цепи.

Активное сопротивление

Резистор относится к числу пассивных деталей цепи, не содержащих внутренних источников электроэнергии, при этом почти все создаваемое им противодействие приходится на активную компоненту. Реактивная составляющая если и присутствует, то настолько мала, что ею зачастую принято пренебрегать. Это связано с тем, что отношение напряжения на деталь и электротока, проходящего через нее, не зависит от их частоты. Когда к резисторной детали присоединяют источник напряжения (обозначим его U), через нее будет идти электроток значением I. Если к концам радиодетали подсоединяют источник тока, равного I, между ними будет иметь место падение напряжения U.

Важно! Выражение для сопротивления резистора можно записать так: R=U/I.

Резисторы – источники активного сопротивления

Реактивное сопротивление

К основным компонентам электроцепей, несущим такую нагрузку, относятся дроссели (и подобные им индуктивные элементы) и конденсаторы. При достижении резонанса наблюдается наименьшее значение общего противодействия подключенных последовательно конденсатора и дросселя и наибольшее – включенных параллельно.

Индуктивная нагрузка

Если индуктивный дроссель подключить к постоянному току, на нем будут наблюдаться следующие эффекты: резистивность будет приближаться к нулевому значению, а при пропускании электротока через катушечный элемент падение напряжения будет отсутствовать, независимо от токовой величины:

R=U/I=0/I=0.

Такие цифры справедливы для идеального дросселя, на практике они все же несколько отклоняются от нуля. Если к детали будет приложен переменный ток, напряжение между катушечными выводами будет отличным от нуля.

Катушка индуктивности

Емкостная нагрузка

При включении идеального конденсаторного элемента в сеть с постоянным напряжением его резистивность будет иметь очень большую величину, стремящуюся к бесконечной. Когда к радиодетали прикладывают такое напряжение, проходящий через нее ток будет равен нулю. Если к выводам конденсатора подсоединить источник переменного напряжения, ток будет ненулевым.

Детали, обладающие емкостью

Данные эффекты, наблюдаемые на емкостных радиодеталях и катушках, нельзя описывать в категориях активного противодействия в условиях константного электротока, так как последнее подразумевает стабильное, независимое от условий и не изменяющееся во времени отношение электротока и напряжения и исключает явление сдвига фаз между этими величинами. Таким образом, становится целесообразным введение для реактивных деталей характеристики, связывающей электроток и напряжение так, как это делает активное противодействие в омовском законе для константного тока.

Важно! При рассмотрении поведения катушек и конденсаторов под действием гармонических сигналов обнаруживается, что токовая сила и напряжение могут быть связаны константной величиной, которую также называют импедансом. При ее изучении применяется понятие о гармонических сигналах, учитывающее как их амплитудные характеристики, так и особенности, связанные с фазами.

Такое значение импеданса можно определить как частное комплексной амплитуды, которой обладает напряжение приложенного к двухполюсному элементу сигнала, и комплексной амплитуды идущего через элемент электротока. В отношении пассивных электроцепей со стабильными показателями в устоявшемся режиме стоит сказать, что импедансный показатель у них не будет привязанным к течению времени. Если временной параметр при формульной записи не сокращается, то категория импеданса для рассматриваемого двухполюсника окажется неприменимой.

Расчет эквивалентного сопротивления элементов цепи

Определение общего цепного сопротивления будет зависеть от того, какого типа конфигурацию составляют компоненты цепи. Для параллельного и последовательного подключений правила расчета будут неодинаковыми. Опираться при вычислениях нужно на закон Ома.

Согласно ему, у всех последовательно соединенных деталей, подключенных в цепь переменного тока, будет одно и то же значение электротока:

I=U/Z, где Z – общий импеданс цепи.

Напряжения будут различаться и окажутся привязанными к сопротивлениям деталей: на концах резистора его значение будет равно UR = IR (здесь R – активная резистивность элемента), для дросселя – UL = IXL, для емкостного элемента – UC = IXC (XL и XC – реактивные показатели соответствующих устройств). Так как векторы напряженности катушки и конденсатора имеют противоположные направления, суммарный показатель на реактивных деталях будет равен: UX = UL – UC . Противодействие будет равно: X = XL – XC.

Напряжения (общее, реактивное и активное) могут быть представлены в виде прямоугольного треугольника. Из него получается, что U² = UR² + UX². Поскольку противодействия входящих в цепь компонентов пропорциональны напряжениям, имеем Z2=R2+X2=R2+(XL – XC)2.

Для параллельного соединения принято выводить значения импеданса из проводимостей элементов, которые обратны их сопротивлениям. Отсюда 1/z2 = 1/R2 + 1/X2. Таким образом, выходит следующая формула:

Z2=1/(1/R2+(1/ XL – 1/ XC)2).

Общее сопротивление определяется компонентным составом цепи и характером соединения ее элементов. При расчетах показателей используется закон Ома.

Видео

amperof.ru

No related posts.