Изображение пространственных фигур на плоскости – «Изображение пространственных фигур на плоскости» (10 класс)

Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур

В стереометрии большое значение имеет умение наглядно изображать неплоские фигуры на плоскости. Вы знаете, что когда в планиметрии на листе бумаги изображают плоскую фигуру, то все точки изображённой фигуры лежат на плоскости листа. В стереометрии же рассматриваются фигуры, у которых не все точки расположены в одной плоскости. Поэтому надо знать правила, по которым изображают на плоскости пространственные фигуры.

Итак, зачастую для изображения на плоскости (например, на листе бумаги) геометрических фигур, расположенных в пространстве, используется параллельное проектирование. Определяется оно следующим образом.

Пусть  — некоторая плоскость, а

 — некоторая прямая, пересекающая эту плоскость. Возьмём в пространстве произвольную точку . Если точка  не лежит на прямой , то проведём через точку  прямую, параллельную прямой , и обозначим через  точку пересечения этой прямой с плоскостью . Если же точка  лежит на прямой , то обозначим через  точку пересечения прямой  с плоскостью .

Точка  называется проекцией точки  на плоскость

 при проектировании параллельно прямой  (или параллельной проекцией точки ).

Плоскость  называется плоскостью проекций, а о прямой  говорят, что она задаёт направление проектирования

.

Все прямые, параллельные прямой , задают одно и то же направление проектирования, поэтому также называются проектирующими прямыми.

Пусть  — плоская или пространственная фигура. Проекцией фигуры  на плоскость  при проектировании параллельно прямой

 называется множество  проекций всех точек фигуры.

Заметим, что проекция заданной фигуры зависит от выбора плоскости проекций и проектирующей прямой.

Вспомним основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой, задающей направление проектирования.

1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Следствие. При параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

При параллельном проектировании могут искажаться размеры отрезков и углы, но обязательно сохраняется параллельность прямых.

Если точка делит отрезок в отношении , то проекция точки будет делить проекцию отрезка также в отношении .

Центр правильного треугольника отображается в точку пересечения медиан проекции этого треугольника, центр квадрата — в точку пересечения диагоналей проекции квадрата.

А теперь давайте поговорим об изображении пространственных фигур.

Рассмотренные свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков (изображений фигур), иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии.

Изображением фигуры  называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость.

Выполняя изображения фигур, расположенных в пространстве, необходимо учитывать свойства, сохраняющиеся при параллельном проектировании, а в остальном изображение может быть произвольным. Важно только, чтобы изображения рассматриваемых фигур были наглядными и давали верное представление о них.

При различном выборе плоскости проекций и направления проектирования получаются различные проекции данной фигуры, а значит, и различные её изображения.

Например, вы видите фигуры, которые являются изображениями куба.

Причём изображение куба, данное на первом рисунке, не даёт представления о кубе, наглядным является изображение, которое дано на последнем рисунке.

При построении изображений плоских фигур, расположенных в пространстве, предполагается, что плоскости рассматриваемых фигур не параллельны направлению проектирования.

Итак, проекцией треугольника может быть любой треугольник.

При этом величины углов и отношение длин непараллельных сторон не сохраняются, но при этом медианы треугольника отображаются в медианы его проекции. В частности, за изображение прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников можно принять любой треугольник.

Параллелограмм проектируется в параллелограмм, так как параллельные прямые сохраняют параллельность.

В частном случае за изображение прямоугольника, квадрата, ромба можно принять любой параллелограмм.

Трапеция проектируется в другую трапецию, но с сохранением параллельности оснований.

Правильный шестиугольник проектируется в искажённый шестиугольник с сохранением параллельности противолежащих сторон.

Окружность проектируется в эллипс, большая ось которого имеет длину, равную диаметру окружности.

При изображении пространственных фигур пользуются тем фактом, что фигуру, состоящую из сторон и диагоналей любого выпуклого или невыпуклого четырёхугольника, можно считать изображением треугольной пирамиды при определённом выборе направления проектирования и плоскости, на которую проектируется эта пирамида.

Например, фигуры, изображённые на экране, являются изображениями треугольной пирамиды при соответствующем выборе направления проектирования.

Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами.

При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами.

Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед.

Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы.

Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий её основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить её с вершинами многоугольника. Полученные отрезки будут изображать боковые рёбра пирамиды.

Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований.

Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через неё две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Точки  и  находятся по одну сторону от плоскости . Точки  и  — их параллельные проекции на эту плоскость, причём . Постройте точку пересечения  прямой  с плоскостью . И найдите расстояние между серединой отрезка  и её проекцией на плоскость , если  и  см.

Решение.

Задача вторая. На диагонали  параллелепипеда  взята точка , а на прямой  – точка  так, что отрезки  и  параллельны. Найти их отношение.

Решение.

videouroki.net

«Изображение пространственных фигур на плоскости» (10 класс)

Дисциплина: Математика.

Преподаватель: Домашкина А.С.

Группа

Дата

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

Тема программы 3: Геометрия. Параллельность прямых и плоскостей.

Тема занятия 17-18: Изображение пространственных фигур на плоскости.

Цель:
О:

• Повторить свойства параллельных прямых и плоскостей.

• Свойства параллельного проецирования.

• Научиться правильно изображать плоские фигуры и объёмные тела на плоскости.

В:

• Формирование грамотной математической речи, умения слушать, анализировать, строить логические цепочки, делать выводы, работать с чертежами.

• Формирование трудовых навыков, умения распределять своё рабочее время на занятии, быстро,  грамотно и аккуратно оформлять записи в своих конспектах.

• Формирование математического мировоззрения, математической культуры,  культуры речи, использование  математических терминов и символики.

Р:

• Формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, обсуждать и  корректировать  высказывания своих одногруппников.

• Формирование интереса к предмету математики путём использования  формы занятия беседа-лекция-практикум, использования наглядности (моделей).

Тип занятия: изучение нового материала.

Дидактическое обеспечение:

1. Морд­ко­вич А.Г. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. – М.: Мне­мо­зи­на.

2. Му­ра­вин Г.К., Му­ра­ви­на О.В. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. – М.: Дрофа.

3. Кол­мо­го­ров А.Н., Аб­ра­мов А.М., Дуд­ни­цын Ю.П. и др. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. – М.: Про­све­ще­ние.

4. Презентация к занятию.

Инструменты и оборудование:   мел, доска, линейка.

Литература: Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник. – М.: Мнемозина, 2010.

Интернет-ресурсы: Сайт Издательский дом «Первое сентября» [Электронный ресурс] /www. 1september.ru/.

Формирование компетенций в соответствии с ФГОС:

ОК:
Социальная компетентность – способность действовать в социуме с учётом позиций других людей.

Коммуникативная компетентность – способность вступать в коммуникацию с целью быть понятым.

Предметная компетентность – способность анализировать и действовать с позиции отдельных областей человеческой культуры.

Математическая компетентность – умение работать с числом, числовой информацией.

Ход занятия

1. Организационный момент:

а) приветствие;

в) отметить отсутствующих;

2. Сообщение темы, цели занятия, критериев оценки:

Обучающимся предлагается практическое занятие с поддержкой наглядностей на доске, все необходимые записи они делают в своих тетрадях. Сообщение темы, целеполагание.

Критерии оценивания:
наличие лекции + верное решение всех заданий  — ”5”;

наличие лекции + решение всех заданий, но есть недочеты — “4”;
наличие лекции + решение всех заданий с недочетами и ошибками — ”3”.

3. Актуализация знаний (повторение изученного материала/внеаудиторной самостоятельной работы):

Чтобы работа на уроке была плодотворной, давайте вспомним некоторые факты, характеризующие свойства параллельных прямых и плоскостей. Ваша задача определить верность следующих высказываний:

1. Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых параллельных данной прямой?

Ответ: Неверно.

По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой через точку пространства можно провести единственную прямую.

2. Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая тоже пересекает эту плоскость?

Ответ: Верно.

По лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми, если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3. Верно ли, что две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?

Ответ: неверно.

В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые.

4. Верно ли, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

Ответ: неверно.

Эти прямые могут быть не только параллельными, но и пересекаться, а также они могут быть скрещивающимися.

3. Объяснение нового материала:

Итак, мы приступили к изучению стереометрии – геометрии в пространстве. Как всегда нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость?

Для решения этой задачи применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки.

Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А. (слайд 2)

Выберем в пространстве произвольную плоскость  (её мы будем называть плоскостью проекций) и любую прямую a пересекает  (она задает направление параллельного проектирования). (слайд 3)

Проведем через точку А прямую, параллельную прямой а. Точка А’ пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция точки А на плоскость . Точку А ещё называют прообразом, а точку А’ – образом. Если А, то А’ совпадает с А. (слайд 4)

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости (см.рис.).

Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом(прообраз) в пространстве тень(образ) от солнечных лучей(направление параллельного проектирования) на Земле(плоскость проекций). (слайд 5)

Примечание 1. При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции (самостоятельно обоснуйте почему). (слайд 6)

Примечание 2. При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры. (слайд 7)

Примечание 3. Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием. (слайд 8)

Примечание 4. Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны (||(АВС)), то получающееся при этом изображение… правильно – равно прообразу! (слайд 9)

Параллельное проектирование обладает свойствами:

1. параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; (слайд 10)

2. отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется; (слайд 11)

Если, например, АВ=2CD, то А’В’=2C’D’ или

3) Линейные размеры плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение – см. примечание 4). (слайд 12)

5. Закрепление материала:

Построим изображение куба: (слайд 13)

Далее разберем примеры изображения некоторых плоских фигур: (слайд 14)

Слайд 15:

Слайд 16:

Слайд 17:

Разберемся, как построить изображение правильного шестиугольника.

Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D.

Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA.

Значит:

1. Находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K.

2. Откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D. (слайд 18)

6. Подведение итогов занятия:

1. Что является параллельной проекцией отрезка, треугольника, прямоугольника, квадрата, окружности?

2. Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков, отношение площадей двух фигур)?

3. Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

7. Рефлексия:

Предлагаю обучающимся закончить предложения на выбор:

•         сегодня я узнал…

•         было интересно…

•         было трудно…

8. Домашнее задание:

Попробуйте самостоятельно построить изображение правильного пятиугольника.

Подсказка: разбейте фигуру на две части – равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем воспользуйтесь некоторыми свойствами этих фигур и, конечно же, свойствами параллельного проектирования.

infourok.ru

Конспект учебного занятия (+презентация) по геометрии на тему «Изображение пространственных фигур на плоскости» (10 класс)

Предмет: геометрия

Тема: изображение пространственных фигур на плоскости

Продолжительность: 45 минут

Класс: 10

Оборудование: проектор, макеты фигур

Цели:

Знать: Способ изображения пространственных фигур на плоскости (параллельное проектирование)

Свойства изображения фигуры на плоскости:

1. Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками

2. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками

3. Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании

Уметь: Изображать пространственные фигуры на плоскости, используя параллельное проектирование и свойства изображения пространственных фигур на плоскости

Тип урока: комбинированный

Методы: наглядно-иллюстративный, практический

План урока:

Часть урока

Время реализации

1. Организационный момент: приветствие, вступительное слово учителя

1 минута

2. Определение темы, постановка цели урока мотивация, актуализация знаний учебной деятельности

6 минуты

3. Освоение нового материала

15 минут

4. Практическая работа учащихся

20 минут

5. Подведение итогов урока

3 минут

Здравствуйте! Все ли готовы к уроку? Садитесь.

Итак, начнем. Я Василий Ильич Лазарев, являюсь учителем математики и информатики.

Как вы уже знаете, в 10 классе начинается изучение стереометрии, а до этого у вы изучали планиметрию. Кто мне скажет разницу между планиметрией и стереометрией? (В планиметрии изучаются фигуры на плоскости, а в стереометрии — фигуры в пространстве). Совершенно верно, в стереометрии добавляется третья ось, которая, как правило, добавляет проблемы при решении задач, так как чертить пространственные фигуры сложнее, чем фигуры на плоскости. Мы все прекрасно знаем, что при решении задач основную роль играет правильный рисунок (чертеж). Сегодня мы научимся изображать пространственные фигуры на плоскости. Записываем тему: «Изображение пространственных фигур на плоскости». (слайд 1)

Перед тем, как начать изучение темы, давайте вспомним, что мы знаем о взаимном расположении некоторых фигур в пространстве. Для этого я вам подготовил тест в виде популярной игры «Правда или ложь». Проводится тест (сайд 2-17). Теперь мы готовы к тому, чтобы начать изучать новую тему.

Для того, чтобы ездить на машине по городу, я должен знать как это делается (способ), правила дорожного движения, и уметь управлять автомобилем используя данный способ, не нарушая правила дорожного движения. Что нужно для того, чтобы изобразить пространственную фигуру на плоскости? (знать способ и свойства изображения пространственных фигур на плоскости).

Давайте ознакомимся со способом изображения пространственных фигур на плоскости. Прошу обратить ваше внимание на экран. (слайд 18-32). Во время презентации учитель объясняет способ изображения пространственных фигур на плоскости. Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа α, проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную h. Точка пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А. Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. Способ изображения пространственных фигур на плоскости мы рассмотрели и узнали, что он называется параллельным проектированием.

Из этого способа вытекают некоторые свойства изображения пространственных фигур на плоскости, которые мы сейчас рассмотрим.

Учитель держит между проектором и экраном макет отрезка (экран белый). Смотрите ребята, я держу перед экраном макет отрезка и его проекцией на экране является что? (отрезок). Попробуем повернуть макет по другому и замечаем, что проекцией является отрезок. Меняется лишь его положение и длина. При проектировании отрезка мы получили отрезок. Это и является первым свойством изображения пространственных фигур на плоскости. Давайте, откроем учебник стр. 18 и найдем формулировку этого свойства.

Теперь рассмотрим следующий случай: возьмем две параллельные прямые. Подводим к экрану и замечаем, что тени (проекции) этих прямых тоже параллельны, как бы мы не крутили. Благодаря этой демонстрации мы можем констатировать тот факт, что параллельное проектирование сохраняет параллельность отрезков фигуры. На странице 19 учебника приведена формулировка второго свойства.

Для следующего случая нам понадобиться макет Т-образной фигуры. Держа перед экраном учитель показывает, что отношение отрезков при параллельном проектировании сохраняется. Это и является нашим третьим свойством. Давайте найдет формулировку этого свойства в учебнике.

Для того, чтобы изобразить пространственную фигуру что мы должны были знать? (способ и свойства). Как называется способ изображения пространственных фигур на плоскости? (параллельное проектирование). О чем говорит первое свойство изображения пространственных фигур на плоскости? Второе? Третье?

Для заметки рассмотрим случай с углами. Держа перед экраном макет острого или тупого угла, учитель показывает, что градусная мера угла при проектировании не обязательно сохраняется.

Если мы знаем способ и свойства, то мы уже должны уметь изображать пространственные фигуры на плоскости. Начнем с простого, внимание на экран. Задание следующее: начертите две перпендикулярные плоскости (α, ) и прямую (l), пересекающую данные плоскости (слайд 34-38). Учитель напоминает, что невидимые фрагменты чертятся штриховыми линиями.

Теперь вам задание. Начертите у себя в тетрадях изображение многогранника (кирпич). На экране проецируется описание способа и свойств изображения пространственных фигур на плоскости (слайд 39). После того как задание выполнили учащиеся, учитель показывает свой чертеж. (слайд 40-41), акцентирует внимание на том, что параллельность отрезков сохранилась.

Учитель предлагает открыть учебник на странице 24 и приступить к решению некоторых задач из учебника. Номера 39 и 40 устно, 38 в тетрадях.

№39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ. (Нет не может, по второму свойству).

№40. Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом? (Да, может).

№38. Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразиться проекция средней линии треугольника? (Средней линией проекции треугольника).

Учитель дает задание: Начертите две перпендикулярные прямые, одна из которых пересекает данную плоскость в точке А, а другая параллельна ей.

По подготовленному макету дается задание: начертить параллельное проектирование многогранника.

Итоги урока: 1. Чему мы научились на сегодняшнем уроке? (изображать пространственные фигуры на плоскости).

2. Какие знания вновь полученные знания нам помогли при изображении пространственных фигур на плоскости? (способ и свойства).

3. Как называется способ изображения пространственных фигур на плоскости? (параллельное проектирование)

4. Какими свойствами обладает параллельное проектирование?

Записываем домашнее задание: повторить пройденную тему, начертить параллельное проектирование египетской пирамиды, выполнить номер 41.

infourok.ru

Глава 7. Прямые и плоскости в пространстве.

В планиметрии (курс геометрии в 7 — 9 классах) изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Теперь Вы начинаете знакомиться с элементами стереометрии (от греческих слов стереос – «объёмный, пространственный» и метрео – «измерять, рассматривать») – разделом геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур (тел) в пространстве.

§ 1. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Для обозначения точек будем использовать прописные (заглавные) буквы латинского алфавита: А, В, С,…, прямые будем обозначать малыми («строчными») буквами латинского алфавита: a,b,c… или двумя большими латинскими буквами АВ, СD,…, соответствующие двум точкам прямой. (Иногда ставят скобки (АВ) – прямая, проходящая через точку A и точку B). Плоскости обычно обозначают греческими буквами α, β, γ, … или тремя буквами АВС, (АВС) – плоскость, определяемая тремя точками А,В и С, не лежащими на одной прямой. Изображают плоскости в виде параллелограмма (плоскость α) или некоторой области (плоскость β).

α

β

Как правило, изображением пространственной фигуры на плоскости служит её проекция на ту или иную плоскость. Выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для её исследования.

При параллельном проектировании (именно такое проектирование используют в общеобразовательных курсах стереометрии) сохраняются отношение параллельности и отношение «лежать между»; сохранение последнего отношения означает, что при изображении сохраняется пропорциональность отрезков.

Из свойств параллельного проектирования следуют основные правила изображения пространственных фигур на плоскости:

– параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками;

– отрезки, не являющиеся параллельными, изображаются не параллельными;

– сохраняется отношение «лежать между», т.е. если на оригинале точка делила ребро куба пополам, то и изображение данной точки будет серединой изображения данного ребра;

– углы и длины при изображении не сохраняются.

Из вышеперечисленного следует, что:

– параллелограмм (в том числе квадрат, ромб, прямоугольник) изображается произвольным параллелограммом;

– трапеция изображается трапецией;

– треугольник (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный, равнобедренный, равносторонний) изображается произвольным треугольником;

– окружность изображается эллипсом.

При этом невидимые части (линии) фигур изображаются пунктирными (штриховыми) линиями.

Некоторые фигуры хорошо Вам известны: пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб, шар, цилиндр, конус.

Вот некоторые изображения:

Треугольная пирамида (тетраэдр — слово образовано из двух греческих слов: тетра – четыре, эдрос – грань, то есть четырехгранник).

М В А С

Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1

В1 С1 А1 D1 В С А D

R

Цилиндр R – радиус цилиндра l – образующая цилиндра

l

Конус R – радиус конуса l – образующая конуса

l R

Вопросы и задачи

601. Изобразите пятиугольную призму и покажите, как её можно составить из треугольных призм.

602. Изобразите прямую треугольную призму, на верхнее основание которой поставлена наклонная призма с таким же основанием так, что основания совпадают.

603. Изобразите четырехугольную призму, не являющуюся параллелепипедом.

604. Верно ли утверждение, что понятия «правильная четырехугольная призма» и «куб» совпадают?

605. Изобразите какой-нибудь многогранник, составленный из прямоугольного параллелепипеда и треугольной призмы.

606. а) На рисунке изображен куб ABCDA₁B₁C₁D₁, его пересечения с плоскостью, проходящей через точки A,D₁ и C (с плоскостью AD₁C) и отдельно пересечение плоскости AD₁C и граней AA₁D₁D, CC₁D₁D и ABCD. Проанализируйте этот чертёж.

B1 C1 D1 А1 В С D А

А А1 D1 D D

D1 C1 С

D С В А

б) Изобразите куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и пересечение его с плоскостью, проходящей через точки A, B₁ и C. (сечение куба плоскостью A B₁C).

601. Изобразите треугольную призму ABCA₁B₁C₁ и её сечение плоскостью A₁BC (пересечение призмы этой плоскостью).

602. Может ли сечение куба быть треугольником? четырехугольником? семиугольником?

603. Можете ли вы определить, глядя на изображение тетраэдра, правильный ли тетраэдр изображён?

604. Изобразите треугольную и четырехугольную призмы и объясните, как их можно сложить из тетраэдров.

605. Существуют ли тетраэдры, у которых:

а) все грани – остроугольные треугольники;

б) три грани – прямоугольные треугольники, а одна – остроугольный;

в) три грани – тупоугольные треугольники, а одна – остроугольный?

Если да, объясните почему (как бы вы стали изготовлять их модели)

601. Внутрь тетраэдра помещена треугольная призма так, что вершины её верхнего основания лежат на боковых рёбрах тетраэдра, одна из вершин нижнего основания лежит на медиане нижнего основания тетраэдра, а стороны её основания параллельны сторонам основания тетраэдра. Нарисуйте эту конструкцию.

602. Изобразите правильный тетраэдр SABC и перпендикуляр, опущенный из вершины A на сторону BC.

603. Покажите, пользуясь чертежом или моделью, как можно сложить из тетраэдров пирамиду:

а) четырёхугольную;

б) пятиугольную.

601. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны друг другу. Что вы можете сказать о её гранях и углах граней?

602. Объясните, пользуясь моделью куба, как разбить куб на правильные четырехугольные пирамиды.

603. На какое минимальное число пирамид можно разбить треугольную призму?

604. Прямоугольный параллелепипед расположен внутри правильной четырёхугольной пирамиды так, что вершины его верхнего основания лежат на боковых рёбрах пирамиды, а вершины нижнего основания – в плоскости основания пирамиды. Нарисуйте эту конструкцию.

605. Дан тетраэдр SABC, M — середина ребра BC. Изобразите этот тетраэдр и то, что получится при пересечении его с плоскостью, проходящей через точки S, A, M (сечение тетраэдра плоскостью SAM).

606. Дан тетраэдр SABC, M — середина SC, N — середина ребра SA, K — середина ребра SB. Изобразите этот тетраэдр и то, что получится при пересечении его с плоскостью, проходящей через точки M, N, K(сечение тетраэдра плоскостью MNK).

607. Через середины трёх рёбер правильного тетраэдра, идущих из одной вершины, проводят плоскость. Четырьмя такими плоскостями от исходного тетраэдра отсекают меньшие тетраэдры. Нарисуйте оставшийся многогранник. Знаком ли он вам?

608. Может ли сечение тетраэдра быть пятиугольником?

609. Нарисуйте сечение четырёхугольной пирамиды, которое является:

а) треугольником;

б) четырёхугольником.

601. Рассматриваются два многогранника с одинаковым числом вершин: призма и пирамида. Может ли это число быть четным? нечётным? У какого из этих многогранников больше граней, рёбер?

602. Приведите пример фигуры, которую нельзя отнести ни к многогранникам, ни к телам вращения.

603. Назовите все возможные случаи взаимного расположения сферы и прямой; сферы и плоскости. Сделайте рисунки.

604. Тетраэдр расположен так, что три его вершины лежат на сфере, а четвёртая – в центре сферы. Сделайте рисунок.

605. Треугольная призма расположена так, что все её вершины лежат на сфере. Сделайте рисунок.

606. Сколько общих точек может иметь прямая и поверхность цилиндра? Сделайте рисунки.

607. Цилиндр и шар расположены так, что основания цилиндра являются сечениями шара. Сделайте рисунок.

608. Сколько общих точек может иметь конус и прямая?

609. Четырехугольная пирамида и конус расположены так, что их вершины совпадают, а все вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса. Сделайте рисунок.

610. Четырехугольная пирамида и конус расположены так, что их вершины совпадают, а окружность основания конуса вписана в основание пирамиды. Сделайте рисунок.

611. Конус и шар расположены так, что основание конуса является каким-то сечением шара, а вершина конуса лежит на сфере. Сделайте рисунок.

612. Треугольник ABC с тупым углом при вершине B вращается вокруг прямой AC. Нарисуйте получающуюся фигуру.

613. Треугольник ABC с тупым углом при вершине B вращается вокруг прямой AB. Нарисуйте получающуюся фигуру.

614. Прямоугольная трапеция ABCD вращается вокруг прямой, содержащей сторону AB, являющейся высотой трапеции. Нарисуйте получающуюся фигуру. Объясните, как будет выглядеть развертка.

studfile.net

Элективный курс «Изображение пространственных фигур»

Пояснительная записка

Предлагаемая программа предназначена для учащихся 10–11 классов средних школ. Программа позволяет получить представление о целях и содержании обучения изображения пространственных фигур при обучении по учебному пособию для общеобразовательных учреждений И.М.Смирновой, В.А.Смирнова «Изображение пространственных фигур» элективный курс 10–11 классы, которое допущено Министерством образования и науки Российской Федерации, издательство Мнемозина. Москва 2007 г.

Курс имеет общие цели – углубить знания учащихся, получаемые ими при изучении основного курса стереометрии, развивать их интерес к предмету, любознательность, смекалку, повышать логическую культуру. Умение изображать пространственные фигуры необходимо не только будущему математику, физику, инженеру, конструктору, но и скульптору, архитектору, художнику, дизайнеру.

Темы курсовых занятий примыкают к основному курсу, углубляя отдельные, наиболее важные вопросы, систематизируя материал, изучаемый на уроках в разное время, дополняя основной курс сведениями, важными в общеобразовательном или прикладном отношении.

Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, ученик знакомится с законами восприятия окружающих его предметов, приобретает необходимые практические навыки, формирует пространственные представления.

Особое внимание уделяется решению задач повышенной трудности, так как математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменах в вузы по широкому спектру специальностей.

Отдельно рассматривается вопрос об использовании компьютерных графических редакторов для получения изображений пространственных фигур на экране монитора.

Программа рассчитана на 17 часов.

Цели:

• повышение интереса учащихся к изучению геометрии, углубление понимания ими изучаемого фактического материала;
• расширение умственного кругозора учащихся и повышение их общей «геометрической» культуры.

Задачи:

• формирование системы математических знаний учащихся;
• создание условий, способствующих повышению уровня образованности учащихся;
• развитие пространственного мышления.

Содержание

1. Параллельное проектирование.

Определение параллельного проектирования. Свойства параллельного проектирования и их доказательства.

Основная цель – обобщить и систематизировать знания о параллельном проектировании, научить применять свойства: о параллельном проектировании прямой, отрезка, двух прямых при решении задач.

2. Параллельные проекции плоских фигур.

Дать понятие о параллельном проектировании треугольника, правильного шестиугольника, окружности.

Основная цель – научить изображать проекции различных плоских фигур, конфигураций треугольника и окружности, квадрата и окружности, окружности и правильных многоугольников. Научить видеть в какую фигуру могут проектироваться различные плоские многоугольники при параллельном проектировании. Восстанавливать исходную фигуру по ее проекции.

3. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции.

Привести примеры изображений пространственных фигур на плоскости: куба, пирамиды, призмы, конуса, Познакомить с импоссибилизмом в живописи.
Основная цель – научить правильно изображать пространственные фигуры на плоскости, находить элементы фигуры, если дано его изображение.

Расширить геометрический кругозор.

4. Сечение многогранников.

Метод нахождения точки пересечения прямой и плоскости по заданным двум точкам этой прямой и их проекциям на плоскость. Сечения куба, пирамиды с помощью следов.

Основная цель – научить строить сечения многогранников. Определять форму сечения различных многогранников.

5. Ортогональное проектирование.

Определение ортогонального проектирования. Свойства ортогонального проектирования. Использование его для изображения тел вращения: цилиндра, конуса, сферы, а также комбинаций многогранников и тел вращения. Построение ортогональной проекции прямого трехгранного угла.

Основная цель – научить правильно изображать комбинации тел: куба и сферы, пирамиды и сферы, сферы и плоских фигур.

6. Центральное проектирование. Перспектива.

Центральное проектирование. Перспектива. Три основные части перспективы. Линейная перспектива. Свойства и теоремы центрального проектирования.

Основная цель – изучить свойства центрального проектирования, использовать их при восстановлении изображения фигур при данном проектировании. Научить строить сечения конуса, строить центральные проекции куба, пирамиды, находить элементы данных тел по их проекциям.

7. Использование графического редактора «ADOBE ILLUSTRATOR» или CorelDraw X3 для изображения пространственных фигур.

Графический редактор «Adobe illustrator». Его преимущества перед построением циркулем и линейкой.

Основная цель – изучить программу, использовать при изображении пространственных фигур.

Методы работы.

1. Лекции, беседы, объяснения.
2. Выполнения тренировочных упражнений.

Формы работы

1. Устные сообщения учащихся.
2. Практикум по решению задач.
3. Написание творческих работ.
4. Семинар, презентация проектов.

Литература

1. Бескин Н.М. Методы изображений. Энциклопедия элементарной математики. Кн. IV. – М.: Физматлит, 1963.
2. Василевский А.Б. Метод параллельных проекций. – Минск: Народная асвета, 1985.
3. Васильев Н.Б., С.А. Молчанов и др. Математические соревнования (геометрия). «Наука» Москва 1974.
4. Костицин В.Н. Моделирование на уроках геометрии. – М: Владос, 2000.
5. Корнеева А.О. Геометрические построения в курсе средней школы. Учебное пособие. Саратов «Лицей» 2003.
6. Макарова М.Н. Перспектива. – М.: Просвещение, 1989.
7. Польский И.Г. Проекционный чертеж и построения на нем. – М.:Учпедгиз, 1962.
8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Изображение пространственных фигур. Элективный курс. 10 – 11 классы. – М.: Мнемозина 2007.
10. Четвертухин Н.Ф. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии. – М.: Учпедгиз, 1946.
11. Четвертухин Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. Педагогическая библиотека учителя. АПН РСФСР Москва 1948 Ленинград.
12. Четвертухин Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1955.

Тематическое планирование материала

Пункт	Содержание	Количество часов
1	Параллельное проектирование	2
2	Параллельные проекции плоских фигур	2
3	Изображение пространственных фигур в параллельной проекции	2
4	Сечение многогранников	2
5	Ортогональное проектирование	2
6	Центральное проектирование. Перспектива.	3
7	Использование графического редактора «Adobe illustrator»	2
8	Зачет	2
	Итого:	17

Занятие № 1. Тема: «Параллельное проектирование»

План.

1. Вступительное слово учителя.
2. Изложение нового материала.
3. Решение задач на закрепление нового материала.
4. Домашнее задание.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор, экран.
• Макеты плоскостей, прямых.

Ход работы

1. Вступительное слово учителя.

Данный курс посвящен изображению пространственных фигур. Мы рассмотрим способы изображения пространственных фигур с использованием различных проекций: параллельной, ортогональной, центральной. Параллельная проекция удобна для изображения многогранников и построения их сечений. Ортогональное проектирование используется для изображения тел вращения: цилиндра, конуса, сферы, а также комбинаций многогранников и тел вращения. Центральное проектирование, или перспектива, наиболее близко к зрительному восприятию человеком окружающих предметов. Для указанных проекций доказываются свойства.

2. Параллельное проектирование.

Все мы видели тени предметов на земле от пучка параллельных солнечных лучей, это и есть параллельная проекция данного предмета на плоскость – землю. Построим параллельную проекцию точки А на плоскость α по направлению прямой ŀ. Для этого через произвольную точку А, не принадлежащую прямой l, проведем прямую а, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью, точка А/, называется параллельной проекцией точки А на плоскость α в направлении прямой l. (слайд 2).

Каждой точке пространства с

urok.1sept.ru

«Изображения пространственных фигур в параллельной проекции»

Урок изучения нового по теме: «Изображения пространственных фигур в параллельной проекции»

Учебник: Атанасян Л.С.

Тип урока: урок изучения нового

Цель урока: Рассмотреть способ изображения пространственных фигур с использованием параллельной проекции, формировать пространственное представление.

Учебная задача: В совместной деятельности с учащимися рассмотреть способ изображения пространственных фигур с использованием параллельной проекции, правильно изображать пространственные фигуры

Диагностируемые цели:

Ученики:

— знают основные свойства параллельного проектирования; как изображаются на плоскости плоские фигуры (треугольник, параллелограмм, трапеция, окружность) и пространственные (тетраэдр, параллелепипед, пирамида)

— умеют пользоваться свойствами параллельного проектирования на плоскости и в пространстве, правильно изображать пространственные и плоские фигуры;

— понимают необходимость изучения данной темы, связь математики с действительностью.

Метод обучения: репродуктивный, объяснительно-иллюстративный

Форма обучения: фронтальная

Средства обучения: презентация, традиционные

Структура урока:

Мотивационно — ориентировочный этап – 15мин

Содержательный этап – 25мин

Рефлексивно-оценочный этап – 5мин

КОСПЕКТ УРОКА

На дом ученикам было заданно: повторить изученный ранее материал: стр.9, §1, Параллельные прямые в пространстве, стр. 24, § 4.Параллелепипед и тетраэдр.

Ход урока: Учитель: Здравствуйте, сегодня мы будем изучать новую тему, но для этого нам понадобятся изученные ранее знания.

На прошлых уроках мы с вами изучали параллельность прямых и плоскостей, узнали, что такое параллелепипед и тетраэдр, изучили свойства.

Учитель: Давайте вспомним, какие прямые в пространстве называются параллельными?

Ученики: Если они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Учитель: Теперь по данному рисунку давайте попробуем восстановить теорему о параллельных прямых.

Ученики: теорема: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и при том только одна.

Учитель: далее давайте вспомним, как звучит лемма, о пересечении плоскости параллельными прямыми? Рисунок на презентации поможет вспомнить.

Ученики: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Учитель: молодцы, все правильно, а какие возможны случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве?

Ученики: 1й – прямая лежит в плоскости, 2й – прямая и плоскость имеют только одну общую точку, значит пересекаются, 3й – не имеют ни одной общей точки.

Учитель: Также существует признак параллельности прямой и плоскости, сформулируйте его?

Ученики: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Учитель: С какими многогранниками мы познакомились сначала?

Ученики: С тетраэдром и параллелепипедом.

Учитель: давайте вспомним определения этих многогранников?

Ученики: Тетраэдр – это поверхность, составленная из четырех треугольников.

Параллелепипед – поверхность, составленная из 2х равных праллелограммов (основания) и 4х параллелограммов.

Учитель: Молодцы, давайте посмотрим на рисунок, и назовем все грани и ребра, сначала данного тетраэдра, затем параллелепипеда.

Ученики: (смотрят по рисунку на презентации и отвечают)

Учитель: Также у параллелепипеда есть два важных свойства, давайте их назовем?

Ученики: 1 свойство: противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны, 2 свойство: диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся пополам в ней.

Учитель: Мы с вами повторили и вспомнили, что такое тетраэдр, параллелепипед, его свойства, повторили параллельные прямые в пространстве, все это мы повторяли для того что сегодня нам с вами было легче изучить и понять тему: Изображение пространственных фигур.

Поэтому целью нашего урока будет: научится изображать плоские и пространственные фигуры на плоскости.

Эта тема очень важна для изучения: параллельное проектирование различных фигур и предметов, зачастую применяется и в черчении, и в живописи. Вот, например: Обратим внимание на тот факт, что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать впечатление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии. В живописи существует целое направление, о изображении невозможных фигур.

В черчении, чтобы изготовить нужную деталь, необходим правильный чертеж, поэтому в черчении также применяется и центральное проектирование. А примером параллельной проекции в реальной жизни можно условно считать солнечные тени предметов.

Поэтому для рассмотрения изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции, нам необходимо узнать, что называется параллельным проектированием и основные свойства параллельного проектирования.

Для этого заполним канву-таблицу:

КАНВА ТАБЛИЦА

Определение 1: Точка А называется проекцией точки А◦ на плоскость π при проектировании параллельно прямой l.

(ученики записывают в таблицу)

Определение 2:Пусть F◦ — плоская или пространственная фигура, параллельные проекции всех точек фигуры F◦ образуют некоторую фигуру F на плоскости π, фигура F называется параллельной проекцией фигуры F◦. F получена из F◦ параллельным проектированием.

Свойство 1: Проекция прямой есть прямая.

Свойство 2: Проекция отрезка есть отрезок.

Свойство 3: Проекции параллельных отрезков — параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой.

Свойство 4: Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Следствие из 4⁰: проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

Учитель: Мы посмотрели определения проекции точки и фигуры на плоскость, записали основные свойства параллельного проектирования, как вы думаете понадобится ли нам это для изображения плоских и пространственных фигур?

Ученики: Да

Учитель: Для того чтобы перейти к рассмотрению фигур при параллельном проектировании, какое важное определение нам пригодится?

Ученики: Определение изображения фигуры.

Учитель: Давайте вместе опробуем его сформулировать? И запишем определение.

Учитель: Как вы думаете, если мы будем задавать разные направления прямой l и выбирая различные плоскости изображения, будем олучать различные изображения данной фигуры?

Ученики: Да

Учитель: Все правильно, но обычно берутся наиболее наглядные и удобные изображения фигуры. Теперь мы можем прейти к рассмотрению плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.

Изображение плоских фигур

Изображения пространственных фигур

(Плоскости фигур не параллельны направлению проектирования (прямой l))

1. ТРЕУГОЛЬНИК

а)

Пусть АоВоСо треугольник, расположенный в

пространстве, А’, В’ и С’- проекции точек АоВоСо на плоскость π .Так как проекция отрезка есть отрезок,

то треугольник А’В’С’ является изображением треугольника АоВоСо.

Вывод: Изображением любого треугольника, является произвольный треугольник.

( Ни одна из плоскостей граней не параллельна направлению проектирования (прямой l))

1. ТЕТРАЭДР

Пусть АоВоСоДо — произвольный тетраэдр, А, В, С, Д— параллельные проекции его вершин на плоскость изображений. Отрезки АВ, ВС, СА, AD, BD, CD служат сторонами

и диагоналями четырехугольника ABCD.

Фигура, образованная из этих отрез-

ков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением

тетраэдра AoBoCoDo.

2. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

(на основе свойств 3-4)

Так как проекциями равных параллельных

отрезков являются равные параллельные отрезки то изображением параллелограмма является параллелограмм.

Учитель: Ромб, квадрат – являются параллелограммами?

Ученики: Да

Учитель: Тогда, как вы думайте, что будет являться изображением ромба и квадрата?

Ученики: Параллелограмм.

Учитель: Правильно, изображением произвольного параллелограмма, ромба и квадрата является произвольный параллелограмм.

Вывод: Изображением произвольного параллелограмма, ромба и квадрата является произвольный параллелограмм.

2. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Для построения изображения произвольного параллелепипеда AoBoCoDoA’oB’oC’oD’o заметим, что точки Ао, Во, Do и А’o являются вершинами тетраэдра AoBoDo и A’о, в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырехугольника ABDA’. Любые три отрезка АВ, AD и АА’ плоскости изображения с общим концом А, никакие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением ребер АоВо, AoDo и АоА’о параллелепипеда. Изображения остальных ребер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также

будут параллелограммами. На рисунке параллелепипед ABCDA’B’C’D’ является изображением параллелепипеда AоBоCоDоAо’Bо’Cо’Dо’

3. ТРАПЕЦИЯ

Изображением трапеции А₀В₀С₀D₀

с основаниями А₀В_{0 и} С₀D₀ является трапеция ABCD по свойству 4.

т.е основания изображения трапеции пропорциональны основаниям самой трапеции. Поэтому не любую трапецию можно считать изображением данной трапеции.

Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.

Вывод: Изображением трапеции А₀В₀С₀D₀ с основаниями А₀В_{0 и} С₀D₀

является трапеция ABCD

3.ПИРАМИДА

Изображение основания пирамиды строят по описанным в п. 3 правилам, а за изображение вершины можно принять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения

основания. На рисунке изображение правильной пирамиды SoAoBoCoDo, основанием которой служит квадрат AoBoCoDo. Изображением основания является параллелограмм ABCD.

4. ОКРУЖНОСТЬ

Параллельная проекция окружности называется эллипсом.

Из свойств параллельного проектирования следует, что

проекция центра О данной окружности является центром сим-

метрии эллипса, эту точку называют

центром эллипса.

Вывод: Таким образом, изображением окружности является эллипс,

причем изображением центра окружности является центр эллипса.

4. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВТУЛКА

Замечание: частным случаем параллельной проекции фигуры является прямоугольная проекция.

Широко применяется в техническом черчении, деталь проектируется на две плоскости, горизонтальную и вертикальную.

Учитель: Мы с вами рассмотрели основные виды изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции, узнали основные свойства параллельного проектирования, теперь перейдем к решению задач

Задача 1: Построить правильную шестиугольную призму.

Задача 2: Постройте треугольную пирамиду в основании которой лежит треугольник: а) равнобедренный б) правильный.

Учитель: Итак, какова была цель нашего урока?

Ученики: научиться изображать в параллельной проекции пространственные и плоские фигуры, научится правильно изображать объемные тела на плоскости, познакомится с параллельным проектирование, узнать основные свойства параллельного проектирования.

Учитель: Достигли ли мы ее?

Ученики: да

Учитель: Как мы ее достигли?

Ученики: с помощью основных свойств параллельного проектирования и определений, мы научились изображать плоские и пространственные фигуры.

Учитель: какие плоские фигуры мы изображали на плоскость?

Ученики: треугольник, параллелограмм, трапецию, окружность

Учитель: Какие объемные фигуры мы проектировали на плоскость?

Ученики: тетраэдр, пирамида, параллелепипед и видели как можно изображать в черчении цилиндрическую втулку.

Учитель: Хорошо, записываем домашнее задание: учить определения и свойства параллельного проектирования, уметь изображать плоские и пространственные фигуры, которые прошли на этом уроке;

задачи: 1) Построить правильную шестиугольную пирамиду

2) Постройте треугольную призму, в основании которой лежит треугольник: а) равнобедренный б) правильный.

ЗАПИСИ УЧЕНИКОВ

Число

Классная работа

КАНВА ТАБЛИЦА

Определение 1: Точка А называется проекцией точки А◦ на плоскость π при проектировании параллельно прямой l.

(ученики записывают в таблицу)

Определение 2:Пусть F◦ — плоская или пространственная фигура, параллельные проекции всех точек фигуры F◦ образуют некоторую фигуру F на плоскости π, фигура F называется параллельной проекцией фигуры F◦. F получена из F◦ параллельным проектированием.

Свойство 1: Проекция прямой есть прямая.

Свойство 2: Проекция отрезка есть отрезок.

Свойство 3: Проекции параллельных отрезков — параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой.

Свойство 4: Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Следствие из 4⁰: проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

Изображение плоских фигур

Изображения пространственных фигур

(Плоскости фигур не параллельны направлению проектирования (прямой l))

4. ТРЕУГОЛЬНИК

а)

Пусть АоВоСо треугольник, расположенный в

пространстве, А’, В’ и С’- проекции точек АоВоСо на плоскость π .Так как проекция отрезка есть отрезок,

то треугольник А’В’С’ является изображением треугольника АоВоСо.

Вывод: Изображением любого треугольника, является произвольный треугольник.

( Ни одна из плоскостей граней не параллельна направлению проектирования (прямой l))

3. ТЕТРАЭДР

Пусть АоВоСоДо — произвольный тетраэдр, А, В, С, Д— параллельные проекции его вершин на плоскость изображений. Отрезки АВ, ВС, СА, AD, BD, CD служат сторонами

и диагоналями четырехугольника ABCD.

Фигура, образованная из этих отрез-

ков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением

тетраэдра AoBoCoDo.

4. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

(на основе свойств 3-4)

Так как проекциями равных параллельных

отрезков являются равные параллельные отрезки то изображением параллелограмма является параллелограмм.

Учитель: Ромб, квадрат – являются параллелограммами?

Ученики: Да

Учитель: Тогда, как вы думайте, что будет являться изображением ромба и квадрата?

Ученики: Параллелограмм.

Учитель: Правильно, изображением произвольного параллелограмма, ромба и квадрата является произвольный параллелограмм.

Вывод: Изображением произвольного параллелограмма, ромба и квадрата является произвольный параллелограмм.

5. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Для построения изображения произвольного параллелепипеда AoBoCoDoA’oB’oC’oD’o заметим, что точки Ао, Во, Do и А’o являются вершинами тетраэдра AoBoDo и A’о, в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырехугольника ABDA’. Любые три отрезка АВ, AD и АА’ плоскости изображения с общим концом А, никакие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением ребер АоВо, AoDo и АоА’о параллелепипеда. Изображения остальных ребер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также

будут параллелограммами. На рисунке параллелепипед ABCDA’B’C’D’ является изображением параллелепипеда AоBоCоDоAо’Bо’Cо’Dо’

6. ТРАПЕЦИЯ

Изображением трапеции А₀В₀С₀D₀

с основаниями А₀В_{0 и} С₀D₀ является трапеция ABCD по свойству 4.

т.е основания изображения трапеции пропорциональны основаниям самой трапеции. Поэтому не любую трапецию можно считать изображением данной трапеции.

Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.

Вывод: Изображением трапеции А₀В₀С₀D₀ с основаниями А₀В_{0 и} С₀D₀

является трапеция ABCD

3.ПИРАМИДА

Изображение основания пирамиды строят по описанным в п. 3 правилам, а за изображение вершины можно принять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения

основания. На рисунке изображение правильной пирамиды SoAoBoCoDo, основанием которой служит квадрат AoBoCoDo. Изображением основания является параллелограмм ABCD.

4. ОКРУЖНОСТЬ

Параллельная проекция окружности называется эллипсом.

Из свойств параллельного проектирования следует, что

проекция центра О данной окружности является центром сим-

метрии эллипса, эту точку называют

центром эллипса.

Вывод: Таким образом, изображением окружности является эллипс,

причем изображением центра окружности является центр эллипса.

4. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВТУЛКА

Замечание: частным случаем параллельной проекции фигуры является прямоугольная проекция.

Широко применяется в техническом черчении, деталь проектируется на две плоскости, горизонтальную и вертикальную.

Задача 1

Задача 2:

infourok.ru

Интегрированный урок (геометрия + черчение) по теме «Изображение пространственных фигур на плоскости». 10-й класс

План урока

Цели урока

1. Образовательные цели: изучение понятия «параллельное проецирование» и его свойств, формирование навыков построения изображений плоских и пространственных фигур на плоскости с помощью аксонометрической проекции, развитие умений сравнивать явления
2. Развивающие цели: развитие абстрактного мышления, пространственного воображения и интуиции, развитие познавательного интереса и интереса к поисково-исследовательской деятельности.
3. Воспитательные цели: развитие навыков коллективной работы, создание атмосферы доброжелательности на уроке.

Оборудование: компьютер, учебный диск, интерактивная доска, проектор, модели плоских геометрических фигур.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель математики: Сегодня у нас с Вами необычный урок. Сегодня на нашем уроке встретятся геометрия и черчение. Тема нашего урока «Изображение пространственных фигур на плоскости».

2. Актуализация знаний учащихся с помощью дидактической игры «Верно – неверно». Этап сопровождается показом слайдовой презентации (приложение 1).

Учитель математики: Чтобы работа на уроке была плодотворной, давайте вспомним некоторые факты, характеризующие свойства параллельных прямых и плоскостей. Ваша задача определить верность следующих высказываний. Итак, начинаем.

1. Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых параллельных данной прямой?

Ответ: Неверно.

По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой через точку пространства можно провести единственную прямую.

2. Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая тоже пересекает эту плоскость?

Ответ: Верно.

По лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми, если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3. Верно ли, что две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?

Ответ: неверно.

В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые.

4. Верно ли, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

Ответ: неверно.

Эти прямые могут быть не только параллельными, но и пересекаться, а также они
могут быть скрещивающимися.

3. Определение целей урока с помощью учащихся проводит учитель черчения.

Вы заметили, что дать точный ответ нам помогли чертежи. Надеюсь, что никто из Вас не станет отрицать того, что «хороший» чертёж всегда поможет нам в решении геометрических задач, но в то же время все построения на уроках черчения Вы выполняете на основе математических законов. Главной задачей нашего сегодняшнего урока будет понять, что требуется знать, чтобы наши чертежи всегда были правильными и «хорошими».

4. Историческая справка о проективной геометрии, параллельном проецировании.

Учитель черчения: Параллельная проекция всем хорошо знакома. Солнце находится от нас так далеко, что его лучи в любой момент времени можно считать практически параллельными. Поэтому тень от любого предмета на дороге или стене дома представляет собой проекцию этого предмета на плоскость дороги или стены параллельно лучам солнца (рис.1).

Рисунок 1

Учитель черчения: с помощью презентации рассказывает о параллельной проекции (косоугольной и прямоугольной), о создателе начертательной геометрии Гаспаре Монже (1746-1818) (рис.2) и Ж.Дезарге (1593-1662).

5. Поисково-исследовательская деятельность учащихся.

На этом этапе необходимо выяснить свойства параллельной проекции.

Учителя предлагают поиграть в театр теней.

— Как во всяком театре у нас должны быть актёры. Сегодня все роли Ваши.

Рисунок 2

(Распределяются роли, раздаются эскизы фигур – «героев» действия: точка, прямая, отрезок, треугольник, параллелограмм, круг, и.т.д.)

Итак, начинаем.

Жили-были на свете геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, углы, треугольники, параллелограммы, трапеции и окружности. Они были очень дружными фигурами и всегда помогали друг другу. Однаждыв город привезли новое развлечение – ЗЕРКАЛО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ. И все жители городка отправились в него посмотреться. Первой пришла Точка.

— Что Вы, уважаемая Точка, увидели в зеркало?

(Ученица рассказывает, что получается при проекции точки на плоскость).

Следом за ней прибежала красавица Прямая.

— А что Вы увидели, дорогая Прямая?

(Ученица рассказывает, что получается при проекции прямой на плоскость).

Очень заинтересовался зеркалом весёлый Отрезок.

— Что же интересного мог увидеть наш приятель?

Он увидел отрезок, но совсем другой длины, которая менялась в зависимости от того как он поворачивался. (Желательно, чтобы ученик самостоятельно сделал этот вывод).

А уж когда к нему присоединился его братишка — второй Отрезок, так веселью не было конца. Повертелись они в своё удовольствие. И пересекались, и становились параллельными. И всё это изобразилось в проекционном зеркале.

— Что интересного Вы увидели?

(Учитель выясняет различные случаи изображения двух отрезков).

Но тут пришёл Знайка, которому тоже было очень интересно посмотреть на это зеркало. Он тут же попросил братьев Отрезков помочь ему провести маленький эксперимент. Знайка разделил отрезок в отношении 2:1 и проверил, изменится ли это соотношение в зеркале.

— Уважаемый, Знайка, что же Вы увидели?

(Делается вывод о сохранении отношений длин отрезков).

Слава о зеркале быстро разнеслась по всему городку. Неспеша, подошел к этому чуду дядюшка Угол. И очень обиделся.

— Что Вас так обидело, уважаемый дядюшка Угол?

(Делается вывод о несохранении градусных мер углов).

Следом за ним прибежали Треугольник, Параллелограмм, Прямоугольник, Окружность и Трапеция.

— Что же Вы все увидели в этом чудо – зеркале?

(С каждой геометрическ5ой фигурой выясняется, что представляют их проекции).

Долго не смолкало веселье в маленьком городке геометрических фигур, а мы с Вами давайте подведём итоги.

Так какие же свойства фигур сохраняются при параллельном проецировании?

А какие не сохраняются? (Итоги подводятся с помощью презентации).

При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства фигур

1. Свойство фигуры быть точкой, прямой и плоскостью.
2. Свойство фигур иметь пересечение.
3. Деление отрезка в данном отношении.
4. Параллельность прямых и плоскостей.
5. Свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией.
6. Отношение длин параллельных отрезков.
7. Отношение площадей двух фигур.

При параллельном проецировании не сохраняются следующие свойства фигур:

1. Свойство прямых и плоскостей образовывать между собой углы определенной градусной меры (в частности быть взаимно перпендикулярными).
2. Отношение длин не параллельных отрезков.
3. Отношение величин углов между прямыми (в частности, свойство луча быть биссектрисой угла).

Текст свойств высвечивается на интерактивной доске по мере их выявления. У учащихся на столах лежат памятки с перечислением этих свойств.

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой есть прямая (рис.3).
3. Проекция отрезка есть отрезок (рис.4).
4. Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой (рис.5).
5. Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам (рис.6).

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

Учитель математики: Теперь выясним как изображаются фигуры в аксонометрической проекции. По рисунку 7 попробуйте сформулировать алгоритм построения произвольной плоской фигуры с помощью параллельного проектирования.

Рисунок 7

А теперь поговорим об изображении определённых плоских фигур.

Изображение отрезка

Произвольный отрезок на чертеже можно считать изображением данного отрезка.

Изображение треугольника

В качестве изображения данного треугольника на чертеже можно брать произвольный треугольник (рис.8).

Рисунок 8

Изображением равнобедренного и прямоугольного треугольников может служить разносторонний треугольник (рис.9).

Рисунок 9

Изображение параллелограмма

Изображением данного параллелограмма можно считать произвольный параллелограмм (рис.10).

В частности изображением прямоугольника, ромба и квадрата будет параллелограмм.

Рисунок 10

Изображение трапеции
Изображением трапеции является трапеция, у которой основания пропорциональны основаниям самой трапеции (рис. 11).

Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.

Рисунок 11

Изображение окружности

Параллельной проекцией окружности является эллипс (рис.12).

Эллипс используют при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усечённых конусов и сфер.

Рисунок 12

6. Практическое применение теоретических знаний. Решение задач

Учитель математ

urok.1sept.ru