Методы узловых напряжений и контурных токов – . .

4.2. Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.

На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I₁₁и I₂₂— контурные токи.

Рис. 4.2

Токи в сопротивлениях R₁и R₂равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R₃, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I

11и I₂₂, так как эти токи направлены в ветви с R₃ встречно.

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.

В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

     (4.4)

     (4.5)

Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура.

Собственные сопротивления контуров схемы

,     .

Сопротивление R₃, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров.

,

где R₁₂— общее сопротивление между первым и вторым контурами;

R₂₁— общее сопротивление между вторым и первым контурами.

E₁₁= E₁и E₂₂= E₂— контурные ЭДС.

В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

,

.

Собственные сопротивления всегда имеют знак «плюс».

Общее сопротивление имеет знак «минус», если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак «плюс», если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению.

Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, определим контурные токи I₁₁и I₂₂, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях.

Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними, а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению c контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви.

В схеме на рис. 4.2

.

Рекомендации

1. Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы их внутренняя область не пересекалась ни с одной ветвью, принадлежащей другим контурам.

2. Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против).

3. Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным.

4. Если в схеме имеется ветвь с известным контурным током, этот ток следует сделать контурным, благодаря чему количество уравнений становится на единицу меньше.

4.3. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 4.3 имеется четыре узла. Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов. Примем для схемы φ

4= 0.

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

Рис. 4.3

(4.6)

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

,

где — проводимость первой ветви.

,

где — проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение (4.6).

(4.7)

где g₁₁= g₁+ g₂— собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

g₁₂= g₂— общая проводимость между узлами 1 и 2.

Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

— сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1.

Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком «плюс», если от узла — со знаком «минус».

По аналогии запишем для узла 2:

    (4.8)

для узла 3:

    (4.9)

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы φ₁, φ₂, φ₃, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи.

Если число узлов схемы — n, количество уравнений по методу узловых потенциалов —   (n — 1).

Замечание.

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, необходимо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Количество составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

studfile.net

Метод контурных токов, метод узловых потенциалов

Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи.

В случае, когда электрическая схема достаточно сложна и не приводится к схеме одноконтурной цепи, пользуются более общими методами расчёта. Описанные ниже методы применимы для цепей постоянного и переменного тока.

Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

— число уравнений (сост. по II закону Кирхгофа).

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не меняющими проводимость (они могут содержать источники тока), то число уравнений К, составляемых по методу контурных токов уменьшается на NT.

Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви.

При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток).

— число независимых контурных токов, их необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников тока.

Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:

При этом следует считать

, если условные положительные направления контурных токов в одной ветви контуров K и m совпадают, и , если они противоположны.

где D1 D2 Dn — дополнение

D — определитель системы.

Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности:

Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей).

Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов.

Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи.

Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме.

Метод узловых потенциалов

Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

, где Ny – число узлов электрической схемы.

Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома.

При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого-либо узла, для оставшихся

составляют уравнения по I-му закону Кирхгофа.

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число KI уравнений, составленных по МУП, уменьшается на Nн (число ветвей с нулевыми сопротивлениями).

— число уравнений по МУП.

Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме.

Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь.

Дальше будем предполагать, что

, т.е. между узлами цепи не включены идеальные источники ЭДС.

В качестве примера составим уравнение по методу узловых напряжений для цепи, изображённой на рис. 3.

Задано:

и параметры всех элементов.

Расчёт цепи производим комплексным методом:

Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:

(1)

Y11=Y12+Y10+Y13; Y22=Y20+Y12+Y23; Y33=Y30+Y13+Y23

Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам.

Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу.

Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать:

(1)

Для 1-ого узла:

Значения Z1; Z2; Z3; E1 и E2 у нас были определены ранее (см. 1-ый способ решения).

Ответ:

Между узлами К и m имеется ветвь с источниками ЭДС (EKm), сопротивлением ZKm, то ток в этой цепи (ветви), направленный от К к m связан соотношениями:

Первый закон Кирхгофа для рис. 1 имеет вид (1).

Напряжение можно выразить через узловые напряжения в виде:

.

Получаем:

или

Обозначив

, где YKK – сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к К-ому узлу, имеем: — что и является основным уравнением для К-ого узла по МУП.

В развёрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид:

Решая эту систему, найдём узловые напряжения, причём для К-ого узла величина

будет: ,

где D — главный определитель системы, DmK – его алгебраическое дополнение.

После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях цепи имеют вид:

Если в ветви содержатся ЭДС, то ток равен

Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам.

Если к К-ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток IKK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-».

Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна 0.

Yii – собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со знаком «+»).

Yiк – взаимная проводимость между узлами i и к (входит в уравнение всегда со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу).

Ток I1 называется узловым током 1-ого узла. Это расчётная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу.

Y11 – проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле.

Y12 – проводимость взаимная – равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2 (берётся со знаком «-»).

Пример:

Е2=Е3 = 1 В

IK3 = 1 A

IK2 = 1 A

R1 = 13 Ом

R2 = 5 Ом

R3 = 9 Ом

R4 = 7 Ом

R5 = 1 Ом

R6 = 4 Ом

Определить токи в ветвях.

Для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы необходимо ввести в левую часть уравнений искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого.

mirznanii.com

Метод контурных токов.

Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Он заключается в определении по второму закону Кирхгофа контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.

Рис.28. Иллюстрация к методу контурных токов.

На рис.28 показана цепь с двумя независимыми контурами, следовательно, и с двумя контурными токами I₁₁иI₂₂.

Токи в ветвях I₁иI₂равны контурным токам:

I₁=I₁₁, I₂=I₂₂

Ток I₃равен сумме этих двух контурных токов:

I₃=I₁₁+I₂₂

По второму закону Кирхгофа для первого контура цепи:

I₁r₁+I₃r₃=E₁-E₃

Или: I₁₁r₁+(I₁₁+I₂₂)r₃=E₁-E₃;

I₁₁ (r₁+r₂)+I₂₂r₃=E₁-E₃

Обозначим r₁+r₂=r₁₁

r₃=r₁₂; E₁-E₃

Тогда: I₁₁r₁₁+I₂r₁₂=E₁₁

r₁₁– сумма всех сопротивлений, входящих в контурI, называетсясобственным сопротивлением контура.

r₁₂– сопротивление ветви, общей для контураIиII;

E₁₁=E₁-E₂– алгебраическая сумма всех э.д.с., содержащихся в первом контуре; со знаком «-» берется э.д.с., действующая навстречу контурному току рассматриваемого контура.

E₁₁называетсяконтурной э.д.с.

Аналогично для второго контура рис.28.

I₁₁r₂₁+I₂₂r₂₂=E₂₂,

где r₂₁=r₃;r₂₂=r₂+r₃;

E₂₂=E₂-E₃

Уравнения, составленные по методу контурных токов, всегда записывают в виде системы. Для схемы рис.28:

В результате решения системы находят контурные токи, а затем токи ветвей.

Если заданная электрическая цепь содержит nнезависимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получаетсяnконтурных уравнений:

(29)

Собственные сопротивления r_iiвходят в уравнения (29) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного токаI_ii. Общие сопротивленияr_ikвойдут в уравнения со знаком «-», когда токиI_iиI_kнаправлены в них встречно.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

N_ур=N_b-N_y+1-N_и.т.

где N_b– число ветвей электрической цепи;

N_y– число узлов;

N_и.т.– число идеальных источников тока.

Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Пример.

Решим пример 2 параграфа 11, используя метод контурных токов.

Цепь содержит три контура, через которые протекают контурные токи.

При наличии источников тока надо так направлять контурные токи, чтобы они протекали через данные источники. Но через один источник тока не может протекать два контурных тока.

На рис.1 обозначены положительные направления контурных токов. Очевидно, что I₁₁=J₁;I₂₂=-J₂

Контурный ток I₃₃– неизвестен, для него составляем уравнение:

I₃₃ (R₃+R₄+R₅+R₆)-I₁₁ (R₃+R₄)+I₂₂ (R₅+R₃)=0

В правой части уравнения стоит «0», т.к. отсутствует контурная э.д.с.

В результате решения определяем I₃₃=16,25 мА

Итак: I₁=I₁₁=20мА; I₃=I₁₁-I₂₂-I₃₃=20-(-10)-16,25=13,75мА.

I₄=-I₁₁+I₃₃=-20+16,25=-3,75мА;

I₅=I₂₂+I₃₃=-10+16,25=6,25мА;

I₆=I₃₃=16,25мА.

studfile.net

Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разности потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

На рис.29 представлена схема электрической цепи, содержащая пять ветвей и три узла. За базисный принят узел с индексом «0».

Узловое напряжение U₁₀=₁-₀. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Рис.29. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

Напряжение на ветвях цепи равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Например, напряжение ветви 4 равно: U₄=I₄R₄=U₁₀-U₂₀(30)

Из формулы (30) видно, что, зная узловые напряжения, можно найти ток ветви.

Структуру уравнений получим, рассматривая схему рис.30.

Т.к. узел с индексом «0» принят за базисный, то его потенциал равен нулю. Узловые напряжения (потенциалы) узлов 1 и 2 – неизвестны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов соответственно записываются:

(31)

Узловое напряжение (32)

Отсюда (33,а)

Аналогично для оставшихся токов:

(33,б)

Выражения (33,а,б) подставляем в систему (31) и после некоторых арифметических преобразований получаем:

(34)

Обозначим q₁₁=q₁+q₂+q₄+q₅– собственная проводимость узла 1.

q₂₂=q₃+q₄+q₅– собственная проводимость узла 2.

q₁₂=q₂₁=q₄+q₅– взаимная проводимость ветви,

соединяющей узлы 1 и 2.

I_y1=E₁q₁+E₂q₂+E₅q₅– узловой ток узла 1.

I_y2=-E₃q₃-E₅q₅– узловой ток узла 2.

Из приведенных выражений видно:

Собственная проводимость узларавна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимнаяпроводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Узловой ток(теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведенийE_iq_iиJ_iисточников тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если э.д.с. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «-».

После введенных обозначений система (34) принимает вид:

(35)

Из формул (35) видно, что собственная проводимость входит в выражения со знаком «+», а взаимная проводимость – со знаком «-».

Для произвольной схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

(36)

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

N_ур=N_y-1-N_э.д.с.(37)

где N_э.д.с.– число идеальных источников э.д.с.

Пример: (общий случай)

Пример: (с идеальными э.д.с.)

Порядок расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1. Выбираем произвольно базисный узел. Желательно нулевой потенциал представить тому узлу, где сходится большее количество ветвей. Если имеется ветвь, содержащая идеальную э.д.с., то базисный узел должен быть концом или началом этой ветви.

2. Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (36).

3. Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

4. Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

(38)

Следствие: Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных э.д.с.) составляется только одно уравнение.

Например, для схемы рис.30:

U₁₀q₁₁=E₁q₁-E₃q₄+J₂(39)

Формула (39) носит название метода двух узлов.

Рис.30. Иллюстрация к методу двух узлов.

Узловое напряжение по методу двух узлов равно:

(40)

Пример:Дано:E₁=8B;E₅=12B;R₁=R₃=1 Ом;R₂=R₄=2 Ом;R₅=3 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

Рис.1

Решение:

Т.к. электрическая цепь содержит три узла и не содержит ветвей с идеальными источниками э.д.с., то число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений равно 2.

Узел 3 будем считать базисным.

Тогда

Где

В результате решения системы определяем U₁₃=2,8B;U₂₃=-1,95B.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:

studfile.net

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n  — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I₁-I₆. 

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R₁₁=R₁+R₄+R₅=10+25+30= 65 Ом

R₂₂=R₂+R₄+R₆=15+25+35 = 75 Ом

R₃₃=R₃+R₅+R₆=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R₄ принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R₁₂=R₂₁=R₄=25 Ом

R₂₃=R₃₂=R₆=35 Ом

R₃₁=R₁₃=R₅=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом: 

Ток первого контура I₁₁, умножаем на собственное сопротивление R₁₁ этого же контура, а затем вычитаем ток I₂₂, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R₂₁ и ток I₃₃, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R₃₁. Данное выражение будет равняться ЭДС E₁ этого контура.  Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему: 

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.  

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному. 

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус. 

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода. 

Например, через резистор R₄ протекает ток I₄, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

 

А для остальных 

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Рекомендуем — Метод двух узлов

Просмотров: 64333

electroandi.ru

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом узловых и контурных уравнений.

Этот принцип основан на первом и втором законе Кирхгофа. Он не требует преобразования схемы.

Порядок расчёта:

1. Произвольно задаёмся направлением токов в ветвях. (Токи в ветвях надо направлять так, что бы хотя бы один ток выходил из узла и один входил в узел)
   

Красным выделены изменения после первого действия

Синим выделены изменения после второго пункта

2. Составляем уравнение для узлов по первому закону Кирхгофа. Их должно быть n минус 1 . (n – число узлов)
   1. Обозначаем узлы буквами.
   2. Берём один конкретный узел (Например узел А) и смотрим как направлены токи в ветвях образующих узел. Если ток направлен в узел, то записываем его со знаком плюс, если из него то со знаком минус. 0=I1-I4-I6 (Полученное уравнение)
   3. Повторяем пункт B ещё для двух узлов.0=-I3+I4+I5(Узел В)                                         0=I3-I1-I2(Узел D)
3. Произвольно задаёмся обходом контура (по часовой или против часовой). И составляем уравнения для контуров цепи по второму закону Кирхгофа. В данном примере направление обхода контура выберем по часовой стрелке.

 3.1 Смотрим, как направлена ЭДС относительно обхода контура. Если направление обхода контура совпадает, то значение ЭДС записываем со знаком плюс (в левой части уравнения), если не совпадает, то со знаком минус (записываем также в левой части уравнения)

3.2 Смотрим, как направлено падение напряжения на сопротивлении контура.(То есть смотрим как направлены токи, только записываем в уравнение произведение тока на сопротивление через которое ток протекает в данном контуре). Если направление обхода контура совпадает, то падение напряжения записываем со знаком плюс (в правой части уравнения), если не совпадает, то со знаком минус (записываем также в правой части уравнения)

3.3 Произвести действия 3.1 и 3.2 для остальных контуров. У вас должна получится система из n уравнений, где n — количество контуров в цепи.

Контур ABDA E1=I1*(R1+R01)+I4*R4+I3*R3

Контур BCDB E2=I2*(R2+R02)+I3*R3+I5*R5

Контур ABCA 0=I6*R6-I4*R4+I5*R5

• Решаем полученную систему уравнений и находим величины токов во всех ветвях. 

Уберём лишние токи из системы используя уравнения полученные во втором пункте поскольку у нас три уравнения поэтому мы оставляем только три любых тока. Для данного примера я рекомендую оставить токи I1 I2 I4.

0=I1-I4-I6 (Узел А)

0=-I3+I4+I5(Узел В)

0=I3-I1-I2(Узел D)

Выражаем из трёх уравнений токи I3 I5 I6 через токи I1 I2 I4.

I6=I1-I4(Узел А)

I3=I1+I2(Узел D)

I5=I3-I4(Узел В)

I5=I3-I4(Узел В) В этом уравнении сразу не получилось выразить I5 через токи I1 I2 I4, поэтому вместо тока I3 подставим уравнение для узла D и получим:

I5=I1+I2-I4

Заменим токи I3 I5 I6 и получим уравнения с тремя токами :

 E1=I1*(R1+R01)+I4*R4+(I1+I2)*R3

 E2=I2*(R2+R02)+(I1+I2)*R3+(I1+I2-I4)*R5

 0=(I1-I4)*R6-I4*R4+(I1+I2-I4)*R5

Раскрываем скобки подставляем значения сопротивлений из условия и получаем например вот такие три уравнения:

40 = 71*I1 + 24*I2 + 14*I4

20 = 55*I1 + 93*I2 — 61*I4

0 = 60*I1 + 16*I2 — 81*I4

Дальше для решения системы можно воспользоваться бесплатной онлайн программой на нашем сайте.

• Если при решении системы ток получается отрицательным (со знаком —), значит его действительное направление противоположно тому направлению которое мы задали в первом действии.
• Правильность  решения можно проверить с помощью баланса мощностей.

electrikam.com

Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разности потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

На рис.29 представлена схема электрической цепи, содержащая пять ветвей и три узла. За базисный принят узел с индексом «0».

Узловое напряжение U₁₀=₁-₀. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Рис.29. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

Напряжение на ветвях цепи равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Например, напряжение ветви 4 равно: U₄=I₄R₄=U₁₀-U₂₀ (30)

Из формулы (30) видно, что, зная узловые напряжения, можно найти ток ветви.

Структуру уравнений получим, рассматривая схему рис.30.

Т.к. узел с индексом «0» принят за базисный, то его потенциал равен нулю. Узловые напряжения (потенциалы) узлов 1 и 2 – неизвестны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов соответственно записываются:

(31)

Узловое напряжение (32)

Отсюда (33,а)

Аналогично для оставшихся токов:

(33,б)

Выражения (33,а,б) подставляем в систему (31) и после некоторых арифметических преобразований получаем:

(34)

Обозначим q₁₁=q₁+q₂+q₄+q₅ – собственная проводимость узла 1.

q₂₂=q₃+q₄+q₅ – собственная проводимость узла 2.

q₁₂=q₂₁=q₄+q₅ – взаимная проводимость ветви,

соединяющей узлы 1 и 2.

I_y1=E₁q₁+E₂q₂+E₅q₅ – узловой ток узла 1.

I_y2=-E₃q₃-E₅q₅ – узловой ток узла 2.

Из приведенных выражений видно:

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений E_iq_i и J_i источников тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если э.д.с. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «-».

После введенных обозначений система (34) принимает вид:

(35)

Из формул (35) видно, что собственная проводимость входит в выражения со знаком «+», а взаимная проводимость – со знаком «-».

Для произвольной схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

(36)

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

N_ур=N_y-1-N_э.д.с. (37)

где N_э.д.с. – число идеальных источников э.д.с.

Пример: (общий случай)

Пример: (с идеальными э.д.с.)

Порядок расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1. Выбираем произвольно базисный узел. Желательно нулевой потенциал представить тому узлу, где сходится большее количество ветвей. Если имеется ветвь, содержащая идеальную э.д.с., то базисный узел должен быть концом или началом этой ветви.

2. Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (36).

3. Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

4. Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

(38)

Следствие: Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных э.д.с.) составляется только одно уравнение.

Например, для схемы рис.30:

U₁₀q₁₁=E₁q₁-E₃q₄+J₂ (39)

Формула (39) носит название метода двух узлов.

Рис.30. Иллюстрация к методу двух узлов.

Узловое напряжение по методу двух узлов равно:

(40)

Пример: Дано: E₁=8B; E₅=12B; R₁=R₃=1 Ом; R₂=R₄=2 Ом; R₅=3 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

Рис.1

Решение:

Т.к. электрическая цепь содержит три узла и не содержит ветвей с идеальными источниками э.д.с., то число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений равно 2.

Узел 3 будем считать базисным.

Тогда

Где

В результате решения системы определяем U₁₃=2,8 B; U₂₃=-1,95 B.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:

Контрольные вопросы.

1. Сформулировать принцип наложения. Почему он называется принципом независимого действия?

2. Можно ли находить потребляемую мощность, используя метод наложения?

3. Что представляют из себя входные и взаимные проводимости. Физический смысл этих коэффициентов.

4. Изложить суть метода контурных токов, записать систему уравнений для произвольной схемы. Объяснить знаки в уравнениях.

5. Как определяется число уравнений, составляемых по методу контурных токов?

6. Изложить суть метода узловых напряжений. На каком законе основан данный метод?

7. Что означает понятие «узловое напряжение»?

8. Записать систему уравнений по методу узловых напряжений для произвольной схемы, объяснить знаки.

9. Как определить количество уравнений по этому методу?

10. Как учитывается наличие идеальных источников э.д.с. при составлении уравнений?

11. Изложить порядок расчета цепей по методу узловых напряжений.

studfile.net