Логарифмы / math5school.ru
Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию а (a > 0, a ≠ 1) называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Записывают: с = loga b, что означает a c= b.
Из определения логарифма следует справедливость равенства:
a loga b = b, (а > 0, b > 0, a ≠ 1),
называемого основным логарифмическим тождеством.
В записи loga b число а – основание логарифма, b – логарифмируемое число.
Из определения логарифмов вытекают следующие важные равенства:
loga 1 = 0,
loga а = 1.
Первое следует из того, что
loga a r = r.
Свойства логарифмов
Для положительных действительных чисел a (a ≠ 1), b, c справедливы следующие соотношения:
loga (b · c) = loga b + loga c
loga (b ⁄ c) = loga b – loga c
loga b p = p · loga b
loga q b = 1/q · loga b
loga q b p = p/q · loga b
loga pr b ps = loga r b s
loga b = logc b ⁄ log c a (c ≠ 1)
loga b = 1 ⁄ logb a (b ≠ 1)
loga b · logb c = loga c
c loga b = b loga c
Замечание 1. Если а > 0, a ≠ 1, числа b и c отличны от 0 и имеют одинаковые знаки, то
loga (b · c) = loga |b| + loga |c|
loga (b ⁄ c) = loga |b| – loga |c| .
Замечание 2. Если p и q – чётные числа, а > 0, a ≠ 1 и b ≠ 0, то
loga b p = p · loga |b|
loga pr b ps
loga q b p = p/q · loga |b| .
Для любых положительных, отличных от 1 чисел a и b верно:
loga b > 0 тогда и только тогда, когда a > 1 и b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1;
loga b < 0 тогда и только тогда, когда a > 0 и 0 < b < 1 или 0 < a < 1 и b > 1.
Десятичный логарифм
Десятичным логарифмом называется логарифм, основание которого равно 10.
Обозначаются символом lg:
log10 b = lg b.
Десятичные логарифмы до изобретения в 70-х годах прошлого века компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.
Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже – с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми.
В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log, Log, Log10, причём следует иметь в виду, что первые два варианта могут относиться и к натуральному логарифму.
Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99
| Десятки | Единицы | |||||||||
| 0 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| 0 | – | 0 | 0,30103 | 0,47712 | 0,60206 | 0,69897 | 0,77815 | 0,84510 | 0,90309 | 0,95424 |
| 1 | 1 | 1,04139 | 1,07918 | 1,11394 | 1,14613 | 1,17609 | 1,20412 | 1,23045 | 1,25527 | 1,27875 |
| 2 | 1,30103 | 1,32222 | 1,34242 | 1,36173 | 1,38021 | 1,39794 | 1,41497 | 1,43136 | 1,44716 | 1,46240 |
| 3 | 1,47712 | 1,49136 | 1,50515 | 1,51851 | 1,53148 | 1,54407 | 1,55630 | 1,56820 | 1,57978 | 1,59106 |
| 4 | 1,60206 | 1,61278 | 1,63347 | 1,64345 | 1,65321 | 1,66276 | 1,67210 | 1,68124 | 1,69020 | |
| 5 | 1,69897 | 1,70757 | 1,71600 | 1,72428 | 1,73239 | 1,74036 | 1,74819 | 1,75587 | 1,76343 | 1,77085 |
| 6 | 1,77815 | 1,78533 | 1,79239 | 1,79934 | 1,80618 | 1,81291 | 1,81954 | 1,82607 | 1,83251 | 1,83885 |
| 7 | 1,84510 | 1,85126 | 1,85733 | 1,86332 | 1,86923 | 1,87506 | 1,88081 | 1,88649 | 1,89209 | 1,89763 |
| 8 | 1,90309 | 1,90849 | 1,91381 | 1,91908 | 1,92428 | 1,92942 | 1,93450 | 1,93952 | 1,94448 | 1,94939 |
| 9 | 1,95424 | 1,95904 | 1,96379 | 1,96848 | 1,97313 | 1,97772 | 1,98227 | 1,98677 | 1,99123 | 1,99564 |
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм, основание которого равно числу е, математической константе, являющейся иррациональным числом, к которому стремится последовательность
аn = (1 + 1/n)n при n → +∞.
Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Значение числа е с первыми пятнадцатью цифрами после запятой следующее:
е = 2,718281828459045… .
Натуральный логарифм обозначаются символом ln:
loge b = ln b.
Натуральные логарифмы являются самыми удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций.
Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99
| Десятки | Единицы | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | – | 0 | 0,69315 | 1,09861 | 1,38629 | 1,60944 | 1,79176 | 1,94591 | 2,07944 | 2,19722 |
| 1 | 2,30259 | 2,39790 | 2,48491 | 2,56495 | 2,63906 | 2,70805 | 2,77259 | 2,83321 | 2,89037 | 2,94444 |
| 2 | 2,99573 | 3,04452 | 3,09104 | 3,13549 | 3,17805 | 3,21888 | 3,25810 | 3,29584 | 3,33220 | 3,36730 |
| 3 | 3,40120 | 3,43399 | 3,46574 | 3,49651 | 3,52636 | 3,55535 | 3,58352 | 3,61092 | 3,63759 | 3,66356 |
| 4 | 3,68888 | 3,71357 | 3,73767 | 3,76120 | 3,78419 | 3,80666 | 3,82864 | 3,85015 | 3,87120 | 3,89182 |
| 5 | 3,91202 | 3,93183 | 3,95124 | 3,97029 | 3,98898 | 4,00733 | 4,02535 | 4,04305 | 4,06044 | 4,07754 |
| 6 | 4,09434 | 4,11087 | 4,12713 | 4,14313 | 4,15888 | 4,17439 | 4,18965 | 4,20469 | 4,21951 | 4,23411 |
| 7 | 4,24850 | 4,26268 | 4,27667 | 4,29046 | 4,30407 | 4,31749 | 4,33073 | 4,34381 | 4,35671 | 4,36945 |
| 8 | 4,38203 | 4,39445 | 4,40672 | 4,41884 | 4,43082 | 4,44265 | 4,45435 | 4,46591 | 4,47734 | 4,48864 |
| 9 | 4,49981 | 4,51086 | 4,52179 | 4,5326 | 4,54329 | 4,55388 | 4,56435 | 4,57471 | 4,58497 | 4,59512 |
Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот
Так как lg е = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, то lg b ≈ 0,4343 · ln b;
так как ln 10 = 1 / lg e ≈ 2,3026, то ln b ≈ 2,3026 · lg b.
math4school.ru
Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным. Если Вам известен десятичный логарифм какого-то числа Х (равный lg(X)), то натуральный логарифм этого числа (равный ln(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : ln(X)=In10*lg(X)=(1/Ig(e))*lg(X)=(1/M)*lg(X), т.е. натуральный логарифм числа, равен десятичному логарифму этого числа умноженному на «число 1/М»=1/Ig(e). Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851).
|
tehtab.ru
Таблица и формула для перехода от натуральных логарифмов к десятичнымЕсли Вам известен натуральный логарифм какого-то числа Х (равный ln(X)), то десятичный логарифм этого числа (равный lg(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : lg(X)=lg(e)*ln(X)=M*ln(X), т.е. десятичный логарифм числа, равен натуральному логарифму этого числа умноженному на число М=lg(e). Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным (таблица умножения на «число М» (у англосаксов это «число A») = lg е = 0,4342945…)
|
dpva.ru
Таблица и формула для перехода от натуральных логарифмов к десятичным Если Вам известен натуральный логарифм какого-то числа Х (равный ln(X)), то десятичный логарифм этого числа (равный lg(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : lg(X)=lg(e)*ln(X)=M*ln(X), т.е. десятичный логарифм числа, равен натуральному логарифму этого числа умноженному на число М=lg(e). Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным (таблица умножения на «число М» (у англосаксов это «число A») = lg е = 0,4342945…)
|
tehtab.ru
Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.Если Вам известен десятичный логарифм какого-то числа Х (равный lg(X)), то натуральный логарифм этого числа (равный ln(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : ln(X)=In10*lg(X)=(1/Ig(e))*lg(X)=(1/M)*lg(X), т.е. натуральный логарифм числа, равен десятичному логарифму этого числа умноженному на «число 1/М»=1/Ig(e). Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851).
|
dpva.ru
Логарифм. Свойства логарифмов
Логарифм. Свойства логарифмов
Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .
То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .
Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: , ,
Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.
Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :
Итак,
Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
То есть основное логарифмическое тождество:
, ,
является по сути математической записью определения логарифма.
Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.
Перечислим основные свойства логарифмов:
(, , , ,
1.
2.
3.
4.
5.
Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:
6.
7.
8.
9.
Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:
10.
11.
12. (следствие из свойства 11)
Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:
13.
14.
15.
Частные случаи:
— десятичный логарифм
— натуральный логарифм
При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:
1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.
2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.
3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.
4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.
5. Применяем свойства логарифмов.
Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.
Пример 1.
Вычислить:
Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.
==(по свойству 7)=(по свойству 6) =
Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:
Ответ: 5,25
Пример 2. Вычислить:
Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):
Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:
Применим свойства 4 и 6:
Введем замену
Получим:
Ответ: 1
Скачать таблицу логарифм и его свойства
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Натуральные логарифмы чисел (Таблица)
I. Таблица натуральные логарифмы чисел 1)
1)Натуральный логарифм числа, не содержащегося среди аргументов таблицы, находится следующим образом. Пусть ищется ln 753. Имеем: ln 753 = ln (7,53 • 102) = ln 7,53 4- 2 ln 10. Первое слагаемое находим по таблице натуральных логарифмов, второе — по таблице III. Получаем: ln 753 = 2,0189 + 4,6052 = 6,6241. Таким же образом находим ln 0,00753 = ln (7,53 • 10″3) = 2,0189 — 6,9078 = -4,8889.
| N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1,0 | 0,0000 | 0,0100 | 0,0198 | 0,0296 | 0,0392 | 0,0488 | 0,0583 | 0,0677 | 0,0770 | 0,0862 |
| 1,1 | 0,0953 | 0,1044 | 0,1133 | 0,1222 | 0,1310 | 0,1398 | 0,1484 | 0,1570 | 0,1655 | 0,1740 |
| 1,2 | 0,1823 | 0,1906 | 0,1989 | 0,2070 | 0,2151 | 0,2231 | 0,2311 | 0,2390 | 0,2469 | 0,2546 |
| 1,3 | 0,2624 | 0,2700 | 0,2776 | 0,2852 | 0,2927 | 0,3001 | 0,3075 | 0,3148 | 0,3221 | 0,3293 |
| 1,4 | 0,3365 | 0,3436 | 0,3507 | 0,3577 | 0,3646 | 0,3716 | 0,3784 | 0,3853 | 0,3920 | 0,3988 |
| 1,5 | 0,4055 | 0,4121 | 0,4187 | 0,4253 | 0,4318 | 0,4383 | 0,4447 | 0,4511 | 0,4574 | 0,4637 |
| 1,6 | 0,4700 | 0,4762 | 0,4824 | 0,4886 | 0,4947 | 0,5008 | 0,5068 | 0,5128 | 0,5188 | 0,5247 |
| 1,7 | 0,5306 | 0,5365 | 0,5423 | 0,5481 | 0,5539 | 0,5596 | 0,5653 | 0,5710 | 0,5766 | 0,5822 |
| 1,8 | 0,5878 | 0,5933 | 0,5988 | 0,6043 | 0,6098 | 0,6152 | 0,6206 | 0,6259 | 0,6313 | 0,6366 |
| 1,9 | 0,6419 | 0,6471 | 0,6523 | 0,6575 | 0,6627 | 0,6678 | 0,6729 | 0,6780 | 0,6831 | 0,6881 |
| 2,0 | 0,6931 | 0,6981 | 0,7031 | 0,7080 | 0,7129 | 0,7178 | 0,7227 | 0,7275 | 0,7324 | 0,7372 |
| 2,1 | 0,7419 | 0,7467 | 0,7514 | 0,7561 | 0,7608 | 0,7655 | 0,7701 | 0,7747 | 0,7793 | 0,7839 |
| 2,2 | 0,7885 | 0,7930 | 0,7975 | 0,8020 | 0,8065 | 0,8109 | 0,8154 | 0,8198 | 0,8242 | 0,8286 |
| 2,3 | 0,8329 | 0,8372 | 0,8416 | 0,8459 | 0,8502 | 0,8544 | 0,8587 | 0,8629 | 0,8671 | 0,8713 |
| 2,4 | 0,8755 | 0,8796 | 0,8838 | 0,8879 | 0,8920 | 0,8961 | 0,9002 | 0,9042 | 0,9083 | 0,9123 |
| 2,5 | 0,9163 | 0,9203 | 0,9243 | 0,9282 | 0,9322 | 0,9361 | 0,9400 | 0,9439 | 0,9478 | 0,9517 |
| 2,6 | 0,9555 | 0,9594 | 0,9632 | 0,9670 | 0,9708 | 0,9746 | 0,9783 | 0,9821 | 0,9858 | 0,9895 |
| 2,7 | 0,9933 | 0,9969 | 1,0006 | 1,0043 | 1,0080 | 1,0116 | 1,0152 | 1,0188 | 1,0225 | 1,0260 |
| 2,8 | 1,0296 | 1,0332 | 1,0367 | 1,0403 | 1,0438 | 1,0473 | 1,0508 | 1,0543 | 1,0578 | 1,0613 |
| 2,9 | 1,0647 | 1,0682 | 1,0716 | 1,0750 | 1,0784 | 1,0818 | 1,0852 | 1,0886 | 1,0919 | 1,0953 |
| 3,0 | 1,0986 | 1,1019 | 1,1053 | 1,1086 | 1,1119 | 1,1151 | 1,1184 | 1,1217 | 1,1249 | 1,1282 |
| 3,1 | 1,1314 | 1,1346 | 1,1378 | 1,1410 | 1,1442 | 1,1474 | 1,1506 | 1,1537 | 1,1569 | 1,1600 |
| 3,2 | 1,1632 | 1,1663 | 1,1694 | 1,1725 | 1,1756 | 1,1787 | 1,1817 | 1,1848 | 1,1878 | 1,1909 |
| 3,3 | 1,1939 | 1,1969 | 1,2000 | 1,2030 | 1,2060 | 1,2090 | 1,2119 | 1,2149 | 1,2179 | 1,2208 |
| 3,4 | 1,2238 | 1,2267 | 1,2296 | 1,2326 | 1,2355 | 1,2384 | 1,2413 | 1,2442 | 1,2470 | 1,2499 |
| 3,5 | 1,2528 | 1,2556 | 1,2585 | 1,2613 | 1,2641 | 1,2669 | 1,2698 | 1,2726 | 1,2754 | 1,2782 |
| 3,6 | 1,2809 | 1,2837 | 1,2865 | 1,2892 | 1,2920 | 1,2947 | 1,2975 | 1,3002 | 1,3029 | 1,3056 |
| 3,7 | 1,3083 | 1,3110 | 1,3137 | 1,3164 | 1,3191 | 1,3218 | 1,3244 | 1,3271 | 1,3297 | 1,3324 |
| 3,8 | 1,3350 | 1,3376 | 1,3403 | 1,3429 | 1,3455 | 1,3481 | 1,3507 | 1,3533 | 1,3558 | 1,3584 |
| 3,9 | 1,3610 | 1,3635 | 1,3661 | 1,3686 | 1,3712 | 1,3737 | 1,3762 | 1,3788 | 1,3813 | 1,3838 |
| 4,0 | 1,3863 | 1,3888 | 1,3913 | 1,3938 | 1,3962 | 1,3987 | 1,4012 | 1,4036 | 1,4061 | 1,4085 |
| 4,1 | 1,4110 | 1,4134 | 1,4159 | 1,4183 | 1,4207 | 1,4231 | 1,4255 | 1,4279 | 1,4303 | 1,4327 |
| 4,2 | 1,4351 | 1,4375 | 1,4398 | 1,4422 | 1,4446 | 1,4469 | 1,4493 | 1,4516 | 1,4540 | 1,4563 |
| 4,3 | 1,4586 | 1,4609 | 1,4633 | 1,4656 | 1,4679 | 1,4702 | 1,4725 | 1,4748 | 1,4770 | 1,4793 |
| 4,4 | 1,4816 | 1,4839 | 1,4861 | 1,4884 | 1,4907 | 1,4929 | 1,4951 | 1,4974 | 1,4996 | 1,5019 |
| 4,5 | 1,5041 | 1,5063 | 1,5085 | 1,5107 | 1,5129 | 1,5151 | 1,5173 | 1,5195 | 1,5217 | 1,5239 |
| 4,6 | 1,5261 | 1,5282 | 1,5304 | 1,5326 | 1,5347 | 1,5369 | 1,5390 | 1,5412 | 1,5433 | 1,5454 |
| 4,7 | 1,5476 | 1,5497 | 1,5518 | 1,5539 | 1,5560 | 1,5581 | 1,5602 | 1,5623 | 1,5644 | 1,5665 |
| 4,8 | 1,5686 | 1,5707 | 1,5728 | 1,5748 | 1,5769 | 1,5790 | 1,5810 | 1,5831 | 1,5851 | 1,5872 |
| 4,9 | 1,5892 | 1,5913 | 1,5933 | 1,5953 | 1,5974 | 1,5994 | 1,6014 | 1,6034 | 1,6054 | 1,6074 |
| 5,0 | 1,6094 | 1,6114 | 1,6134 | 1,6154 | 1,6174 | 1,6194 | 1,6214 | 1,6233 | 1,6253 | 1,6273 |
| 5,1 | 1,6292 | 1,6312 | 1,6332 | 1,6351 | 1,6371 | 1,6390 | 1,6409 | 1,6429 | 1,6448 | 1,6467 |
| 5,2 | 1,6487 | 1,6506 | 1,6525 | 1,6544 | 1,6563 | 1,6582 | 1,6601 | 1,6620 | 1,6639 | 1,6658 |
| 5,3 | 1,6677 | 1,6696 | 1,6715 | 1,6734 | 1,6752 | 1,6771 | 1,6790 | 1,6808 | 1,6827 | 1,6845 |
| 5,4 | 1,6864 | 1,6882 | 1,6901 | 1,6919 | 1,6938 | 1,6956 | 1,6974 | 1,6993 | 1,7011 | 1,7029 |
| 5,5 | 1,7047 | 1,7066 | 1,7084 | 1,7102 | 1,7120 | 1,7138 | 1,7156 | 1,7174 | 1,7192 | 1,7210 |
| 5,6 | 1,7228 | 1,7246 | 1,7263 | 1,7281 | 1,7299 | 1,7317 | 1,7334 | 1,7352 | 1,7370 | 1,7387 |
| 5,7 | 1,7405 | 1,7422 | 1,7440 | 1,7457 | 1,7475 | 1,7492 | 1,7509 | 1,7527 | 1,7544 | 1,7561 |
| 5,8 | 1,7579 | 1,7596 | 1,7613 | 1,7630 | 1,7647 | 1,7664 | 1,7681 | 1,7699 | 1,7716 | 1,7733 |
| 5,9 | 1,7750 | 1,7766 | 1,7783 | 1,7800 | 1,7817 | 1,7834 | 1,7851 | 1,7867 | 1,7884 | 1,7901 |
| 6,0 | 1,7918 | 1,7934 | 1,7951 | 1,7967 | 1,7984 | 1,8001 | 1,8017 | 1,8034 | 1,8050 | 1,8066 |
| 6,1 | 1,8083 | 1,8099 | 1,8116 | 1,8132 | 1,8148 | 1,8165 | 1,8181 | 1,8197 | 1,8213 | 1,8229 |
| 6,2 | 1,8245 | 1,8262 | 1,8278 | 1,8294 | 1,8310 | 1,8326 | 1,8342 | 1,8358 | 1,8374 | 1,8390 |
| 6,3 | 1,8405 | 1,8421 | 1,8437 | 1,8453 | 1,8469 | 1,8485 | 1,8500 | 1,8516 | 1,8532 | 1,8547 |
| 6,4 | 1,8563 | 1,8579 | 1,8594 | 1,8610 | 1,8625 | 1,8641 | 1,8656 | 1,8672 | 1,8687 | 1,8703 |
| 6,5 | 1,8718 | 1,8733 | 1,8749 | 1,8764 | 1,8779 | 1,8795 | 1,8810 | 1,8825 | 1,8840 | 1,8856 |
| 6,6 | 1,8871 | 1,8886 | 1,8901 | 1,8916 | 1,8931 | 1,8946 | 1,8961 | 1,8976 | 1,8991 | 1,9006 |
| 6,7 | 1,9021 | 1,9036 | 1,9051 | 1,9066 | 1,9081 | 1,9095 | 1,9110 | 1,9125 | 1,9140 | 1,9155 |
| 6,8 | 1,9169 | 1,9184 | 1,9199 | 1,9213 | 1,9228 | 1,9242 | 1,9257 | 1,9272 | 1,9286 | 1,9301 |
| 6,9 | 1,9315 | 1,9330 | 1,9344 | 1,9359 | 1,9373 | 1,9387 | 1,9402 | 1,9416 | 1,9430 | 1,9445 |
| 7,0 | 1,9459 | 1,9473 | 1,9488 | 1,9502 | 1,9516 | 1,9530 | 1,9544 | 1,9559 | 1,9573 | 1,9587 |
| 7,1 | 1,9601 | 1,9615 | 1,9629 | 1,9643 | 1,9657 | 1,9671 | 1,9685 | 1,9699 | 1,9713 | 1,9727 |
| 7,2 | 1,9741 | 1,9755 | 1,9769 | 1,9782 | 1,9796 | 1,9810 | 1,9824 | 1,9838 | 1,9851 | 1,9865 |
| 7,3 | 1,9879 | 1,9892 | 1,9906 | 1,9920 | 1,9933 | 1,9947 | 1,9961 | 1,9974 | 1,9988 | 2,0001 |
| 7,4 | 2,0015 | 2,0028 | 2,0042 | 2,0055 | 2,0069 | 2,0082 | 2,0096 | 2,0109 | 2,0122 | 2,0136 |
| 7,5 | 2,0149 | 2,0162 | 2,0176 | 2,0189 | 2,0202 | 2,0215 | 2,0229 | 2,0242 | 2,0255 | 2,0268 |
| 7,6 | 2,0281 | 2,0295 | 2,0308 | 2,0321 | 2,0334 | 2,0347 | 2,0360 | 2,0373 | 2,0386 | 2,0399 |
| 7,7 | 2,0412 | 2,0425 | 2,0438 | 2,0451 | 2,0464 | 2,0477 | 2,0490 | 2,0503 | 2,0516 | 2,0528 |
| 7,8 | 2,0541 | 2,0554 | 2,0567 | 2,0580 | 2,0592 | 2,0605 | 2,0618 | 2,0631 | 2,0643 | 2,0656 |
| 7,9 | 2,0669 | 2,0681 | 2,0694 | 2,0707 | 2,0719 | 2,0732 | 2,0744 | 2,0757 | 2,0769 | 2,0782 |
| 8,0 | 2,0794 | 2,0807 | 2,0819 | 2,0832 | 2,0844 | 2,0857 | 2,0869 | 2,0882 | 2,0894 | 2,0906 |
| 8,1 | 2,0919 | 2,0931 | 2,0943 | 2,0956 | 2,0968 | 2,0980 | 2,0992 | 2,1005 | 2,1017 | 2,1029 |
| 8,2 | 2,1041 | 2,1054 | 2,1066 | 2,1078 | 2,1090 | 2,1102 | 2,1114 | 2,1126 | 2,1138 | 2,1150 |
| 8,3 | 2,1163 | 2,1175 | 2,1187 | 2,1199 | 2,1211 | 2,1223 | 2,1235 | 2,1247 | 2,1258 | 2,1270 |
| 8,4 | 2,1282 | 2,1294 | 2,1306 | 2,1318 | 2,1330 | 2,1342 | 2,1353 | 2,1365 | 2,1377 | 2,1389 |
| 8,5 | 2,1401 | 2,1412 | 2,1424 | 2,1436 | 2,1448 | 2,1459 | 2,1471 | 2,1483 | 2,1494 | 2,1506 |
| 8,6 | 2,1518 | 2,1529 | 2,1541 | 2,1552 | 2,1564 | 2,1576 | 2,1587 | 2,1599 | 2,1610 | 2,1622 |
| 8,7 | 2,1633 | 2,1645 | 2,1656 | 2,1668 | 2,1679 | 2,1691 | 2,1702 | 2,1713 | 2,1725 | 2,1736 |
| 8,8 | 2,1748 | 2,1759 | 2,1770 | 2,1782 | 2,1793 | 2,1804 | 2,1815 | 2,1827 | 2,1838 | 2,1849 |
| 8,9 | 2,1861 | 2,1872 | 2,1883 | 2,1894 | 2,1905 | 2,1917 | 2,1928 | 2,1939 | 2,1950 | 2,1961 |
| 9,0 | 2,1972 | 2,1983 | 2,1994 | 2,2006 | 2,2017 | 2,2028 | 2,2039 | 2,2050 | 2,2061 | 2,2072 |
| 9,1 | 2,2083 | 2,2094 | 2,2105 | 2,2116 | 2,2127 | 2,2138 | 2,2148 | 2,2159 | 2,2170 | 2,2181 |
| 9,2 | 2,2192 | 2,2203 | 2,2214 | 2,2225 | 2,2235 | 2,2246 | 2,2257 | 2,2268 | 2,2279 | 2,2289 |
| 9,3 | 2,2300 | 2,2311 | 2,2322 | 2,2332 | 2,2343 | 2,2354 | 2,2364 | 2,2375 | 2,2386 | 2,2396 |
| 9,4 | 2,2407 | 2,2418 | 2,2428 | 2,2439 | 2,2450 | 2,2460 | 2,2471 | 2,2481 | 2,2492 | 2,2502 |
| 9,5 | 2,2513 | 2,2523 | 2,2534 | 2,2544 | 2,2555 | 2,2565 | 2,2576 | 2,2586 | 2,2597 | 2,2607 |
| 9,6 | 2,2618 | 2,2628 | 2,2638 | 2,2649 | 2,2659 | 2,2670 | 2,2680 | 2,2690 | 2,2701 | 2,2711 |
| 9,7 | 2,2721 | 2,2732 | 2,2742 | 2,2752 | 2,2762 | 2,2773 | 2,2783 | 2,2793 | 2,2803 | 2,2814 |
| 9,8 | 2,2824 | 2,2834 | 2,2844 | 2,2854 | 2,2865 | 2,2875 | 2,2885 | 2,2895 | 2,2905 | 2,2915 |
| 9,9 | 2,2925 | 2,2935 | 2,2946 | 2,2956 | 2,2966 | 2,2976 | 2,2986 | 2,2996 | 2,3006 | 2,3016 |
II. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным
(таблица умножения на М = log е = 0,4342945…)
| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | |
| 0 | 0,0000 | 4,3430 | 8,6859 | 13,0288 | 17,3718 | 21,7147 | 26,0577 | 30,4006 | 34,7436 | 39,0865 |
| 1 | 0,4343 | 4,7772 | 9,1202 | 13,4631 | 17,8061 | 22,1490 | 26,4920 | 30,8349 | 35,1779 | 39,5208 |
| 2 | 0,8686 | 5,2115 | 9,5545 | 13,8974 | 18,2404 | 22,5833 | 26,9263 | 31,2692 | 35,6122 | 39,9551 |
| 3 | 1,3029 | 5,6458 | 9,9888 | 14,3317 | 18,6747 | 23,0176 | 27,3606 | 31,7035 | 36,0464 | 40,3894 |
| 4 | 1,7372 | 6,0801 | 10,4231 | 14,7660 | 19,1090 | 23,4519 | 27,7948 | 32,1378 | 36,4807 | 40,8237 |
| 5 | 2,1715 | 6,5144 | 10,8574 | 15,2003 | 19,5433 | 23,8862 | 28,2291 | 32,5721 | 36,9150 | 41,2580 |
| 6 | 2,6058 | 6,9487 | 11,2917 | 15,6346 | 19,9775 | 24,3205 | 28,6634 | 33,0064 | 37,3493 | 41,6923 |
| 7 | 3,0401 | 7,3830 | 11,7260 | 16,0689 | 20,4118 | 24,7548 | 29,0977 | 33,4407 | 37,7836 | 42,1266 |
| 8 | 3,4744 | 7,8173 | 12,1602 | 16,5032 | 20,8461 | 25,1891 | 29,5320 | 33,8750 | 38,2179 | 42,5609 |
| 9 | 3,9086 | 8.2516 | 12,5945 | 16,9375 | 21,2804 | 25,6234 | 29,9663 | 34,3093 | 38,6522 | 42,9952 |
III. Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным
(таблица умножения на i = In 10 = 2,302585)
| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | |
| 0 | 0,0000 | 23,026 | 46,052 | 69,078 | 92,103 | 115,129 | 138,155 | 161,181 | 184,207 | 207,233 |
| 1 | 2,3026 | 25,328 | 48,354 | 71,380 | 94,406 | 117,431 | 140,458 | 163,484 | 186,509 | 209,535 |
| 2 | 4,6052 | 27,631 | 50,657 | 73,683 | 96,709 | 119,734 | 142,760 | 165,786 | 188,812 | 211,838 |
| 3 | 6,9078 | 29,934 | 52,959 | 75,985 | 99,011 | 122,037 | 145,062 | 166,089 | 191,115 | 214,140 |
| 4 | 9,2103 | 32,236 | 55,262 | 78,288 | 101,314 | 124,340 | 147,365 | 170,391 | 193,417 | 216,443 |
| 5 | 11,513 | 34,539 | 57,565 | 80,590 | 103,616 | 126,642 | 149,668 | 172,694 | 195,720 | 218,746 |
| 6 | 13,816 | 36,841 | 59,867 | 82,893 | 105,919 | 128,945 | 151,971 | 174,997 | 198,022 | 221,048 |
| 7 | 16,118 | 39,144 | 62,170 | 85,196 | 108,221 | 131,247 | 154,273 | 177,299 | 200,325 | 223,351 |
| 8 | 18,421 | 41,447 | 64,472 | 87,498 | 110,524 | 133,550 | 156,576 | 179,602 | 202,627 | 225,653 |
| 9 | 20,723 | 43,749 | 66,775 | 89,801 | 112,827 | 135,853 | 158,878 | 181,904 | 204,930 | 227,956 |
_______________
Источник информации: Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006.
infotables.ru
