Приведите формулу определения напряженности электрического поля – Формула напряжённости электрического поля

Формула напряжённости электрического поля

   

Здесь – напряжённость электрического поля, – сила, действующая на заряд, – величина заряда.

Единица измерения напряжённости электрического поля – В/м (вольт на метр) или Н/Кл (ньютон на кулон).

Напряжённость – векторная величина, характеризующая интенсивность воздействия электрического поля на заряжённую частицу в конкретной точке. Напряжённость поля в различных точках вообще говоря различна, то есть электрическое поле – это векторное поле, направление векторов которого зависит от того, как было создано это поле. По указанной формуле можно рассчитать не только силу воздействия электрического поля на точечный заряд, но и силу воздействия этого поля на заряжённое тело, если распределение заряда в нём известно.

Примеры решения задач по теме «Напряжённость электрического поля»

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Графическое представление электростатического поля.

Электрическое поле. Напряженность электрического поля.
Закон Кулона не объясняет механизм передачи электромагнитного взаимодействия: близкодействие (непосредственный контакт) или дальнодействие? Если заряды действуют друг на друга на расстоянии, то скорость передачи взаимодействия должна быть бесконечно большой, взаимодействие должно распространяться мгновенно. На опыте скорость конечна (скорость света с=3.108м/с).
Для объяснения вводится понятие электрического поля (впервые — М. Фарадей) — особый вид материи, существующий вокруг любого электрического заряда и проявляющий себя в действии на другие заряды.
Напряженность  —  силовая характеристика электрического поля.
Пусть заряд  q0 создает поле, в произвольную точку которого мы помещаем положительный заряд  q. Во сколько бы раз мы не изменяли заряд q  в этой точке, сила взаимодействия изменится во столько же раз (з-н Кулона).
Следовательно:  — величина постоянная  в  данной  точке  данного  поля.
Напряженность — векторная физическая величина, численно равная отношению силы, действующей на заряд, помещенный в данную точку данного поля, к величине этого заряда.
Напряженность не зависит от величины заряда, помещенного в поле. , если q>0. , если q<0. Т.е. вектор напряженности направлен от положительного заряда и к отрицательному.
Напряженность в данной точке поля равна 1, если на заряд в 1 Кл, помещенный в эту точку, действует сила в 1 Н. (Напряженность равна 1  , если между точками электростатического поля, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга, существует разность потенциалов 1 В).
Принцип суперпозиции полей:   напряженность поля, созданного системой зарядов равна геометрической сумме напряженностей полей, созданных каждым зарядом.  Т.е. напряженности складываются геометрически:  (Это опытный факт.)	Пример:
Графическое представление электростатического поля.
Силовые линии (линии напряженности) —  непрерывные (воображаемые) линии вектор напряженности касателен к каждой точке которых. Способ описания с помощью силовых линий введен Фарадеем.
Свойства:
Начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Не пересекаются. Густота линий тем больше, чем больше напряженность. Т.е. напряженность поля прямо пропорциональна количеству силовых линий, проходящих через единицу площади поверхности. Можно договориться изображать поля так, что количество проведенных линий пропорционально величине заряда.

www.eduspb.com

Основные законы и формулы

58

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Закон Кулона:

,

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂; r – расстояние между зарядами;  — диэлектрическая проницаемость среды; ₀ — электрическая постоянная

.

Закон сохранения заряда:

,

где – алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему;n – число зарядов.

Напряженность и потенциал электростатического поля:

; , или,

где – сила, действующая на точечный положительный зарядq₀, помещенный в данную точку поля; П – потенциальная энергия заряда; А_∞ — работа, затраченная на перемещение заряда q

0 из данной точки поля в бесконечность.

Поток вектора напряженности электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле:

, или ,

где  – угол между вектором напряженности и нормальюк элементу поверхности;dS – площадь элемента поверхности; E_n – проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:

.

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность –

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженностичерез любую замкнутую поверхность, охватывающую зарядыq1,q2, …,qn, –

,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; n – число зарядов.

Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда, –

.

Напряженность электрического поля, создаваемого сферой, имеющей радиус R и несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы такова:

внутри сферы (r R) Е=0;

на поверхности сферы (r=R) ;

вне сферы (r  R) .

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей, выражается формулой

.

В случае двух электрических полей с напряженностями иабсолютное значение вектора напряженности составляет

,

где  — угол между векторами и.

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной и равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси, –

,

где  — линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть величина, равная его отношению к длине нити (цилиндра):

.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, –

,

где  — поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к ее площади:

.

Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными и параллельными плоскостями, заряженными равномерно и разноименно, с одинаковой по абсолютному значению поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора) –

.

Приведенная формула справедлива при вычислении напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в его средней части) только в том случае, если расстояние между пластинами намного меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Электрическое смещение связано с напряженностьюэлектрического поля соотношением

,

которое справедливо только для изотропных диэлектриков.

Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии и точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:

.

Иначе говоря, потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к величине этого заряда:

.

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на

расстоянии r от заряда, –

.

Потенциал электрического поля, создаваемый металлической сферой, имеющей радиус R и несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы таков:

внутри сферы (r  R) ;

на поверхности сферы (r = R) ;

вне сферы (r  R) .

Во всех формулах, приведенных для потенциала заряженной сферы,  есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

Потенциал электрического поля, образуемого системой n точечных зарядов в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых отдельными точечными зарядами:

.

Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов определяется работой, которую эта система может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

,

где — потенциал поля, создаваемый всеми (n-1) зарядами (за исключением i-го) в точке, где находится заряд .

Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

,

или в скалярной форме

.

В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой его точке одинакова как по абсолютному значению, так и по направлению, –

,

где ₁ и ₂ – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал ₁, в другую, имеющую потенциал ₂, равна

, или ,

где E – проекция вектора на направление перемещения;— перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид

,

где – перемещение; — угол между направлениями вектора и перемеще-ния.

Диполь есть система двух точечных (равных по абсолютному значению и противоположных по знаку) зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Электрический момент диполя есть вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, равный произведению зарядана вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному, и называемый плечом диполя, т.е.

.

Диполь называется точечным, если его плечо намного меньше расстоянияr от центра диполя до точки, в которой нас интересует действие диполя ( r), см. рис. 1.

Рис. 1

Напряженность поля точечного диполя:

,

где р – электрический момент диполя; r – абсолютное значение радиус-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует;  — угол между радиус-вектором и плечомдиполя.

Напряженность поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя

(=0), находится по формуле

;

в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины , – по формуле

.

Потенциал поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя (=0), составляет

,

а в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины , –

=0.

Напряженность и потенциал неточечного диполя определяются так же как и для системы зарядов.

Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е, –

, или ,

где  — угол между направлениями векторов и.

Электроемкость уединенного проводника или конденсатора –

,

где q – заряд, сообщенный проводнику; — изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью , –

.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то ее электроемкость при этом не изменяется.

Электроемкость плоского конденсатора:

,

где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами;  — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электроемкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектрика толщиной d_i и диэлектрической проницаемостью _i каждый (слоистый конденсатор), составляет

.

Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусом R₁ и R₂ , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ) находится так:

.

Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов составляет:

в общем случае –

,

где n – число конденсаторов;

в случае двух конденсаторов –

;

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый –

.

Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов определяется следующим образом:

в общем случае –

С=С₁+С₂+…+С_n;

в случае двух конденсаторов –

С= С₁+С₂;

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый –

С=nС₁.

Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал  и электроемкость С проводника следующим образом:

.

Энергия заряженного конденсатора –

,

где q – заряд конденсатора; С – электроемкость конденсатора; U – разность потенциалов на его пластинах.

studfiles.net

Напряженность поля точечного заряда | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Напряженность поля точечного заряда.
Обозначим: q — заряд, создающий поле, q0 — заряд, помещенный в поле (внешний заряд). Закон Кулона: . Напряженность поля: . Тогда напряженность поля точечного заряда:
Теорема  Гаусса. Потоком вектора напряженности наз. величина Ф, равная произведению модуля вектора напряженности на площадь контура S, ограничивающую некоторую площадь, и на косинус угла между вектором напряженности и нормалью (перпендикуляром) к площадке.
Если считать, что напряженность пропорциональна числу силовых линий, приходящихся на единицу площади поверхности (т.е. густоте), то поток напряженности пропорционален полному числу силовых линий, пересекающих данный контур.
Поток линий напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность прямо пропорционален величине заряда, находящегося в области пространства,  ограниченного данной поверхностью.
Применения теоремы Гаусса.
1. Напряженность поля заряженной проводящей сферы радиуса R. Сфера заряжена по поверхности.  А) Внутри сферы заряда нет . Е=0
Б) Снаружи сферы.
На поверхности сферы:
2. Напряженность поля шара заряженного по объему.
Введем понятие объемной плотности заряда:  Объемная плотность заряда показывает, какой заряд содержится в единице объема заряженного по всему объему тела.  Объем шара произвольного радиуса . Обозначим q — заряд шара, q0 — заряд, находящийся внутри объема произвольного радиуса.
Тогда заряд сферы радиуса r , будет:                                 Следовательно: .   – напряженность поля внутри шара, равномерно заряженного по объему. Снаружи — см. 1.
3. Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости.
Введем понятие поверхностной плотности заряда: . Тогда . Коэффициент 2 появляется, т.к. плоскость окружена двумя поверхностями площадью S. Поле бесконечной заряженной плоскости не зависит от расстояния от плоскости! Можно пользоваться, когда расстояние много меньше размеров плоскости. 4. Напряженность поля плоского воздушного конденсатора. Из рисунка видим, что снаружи конденсатора поля пластин взаимно скомпенсированы, и общее поле равно нулю. Внутри конденсатора поля складываются. Используя вывод п.3 получаем: . Формула справедлива при условии, что расстояние между пластинами много меньше размеров самих пластин и вдали от краев пластин.

www.eduspb.com

2. Напряженность электрического поля

Электрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое поле. На электрический заряд, помещенный в точку пространства, где есть электрическое поле, действует сила.

Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется напряженностью. Напряженностью электрического поля в данной точке называется отношение силы, действующей на помещенный в эту точку точечный зарядq, к этому заряду:

. (2.1)

Напряженность электрического поля – векторная величина, направление которой совпадает с направлением силы приq>0. Если известна напряженность электрического поля в данной точке, то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила:

. (2.2)

В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором электрической индукции , связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением:

. (2.3)

Напряженность электрического поля , создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции):

. (2.4)

Таким образом, если электростатическое поле создано конечным числом электрических зарядов, то рассчитывать его напряженность следует, используя закон Кулона и принцип суперпозиции.

В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной плотностью (для нити), поверхностной плотностью (для цилиндрической, сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра, сферы или плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса.

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в εε₀ раз меньше величины электрического заряда, находящегося внутри этой поверхности.

, где N_E – поток вектора напряженности

. (2.5)

Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей, созданных зарядами, расположенными на телах разной геометрической формы, приведены в таблице 1:

Таблица 1

Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных конфигураций

Геометрическая форма заряженного тела	Dвне,	Евне,	Dвнутри,	Евнутри,
Точечный заряд			_	_
Сфера			0	0
Сферический конденсатор	0	0
Бесконечная плоскость			_	_
Плоский конденсатор	0	0
Бесконечный цилиндр			0	0
Бесконечная нить			_	_
Цилиндрический конденсатор	0	0

где ε – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство вокруг заряда;

σ – поверхностная плотность заряда: ,S – площадь поверхности заряженного тела;

τ – линейная плотность заряда: ,l – длина заряженного тела.

studfiles.net

Формула напряжения электрического поля

   

Здесь – напряжение, – работа, – заряд.

Единица измерения напряжения – В (вольт).

Напряжение не следует путать с напряжённостью – отношением силы к заряду, так как это разные по своей природе понятия. Ещё не нужно его путать с напряжением электрического тока (которое нужно искать по закону Ома), хотя это взаимосвязанные понятия. Не всякое перемещение заряда в электрическом поле сопровождается совершением работы. В частности, при перемещении заряда в электростатическом поле работа не совершается, если в конечном положении перемещённый заряд оказался в точке, в которой напряжённость равна напряжённости в точке, из которой заряд начал движение.

В зависимости от заряда, который создаёт электрическое поле, напряжение может быть как положительным, так и отрицательным.

Примеры решения задач по теме «Напряжение электрического поля»

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Напряженность

§ 14. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ

Основные формулы

 Напряженность электрического поля

E=F/Q,

где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля.

 Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электрическое поле,

F=QE.

 Поток вектора напряженности Е электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

или ,

где  — угол между вектором напряженности Е и нормалью n к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; E_n — проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,

Ф_E=ЕScos.

 Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность

,

где интегрирование ведется по всей поверхности.

 Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q_l, Q₂, . . ., Q_n,

,

где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п — число зарядов.

 Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

.

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<.R)

E=0;

б) на поверхности сферы (r=R)

;

в) вне сферы (r>R)

.

 Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:

Е=E₁+Е₂+…+Е_n.

В случае двух электрических полей с напряженностями Е₁ и Е₂ модуль вектора напряженности

,

где  — угол между векторами E₁ и E₂.

 Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси,

, где  — линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):

 Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

где  — поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:

.

 Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью о заряда (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

 Электрическое смещение D связано с напряженностью E электрического поля соотношением

D=₀E.

Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.

 Поток вектора электрического смещения выражается аналогично потоку вектора напряженности электрического поля:

а) в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность

;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

,

где D_n — проекция вектора D на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна dS.

 Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q₁,Q₂, …,Q_n,

,

где п—число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.

 Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру , где E_l—проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.

В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:

.

Примеры решения задач

Пример 1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q₁=30 нКл и Q₂= –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r₁=15 см от первого и на расстоянии r₂=10 см от второго зарядов.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей E₁ и Е₂ полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: E=E₁+E₂.

Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны

(1)

Вектор E₁ (рис. 14.1) направлен по силовой линии от заряда Q₁, так как заряд Q₁>0; вектор Е₂ направлен также по силовой линии, но к заряду Q₂, так как Q₂<0.

Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

, (2)

где угол  может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d:

.

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cos. По этой формуле найдем

cos =0,25.

Подставляя выражения E₁ и E₂ а по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4₀) за знак корня, получаем

.

Подставив значения величин , ₀, Q₁, Q₂, r₁-, r₂ и  в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем

Пример 2. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда ₁=0,4 мкКл/м² и ₂=0,1 мкКл/м². Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

Решение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости (рис. 14.2).

Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно равны:

; .

Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III. Как вид но из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Е^(I) и E^(III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е^(I)= E^(III)=E₁+E₂, или

Е^(I)= E^(III)=.

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E^(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E^(II)=|E₁-E₂|, или

.

Подставив данные и произведя вычисления, получим

E^(I)=E^(III)=28,3кВ/м=17 кВ/м.

Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 14.3.

Пример 3. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q=10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см² Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 14.4)

F=E₁Q,, (1)

где E₁ — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но где  – поверхностная плотность заряда пластины.

Формула (1) с учетом выражения для E₁ примет вид

F=Q²/(2₀S).

Подставив значения величин Q, ₀ и S в эту формулу и произведя вычисления, получим

F=565 мкН.

Пример 4. Электрическое поле создано, бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью =400 нКл/м², и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью =100 нКл/м. На расстоянии r=10 см от нити находится точечный заряд Q=10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.

Решение. Сила, действующая на заряд, помещённый в поле,

F=EQ, (1)

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке

. (2)

Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле

. (3)

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей E₁ и Е₂ (рис. 14.5): E=E₁+E₂. Так как векторы E₁ и Е₂ взаимно перпендикулярны, то

.

Подставляя выражения E₁ и E₂ по формулам (2) и (3) в это равенство, получим

,

или .

Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):

. (4)

Подставив значения величин Q, ₀, , ,  и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем

F=289 мкН.

Направление силы F, действующей на положительный заряд Q, совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление же вектора Е задается углом  к заряженной плоскости. Из рис. 14.5 следует, что

, откуда .

Подставив значения величин , r,  и  в это выражение и вычислив, получим

=51°3

Пример 5. Точечный заряд Q=25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью =2 мкКл/м². Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r=10 см.

Решение. Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле,

F=QE, (1)

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E=/(2₀r), (2)

где  — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность  через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q₁ двумя, способами:

Q₁=S=2Rl и Q₁=l.

Приравняв правые части этих равенств, получим l=2Rl. После сокращения на l найдем =2R. С учетом этого формула (2) примет вид E=R/(₀r). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу:

F=QR/(₀r). (3)

Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах.

Выполнив вычисления по формуле (3), найдем

F=2510^-9210^-610^-2/(8,8510^-121010^-2)H==56510^-6H=565мкH.

Направление силы F совпадает с направлением вектора напряженности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.

Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью =30 нКл/м. На расстоянии а=20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r=1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол =30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки.

Решение. Поле, создаваемое бесконечно равномерно, заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом

, (1)

где E_n — проекция вектора Е на нормаль n к поверхности площадки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряженности.

Проекция Е_п вектора напряженности равна, как видно из рис. 14.6,

Е_п=Еcos,

где  — угол между направлением вектора и нормалью n. С учетом этого формула (1) примет вид

.

Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (r<<a), то электрическое поле в пределах площадки можно считать практически однородными. Следовательно, вектор напряженности Е очень мало. меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cos их средними значениями <E> и <cos> и вынести их за знак интеграла:

Выполняя интегрирование и заменяя <E> и <cos> их приближенными значениями Е_A и cos_A, вычисленными для средней точки площадки, получим

Ф_E=Е_Acos_AS=r²Е_Acos_A. (2)

Напряженность Е_A вычисляется по формуле E_A=/(2₀a). Из

рис. 14.6 следует cos_A=cos(/2—)=sin.

С учетом выражения Е_A и cos_A равенство (2.) примет вид

.

Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем

Ф_E=424 мВ.м.

Пример 7. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁=6 см и R₂=10 см несут соответственно заряды Q₁=l нКл и Q₂= –0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁=5 см, r₂=9 см r₃=15см. Построить график Е(r).

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 14.7): область I (r<R₁), область II (R₁<r₂<R₂), область III (r₃>R₂).

1. Для определения напряженности E₁ в области I проведем сферическую поверхность S₁ радиусом r₁ и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство

, (1)

где E_n — нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображений симметрии нормальная составляющая E_n должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. En=E₁=const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид

.

Так как площадь сферы не равна нулю, то

E₁=0,

т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r₁<.R₁, будет равна нулю.

2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r₂. Так как внутри этой поверхности находится, заряд Q₁, то для нее, согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать равенство

. (2)

Так как E_n=E₂=const, то из условий симметрии следует

, или ES₂=Q₁/₀,

откуда

E₂=Q₁/(₀S₂).

Подставив сюда выражение площади сферы, получим

E₂=Q/(4). (3)

3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r₃. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q₁+Q₂. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского — Гаусса, будет иметь вид

.

Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем

. (4)

Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля;

Выразим все величины в единицах СИ (Q₁=10^-9 Кл, Q₂= –0,510^-9 Кл, r₁=0,09 м, r₂=15 м, l/(4₀)=910⁹ м/Ф) и произведем вычисления:

4. Построим график E(r).В области I (r₁<R₁) напряженность E=0. В области II (R₁r<.R₂) напряженность E₂(r) изменяется по закону l/r². В точке r=R₁ напряженность E₂(R₁)=Q₁/(4₀R)=2500 В/м.В точке r=R₁ (r стремится к R₁ слева) E₂(R₂)=Q₁/(4₀R)=900В/м. В области III (r>R₂)E₃(r) изменяется по закону 1/r², причем в точке r=R₂ (r стремится к R₂ справа) Е₃(R₂)=(Q₁–|Q₂|)/(4₀R)=450 В/м. Таким образом, функция Е(r) в точках r=R₁ и r=R₂ терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис. 14.8.

Задачи

Напряженность поля точечных зарядов

14.1. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q=10 нКл на расстоянии r=10 см от него. Диэлектрик — масло.

14.2. Расстояние d между двумя точечными зарядами Q₁=+8 нКл и Q₂= –5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд будет положительным?

14.3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q₁=10 нКл и Q₂= –20 нКл, находящимися на расстоянии d=20 см друг от друга. Определить напряженность E поля в точке, удаленной от первого заряда на r₁=30 см и от второго на r₂=50 см.

14.4. Расстояние d между двумя точечными положительными зарядами Q₁=9Q и Q₂=Q равно 8 см. На каком расстоянии г от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?

14.5. Два точечных заряда Q₁=2Q и Q₂= –Q находятся на расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю,

14.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q₁=40 нКл и Q₂= –10 нКл, находящимися на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удаленной от первого заряда на r₁=12 см и от второго на r₂=6 см.

Напряженность поля заряда, распределенного по кольцу и сфере

14.7. Тонкое кольцо радиусом R=8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью =10 нКл/м. Какова напряженность Е электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=10 см?

14.8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью =1,нКл/м². Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы.

14.9. На металлической сфере радиусом R=10 см находится заряд Q=l нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии r₁=8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии r₂=15 см от центра сферы. Построить график зависимости E от r.

14.10. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R₁=6cм и R₂=10 см несут соответственно заряды Q₁=1 нКл и Q₂= –0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках. отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁=5 см, r₂=9 см, r₃=15 см. Построить график зависимости Е(r).

Напряженность поля заряженной линии

14.11. Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность  заряда, если напряженность E поля на расстоянии а=0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.

14.12. Расстояние d между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью ||=^150. мкКл/м. Какова напряженность Е поля в точке, удаленной на r=10 см как от первой, так и от второй проволоки?

14.13. Прямой металлический стержень диаметром d=5 см и длиной l=4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q=500 нКл. Определить напряженность Е поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии а=1 см от его поверхности.

14.14. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R=2 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд (=1 нКл/м²). Определить напряженность Е поля в точках, отстоящих от оси трубки на расстояниях r₁=l см, r₂=3 см. Построить график зависимости Е(r).

studfiles.net