Равенство треугольников по трем сторонам – Третий признак равенства треугольников | Треугольники — specable.ru

Третий признак равенства треугольников | Треугольники

Теорема

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

ΔABC,

ΔA₁B₁C₁,

AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁.

Доказать:

ΔABC= ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

Приложим треугольник A₁B₁C₁ к треугольнику ABC так, чтобы

вершина A₁ совместилась с вершиной A,
вершина B₁ совместилась с вершиной B,
точки C₁ и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC₁и угла ACB.

I. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC

По условию AC=A₁C₁и BC=B₁C₁, поэтому треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁.

По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B.

Точки A₁ и A, B₁ и B совмещены, то есть ∠AC₁B и ∠A₁C₁B₁ — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A₁B₁C₁имеем:

AC=A₁C₁, BC=B₁C₁(по условию), ∠ACB=∠A₁C₁B₁ (по доказанному).

Следовательно, ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

II. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A₁C₁и BC=B₁C₁, треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁ и ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

III. Луч CC₁ совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B₁C₁, поэтому треугольник BCC₁ — равнобедренный с основанием CC₁.

Отсюда ∠C₁=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Третий признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Треугольники
Третий признак равенства треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, так как AC = A₁C₁,

AB =A₁B₁ и BC =B₁C₁.

Из данной теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, т.е. фигура, не подверженная деформации.

Доказательство:

Дано: ABC, A₁B₁C₁, AC = A₁C₁, AB =A₁B₁, BC =B₁C₁.

Доказать: ABC =

A₁B₁C₁

Доказательство:

Приложим ABC к A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, а вершины C и C₁ оказались по разные стороны от прямой AB (A₁B₁).

1. Луч CC₁ проходит внутри

A₁C₁B₁.

2. Луч CC₁ совпадает с одной из сторон A₁C₁B₁.

3. Луч CC₁ проходит вне A₁C₁B₁.(обратите внимание, что, несмотря на то, что изображения в п.2 и в п.3 похожи, эти два случая для различных треугольников)

Рассмотрим последний случай (остальные доказываются аналогично): Поскольку по условию теоремы AC = A₁C₁, BC =B₁C₁, то CB₁C₁ и CA₁C₁ — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника B₁CC₁ =

B₁C₁C,

A₁CC₁ =

A₁C₁C. Следовательно,

B₁CA₁ =

B₁C₁A₁(

B₁C A₁ =

B₁CC₁—

A₁CC₁=

B₁C₁C —

A₁C₁C =

B₁C₁A₁). Таким образом, AC
= A₁C₁, BC = B₁C₁,

B₁CA₁=

B₁C₁A₁, а из этого следует,что

ABC =

A₁B₁C₁по I признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 135, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 153, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 155, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 160, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 172, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 175, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 247, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 651, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Пользовательское соглашение

budu5.com

Конспект «Треугольник. Равенство треугольников» — УчительPRO

«Треугольник. Равенство треугольников»

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.

Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Равные треугольники

Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников

Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.

Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:

uchitel.pro

Признаки равенства треугольников [wiki.eduVdom.com]

Рис.1
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А₁В₁С₁. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.
Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
Так, например, в равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А₁В₁ лежат равные углы С и С₁. Равенство треугольников ABC и А₁В₁С₁ будем обозначать так: Δ ABC = Δ А₁В₁С₁. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.
Рис.2
Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых АВ = A₁B₁, АС = A₁C₁ ∠ А = ∠ А₁ (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A₁B₁C₁.
Так как ∠ А = ∠ А₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и A₁C₁. Поскольку АВ = A₁B₁, АС = А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁ а сторона АС — со стороной А₁C₁; в частности, совместятся точки В и В₁, С и C₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны.
Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.
Рис.3
Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).
Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.
Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.
Из последней теоремы вытекает теорема 4.
Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).
Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)
Рис.4
∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?
Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.
Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?
Рис.5
Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.
Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.
Рис.4
Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?
Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).
Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.
Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.
wiki.eduvdom.com
Второй и третий признаки равенства треугольников — урок. Геометрия, 7 класс.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN=PR;&angmsd;N=&angmsd;R;&angmsd;M=&angmsd;P.
Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

2. Так как &angmsd;N=&angmsd;R и &angmsd;M=&angmsd;P, то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит, они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
MN=PR;KN=TR;MK=PT.

Опять попробуем совместить треугольники ΔMNK и ΔPRT наложением и убедиться, что соответственно равные стороны гарантируют и равенство соответственных углов этих треугольников, и они полностью совпадут.

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и \(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.

Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN=PR, KN=TR. Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит, перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

Об этом говорят сказки.
Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросёнка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

И в заключение ещё раз вспомним все признаки равенства треугольников.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
www.yaklass.ru
Признаки равенства треугольников
Два треугольника называются равными, если три стороны и три угла одного треугольника равны трём сторонам и трём углам другого:
Первый признак
Если две стороны и угол, заключённый между ними, одного треугольника равны двум сторонам и углу, заключённому между ними, другого треугольника, то они равны:
Второй признак
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны:
Третий признак
Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то они равны:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.
Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:
Если катеты одного треугольника равны катетам другого.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.

Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.

Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.

naobumium.info
Признаки равенства треугольников
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Содержание:
Первый признак равенства треугольников (формулировка и задачи)

Второй признак равенства треугольников (формулировка и задачи)

Третий признак равенства треугольников (формулировка и задачи)

Решение задач на применение всех признаков равенства треугольников

Тест по теме

Ход урока
I. Первой признак равенства треугольников
Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Задачи: Приложение 1
II. Второй признак равенства треугольников
Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Задачи: Приложение 2
III. Третий признак равенства треугольников
Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Задачи: Приложение 3
IV. Решение задач на применение всех признаков равенства треугольников.
Задача 1.
Дано: ∆АВС= ∆ МКР,
Периметр треугольника АВС равен 48см,
АВ=13см,
ВС=20см,
АС=15см. Найдите стороны треугольника МКР.
Задача 2.
На рисунке АВ = ДС, ВК = ДМ, АМ = СК. Докажите, что ∆АДМ=∆СВК.
Задача 3.
Дан треугольник АВС равнобедренный, ВД высота. Доказать, что ∆ АВД = ∆ СВД
Задача 4.
В равнобедренном треугольнике основание относится к боковой стороне как 1:4. Найдите стороны данного треугольника, если периметр равен 33см.
Задача 5.
Дано:
АВ=ВС, АМ=NC,
DMC=BNC=90°
Доказать, что DM=EN

Задача 6.
Задача 7.
Дано: МО=ОN. Доказать, что ∆BOC- равнобедренный
Задача 8.
Внутри треугольника АВС взята точка О, такая, что угол ВОС равен углу ВОА, АО=ОС. Докажите, что:
Угол ВАС равен углу ВСА

Прямая ВО проходит через середину отрезка АС.

Задача 9.
На сторонах равнобедренного треугольника АВС (АС-основание) отмечены точки М, К, Р, соответственно принадлежащиеся сторонам АВ, ВС, АС, таким образом, что угол АМР равен углу PKC и АМ=КС. Докажите, что:
МР=РК

Прямые МК и ВР перпендикулярны.

V. Тест по данной теме.
Приложение 4.
Презентация.
urok.1sept.ru
No related posts.