РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ — Студопедия
Рисунок 11.5
Рисунок 11.4
Рисунок 11.3
Рисунок 11.2
Рисунок 11.1
Кривая, которая соединяет концы векторов , носит название годографа передаточной функции (годографом амплитудно-фазовой характеристики). Годограф строят при изменении частоты от нуля к бесконечности.
Пример.Определить комплексный коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ для схемы (рис.11.2а).
Согласно с определением: . Задача решается в такой последовательности: 1) задаемся ; 2) определяем комплексное значение выходного напряжения по закону Ома:
;
3) находим ;
4) подаем в показательной форме, находим АЧХ и ФЧХ (рис.11.2б,в):
.
а) б) в)
11.2 Последовательный резонансный контур. Определение и условия резонанса
Колебательный контур — электрический круг, в котором возможны колебание свободной составной тока. Резонансный контур — электрическая цепь, в которой имеет место явление резонанса (напряжений или токов).
Последовательный резонансный контур — резонансный контур, который состоит из индуктивного и емкостного элементов, соединенных последовательно (рис.11.3а,б). На схеме (рис.11.3в) R, L, C — первичные параметры контура, причем , где — активное сопротивление катушки индуктивности, — сопротивление растекания конденсатора, перерасчитанное в последовательное соединение, — сопротивление проводов (потерь). Чтобы дать определение резонанса, найдем ток в цепи (рис.11.3в):
,
где — реактивное сопротивление контура.
Запишем комплексное действующее значение тока в показательной форме
,
где — полное сопротивление контура.
Итак, резонанс — это явление в электрической цепи, которая имеет участки с индуктивными и емкостными элементами, по которому разница фаз напряжения и тока на входе цепи равняется нулю.
Из этого определения вытекает, что полное сопротивление контура должно быть активным. Тогда реактивное сопротивление или проводимость цепи, в которой наблюдается резонанс, равняются нулю.
а) б) в)
Итак, если в общем случае действительны соотношения
; , то при резонансе:
1) — это условие амплитудного резонанса;
2) ; ; — условие возникновения фазового резонанса.
11.3 Вторичные параметры последовательного резонансного контура
1. Резонансная частота — частота тока (напряжения) во время резонанса в цепи. Обозначается и определяется, исходя из условия резонанса X = 0; :
; .
Значению циклической частоты соответствует резонансная длина волны:
,
где c — скорость распространение электромагнитных волн.
2. Характеристическое (волновое) сопротивление контура — сопротивление каждого из реактивных элементов при резонансе: .
3. Добротность — отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению контура: , где d — затухание — величина, обратная к добротности, которая характеризует интенсивность затухания колебаний в контуре.
Добротность характеризует длительность собственных колебаний в контуре, ее можно определить также как коэффициент качества, который равняется отношению абсолютного значения реактивной мощности к активной мощности.
4. Полное сопротивление — модуль входного комплексного сопротивления контура Z .
,
где — модуль Z;
— аргумент Z.
Частотные зависимости полного и реактивного сопротивления , изображены на рис.11.4. Из графика видно, что на резонансной частоте реактивное сопротивление контура равняется нулю, а равняется сопротивлению потерь R.
а) б)
5. Фазовая характеристика — зависимость аргумента входного сопротивления последовательного контура от частоты (рис.11.5а): .
6. Резонансная кривая тока — зависимость модуля комплексного действующего (амплитудного) значения тока от частоты (рис.11.5б):
.
Очевидно, что на частоте резонанса , выполняются такие соотношение: , .
11.4 Векторная диаграмма напряжений при резонансе
Запишем для последовательного резонансного контура уравнения по второму закону Кирхгофа:
.
Если частота равняется резонансной частоте , то
,
где — напряжение на сопротивлении R при резонансе;
— напряжение на индуктивности при резонансе;
— напряжение на емкости при резонансе.
В соответствии с полученными выражениями на рис.11.5в изображена векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе. Как видно из рисунка, при выполняются такие соотношения:
1) напряжение на сопротивлении R совпадает по фазе с током
2) по абсолютной величине напряжения на реактивных элементах последовательного резонансного контура в Q раз превышают значение ЭДС, которая действует на входе: . Итак, в последовательном контуре наблюдается резонанс напряжений.
Резонанс напряжений — явление резонанса на участке электрической цепи, в которую входят последовательно соединенные индуктивный и емкостной элементы.
а) б) в)
Частотные характеристики и резонансные кривые последовательного контура
Предположим, что к контуру (см. рис. 3.8) приложено синусоидальное напряжение , амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в пределах от 0 до .
Изменение частоты приводит к изменению параметров контура, изменяется его реактивное, а следовательно, и полное сопротивление, а также угол φ (аргумент комплексного сопротивления). Зависимости от частоты параметров цепи назовем частотными характеристиками цепи, зависимости действующих или амплитудных значений тока и напряжения от частоты резонансными кривыми.
На рис. 5.1 построены частотные характеристики и . Изменение реактивного сопротивления приводит к изменению режима цепи. На рис. 5.2 приведен примерный вид резонансных кривых и кривой для цепи, добротность которой . При ω = 0 напряжение, приложенное к цепи, во времени не изменяется, поэтому ток в цепи отсутствует. При изменении частоты от 0 до реактивное сопротивление имеет емкостный характер и изменяется от до 0 (см. рис. 5.1). Вследствие этого ток возрастает от 0 до максимального резонансного значения , а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от —π/2 до 0. При изменении частоты от до результирующее реактивное сопротивление возрастает от 0 до и имеет индуктивный характер.
Вследствие этого ток уменьшается от наибольшего значения до 0, а угол φ возрастает от 0 до π/2. Напряжение изменяется пропорционально току.
В выражении напряжения на индуктивности оба сомножителя зависят от частоты. При ω = 0 сопротивление , ток I = 0, и, следовательно, . При изменении частоты от 0 до оба сомножителя увеличиваются и возрастает. При дальнейшем увеличении частоты () ток I уменьшается, но за счет роста ωL напряжение продолжает возрастать. Анализ, который здесь не приводится, показывает, что для цепи с добротностью это возрастание продолжается непрерывно до значения U, а для цепи с добротностью напряжение при некоторой частоте достигает максимума , а затем уменьшается. При и , следовательно, .
Теперь рассмотрим зависимость напряжения на емкости от частоты. При ω = 0 тока в цепи нет, поэтому . При возрастании ω, начиная от нуля, непрерывно уменьшается. Анализ показывает, что для цепи с добротностью напряжение непрерывно уменьшается, а при напряжение сначала из-за возрастания тока I увеличивается, достигает при некотором значении частоты максимума , а затем уменьшается.
Уменьшение напряжения с ростом частоты начинается при частоте , меньшей , вследствие непрерывного уменьшения . При как I, так и равны нулю, поэтому . Заметим, что . При , как было отмечено, .
График зависимости тока от частоты показывает, что рассматриваемая цепь обладает «избирательными свойствами». Цепь обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к ее резонансной частоте.
Избирательными свойствами таких цепей широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, так как возникающие значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции.
Рис. 5.1
Рис. 5.2
Выясним влияние параметров цепи на форму резонансной кривой . Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем строить их в относительных единицах:
где — действующий ток при резонансе; — относительная частота.
Преобразуем выражение полного сопротивления цепи:
Разность характеризует расстройку контура относительно резонансной частоты. Произведение называется обобщенной расстройкой. С учетом этих обозначений сопротивление
Ток в цепи
Выражение (5.5) показывает, что влияние параметров цепи на вид резонансной кривой полностью учитывается добротностью Q.
На рис. 5.3,а представлен ряд резонансных кривых. Чем больше Q, тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства» цепи, что и послужило одной из причин назвать Q добротностью контура. Заметим, что наибольшие достигаемые на практике значения Q контуров, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов, лежат в пределах 200-500.
Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура , которую определяют как разность верхней и нижней частот, между которыми отношение превышает . На рис. 5.3, а проведена горизонтальная линия, соответствующая . Ее пересечение с резонансными кривыми определяет граничные частоты полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.
Рис. 5.3
Высшая и низшая относительные частоты показаны на рис. 5.3,б для контура с известной добротностью Q. На этом же рисунке построена идеальная резонансная кривая, для которой вне полосы пропускания ток равен нулю, т. е. у которой идеальные избирательные свойства. На рис. 5.3, а также проведена горизонтальная линия, соответствующая . Ее пересечение с резонансными кривыми определяет полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.
Если диапазон изменения частоты составляет несколько порядков, то часто выбирают для частоты логарифмический масштаб, т. е. или . Интервал частот , для которого , называют декадой (десятикратное изменение частоты). Число декад . Интервал частот, для которого , называют октавой (удвоение частоты), причем 1 декада октавы.
Пример 5.1.
Определить добротность контура по известной резонансной кривой
Решение.
На границах полосы пропускания , т.е. как следует из (5.5), и , откуда
так как и (рис. 5.3, б).
Сложим (а) и (б):
или
т. е должно быть , т. е. .
Вычтем (б) из (а):
или
откуда
Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре
В радиотехнике широкое применение имеют электрические цепи, составленные из катушки индуктивности и конденсатора. Такие цепи в радиотехнике называются колебательными контурами. Источник переменного тока к колебательному контуру может быть присоединен двумя способами: последовательно (рисунок 1а) и параллельно (рисунок 1б).
Рисунок 1. Схемотическое обозначение колебательного контура. а) последовательный колебательный контур; б) параллельный колебательный контур.
Рассмотрим поведение колебательного контура в цепи переменного тока при последовательном соединении контура и источника тока (рис 1а).
Мы знаем, что такая цепь оказывает переменному току реактивное сопротивление, равное:
где RL— активное сопротивление катушки индуктивности в ом;
ωL,-индуктивное сопротивление катушки индуктивности в ом;
1/ωC-емкостное сопротивление конденсатора в ом.
Активное сопротивление катушки RL практически очень мало изменяется при изменении частоты (если пренебречь поверхностным эффектом). Индуктивное и емкостное сопротивления в очень сильной степени зависят от частоты, а именно: индуктивное сопротивление ωL увеличивается прямо пропорционально частоте тока, а емкостное сопротивление
Отсюда непосредственно следует, что реактивное сопротивление последовательного колебательного контура также зависит от частоты, и колебательный контур будет оказывать токам разных частот неодинаковое сопротивление.
Если мы будем измерять реактивное сопротивление колебательного контура при различных частотах, то обнаружим, что в области низких частот сопротивление последовательного контура очень велико; при увеличении частоты оно уменьшается до некоторого предела, а затем начинает снова возрастать.
Объясняется это тем, что в области низких частот ток испытывает большое сопротивление со стороны конденсатора, при увеличении же частоты начинает действовать индуктивное сопротивление, компенсирующее действие емкостного сопротивления.
При некоторой частоте индуктивное сопротивление становится равным емкостному, т. е.
Они будут взаимно компенсировать друг друга и общее реактивное сопротивление контура станет равным нулю:
При этом реактивное сопротивление последовательного колебательного контура будет равно только его активному сопротивлению, так как
При дальнейшем повышении частоты ток будет испытывать все большее и большее сопротивление со стороны индуктивности катушки, при одновременном уменьшении компенсирующего действия емкостного сопротивления. Поэтому реактивное сопротивление контура начнет снова возрастать.
На рисунке 2а приведена кривая, показывающая изменение реактивного сопротивления последовательного колебательного контура при изменении частоты тока.
Рисунок 2. Резонанс напряжений. а) зависимость изменения полного сопротивления от частоты; б) зависимость реактивного сопротивления от активного сопротивления контура; в) кривые резонанаса.
Частота тока, при которой сопротивление колебательного контура делается наименьшим, называется частотой резонанса или резонансной частотой колебательного контура.
При резонансной частоте имеет место равенство:
пользуясь которым, нетрудно определить частоту резонанса:
(1)
Единицами в этих формулах служат герцы, генри и фарады.
Из формулы (1) видно, что чем меньше величины емкости и самоиндукции колебательного контура, тем больше будет его резонансная частота.
Величина активного сопротивления RL не влияет на резонансную частоту, однако от нее зависит характер изменения Z. На рисунке 2б приведен ряд графиков изменения реактивного сопротивления колебательного контура при одних и тех же величинах L и С
, но при разных RL. Из этого рисунка видно, что чем больше активное сопротивление последовательного колебательного контура, тем тупее становится кривая изменения реактивного сопротивления.Теперь рассмотрим, как будет изменяться сила тока в колебательном контуре, если мы будем изменять частоту тока. При этом мы будем считать, что напряжение, развиваемое источником переменного тока, остается все время одним и тем же.
Так как источник тока включен последовательно с L и С контура, то сила тока, протекающего через катушку и конденсатор, будет тем больше, чем меньше реактивное сопротивление колебательного контура в целом, так как
Отсюда непосредственно следует, что при резонансе сила тока в колебательном контуре будет наибольшей. Величина тока при резонансе будет зависеть от напряжения источника переменного тока и от активного сопротивления контура:
На рисунке 2г изображен ряд графиков изменения силы тока в последовательном колебательном контуре при изменении частоты тока так называемых
При резонансе сила тока может достигать огромных значений при сравнительно малой внешней ЭДС. Поэтому падения напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях контура, т. е. на катушке и на конденсаторе, могут достигать очень больших величии и далеко превосходить величину внешнего напряжения.
Последнее утверждение на первый взгляд может показаться несколько странным, однако нужно помнить, что фазы напряжений на емкостном и индуктивном сопротивлениях сдвинуты друг относительно друга на 180°, т. е. мгновенные значения напряжений на катушке и конденсаторе направлены всегда в противоположные стороны. Вследствие этого большие напряжения, существующие при резонансе внутри контура на его катушке и конденсаторе, ничем не обнаруживают себя вне контура, взаимно компенсируя друг друга.
Разобранный нами случай последовательного резонанса называется резонансом напряжений, так как в этом случае в момент резонанса имеет место резкое увеличение напряжения на L и С колебательного контура.
ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!
Похожие материалы:
Добавить комментарий
Резонанс напряжений и резонанс токов
В физике резонансом называется явление, при котором в колебательном контуре частота свободных колебаний совпадает с частотой вынужденных колебаний. В электричестве аналогом колебательного контура служит цепь, состоящая из сопротивления, ёмкости и индуктивности. В зависимости от того как они соединены различают резонанс напряжений и резонанс токов.
Резонанс напряжений
Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC-цепи.
Условием возникновения резонанса является равенство частоты источника питания резонансной частоте w=wр, а следовательно и индуктивного и емкостного сопротивлений xL=xC. Так как они противоположны по знаку, то в результате реактивное сопротивление будет равно нулю. Напряжения на катушке UL и на конденсаторе UC будет противоположны по фазе и компенсировать друг друга. Полное сопротивление цепи при этом будет равно активному сопротивлению R, что в свою очередь вызывает увеличение тока в цепи, а следовательно и напряжение на элементах.
При резонансе напряжения UC и UL могут быть намного больше, чем напряжение источника, что опасно для цепи.
С увеличением частоты сопротивление катушки увеличивается, а конденсатора уменьшается. В момент времени, когда частота источника будет равна резонансной, они будут равны, а полное сопротивление цепи Z будет наименьшим. Следовательно, ток в цепи будет максимальным.
Из условия равенства индуктивного и емкостного сопротивлений найдем резонансную частоту
Исходя из записанного уравнения, можно сделать вывод, что резонанса в колебательном контуре можно добиться изменением частоты тока источника (частота вынужденных колебаний) или изменением параметров катушки L и конденсатора C.
Следует знать, что в последовательной RLC-цепи, обмен энергией между катушкой и конденсатором осуществляется через источник питания.
Резонанс токов
Резонанс токов возникает в цепи с параллельно соединёнными катушкой резистором и конденсатором.
Условием возникновения резонанса токов является равенство частоты источника резонансной частоте w=wр, следовательно проводимости BL=BC. То есть при резонансе токов, ёмкостная и индуктивная проводимости равны.
Для наглядности графика, на время отвлечёмся от проводимости и перейдём к сопротивлению. При увеличении частоты полное сопротивление цепи растёт, а ток уменьшается. В момент, когда частота равна резонансной, сопротивление Z максимально, следовательно, ток в цепи принимает наименьшее значение и равен активной составляющей.
Выразим резонансную частоту
Как видно из выражения, резонансная частота определяется, как и в случае с резонансом напряжений.
Явление резонанса может носить как положительный, так и отрицательный характер. Например, любой радиоприемник имеет в своей основе колебательный контур, который с помощью изменения индуктивности или емкости настраивают на нужную радиоволну. С другой стороны, явление резонанса может привести к скачкам напряжения или тока в цепи, что в свою очередь приводит к аварии.
РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ, КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
ТЕОРИЯ: ПОНЕМНОГУ — ОБО ВСЕМ
1.8. Резонансные явления. Колебательный контур.
Цепь, состоящую из последовательно включенных резистора, катушки индуктивности
и конденсатора (рис. 8, а), подключим к генератору переменного напряжения, позволяющему
регулировать частоту колебаний (предполагается, что генератор напряжения обладает
бесконечно малым внутренним сопротивлением и поэтому напряжение на его зажимах
практически не зависит от нагрузки). На постоянном токе (нулевая частота) и
очень низких частотах ток в цепи практически отсутствует, так как емкостное
сопротивление конденсатора велико. Ток будет стремиться к нулю и на очень высоких
частотах из-за возрастания индуктивного сопротивления катушки (см. графики на
рис. 6,а).
Но есть одна характерная частота, на которой
ток в цепи максимален и равен U/R. На этой частоте индуктивное сопротивление
равно емкостному, а поскольку у них разные знаки, они компенсируют друг
друга и полное сопротивление цепи оказывается активным и равным R. Эта
частота называется резонансной, а график зависимости тока в цепи от
частоты — резонансной кривой (рис. 8,б). Значение резонансной частоты
можно найти, приравняв индуктивное и емкостное сопротивления: pL
= 1/рС, следовательно,
р2
= 1/LC (резонансная частота). Не забывайте, что угловая, или
круговая частота в 2
или в 6,28 раза больше обычной, циклической частоты f, измеряемой в
герцах, т.е. = 2f.
Теперь мы вплотную подошли к понятию добротности,
имеющему в радиотехнике очень важное значение. Чем меньше активное сопротивление
R цепи, показанной на рис. 8,а, тем острее и выше резонансная кривая
и тем больше ток в цепи при резонансе. На самом деле важно не само по
себе активное сопротивление R, а отношение реактивного сопротивления
r катушки или конденсатора на резонансной частоте р
(напомним, что они равны) к активному R. Это отношение называется добротностью
колебательного контура: Q = r/R = pL/R
= 1/pCR (добротность
контура). Аналогично тому, как мы это сделали для резонансной частоты,
можно подсчитать, что r2 = L/C.
Если нужно получить особенно высокую добротность,
резистор R в контур, как правило, не устанавливают, а его роль выполняет
активное сопротивление провода катушки. Даже у небольших радиочастотных
катушек оно составляет единицы, а иногда и десятки ом, поскольку сопротивление
провода на высокой частоте больше, чем на постоянном токе. Объясняется
это так называемым скин-эффектом, явлением вытеснения тока к поверхности
провода. Так, например, в медном проводе на частоте 3 МГц (3 миллиона
колебаний в секунду) ток течет в поверхностном слое толщиной не более
0,1 мм.
Для уменьшения активного сопротивления катушек
на радиочастотах часто используют многожильный обмоточный провод (литцендрат),
скрученный из нескольких (7—21 и более) тонких изолированных проводников.
При той же общей площади сечения или общем диаметре провода поверхность
у литцендрата (по которой и текут высокочастотные токи) получается значительно
больше, а сопротивление меньше, чем у одножильного провода.
Толщина скин-слоя обратно пропорциональна корню
квадратному из частоты, и на частоте 300 МГц она уменьшается до 10 мкм.
Здесь и литцендрат уже не помогает, и приходится опять использовать
одножильные провода значительного диаметра, благо на таких частотах
катушки имеют не более нескольких витков. Окисленные и «шершавые», т.е.
плохо обработанные металлические поверхности будут на этих частотах
уже плохими проводниками. Для улучшения проводимости поверхностного
слоя его часто серебрят, а вместо сплошных круглых проводов используют
тонкостенные трубки — и легче, и материал экономится. А сопротивление
остается тем же.
Если выводы цепи рис. 8,а замкнуть накоротко,
получится параллельный колебательный контур (рис. 8,в). Он гораздо чаще
используется в радиотехнике. Чтобы наблюдать в контуре резонансные явления,
к его выводам надо подключить уже не генератор переменного напряжения,
а генератор тока, обладающий большим внутренним сопротивлением и поэтому
создающий в любой нагрузке ток I, не зависящий от ее сопротивления.
Генератором тока является, например, короткая
(по сравнению с длиной волны) антенна или транзисторный усилительный
каскад. В этом случае напряжение на выводах параллельного контура будет
изменяться, при изменении частоты, в соответствии с резонансной кривой,
показанной на рис. 8,б штриховой линией. Как видим, она мало отличается
от резонансной кривой для последовательного контура, причем отличия
заметны лишь на боковых ветвях, вдали от резонансной частоты.
Напряжение на выводах контура при резонансной
частоте равно IRое, где Roe = r2/R
— эквивалентное сопротивление контура на резонансной частоте. Оно тем
больше, чем меньше активное сопротивление, включенное последовательно
с катушкой, или сопротивление самой катушки. Остается в силе все то,
что мы рассказали о контурах с высокой добротностью и о мерах уменьшения
сопротивления проводов на высокой частоте.
Для чего же нужен колебательный контур? Главным
образом, для выделения колебаний с нужной нам частотой из множества
колебаний с различными частотами. Это чуть ли не основная задача радиотехники.
Даже простейший детекторный радиоприемник будет принимать сигналы сразу
нескольких наиболее мощных радиостанций, работающих на разных частотах,
если его не оснастить колебательным контуром.
Когда контур настроен на частоту нужной радиостанции,
сигналы всех остальных значительно ослабляются, и мы прослушиваем только
одну радиопередачу. Чтобы перестраивать контур по частоте, необходимо
изменять индуктивность катушки L или емкость конденсатора С (или и то
и другое одновременно). С увеличением индуктивности и емкости резонансная
частота или частота настройки понижается. Чаще всего используют конденсатор
переменной емкости промышленного изготовления и катушку с отводами:
переключая отводы, выбирают диапазон частот, а внутри диапазона частоту
устанавливают конденсатором.
Итак, незаметно от рассказа об электротехнике
мы перешли к радиотехнике. Но о ней — в следующий раз.
Радио, 1998
лабораторная работа 47
Лабораторная работа № 47
ИЗУЧЕНИЕ
ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
И СНЯТИЕ СЕМЕЙСТВА РЕЗОНАНСНЫХ КРИВЫХ
Цель работы — изучение вынужденных электрических колебаний и явления резонанса в электрических цепях; снятие семейства амплитудных резонансных кривых.
Приборы и принадлежности: звуковой генератор, милливольтметр переменного тока, микроамперметр переменного тока, конденсатор, катушка индуктивности, набор резисторов или магазин сопротивлений, соединительные провода.
Вынужденные электрические колебания
Пусть к электрической цепи, изображенной на рис. 1 и состоящей из последовательно соединенных конденсатора с электроемкостью С, катушки индуктивностью L и активного сопротивления R, подключен источник переменного тока с ЭДС, изменяющейся по закону
, (1)
где — амплитуда ЭДС; — циклическая частота.
Рис. 1
В катушке L возникает ЭДС самоиндукции, которая определяется формулой
, (2)
где L - индуктивность катушки; — скорость изменения силы тока в цепи.
В результате в такой цепи наблюдаются вынужденные электрические колебания и резонанс колебаний.
Найдем уравнения вынужденных колебаний. Цепь, состоящая из конденсатора С и катушки L, называется к о л е б а т е л ь н ы м к о н т у р о м (см. работу № 46).
Используя второй закон Кирхгофа, получим уравнение
,
или с учетом того, что напряжение на конденсаторе , а сила тока
, получим
. (3)
Поделив (3) на L и учитывая выражения (коэффициент затухания) и (циклическая частота собственных колебаний),
формулу (3) можно записать в виде
. (4)
Это дифференциальное уравнение второго порядка вынужденных колебаний.
Решение уравнения (4) следует искать в виде
, (5)
где φ и ω — начальная фаза и циклическая частота вынужденных колебаний; qо - амплитуда заряда на обкладке конденсатора,
,
. (6)
Сила тока равна , и с учетом
выражений (сдвиг фазы между током и ЭДС источника тока)
и получим
, (7)
где ; (8)
. (9)
Если в (8) и (9) подставим ; , то получим
; (8/)
. (9/)
Напряжения в цепи изменяются по закону:
— на активном сопротивлении R
; (10)
— на конденсаторе с учетом , , и (4)
. (11)
— ЭДС самоиндукции, или напряжение в катушке,
. (12)
В формуле (8/) выражение
(13)
называется импедансом, т.е. полным сопротивлением электрической цепи, а
(14)
и (15)
называются и н д у к т и в н ы м и е м к о с т н ы м сопротивлениями (реактивными сопротивлениями). Тогда с учетом (13) формулу (8/) можно записать
. (16)
Формула (8/), или (16), соответствует закону Ома для амплитудных значений переменного тока. Амплитудное значение силы тока Io зависит от ω, L, C и R.
Исследуем зависимость Io от ω.
При ω→0 Io→0, при ω→∞ Io также стремится к нулю, т.е. Io→0.
Приравнивая нулю, найдем резонансную частоту, которая не
зависит от R и равна
. (17)
При этой частоте из (8) следует, что максимальное значение амплитуды силы тока равно
. (18)
С ростом R, а следовательно, коэффициента затухания , Iom уменьшается.
Зависимость резонансных кривых Io от ω показана на рис. 2.
Рис. 2
Резонансные кривые амплитудных значений напряжения отличаются от резонансных кривых силы тока.
На рис. 3 приведена зависимость изменения резонансных кривых между обкладками конденсатора от частоты ω и коэффициента затухания β.
Рис. 3
Из рис. 3 видно, что при ω→0 амплитудное значение напряжения Uoc стремится к Uo=εo. Резонанс колебаний напряжения Uoc наступает при частоте
. (19)
Изучить резонанс колебаний силы тока можно, собрав электрическую цепь по схеме, представленной на рис. 4.
Рис. 4
Ход работы
1. Установить на звуковом генераторе начальное значение частоты
2. С помощью регулятора напряжения установить на выходе звукового генератора напряжение, равное 30 мВ.
3. Включить в цепь последовательно с катушкой L и конденсатором C сопротивления (сначала R1, затем R2, R3 ).
4. Измерить значения силы тока I1, I2, I3, изменяя значения частоты в интервале от 200 до 2000 Гц через каждые 200 Гц, поддерживая напряжение в цепи неизменным с помощью регулятора напряжения. Результаты измерений занести в таблицу.
Таблица
|
, Гц |
2200 |
4400 |
6600 |
8800 |
11000 |
11200 |
11400 |
11600 |
11800 |
22000 |
22500 |
33000 |
|
I1, мкА R1= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2, мкА R2= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3, мкА R3= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. По результатам измерений на миллиметровой бумаге построить семейство амплитудных резонансных кривых.
5. По полученному графику зависимости Io от () и по максимальному значению силы тока Iom определить резонансную частоту .
6. По формуле
(20)
рассчитать значение резонансной частоты , подставляя параметры L и C электрической цепи.
7. Сравнить экспериментальное значение и рассчитанное по формуле (20) значение .
Вопросы для допуска к работе
1. Сформулируйте цель работы.
2. Какие колебания называются свободными?
3. Какие колебания называются вынужденными?
4. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
5. Что называется резонансом колебаний?
Вопросы для защиты работы
1. Что называется колебательным контуром? Объясните возникновение вынужденных электрических колебаний в цепи переменного тока.
3. Получите дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний.
4. Выведите формулу для резонансных частот колебаний силы тока и напряжения.
5. Изобразите и поясните ход резонансных кривых (амплитудных и фазовых).
6. Что такое полное сопротивление (импеданс) переменной электрической цепи?
12 Резонансные кривые тока и напряжения последовательного контура
12.1 Резонансная кривая тока. Абсолютная, относительная
и обобщенная расстройка
Кривые зависимости модуля комплексного амплитудного (действующего) значения тока или напряжения от частоты генератора называются резонансными кривыми. Уравнение резонансной кривой тока имеет вид:
. (12.1)
Уравнение (12.1) можно записать иначе:
.
Разделив это выражение на резонансное значение тока , будем иметь нормированную резонансную кривую тока:
. (12.2)
На рис.12.1а,б показаны резонансные кривые токов в соответствии с выражениями (12.1) и (12.2) для различных значений добротности .
а) б)
Рисунок 12.1
При расчетах резонансных контуров в радиотехнических устройствах исследуют их поведение главным образом в области частот, близких к резонансной частоте , т.е. когда частота генератора равняется:
; ,
где абсолютная расстройка, которая является малой величиной по сравнению с резонансной частотой. Расстройка может быть как положительной , так и отрицательной ( , ).
Отношение называется относительной расстройкой. Величина называется обобщенной расстройкой. С учетом введенных обозначений формула (12.2) будет такой:
. (12.3)
Найдем формулы для расчета обобщенной расстройки:
Учитывая, что , получаем точную формулу для вычисления :
.
Но для частот, близких к резонансной частоте контура , выполняются такие приблизительные соотношения: ; .
Тогда
.
Итак, конечная приблизительная формула для нахождения будет иметь вид
.
Резонансная кривая может быть представлена как функция абсолютных, так и функция относительных расстроек (рис.12.2а):
. (12.4)
Если по оси абсциссс откладывать обобщенную расстройку , получим обобщенную частотную характеристику (12.3), которая объединяет все возможные варианты контуров с любой величиной Q (рис.12.2б). Кривая (12.3) не зависит от добротности.
Фазовая характеристика контура также может быть выражена как функция относительной или обобщенной расстройки:
. (12.5)
Фазовые характеристики типа (12.5) изображены на рис.12.3.
а) б)
Рисунок 12.2
а) б)
Рисунок 12.3
12.2 Резонансные кривые напряжений
Резонансная кривая напряжения это зависимость модуля комплексного действующего или амплитудного значения напряжения от частоты. Для последовательного резонансного контура согласно закону Ома выполняются такие соотношения для напряжений: ; ; . Подставим сюда значение тока
.
Тогда будем иметь
; ; .
Соответственно, модули полученных выражений являются резонансными кривыми напряжений последовательного резонансного контура:
; (12.6)
; (12.7)
. (12.8)
Анализируя графики, которые построены по этим формулам (рис.12.4), можно сделать такие выводы:
1. Кривая совпадает с резонансной кривой тока с точностью до постоянного множителя. При ; , ; при ; , .
Рисунок 12.4
2. Поскольку кривая I является симметричной, а кривая напряжения получена умножениям кривой тока на емкостное сопротивление , из рисунка видно, что максимум перемещается в сторону частот, меньших по резонансу.
Можно показать, что , где d затухание.
При напряжение (рис.12.5а). При напряжение (рис.12.5б).
3. Поскольку кривая получена умножением симметричной кривой тока I на индуктивное сопротивление , то максимум перемещается в сторону частот, больших по резонансной частоте . Можно показать, что
.
Как видно из рис.12.5, значение напряжения на индуктивности для нулевой и бесконечной частот равняются: ; .
а) б)
Рисунок 12.5
12.3 Виборочность резонансного контура. Полоса пропускания
Выборочность или селективность — это свойство контура из набора колебаний различных частот выделять (пропускать) колебание близкое к резонансной частоте.
То, насколько контур является выборочным, можно оценить по характеру резонансных кривых: чем «острее» резонансная кривая, тем более выборочным является контур. Формула (12.4) показывает, что чем больше добротность Q, тем выше выборочность.
Частотные характеристики резонансного контура по форме значительно отличаются от идеальной П-подобной характеристики. Поэтому частоты, которые пропускаются (выделяются) контуром, определяют условно, вводя понятие полосы пропускания.
Полоса пропускания (П) это область частот близ резонансной частоты, в пределах которой ток (напряжение) уменьшаются не больше, чем в раз по сравнению с резонансным значением (рис.12.6а). Иначе полоса пропускания — это полоса частот, в пределах которой затухание остается меньшим по определенному значению.
Чтобы определить полосу пропускания, воспользуемся формулой (12.3). По определению полосы пропускания . Т.е.
,
откуда находим два значения обобщенной расстройки, которые соответствуют границам полосы пропускания: (рис.12.6б).
Чтобы определить абсолютное значение полосы пропускания (рис.12.6а), воспользуемся формулой . Учитывая, что , находим связь между полосой пропускания и добротностью:
; .
Для низкодобротных кривых абсолютные расстройки и . Для высокодобротных кривых абсолютные расстройки приблизительно одинаковые, поэтому .
а) б)
Рисунок 12.6
12.4 Влияние сопротивлений источника и нагрузки на выборочные свойства последовательного контура
1. Влияние сопротивления источника (генератора).
Резонансные кривые тока и напряжения в контуре были найдены из таких предположений: ЭДС источника E = const, внутреннее сопротивление . Выясним, как влияет сопротивление реального генератора на свойства контура.
Эквивалентную схему (рис.12.7а) можно рассматривать как резонансный контур, который имеет активное сопротивление и питается в точках 1-1′ постоянным напряжением. Для этого контура можно применить все установленные выше соотношения. В частности . (12.9)
Итак, чем больше внутреннее сопротивление , тем меньше эквивалентная добротность цепи и более широкая полоса пропускания. Итак, с увеличением сопротивления выборочность системы ухудшается, т.е. с точки зрения выборочности последовательный резонансный контур следует применять в случае выполнения соотношения .
а) б) в)
Рисунок 12.7
Резонансные цепи используются для избирательного реагирования на сигналы заданной частоты при одновременном различении сигналов разных частот. Если характеристика схемы имеет более узкий пик около выбранной частоты, мы говорим, что схема имеет более высокую «избирательность». «Фактор качества» Q, как описано ниже, является мерой этой избирательности, и мы говорим о схеме, имеющей «высокую добротность», если она является более узкоселективной.
Поскольку эта ширина оказывается равной Δω = R / L, значение Q также можно выразить как Q — это обычно используемый параметр в электронике, значения которого обычно находятся в диапазоне от Q = 10 до 100 для схемных приложений. | Index Цепи переменного тока Ссылка |
Резонанс в цепях серии R-L-C (со схемой)
В этой статье мы обсудим последовательный и параллельный резонанс в цепях R-L-C.
Резонанс определяется инженерными ситуациями, в которых используются энергонакопительные элементы, подверженные форсирующей функции переменной частоты. В частности, резонанс — это термин, используемый для описания установившейся работы цепи или системы на той частоте, для которой результирующий отклик совпадает по временной фазе с функцией источника, несмотря на наличие элементов накопления энергии.
Резонанс не может иметь место, когда присутствует только один тип элемента, накапливающего энергию, e.г., емкостное или пружинное. Должны существовать два типа независимых аккумулирующих энергию элементов, способных обмениваться энергией между собой — например, индуктивность и емкость или масса и пружина. Таким образом, резонанс — это явление, обнаруживаемое в любой системе, включающей два независимых элемента накопления энергии, будь то электрический, механический, пневматический, гидравлический или любой другой.
Если у нас есть цепь переменного тока, имеющая сопротивление R, индуктивность L и емкость C, соединенные последовательно (рис. 6.1), и прикладываем небольшое напряжение V от источника, который может поддерживать величину V постоянной, но может изменять ее частоты, мы обнаруживаем, что величина тока, потребляемого от источника питания, изменяется с изменением частоты источника питания.Будет такое значение частоты, при котором ток будет максимальным. Говорят, что при достижении этого состояния возникает электрический резонанс.
В этой статье мы обсудим это явление (точнее, последовательный резонанс или резонанс напряжения), а также ситуацию, когда на параллельную цепь подается постоянное напряжение переменной частоты. Самая простая параллельная цепь, встречающаяся на практике, представляет собой катушку, имеющую сопротивление R и индуктивность L, включенную параллельно конденсатору C.Резонансное состояние в этом случае называется параллельным резонансом, а иногда и антирезонансным. Последнее название подсказано тем, что при резонансе входной ток в параллельную цепь минимален.
В условиях резонанса такая сеть становится полностью резистивной по своим воздействиям, и напряжение и ток в сети синфазны. Чтобы это произошло, индуктивное реактивное сопротивление и емкостное реактивное сопротивление должны быть уравновешены.
Серия
или резонанс напряжения в цепях R-L-C :Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую сопротивление R, индуктивность L и емкость C, соединенные последовательно, как показано на рис.6.1.
Если для некоторой частоты приложенного напряжения, X L = X C по величине, то:
(i) Чистое реактивное сопротивление равно нулю, т.е. X = 0
(ii) Импеданс цепи, Z = R
(iii) Ток, протекающий по цепи, является максимальным и синфазным с приложенным напряжением. Величина тока будет равна
В / Р.(iv) Падение напряжения на индуктивности равно падению напряжения на емкости и составляет максимум
.(v) Коэффициент мощности равен единице, а
(vi) Затраченная мощность = VI Вт.
Когда это условие существует, считается, что цепь находится в резонансе, а частота, на которой это происходит, называется резонансной частотой.
Из приведенного выше выражения очевидно, что значение резонансной частоты зависит от параметров двух энергонакопительных элементов.
Фазорные диаграммы для последовательной цепи RLC, показанной на рис. 6.1, на трех разных частотах, т.е. (a) f
Для любой частоты ниже, чем резонансная частота f r , индуктивное реактивное сопротивление X L меньше, чем емкостное реактивное сопротивление X C , и поэтому схема ведет себя как емкостная цепь. Точно так же для любой частоты выше резонансной индуктивное реактивное сопротивление больше емкостного реактивного сопротивления, поэтому цепь ведет себя как индуктивная цепь.
Когда частота приложенного напряжения равна резонансной частоте, индуктивное реактивное сопротивление равно емкостному реактивному сопротивлению, падение напряжения на катушке индуктивности по величине равно падению напряжения на конденсаторе, но противоположно по фазе и, следовательно, ток в цепи I находится в фазе с приложенным напряжением i.е., схема ведет себя как резистивная цепь.
Когда цепь находится в резонансе, ток слишком велик и вызывает большое падение напряжения на индуктивности и емкости, которые будут равны по величине, но противоположны по фазе, и каждое из них может быть в несколько раз больше, чем приложенное напряжение. Если бы в цепи не было сопротивления R, такая цепь действовала бы как короткое замыкание на токи с частотой, с которой она резонирует.
Поскольку в этом резонансе напряжение максимальное, он называется резонансом напряжения.Последовательный резонанс также называется цепью акцептора, потому что такая цепь принимает токи на одной конкретной частоте, но отклоняет токи других частот. Такие схемы используются в радиоприемниках.
Графическое представление резонанса в цепи серии R-L-C:
Схема может быть сделана резонансной двумя способами, а именно:
(i) Путем изменения параметров L и C (одного или обоих) при постоянной частоте питания или
(ii) Изменяя частоту подачи / с параметрами L и C постоянными.В нашем исследовании явления последовательного резонанса мы будем поддерживать напряжение, приложенное к цепи, и параметры L и C постоянными, а частоту будем изменять.
Сопротивление цепи R не зависит от частоты питания и, следовательно, остается постоянным. Это было представлено прямой линией, параллельной оси X (или оси частот) на рисунке (рис. 6.3). Индуктивное реактивное сопротивление X L , равное ωL, увеличивается прямо пропорционально частоте питающей сети и представлено прямой линией, проходящей через начало координат (поскольку X L считается положительным, поэтому он лежит в первом квадранте).Емкостное реактивное сопротивление, равное 1 / ωC, уменьшается обратно пропорционально увеличению частоты и представлено прямоугольной гиперболой, лежащей в четвертом квадранте ниже оси частот (емкостное реактивное сопротивление считается отрицательным).
Чистое реактивное сопротивление — это разница индуктивного реактивного сопротивления X L и емкостного реактивного сопротивления X C , и кривая, проведенная между чистым реактивным сопротивлением (X L ~ X C ) и частотой будет гиперболой (не прямоугольной). как показано на рис.6.3. Частота, при которой кривая реактивного сопротивления пересекает ось частот, называется резонансной частотой, f r (или f 0 ).
Полное сопротивление цепи Z, равное √R 2 + (x L — X c ) 2 , минимально на резонансной частоте f r .
На частотах ниже резонансной частоты f r полное сопротивление Z велико и емкостное, поскольку X C > X L , а коэффициент мощности является ведущим, а на частотах выше резонансной частоты f r полное сопротивление Z равно снова большой, но индуктивный, так как X L > X C и коэффициент мощности отстает.Коэффициент мощности имеет максимальное значение, равное единице на резонансной частоте.
Резонансная кривая:
Ток изменяется обратно пропорционально изменению импеданса и, следовательно, он максимален на резонансной частоте, когда импеданс минимален, и уменьшается с изменением частоты по обе стороны от резонансной частоты (поскольку полное сопротивление Z велико), как показано на рис. 6.4.
Кривая, проведенная между током в цепи и частотой приложенного напряжения, называется резонансной кривой, и ее форма зависит от значения сопротивления цепи R, как показано на рисунке. Для меньших значений R резонансная кривая имеет резкий пик, но для больших значений R кривая пологая (рис.6.4).
Избирательность и пропускная способность:
Мы видели, что для цепи с низким сопротивлением резонансная кривая имеет резкий пик, и такая цепь называется резко резонансной или высокоселективной. С другой стороны, цепь с высоким сопротивлением имеет плоскую кривую резонанса и, как говорят, имеет плохую селективность. Селективность различных резонансных контуров сравнивается с точки зрения их ширины полосы частот, которая задается полосами частот, которые лежат между двумя точками по обе стороны от резонансной частоты, где ток в 1 / √2 раза больше максимального тока I max .
Ширина полосы, Δ f = f 2 — f 1 … (6.2)
Фактическая потребляемая мощность на частотах f 1 и f 2 :
Вот почему частоты f 1 и f 2 на границах полосы пропускания называются точками половинной мощности на шкале частот, а соответствующее значение ширины полосы обозначается как ширина полосы половинной мощности (B hp ) или полосы пропускания -3 дБ.
Следует отметить следующие моменты относительно точек половинной мощности:
Коэффициент качества последовательной резонансной цепи:
Добротность последовательной цепи R-L-C может быть определена любым из следующих способов:
Может быть задано как увеличение напряжения, которое цепь создает при резонансе.Мы видели, что в резонансе ток в цепи максимален и равен V / R или напряжению питания, V = I max R.
В случае последовательного резонанса более высокое значение добротности означает не только большее увеличение напряжения, но и более высокую селективность настроечной катушки, поэтому необходимо, чтобы катушка имела высокую индуктивность и низкое сопротивление.
Фактически, добротность последовательного резонансного контура может быть определена как отношение резонансной частоты к ширине полосы:
Ток или параллельный резонанс в цепях R-L-C:
Когда индуктивное реактивное сопротивление и емкостное реактивное сопротивление соединены параллельно, как показано на рис.6.8, могут достигаться условия, при которых будет иметь место резонанс тока (также известный как параллельный или антирезонансный). Рассмотрим практический случай подключения змеевика параллельно конденсатору, как показано на рис. 6.8. Пусть катушка имеет сопротивление R Ом и индуктивность L генри, а конденсатор — сопротивление R Ом и емкость C фарад.
Считается, что такая цепь находится в электрическом резонансе, когда реактивная (или не имеющая мощности) составляющая сетевого тока становится равной нулю. Частота, на которой это происходит, называется резонансной частотой.
Цепь будет в электрическом резонансе, если реактивная составляющая тока ветви RL, I R — L sin ɸ R — L = Реактивная составляющая тока ветви RC, I R — C sin ɸ R — c
Резонансный ток:
Предполагая, что R 1 = 0, как обычно, на резонансной частоте:
Знаменатель L / CR известен как эффективное или эквивалентное динамическое сопротивление параллельной цепи CR при резонансе.
Важные сведения о токовом или параллельном резонансе :
1. Подвижность нетто равна нулю, т.е. 1 / X C = X L / X Z или ω r C = ω r L / Z 2 или Z = √L / C
2. Допуск равен проводимости.
3. Реактивная составляющая линейного тока равна нулю, следовательно, коэффициент мощности цепи равен единице.
4. Импеданс чисто резистивный, максимальный по величине и равен L / CR.
5. Линейный ток минимален, равен величине V / L / CR и находится в фазе с приложенным напряжением.
6. Частота равна 1 / 2π √1 / LC — R 2 / L 2 Гц.
Примечание:
Параллельный резонансный контур иногда называют цепью рефлектора, потому что на резонансной частоте линейный ток минимален или почти отклоняется.
Поскольку в параллельных резонансных цепях циркулирующий ток между ветвями во много раз превышает линейный ток, такой тип резонанса иногда называют токовым резонансом.
Индуктивная катушка с индуктивностью L, включенная параллельно емкости C, называется баковой цепью.
Графическое представление тока или параллельного резонанса:
Теперь мы обсудим влияние изменения частоты на сопротивляемость двух параллельных ветвей. Варианты показаны на рис. 6.10.
Индуктивная проводимость, равная 1 / ω L или 1 / 2π f L, уменьшается обратно пропорционально увеличению частоты и представлена прямоугольной гиперболой, лежащей в четвертом квадранте ниже оси частот (индуктивная проводимость считается отрицательной).
Емкостная проводимость, равная ωC или 2π f C, увеличивается прямо пропорционально частоте питающей сети и представлена прямой линией, проходящей через начало координат. Поскольку емкостная восприимчивость считается положительной, значит, она находится в первом квадранте.
Чистая проводимость B — это разность емкостной и индуктивной проводимости, а кривая, проведенная между чистой проводимостью и частотой приложенного напряжения, представляет собой гиперболу (не прямоугольную), как показано на рис.6.10.
Частота, при которой кривая чистой проводимости пересекает ось частот, называется резонансной частотой. В этой точке полное сопротивление максимальное или полное сопротивление минимальное и равно G, следовательно, линейный ток минимален.
Очевидно, что на частоте ниже резонансной индуктивная проводимость больше, чем емкостная, следовательно, цепь является индуктивной, и линейный ток отстает от приложенного напряжения. Но для частот, превышающих резонансную частоту, преобладает емкостная восприимчивость, следовательно, цепь является емкостной, и линейный ток опережает приложенное напряжение.
Если сопротивление относительно низкое, ток значительно упадет на резонансной частоте, а если сопротивление велико, уменьшение тока будет менее выраженным, как показано на рис. 6.11.
Полоса пропускания в случае параллельной резонансной цепи:
Полоса пропускания в случае параллельной цепи определяется так же, как и в случае последовательной цепи. В этом случае также есть верхняя и нижняя точки половинной мощности, где потребляемая мощность составляет половину от резонансной частоты.
На частотах полосы пропускания чистая проводимость B равна проводимости G. Таким образом, на частоте f 1 чистая проводимость B L1 — B C1 = G и на частоте f 2 , B C2 — B L2 = G. Таким образом, проводимость Y = √G 2 + B 2 = √2 G и фазовый угол ɸ = tan -1 1 = 45˚ или π / 4 радиан.
Q-фактор или текущий коэффициент увеличения:
Добротность параллельной цепи определяется как отношение циркулирующего тока к линейному току или как увеличение тока.
22,8 Резонанс
22,8 РезонансПеременный ток
f o =f o известен как резонансная частота схема. На резонансной частоте в электрическая система, амплитуда тока становится максимум .
При изменении частоты — увеличении или уменьшении — от резонансной частоты ток уменьшается, как показано здесь.
В резонансе с (X L — X C ) термин в этом уравнение,
I = V / Z =равно ноль , текущий определяется исключительно сопротивлением
Я res = V / R, поэтому ток при резонансе будет больше в цепи с малое сопротивление и будет меньше в цепи с большим сопротивление.
Так как мощность, используемая в цепи, равна
P = I 2 Rмощность тоже очень сильно зависит от частоты.График мощности в зависимости от частоты похожи на ток в зависимости от частотный график рисунка выше.
Когда вы настраиваетесь на радиостанцию, вы, вероятно, вращаете переменный конденсатор. как мы видели в классе.
При изменении емкости C цепи настройки резонансная частота схемы
f o =изменен. Антенна приемника действует как источник переменного тока. с одновременным наложением всевозможных частот.В напряжение, называемое сигналом, которое он обеспечивает при этом резонансе частота f o обеспечит относительно большой ток который предоставляет программу, которую вы слушаете. Напряжения — или сигналы — на других частотах будут давать очень слабый ток. Чувствительность схемы настройки напрямую связана с «резкость» его резонансной кривой, как показано на рисунке выше.
c) Дуг Дэвис, 2002 год; все права защищены
ECE 291 Лаборатория 8: Резонансные схемы
ЗАДАЧИ
Демонстрация резонансных явлений в цепях RLC.Измерения резонанса характеристики и их сравнение с теорией.
ВВЕДЕНИЕ
Резонанс — одно из важнейших и общих явлений практически во всех отраслях науки и техники. Например, в механических системах часто наблюдается резонанс при колебаниях балки или пружины, поддерживающей груз. Вибрации вызываются передачей потенциальной энергии, накопленной за счет отклонения балки или сжатия пружины, кинетической энергии движущейся массы, вперед и назад в периодическом движении.В электрических цепях энергия, накопленная в виде электрического поля в конденсаторе, передается электрическому току в цепи, в которой индуктивность играет роль, эквивалентную инерционной массе в механической системе. Уравнения, описывающие оба резонанса, идентичны, только их коэффициенты имеют значения, связанные с механическими (масса, жесткость пружины) или электрическими (емкость, индуктивность) параметрами. Еще одна важная аналогия между двумя системами заключается в том, что вибрации можно гасить; трением в механических системах и сопротивлением в электрических цепях.
Резонанс может быть очень полезен в таких устройствах, как генераторы в радиопередатчиках или электронных часах. Однако чаще они могут быть вредными, вызывая нежелательные широкие отклонения механических систем (мостов, крыльев самолетов и т. Д.) Или колебания напряжения и тока. Контроль или предотвращение нежелательного резонанса — важный аспект инженерного проектирования. Поскольку каждый электрический компонент или даже соединительный провод имеет некоторую емкость и индуктивность, в каждой цепи есть потенциал для резонанса.Как вы уже знаете, чем меньше значения индуктивности и емкости, тем выше резонансная частота. Поэтому проектирование высокочастотных цепей намного сложнее, ведь даже небольшая индуктивность и емкость соединений играют роль. В этом наборе экспериментов вы исследуете резонанс в последовательном RLC-контуре, который имеет резонанс в относительно низком и легком для обработки частотном диапазоне.
| Важные взаимосвязи в электрическом резонансе: |
Частота резонанса: |
Пропускная способность: |
Фактор качества: |
PRELAB
Изобразите так называемую резонансную кривую для последовательного резонансного контура на рис.7. Отложите по вертикальной оси ток (или напряжение на резисторе R) и логарифм f по горизонтальной оси. Укажите резонансную частоту f o и ширину резонансной кривой (полосы пропускания), которая представляет собой интервал Δf = 2πΓ между две частоты, при которых мощность, рассеиваемая в цепи, составляет ½ от максимум. Рассчитайте эти числа для конкретных значений компонентов, которые вы можно использовать в лаборатории, например: R = 1k, C = 1nF, L = 50 mH.
Подсказка: Обратите внимание, что три компоненты соединены последовательно с источником напряжения, поэтому легко написать выражение для тока (с использованием комплексных чисел). Ток достигает максимума (резонанс) для определенной частоты, при которой полное сопротивление цепи равно равно R (какова фаза тока на этой частоте?). При половинной мощности частот ток падает до 1 / √2.
Если у вас есть выражение для тока, вы можете использовать его в программе для работы с электронными таблицами (например, MS Excel) или использовать какое-либо другое программное обеспечение (например, Matlab) для расчета и построения кривой резонанса (соотношение V R / V s как функция от log f ).Он также понадобится вам для вашего отчета.
В качестве альтернативы вы можете смоделировать работу схемы с помощью Multisim. Распечатайте кривую частотной характеристики, используя полулогарифмический график для компонентов R, L и C, указанных выше. Для лабораторного отчета измените моделирование с фактическими значениями компонентов, используемых в лаборатории.
Независимо от метода создания резонансной кривой (ваши собственные расчеты или Multisim), определите количество точек данных и их местоположение (частоту) для лучшего определения резонансной частоты и ширины полосы.
ЛАБОРАТОРИЯ
Необходимое оборудование со склада: Протоборд, поводки, прицел зонды.
1. СЕРИЙНАЯ РЕЗОНАНСНАЯ ЦЕПЬ, ПРИВОДИМОЙ СИНУСОИДНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
a) Соберите последовательный резонансный контур, показанный ниже. Используйте катушку 50 мГн из вашего комплекта деталей для L, выберите резистор примерно 1 кОм и конденсатор от 1 до нескольких нФ. Перед сборкой измерьте значения этих компонентов. Также измерьте сопротивление катушки с помощью цифрового омметра.Рассчитайте ожидаемую резонансную частоту.
Рис.7 Последовательный резонансный контур
b) Подсоедините один пробник осциллографа к источнику напряжения, другой — к R и одновременно наблюдайте за двумя сигналами на разных каналах осциллографа. Обратите внимание на амплитуды и разность фаз при изменении частоты. Если амплитуда напряжения генератора зависит от частоты, вы можете отрегулировать ее, чтобы она оставалась постоянной, в противном случае запишите ее значения для разных частот.Получите достаточное количество точек данных для построения резонансной кривой. Постарайтесь точно определить резонансную частоту на пике кривой и частоты в точках половинной мощности по обе стороны от максимума. Измерьте также фазовый сдвиг между V s и V R на этих трех частотах и нескольких других частотах по обе стороны от максимума. Обычно легче точно определить резонансную частоту по измерению фазы, чем по амплитуде.c) Измерьте также напряжение на конденсаторе в резонансе, используя функцию вычитания сигналов цифрового осциллографа, которая вычитает сигналы двух каналов осциллографа. Обратите внимание, что оно больше, чем напряжение генератора. Отношение этих напряжений равно значению Q схемы.
2. РЕЗОНАНСНАЯ ЦЕПЬ ВОЗБУЖДАЕТСЯ СТУПЕНЬ НАПРЯЖЕНИЕ
Переключите генератор сигналов с синусоидальной волны на прямоугольную на резонансной частоте контура.Какова форма текущего сигнала? Вы можете объяснить это наблюдение?
Затем отрегулируйте частоту прямоугольной волны примерно до одной десятой резонансной частоты контура. Разверните изображение по горизонтали и наблюдайте за формой сигнала после шага входного сигнала. Распечатайте изображение осциллографа. Вы можете определить частоту колебаний?
Изображение показывает реакцию любой резонансной системы на внешнее возмущение, представленное здесь импульсом (прямоугольной волной).
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦЕПИ (дома).
Моделирование измерений 1 и 2: частотная характеристика амплитуды и фазы и временная зависимость тока с прямоугольным входом. Используйте те же значения R, L и C при моделировании, что и в лаборатории. Сравните результаты моделирования с измерениями.
ОТЧЕТ
- Постройте графики резонансных кривых, показывающих амплитуду (график V R / V S ) и фаза ( ∠ V R — ∠ V S ).Представьте расчетные (смоделированные) результаты в виде непрерывных кривых, а экспериментальные данные — в виде точек на одном графике.
- Сравните измеренные значения резонансной частоты и ширины резонансных кривых при максимуме половинной мощности (ширина полосы) со значениями, рассчитанными или смоделированными для компонентов схем, фактически используемых в лаборатории.
Как изменяется фаза на резонансной кривой? - Сравните результаты п. 1 c) с вычисленным Q и Γ, полученным из частотного распределения в 1 b).
12.5 Резонанс в цепи переменного тока — Введение в электричество, магнетизм и схемы
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
К концу раздела вы сможете:
- Определите пиковую резонансную угловую частоту переменного тока для цепи RLC
- Объясните ширину кривой зависимости средней мощности от угловой частоты и ее значение, используя такие термины, как полоса пропускания и коэффициент качества
В последовательной схеме рисунка 12.3.1, амплитуда тока из уравнения 12.3.2 равна
(12.5.1)
Если мы можем изменять частоту генератора переменного тока, сохраняя при этом постоянную амплитуду его выходного напряжения, то ток изменится соответствующим образом. График зависимости показан на рисунке 12.5.1.
(рисунок 12.5.1)
Рисунок 12.5.1 На резонансной частоте цепи амплитуда тока находится на максимальном значении.Рисунок 12.5.1 имеет вид, аналогичный графику изменения амплитуды затухающего гармонического осциллятора в зависимости от угловой частоты синусоидальной движущей силы.Это сходство — больше, чем просто совпадение, как показывает применение правила петли Кирхгофа к схеме на рис. 12.3.1. Это дает
(12.5.2)
или
, где мы заменили уравнение 12.5.2, имеет общую форму дифференциального уравнения для затухающего гармонического движения, демонстрируя, что ведомая последовательная цепь является электрическим аналогом ведомого затухающего гармонического генератора.
Резонансная частота цепи — это частота, на которой амплитуда тока максимальна, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения.При осмотре это соответствует угловой частоте, при которой полное сопротивление в уравнении 12.5.1 является минимальным, или когда
и
(12.5.3)
Это резонансная угловая частота контура. Подставляя ω0ω0 в уравнения 12.3.1, 12.3.2 и 12.3.3, мы находим, что при резонансе
Следовательно, в резонансе цепь является чисто резистивной, с приложенной ЭДС и током в фазе.
Что происходит с мощностью при резонансе? Уравнение 12.4.3 говорит нам, как средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока к комбинации, изменяется в зависимости от частоты. Кроме того, достигает максимума, когда, зависящее от частоты, является минимумом, то есть когда и Таким образом, при резонансе средняя выходная мощность источника в последовательной цепи является максимальной. Из уравнения 12.4.3 этот максимум составляет
.Рисунок 12.5.2 представляет собой типичный график зависимости максимальной выходной мощности.Ширина полосы резонансного пика определяется как диапазон угловых частот, в котором средняя мощность превышает половину максимального значения. Резкость пика описывается безразмерной величиной, известной как коэффициент качества схема. По определению
(12.5.4)
где — резонансная угловая частота. Высокий указывает на резкий пик резонанса. В параметрах схемы мы можем дать
(12.5.5)
(рисунок 12.5.2)
Рисунок 12.5.2 Подобно току, средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока в цепь, достигает пика на резонансной частоте.Резонансные цепи обычно используются для пропуска или отклонения выбранных частотных диапазонов. Это делается путем регулировки значения одного из элементов и, следовательно, «настройки» схемы на определенную резонансную частоту. Например, в радиоприемнике приемник настраивается на желаемую станцию путем регулировки резонансной частоты его схемы в соответствии с частотой станции.Если схема настройки имеет высокий уровень, она будет иметь небольшую полосу пропускания, поэтому сигналы от других станций на частотах, даже немного отличающихся от резонансной частоты, сталкиваются с высоким импедансом и не проходят через схему. Сотовые телефоны работают аналогичным образом, передавая сигналы от окружающих, которые настраиваются цепью индуктивности и конденсатора. Одним из наиболее распространенных применений конденсаторов является их использование в цепях синхронизации переменного тока, основанное на достижении резонансной частоты. Металлоискатель также использует сдвиг резонансной частоты при обнаружении металлов (Рисунок 12.5.3).
(рисунок 12.5.3)
Рисунок 12.5.3 Когда металлоискатель приближается к куску металла, самоиндукция одной из его катушек изменяется. Это вызывает сдвиг резонансной частоты цепи, содержащей катушку. Этот сдвиг фиксируется схемой и передается дайверу через наушники.ПРИМЕР 12.5.1
Резонанс в последовательной цепи
(а) Какова резонансная частота цепи из Примера 12.2.1? (b) Если генератор переменного тока настроен на эту частоту без изменения амплитуды выходного напряжения, какова амплитуда тока?
Стратегия
Резонансная частота цепи рассчитывается по уравнению 12.5.3, которое получается из баланса между реактивными сопротивлениями конденсатора и катушки индуктивности. Поскольку цепь находится в резонансе, полное сопротивление равно сопротивлению. Затем максимальный ток рассчитывается делением напряжения на сопротивление.
Решение
а.Резонансная частота находится из уравнения 12.5.3:
.г. В резонансе сопротивление цепи чисто резистивное, а амплитуда тока равна
.Значение
Если бы цепь не была настроена на резонансную частоту, нам потребовалось бы полное сопротивление всей цепи для расчета тока.
ПРИМЕР 12.5.2
Передача мощности в цепи серии
RLC при резонансе(а) Какова резонансная угловая частота контура с и? (b) Если на эту частоту установлен источник переменного тока постоянной амплитуды, какова средняя мощность, передаваемая в цепь? (c) Определите полосу пропускания этой цепи.
Стратегия
Резонансная угловая частота рассчитывается по уравнению 12.5.3. Средняя мощность рассчитывается на основе действующего напряжения и сопротивления в цепи. Добротность рассчитывается по уравнению 12.5.5, зная резонансную частоту. Полоса пропускания рассчитывается по уравнению 12.5.4 и с учетом коэффициента качества.
Решение
а. Резонансная угловая частота
г. На этой частоте средняя мощность, передаваемая в цепь, является максимальной.Это
г. Добротность схемы
Затем находим для пропускной способности
Значение
Если требуется более узкая полоса пропускания, могут помочь более низкое сопротивление или более высокая индуктивность. Однако более низкое сопротивление увеличивает мощность, передаваемую в схему, что может быть нежелательно, в зависимости от максимальной мощности, которая может быть передана.
ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 12.6
ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 12.7
Что происходит с резонансной частотой последовательной цепи, когда следующие величины увеличиваются в раз: (а) емкость, (б) самоиндукция и (в) сопротивление?
ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 12.8
Резонансная угловая частота последовательной цепи: Источник переменного тока, работающий на этой частоте, передает в цепь среднюю мощность в. Сопротивление цепи: Напишите выражение для ЭДС источника.
Кандела Цитаты
Лицензионный контентCC, особая атрибуция
- Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]. Получено с : http://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution
Полоса пропускания резонансных цепей | GBC Electronics Technician
Важным свойством резонансного контура является его полоса пропускания.Полоса пропускания определяется как размер частотного диапазона, который пропускается или отклоняется настроенной схемой. Чтобы лучше понять пропускную способность, давайте рассмотрим радио. Когда вы включаете радио и пытаетесь выбрать радиостанцию, вы используете характеристики полосы пропускания схемы настройки в радио для выбора вашей конкретной станции. Другое название схемы настройки — резонансная схема . Резонансный контур имеет определенную частоту и полосу пропускания, и мы используем их в радиоприемнике.
Резонанс может быть получен как в последовательных, так и в параллельных цепях, содержащих три электрические характеристики, а именно: сопротивление, индуктивность и емкость. Резонансный контур ниже состоит из резистора, катушки индуктивности и конденсатора, включенных последовательно с измерителем тока и источником напряжения. Источник напряжения, представленный символом переменного тока, также имеет переменную частоту. Чаще всего мы используем одно конкретное напряжение переменного тока: 120 вольт 60 Гц, но в этом случае мы очень заинтересованы в том, чтобы частота была переменной, поэтому это было бы какое-то значение, отличное от 60 Гц.
Ток в цепи можно измерить с помощью измерителя или, мы могли бы вычислить ток, используя форму закона Ома, а именно — ток (I) равен приложенному напряжению (E) , разделенному на полное сопротивление или полное противодействие в цепи (Z) , т.е. Ток = Напряжение / Импеданс, I = E / Z . Последовательно-резонансный контур обеспечивает низкое сопротивление протеканию тока определенной частоты.Схема называется резонансной, когда частота приложенного напряжения регулируется для получения максимального тока, в то время как величина напряжения остается постоянной. Частота этого напряжения и тока называется резонансной частотой и определяется как частота, на которой данная система или объект будет реагировать с максимальной амплитудой.
ИмпедансВ последовательной RLC-сети полное сопротивление определяется уравнением:
При этом учитывается сопротивление резистора (сопротивление R ), сопротивление катушки индуктивности ( индуктивное сопротивление или X L ) и сопротивление конденсатора ( емкостное реактивное сопротивление или X C ).Как показано на графике ниже, полное сопротивление цепи переменного тока зависит от частоты. Индуктивное реактивное сопротивление прямо пропорционально частоте, если частота, прикладываемая к цепи, увеличивается, будет увеличение X L . С другой стороны, емкостное реактивное сопротивление обратно пропорционально частоте, поэтому с увеличением частоты значение X C уменьшается. Связь между частотой и реактивным сопротивлением выражается уравнениями:
На более низкой частоте наибольшее сопротивление составляет X C или емкостное реактивное сопротивление, а на более высоких частотах сопротивление в основном составляет X L или индуктивное реактивное сопротивление.На резонансной частоте (f r ) индуктивное и емкостное реактивные сопротивления компенсируют друг друга, оставляя только сопротивление, препятствующее прохождению тока. Когда схема имеет равные значения индуктивного и емкостного сопротивления, она имеет тенденцию отклонять сигналы, частоты которых удалены от резонансной частоты. Другими словами, он будет отклонять сигналы, которые находятся либо выше, либо ниже частоты, вызывающей резонанс. Поэтому в резонансных цепях одни сигналы выбираются для прохождения, в то время как другие отклоняются или блокируются, и этот сигнал называется полосой частот.
Пропускная способностьКривая отклика для тока в зависимости от частоты ниже показывает, что ток максимален или 100% на резонансной частоте (f r ) . Полоса пропускания (BW) резонансного контура определяется как общее количество циклов ниже и выше резонансной частоты, для которых ток равен или превышает 70,7% от его резонансного значения . Две частоты на кривой равны 0.707 единиц максимального тока называются полосой или частотами половинной мощности. Эти частоты обозначены на кривой как f1 и f2 и часто называются критическими частотами или частотами отсечки резонансного контура.
Резонансная частота может быть определена из критических частот по следующему уравнению:
или
Полоса пропускания может быть выражена математически как:
Другая формула, используемая для расчета полосы пропускания: , где коэффициент добротности является мерой качества резонансного контура, представленного буквой Q .Коэффициент добротности рассчитывается по формуле:
Вернемся к примеру с радио. Когда мы настраиваемся на радиостанцию, мы настраиваем резонансную частоту цепи в соответствии с частотой несущего сигнала от радиостанции. В то же время мы согласовываем полосу пропускания с музыкой и звуком, которые передаются по несущему сигналу радиостанции.
Мы надеемся, что это было полезно для вас, как для технического специалиста, или для студента, приступившего к работе.Если у вас есть какие-либо вопросы о программах по электронике или электромеханику, вы можете связаться с одним из наших консультантов по программе по бесплатному телефону 1-888-553-5333 или по электронной почте [email protected].
15.5 Резонанс в цепи переменного тока — University Physics Volume 2
Learning Objectives
К концу раздела вы сможете:- Определите пиковую резонансную угловую частоту переменного тока для цепи RLC
- Объясните ширину кривой зависимости средней мощности от угловой частоты и ее значение, используя такие термины, как полоса пропускания и коэффициент качества
В последовательной цепи RLC , показанной на Рисунке 15.11, амплитуда тока из уравнения 15.10 равна
I0 = V0R2 + (ωL − 1 / ωC) 2. I0 = V0R2 + (ωL − 1 / ωC) 2.15,15
Если мы можем изменять частоту генератора переменного тока, сохраняя при этом постоянную амплитуду его выходного напряжения, то ток изменится соответствующим образом. График зависимости I0I0 от ωω показан на рисунке 15.17.
Рисунок 15.17 На резонансной частоте контура RLC , ω0 = 1 / LC, ω0 = 1 / LC, амплитуда тока находится на максимальном значении.В «Колебаниях» мы встретили похожий график, на котором амплитуда затухающего гармонического осциллятора была построена в зависимости от угловой частоты синусоидальной движущей силы (см. «Принудительные колебания»).Это сходство — больше, чем просто совпадение, как было показано ранее применением правила петли Кирхгофа к схеме на рис. 15.11. Это дает
Ldidt + iR + qC = V0sinωt, Ldidt + iR + qC = V0sinωt,15,16
.или
Ld2qdt2 + Rdqdt + 1Cq = V0sinωt, Ld2qdt2 + Rdqdt + 1Cq = V0sinωt,, где мы заменили dq (t) / dt на i (t). Сравнение уравнения 15.16 и, из «Колебаний», «Затухающие колебания» для затухающего гармонического движения ясно демонстрирует, что управляемая последовательная цепь RLC является электрическим аналогом управляемого затухающего гармонического генератора.
Резонансная частота f0f0 цепи RLC — это частота, при которой амплитуда тока является максимальной, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения. При осмотре это соответствует угловой частоте ω0 = 2πf0ω0 = 2πf0, при которой импеданс Z в уравнении 15.15 является минимальным, или когда
и
Это резонансная угловая частота контура. Подставляя ω0ω0 в уравнение 15.9, уравнение 15.10 и уравнение 15.11, находим, что при резонансе
ϕ = tan − 1 (0) = 0, I0 = V0 / R и Z = R. ϕ = tan − 1 (0) = 0, I0 = V0 / R и Z = R.Следовательно, в резонансе цепь RLC является чисто резистивной, с приложенной ЭДС и током в фазе.
Что происходит с мощностью при резонансе? Уравнение 15.14 говорит нам, как средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока комбинации RLC , изменяется в зависимости от частоты. Кроме того, PavePave достигает максимума, когда Z , который зависит от частоты, является минимумом, то есть когда XL = XCandZ = R.XL = XC и Z = R. Таким образом, в резонансе средняя выходная мощность источника в последовательной цепи RLC является максимальной. Из уравнения 15.14 этот максимум составляет Vrms2 / R.Vrms2 / R.
Рисунок 15.18 представляет собой типичный график зависимости PavePave от ωω в области максимальной выходной мощности. Ширина полосы ΔωΔω резонансного пика определяется как диапазон угловых частот ωω, в котором средняя мощность PavePave превышает половину максимального значения Pave.Pave. Резкость пика описывается безразмерной величиной, известной как добротность Q схемы.По определению
Q = ω0Δω, Q = ω0Δω,15,18
где ω0ω0 — резонансная угловая частота. Высокое значение Q указывает на резкий пик резонанса. Мы можем дать Q в терминах параметров схемы как
Рисунок 15.18 Как и ток, средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока в цепь RLC , достигает пика на резонансной частоте.
Резонансные цепи обычно используются для пропуска или отклонения выбранных частотных диапазонов. Это делается путем регулировки значения одного из элементов и, следовательно, «настройки» схемы на определенную резонансную частоту.Например, в радиоприемнике приемник настраивается на желаемую станцию путем регулировки резонансной частоты его схемы в соответствии с частотой станции. Если схема настройки имеет высокое значение Q , она будет иметь небольшую полосу пропускания, поэтому сигналы от других станций на частотах, даже немного отличающихся от резонансной частоты, имеют высокий импеданс и не проходят через схему. Сотовые телефоны работают аналогичным образом, передавая сигналы с частотой около 1 ГГц, которые настраиваются цепью индуктивности и конденсатора.Одним из наиболее распространенных применений конденсаторов является их использование в цепях синхронизации переменного тока, основанное на достижении резонансной частоты. Металлоискатель также использует сдвиг резонансной частоты при обнаружении металлов (рис. 15.19).
Рисунок 15.19 Когда металлоискатель приближается к куску металла, самоиндукция одной из его катушек изменяется. Это вызывает сдвиг резонансной частоты цепи, содержащей катушку. Этот сдвиг фиксируется схемой и передается дайверу через наушники.(кредит: модификация работы Эрика Липпманна, ВМС США)
Пример 15.4
Резонанс в цепи серии
RLC (a) Какова резонансная частота цепи, использующей значения напряжения и LRC, соединенные последовательно из примера 15.1? (b) Если генератор переменного тока настроен на эту частоту без изменения амплитуды выходного напряжения, какова амплитуда тока?Стратегия
Резонансная частота для цепи RLC рассчитывается по уравнению 15.17, что является результатом баланса реактивных сопротивлений конденсатора и катушки индуктивности. Поскольку цепь находится в резонансе, полное сопротивление равно сопротивлению. Затем максимальный ток рассчитывается делением напряжения на сопротивление.Решение
- Резонансная частота находится из уравнения 15.17: f0 = 12π1LC = 12π1 (3,00 × 10–3H) (8,00 × 10–4F) = 1,03 × 102 Гц. f0 = 12π1LC = 12π1 (3,00 × 10–3H) (8,00 × 10–4F) = 1,03 × 102 Гц.
- В резонансе полное сопротивление цепи является чисто резистивным, а амплитуда тока равна I0 = 0.100 В 4,00 Ом = 2,50 × 10–2 А. I0 = 0,100 В 4,00 Ом = 2,50 × 10–2 А.
Значение
Если бы цепь не была настроена на резонансную частоту, нам потребовалось бы полное сопротивление всей цепи для расчета тока.Пример 15,5
Передача мощности в цепи серии
RLC при резонансе (a) Какова резонансная угловая частота цепи RLC с R = 0,200 Ом, R = 0,200 Ом, L = 4,00 × 10–3H, L = 4,00 × 10–3H и C = 2,00 × 10–6F ? C = 2,00 × 10−6F? (b) Если источник переменного тока постоянной амплитуды 4.На эту частоту установлено 00 В. Какова средняя мощность, передаваемая в цепь? (c) Определите Q и полосу пропускания этой цепи.Стратегия
Резонансная угловая частота рассчитывается по уравнению 15.17. Средняя мощность рассчитывается на основе действующего напряжения и сопротивления в цепи. Добротность рассчитывается по уравнению 15.19, зная резонансную частоту. Полоса пропускания рассчитывается по уравнению 15.18 с учетом коэффициента качества.Решение
- Резонансная угловая частота равна ω0 = 1LC = 1 (4,00 × 10–3H) (2,00 × 10–6F) = 1,12 × 104рад / с. ω0 = 1LC = 1 (4,00 × 10–3H) (2,00 × 10–6F) = 1,12 × 104рад / с. с.
- На этой частоте средняя мощность, передаваемая в цепь, является максимальной. это Pave = Vrms2R = [(1/2) (4.00V)] 20.200Ω = 40.0W. Pave = Vrms2R = [(1/2) (4.00V)] 20.200Ω = 40.0W.
- Добротность схемы составляет Q = ω0LR = (1,12 · 104рад / с) (4,00 · 10−3H) 0,200 Ом = 224. Q = ω0LR = (1,12 · 104рад / с) (4,00 · 10−3H) 0,200Ω = 224.
Затем находим для пропускной способности
Δω = ω0Q = 1.12 × 104рад / с224 = 50,0рад / с. Δω = ω0Q = 1,12 × 104рад / с224 = 50,0рад / с.Значение
Если требуется более узкая полоса пропускания, могут помочь более низкое сопротивление или более высокая индуктивность. Однако более низкое сопротивление увеличивает мощность, передаваемую в схему, что может быть нежелательно, в зависимости от максимальной мощности, которая может быть передана.Проверьте свое понимание 15.6
В схеме на рисунке 15.11 L = 2,0 × 10–3H, L = 2,0 × 10–3H, C = 5,0 × 10–4F, C = 5,0 × 10–4F и R = 40 Ом, R = 40 Ом. а) Что такое резонансная частота? (б) Какое сопротивление цепи при резонансе? (c) Если амплитуда напряжения составляет 10 В, что такое и ( t ) в резонансе? (d) Частота генератора переменного тока теперь изменена на 200 Гц.Рассчитайте разность фаз между током и ЭДС генератора.
Проверьте свое понимание 15,7
Что происходит с резонансной частотой последовательной цепи RLC , когда следующие величины увеличиваются в 4 раза: (а) емкость, (б) самоиндукция и (в) сопротивление?
Проверьте свое понимание 15.
