определение, сложение, умножение, скалярное и векторное произведение
В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.
Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.


Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.
Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.
Векторные компоненты
Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.


Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.
Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов Ax, Ay и Az .


Единичный вектор
Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.


Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.


Сложение векторов
Сумма вектора обычно не совпадает с суммой скалярных величин:


Добавление двух или более векторов друг к другу сводится к добавлению их компонентов, то есть проекций на опорные оси. Результирующий вектор называется случайным вектором. Для двух векторов результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Метод параллелограмма.


В случае большего числа векторов результирующий вектор получается путем рисования одного из этих векторов, затем в конце первого вектора мы начинаем второй, в конце второго мы даем начало третьего и так далее. Полученный вектор является вектором, начало которого находится в начале первого из добавленных векторов. и его конец в конце последнего. При изменении порядка сложения результирующий вектор (красный) не меняет длину, направление:




Это правило добавления векторов также действует в трехмерном пространстве:


Умножение вектора на скаляр


Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:


Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.
Скалярное произведение двух векторов
Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью


Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ


B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.
Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.
Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы ех, еY и еz, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:


Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B


мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B


Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:


Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:


Векторное произведение двух векторов
Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.
В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:
- длина
- направление
- начало и конец
Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом


Направление
Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.


Длина
вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.


Начало и конец
Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.
Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.


Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A
В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.


Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.
В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.
При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).


Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:


Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:


Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.
Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта


Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:


Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:


1. | Выражение, содержащее векторы | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Упрощение выражения, содержащего векторы. |
2. | Сумма векторов | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Вычисление суммы векторов, которые отложены на сторонах параллелепипеда. |
3. | Сумма и разность векторов | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Сложение и вычитание векторов. |
4. | Сложение и вычитание векторов | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Отработка простых операций с векторами. |
5. | Арифметические операции с векторами | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Простейшие операции с векторами. |
6. | Выражение вектора суммы | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Выражение вектора суммы через данный вектор. |
7. | Выражение вектора разности | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Выражение вектора разности через данный вектор. |
8. | Выражение с векторами | 2 вид — интерпретация | среднее | 5 Б. | Выполнение арифметических действий с векторами. |
9. | Сложение и вычитание векторов | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Сложение и вычитание нескольких векторов. |
10. | Сумма нескольких векторов | 1 вид — рецептивный | среднее | 3 Б. | Вычисление суммы нескольких векторов. |
11. | Умножение вектора на число | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Нахождение числового коэффициента, выражающего отношение векторов. |
12. | Сложение и умножение на число | 3 вид — анализ | сложное | 10 Б. | Вычисление результата нескольких операций с векторами. |
13. | Арифметические действия с векторами, длина вектора | 3 вид — анализ | сложное | 8 Б. | Вычисление результата нескольких операций с векторами. |
14. | Уравнение с векторами | 3 вид — анализ | сложное | 8 Б. | Нахождение неизвестного слагаемого. |
Операции с векторами, сложение векторов, умножение вектора на действительное число.
Рассмотрим вектор v с начальной точкой в начале координат в любой координатной системе x-y и с конечной точкой в (a,b). Мы говорим, что вектор находится в стандартном положении и ссылаемся на него как на радиус-вектор. Обратите внимание, что пара точек определяет этот вектор. Таким образом, мы можем использовать это для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы имеем в виду вектор, и, чтобы избежать путаницы, как правило, пишут:
Координата a есть скаляром горизонтальной компоненты вектора, и координата b есть скаляром вертикальной компоненты вектора. Под скаляром мы подразумеваем численное количество, а не векторную величину. Таким образом, это рассматривается как компонентная форма v. Обратите внимание, что a и b НЕ вектора и их не надо путать с определением компонента вектора.
Теперь рассмотрим с A = (x1, y1) и C = (x2, y2). Давайте рассмотрим, как найти радиус вектор, эквивалентный . Как Вы видите на рисунке внизу, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся вычитанием координат A из координат C. Таким образом, P = (x2 — x1, y2 — y1) и радиус вектор есть .
Можно показать, что и имеют одну и ту же величину и направление, и поэтому эквивалентны. Таким образом, = = 2 — x1, y2 — y1 >.
Компонентная форма с A = (x1, y1) и C = (x2, y2) есть
= 2 — x1, y2 — y1 >.
Пример 1 Найдите компонентную форму если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).
Решение Мы имеем
= = .
Обратите внимание, что вектор есть равным радиус-вектору , как показано на рисунке вверху.
Теперь, когда мы знаем, как записать вектор в компонентной форме, давайте изложим некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = 1, v2 >, мы имеем
|v|2 = v21 + v22 Используя теорему Пифагора
|v| = √v21 + v22.
Длина, или величина ветктора v = 1, v2 > находится как |v| = √v21 + v22.
Два вектора равны или эквивалентны, если они имеют одну и ту же величину и одно и то же направление.
Пусть u = 1, u2 > и v = 1, v2 >. Tогда
1, u2 > = 1, v2 > только если u1 = v1 and u2 = v2.
Операции с векторами
Чтобы умножить вектор V на положительное число, мы умножаем его длину на это число. Его направление остается прежним. Когда вектор V умножается на 2, например, его длина увеличивается в два раза, но его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а направление остается прежним. Чтобы умножить вектор V на отрицательное действительное число, умножаем его длину на это число и изменяем направление на противоположное. Например, Когда вектор умножается на (-2), его длина увеличивается в два раза и его направление изменяется на противоположное.
Так как действительные числа работают как скалярные множители в умножении векторов, мы называем их скаляры и произведение kv называется скалярные кратные v.
Для действительного числа k и вектора v = 1, v2 >, скалярное произведение k и v есть
kv = k.1, v2 > = 1, kv2 >.
Вектор kv есть скалярным кратным вектора v.
Пример 2 Пусть u = и w = . Найдите — 7w, 3u и — 1w.
Решение
— 7w = — 7. = ,
3u = 3. = ,
— 1w = — 1. = .
Теперь мы м
|
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение
Поделиться:
|
1. |
Выражение, содержащее векторы
Сложность: лёгкое |
2 |
2. |
Сумма векторов
Сложность: среднее |
3 |
3. |
Сумма и разность векторов
Сложность: лёгкое |
2 |
4. |
Сложение и вычитание векторов
Сложность: лёгкое |
2 |
5. |
Арифметические операции с векторами
Сложность: лёгкое |
2 |
6. |
Выражение вектора суммы
Сложность: среднее |
3 |
7. |
Выражение вектора разности
Сложность: среднее |
3 |
8. |
Выражение с векторами
Сложность: среднее |
5 |
9. |
Сложение и вычитание векторов
Сложность: среднее |
4 |
10. |
Сумма нескольких векторов
Сложность: среднее |
3 |
11. |
Умножение вектора на число
Сложность: среднее |
4 |
12. |
Сложение и умножение на число
Сложность: сложное |
10 |
13. |
Арифметические действия с векторами, длина вектора
Сложность: сложное |
8 |
14. |
Уравнение с векторами
Сложность: сложное |
8 |
10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
Комментарии преподавателя
Отметим, что сложение векторов производится аналогично планиметрии, только все действия выполняются в пространстве.
Итак, пусть заданы два произвольных вектора в пространстве (рис. 1):
Рис. 1. Произвольные векторы в пространстве
Определим, что же называется суммой двух этих векторов.
Точно так же, как в планиметрии, из любой удобной точки, назовем ее точкой А, можно единственным образом отложить вектор, равный вектору . Напомним, что заданные векторы, как и любые другие, свободны, важно лишь направление и длина, сам вектор можно параллельно переносить в любое место как на плоскости, так и в пространстве. Так, мы получили вектор
– в результате действия вектора
точка А переместилась в точку В. Теперь из точки В откладываем единственно возможным образом вектор
, получаем вектор
– так, в результате действия вектора
точка В переместилась в точку С. В результате точка А переместилась в точку С, получен вектор
, который и называется суммой векторов
и
(рис. 2).
Рис. 2. Сумма двух векторов в пространстве
Так, получено правило треугольника для сложения векторов в пространстве.
Правило треугольника
Из любой точки пространства (точка А) откладываем первый вектор, из конца первого вектора (точка В) откладываем второй вектор и получаем точку С. Вектор, соединяющий начало первого вектора (точка А) и конец второго (точка С), и будет результирующим.
Отметим, что результат сложения векторов не зависит от выбора начальной точки, существует соответствующая теорема, которая это доказывает на основании того, что из точки можно отложить вектор, равный заданному, единственным образом.
Определение
Разностью двух векторов называется такой третий вектор, который, будучи сложенным со вторым вектором, даст первый вектор.
Введем разность векторов и
, для этого сложим вектор
с противоположным вектором
:
Итак, из произвольной точки А откладываем вектор , получаем точку В. Чтобы получить вектор
мы строим вектор, равный вектору
по длине, но противонаправленный. Полученный вектор откладываем из точки В – получаем точку D. Вектор
и будет искомым вектором разности.
Проиллюстрируем (рис. 3):
Рис. 3. Вычитание двух векторов в пространстве
Построим на заданных векторах и
параллелограмм (рис. 4):
Рис. 4. Параллелограмм на двух заданных векторах
Т. к. вектор ; аналогично
.
По правилу треугольника:
Так, одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов.
Рассмотрим разность векторов. По правилу треугольника:
.
Так, вторая диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует разности этих векторов.
Для сложения и вычитания нескольких векторов применяется правило многоугольника. Пусть заданы векторы и
:
Рис. 5. Три вектора в пространстве
Необходимо построить вектор .
Видим, что перед некоторыми векторами стоят численные множители. Напомним, что при умножении вектора на число получаем сонаправленный вектор, длина которого – это длина исходного вектора, умноженная на заданное число. Получим векторы и
. Вектор
сонаправлен с вектором
, длина его в три раза больше. Вектор
противонаправлен вектору
, длина его в два раза больше. Проиллюстрируем (рис. 6):
Рис. 6. Умножение вектора на число
Приступаем к сложению. Из произвольной точки А откладываем полученный вектор – получаем точку В. Из точки В откладываем вектор
– получаем точку С. Из точки С откладываем вектор
– получаем точку D. Согласно правилу многоугольника, вектор
соответствует искомому вектору
:
Рис. 7. Сложение векторов по правилу многоугольника
Задача 1:
Задан тетраэдр ABCD (рисунок 8). Доказать:
Рис. 8. Тетраэдр, задача 1
Решение:
По правилу треугольника:
Аналогично:
, ч. т. д.
По правилу треугольника:
Аналогично: , ч. т. д.
Задача 2
Упростить выражение:
Рассмотрим отдельно сумму двух векторов: , ее значение очевидно:
Проиллюстрируем (рис. 9):
Рис. 9. Сумма двух векторов
Теперь сократим противоположные векторы:
Можно было сразу заметить:
.
В результате упрощения получено:
.
Итак, мы ввели операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число в стереометрии, отметили, что операции аналогичны таким же для планиметрии. Кроме того, решили несколько задач, базирующихся на описанных операциях.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo
http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ
http://www.youtube.com/watch?v=JQzv4c5ak-0
http://www.youtube.com/watch?v=sKCfeWlmsLk
http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt3.jpg
https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2364/7703/4155
http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt4.jpg
http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/143950352.jpg?1445058118
http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html
5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число
Видеоурок 1: Понятие вектора
Видеоурок 2: Равенство векторов
Видеоурок 3: Сложение и вычитание векторов
Видеоурок 4: Умножение вектора на число
Лекция: Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Вектор – это тело, которое изучается в математике, но используется в большом количестве наук. Например, в физике существуют скалярные величины (те, что характеризуются значением – масса, температура и т.д.), а также векторные величины (сила, работа и другие).
Вектор – это величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением. Иными словами, это направленный отрезок.

Но кроме его длины, нам также важно, где находится его начало, а где конец.
Если вектор имеет свое начало в некоторой точке А, а заканчивается в точке В, то его обозначают следующим образом:
Кроме двух букв, вектор можно обозначить одной буквой со значком вектора сверху.
Длиной вектора (его модулем) называют расстояние между концом вектора и его началом.
Для определения модуля вектора следует воспользоваться следующей формулой:

Кроме этого, модуль вектора может обозначаться следующим образом:

Если некоторый вектор имеет начало и конец в одной и той же точке, то такой вектор называют нулевым. Нулевой вектор обозначают, как

Если длина некоторого вектора равна единичному отрезку, то его называют единичным.
Если некоторые векторы расположены на одной прямой или же параллельны друг другу, то такие векторы называются коллинеарными.

Если некоторые векторы можно назвать коллинеарными, но кроме этого они направлены в одну сторону, то их можно назвать сонаправленными.

Если же наоборот два коллинеарных вектора смотрят в разные стороны, то их называют противоположно направленными.

Если же некоторые векторы являются коллинеарными, сонаправленными, а также имеют одинаковую длину (модуль), то их можно назвать равными.

Координаты вектора
Для нахождения координаты вектора следует вычесть соответствующие координаты его конца и начала.
Например, если начало вектора А (3; 6), а конец В (5;9), то этот вектор будет иметь следующие координаты: {2;3}.
Сложение и вычитание векторов
Чтобы сложить два вектора для получения нового, необходимо сложить соответствующие координаты.


Например, сложим вектор {2;3} с вектором {5;7}. В результате получим новый вектор с координатами {7;10}. С вычитанием все аналогично.
Умножение вектора на некоторое число
Чтобы умножить вектор на некоторое число, следует умножить каждую его координату на данное число.
Свойства:
- Первоначальный вектор и вектор умноженный на некоторое число, который равный ему, являются параллельными.
- Если число, на которое умножался вектор, больше нуля, то новый вектор будет сонаправлен первоначальному. Если же число меньше нуля, то векторы будут противоположно направленны.
Скалярное умножение и сложение векторов
Двумя основными векторными операциями являются скалярное умножение и сложение векторов . В общем, при работе с векторами числа или константы называются скалярами .Скалярное умножение — это когда вектор умножается на скаляр (число или константу). Если вектор v умножить на скаляр k, то получится k v . Если k положительно, то k v будет иметь те же направления, что и v .Если k отрицательно, k v будет иметь направление, противоположное v .
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ:
Пусть v = < v 1 , v 2 > и k — скаляр.
k v = k < v 1 , v 2 > знак равно <к v 1 , к v 2 >
Чтобы сложить два вектора u и v , поместите начальную точку второго вектора (без изменения длины или направления) в конечную точку первого вектора.Затем соедините начальную точку первого вектора с концом второго вектора. Эта линия соединения представляет собой сумму двух векторов.
Сумма векторов u и v в компонентной форме равна:
ДОБАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ:
Пусть u = < U 1 , U 2 > и v = < v 1 , v 2 >
U + V = < U 1 + v 1 , U 2 + v 2 >
U-V = U + ( -v знак равно U 1 — v 1 , U 2 — v 2 >
Скалярное умножение и сложение векторов имеют следующие общие свойства:
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДОБАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОВ:
Пусть u , v и w — векторы, а c и d — скаляры.
1. u + v = v + u 2. ( u + v ) + w = u + ( v + w )
3. u + 0 = u 4. u + (- u ) = 0
5. c (d u ) = (cd) u 6. (c + d) u = c u + d u
7. c ( u + v ) = c u + c v 8.1 · u = u , 0 · u = 0
9. || c v || = | c ||| v ||
Давайте рассмотрим пару примеров.
Пример 1: Если и = <- 2,1> и v = <7, -3> найти (а) u + v и (б) u — v.
Шаг 1. Вычислить u + v с помощью сложения векторов. Добавьте x-компонент обоих векторов. Сделайте то же самое для y-компонентов. |
и + v = <- 2 + 7, 1+ ( -3 )> и + v = <5, -2> |
Шаг 2: Вычислить u — v с помощью сложения векторов. Помните u — v = u + (-v), поэтому вычтите x-компонент v из u . Сделайте то же самое для y-компонентов. |
U-V = U + ( -v ) = <- 2-7, 1- ( -3 )> U-V = <- 9, 4> |
Пример 2: Если и = <6,15> и v = <- 5,20> найти (а) 2u + v и (б) 5u — 2v.
Шаг 1. Вычислить 2u + v, используя скалярное умножение и сложение векторов. а) Сначала вычислите 2 и , используя скалярное умножение. б) Затем вычислите 2 u + v , используя сложение векторов. |
2u = 2 <6,15> = <2 · 6, 2 · 15> 2u = <12, 30> 2u + у = <12+ ( -5 ), 30 + 20> 2u + у = <7,50> |
Шаг 2: Вычислите 5u — 2v, используя скалярное умножение и сложение векторов. a) Сначала вычислите 5 u и 2 v , используя скалярное умножение. б) Затем вычислите 5 u +2 v , используя сложение векторов. |
5u = 5 <6,15> = <5 · 6, 5 · 15> 5u = <30, 75> 2v = 2 <-5,20> = <2 · ( |
Векторов
Это вектор:
Вектор имеет величину , (размер) и направление :
Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.
Мы можем сложить два вектора, соединив их голова к хвосту:
И неважно, в каком порядке мы их добавляем, результат будет тот же:
Пример: самолет летит на север, но дует ветер с северо-запада.
Два вектора (скорость, создаваемая воздушным винтом, и скорость ветра) приводят к немного более низкой путевой скорости при движении немного к востоку от севера.
Если бы вы смотрели на самолет с земли, казалось бы, он немного поскользнулся.
Вы когда-нибудь видели это? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают это объяснить.
Скорость, ускорение, сила и многое другое — векторы.
Вычитание
Мы также можем вычесть один вектор из другого:
- сначала мы меняем направление вектора, который хотим вычесть,
- , затем добавьте их как обычно:
а — б
Обозначение
Вектор часто пишется полужирным шрифтом , например a или b .
Вектор также может быть записан в виде букв его головы и хвоста со стрелкой над ним, например: |
Расчеты
Сейчас… как мы делаем расчеты?
Самый распространенный способ — сначала разбить векторы на части x и y, например:
Вектор a разбивается на
, два вектора a x и a y
(Позже мы увидим, как это сделать.)
Добавление векторов
Затем мы можем сложить векторы на , сложив части x и , добавив части y :
Сумма вектора (8, 13) и вектора (26, 7) дает вектор (34, 20)
Пример: складываем векторы a = (8, 13) и b = (26, 7)
c = a + b
c = (8, 13) + (26, 7) = (8 + 26, 13 + 7) = (34, 20)
Когда мы разбиваем такой вектор, каждая часть называется компонентом :
Вычитание векторов
Для вычитания сначала переверните вектор, который мы хотим вычесть, а затем сложите.
Пример: вычесть k = (4, 5) из v = (12, 2)
a = v + — k
a = (12, 2) + — (4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)
Величина вектора
Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:
| a |
ИЛИ можно написать с двойной вертикальной чертой (чтобы не путать с абсолютным значением):
|| a ||
Для его вычисления мы используем теорему Пифагора:
| a | = √ (х 2 + у 2 )
Пример: какова величина вектора b = (6, 8)?
| b | = √ (6 2 + 8 2 ) = √ (36 + 64) = √100 = 10
Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.
Вектор против скалярного
Скаляр имеет величину (размер) только .
Скаляр: просто число (например, 7 или -0,32) … определенно не вектор.
Вектор имеет величину и направление и часто выделяется полужирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:
- , поэтому c — вектор, его величина и направление
- , но c — это просто значение, например 3 или 12.4
Пример: k b на самом деле является скаляром k, умноженным на вектор b .
Умножение вектора на скаляр
Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы изменяем размер вектора.
Пример: умножить вектор m = (7, 3) на скаляр 3
a = 3 м = (3 × 7, 3 × 3) = (21, 9) |
Он по-прежнему указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее
(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)
Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и перекрестное произведение)
Как умножить два вектора вместе? Есть несколько способов! (Более подробную информацию см. На этих страницах.) |
Более двух размеров
Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:
Вектор (1, 4, 5)
Пример: складываем векторы a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)
c = a + b
c = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3 + 2, 7 + 9, 4 + 11) = (5, 16, 15)
Пример: какова величина вектора w = (1, −2, 3)?
| w | = √ (1 2 + (−2) 2 + 3 2 ) = √ (1 + 4 + 9) = √14
Вот пример с 4-мя измерениями (но его сложно нарисовать!):
Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)
(3, 3, 3, 3) + — (1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (−1, −2, −3, −4)
= (3 −1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1)
Звездная величина и направление
Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины по осям x и y (или наоборот):
<=> | ||
Вектор a в полярных координатах |
Вектор a в декартовых координатах |
Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткое описание:
От полярных координат (r, θ ) до декартовых координат (x, y) |
От декартовых координат (x, y) до полярных координат (r, θ) |
|
---|---|---|
|
|
Пример
Сэм и Алекс тянут ящик.
- Сэм тянет с силой 200 Ньютонов при 60 °
- Алекс тянет с усилием 120 Ньютонов под углом 45 °, как показано на рисунке
Что такое общая сила и ее направление?
Давайте сложим два вектора голова к хвосту:
Первое преобразование из полярного числа в декартово (до 2 десятичных знаков):
Вектор Сэма:
- x = r × cos ( θ ) = 200 × cos (60 °) = 200 × 0,5 = 100
- y = r × sin ( θ ) = 200 × sin (60 °) = 200 × 0.8660 = 173,21
Вектор Алекса:
- x = r × cos ( θ ) = 120 × cos (-45 °) = 120 × 0,7071 = 84,85
- y = r × sin ( θ ) = 120 × sin (-45 °) = 120 × -0,7071 = -84,85
Теперь у нас:
Добавьте их:
(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)
Этот ответ верен, но давайте вернемся к полярному, поскольку вопрос был в полярном:
- r = √ (x 2 + y 2 ) = √ (184.85 2 + 88,36 2 ) = 204,88
- θ = tan -1 (y / x) = tan -1 (88,36 / 184,85) = 25,5 °
И мы получили результат (округленный):
А для Сэма и Алекса это выглядит так:
Они могли бы получить лучший результат, если бы стояли плечом к плечу!
,
операций над векторами, сложение векторов, умножение вектора на действительное число.
Рассмотрим вектор v, начальная точка которого — , в системе координат xy, а конечной точкой является. Мы говорим, что вектор находится в стандартной позиции , и называем его вектором позиции. Обратите внимание, что упорядоченная пара однозначно определяет вектор. Таким образом, мы можем использовать для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы думаем о векторе, и чтобы избежать путаницы с обозначениями упорядоченных пар и интервалов, мы обычно пишем
v =.
Координата a — это скаляр , горизонтальный компонент вектора, а координата b — это скаляр , вертикальный компонент вектора. Под скаляром мы подразумеваем числовую величину , а не вектор . Таким образом, компонент считается формой v. Обратите внимание, что a и b НЕ являются векторами, и их не следует путать с определением компонента вектора.
Теперь рассмотрим с A = (x 1 , y 1 ) и C = (x 2 , y 2 ).Давайте посмотрим, как найти вектор положения, эквивалентный. Как вы можете видеть на рисунке ниже, начальная точка A перемещается в начало координат (0, 0). Координаты P находятся путем вычитания координат A из координат C. Таким образом, P = (x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) и вектор положения равен.
Можно показать, что и имеют одинаковую величину и направление и, следовательно, эквивалентны. Таким образом, = = 2 — x 1 , y 2 — y 1 >.
Компонент формирует of с A = (x 1 , y 1 ) и C = (x 2 , y 2 ) равен
= 2 — x 1 , y 2 — y 1 >.
Пример 1 Найдите форму компонента, если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).
Решение У нас
= =.
Обратите внимание, что вектор эквивалентен вектору положения, как показано на рисунке выше.
Теперь, когда мы знаем, как записывать векторы в компонентной форме, давайте еще раз сформулируем некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = 1, v 2 > имеем
| v | 2 = v 2 1 + v 2 2 Использование теоремы Пифагора
| v | = √v 2 1 + v 2 2 .
Длина , или величина вектора v = 1, v 2 > задается как | v | = √v 2 1 + v 2 2 .
Два вектора эквивалентны , если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление.
Пусть u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >. Тогда
1, u 2 > = 1, v 2 > тогда и только тогда, когда u 1 = v 1 и u 2 = v 2 .
Операции над векторами
Чтобы умножить вектор v на положительное действительное число, мы умножаем его длину на число. Его направление остается прежним.Когда вектор v умножается, например, на 2, его длина удваивается и его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а его направление остается прежним. Чтобы умножить вектор v на отрицательное действительное число, мы умножаем его длину на число и меняем его направление на обратное. Когда вектор умножается на 2, его длина удваивается, а его направление меняется на противоположное. Поскольку действительные числа работают как коэффициенты масштабирования при векторном умножении, мы называем их скалярами , а произведения kv называются скалярными кратными v.
Для действительного числа k и вектора v = 1, v 2 >, скалярное произведение k и v составляет
kv = k.1, v 2 > = 1, kv 2 >.
Вектор kv является скалярным , кратным вектора v.
Пример 2 Пусть u = и w =. Найти — 7w, 3u и — 1w.
Решение
— 7w = — 7. =,
3u = 3. =,
— 1w = — 1. =.
Теперь мы можем сложить два вектора с помощью компонентов.Чтобы сложить два вектора, представленных в форме компонентов, мы добавляем соответствующие компоненты. Пусть u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >. Тогда
u + v = 1 + v 1 , u 2 + v 2 >
Например, если v = и w =, то
v + w = =
Если u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >, то
u + v = 1 + v 1 , u 2 + v 2 >.
Прежде чем мы определим вычитание векторов, нам нужно определить — v.Противоположность v = 1, v 2 >, показанная ниже, это
— v = (- 1) .v = (- 1) 1, v 2 > = 1, — v 2 >
Вычитание вектора, такое как u — v, включает вычитание соответствующих компонентов. Покажем это, переписав u — v как u + (- v). Если u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >, то
u — v = u + (- v) = 1, u 2 > + 1, — v 2 > = 1 + (- v 1 ), u 2 + (- v 2 )> = 1 — v 1 , u 2 — v 2 >
Мы можем проиллюстрировать векторное вычитание с помощью параллелограммов, точно так же, как мы делали векторное сложение.
Вычитание вектора
Если u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >, то
u — v = 1 — v 1 , u 2 — v 2 >.
Интересно сравнить сумму двух векторов с разностью тех же двух векторов в одном параллелограмме. Векторы u + v и u — v — диагонали параллелограмма.
Пример 3 Выполните следующие вычисления, где u = и v =.
a) u + v
b) u — 6v
c) 3u + 4v
d) | 5v — 2u |
Решение
а) u + v = + = =;
б) и — 6в = — 6. = — =;
в) 3u + 4v = 3. + 4. = + =;
d) | 5v — 2u | = | 5. — 2. | = | — | = || = √ (- 29) 2 + 21 2 = √1282 ≈ 35,8
Прежде чем мы сформулируем свойства сложения векторов и скалярного умножения, нам нужно определить другой специальный вектор — нулевой вектор. Вектор, у которого обе точки являются начальной и конечной, — это нулевой вектор , обозначенный буквой O или.Его величина равна 0. Помимо векторов, нулевой вектор является аддитивным вектором идентичности:
v + O = v. 1, v 2 > + = 1, v 2 >
Операции над векторами имеют много общего. свойства как операции с действительными числами.
Свойства сложения векторов и скалярного умножения
Для всех векторов u, v и w и для всех скаляров
.