Степень с натуральным показателем и её свойства
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
an =
В выражении an :
— число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
— число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени
Например: 25 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени
Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108
Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1
Например: 4578 = 4,578 · 103 ;
103000 = 1,03 · 105.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
am · an = am + n
например: 71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 = 70.8
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
am / an = am — n ,
где, m > n,
a ? 0
например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
(am )n = a m · n
например: (23)2 = 2 3·2 = 26
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an · b m ,
например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
(a / b)n = an / bn
например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53
mirurokov.ru
определения, обозначение, примеры, степень с отрицательным показателем
В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.
Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа
Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).
Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: an, а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:
Например, если показатель степени равен 1, а основание – a, то первая степень числа a записывается как a1. Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a1=a.
В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8·8·8·8 можно сократить до 84. Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8+8+8+8=8·4); мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.
Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – «a в степени n». Или можно сказать «n-ная степень a» либо «an-ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 812, мы можем прочесть «8 в 12-й степени», «8 в степени 12» или «12-я степень 8-ми».
Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую с
zaochnik.com
Что такое степень с натуральным показателем (В.А. Тарасов)
Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок: Что такое степень с натуральным показателем
Откуда появилась степень.
Выражение а+а+а в математике можно заменить на а+а+а=3а.
Выражение а+а+а+а+а можно представить в виде а+а+а+а+а=5а.
То есть, если в выражении
А умножение , можно кратко записать так: а3, читается: а в кубе или третья степень числа а.
– а в пятой степени или пятая степень числа а.
А если в выражение n одинаковых сомножителей, каждый из которых а, то мы будем писать:
= an – n-ная степень числа а.
Определение. Степенью an называется произведение n одинаковых сомножителей, , где n— натуральное число n={2,3,…..}; а – любое число.
Терминология: an
а – основание степени,
n – показатель степени,
an– степень, или а в n-ой степени, или n-ая степень числа а.
Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.
1. – это по определению 4 в кубе или третья степень числа
Ответ: 64
2. – по определению, это x в четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что x нужно присвоить конкретное значение.
Ответ:
3.
Это

Значит, выражение .
Ответ: .
4.


Ответ:
5.
– вторая степень числа 13 ,
– вторая степень числа 5.
Ответ: 4225
6.
– третья степень числа 2,
– вторая степень числа 3.
Ответ: 72
В степени an может отдельно меняться показатель степени или основание степени.
Пример 2: Вычислить , если
a) n=2
b) n=3
c) n=4
Решение:
a) так как стоит четная степень, минус пропадает.
b)
c) – так как стоит четная степень, минус пропадает.
Ответ: a) 25; b)-125; c)625;
В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.
Пример 3: Вычислить: b4, где
a) b=1
b) b=-3
c) b=
d) b=
Ответ:
a)
b)
c)
Вспомним, что натуральные числа — это 1,2,3 и так далее.
n={1,2,3,…..}
По нашему определению:
an = , (1)
n={2,3,…..}
Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а1?
a1=a (2)
Пример.
()1=
)
(-2)1=-2
31=3.
Итак, теперь мы знаем, что такое an, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.
Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.
Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а, где
a) а=3 см
b) а=7 см
c) а=1,5 см
Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а2 или вторая степень числа а.
S=a2
Ответ:
S=32=9 см2
S=72=49 см2
S=1,52=2,25 см2
Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.
И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.
Вычислить:
a)
Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.
b) Вычислить при а=1 следующее выражение:
а2=12=1
а3=13=1
При а=-1 будет чуть посложнее:
а2=(-1)2=1
а3=(-13)=-1
а4=(-1)4=1
и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.
Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию аn, где n – это показатель степени, а – основание степени, n – натуральное число, а – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Школьная математика (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.
а)
б)
в)
2. Вычислить (-2)n, если
а) n=2 б) n=3 в) n=4
3. Вычислить: а5, где
а) а=1
б) а=-2
в) а=
4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а/2, где
а) а=6 см
б) а=8 дм
в) а=3 м
interneturok.ru
Степень с натуральным показателем
Математика – точная наука, и математический язык приветствует употребление более кратких записей.
Вместо записи 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, математик использует запись 5 · 6, потому что у нас шесть одинаковых слагаемых.
А запись 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 математик заменит записью 56, потому что шесть одинаковых множителей. Конечно, при необходимости можно использовать обратные записи.
Мы знаем, что 76 есть произведение шести множителей, каждый из которых равен 7:
76 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7.
Число 7 – основание степени, число 6 – показатель степени, выражение 76 – степень.
Дадим определение степени для любого основания и любого натурального показателя.
Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.
Для степени числа а с показателем n принято обозначение: аn.
По определению аn = а · а · а · а… а. (n раз)
В определение не включён случай, когда показатель n = 1, так как не имеет смысла говорить о произведении, состоящем из одного множителя. Степень с показателем 1 определяется особо.
Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: а1 = а.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие выполняется первым при вычислении значения выражения.
Рассмотрим примеры вычислений значений выражений, содержащих степени.
Пример 1. Найдём значение степеней (-4)4 (-4)3.
(-4)4 = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 256
(-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = -64
Обратим внимание, при возведении в степень отрицательного числа, положительное число получается, если число возводится в чётную степень, если же отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число.
Пример 2. Вычислим (3/4)3.
(3/4)3 = 3/4 · 3/4 · 3/4 = 27/64.
Пример 3. Найдем значение выражения 6 · 33.
Чтобы найти значение этого выражения, достаточно сначала найти значение степени 33, а затем выполнить умножение:
1) 33 = 3 · 3 · 3 = 27
2) 6 · 27 = 162.
Значение степени можно найти с помощью вычислительной техники, а можно воспользоваться таблицей степеней.
Пример 4. Рассмотрим ещё один пример. Найдём значение выражения 0,5 · 482.
0,5 · 482 = 0,5 · 2304 = 1152
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Степень с натуральным показателем и её свойства. Видеоурок. Алгебра 7 Класс
Вспомним основные определения:
– степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени.
Кроме того, напомним, что:
и
;
Символ , как и символ
не имеет смысла.
Все одночлены, многочлены и основные операции с ними основаны на степенях и действиях со степенями, которые мы сейчас вспомним:
Основные теоремы о действиях со степенями:
;
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.
;
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;
Пример 1:
;
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
Мы вспомнили основные правила работы со степенями с одинаковым основанием. В качестве примеров выведем еще несколько правил:
Пример 2: – возвести минус единицу в четную степень;
– возвести минус единицу в нечетную степень;
– при возведении в квадрат любое число станет положительным, единица в любой степени равна единице, таким образом, независимо от значения
выражение
равно единице.
В предыдущем примере мы показали, что выражение всегда равно единице. Получаем:
Минус единица в первой степени равна сама себе, получаем:
Рассмотрим теперь правила обращения со степенями с одинаковым показателем:
;
При умножении степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;
,
;
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;
Пример 3:
Итак, в числителе и знаменателе перемножим степени с одинаковым основанием:
Возведем в числителе и знаменателе степень в степень:
Выполним деление степеней с одинаковым основанием:
Чтобы получить результат, выполним некоторые преобразования:
Пример 4: вычислить:
Чтобы решить данный пример, все основания степеней нужно привести к самому простому:
,
,
Итак, получаем:
Выполним возведение степени в степень:
Выполним сокращение дроби:
Вычислим:
Пример 5: запишите в виде степени с показателем 2:
Для того чтобы получить ответ, мы исходные показатели степеней разделили на 2.
Пример 6: заменить звездочку таким выражением, чтобы получилось верное равенство:
Получаем выражение:
– равенство верно
Пример 7: решить уравнение:
Будем постепенно выполнять действия со степенями в левой части:
Таким образом, наше уравнение приобретает вид:
Решение очевидно.
Вывод: на данном уроке мы вспомнили основные определения касательно степени с натуральным показателем и ее основные свойства. Записали теоремы и решили примеры на их применение.
Список литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Школьный помощник (Источник).
- Интернет-портал Math.sch2582.edusite.ru (Источник).
Домашнее задание
- Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №170, ст. 77;
- Задание 2: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №173, ст. 78;
- Задание 3: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №201, ст. 79.
interneturok.ru
1.1.2 Степень с натуральным показателем
Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем
Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Лекция: Степень с натуральным показателем
Степень с натуральным показателем
Под степенью некоторого числа «а» с некоторым показателем «n» понимают произведение числа «а» само на себя «n» раз.
Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число «n» должно быть целым и не отрицательным.
а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя,
n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.
Например:
84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
В данном случае под основанием степени понимают число «8», показателем степени считается число «4», под значением степени понимается число «4096».
Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!
Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом.
В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.
Например,
(-0,1)3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень.
Сложение \ вычитание — математические действия первой ступени, умножение \ деление — действие второй ступени, возведение степени — это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших.
Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.
Например:
15 + 6 *22 = 39
В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть
22 = 4,
затем полученный результат умножить на 6, то есть
4 * 6 = 24,
затем
24 + 15 = 39.
Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие «стандартный вид числа». Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.
Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:
6400000 м = 6,4 * 106 м,
а масса Земли, например, записывается следующим образом:
6 * 1024 кг.
Свойства степени
Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:
1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.
an * am = an+m
Например:
52 * 54 = 56.
2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.
an / am = an-m
Например,
54 * 52 = 52.
3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.
(an )m = an*m
Например,
(54 )2 = 58.
4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.
(a * b)m = am * bm
Например,
(5 * 8 )2 = 52 * 82.
5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.
(a / b)m = am / bm
6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.
а1 = а
Например,
51 = 5.
7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.
а0 = 1
Например,
70 = 1.
cknow.ru
1.1.2 Степень с натуральным показателем
Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем
Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Лекция: Степень с натуральным показателем
Степень с натуральным показателем
Под степенью некоторого числа «а» с некоторым показателем «n» понимают произведение числа «а» само на себя «n» раз.
Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число «n» должно быть целым и не отрицательным.
а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя,
n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.
Например:
84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
В данном случае под основанием степени понимают число «8», показателем степени считается число «4», под значением степени понимается число «4096».
Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!
Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом.
В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.
Например,
(-0,1)3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень.
Сложение \ вычитание — математические действия первой ступени, умножение \ деление — действие второй ступени, возведение степени — это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших.
Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.
Например:
15 + 6 *22 = 39
В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть
22 = 4,
затем полученный результат умножить на 6, то есть
4 * 6 = 24,
затем
24 + 15 = 39.
Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие «стандартный вид числа». Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.
Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:
6400000 м = 6,4 * 106 м,
а масса Земли, например, записывается следующим образом:
6 * 1024 кг.
Свойства степени
Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:
1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.
an * am = an+m
Например:
52 * 54 = 56.
2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.
an / am = an-m
Например,
54 * 52 = 52.
3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.
(an )m = an*m
Например,
(54 )2 = 58.
4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.
(a * b)m = am * bm
Например,
(5 * 8 )2 = 52 * 82.
5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.
(a / b)m = am / bm
6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.
а1 = а
Например,
51 = 5.
7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.
а0 = 1
Например,
70 = 1.
cknow.ru