Степень с натуральными показателями – Степень с натуральным показателем и её свойства

Степень с натуральным показателем и её свойства

Степень с натуральным показателем и ее свойства.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

aⁿ = 

В выражении aⁿ :

—  число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

—  число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например: 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2   – основание степени, 5   – показатель степени, 32 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 10⁸

Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10ⁿ , где 1

Например:  4578 = 4,578 · 10³ ;

103000 = 1,03 · 10⁵.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

a^m · aⁿ = a^{m + n}

например:  7^1.7 · 7 ^{— 0.9} = 7^{1.7+( — 0.9)} = 7^{1.7 — 0.9} =  7^0.8

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

a^m / aⁿ = a^{m — n} ,

где,  m > n,

a ? 0

например: 13^3.8 / 13 ^-0.2 = 13^{(3.8 -0.2)} = 13^3.6

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

(a^m )ⁿ = a ^{m ·  n}

например: (2³)² = 2 ^3·2 = 2⁶

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

(a · b)ⁿ = aⁿ · b ^m ,

например:(2·3)³ = 2ⁿ · 3 ^m ,

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

например: (2 / 5)³ = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2³ / 5³

mirurokov.ru

определения, обозначение, примеры, степень с отрицательным показателем

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

Определение 1

Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: an, а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

Например, если показатель степени равен 1, а основание – a, то первая степень числа a записывается как a1. Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a1=a.

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8·8·8·8 можно сократить до 84. Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8+8+8+8=8·4); мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – «a в степени n».  Или можно сказать «n-ная степень a» либо «an-ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 812, мы можем прочесть «8 в 12-й степени», «8 в степени 12» или «12-я степень 8-ми».

Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую с

zaochnik.com

Что такое степень с натуральным показателем (В.А. Тарасов)

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Что такое степень с натуральным показателем

Откуда появилась степень.

Выражение а+а+а в математике можно заменить на а+а+а=3а.

Выражение а+а+а+а+а можно представить в виде а+а+а+а+а=5а.

То есть, если в выражении

n одинаковых слагаемых, каждое из которых а, то его можно кратко записать na.  

А умножение , можно кратко записать так: а³, читается: а в кубе или третья степень числа а.

 – а в пятой степени или пятая степень числа а.

А если в выражение n одинаковых сомножителей, каждый из которых а, то мы будем писать:

 = aⁿ

– n-ная степень числа а.

Определение. Степенью aⁿ называется произведение n одинаковых сомножителей,  , где n— натуральное число n={2,3,…..}; а – любое число.

Терминология: aⁿ

 а – основание степени,

n – показатель степени,

aⁿ– степень, или а в n-ой степени, или n-ая степень числа а.

Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

1. – это по определению 4 в кубе или третья степень числа

4, 4— основание степени, 3— показатель степени. Результат:

 

Ответ: 64

2. – по определению, это x в четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что x нужно присвоить конкретное значение.

Ответ: 

3.  

Это

 в пятой степени,  – это основание степени, 5 – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишем это выражение по-другому:

 

Значит, выражение .

Ответ: .

4.

– это в кубе, 3 – это показатель степени, – основание степени.

Ответ: 

5.  

 – вторая степень числа 13 ,  – вторая степень числа 5.

Ответ: 4225

6.

 – третья степень числа 2,  – вторая степень числа 3.

Ответ: 72

В степени aⁿ может отдельно меняться показатель степени или основание степени.

Пример 2: Вычислить , если

a) n=2

b) n=3

c) n=4

Решение:

a)  так как стоит четная степень, минус пропадает.

b)

c) – так как стоит четная степень, минус пропадает.

Ответ: a) 25; b)-125; c)625;

В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.

Пример 3: Вычислить: b⁴, где

a) b=1

b) b=-3

c) b=

d) b=

Ответ:

a)

b)

c)



Вспомним, что натуральные числа — это 1,2,3 и так далее.

n={1,2,3,…..}

По нашему определению:

a^{n =} ,                                (1)

n={2,3,…..}

Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а¹?

a¹=a                                                   (2)

Пример.

()¹=)

(-2)¹=-2

3¹=3.

Итак, теперь мы знаем, что такое a^n, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.

Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.

Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а, где

a) а=3 см

b) а=7 см

c) а=1,5 см

Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а² или вторая степень числа а.

S=a²

Ответ:

S=3²=9 см²

S=7²=49 см²

S=1,5²=2,25 см²

Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.

И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.

Вычислить:

a)   

Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.

b) Вычислить при а=1 следующее выражение:

а²=1²=1

а³=1³=1

При а=-1 будет чуть посложнее:

а²=(-1)²=1

а³=(-1³⁾=-1

а⁴=(-1)⁴=1

и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.

Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию аⁿ, где n – это показатель степени, а – основание степени, n – натуральное число, а – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьная математика (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

а)  

б) 

в)

2. Вычислить (-2)ⁿ, если

а) n=2 б) n=3 в) n=4

3. Вычислить: а⁵, где

а) а=1

б) а=-2

в) а=

4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а/2, где

а) а=6 см

б) а=8 дм

в) а=3 м

interneturok.ru

Степень с натуральным показателем

Математика – точная наука, и математический язык приветствует употребление более кратких записей.

Вместо записи 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, математик использует запись 5 · 6, потому что у нас шесть одинаковых слагаемых.

А запись 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 математик заменит записью 5⁶, потому что шесть одинаковых множителей.  Конечно, при необходимости можно использовать обратные записи.

Мы знаем, что 7⁶ есть произведение шести множителей, каждый из которых равен 7:

7⁶ = 7 · 7 · 7 · 7 · 7.

Число 7 – основание степени, число 6 – показатель степени, выражение 7⁶ – степень.

Дадим определение степени для любого основания и любого натурального показателя.

Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Для степени числа а с показателем n принято обозначение: аⁿ.

По определению  аⁿ = а · а · а · а… а. (n раз)

В определение не включён случай, когда показатель n = 1, так как не имеет смысла говорить о произведении, состоящем из одного множителя. Степень с показателем 1 определяется особо.

Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: а¹ = а.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие выполняется первым при вычислении значения выражения.

Рассмотрим примеры вычислений значений выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдём значение степеней  (-4)⁴  (-4)³.

(-4)⁴ = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 256

(-4)³ = (-4) · (-4) · (-4) = -64

Обратим внимание, при возведении в степень отрицательного числа, положительное число получается, если число возводится в чётную степень, если же отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число.

Пример 2. Вычислим (3/4)³.

(3/4)³ = 3/4 · 3/4 · 3/4 = 27/64.

Пример 3. Найдем значение выражения  6 · 3³.

Чтобы найти значение этого выражения, достаточно сначала найти значение степени 3³, а затем выполнить умножение:

1) 3³ = 3 · 3 · 3 = 27

2) 6 · 27 = 162.

Значение степени можно найти с помощью вычислительной техники, а можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 4. Рассмотрим ещё один пример. Найдём значение выражения 0,5 · 48².

0,5 · 48² = 0,5 · 2304 = 1152

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Степень с натуральным показателем и её свойства. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Вспомним основные определения:

– степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени.                    

Кроме того, напомним, что:

 и ;

Символ , как и символ  не имеет смысла.

Все одночлены, многочлены и основные операции с ними основаны на степенях и действиях со степенями, которые мы сейчас вспомним:

Основные теоремы о действиях со степенями:

;

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

;

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;

Пример 1:



;

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

Мы вспомнили основные правила работы со степенями с одинаковым основанием. В качестве примеров выведем еще несколько правил:

 

Пример 2:  – возвести минус единицу в четную степень;  – возвести минус единицу в нечетную степень;

 – при возведении в квадрат любое число станет положительным, единица в любой степени равна единице, таким образом, независимо от значения  выражение  равно единице.



В предыдущем примере мы показали, что выражение  всегда равно единице. Получаем:



Минус единица в первой степени равна сама себе, получаем:



Рассмотрим теперь правила обращения со степенями с одинаковым показателем:

;

При умножении степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

, ;

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

Пример 3:



Итак, в числителе и знаменателе перемножим степени с одинаковым основанием:



Возведем в числителе и знаменателе степень в степень:



Выполним деление степеней с одинаковым основанием:



Чтобы получить результат, выполним некоторые преобразования:



Пример 4: вычислить:



Чтобы решить данный пример, все основания степеней нужно привести к самому простому:

, ,

Итак, получаем:



Выполним возведение степени в степень:



Выполним сокращение дроби:



Вычислим:



Пример 5: запишите в виде степени с показателем 2:



Для того чтобы получить ответ, мы исходные показатели степеней разделили на 2.



Пример 6: заменить звездочку таким выражением, чтобы получилось верное равенство:





Получаем выражение:

 – равенство верно

Пример 7: решить уравнение:



Будем постепенно выполнять действия со степенями в левой части:



Таким образом, наше уравнение приобретает вид:



Решение очевидно.

Вывод: на данном уроке мы вспомнили основные определения касательно степени с натуральным показателем и ее основные свойства. Записали теоремы и решили примеры на их применение.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Интернет-портал Math.sch2582.edusite.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №170, ст. 77;
2. Задание 2: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №173, ст. 78;
3. Задание 3: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, №201, ст. 79.

interneturok.ru

1.1.2 Степень с натуральным показателем

Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем

Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства


Лекция: Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем

Под степенью некоторого числа «а» с некоторым показателем «n» понимают произведение числа «а» само на себя «n» раз.

 

Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число «n» должно быть целым и не отрицательным.



а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, 

n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Например:

8⁴ = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число «8», показателем степени считается число «4», под значением степени понимается число «4096». 

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!

Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. 

В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

Например,

(-0,1)³ = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень. 

Сложение \ вычитание — математические действия первой ступени, умножение \ деление — действие второй ступени, возведение степени — это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших. 

Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.

Например:

15 + 6 *2²  = 39

В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть

2² = 4,

затем полученный результат умножить на 6, то есть

4 * 6 = 24,

затем

24 + 15 = 39.

Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие «стандартный вид числа». Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.

Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:

6400000 м = 6,4 * 10⁶ м,

а масса Земли, например, записывается следующим образом:

6 * 10²⁴ кг.

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

aⁿ * a^m = a^n+m

Например:

5² * 5⁴ = 5⁶.

2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

aⁿ / a^m = a^n-m 

Например,

5⁴ * 5² = 5².

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(aⁿ )^m = a^n*m

Например,

(5⁴ )² = 5⁸.

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)^m = a^m * b^m

Например,

(5 * 8 )² = 5² * 8².

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)^m = a^m / b^m

6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а¹ = а

Например,

5¹ = 5.

7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а⁰ = 1

Например,

7⁰ = 1.




cknow.ru

1.1.2 Степень с натуральным показателем

Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем

Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства


Лекция: Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем

Под степенью некоторого числа «а» с некоторым показателем «n» понимают произведение числа «а» само на себя «n» раз.

 

Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число «n» должно быть целым и не отрицательным.



а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, 

n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Например:

8⁴ = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число «8», показателем степени считается число «4», под значением степени понимается число «4096». 

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!

Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. 

В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

Например,

(-0,1)³ = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень. 

Сложение \ вычитание — математические действия первой ступени, умножение \ деление — действие второй ступени, возведение степени — это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших. 

Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.

Например:

15 + 6 *2²  = 39

В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть

2² = 4,

затем полученный результат умножить на 6, то есть

4 * 6 = 24,

затем

24 + 15 = 39.

Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие «стандартный вид числа». Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.

Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:

6400000 м = 6,4 * 10⁶ м,

а масса Земли, например, записывается следующим образом:

6 * 10²⁴ кг.

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

aⁿ * a^m = a^n+m

Например:

5² * 5⁴ = 5⁶.

2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

aⁿ / a^m = a^n-m 

Например,

5⁴ * 5² = 5².

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(aⁿ )^m = a^n*m

Например,

(5⁴ )² = 5⁸.

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)^m = a^m * b^m

Например,

(5 * 8 )² = 5² * 8².

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)^m = a^m / b^m

6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а¹ = а

Например,

5¹ = 5.

7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а⁰ = 1

Например,

7⁰ = 1.




cknow.ru

No related posts.