Тангенс острого угла треугольника – Синус косинус и тангенс — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Тангенс в прямоугольном треугольнике | Треугольники

Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти тангенс? От чего зависит значение тангенса?

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

 

  Например, для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — BC,

прилежащий катет — AC.

Поэтому тангенс угла A в треугольнике ABC — это

   

 

  Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC,

прилежащим — BC.

Соответственно, тангенс угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к BC:

   

 

Таким образом, тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое при делении длины противолежащего катета на длину прилежащего катета.

 

Так как длины катетов — положительные числа, то и тангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.

 

Тангенс угла треугольника зависит от величины угла, но не зависит от катетов (важно лишь их отношение).

Если в треугольнике изменить длины катетов, не меняя угол, то величина тангенса не изменится.

 

Например,

в треугольниках ABC и FKM

∠A=60º,

∠F=60º.

 

   

   

www.treugolniki.ru

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым дей

zaochnik.com

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.

Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).

Рис. 1

;

 – катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

, .

С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

Например, из формулы: . Аналогично: .

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

Доказательство

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.

Аналогично: .

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .

Доказать:.

Доказательство

 (так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .

Отсюда получаем: .

.

.

Доказано.

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: .

Примечание:

Доказательство

, тогда:  (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).

Доказано.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

Дано:  – прямоугольный (), .

Найти:

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. Xvatit.com (Источник).
3. Egesdam.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
3. Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .

interneturok.ru

Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.

В системе координат построим полуокружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.

 

 

Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

 

В треугольнике \(AOX\):

sinα=AXAO;cosα=OXAO.

Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sinα=AX;cosα=OX.

Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):

 Acosα;sinα.

Следовательно, для углов 0°≤α≤180° видно, что −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.

 

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,  

tgα=AXOX=sinαcosα.

Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0°;90°;180°.

 

sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0;sin90°=1;cos90°=0;tg90° не существует;sin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0.

 

Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90°, то оба выразим через α.

 

 

Если sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin90°−α=OXAO;cos90°−α=AXAO.

 

Видим, что справедливы равенства:

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

 

Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α.

 

 

Справедливы следующие равенства:

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Эти формулы называются формулами приведения:

 

cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.

 

sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.

Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX2+OX2=1. Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем  

Главное тригонометрическое тождество

sin2α+cos2α=1.

Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус

(как уже отмечено, синус для углов 0°≤α≤180° только 0 или положительный):

 

sin2α+cos2α=1;sin2α=1−cos2α;sinα=1−cos2α 

 

— или величину косинуса угла, если дан синус:

 

sin2α+cos2α=1;cos2α=1−sin2α;cosα=±1−sin2α.

 

Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.

www.yaklass.ru

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha.

\sin \alpha=y

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha.

\cos \alpha=x

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha.

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha.

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM, где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M}, \cos \alpha=x_{M}, tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}}, ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}}.

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4}, то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2}, абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2};

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{2};

tg \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-1;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right )=-1.

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

	0^{\circ} (0)	30^{\circ}\left(\frac{\pi}{6}\right)	45^{\circ}\left(\frac{\pi}{4}\right)	60^{\circ}\left(\frac{\pi}{3}\right)	90^{\circ}\left(\frac{\pi}{2}\right)	180^{\circ}\left(\pi\right)	270^{\circ}\left(\frac{3\pi}{2}\right)	360^{\circ}\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac{\sqrt 3}{2}	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac{\sqrt 3}{2}	\frac{\sqrt 2}{2}	\frac12	0	−1	0	1
tg \alpha	0	\frac{\sqrt 3}{3}	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg \alpha	—	\sqrt3	1	\frac{\sqrt 3}{3}	0	—	0	—

academyege.ru

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С:

Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: «синус альфа».

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла, который равен , обозначается символом , читается: «косинус альфа».

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: «тангенс альфа».

На рисунке

                             (1)

                            (2)

                               (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

                              (4)

Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Дано: АВС, А₁В₁С₁, С = С₁ = 90⁰, А = А₁.

Доказать: sin A = sin A₁, cos A = cos A₁, tg A = tg A₁.

Доказательство:

АВС А₁В₁С₁ по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С₁ = 90⁰, А = А₁). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:

Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A₁. Аналогично , т.е. cos A = cos A₁, и , т.е. tg A = tg A₁, что и требовалось доказать.

Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.

Докажем основное тригонометрическое тождество:

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора , поэтому .

budu5.com

Тангенс угла, теория и примеры

Определение и формула тангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету. Тангенс угла обозначается .

Рассмотрим прямоугольный треугольник (изображен на рисунке) с , гипотенузой и катетами и . Тогда

   

Рассмотрим тригонометрическую окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Выберем произвольный угол , которому на окружности соответствует точка . Опустим перпендикуляры на оси координат, тогда

   

т.е. тангенс угла это отношение ординаты точки А к абсциссе. Так как синус угла равен значению ординаты точки А, а косинус угла равен значению абсциссы, то

   

Функция периодическая с периодом , т.е.

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В прямоугольном треугольнике с катетами см и см найти тангенсы углов и .
Решение	Так как тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то можем записать, что
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти , если
Решение	Преобразуем заданное выражение следующим образом:     или     Так как , то получаем, что
Ответ

Читайте также:

Тангенс двойного угла

Тангенс половинного угла

График тангенса

Сумма тангенсов

Разность тангенсов

Тангенс суммы

Тангенс разности

Область определения тангенса

ru.solverbook.com