Векторные диаграммы токов: правила построения диаграмм, онлайн построение

К сведению. Аналогичные процессы происходят в системах иной природы. Пример – создание аналога на основе электротехнического колебательного контура (последовательного или параллельного). Формулы остаются теми же с заменой соответствующих параметров.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двухмерной схемы. Скорость в этом случае на оси Х отображается так же, как и в одномерном варианте. Однако здесь можно учесть дополнительно фактор ускорения, которое направляют под углом 90° к предыдущему вектору.

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно воспользоваться для изучения взаимного влияния дополнительных факторов векторной графикой. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представляют в двухмерном виде. Чтобы правильно моделировать процесс, проверяют суммарное воздействие внешних сил. Его направляют к центру системы (точке равновесия). С применением геометрических формул вычисляют амплитуду механических колебаний после начального воздействия с учетом коэффициента затухания и других значимых факторов.

Расчет электрических цепей

Векторную графику применяют для сравнительно несложных цепей, которые созданы из набора элементов линейной категории: конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности. Для более сложных схем пользуются методикой расчета «Комплексных амплитуд», в которой реактивные компоненты определяют с помощью импедансов.

Векторная диаграмма для схемы соединений без нейтрального провода – звезда

Векторная диаграмма в данном случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, который упрощает решение геометрических задач. Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться комплексным исчислением, вводят специальный термин – реактивное сопротивление. При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Несложно увидеть подобие с классическим законом Ома. Однако в данном примере изменяется фаза. По этому параметру на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°. В индуктивности – обратное распределение. Эти особенности учитывают при размещении векторов на рисунке. В формуле учитывается частота, которая оказывает влияние на величину этого элемента.

Схемы и векторные диаграммы для идеального элемента и диэлектрика с потерями

Преобразование Фурье

Векторные технологии применяют для анализа спектров радиосигналов в определенном диапазоне. Несмотря на простоту методики, она вполне подходит для получения достаточно точных результатов.

Сложение двух синусоидальных колебаний

В ходе изучения таких источников сигналов рекомендуется работать со сравнительно небольшой разницей частот. Это поможет создать график в удобном для пользователя масштабе.

Фурье-образ прямоугольного сигнала

Дифракция

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Построение векторной диаграммы напряжений и токов

Для изучения технологии выберем однофазный источник синусоидального напряжения (U). Ток изменяется по формуле I=Im*cos w*t. Подключенная цепь содержит последовательно подключенные компоненты со следующими значениями:

• резистор: Ur=Im*R*cos w*t;
• конденсатор: Uc=Im*Rc*cos (w*t-π/2), Rc=1/w*C;
• катушка: UL= Im*RL*cos(w*t+π/2), RL=w*L.

При прохождении по цепи переменного тока на реактивных элементах будет соответствующий сдвиг фаз. Чтобы построить вектора правильно, рассчитывают амплитуды и учитывают изменение направлений. Ниже приведена последовательность создания графики вручную.

Диаграмма напряжений и токов на отдельных элементах

Далее с применением элементарных правил геометрии проверяют взаимное влияние векторов.

Решение векторного уравнения

На первом рисунке приведен результат сложения двух векторов при условии, когда Uc меньше UL. Добавив значение на сопротивление, получим результирующее напряжение Um. На третьей иллюстрации отмечен общий фазовый сдвиг.

Векторное отображение процессов в параллельном колебательном контуре, резонанс напряжений

В топографической диаграмме начало координат совмещают с так называемой точкой «нулевого потенциала». Такое решение упрощает изучение отдельных участков сложных схем.

Специализированный редактор онлайн

В интернете можно найти программу для построения векторных диаграмм в режиме online.

Видео

Векторная диаграмма токов и напряжений: график, обозначения, виды

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков — векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

Различают 2-х вида векторных диаграмм:

• точные;
• качественные.

Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:

Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

Качественные диаграммы изображаются с учетом взаимных соотношений между электрическими величинами, без указания численных характеристик.

Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.

Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.

Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:

Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ).

А остальные — изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.
Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:

i = Im sin (ω t + φ).

С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол — соответствующий фазе φ.

Проекция вектора на вертикальную ось и определяет значение мгновенного тока в начальный момент времени.

В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений — масштабом, поскольку:

I = Im /√2.

Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.

Векторные диаграммы электрических цепей | FaultAn.ru

При исследовании электрических цепей и моделировании часто пользуются векторными диаграммами токов и напряжений. Под векторной диаграммой понимается совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции времени [1].

Воспользуйтесь программой расчёта электрических цепей для построения векторных диаграмм онлайн.

Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел

Векторная диаграмма – это удобный инструмент представления синусоидальных функций времени, коими являются, к примеру, напряжения и токи электрической цепи переменного тока.

Рассмотрим, например, произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

i(t) = 10 sin(ωt + 30°).

Данный синусоидальный сигнал можно представить в виде комплексной величины

I = 10∠30°.

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Закон Ома в комплексной форме

Известно [1], что напряжение U на сопротивлении Z связано с током I, протекающим через это сопротивление, согласно закону Ома:

U = Z ∙ I.

Кроме того, известны соотношения, определяющие активное сопротивление резистора, индуктивное сопротивление катушки и ёмкостное сопротивление конденсатора:

Z_R = R, Z_L = jX_L, Z_C = −jX_C,

где X_L = ωL, X_C = 1/(ωC), R – сопротивление резистора, L – индуктивность катушки, C – ёмкость конденсатора, ω = 2pf – циклическая частота, f – частота сети, j – мнимая единица.

Векторная диаграмма при последовательном соединении элементов

Для построения векторных диаграмм сперва составляют уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1, и нарисуем для неё векторную диаграмму напряжений. Обозначим падение напряжение на элементах.

Рис. 1. Последовательное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по второму закону Кирхгофа:

U_R + U_L + U_C = E.

По закону Ома падение напряжений на элементах определяется по следующим выражениям:

U_R = I ∙ R,

U_L = I ∙ jX_L,

U_C = −I ∙ jX_C.

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости. Обычно вектора токов и напряжений отображаются в своих масштабах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что j = 1∠90°, −j = 1∠−90°. Отсюда при построении векторной диаграммы умножение какого-либо вектора на мнимую единицу j приводит к повороту этого вектора на 90 градусов против часовой стрелки, а умножение на −j приводит к повороту этого вектора на 90 градусов по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжений на комплексной плоскости сперва отобразим вектор тока I, после чего относительного него будем отображать вектора падений напряжений (рис. 2) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе U_R совпадает по направлению с током I (т.к. U_R = I ∙ R, а R – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (т.к. U_L = I ∙ jX_L, а умножение на j приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Падение напряжения на ёмкостном сопротивлении отстаёт от вектора тока на 90° (т.к. U_C = −I ∙ jX_C, а умножение на −j приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Рис. 2. Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении элементов цепи

Следует обратить внимание, что на одной векторной диаграмме изображают только векторы тех величин, у которых частота совпадает!

Векторная диаграмма при параллельном соединении элементов

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 3, и нарисуем для неё векторную диаграмму токов. Обозначим направление токов в ветвях.

Рис. 3. Параллельное соединение элементов цепи

Составим уравнение для данной цепи по первому закону Кирхгофа:

I­­ – I_R – I_L – I_C = 0,

откуда

I­­ = I_R + I_L + I_C.

Определим по закону Ома токи в ветвях по следующим выражениям, учитывая, что 1 / j = −j:

I_R = E / R,

I_L = E / (jX_L) = −j ∙ E / X_L,

I_C = E / (−jX_C) = j ∙ E / X_C,

Для построения векторной диаграммы необходимо отобразить приведённые в уравнении слагаемые на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сперва отобразим вектор ЭДС E, после чего относительного него будем отображать вектора токов токов (рис. 4) с учётом приведённых выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе I_R совпадает по направлению с ЭДС E (т.к. I_R = E / R, а R – чисто действительная величина или, простыми словами, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстаёт от вектора ЭДС на 90° (т.к. I_L = −j ∙ E / X_L, а умножение на −j приводит повороту этого вектора на 90° по часовой стрелки). Ток в ёмкостном сопротивлении опережает вектор ЭДС на 90° (т.к. I_C = j ∙ E / X_C, а умножение на j приводит повороту этого вектора на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Рис. 4. Векторная диаграмма токов при параллельном соединении элементов цепи

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен вышеизложенному с учётом протекаемых в ветвях токов и прикладываемых напряжений.

Обращаем ваше внимание, что на сайте представлен инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трёхфазных цепей.

Список использованной литературы

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Если вам нравится наш контент, помогите в развитии сайта.

Рекомендуемые записи

Векторные диаграммы. Построение векторных диаграмм

При расчете электрических цепей переменного тока пользуются весьма простым и наглядным способом графического изображения синусоидальных величин при помощи вращающихся векторов.

Обоснование векторной диаграммы

Предположим, что ток задан уравнением

i = I_msin(ωt +Ψ)

Проведем две взаимно перпендикулярные оси и из точки пересечения осей проведем вектор I_m, длина которого в определённом масштабе M_i выражает амплитуду тока I_m:

I_m = I_m/M_i

Направление вектора выберем так, чтобы с положительным направлением горизонтальной оси вектор составлял угол, равный начальной фазе Ψ (рис. 12.10).

Проекция этого вектора на вертикальную ось определяет мгновенный ток в начальный момент времени: i₀ = I_msinΨ.

Представим себе, что вектор I_m вращается против движения часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте ω. Его положение в любой момент времени определяется углом ωt +Ψ ,

Тогда мгновенный ток для произвольного момента времени t можно определить проекцией вектора I_m на вертикальную ось в этот момент времени.

Следующая статья сложение и вычитания векторов векторной диаграммы.

Например, для t = t1

i₁ = I_msin(ωt₁ +Ψ)

в общем случае

i = I_msin(ωt +Ψ)

Получили такое же уравнение, каким был задан переменный ток, что свидетельствует о возможности изображения тока вращающимся вектором при нанесении его на чертеж в начальном положении.

Построение векторной диаграммы

Вращая вектор I_m‘ против движения часовой стрелки, в прямоугольной системе координат построим график изменения проекции его на вертикальную ось в пределах одного оборота (одного периода). Получим известный уже график синусоидальной функции, соответствующий заданному уравнению.

При построении векторов положительные углы отсчитывают от положительного направления горизонтальной оси против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по ее движению.

В процессе расчета электрической цепи определяется ряд синусоидальных величин. Все их можно изобразить на одном чертеже при помощи вращающихся векторов, привязав к одной паре взаимно перпендикулярных осей.

Совокупность векторов, изображающих на одном чертеже несколько синусоидальных величин одинаковой частоты в начальный момент времени, называется векторной диаграммой.

Например, напряжение и ток в электрической цепи выражаются уравнениями:

u = 125 sin(ωt + 30°)

i = 12 sin(ωt — 20°).

Векторная диаграмма такой цепи изображена на рис. 12.11. Если выбрать масштабы напряжения и тока

M_u = 50 В/см; M_i = 4 А/см;

то

U_m = U_m/M_u = 125/50 = 2,5 см;     I_m = I_m = i_m/M_i = 12/4 = 3 см.

Векторная диаграмма содержит векторы синусоидальных величин одинаковой частоты, поэтому они вращаются с одинаковой частотой и их взаимное расположение не меняется.

Начало отсчета времени выбирают произвольно, поэтому один из векторов диаграммы можно направить произвольно; остальные же нужно располагать с учетом сдвига фаз по отношению к первому или предыдущему вектору.

Сложение и вычитание векторов

Главным достоинством векторных — это возможность простого сложения и вычитания двух величин. Например: требуется сложить, два тока, заданных уравнениями

Сложим два заданных тока i1 и i2 по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого изобразим токи в виде векторов из общего начала 0. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах:

I_m = I_m1 + I_m2

Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллель
но самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.

Вектор I_m, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, представляет собой сумму всех векторов (рис. 12.12, б).

Вычитание одного вектора из другого выполняют сложением прямого вектора (уменьшаемого) и обратного (вычитаемого) (рис. 12.13):

При сложении синусоидальных величин в отдельных случаях можно применить аналитическое решение: применительно к рис. 12.12, а — по теореме косинусов; к рис. 12.14, а — сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.

Построение векторной диаграммы напряжений. Катушка. Конденсатор. Сопротивление. Сдвиг фаз.

Достаточно сложным и чаще всего не изучаемым аспектом темы переменный ток является метод построения векторных диаграмм. Анализируя вынужденные электромагнитные колебания, мы уже обсудили сдвиг тока и напряжения на реактивных сопротивлениях (катушка индуктивности и конденсатор) по сравнению с активным сопротивлением (резистор). Тогда одним из задаваемых вопросов задачи является  вопрос о направлении суммарного тока или напряжения в данный конкретный момент времени. Для ответа на этот вопрос и используется метод построения векторных диаграмм.

Векторная диаграмма — это изображение гармонически изменяющихся величин (текущего тока и напряжения) в виде векторов на плоскости.

Рис. 1. Векторная диаграмма

Построение векторных диаграмм происходит в прямоугольной декартовой системе координат. Построение начинается с проведения вектора, численно равного амплитудному значению тока в цепи. Данный вектор сонаправим в осью ОХ (рис. 1.1).

Т.к. напряжение на активном сопротивлении находится в одной фазе с током, то вектор амплитуды напряжения сонаправлен с вектором тока (рис. 1.2. красный).

На катушке напряжение опережает ток, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на катушке () вверх под углом  относительно вектора тока (рис. 1.2. синий).

На конденсаторе напряжение отстаёт от тока, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на конденсаторе () вниз под углом  относительно вектора тока (рис. 1.2. зелёный).

Угол , используемый в логике построений, используется в случае идеальности контура и катушки.

Для построения общего вектора напряжения достаточно векторно сложить напряжения:

(1)

Проще всего сначала найти вектор-сумму  (т.к. они расположены вдоль одной прямой). В нашем случае, эти вектора разнонаправлены, найдём  (рис. 1.3. жёлтый).

И последнее, осталось сложить получившийся вектор с вектором  для получения значения полного напряжения в цепи (рис. 1.4. оранжевый). Для получения модуля вектора воспользуемся теоремой Пифагора, т.к. вектора находятся под прямым углом. Тогда:

(2)

Угол  — угол между вектором силы тока и полного напряжения называется сдвигом фаз между колебаниями силы тока и напряжения. Данный параметр можно найти и исходя из параметров системы:

(3)

Вывод:  задачи на данную тематику касаются поиска сдвига фаз между колебаниями силы тока и напряжения через график (рис. 1.4) или через соотношение (3), а также поиска полного напряжения в цепи также через график (рис. 1.4) или через соотношение (2).

Поделиться ссылкой:

РЕЛЕЙКА: Векторные диаграммы

 Понятие о векторах. На рис.1.4 приведена кривая изменения переменного тока во времени. Ток сначала растет от нуля (при φ=0º) до максимального положительного значения + I_max (при φ=90^о), затем убывает, переходит через нуль (при φ=180^о), достигает максимального отрицательного значения – I_max (при φ=270^о) и, наконец, возвращается к нулю (при φ=360^о). после этого цикл изменения тока повторяется.

      Кривая изменения переменного тока во времени, приведенная на рис.1.4, называется синусоидой. Время Т, в течение которого происходит полный цикл изменения тока, соответствующий изменению угла на 360^о, называется периодом переменного тока. Число периодов за 1 секунду называется частотой переменного тока. В промышленных

Где i – мгновенное значение тока, т.е. значение тока в каждый момент времени; Imax – максимальное значение тока; ω=2πf – угловая частота переменного тока, f=50 Гц, ω=2π·50=314; α – начальный угол, соответствующий моменту времени, с которого начинается отсчет времени (при t=0). Для частного случая, показанного на рис.1.4, α=0^о.

       Анализируя действие устройств релейной защиты и автоматики, необходимо сопоставлять токи и напряжения, складывать или вычитать их, определять углы между ними и производить другие операции. Пользоваться при этом кривыми, подобными приведенной на рис.1.4, неудобно, поскольку построение синусоид тока и напряжения занимает много времени и не дает простого и наглядного результата. Поэтому для упрощения принято изображать токи и напряжения в виде отрезков прямых линий, имеющих определенную длину и направление, — так называемых векторов (А0 на рис.1.4). один конец вектора закреплен на точке 0 – начало координат, а второй вращается против часовой стрелки.

     Мгновенное значение тока или напряжения в каждый момент времени определяется проекцией на вертикальную ось вектора, длина которого равна максимальному значению тока или напряжения. Эта проекция будет становится то положительной, то отрицательной, принимая максимальные значения при вертикальном расположении вектора. За время Т, равное периоду переменного тока, вектор совершит полный оборот по окружности (360^о), занимая последовательно положения 0А’,0A”, 0A’’’ и т.д. При частоте переменного тока 50 Гц вектор будет совершать 50 об/с.

          Таким образом, вектор тока или напряжения – это отрезок прямой, равный по величине максимальному значению тока или напряжения, вращающийся относительно точки 0 против движения часовой стрелки со скоростью, определяемой частотой переменного тока. Зная положение вектора в каждый момент времени, можно определить мгновенное значение тока или напряжения в данный момент. Так, для положения вектора тока 0А, показанного на рис.1.5, его мгновенное значение определяется проекцией на вертикальную ось, т.е. 0А”=0А sin φ.

        На основании рис.1.5 можно также сказать, что ток в данный момент времени имеет положительное значение. Однако это ещё не дает полного представления о протекании процесса в цепи переменного тока, так как неизвестно, что значит положительный или отрицательный ток, положительное или отрицательное напряжение.

     Для того чтобы векторные диаграммы токов и напряжений давали полную картину, их нужно увязать с фактическим протеканием процесса в цепи переменного тока, т.е. необходимо предварительно принять условные положительные направления токов и напряжений в рассматриваемой схеме. Без выполнения этого условия, если не заданы положительные направления токов и напряжений, любая векторная диаграмма не имеет никакого смысла.

     Рассмотрим простую однофазную цепь переменного тока, приведенную на рис.1.6, а. От однофазного генератора энергия предается в активное сопротивление нагрузкиR. Зададимся положительными направлениями токов и напряжений в рассматриваемой цепи. За условное положительное направление напряжения и ЭДС примем направление, когда потенциал вывода генератора или нагрузки, связанного с линией, выше потенциала вывода, соединенного с землей. В соответствии с правилами, принятыми в электротехнике, положительное направление для ЭДС обозначено стрелкой, направленной в сторону более высокого потенциала (от земли к линейному выводу), а для напряжения – стрелкой, направленной в сторону более низкого потенциала (от линейного вывода к земле).

       Переменный ток будет считать положительным, когда во внешней цепи он проходит от шин генератора к нагрузке (обозначено стрелкой). Построим векторы ЭДС и тока, характеризующие работу рассматриваемой цепи (рис.1.6, б). Вектор ЭДС произвольно обозначим вертикальной линией со стрелкой, направленной вверх. Для построения вектора тока запишем для цепи уравнение согласно второму закону Кирхгофа:

отсюда

Поскольку знаки векторов тока и ЭДС в выражении совпадают, вектор тока будет совпадать с вектором ЭДС и на рис.1.6, б.

      Здесь и в дальнейшем при построении векторов будем откладывать их по величине равным эффективному значению тока и напряжения, что удобно для выполнения различных математических операций с векторами. Как известно, эффективные значения тока и напряжений в √2 раз меньше соответствующих максимальных (амплитудных).

       При заданных положительных направлениях тока и напряжения однозначно определяется и знак мощности. Положительной в рассматриваемом случае будем считать мощность, направленная от шин генератора в линию:

так как векторы тока и ЭДС на рис.1.6, б совпадают.

     Аналогичные соображения могут быть высказаны и для трехфазной цепи переменного тока, показанной на рис.1.7, а. В этом случае во всех фазах приняты одинаковые положительные направления, чему соответствует симметричная диаграмма токов и напряжений, приведенная на рис.1.7, б. Отметим, что симметричной называется такая трехфазная система векторов, когда все три вектора равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на угол 120^о.

         Операции с векторами. Когда мы рассматриваем только одну кривую тока или напряжения, начальное значение угла, с которого начинается отсчет, или, иначе говоря, положение вектора на диаграмме, соответствующее начальному моменту времени, может быть принято произвольным. Если же одновременно рассматриваются два или несколько токов и напряжений, то, задавшись начальным положением на диаграмме одного из векторов, мы тем самым уже определяем положение всех других векторов.

      Очевидно, что положение вектора на плоскости определяется его проекциями на две любые оси. Так, например, для того чтобы определить положение вектора 0А(рис.1.9), достаточно знать его проекции на взаимно перпендикулярные оси:

0A’= 0A cos φ;

0A’’= 0A sin φ = 0A cos (90^o – φ).

       Отложим на осях координат проекции векторов 0А’ и 0А’’ и восстановим из точек А’ и A’’ перпендикуляры к осям. Точка пересечения этих перпендикуляров и есть точка А – один конец вектора, вторым концов которого является точка 0 – начало координат.

    Назначение векторных диаграмм. Работникам, занимающимся проектированием и эксплуатацией релейной защиты, часто приходится использовать в своей работе так называемые векторные диаграммы – векторы токов и напряжений, построенные на плоскости в определенном сочетании, соответствующем электрическим процессам, происходящим в рассматриваемой схеме.

          Анализ векторных диаграмм токов и напряжений является одним из важных, а в ряде случаев единственным способом проверки правильности соединения цепей тока и напряжения и включения реле в схемах дифференциальных и направленных защит.

       По сути построение векторной диаграммы целесообразно во всех случаях, когда к рассматриваемому реле подаются две или более электрические величины: разность токов в максимальной токовой или дифференциальной защите, ток и напряжение в реле направления мощности или в направленном реле сопротивления. Векторная диаграмма позволяет сделать заключение о том, как рассматриваемая защита будет работать при КЗ, т.е. оценить правильность ее включения. Взаимное расположение векторов токов и напряжений на диаграмме определяется характеристикой рассматриваемой цепи, а также условно принятыми положительными направлениями токов и напряжений. Для примера рассмотрим две векторные диаграммы.

    На рис.1.10 показана однофазная цепь переменного тока, состоящая из генератора и последовательно соединенных емкостного, активного и индуктивного сопротивлений (примем при этом, что индуктивное сопротивление больше емкостного Х_L > X_C). Положительные направления токов и напряжений, так же как и в случаях, рассмотренных выше, обозначены на рис.1.10, а стрелками.

     Построение векторной диаграммы начнем с вектора ЭДС Е, который расположим на рис.1.10, б вертикально. Ток, проходящий в рассматриваемой цепи, определится из следующего выражения:

    Поскольку в рассматриваемой цепи имеются активные и реактивные сопротивления, причем Х_L > X_C, вектор тока отстает от вектора напряжения на угол φ:

     Напряжение в точке n на рис.1.10, а определится согласно следующему выражению:

Рассмотрим другую цепь переменного тока, приведенную на рис.1.11, а, и построим векторную диаграмму, характеризирующую распределение токов в параллельных ветвях. Для построения диаграммы примем, что активное и емкостное сопротивление равны R=X_C.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое вектор? Зачем нужны векторные диаграммы?

2. Что такое частота переменного тока?

3. Что означает, когда говорят, что один вектор «опережает» или «отстает» от другого вектора?

4. Как производится сложение и вычитание векторов?

правила построения диаграмм, онлайн построение

В целом, для лучшего понимания процедур, происходящих в радиотехнических цепях, их взаимосвязи между собой, бывает недостаточно оперировать характеристиками и параметрами данной цепи, имеющими цифровое отображение. В связи с тем, что основная масса цепей характеризуется переменными значениями приложенного напряжения и протекающего тока, являющимися синусоидальными функциями времени, то исчерпывающий ответ по состоянию цепи может дать ее графическая презентация посредством векторной гистограммы.

Векторная диаграмма напряжений и токов

Разновидности векторных диаграмм

Любую характеристику электротехнической цепи, изменяющуюся по синусоидальному или косинусоидальному принципу, можно отобразить посредством точки на поверхности, в соответствующей системе величин. В качестве размерности по оси Х выступает действительный компонент параметра, по оси Y размещается воображаемая составляющая. Именно такие составляющие входят в алгебраическую модель записи комплексной величины. Последующее соединение точки на поверхности и нулевой точки системы координат позволит рассматривать эту прямую и ее угол с действительной осью как изображение комплексного числа. На практике положительно направленный отрезок принято называть вектором.

Векторной диаграммой принято называть множество положительно направленных отрезков на комплексной поверхности, которая соответствует комплексным значениям и параметрам гальванической цепи и их взаимосвязям. По своему характеру векторные диаграммы подразделяются на:

• Точные гистограммы;
• Качественные гистограммы.

Особенностями достоверных гистограмм является соблюдение пропорций всех характеристик и параметров, полученных путем вычислений. Данные диаграммы находят свое применение в проверке ранее проведенных расчетов. В основе использования качественных гистограмм лежит учет взаимного влияния характеристик друг на друга, и в основном они предшествуют расчетам либо заменяют их.

Векторные диаграммы токов и напряжений визуально отображают процесс достижения цели по расчету электротехнической цепи. При соблюдении всех правил по построению векторных отрезков можно просто из гистограммы установить фазы и амплитуды вещественных характеристик. Построение качественных гистограмм поможет контролировать правильный процесс решения задачи и с легкостью определить сектор с определяемыми векторами. В зависимости от особенностей построения, графические диаграммы делятся на такие типы:

1. Круговая диаграмма, представляющая собой графическую гистограмму, образованную вектором, описывающим своим концом круг или полукруг, при любых изменениях характеристик цепи;
2. Линейная диаграмма, представляющая собой графический рисунок в виде прямой линии, образованной вектором, посредством изменения характеристик цепи.

Построение векторной диаграммы напряжений и токов

Для лучшего понимания того, как построить векторную диаграмму токов и напряжений, следует рассматривать RLC цепь, состоящую из пассивного элемента в виде резистора и реактивных элементов в виде катушки индуктивности и конденсатора.

Схема цепи с последовательным соединением элементов

Перед тем, как построить векторную диаграмму токов и напряжений, необходимо охарактеризовать все известные параметры цепи. Согласно схемы цепи, изображенной на картинке а:

• U – величина переменного напряжения в текущий момент времени;
• I – мощность тока в заданный момент времени;
• UА – напряжение, падающее на активном сопротивлении;
• UC – напряжение, падающее на емкостной нагрузке;
• UL – напряжение, падающее на индуктивной нагрузке.

Поскольку входное напряжение U изменяется по колебательному закону, то сила тока характеризуется уравнением:

I=Im*cosωt, где:

• Im – максимальная амплитуда тока;
• ω – частота тока;
• t – время.

Суммарное входное напряжение, в соответствии со вторым законом Кирхгофа, равно общей величине напряжений на всех элементах цепи:

U=UC+UL+UA.

В соответствии с законом Ома, падение напряжения на резистивном компоненте равняется:

UA= Im*R*cosωt.

Противодействие току активного элемента зависит сугубо от свойства проводника и не обуславливается ни характеристиками тока, ни аспектом времени и, соответственно, имеет идентичный с напряжением фазовый сдвиг.

Поскольку конденсатору в цепи с электротоком, изменяющимся по синусоиде, свойственно наличие реактивного емкостного сопротивления, и ввиду того, что напряжение на нем постоянно имеет фазовое отставание от протекающего тока на π/2, то уместно выражение:

1. RC=XC=1/ωC;
2. UC=Im*RС*cos(ωt-π/2), где:

• RC – сопротивление конденсатора;
• XC – реактивный импеданс конденсатора;
• C – емкость конденсатора.

Реактивное индуктивное сопротивление катушки индуктивности обуславливается наличием изменяющегося по синусоидальному закону электротока, и поскольку напряжение на любом отрезке времени имеет фазовое опережение по отношению к электротоку на π/2, то формула, описывающая колебательный процесс на элементе, выглядит как:

1. RL=XL=ωL;
2. UL=Im*RL*cos(ωt+π/2), где:

• RL – сопротивление катушки индуктивности;
• XL – реактивный импеданс катушки индуктивности;
• L – индуктивность катушки.

Следовательно, общее напряжение, подведенное к цепи, выглядит:

U=Um*cos(ωt±φ), где:

• Um – максимальная величина напряжения;
• φ – фазовый сдвиг.

Ввиду того, что напряжение и электроток изменяются по синусоидальному закону, и их фиксированные показатели отличаются лишь фазовым сдвигом, то данные величины строятся как вектора.

В соответствии с законом сохранения электрического заряда, в любой момент времени сила протекающего тока одинакова, то целесообразно сформировать векторную гистограмму токов.

Векторная диаграмма токов и напряжений RLC цепочке

Пусть по оси Х отображается амплитудное значение электротока в цепочке. Поскольку напряжение и электроток на резисторе имеют одинаковый фазовый сдвиг, то вектора данных характеристик будут ориентированы в одну сторону, согласно картинке а.

Напряжение на емкостной нагрузке отстает от электрического тока на π/2, и его вектор будет направлен под прямым углом вниз, перпендикулярно напряжению активного сопротивления, согласно картинке в.

Напряжение на индуктивной нагрузке опережает электрический ток на π/2, и ее вектор будет ориентирован под прямым углом вверх, перпендикулярно напряжению на активном сопротивлении, согласно картинке б.

Для наглядности векторных преобразований пусть UL>UС. Сложив вектора напряжений на реактивных компонентах, получаем, что вектор UL-UС будет направлен перпендикулярно вверх. Суммировав вектора разности напряжений на реактивных компонентах и напряжения на сопротивлении получаем вектор, характеризующий дисперсное значение общего напряжения, согласно картинке 2(б).

Аналогично электрическому току, изменяющемуся по синусоидальному закону, напряжение меняется по такому же закону, однако с некоторым фазовым сдвигом. Наблюдается постоянный фазовый сдвиг между напряжением и током.

После простых преобразований по постулату Ома, уравнение полного импеданса заданной электрической цепи выглядит как:

Z=√R2+(1/ωC- ωL)2.

Векторная гистограмма общего и реактивных сопротивлений изображена на картинке 2в.

Построение векторных диаграмм токов и напряжений может значительно упростить процесс расчета характеристик контура. Вместе с тем сама процедура позволит наглядно видеть поведение исследуемых характеристик, в зависимости от входных величин. При большом объеме вычислительных операций целесообразно воспользоваться одной из онлайн программ по построению векторных графиков.

Видео

векторная диаграмма | Статья о векторной диаграмме от Free Dictionary

— графическое представление значений периодически изменяющихся величин и взаимосвязей между ними посредством направленных сегментов линии, называемых векторами.

Векторные диаграммы широко используются в электротехнике, акустике, оптике и других областях науки. Простые гармонические функции одного периода, например,

f ₁ = B ₁ sin ω t

f ₂ = B ₂ sin (α + ω t )

f ₃ = B ₃ sin (β + ω t )

можно представить графически (см. рисунок 1) в виде проекций на O _y оси векторов OA ₁ OA ₂ и OA ₃ , вращающиеся с постоянной угловой скоростью ω, а OA ₂ и OA ₃ повернуты на углы α и β относительно OA ₁ .Длина векторов соответствует амплитуде колебания:

Сумма или разность двух или более колебаний указывается на векторной диаграмме как геометрическая сумма или разность векторов колебаний составляющих, полученных согласно по правилу параллелограмма, а мгновенное значение неизвестной величины определяется проекцией векторной суммы на ось O _y .

Рисунок 1

Например, требуется найти сумму F колебаний f _l с амплитудой OA ₁ и f ₂ с амплитудой OA ₂ .Путем геометрического сложения векторов OA ₁ и OA ₂ на векторной диаграмме находим, что амплитуда суммарного колебания F равна длине вектора OC = OA ₁ + OA ₂ и опережает колебание f ₁ по фазе на угол φ

Создание, изменение и доступ к элементам вектора

Из этой статьи вы узнаете о векторах в программировании R. Вы научитесь создавать их, получать доступ к их элементам с помощью различных методов и изменять их в своей программе.

Вектор — это базовая структура данных в R. Она содержит элементы того же типа. Типы данных могут быть логическими, целочисленными, двойными, символьными, сложными или необработанными.

Тип вектора можно проверить с помощью функции typeof () .

Еще одно важное свойство вектора — это его длина.Это количество элементов в векторе, которое можно проверить с помощью функции length () .

Как создать вектор в R?

Векторы обычно создаются с помощью функции c () .

Поскольку вектор должен иметь элементы одного типа, эта функция попытается привести элементы к одному и тому же типу, если они различны.

Принуждение — это от низшего к высшему типу от логического к целому числу до двойного к символьному.

 > х <- с (1, 5, 4, 9, 0)
> typeof (x)
[1] "двойной"
> длина (x)
[1] 5
> x <- c (1; 5.4; ИСТИНА; "привет")
> х
[1] «1» «5.4» «ИСТИНА» «привет»
> typeof (x)
[1] "персонаж"  

Если мы хотим создать вектор последовательных чисел, очень полезен оператор : .

Пример 1: Создание вектора с помощью оператора

 > x <- 1: 7; Икс
[1] 1 2 3 4 5 6 7
> у <- 2: -2; Y
[1] 2 1 0 -1 -2  

Более сложные последовательности могут быть созданы с помощью функции seq () , например, определение количества точек в интервале или размера шага.

Пример 2: Создание вектора с помощью функции seq ()

> seq (1, 3, by = 0.2) # указать размер шага
[1] 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
> seq (1, 5, length.out = 4) # указать длину вектора
[1] 1.000000 2.333333 3.666667 5.000000
 

Как получить доступ к элементам вектора?

Доступ к элементам вектора можно получить с помощью векторной индексации. Вектор, используемый для индексации, может быть логическим, целочисленным или символьным вектором.

Использование целочисленного вектора в качестве индекса

Векторный индекс в R начинается с 1, в отличие от большинства языков программирования, где индекс начинается с 0.

Мы можем использовать вектор целых чисел в качестве индекса для доступа к определенным элементам.

Мы также можем использовать отрицательные целые числа для возврата всех элементов, кроме указанных.

Но мы не можем смешивать положительные и отрицательные целые числа, в то время как индексирование и действительные числа, если они используются, усекаются до целых.

 > х
[1] 0 2 4 6 8 10
> x [3] # доступ к 3-му элементу
[1] 4
> x [c (2, 4)] # доступ ко 2-му и 4-му элементам
[1] 2 6
> x [-1] # доступ ко всем, кроме 1-го элемента
[1] 2 4 6 8 10
> x [c (2, -4)] # нельзя смешивать положительные и отрицательные целые числа
Ошибка в x [c (2, -4)]: только 0 могут быть смешаны с отрицательными индексами
> х [c (2.4, 3.54)] # действительные числа обрезаются до целых
[1] 2 4
  

Использование логического вектора в качестве индекса

Когда мы используем логический вектор для индексации, возвращается позиция, в которой логический вектор равен ИСТИНА .

Эта полезная функция помогает нам фильтровать вектор, как показано ниже.

 > x [c (ИСТИНА, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ИСТИНА)]
[1] -3 3
> x [x <0] # векторов фильтрации на основе условий
[1] -3 -1
> х [х> 0]
[1] 3
  

В приведенном выше примере выражение x> 0 даст логический вектор (FALSE, FALSE, FALSE, TRUE) , который затем используется для индексации.

Использование вектора символов в качестве индекса

Этот тип индексации полезен при работе с именованными векторами. Мы можем назвать каждый элемент вектора.

 > x <- c («первый» = 3, «второй» = 0, «третий» = 9)
> имена (х)
[1] «первый» «второй» «третий»
> x ["секунда"]
второй
0
> x [c («первый», «третий»)]
первая треть
3 9
  

Как изменить вектор в R?

Мы можем изменить вектор с помощью оператора присваивания.

Мы можем использовать описанные выше методы для доступа к определенным элементам и их изменения.

Если мы хотим усечь элементы, мы можем использовать переназначения.

 > х
[1] -3 -2 -1 0 1 2
> х [2] <- 0; x # изменить 2-й элемент
[1] -3 0 -1 0 1 2
> х [х <0] <- 5; x # изменять элементы меньше 0
[1] 5 0 5 0 1 2
> х <- х [1: 4]; x # усечь x до первых 4 элементов
[1] 5 0 5 0
  

Как удалить вектор?

Мы можем удалить вектор, просто присвоив ему NULL .

 > х
[1] -3 -2 -1 0 1 2
> x <- NULL
> х
НОЛЬ
> х [4]
НОЛЬ