Логарифмическая функция
Основные сведения
Логарифмической функцией называется функция вида y = logax, где a > 0 и a ≠ 1.
График функции имеет следующий вид:
Рассмотрим свойства функции:
- Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
- Множеством значений функции являются все действительные числа R.
- Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
- Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
- Функция непереодическая.
- Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
- При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 функция убывает.
Примеры решения задач
Задание 1.
В одной координатной плоскости построить графики функций:
- y = log2x
- y = log3x
- y = log5x
- y = log10x
Решение.
Для начала построим график функции y = log2x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.
| x | 1 | 2 | 4 | 8 | |||
| y(x) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log2x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.
Подобным образом построим графики остальных функций.
Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).
Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.
Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
Задание 2.
В одной координатной плоскости построить графики функций:
Решение.
Для начала построим график функции. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.
| x | 1 | 2 | 4 | 8 | |||
| y(x) | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -3 |
Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.
Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0 < < 1.
Подобным образом построим графики остальных функций.
Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).
Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.
Чем меньше основание a (если 0 < a < 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.
Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Задание 3.
Найти обасть определеления функции:
- y = logπ(2x-4)
- y = log2((x-1)(x+5))
Решение
1. y = logπ(2x-4).
Область определения данной функции задается следующим неравенством:
2x-4 > 0
Решим это линейное неравенство:
2x > 4 → x > 2
Ответ: D(y): (2; +∞).
2. y = log2((x-1)(x+5)).
Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.
Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:
x-1 = 0 → x = 1
x+5 = 0 → x = -5
Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.
Поскольку решаем неравенство со знаком «>», то оставляем промежутки со знаком «+», т. е D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).
y = log2*(|x|)
Дано$$f{left (x right )} = log{left (2 right )} left|{x}right|$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0значит надо решить уравнение:
$$log{left (2 right )} left|{x}right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в log(2)*|x|.
$$log{left (2 right )} left|{0}right|$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(log{left (2 right )} left|{x}right|right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(2)*|x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{left|{x}right|}{x} log{left (2 right )}right) = – log{left (2 right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x log{left (2 right )}$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
– Да
$$log{left (2 right )} left|{x}right| = – log{left (2 right )} left|{x}right|$$
– Нет
значит, функция
является
чётной
100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА
В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.
— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?
— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.
Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.
Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.
— Расскажите поподробнее?
— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.
— Система оценивания останется прежней?
— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.
Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.
— А апелляция?
— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.
— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?
— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.
— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?
— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.
— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?
— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.
— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?
— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.
Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.
— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?
— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.
— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?
— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.
— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?
— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.
Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.
— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?
— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.
— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?
— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.
Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.
— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?
Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.
— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?
— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.
Калькулятор онлайн — Решение логарифмических уравнений
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Логарифмическая функция. Логарифмы
Задача 1. Найти положительный корень уравнения x4 = 81
По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4]{81} = 3 \)
Задача 2. Решить уравнение 3x = 81
Запишем данное уравнение так: 3x = 34, откуда x = 4
В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3.{-2} = \frac{1}{25}$$
Решить уравнение log3(1-x) = 2
По определению логарифма 32 = 1 — x, откуда x = -8
Свойства логарифмов
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:
1) loga(bc) = logab + logac
3) logabr = r logab
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.
Определение.{\infty} \frac{1}{n!} $$ $$ e \approx 2,7182818284 $$
Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы
чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:
Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} , \;\; \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $$
Логарифмическая функция, её свойства и график
В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = logax
где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1 \)
Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.
2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.
3) Логарифмическая функция не является ограниченной.
4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,
и убывающей, если 0
5) Если a > 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0
Если 0 ax принимает положительные значения при 0
отрицательные при х > 1.
Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax
Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:
Теорема. Если logax1 = logax2 где a > 0, \( a \neq 1 \), x1 > 0, x2 > 0, то x1 = x2
Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = ax, где a > 0, \( a \neq 1 \), взаимно обратны.
Логарифмические уравнения
Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма
верно равенство
log2((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8
х2 + 4х + 3 = 8, т.е. х2 + 4x — 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого
уравнения.
Ответ x = 1
Решить уравнение lg(2x2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x2 — 4x + 12) = lg(x2 + 3x)
откуда
2x2 — 4x + 12 = x2 + 3x
x2 — 7x + 12 = 0
x1 = 3, х2 = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 3, х2 = 4
Решить уравнение log4(2x — 1) • log4x = 2 log4(2x — 1)
Преобразуем данное уравнение:
log4(2x — 1) • log4x — 2 log4(2x — 1) = 0
log4(2х — 1) • (log4 x — 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log4 (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х1 = 1
2) log4 х — 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 1, х2 = 16
Урок 28. логарифмические неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Урок Конспект Дополнительные материалыЛогарифмические неравенства
Каждой функции поставьте в соответствие ее область определения:
Подсказка$D(x)∈(0; +∞) $
Логарифмические неравенства
Укажите наибольшее целое x, при котором выполняется неравенство $log_{4}{x}$ $\gt$ $log_{4}{(3x−4)}$
Подсказка$a > 1$ $\log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) > g(x)\\ f(x) > 0 \\g(x) > 0\end{cases}$ (знак неравенства сохраняется)
Логарифмические неравенства
Решением неравенства $\log_{3}{(x^{2}+6)}\leq \log_{3}{5x}$ является промежуток
Ответ запишите без использования [ ], например 4; 6
Подсказка$a > 1$ $\log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) > g(x)\\ f(x) > 0 \\g(x) > 0\end{cases}$ (знак неравенства сохраняется)
Логарифмические неравенства
Найдите наименьшее целое x, при котором выполняется неравенство:
1) $\log_{\frac{1}{4}}{x} > \log_{\frac{1}{4}}{4x}.$ Ответ: x = ___
2) $\log_{3}{(16-12x)} \leq \log_{3}{4x}.$ Ответ: x = ___
3) $\log_{3}{(x-1)} \geq 1+\log_{3}{2}.$ Ответ: x = ___
Подсказка$a > 1$ $\log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) > g(x)\\ f(x) > 0 \\g(x) > 0\end{cases}$ (знак неравенства сохраняется) $0 \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) 0 \\g(x) > 0\end{cases}$ (знак неравенства меняется)
Логарифмические неравенства
Установите соответствие между неравенствами и их решениями
Подсказка$0 \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) 0 \\g(x) > 0\end{cases}$ (знак неравенства меняется)
$\log_{\frac{1}{5}}{x} < -1$
$\log_{\frac{1}{5}}{x} < 1$
$\log_{\frac{1}{5}}{x} > 1$
$\log_{\frac{1}{5}}{x} > -1$
Логарифмические неравенства
Найдите названия наук и предметных областей, где нашли своё применение логарифмы.{2}+1,5x)}}.$
Подчеркните верный ответ.
ПодсказкаАрифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа.
- $(-∞; -2)∪(0,5; +∞)$
- $ (-2; 0,5)$
- $ (-∞; -2)$
- $ (0,5; +∞)$
Логарифмические неравенства
Решите неравенства:
$\log_{2}{x} \gt -2$
$\log_{2}{x} \gt 2$
$\log_{2}{x} \leftarrow 2$
$\log_{2}{x} \lt 2$
Логарифмические неравенства
При каких значениях x график функции $y=log_{0,3}{(2−3x)}$ лежит выше прямой y = 1?
ПодсказкаГрафик лежит выше, значит при одном и том же значении x значение функции больше.{\log_{4}{(X-2)}}}+\log_{0,5}{(X-2)} > -4$
ПодсказкаСначала применить основное логарифмическое тождество.
Логарифмические функции
Поставьте в соответствие функции ее область определения
ПодсказкаЕсли обе части неравенства умножаем на положительное число, то знак неравенства не меняем, а если на отрицательное, то знак неравенства меняем.
Логарифмические неравенства
Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства $-2 < \log_{0,5}{(x-3)} < -1$
ПодсказкаСоставьте систему неравенств с учетом основания логарифма и допустимых значений x.
Логарифмические неравенства
Найдите наименьшее целое решение неравенства:
1) $\log_{x}{2}<5; x=$
2) $\log_{6}{(\frac{x}{5}-\frac{2}{15})}>0; x=$
3) $\log_{0,5}{(3x-2)} < -4; x=$
4) $\log_{\frac{1}{7}}{(3x-4)} \leq \log_{\frac{1}{7}}{(x+2)}; x=$
Подсказка$a > 1$ $\log_{a}{f(x)} > \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) > g(x)\\ f(x) > 0 \\g(x) > 0\end{cases}$ (знак неравенства сохраняется) $0 \log_{a}{g(x)}\Leftrightarrow \begin{cases}f(x) 0 \\g(x) > 0\end{cases}$ (знак неравенства меняется)
Логарифмические неравенства
Сколько целых чисел являются решениями неравенства?
1) $\log_{0,7}{(x^{2}+10x+25)}>0.{2}_{0,2}{x}-5\log_{0,2}{x}<-6$
3) $\log_{\sqrt{6}}{(x-4)}+\log_{\sqrt{6}}{(x+1)}<2$
Подсказка1. Замена переменной. 2. Сумма логарифмов.
Логарифмические функции и их графики
4.2 — Логарифмические функции и их графикиФункция, обратная экспоненциальной
В разделе об экспоненциальных функциях мы заявили, что экспоненциальные функции взаимно однозначны. Один к одному функции обладали тем особенным свойством, что они имели обратные это тоже функции. И, как многие из вас говорили в классе, и я так рад, что вы помните, функции «один-к-одному» могут применяться к обеим сторонам уравнения. Они также проходят горизонтальная линия тест.
Этот раздел посвящен обратной экспоненциальной функция. Обратной к экспоненциальной функции является логарифмическая функция. Помните, что обратное функция получается переключением координат x и y. Это отражает график относительно прямой y = x. Как видно из графика справа, логарифмическая кривая является отражением экспоненциальной кривой.
В таблице ниже показано, как значения x и y точек экспоненты кривую можно переключить, чтобы найти координаты точек на логарифмической изгиб.
| Точка на экспоненциальной кривой | Соответствующая точка на логарифмической кривой |
|---|---|
| (-3, 1/8) | (1/8, -3) |
| (-2, 1/4) | (1/4, -2) |
| (-1, 1/2) | (1/2, -1) |
| (0, 1) | (1, 0) |
| (1, 2) | (2, 1) |
| (2, 4) | (4, 2) |
| (3, 8) | (8, 3) |
Сравнение экспоненциальной и логарифмической функций
Давайте посмотрим на некоторые свойства из двух функций.
Стандартная форма логарифмической функции: y = log a x
Обратите внимание: если «a» в приведенном выше выражении не является нижним индексом (ниже, чем «журнал»), тогда вам нужно обновить веб-браузер.
Рабочее определение логарифма
В экспоненциальной функции x был показателем.Назначение обратной функции — чтобы сообщить вам, какое значение x использовалось, когда вы уже знаете значение y. Итак, цель логарифм должен сказать вам показатель степени.
Таким образом, наше простое определение логарифма состоит в том, что это показатель степени.
Другой способ взглянуть на выражение «log a x» — это «до какой степени (экспоненты) нужно возвести получить х? »
Эквивалентные формы
Логарифмическая форма уравнения y = log a x эквивалентна экспоненциальной форме x = a y .
Чтобы переписать одну форму в другую, оставьте основу такой же и поменяйте сторону с двумя другими значения.
Свойства логарифмов
- журнал a 1 = 0, поскольку 0 = 1
- Неважно, каково основание, если оно допустимо, логарифм 1 всегда равен 0. Это потому что логарифмические кривые всегда проходят через (1,0)
- журнал a a = 1, потому что 1 = a
- Любое значение, возведенное в первую степень, означает, что такое же значение.
- журнал a a x = x
- Логарифмическое основание x и степень x являются обратными функциями. Всякий раз, когда обратный функции применяются друг к другу, они инвертируются, и вы остаетесь с то аргумент, в данном случае x.
- log a x = log a y означает, что x = y
- Если два бревна с одинаковым основанием равны, то аргументы должны быть равны.
- журнал a x = log b x означает, что a = b
- Если два логарифма с одним и тем же аргументом равны, то основания должны быть равны.
Обычные журналы и натуральные журналы
На вашем калькуляторе есть две кнопки логарифма. Один помечен как «журнал» и другой отмечен «пер». Ни в одном из них нет записанной базы. Базу можно определить, однако, глядя на обратную функцию, которая написана над ключом и доступ осуществляется с помощью клавиши 2 nd .
Десятичный логарифм (основание 10)
Если вы видите записанный «журнал» без базы, предположите, что база равна 10.
То есть: журнал x = журнал 10 x.
Некоторые приложения, в которых используются десятичные логарифмы, относятся к pH (для измерения кислотности), децибелам. (интенсивность звука), шкала Рихтера (землетрясения).
Интересное (возможно) примечание о pH. «Глава 50: Канализация» деревни Кодекса Форсайта запрещает сброс отходов с pH ниже 5,5 или выше 10,5 (раздел 50.07).
Общие журналы служат и для другой цели. Каждое увеличение десятичного логарифма на единицу является результатом 10-кратного аргумента.То есть землетрясение силой 6,3 балла имеет 10 раз больше 5.3 землетрясение. Уровень децибел громкой рок-музыки или бензопилы (115 децибел = 11,5 бел) в 10 раз громче, чем цыплята внутри здания (105 децибел = 10,5 бел)
Натуральные логарифмы (основание е)
Помните тот номер e , который у нас был из предыдущего раздела? Вы знаете, тот, который был приблизительно 2,718281828 (но не повторяется и не прерывается). Это основа для естественного логарифм.
Когда вы видите написанное «ln», это означает, что основание — e .
То есть: ln x = log e x
Модели экспоненциального роста и спада — это одно приложение, в котором используются натуральные логарифмы. Этот включает непрерывное соединение, радиоактивный распад (период полураспада), рост населения. Обычно приложения, в которых процесс происходит постоянно. Теперь эти приложения были первыми упомянутые в экспоненциальном разделе, но вы сможете решить для других переменных задействованы (после раздела 4) с использованием логарифмов.
В математике более высокого уровня натуральный логарифм — это логарифм выбора. Есть несколько особые свойства функции натурального логарифма и ее обратной функции, которые сильно делают жизнь проще в исчислении.
Поскольку «ln x» и « e x » являются обратными функциями друг друга, каждый раз, когда «ln» и «e» появляются справа рядом друг с другом, между ними абсолютно ничего нет (то есть, когда они составлены друг с другом), затем они инвертируются, и вы остаетесь с Аргумент.
Калькулятор журнала
Укажите любые два значения для вычисления третьего в уравнении логарифма log b x = y . Он может принимать «e» в качестве базового ввода.
Связанный научный калькулятор | Калькулятор экспонентыЧто такое журнал?
Логарифм или журнал — это величина, обратная математической операции возведения в степень. Это означает, что логарифм числа — это число, до которого должно быть увеличено фиксированное основание, чтобы получить число. Обычно лог подразумевает, что используется база 10, хотя технически база может быть чем угодно.Когда основание — e, обычно пишется ln, а не log e . log 2 , двоичный логарифм, является еще одним основанием, которое обычно используется с логарифмами. Если например:
x = b y ; тогда y = log b x; где b — база
Каждая из упомянутых баз обычно используется в разных приложениях. База 10 обычно используется в науке и технике, база E — в математике и физике, а база 2 — в информатике.
Основные правила ведения журнала
Если аргумент логарифма является произведением двух цифр, логарифм можно переписать как сложение логарифма каждой из цифр.
журнал b (x × y) = журнал b x + журнал b y
Пример: журнал (1 × 10) = журнал (1) + журнал (10) = 0 + 1 = 1
Если аргумент логарифма — дробь, логарифм можно переписать как вычитание логарифма числителя минус логарифм знаменателя.
журнал b (x / y) = журнал b x — журнал b y
Пример: журнал (10/2) = журнал (10) — журнал (2) = 1 — 0,301 = 0,699
Если в аргументе логарифма есть показатель степени, показатель степени можно вынуть из логарифма и умножить.
журнал b x y = y × log b x
Пример: журнал (2 6 ) = 6 × журнал (2) = 1,806
Также можно изменить основание логарифма, используя следующее правило.
Для переключения основания и аргумента используйте следующее правило.
Другие десятичные логарифмы, на которые следует обратить внимание, включают:
журнал b (1) = 0
журнал b (b) = 1
журнал b (0) = undefined
lim x → 0 + log b (x) = — ∞
ln (e x ) = x
Решение логарифмических уравнений с экспонентами
Purplemath
Второй тип логарифмического уравнения требует использования отношения:
—Взаимосвязь—
y = b x
……….. эквивалентно …………
(означает то же самое, что и)
журнал b ( y ) = x
В анимированной форме два уравнения связаны, как показано ниже:
MathHelp.com
Обратите внимание, что основание как в экспоненциальной форме уравнения, так и в логарифмической форме уравнения — «b», но x и y меняют сторону при переключении между двумя уравнениями.Если вы помните это — что бы ни было , было аргументом журнала, становится «равным», а все, что было «равным», становится экспонентой в экспоненте, и наоборот — тогда у вас не должно быть слишком много проблемы с решением уравнений журнала.
Поскольку это уравнение имеет форму «журнал (чего-то) равен числу», а не «журнал (чего-то) равен журналу (чего-то еще)», я могу решить уравнение, используя Соотношение:
журнал 2 ( x ) = 4
2 4 = x
16 = х
Я могу решить эту проблему, преобразовав логарифмический оператор в его эквивалентную экспоненциальную форму, используя The Relationship:
Но 8 = 2 3 , поэтому я могу приравнять степени двойки:
Обратите внимание, что это также можно было решить, работая непосредственно с определением логарифма.
Какая сила при установке на «2» даст вам 8? Конечно же, сила 3!
Если вы хотите много работать, вы также можете сделать это в своем калькуляторе, используя формулу замены базы:
Подключите это к своему калькулятору, и вы получите «3» в качестве своего ответа. Хотя этот метод смены базы не особенно полезен в данном случае, вы можете видеть, что он действительно работает. (Попробуйте это сделать на своем калькуляторе, если вы еще этого не сделали, чтобы быть уверенным, что вы знаете, какие клавиши нажимать и в каком порядке.Эта техника понадобится вам в последующих задачах.
Я не говорю, что вы обязательно захотите, чтобы решал уравнения, используя формулу замены базы, или всегда используя определение журналов, или какой-либо другой конкретный метод. Но я предлагаю вам убедиться, что вы знакомы с различными методами, и что вы не должны паниковать, если вы и ваш друг использовали полностью разных методов для решения одного и того же уравнения.
Журнал решения
2 ( x ) + лог 2 ( x — 2) = 3
Я пока ничего не могу сделать с этим уравнением, потому что у меня его еще нет в форме «журнал (чего-то) равно числу». Поэтому мне нужно использовать правила журнала, чтобы объединить два члена в левой части уравнения:
журнал 2 ( x ) + журнал 2 ( x — 2) = 3
журнал 2 [( x ) ( x — 2)] = 3
журнал 2 ( x 2 -2 x ) = 3
Теперь уравнение устроено удобным образом.На этом этапе я могу использовать Отношение, чтобы преобразовать логарифмическую форму уравнения в соответствующую экспоненциальную форму, а затем я могу решить результат:
журнал 2 ( x 2 -2 x ) = 3
2 3 = x 2 -2 x
8 = x 2 -2 x
0 = x 2 -2 x -8
0 = ( x -4) ( x + 2)
x = 4, –2
Но если x = –2, то «log 2 ( x )» из исходного логарифмического уравнения будет иметь отрицательное число в качестве аргумента (как и термин «log 2 ( x — 2) «).Поскольку журналы не могут иметь нулевых или отрицательных аргументов, решение исходного уравнения не может быть x = –2.
Тогда мое решение:
Имейте в виду, что вы всегда можете проверить свои ответы на любое упражнение «решение», вставив эти ответы обратно в исходное уравнение и проверив, что решение «работает». В этом случае я вставлю свое значение решения в любую сторону исходного уравнения и проверю, что каждая сторона оценивает одно и то же число:
левая сторона:
журнал 2 ( x ) + журнал 2 ( x — 2)
= журнал 2 (4) + журнал 2 (4-2) 3
= журнал 2 (4) + журнал 2 (2)
= журнал 2 (2 2 ) + журнал 2 (2 1 )
= 2 + 1 = 3
Правая часть исходного уравнения уже была упрощена до «3», поэтому это решение проверяется.
Это уравнение может показаться слишком сложным, но это всего лишь еще одно логарифмическое уравнение. Чтобы решить эту проблему, мне нужно дважды применить The Relationship. Я начинаю с исходного уравнения и работаю с «внешним» журналом:
Отношение преобразует вышеуказанное в:
Теперь я применяю Отношение во второй раз:
Тогда решение:
Журнал решения
2 ( x 2 ) = (журнал 2 ( x )) 2
Во-первых, я расширю квадрат справа, чтобы он был явным произведением двух бревен:
журнал 2 ( x 2 ) = [журнал 2 ( x )] 2
журнал 2 ( x 2 ) = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x )]
Затем я применяю правило журнала, чтобы переместить «квадрат» изнутри журнала в левой части уравнения, вынимая его перед этим журналом в качестве множителя:
2 · журнал 2 ( x ) = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x )]
Затем я перенесу этот член из левой части уравнения в правую:
0 = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x )] — 2 · журнал 2 ( x )
Это уравнение может показаться плохим, но внимательно присмотритесь.На данный момент это не более чем упражнение по факторингу. Итак, я фактор, а затем я решу факторы, используя The Relationship:
.0 = [журнал 2 ( x )] [журнал 2 ( x ) — 2]
журнал 2 ( x ) = 0 или лог 2 ( x ) — 2 = 0
2 0 = x или лог 2 ( x ) = 2
1 = x или 2 2 = x
1 = x или 4 = x
Тогда мое решение:
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении логарифмических уравнений (или пропустите виджет и продолжите урок).Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelog2.htm
Логарифмические и экспоненциальные графики
Экспоненциальные функции
y = a x
Обычная экспоненциальная функция всегда имеет точки
(0, 1), (1, основание) и (-1, 1 / основание)
поскольку
a 0 = 1, a 1 = a и a -1 = 1 / a
Ось x — это асимптота, график никогда не пересекает ось x.
Когда база больше 1
А когда база меньше 1
Пример
Чтобы вычислить значения y, возведите x в степень основания.
y = 2 x
Таблица значений
Обычная функция журнала всегда имеет точки
(1, 0) и (основание, 1)
с
log a 1 = 0 и loga a = 1
Ось y — это асимптота, график никогда не пересекает ось y.
Пример
Для вычисления значений y,
Если y = a x
x = журнал a y
Сдвиг графиков журнала влево и вправо
Возьмите график y = logx
Здесь база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)
Теперь возьмем графики y = log (x + 2) и y = log (x-2)
Обратите внимание, как они меняют направление!
Переключение вверх и вниз
Опять же, база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)
(1,0) переместился в (1, 2), а (10,1) переместился в (10,3)
(1,0) переместился в (1, -2), а (10,1) переместился в (10, -1)
Собираем все вместе
График ниже имеет уравнение y = log (x + a) + b.
Найдите значения целых чисел a и b.
Запишите уравнение графика.
Во-первых, обратите внимание на асимптоту при x = -3.
График сместился на три места влево.
Это означает, что a должно быть 3.
, поэтому y = log (x + 3) + b.
База 10, так как в журнале нет нижнего индекса.
Это означает, что точка (10,1) обычно существует.
Однако это переместилось на три позиции влево, поэтому
ожидаем точку (7,1)
На графике, когда x = 7, y = -1.
Это означает, что график сдвинулся на два деления вниз.
b должно быть равно -2.
, поэтому a = 3, b = -2
и y = log (x + 3) –2
Калькулятор логарифмов log (x)
Калькулятор логарифмов находит результат логарифмической функции (можно назвать экспонентой) из заданного основного числа и действительного числа.
Логарифм
Логарифм считается одним из основных понятий в математике.Определений существует множество, начиная от действительно сложных и заканчивая довольно простыми. Чтобы ответить на вопрос, что такое логарифм, давайте взглянем на таблицу ниже:
Это таблица, в которой мы можем видеть значения двух квадратов, двух кубов и так далее. Это операция в математике, известная как возведение в степень . Если мы посмотрим на числа в нижней строке, мы можем попытаться найти значение мощности, до которого нужно возвести 2, чтобы получить это число. Например, чтобы получить 16, необходимо возвести два в четвертую степень.А чтобы получить 64, нужно возвести два в шестую степень.
Следовательно, логарифм — это показатель степени, до которого необходимо возвести фиксированное число (которое называется основанием), чтобы получить число y. Другими словами, логарифм можно представить в следующем виде:
журнал b x = y
, где b — основание, x — действительное число, а y — показатель степени.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм 8 по основанию 2 равен 3, потому что 2 3 = 8).
Аналогично, log 2 64 = 6, потому что 2 6 = 64.
Следовательно, очевидно, что логарифмическая операция является обратной по отношению к возведению в степень .
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| журнал 2 2 = 1 | журнал 2 4 = 2 | журнал 2 8 = 3 | журнал 2 16 = 4 | журнал 2 32 = 5 | журнал 2 64 = 6 |
К сожалению, не все логарифмы можно так легко вычислить.Например, найти журнал 2 5 вряд ли возможно, просто используя наши простые вычислительные возможности. После использования калькулятора логарифмов мы можем узнать, что
журнал 2 5 = 2,321
Есть несколько особых типов логарифмов. Например, логарифм с основанием 2 известен как двоичный логарифм, и он широко используется в информатике и языках программирования. Логарифм с основанием 10 обычно называют десятичным логарифмом, и имеет огромное количество приложений в инженерии, научных исследованиях, технологиях и т. д.Наконец, так называемый натуральный логарифм использует число e (которое приблизительно равно 2,71828) в качестве основания, и этот вид логарифма имеет большое значение в математике, физике, и другие точные науки.
Логарифм log b (x) = y читается как логарифм с основанием b x равно y .
Обратите внимание, что основание журнала номер b должно быть больше 0 и не должно быть равно 1.
И число (x), которое мы вычисляем log base of (b), должно быть положительным действительным числом.
Например, журнал 2 из 8 равен 3.
журнал 2 (8) = 3 (лог по основанию 2 из 8) Экспонента 2 3 = 8
Общие значения для базы журнала
Логарифмические тождества
Список логарифмических отождествлений, формул и примеров логарифмов в логарифмической форме.
Логарифм произведения
журнал b (x · y) = журнал b (x) + журнал b (y) журнал 2 (5 · 7) = журнал 2 (5) + журнал 2 (7)
Логарифм частного
журнал b (x / y) = журнал b (x) - журнал b (y) журнал 2 (5/7) = журнал 2 (5) - журнал 2 (7)
Логарифм степени
журнал b (x y ) = y · log b (x) журнал 2 (5 7 ) = 7 · журнал 2 (5)
Изменение базы
журнал b (x) = (журнал k (x)) / (журнал k (b))
Примеры натурального логарифма
- ln (2) = log e (2) = 0.6931
- ln (3) = log e (3) = 1,0986
- ln (4) = log e (4) = 1,3862
- ln (5) = log e (5) = 1,609
- ln (6) = log e (6) = 1,7917
- ln (10) = log e (10) = 2.3025
Таблицы логарифмических значений
Список таблиц значений функций журнала в общих базовых числах.
| журнал 2 (x) | Обозначение | Значение |
|---|---|---|
| журнал 2 (1) | фунтов (1) | 0 |
| журнал 2 (2) | фунтов (2) | 1 |
| лог 2 (3) | фунтов (3) | 1.584963 |
| log 2 (4) | фунтов (4) | 2 |
| log 2 (5) | фунтов (5) | 2,321928 |
| log 2 ( 6) | фунтов (6) | 2,584963 |
| log 2 (7) | фунтов (7) | 2,807355 |
| log 2 (8) | фунтов (8) | 3 |
| бревно 2 (9) | фунтов (9) | 3.169925 |
| log 2 (10) | фунтов (10) | 3,321928 |
| log 2 (11) | фунтов (11) | 3,459432 |
| log 2 ( 12) | фунтов (12) | 3,584963 |
| log 2 (13) | фунтов (13) | 3,70044 |
| log 2 (14) | фунтов (14) | 3.807355 |
| лог 2 (15) | фунтов (15) | 3.1 |
| log 2 (16) | фунтов (16) | 4 |
| log 2 (17) | фунтов (17) | 4.087463 |
| log 2 ( 18) | фунтов (18) | 4,169925 |
| log 2 (19) | фунтов (19) | 4,247928 |
| log 2 (20) | фунтов (20) | 4.321928 |
| лог 2 (21) | фунтов (21) | 4.3 |
| log 2 (22) | фунтов (22) | 4,459432 |
| log 2 (23) | фунтов (23) | 4,523562 |
| log 2 ( 24) | фунтов (24) | 4,584963 |
| журнал 10 (x) | Обозначение | Значение |
|---|---|---|
| журнал 10 (1) | журнал (1) | 0 |
| журнал 10 (2) | журнал (2) | 0.30103 |
| журнал 10 (3) | журнал (3) | 0,477121 |
| журнал 10 (4) | журнал (4) | 0.60206 |
| журнал 10 ( 5) | журнал (5) | 0,69897 |
| журнал 10 (6) | журнал (6) | 0,778151 |
| журнал 10 (7) | журнал (7) | 0,845098 |
| лог 10 (8) | лог (8) | 0. |
| журнал 10 (9) | журнал (9) | 0,954243 |
| журнал 10 (10) | журнал (10) | 1 |
| журнал 10 ( 11) | журнал (11) | 1,041393 |
| журнал 10 (12) | журнал (12) | 1,079181 |
| журнал 10 (13) | журнал (13) | 1,113943 |
| журнал 10 (14) | журнал (14) | 1.146128 |
| журнал 10 (15) | журнал (15) | 1,176091 |
| журнал 10 (16) | журнал (16) | 1,20412 |
| журнал 10 ( 17) | журнал (17) | 1,230449 |
| журнал 10 (18) | журнал (18) | 1,255273 |
| журнал 10 (19) | журнал (19) | 1,278754 |
| лог 10 (20) | лог (20) | 1.30103 |
| журнал 10 (21) | журнал (21) | 1,322219 |
| журнал 10 (22) | журнал (22) | 1,342423 |
| журнал 10 ( 23) | журнал (23) | 1,361728 |
| журнал 10 (24) | журнал (24) | 1,380211 |
| log e (x) | Обозначение | Значение | |
|---|---|---|---|
| log e (1) | ln (1) | 0 | |
| log e (2) | ln (2) | 0.6 | |
| log e (3) | ln (3) | 1.098612 | |
| log e (4) | ln (4) | 1.386294 | |
| log e ( 5) | ln (5) | 1.609438 | |
| log e (6) | ln (6) | 1.7 | |
| log e (7) | ln (7) | 1.94591 | |
| лог e (8) | ln (8) | 2.079442 | |
| log e (9) | ln (9) | 2,197225 | |
| log e (10) | ln (10) | 2.302585 | |
| log e ( 11) | ln (11) | 2.397895 | |
| log e (12) | ln (12) | 2.484907 | |
| log e (13) | ln (13) | 2,564949 | |
| лог e (14) | ln (14) | 2.639057 | |
| log e (15) | ln (15) | 2,70805 | |
| log e (16) | ln (16) | 2,772589 | |
| log e ( 17) | ln (17) | 2,833213 | |
| log e (18) | ln (18) | 2,8 | |
| log e (19) | ln (19) | 2.944439 | |
| лог e (20) | ln (20) | 2.995732 | |
| log e (21) | ln (21) | 3.044522 | |
| log e (22) | ln (22) | 3.0 | |
| log e ( 23) | ln (23) | 3,135494 | |
| log e (24) | ln (24) | 3,178054 |
Калькуляторы базы связанных журналов
Обратная логарифмическая функция — ChiliMath
Найти обратную функцию журнала так же просто, как выполнить следующие шаги.Позже вы поймете, увидев несколько примеров, что большая часть работы сводится к решению уравнения. Ключевые шаги включают выделение логарифмического выражения, а затем переписывание логарифмического уравнения в экспоненциальное уравнение. Вы поймете, что я имею в виду, когда ознакомитесь с приведенными ниже примерами.
Шаги, чтобы найти обратный логарифм
ШАГ 1. Замените обозначение функции f \ left (x \ right) на y.
от f \ влево (x \ вправо) \ до y
ШАГ 2: Поменяйте роли x и y.
х \ к
у \ к х
ШАГ 3: Выделите логарифмическое выражение на одной стороне (левой или правой) уравнения.
ШАГ 4: Преобразуйте логарифмическое уравнение в его эквивалентное экспоненциальное уравнение.
- Обратите внимание, что нижний индекс b в форме \ log становится основанием с показателем N в экспоненциальной форме.
- Переменная M остается на том же месте.
ШАГ 5: Решите экспоненциальное уравнение для y, чтобы получить обратное.{- 1}} \ left (x \ right), чтобы получить обратное. Часть приведенного ниже решения включает в себя переписывание логарифмического уравнения в экспоненциальное уравнение. Вот снова формула, которая используется в процессе преобразования.
Обратите внимание, как основание 2 логарифмического выражения становится основанием с показателем x. Материал внутри скобок остается на своем исходном месте.
После того, как логарифмическое выражение исчезнет, преобразовав его в экспоненциальное выражение, мы можем закончить это, вычтя обе части на 3.{- 1}} \ left (x \ right) конец.
Один из способов проверить, правильно ли получен обратный результат, — это построить график логарифмического уравнения и обратной функции на одной оси xy. Если их графики симметричны вдоль линии \ large {\ color {green} y = x}, то мы можем быть уверены, что наш ответ действительно правильный.
Пример 2: Найдите обратную функцию журнала
f \ left (x \ right) = {\ log _5} \ left ({2x — 1} \ right) — 7
Давайте добавим сложности к этой задаче.Уравнение имеет логарифмическое выражение, вычитаемое на 7. Я надеюсь, что вы понимаете, что эта проблема чрезвычайно разрешима. Решение будет немного запутанным, но определенно управляемым.
Итак, я начинаю с изменения f \ left (x \ right) на y и меняя местами \ color {red} x и \ color {red} y.
Теперь мы можем решить относительно y. Сложите обе части уравнения на 7, чтобы выделить логарифмическое выражение в правой части.
Успешно выделив логарифмическое выражение справа, мы готовы преобразовать его в экспоненциальное уравнение.Обратите внимание, что основание логарифмического выражения, равное 6, становится основанием экспоненциального выражения с левой стороны. Выражение 2y-1 внутри скобок справа теперь само по себе без операции журнала.
После этого перейдите к решению для \ color {red} y, чтобы получить требуемую обратную функцию. Сделайте это, сложив обе стороны на 1, а затем разделив обе стороны на коэффициент \ color {red} y, равный 2.
Давайте нарисуем графики логарифмической и обратной функций в одной декартовой плоскости, чтобы убедиться, что они действительно симметричны вдоль линии \ large {\ color {green} y = x}.
Пример 3: Найдите обратную функцию журнала
Итак, это немного интереснее, чем первые две задачи. Обратите внимание, что основание логарифмического выражения отсутствует. Если вы столкнетесь с чем-то подобным, предполагается, что мы работаем с логарифмическим выражением с основанием 10. Всегда помните об этой концепции, чтобы помочь вам обойти проблемы с той же настройкой.
Надеюсь, вы уже освоились с процедурами. Мы начинаем снова, делая f \ left (x \ right) как y, а затем переключая переменные \ color {red} x и \ color {red} y в уравнении.
Наша следующая цель — выделить логарифмическое выражение. Мы можем сделать это, вычтя обе части на 1, а затем разделив обе стороны на -3.
Логическое выражение теперь само по себе. Помните, что «отсутствующая» база в логарифмическом выражении подразумевает базу 10. Преобразуйте это в экспоненциальное уравнение и начните решать относительно y.
Обратите внимание, что все выражение в левой части уравнения становится показателем степени 10, который является подразумеваемым основанием, как указывалось ранее.
Продолжите решение относительно y, вычтя обе части на 1 и разделив на -4.{- 1}} \ left (x \ right)}. Сделанный!
Построение графика исходной функции и ее обратной на одной оси xy показывает, что они симметричны относительно линии \ large {\ color {green} y = x}.
Возможно, вас заинтересует:
Инверсия матрицы 2 × 2
Функция, обратная абсолютному значению
Функция, обратная постоянной
Обратная экспоненциальная функция
Функция, обратная линейной
Обратная квадратичная функция
Обратная рациональная функция
Функция, обратная квадратному корню
Логарифмические и экспоненциальные функции — темы в предварительном исчислении
21
Показательные функции
Обратные отношения
Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Вычисление одного логарифма из суммы
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ С БАЗОЙ b — это функция
y = журнал b x .
b обычно является числом больше 1 (хотя оно должно быть только больше 0 и не равно 1). Функция определена для всех x > 0. Вот ее график для любой базы b .
Обратите внимание на следующее:
• Для любой базы интервал x равен 1. Почему?
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Логарифм 1 равен 0. y = log b 1 = 0.
Тема 20
• График проходит через точку ( b , 1). Почему?
Логарифм основания равен 1. log b b = 1.
• График ниже оси x — логарифм отрицательный — для
0 х
Какие числа имеют отрицательный логарифм?
Правильные дроби.
Урок 20 арифметики
• Функция определена только для положительных значений x .
log b (−4), например, не имеет смысла. Так как b всегда положительный,
no power of b может дать отрицательное число.
• Диапазон функции — все действительные числа.
• Отрицательная ось и — это вертикальная асимптота (Тема 18).
Пример 1. Перевод осей. Вот график натурального логарифма, y = ln x (Тема 20).
А вот график y = ln ( x — 2) — это его перевод на 2 единицы вправо.
Перехват x переместился с 1 на 3. А вертикальная асимптота переместилась с 0 на 2.
Задача 1. Нарисуйте график y = ln ( x + 3).
Это перевод на 3 единицы слева. Перехват x изменился с 1 на −2. Вертикальная асимптота сместилась с 0 на −3.
По определению:
log b y = x означает b x = y .
Соответственно каждой функции логарифма с основанием b , мы видим, что существует экспоненциальная функция с основанием b :
y = b x .
Экспоненциальная функция — это функция, обратная логарифмической функции. Мы поговорим об этом подробнее ниже.
Показательная функция определена для каждого действительного числа x . Вот его график для любой базы b :
Следует отметить два важных момента:
• Перехват и находится в (0, 1).Для, b 0 = 1.
• Отрицательная ось x является горизонтальной асимптотой. Например, когда x — большое отрицательное число, например b −10 000 — тогда y — очень маленькое положительное число.
Проблема 2.
a) Пусть f ( x ) = e x . Напишите функцию f (- x ).
f ( −x ) = e — x
Аргумент x заменяется на — x .
Тема 3
b) Какова взаимосвязь между графиком y = e x и графиком
b) y = e — x ?
y = e −x — это отражение относительно оси y y = e x .
Тема 15
c) Нарисуйте график y = e — x .
Обратные отношения
Экспоненциальные функции и логарифмические функции с основанием b являются обратными.
Журнал функций b x и b x перевернуты.
Вот обратные отношения. В любую базу б :
i ) b журнал b x = x ,
и
ii ) журнал b b x = x .
Правило i ) воплощает определение логарифма: log b x — это показатель степени , до которого b должно быть увеличено, чтобы получить x .
Правило II ) мы видели в предыдущем Тема.
А теперь давайте
f ( x ) = b x и g ( x ) = log b x .
Тогда Правило i ) равно f ( g ( x )) = x .
и Правило ii ) равно g ( f ( x )) = x .
Эти правила удовлетворяют определению пары обратных функций (Тема 19). Поэтому для любой базы b функции
f ( x ) = b x и g ( x ) = log b x
— обратные.
Проблема 3. Оцените следующее.
| а) бревно 2 2 5 | = 5 | б) журнал 5 5 2 x | = 2 x | в) журнал 10 6 . 2 | = 6 . 2 | ||
| г) 2 журнал 2 5 | = 5 | e) 5 журнал 5 ( x — 1) | = x — 1 | е) 10 журнал 100 | = 100 | ||
Проблема 4.
а) Какая функция является обратной для y = ln x ?
y = e x .
b) Пусть f ( x ) = ln x и g ( x ) = e x , и покажем, что f и g удовлетворяют
b) обратное связи.
f ( g ( x )) = ln e x = x ,
г ( f ( x )) = e ln x = x .
Вот графики y = e x и y = ln x :
Как и все пары обратных функций, их графики симметричны относительно линии y = x . (См. Тему 19.)
Проблема 5. Оцените следующее.
| а) пер. x + 1 | = x + 1 | b) e ln ( x -5) | = x — 5 |
Проблема 6.Вычислите значение arccos (−1) .
ln e arccos (−1) = arccos (−1) = π.
«Угол, косинус которого равен −1, равен π».
Тема 19 тригонометрии.
Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Пример 2. Решите это уравнение для x :
5 x + 1 = 625.
Решение .Когда неизвестное x появляется как показатель степени, то, чтобы «освободить» его, возьмите обратную функцию обеих сторон.
В этом примере возьмите логарифм с основанием 5 обеих сторон.
| журнал 5 5 x + 1 | = | журнал 5 625 | |
| x + 1 | = | журнал 5 625 | |
| x + 1 | = | 4 | |
| x | = | 3. | |
В общем, если у нас есть уравнение,
| f ( x ) | = | a , | |
| , то если g является обратным f : | |||
| x | = | г (—). | |
Пример 3. Решите для x :
2 x — 4 = 3 x
Решение . Мы можем взять бревно с обеих сторон либо с основанием 2, либо с основанием 3. Воспользуемся основанием 2:
.| журнал 2 2 x -4 | = | журнал 2 3 x | |
| x — 4 | = | журнал 2 3 x | |
| x — 4 | = | x журнал 2 3, согласно 3-му закону | |
| x — x журнал 2 3 | = | 4 | |
| x (1 — лог 2 3) | = | 4 | |
| x | = | 4 1 — лог 2 3 | |
журнал 2 3 — некоторое число.Уравнение решено.
Задача 7. Решите для x :
| 2 x -5 | = | 32. | |
| журнал 2 2 x -5 | = | журнал 2 32 | |
| x -5 | = | 5 | |
| x | = | 10 | |
Проблема 8.Решите относительно x . Решение может быть выражено в виде логарифма.
10 3 x — 1 = 2 2 x + 1
| журнал 10 3 x — 1 | = | журнал 2 2 x + 1 | |
| 3 9 2011 x — 1 | = | (2 x + 1) журнал 2 | |
| 3 9 2011 x — 1 | = | 2 x журнал 2 + журнал 2 | |
| 3 x -2 9 2011 x журнал 2 | = | 1 + журнал 2 | |
| x (3 — 2 лог 2) | = | 1 + журнал 2 | |
| x | = | 1 + журнал 2 3-2 журнал 2 | |
Проблема 9.Решить относительно x :
| e sin x | = | 1 | |
| ln e sin x | = | пер 1 | |
| sin x | = | 0 | |
| x — угол в радианах, синус которого равен 0: | |||
| x | = | n π. | |
Пример 4. Решить относительно x :
журнал 5 (2 x + 3) = 3
Решение. Чтобы «освободить» аргумент логарифма, возьмите обратную функцию — 5 x — от обеих сторон. То есть, пусть каждая сторона будет показателем с основанием 5. Точно так же запишите экспоненциальную форму.
| 2 x + 3 | = | 5 3 | |
| 2 9 2011 x | = | 125 — 3 | |
| 2 9 2011 x | = | 122 | |
| x | = | 61. | |
Задача 10. Решите для x :
| журнал 4 (3 x -5) | = | 0. |
| Если мы позволим каждой стороне быть экспонентой с основанием 4, то | ||
| 3 x -5 | = | 4 0 = 1 |
| 3 x | = | 6 |
| x | = | 2. |
Задача 11. Решите для x :
| журнал 2 ( x 2 + 7) | = | 4. |
| x 2 + 7 | = | 2 4 = 16 |
| x 2 | = | 16-7 = 9 |
| x | = | ± 3. |
Пример 5. Решите для x :
журнал (2 x + 1) = журнал 11.
Решение . Если мы допустим, что каждая сторона будет показателем с 10 в качестве основания, то в соответствии с обратными соотношениями:
| 2 x + 1 | = | 11. |
| Это означает | ||
| x | = | 5. |
Таким образом, можно сделать вывод, что если уравнение выглядит так:
| журнал b A | = | журнал b B, | |
| , затем | |||
| А | = | Б. |
Проблема 12.Решить относительно x :
лин (5 x — 1) = ln (2 x + 8).
| 5 x — 1 | = | 2 x + 8 |
| 3 x | = | 9 |
| x | = | 3. |
Алгебра, 9 лек.
Вычисление одного логарифма из суммы
Пример 6. Используйте законы логарифмов (Тема 20), чтобы записать следующее в виде одного логарифма.
журнал x + журнал y -2 журнала z .
| Решение . журнал x + журнал y -2 журнал z | = | журнал | xy — журнал z 2 |
| = | журнал | xy z 2 | |
Проблема 13.Запишем одним логарифмом:
k журнал x + м журнал y — n журнал z
Задача 14. Запишем одним логарифмом:
журнал (2 x -8) — журнал ( x 2 -16).
| журнал (2 x -8) — журнал ( x 2 -16) | = | журнал | 2 x — 8 x 2 — 16 |
| = | журнал | 2 ( x -4) ( x -4) ( x + 4) | |
| = | журнал | 2 x + 4 | |
Пример 7.В соответствии с Правилом и выше:
n = журнал b b n
— мы можем записать любое число в виде логарифма по любому основанию.
Например,
| 7 | = | журнал 2 2 7 |
| 5,9 | = | журнал 3 3 5 . 9 |
| т | = | ln e t |
| 3 | = | журнал 1000 |
Проблема 15.
| а) | 2 = линия 2 | б) | 1 = линия |
Пример 8.Запишем одним логарифмом следующее:
журнал b x + n .
| Решение. | журнал b x + n | = | журнал b x + журнал b b n |
| = | журнал b xb n . | ||
Задача 16. Запишем одним логарифмом:
журнал 2 + 3.
| журнал 2 + 3 | = | журнал 2 + журнал 10 3 |
| = | бревно 2 × 10 3 | |
| = | журнал 2000. | |
Задача 17. Запишем одним логарифмом:
ln A — т .
| ln A — т | = | ln A — ln e t |
| = | ln A + ln e — t | |
| = | ln Ae — т | |
Проблема 18.Решить относительно x :
| журнал 2 x + журнал 2 ( x + 2) | = | 3. |
| журнал 2 [ x ( x + 2)] | = | 3. |
| Если теперь позволить каждой стороне быть экспонентой с основанием 2 | ||
| (или напишите 3 = журнал 2 2 3 ), затем | ||
| x ( x + 2) | = | 2 3 = 8. |
| x 2 + 2 x — 8 | = | 0 |
| ( x — 2) ( x + 4) | = | 0 |
| x | = | 2 или −4. |
См. «Навыки алгебры», Урок 37.
Мы должны отклонить решение x = — 4, однако, потому что отрицательное число −4 не входит в область логарифма 2 x .
Задача 19. Решите для x .
| лин (1 + x ) — лин (1- x ) | = | 1. |
| = | 1. | |
| Если теперь позволить каждой стороне быть экспонентой с основанием e, то | ||
| = | e | |
| 1 + x | = | e — e x |
| e x + x | = | e — 1 |
| (e + 1) x | = | e — 1 |
| x | = | |
Теперь ученик может начать видеть: Чтобы решить любое уравнение для аргумента функции, возьмите обратную функцию обеих сторон.
