Значение косинуса: Таблица косинусов углов от 0° до 360°

Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.

Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Версия для печати. cos(0°)=cos(360°)=1; точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1″) здесь. Углы 1° — 90° Углы 91 ° — 180° Углы 181° — 270° Углы 271 ° — 360° Угол Cos 1° cos= 0.9998 2° cos= 0.9994 3° cos= 0.9986 4° cos= 0.9976 5° cos= 0.9962 6° cos= 0.9945 7° cos= 0.9925 8° cos= 0.9903 9° cos= 0.9877 10° cos= 0.9848 11° cos= 0.9816 12° cos= 0.9781 13° cos= 0.9744 14° cos= 0.9703 15° cos= 0.9659 16° cos= 0.9613 17° cos= 0.9563 18° cos= 0.9511 19° cos= 0.9455 20° cos= 0.9397 21° cos= 0.9336 22° cos= 0.9272 23° cos= 0.9205 24° cos= 0.9135 25° cos= 0.9063 26° cos= 0.8988 27° cos= 0.891 28° cos= 0.8829 29° cos= 0.8746 30° cos= 0.866 31° cos= 0.8572 32° cos= 0.848 33° cos= 0.8387 34° cos= 0.829 35° cos= 0.8192 36° cos= 0.809 37° cos= 0.7986 38° cos= 0.788 39° cos= 0.7771 40° cos= 0.766 41° cos= 0.7547 42° cos= 0.7431 43° cos= 0.7314 44° cos= 0.7193 45° cos= 0.7071 46° cos= 0.6947 47° cos= 0.682 48° cos= 0.6691 49° cos= 0.6561 50° cos= 0.6428 51° cos= 0.6293 52° cos= 0.6157 53° cos= 0.6018 54° cos= 0.5878 55° cos= 0.5736 56° cos= 0.5592 57° cos= 0.5446 58° cos= 0.5299 59° cos= 0.515 60° cos= 0.5 61° cos= 0.4848 62° cos= 0.4695 63° cos= 0.454 64° cos= 0.4384 65° cos= 0.4226 66° cos= 0.4067 67° cos= 0.3907 68° cos= 0.3746 69° cos= 0.3584 70° cos= 0.342 71° cos= 0.3256 72° cos= 0.309 73° cos= 0.2924 74° cos= 0.2756 75° cos= 0.2588 76° cos= 0.2419 77° cos= 0.225 78° cos= 0.2079 79° cos= 0.1908 80° cos= 0.1736 81° cos= 0.1564 82° cos= 0.1392 83° cos= 0.1219 84° cos= 0.1045 85° cos= 0.0872 86° cos= 0.0698 87° cos= 0.0523 88° cos= 0.0349 89° cos= 0.0175 90° cos= 0 Угол Cos 91° cos= -0.0175 92° cos= -0.0349 93° cos= -0.0523 94° cos= -0.0698 95° cos= -0.0872 96° cos= -0.1045 97° cos= -0.1219 98° cos= -0.1392 99° cos= -0.1564 100° cos= -0.1736 101° cos= -0.1908 102° cos= -0.2079 103° cos= -0.225 104° cos= -0.2419 105° cos= -0.2588 106° cos= -0.2756 107° cos= -0.2924 108° cos= -0.309 109° cos= -0.3256 110° cos= -0.342 111° cos= -0.3584 112° cos= -0.3746 113° cos= -0.3907 114° cos= -0.4067 115° cos= -0.4226 116° cos= -0.4384 117° cos= -0.454 118° cos= -0.4695 119° cos= -0.4848 120° cos= -0.5 121° cos= -0.515 122° cos= -0.5299 123° cos= -0.5446 124° cos= -0.5592 125° cos= -0.5736 126° cos= -0.5878 127° cos= -0.6018 128° cos= -0.6157 129° cos= -0.6293 130° cos= -0.6428 131° cos= -0.6561 132° cos= -0.6691 133° cos= -0.682 134° cos= -0.6947 135° cos= -0.7071 136° cos= -0.7193 137° cos= -0.7314 138° cos= -0.7431 139° cos= -0.7547 140° cos= -0.766 141° cos= -0.7771 142° cos= -0.788 143° cos= -0.7986 144° cos= -0.809 145° cos= -0.8192 146° cos= -0.829 147° cos= -0.8387 148° cos= -0.848 149° cos= -0.8572 150° cos= -0.866 151° cos= -0.8746 152° cos= -0.8829 153° cos= -0.891 154° cos= -0.8988 155° cos= -0.9063 156° cos= -0.9135 157° cos= -0.9205 158° cos= -0.9272 159° cos= -0.9336 160° cos= -0.9397 161° cos= -0.9455 162° cos= -0.9511 163° cos= -0.9563 164° cos= -0.9613 165° cos= -0.9659 166° cos= -0.9703 167° cos= -0.9744 168° cos= -0.9781 169° cos= -0.9816 170° cos= -0.9848 171° cos= -0.9877 172° cos= -0.9903 173° cos= -0.9925 174° cos= -0.9945 175° cos= -0.9962 176° cos= -0.9976 177° cos= -0.9986 178° cos= -0.9994 179° cos= -0.9998 180° cos= -1 Угол Cos 181° cos=-0.9998 182° cos=-0.9994 183° cos=-0.9986 184° cos=-0.9976 185° cos=-0.9962 186° cos=-0.9945 187° cos=-0.9925 188° cos=-0.9903 189° cos=-0.9877 190° cos=-0.9848 191° cos=-0.9816 192° cos=-0.9781 193° cos=-0.9744 194° cos=-0.9703 195° cos=-0.9659 196° cos=-0.9613 197° cos=-0.9563 198° cos=-0.9511 199° cos=-0.9455 200° cos=-0.9397 201° cos=-0.9336 202° cos=-0.9272 203° cos=-0.9205 204° cos=-0.9135 205° cos=-0.9063 206° cos=-0.8988 207° cos=-0.891 208° cos=-0.8829 209° cos=-0.8746 210° cos=-0.866 211° cos=-0.8572 212° cos=-0.848 213° cos=-0.8387 214° cos=-0.829 215° cos=-0.8192 216° cos=-0.809 217° cos=-0.7986 218° cos=-0.788 219° cos=-0.7771 220° cos=-0.766 221° cos=-0.7547 222° cos=-0.7431 223° cos=-0.7314 224° cos=-0.7193 225° cos=-0.7071 226° cos=-0.6947 227° cos=-0.682 228° cos=-0.6691 229° cos=-0.6561 230° cos=-0.6428 231° cos=-0.6293 232° cos=-0.6157 233° cos=-0.6018 234° cos=-0.5878 235° cos=-0.5736 236° cos=-0.5592 237° cos=-0.5446 238° cos=-0.5299 239° cos=-0.515 240° cos=-0.5 241° cos=-0.4848 242° cos=-0.4695 243° cos=-0.454 244° cos=-0.4384 245° cos=-0.4226 246° cos=-0.4067 247° cos=-0.3907 248° cos=-0.3746 249° cos=-0.3584 250° cos=-0.342 251° cos=-0.3256 252° cos=-0.309 253° cos=-0.2924 254° cos=-0.2756 255° cos=-0.2588 256° cos=-0.2419 257° cos=-0.225 258° cos=-0.2079 259° cos=-0.1908 260° cos=-0.1736 261° cos=-0.1564 262° cos=-0.1392 263° cos=-0.1219 264° cos=-0.1045 265° cos=-0.0872 266° cos=-0.0698 267° cos=-0.0523 268° cos=-0.0349 269° cos=-0.0175 270° cos=0 Угол Cos 271° cos=0.0175 272° cos=0.0349 273° cos=0.0523 274° cos=0.0698 275° cos=0.0872 276° cos=0.1045 277° cos=0.1219 278° cos=0.1392 279° cos=0.1564 280° cos=0.1736 281° cos=0.1908 282° cos=0.2079 283° cos=0.225 284° cos=0.2419 285° cos=0.2588 286° cos=0.2756 287° cos=0.2924 288° cos=0.309 289° cos=0.3256 290° cos=0.342 291° cos=0.3584 292° cos=0.3746 293° cos=0.3907 294° cos=0.4067 295° cos=0.4226 296° cos=0.4384 297° cos=0.454 298° cos=0.4695 299° cos=0.4848 300° cos=0.5 301° cos=0.515 302° cos=0.5299 303° cos=0.5446 304° cos=0.5592 305° cos=0.5736 306° cos=0.5878 307° cos=0.6018 308° cos=0.6157 309° cos=0.6293 310° cos=0.6428 311° cos=0.6561 312° cos=0.6691 313° cos=0.682 314° cos=0.6947 315° cos=0.7071 316° cos=0.7193 317° cos=0.7314 318° cos=0.7431 319° cos=0.7547 320° cos=0.766 321° cos=0.7771 322° cos=0.788 323° cos=0.7986 324° cos=0.809 325° cos=0.8192 326° cos=0.829 327° cos=0.8387 328° cos=0.848 329° cos=0.8572 330° cos=0.866 331° cos=0.8746 332° cos=0.8829 333° cos=0.891 334° cos=0.8988 335° cos=0.9063 336° cos=0.9135 337° cos=0.9205 338° cos=0.9272 339° cos=0.9336 340° cos=0.9397 341° cos=0.9455 342° cos=0.9511 343° cos=0.9563 344° cos=0.9613 345° cos=0.9659 346° cos=0.9703 347° cos=0.9744 348° cos=0.9781 349° cos=0.9816 350° cos=0.9848 351° cos=0.9877 352° cos=0.9903 353° cos=0.9925 354° cos=0.9945 355° cos=0.9962 356° cos=0.9976 357° cos=0.9986 358° cos=0.9994 359° cos=0.9998 360° cos=1 таблица косинусов, косинусы углов в угловых градусах ,cos α, cosinus, сколько составляет косинус?, узнать косинус, косинус градусов

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций Доп. Инфо: Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений синусов. Таблица синусов, она-же косинусов точная. Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов. Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений котангенса, ctg Таблица тангенсов, она же котангенсов точная. Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций. Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге. Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты. Таблица соответствия угловых градусов, радиан, оборотов, тысячных (артиллерийских РФ). 0-360 градусов, 0-2π радиан.

Таблица косинусов (полная, градусы и значения)

В данной таблице представлены значения косинусов от 0° до 360°. Таблица косинусов нужна, чтобы узнать, чему равен косинус угла. Нужно только найти его в таблице. Для начала короткая версия таблицы.

https://uchim.org/matematika/tablica-kosinusov — uchim.org

Таблица косинусов для 0°-180°

cos(1°) 0.9998 cos(2°) 0.9994 cos(3°) 0.9986 cos(4°) 0.9976 cos(5°) 0.9962 cos(6°) 0.9945 cos(7°) 0.9925 cos(8°) 0.9903 cos(9°) 0.9877 cos(10°) 0.9848 cos(11°) 0.9816 cos(12°) 0.9781 cos(13°) 0.9744 cos(14°) 0.9703 cos(15°) 0.9659 cos(16°) 0.9613 cos(17°) 0.9563 cos(18°) 0.9511 cos(19°) 0.9455 cos(20°) 0.9397 cos(21°) 0.9336 cos(22°) 0.9272 cos(23°) 0.9205 cos(24°) 0.9135 cos(25°) 0.9063 cos(26°) 0.8988 cos(27°) 0.891 cos(28°) 0.8829 cos(29°) 0.8746 cos(30°) 0.866 cos(31°) 0.8572 cos(32°) 0.848 cos(33°) 0.8387 cos(34°) 0.829 cos(35°) 0.8192 cos(36°) 0.809 cos(37°) 0.7986 cos(38°) 0.788 cos(39°) 0.7771 cos(40°) 0.766 cos(41°) 0.7547 cos(42°) 0.7431 cos(43°) 0.7314 cos(44°) 0.7193 cos(45°) 0.7071 cos(46°) 0.6947 cos(47°) 0.682 cos(48°) 0.6691 cos(49°) 0.6561 cos(50°) 0.6428 cos(51°) 0.6293 cos(52°) 0.6157 cos(53°) 0.6018 cos(54°) 0.5878 cos(55°) 0.5736 cos(56°) 0.5592 cos(57°) 0.5446 cos(58°) 0.5299 cos(59°) 0.515 cos(60°) 0.5

cos(61°) 0.4848 cos(62°) 0.4695 cos(63°) 0.454 cos(64°) 0.4384 cos(65°) 0.4226 cos(66°) 0.4067 cos(67°) 0.3907 cos(68°) 0.3746 cos(69°) 0.3584 cos(70°) 0.342 cos(71°) 0.3256 cos(72°) 0.309 cos(73°) 0.2924 cos(74°) 0.2756 cos(75°) 0.2588 cos(76°) 0.2419 cos(77°) 0.225 cos(78°) 0.2079 cos(79°) 0.1908 cos(80°) 0.1736 cos(81°) 0.1564 cos(82°) 0.1392 cos(83°) 0.1219 cos(84°) 0.1045 cos(85°) 0.0872 cos(86°) 0.0698 cos(87°) 0.0523 cos(88°) 0.0349 cos(89°) 0.0175 cos(90°) 0 cos(91°) -0.0175 cos(92°) -0.0349 cos(93°) -0.0523 cos(94°) -0.0698 cos(95°) -0.0872 cos(96°) -0.1045 cos(97°) -0.1219 cos(98°) -0.1392 cos(99°) -0.1564 cos(100°) -0.1736 cos(101°) -0.1908 cos(102°) -0.2079 cos(103°) -0.225 cos(104°) -0.2419 cos(105°) -0.2588 cos(106°) -0.2756 cos(107°) -0.2924 cos(108°) -0.309 cos(109°) -0.3256 cos(110°) -0.342 cos(111°) -0.3584 cos(112°) -0.3746 cos(113°) -0.3907 cos(114°) -0.4067 cos(115°) -0.4226 cos(116°) -0.4384 cos(117°) -0.454 cos(118°) -0.4695 cos(119°) -0.4848 cos(120°) -0.5

cos(121°) -0.515 cos(122°) -0.5299 cos(123°) -0.5446 cos(124°) -0.5592 cos(125°) -0.5736 cos(126°) -0.5878 cos(127°) -0.6018 cos(128°) -0.6157 cos(129°) -0.6293 cos(130°) -0.6428 cos(131°) -0.6561 cos(132°) -0.6691 cos(133°) -0.682 cos(134°) -0.6947 cos(135°) -0.7071 cos(136°) -0.7193 cos(137°) -0.7314 cos(138°) -0.7431 cos(139°) -0.7547 cos(140°) -0.766 cos(141°) -0.7771 cos(142°) -0.788 cos(143°) -0.7986 cos(144°) -0.809 cos(145°) -0.8192 cos(146°) -0.829 cos(147°) -0.8387 cos(148°) -0.848 cos(149°) -0.8572 cos(150°) -0.866 cos(151°) -0.8746 cos(152°) -0.8829 cos(153°) -0.891 cos(154°) -0.8988 cos(155°) -0.9063 cos(156°) -0.9135 cos(157°) -0.9205 cos(158°) -0.9272 cos(159°) -0.9336 cos(160°) -0.9397 cos(161°) -0.9455 cos(162°) -0.9511 cos(163°) -0.9563 cos(164°) -0.9613 cos(165°) -0.9659 cos(166°) -0.9703 cos(167°) -0.9744 cos(168°) -0.9781 cos(169°) -0.9816 cos(170°) -0.9848 cos(171°) -0.9877 cos(172°) -0.9903 cos(173°) -0.9925 cos(174°) -0.9945 cos(175°) -0.9962 cos(176°) -0.9976 cos(177°) -0.9986 cos(178°) -0.9994 cos(179°) -0.9998 cos(180°) -1

Таблица косинусов для 181°-360°

cos(181°) -0.9998 cos(182°) -0.9994 cos(183°) -0.9986 cos(184°) -0.9976 cos(185°) -0.9962 cos(186°) -0.9945 cos(187°) -0.9925 cos(188°) -0.9903 cos(189°) -0.9877 cos(190°) -0.9848 cos(191°) -0.9816 cos(192°) -0.9781 cos(193°) -0.9744 cos(194°) -0.9703 cos(195°) -0.9659 cos(196°) -0.9613 cos(197°) -0.9563 cos(198°) -0.9511 cos(199°) -0.9455 cos(200°) -0.9397 cos(201°) -0.9336 cos(202°) -0.9272 cos(203°) -0.9205 cos(204°) -0.9135 cos(205°) -0.9063 cos(206°) -0.8988 cos(207°) -0.891 cos(208°) -0.8829 cos(209°) -0.8746 cos(210°) -0.866 cos(211°) -0.8572 cos(212°) -0.848 cos(213°) -0.8387 cos(214°) -0.829 cos(215°) -0.8192 cos(216°) -0.809 cos(217°) -0.7986 cos(218°) -0.788 cos(219°) -0.7771 cos(220°) -0.766 cos(221°) -0.7547 cos(222°) -0.7431 cos(223°) -0.7314 cos(224°) -0.7193 cos(225°) -0.7071 cos(226°) -0.6947 cos(227°) -0.682 cos(228°) -0.6691 cos(229°) -0.6561 cos(230°) -0.6428 cos(231°) -0.6293 cos(232°) -0.6157 cos(233°) -0.6018 cos(234°) -0.5878 cos(235°) -0.5736 cos(236°) -0.5592 cos(237°) -0.5446 cos(238°) -0.5299 cos(239°) -0.515 cos(240°) -0.5

cos(241°) -0.4848 cos(242°) -0.4695 cos(243°) -0.454 cos(244°) -0.4384 cos(245°) -0.4226 cos(246°) -0.4067 cos(247°) -0.3907 cos(248°) -0.3746 cos(249°) -0.3584 cos(250°) -0.342 cos(251°) -0.3256 cos(252°) -0.309 cos(253°) -0.2924 cos(254°) -0.2756 cos(255°) -0.2588 cos(256°) -0.2419 cos(257°) -0.225 cos(258°) -0.2079 cos(259°) -0.1908 cos(260°) -0.1736 cos(261°) -0.1564 cos(262°) -0.1392 cos(263°) -0.1219 cos(264°) -0.1045 cos(265°) -0.0872 cos(266°) -0.0698 cos(267°) -0.0523 cos(268°) -0.0349 cos(269°) -0.0175 cos(270°) -0 cos(271°) 0.0175 cos(272°) 0.0349 cos(273°) 0.0523 cos(274°) 0.0698 cos(275°) 0.0872 cos(276°) 0.1045 cos(277°) 0.1219 cos(278°) 0.1392 cos(279°) 0.1564 cos(280°) 0.1736 cos(281°) 0.1908 cos(282°) 0.2079 cos(283°) 0.225 cos(284°) 0.2419 cos(285°) 0.2588 cos(286°) 0.2756 cos(287°) 0.2924 cos(288°) 0.309 cos(289°) 0.3256 cos(290°) 0.342 cos(291°) 0.3584 cos(292°) 0.3746 cos(293°) 0.3907 cos(294°) 0.4067 cos(295°) 0.4226 cos(296°) 0.4384 cos(297°) 0.454 cos(298°) 0.4695 cos(299°) 0.4848 cos(300°) 0.5

cos(301°) 0.515 cos(302°) 0.5299 cos(303°) 0.5446 cos(304°) 0.5592 cos(305°) 0.5736 cos(306°) 0.5878 cos(307°) 0.6018 cos(308°) 0.6157 cos(309°) 0.6293 cos(310°) 0.6428 cos(311°) 0.6561 cos(312°) 0.6691 cos(313°) 0.682 cos(314°) 0.6947 cos(315°) 0.7071 cos(316°) 0.7193 cos(317°) 0.7314 cos(318°) 0.7431 cos(319°) 0.7547 cos(320°) 0.766 cos(321°) 0.7771 cos(322°) 0.788 cos(323°) 0.7986 cos(324°) 0.809 cos(325°) 0.8192 cos(326°) 0.829 cos(327°) 0.8387 cos(328°) 0.848 cos(329°) 0.8572 cos(330°) 0.866 cos(331°) 0.8746 cos(332°) 0.8829 cos(333°) 0.891 cos(334°) 0.8988 cos(335°) 0.9063 cos(336°) 0.9135 cos(337°) 0.9205 cos(338°) 0.9272 cos(339°) 0.9336 cos(340°) 0.9397 cos(341°) 0.9455 cos(342°) 0.9511 cos(343°) 0.9563 cos(344°) 0.9613 cos(345°) 0.9659 cos(346°) 0.9703 cos(347°) 0.9744 cos(348°) 0.9781 cos(349°) 0.9816 cos(350°) 0.9848 cos(351°) 0.9877 cos(352°) 0.9903 cos(353°) 0.9925 cos(354°) 0.9945 cos(355°) 0.9962 cos(356°) 0.9976 cos(357°) 0.9986 cos(358°) 0.9994 cos(359°) 0.9998 cos(360°) 1

Как легко запомнить таблицу косинусов (видео)

Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций: таблица синусов, таблица тангенсов и таблица котангенсов.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица косинусов (полная, градусы и значения)

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Определение 1

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке: 

 

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Пример 1

При повороте из точки A на 360·z°, она переходит в себя. А1(1, 0). Синус 0°, 360°, 720° равен 0, а косинус равен 1.  Представим это в виде формулы: sin (360°·z)=0 и cos (360°·z)=1 .

Можно определить, что tg (360°·z)=01=0 , а котангенс не определен. 

Пример 2

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1).  По определению:  sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 . 

Пример 3

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Пример 4

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270+360·z° мы попадем в A1(0, −1). Мы находим значения всех функций кроме тангенса.  

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °…, точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла −52 °.  Выполним построения. 

Согласно рисунку, абсцисса А1 ≈ 0,62, а ордината ≈ −0,78. Соответственно, sin(-52°)≈-0,78 и cos(-52°)≈0,62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом. 

Выполняем вычисления:  tg(-52°)≈-0, 780, 62≈-1,26 и ctg(-52°)≈0,62-0,78≈-0,79. 

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Определение 2

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 5

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1. Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла,  равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 12-122=32 .  Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30°=121=12 и sin 60°=321=32 . 

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30°=321=32 и cos 60°=121=12 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий. 

Вычисляем: tg 30°=1232=13=33 и tg 60°=3212=3 . Находим котангенс по подобной схеме: сtg 30°=3212=3 и сtg 60°=1232=13=33 .  После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45° и гипотенузой, которая равна 1. Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 22 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: ctg 45°=2222=1 . 

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Определение 3

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 . 

Определение 4

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Пример 6

Необходимо найти значение синуса угла π8, если tg π8=2-1 . 

Сначала найдем котангенс угла: ctgπ8=1tgπ8=12-1=2+1(2-1)·(2+1)= 2+1(2)2-12=2+1  Воспользуемся формулой 1+ctg2α=1sin2α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin2π8=11+ctg2π8=11+(2+1)2=14+22=12·(2+2)=2-22·(2+2)·(2-2)==2-22·(22-(2)2)=2-24

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π8=sin2π8=2-24=2-22 .  sin π8=2-22.

Сведение к углу 

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Пример 7

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Пример 8

Найдите значение tgπ8 . 

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства tg2π8=1-cosπ41+cosπ4 . Значения косинуса угла π4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=1-221+22=2-22+2==(2-2)2(2+2)·(2-2)=(2-2)222-(2)2=(2-2)22 

Угол π8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: tgπ8=tg2π8=(2-2)22=2-22=2-1

tgπ8=2-1.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность.°}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos⁡\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Содержание:

Аргумент и значение

Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).

Например, для числа \(\frac{π}{6}\) — косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III  четверти – фиолетовая область).2⁡x}\)
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sin⁡x}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

Функция \(y=\cos{x}\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

      — область определения – любое значение икса:   \(D(\cos{⁡x} )=R\)
      — область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\cos{x} )=[-1;1]\)
      — четная:   \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)
      — периодическая с периодом \(2π\):   \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)
      — точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
             ось ординат:   \((0;1)\)
      — промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция отрицательна на интервалах:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
      — промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция убывает на интервалах:    \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
       — максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
             функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Смотрите также:

Синус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения \(\cos⁡x=a\)

Скачать статью

Таблица косинусов | Главный механик

Содержание статьи

1. Что такое косинус угла и как его применять в решении задач
2. Как рассчитать косинус угла без формул
3. Калькулятор расчета косинуса онлайн
4. Примеры решения задач по геометрии по нахождению неизвестных величин с применением таблицы косинусов Брадиса

Таблица косинусов –

это удобное решение для проведения быстрых расчетов, когда нужно получить числовое значение косинуса того или иного угла. В статье мы узнаем, что такое косинус, чем похожи и как связаны таблица синусов и косинусов, как использовать таблицу синусов Брадиса для получения конкретных числовых значений косинуса того или иного угла.

Что такое косинус угла и как его применять в решении задач

Начнем с того, что каждый знает, что такое прямоугольный треугольник. Им называется такой треугольник, у которого один из углов (C) прямой (равен 90°), остальные два угла (? и ?) острые. Он имеет стандартное обозначение углов и сторон. Тогда, что такое косинус угла, можно рассмотреть дальше.

Прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) – катеты, сторона с (AB) – гипотенуза

Прямой угол всегда равен 90°, острый – всегда меньше, а тупой – больше 90°

Согласно теореме косинусов, что бы рассчитать угол α или β, нужно знать длину гипотенузы (АВ) и прилежащий к этому углу катет.

Косинус – это отношение прилежащей стороны к гипотенузе:

• cos α = b деленное на с;
• cos β = а(BC)/с(AB) .

То есть, если вам нужно узнать, например, какой высоты делать крышу над домом, если известна ширина дома и угол наклона крыши, что бы снег не задерживался, то высоту конька рассчитать не составит труда, применяя теорему косинусов. Нужно помнить, что такие функции, как косинусы и синусы в формулах зависят от угла. Синус работает с противолежащей стороной, косинус с работает прилежащей.

Это тригонометрические формулы для вычисления углов в треугольнике через тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс

Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе

Если треугольник не прямоугольный, его параметры также можно рассчитать, используя теорему Евклида. Суть ее в том, что треугольник, лежащий на плоскости, и имеющий стороны а, b, с, а также углом α, который находится напротив стороны а, может быть рассчитан по следующей формуле:

а²= b²+с²-2²· b· cos α или:

Отсюда можем найти cos α, cos α =( b²+2²- а²) : 2bс.

Небольшое уточнение: если угол α менее 90°, тогда b²+2²- а² > 0, если α =90°, то b²+2²- а²=0, если α >90°,то есть угол тупой, то и b²+2²- а²< 0.

То же самые расчеты делаем для других углов треугольника:

• с² = а² + b² – 2аb cosγ,
• b² = а² + с² – 2ас cosβ.

Как рассчитать косинус угла без формул

Есть некоторые углы, рассчитать косинус которых можно без формул, применяя

таблицу синусов и косинусов π. В ней расчет идет через число π, которое делится на целое число, в зависимости от размера угла, то есть sin 30° = π : 6 или 0,5, cos 30° = √3: 2. В такой таблице есть данные косинуса 30 градусов, косинуса 45 градусов, косинуса 60 градусов, косинуса 90 градусов, косинуса 120 градусов, косинус 180 градусов, косинус 270 градусов, косинус 360 градусов, косинус 0, а также аналогичные значения синусов.

Ниже приведена таблица косинусов, дополнительно указаны синусы в их числовом выражении.

Значение угла α (градусов)	Значение угла α в радианах	COS (косинус)
Косинус 0 градусов	0	1
Косинус 15 градусов	π/12	0.9659
Косинус 30 градусов	π/6	0.866
Косинус 45 градусов	π/4	0.7071
Косинус 50 градусов	5π/18	0.6428
Косинус 60 градусов	π/3	0.5
Косинус 65 градусов	13π/36	0.4226
Косинус 70 градусов	7π/18	0.342
Косинус 75 градусов	5π/12	0.2588
Косинус 90 градусов	π/2	0
Косинус 105 градусов	5π/12	-0.2588
Косинус 120 градусов	2π/3	-0.5
Косинус 135 градусов	3π/4	-0.7071
Косинус 140 градусов	7π/9	-0.766
Косинус 150 градусов	5π/6	-0.866
Косинус 180 градусов	π	-1
Косинус 270 градусов	3π/2	0
Косинус 360 градусов	2π	1

Калькулятор расчета косинуса онлайн

Примеры решения задач по геометрии по нахождению неизвестных величин с применением таблицы косинусов Брадиса

Пример 1: Для примера решим следующую задачу. Берем прямоугольный треугольник, у него нужно найти оба угла, но известны гипотенуза с = 12 см, сторона b = 9,2 см. По теореме косинусов

cos α = b : с, cos α = 9,2: 12 = 0, 7667. Далее открываем таблицу Брадиса и научимся, как ею пользоваться для нахождения косинуса угла. С левой стороны таблицы мы напротив косинусов находим ближайшее значение 0, 7672, которое соответствует 39°, поднимаем линию до значения минут и находим 54′.

Но наше значение меньше табличного на 0,0006, что становит 3′. Тогда мы вычитаем эту поправку 3′, 39°54′ – 3′ = 39°51′. Второй угол находим, исходя из того, что сумма всех углов в треугольнике не должна превышать 180°. Поэтому 180° – (90° + 39°51′) = 50° 09′. Угол β = 50° 09′. Решаем задачу дальше. Ищем сторону а. Для этого мы можем использовать два способа.

1. по формуле а²= b²+с²-2²· b· cos α находим сторону а;
2. по формуле cos β=sinα = а: с, а = с · cos β.

Второй вариант немного проще в вычислении. Обращаемся к таблице Брадиса снова. У нас ближайшее значение 50° 06′ = 0,6414. Поправка на 3′ составляет 0, 0007. Тогда 0, 6414 + 0,0007 = 0,6421.

По условию с = 12 см, тогда а = 12 · 0,6421 = 7,7 см. Задача решена. Если значения углов простые, таблица косинусов и синусов может упростить вычисление. Можно использовать следующие тождества: sin (90°+15°) = cos 15°= cos (90°-75°) = sin 75° Функции повторяются, только нужно учитывать знак. Если нужно найти косинус 145 градусов, находим угол до 90 градусов. 180 °– 145° = 35°. Косинус 35 градусов будет 0,8192 по таблице, если это 145°, это будет значение с отрицательным значением -0,8192.

Пример 2: Рассмотрим треугольник с произвольными углами, ни один из которых не равен 90°. Мы имеем две стороны с =12 см, b = 8,2 см, а также угол α, который равен 31°12′. Найти третью сторону. Формула, которая применялась в предыдущей задаче, не подходит, так как у нас треугольник не прямоугольный (по крайней мере мы это ещё не рассчитали). Используем формулу из теоремы косинусов:

а² = b²+с²-2²· b· cos α. Косинус угла находим на пересечении угла 31° и 12′. Он равен числу 0,8554, которое мы и подставляем в формулу.

а² = 67, 24 + 144 -4 · 8,2 · 0,8554 = 211,24 – 28,07 = 183,17. Находим а = √183,17 = 13, 54 (см)

Если будет стоять задание найти ещё и углы треугольника, используем формулу:

с² = а² + b² – 2аb cos γ, отсюда cos γ = (b² + а² – с²): 2 bс. cos γ = (8,2² + 13,54² – 12²): 2· 8,2·12 = (64,24 + 183, 17 – 144): 196,8 = 0, 5255. Открываем таблицу Брадиса. Это число соответствует 58° 18′. Согласно теореме о правилах трёх углов в треугольнике находим третий угол:

180° – 58° 18′-31°12′ =89° 30′. Задача решена!

Можно не рассчитывать самому, а использовать сервис и высчитать косинус онлайн, когда регистрируешься на сайте, и любое вычисление приходит автоматически. Минус такого сервиса, его нельзя применять на экзамене по математике. В качестве справочного материала таблицы предоставляются. Естественно, надо хорошо уметь ими пользоваться, так как на экзамен отводится ограниченное количество времени.

COS	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′	1′	2′	3′
COS	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	1′	2′	3′
90°											0.0000
89°	0.0000	17	35	52	70	87	105	122	140	157	175	3	6	9
88°	175	192	209	227	244	262	279	297	314	332	349	3	6	9
87°	349	366	384	401	419	436	454	471	488	506	523	3	6	9
86°	523	541	558	576	593	610	628	645	663	680	698	3	6	9
85°	698	715	732	750	767	785	802	819	837	854	0.0872	3	6	9
84°	0.0872	889	906	924	941	958	976	993	1011	1028	1045	3	6	9
83°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	3	6	9
82°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	3	6	9
81°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	3	6	9
80°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0.1736	3	6	9
79°	0.1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	3	6	9
78°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	3	6	9
77°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	3	6	9
76°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	3	6	8
75°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0.2588	3	6	8
74°	0.2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	3	6	8
73°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	3	6	8
72°	2942	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	3	6	8
71°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	3	6	8
70°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0.3420	3	5	8
69°	0.3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	3	5	8
68°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	3	5	8
67°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	3	5	8
66°	3097	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	3	5	8
65°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0.4226	3	5	8
64°	0.4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	3	5	8
63°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	3	5	8
62°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	3	5	8
61°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	3	5	8
60°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0.5000	3	5	8
59°	0.5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	3	5	8
58°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	2	5	7
57°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	2	5	7
56°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	2	5	7
55°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0.5736	2	5	7
54°	0.5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0.5878	2	5	7
53°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	2	5	7
52°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	2	5	7
51°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	2	5	7
50°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0.6428	2	4	7
49°	0.6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	2	4	7
48°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	2	4	7
47°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	2	4	6
46°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	8909	6921	6934	6947	2	4	6
45°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0.7071	2	4	6
44°	0.7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	2	4	6
43°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	2	4	6
42°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	2	4	6
41°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	2	4	6
40°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0.7660	2	4	6
39°	0.7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	2	4	6
38°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	2	4	5
37°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	2	4	5
36°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	2	3	5
35°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0.8192	2	3	5
34°	0.8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	2	3	5
33°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	2	3	5
32°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	2	3	5
31°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	2	3	5
30°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0.8660	1	3	4
29°	0.8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	1	3	4
28°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	1	3	4
27°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	1	3	4
26°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	1	3	4
25°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0.9063	1	3	4
24°	0.9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	1	2	4
23°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	1	2	3
22°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9256	9272	1	2	3
21°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	1	2	3
20°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9383	9391	0.9397	1	2	3
19°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0.9455	1	2	3
18°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	1	2	3
17°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	1	2	3
16°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	1	2	2
15°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0.9659	1	2	2
14°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	1	1	2
13°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	1	1	2
12°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	1	1	2
11°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	1	1	2
10°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0.9848	1	1	2
9°	0.9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	0	1	1
8°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	0	1	1
7°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	0	1	1
6°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	0	1	1
5°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	0	1	1
4°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	0	0	1
3°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	0	0	0
2°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	0	0	0
1°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0.9998	0	0	0
0°	9998	9999	9999	9999	9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0	0	0
	1.0000

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 30⁰, В = 60⁰.

Так как катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы, то

Но С другой стороны, Итак,

Из основного тригонометрического тождества получаем:

Так как , то:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого А = 45⁰, В = 45⁰. Данный треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника, поэтому  АВ = АС.

По теореме Пифагора откуда

Следовательно,

Составим таблицу значений sin , cos , tg для углов , равных 30⁰, 45⁰, 60⁰:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 642, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 652, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1018, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1020, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1022, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1023, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1087, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1088, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1090, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1215, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Косинус

КОСИНУС УГЛА (cos) – это отношение прилежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе.

Рассмотрим по квадрантам изменения функции косинуса угла а при том же движении подвижного радиуса ОВ по окружности от 0° до 360°.

По определению косинуса угла: cos α = OC / OB. Для единичной окружности, где ОВ=1, это длина отрезка ОС. Следовательно, косинус угла – это величина проекции подвижного отрезка ОВ на ось х.

Величина отрезка ОС изменяется (в пределах окружности) на оси х в зависимости от положения подвижного радиуса (величины угла).

Рассмотрим изменения функции (отрезка ОС) при движении подвижного радиуса по окружности и увеличении угла. Пределы изменения косинуса угла будем определять по квадрантам.

В I квадранте (ОС):

при α = 0° cos α  = 1;

при 0° < α < 90° 1 > cos α > 0;

при α = 90° cos α = 0.

Во II квадранте (ОС1):

при α = 90°  cos α = 0;

при 90° < α < 180° 0 > cos α  > -1;

при α = 180°  cos α = -1.

За пройденный подвижным радиусом (ОВ) первый полукруг изменился от 1 до -1, наибольшее и наименьшее его значения совпадают с длиной радиуса на положительной и отрицательной полуосях х.

Второй полукруг движения подвижного радиуса можно рассматривать как положительное направление (при движении ОВ дальше против часовой стрелки) и как отрицательное направление (если ОВ вращать по часовой стрелке). Рассмотрим только положительное направление.

В III квадранте (ОС2):

при α = 180°  cos α = -1;

при 180° < α < 270° -1 <  cos α < 0;

при α = 270°  cos α = 0;

В IV квадранте (ОС3):

при α = 270°  cos α = 0;

при 270° < α < 360° 0 <  cos α < 1;

при α = 360°  cos α = 1.

За пройденный второй полукруг изменился от -1 до 1, а наименьшее и наибольшее его значения совпадают с длиной радиуса на отрицательной и положительной полуоси х.

За весь оборот подвижного радиуса ОВ, от совпадения с ОА до второго их совпадения, угол численно изменился от 0° до 360°, а численное значение косинуса угла изменялось в предела от 1 до -1.

Численное значение синуса и косинуса угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от параметров прямоугольного треугольника и его расположения на плоскости. Функции синуса и косинуса угла в численном значении не превышают 1.

Вычислить значения синуса и косинуса любого острого угла прямоугольного треугольника всегда можно, если известны длины его катетов и гипотенузы, но чаще вычисления не производят, а считывают значения функций по таблицам логарифмов тригонометрических функций в зависимости от величины острого угла.

Косинус

Косинус, записываемый как cos⁡ (θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения косинусов

Существует два основных способа обсуждения тригонометрических функций: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводятся определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины соседней стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

• Соседний: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
• Справа: сторона, противоположная θ.
• Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника напротив прямого угла.

Пример:

Найдите cos (⁡θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать функцию косинуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Самолет пролетает над человеком. Человек регистрирует угол возвышения 25 °, когда расстояние по прямой (гипотенуза треугольника) между человеком и самолетом составляет 14 миль. Какое расстояние по горизонтали между самолетом и человеком?

Учитывая информацию выше, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, в котором x — это расстояние по горизонтали между человеком и плоскостью, расстояние по прямой между человеком и плоскостью — это гипотенуза, а расстояние по вертикали между конечными концами треугольника. x, а гипотенуза образует прямой угол треугольника.Затем мы можем найти горизонтальное расстояние x, используя функцию косинуса:

x = 14 × cos⁡ (25 °) ≈ 12,69

Горизонтальное расстояние между человеком и самолетом составляет около 12,69 миль.

Определение единичного круга

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах).Использование определений единичного круга позволяет нам расширить область определения тригонометрических функций на все действительные числа. См. Рисунок ниже.

Учитывая точку (x, y) на окружности единичной окружности, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичного круга, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованной вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки.Конечная сторона угла — это гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус единичной окружности. Следовательно, он всегда имеет длину 1. Таким образом, мы можем использовать определение косинуса в прямоугольном треугольнике, чтобы определить, что

означает, что значение x любой точки на окружности единичной окружности равно cos⁡ (θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острых углов прямоугольных треугольников, если он находится в пределах области cos domain (θ).Область определения функции косинуса — (-∞, ∞), а диапазон функции косинуса — [-1, 1].

Значения функции косинуса

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения косинуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда косинусов Тейлора. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение косинуса вручную, и вам будет предоставлена ​​таблица, калькулятор или другие справочные материалы.

Калькулятор косинусов

Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение косинуса угла или угол по значению косинуса.

Уголки общеупотребительные

Хотя мы можем найти cos (θ) для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов в радианах и градусах, а также координаты их соответствующих точек на единичной окружности.

Приведенный выше рисунок служит справочным материалом для быстрого определения косинусов (значение x) и синусов (значение y) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, косинус имеет значение 0 при 90 ° и значение 1 при 0 °.Синус следует противоположному шаблону; это потому, что синус и косинус являются совместными функциями (описанными позже). Другие часто используемые углы — 30 ° (), 45 ° (), 60 ° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, поскольку они очень часто используются.

Один из методов, который может помочь запомнить эти значения, — это выразить все значения cos (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0 ° и до 90 °, cos⁡ (0 °) = 1 =.Последующие значения cos (30 °), cos (45 °), cos (60 °) и cos (90 °) следуют шаблону, так что, используя значение cos (0 °) в качестве эталона, найти значения косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже:

С 90 ° до 180 ° вместо этого мы увеличиваем число под корнем на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол. Косинус отрицателен в квадрантах II и III, поэтому значения будут равными, но отрицательными. .В квадрантах I и IV значения будут положительными. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для синуса. При необходимости обратитесь к странице синуса.

Знание значений косинуса и синуса для углов в первом квадранте позволяет нам определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах в координатной плоскости с помощью опорных углов.

Базовые углы

Базовый угол — это острый угол (<90 °), который можно использовать для обозначения угла любой меры.Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол от 0 ° до 90 °. Это всегда наименьший угол (относительно оси x), который может быть получен с конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ '.

Поскольку θ ‘является опорным углом θ, cos both (θ) и cos⁡ (θ’) имеют одинаковое значение. Например, 30 ° — это опорный угол 150 °, и если мы обратимся к единичному кругу, мы увидим, что косинусы обоих имеют величину, хотя и имеют разные знаки.Поскольку все углы имеют опорный угол, нам действительно нужно знать только значения cos⁡ (θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения той же величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки, основанные на квадранте, в котором находится конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

—

	Косинус	Синус	Касательная
Квадрант I	+	+	+
Квадрант II	—	+	—
Квадрант III	—	+
Квадрант IV	+	—	—

Как только мы определим опорный угол, мы можем определить значение тригонометрических функций в любом из других квадрантов, применив соответствующий знак их значения для опорного угла.Следующие шаги можно использовать, чтобы найти опорный угол заданного угла, θ:

1. Вычтите 360 ° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть от 0 ° до 360 ° или от 0 до 2π). Если полученный угол составляет от 0 ° до 90 °, это опорный угол.
2. Определите, в каком квадранте находится конечная сторона угла (начальная сторона угла расположена вдоль положительной оси x)
3. В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол.В квадранте I θ ‘= θ.

Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
θ ‘= 180 ° — θ	θ ‘= θ — 180 °	θ ‘= 360 ° — θ

Пример:

Найдите cos⁡ (120 °).

1. θ уже находится между 0 ° и 360 °
2. 120 ° лежит во II квадранте
3. 180 ° — 120 ° = 60 °, поэтому исходный угол составляет 60 °

.120 ° находится в квадранте II, а косинус отрицателен во втором квадранте, поэтому:

Пример:

Найдите cos⁡ (1050 °).

1. 1050 ° — 360 ° = 690 ° — 360 ° = 330 °
2. 330 ° лежит в квадранте IV
3. 360 ° — 330 ° = 30 °, поэтому исходный угол равен 30 °

. 330 ° находится в квадранте IV, а косинус положительный в квадранте IV, поэтому:

Свойства функции косинуса

Ниже приводится ряд свойств функции косинуса, которые может быть полезно знать при работе с тригонометрическими функциями.

Косинус является совместной функцией синуса

Кофункция — это функция, в которой f (A) = g (B) при условии, что A и B являются дополнительными углами. В контексте косинуса и синуса

cos⁡ (θ) = sin⁡ (90 ° — θ)

sin⁡ (θ) = cos⁡ (90 ° — θ)

Пример:

cos⁡ (30 °) = sin⁡ (90 ° — 30 °) = sin⁡ (60 °)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡ (30 °) и sin⁡ (60 °) и увидеть, что:

Косинус — четная функция

Четная функция — это функция, в которой f (x) = f (-x), что означает, что отражение графика по оси y даст тот же график.Таким образом,

cos⁡ (θ) = cos⁡ (-θ)

Пример:

cos⁡ (60 °) = cos⁡ (-60 °)

cos⁡ (60 °) = cos⁡ (300 °)

Обращаясь к единичной окружности, мы видим, что cos⁡ (60 °) = и cos⁡ (-60 °) эквивалентен cos⁡ (300 °), который также равен. Это только один пример, но это свойство верно для всех θ.

Косинус — периодическая функция

Периодическая функция — это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

е (х + р) = е (х)

для всех x в области f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся к нашей начальной точке. Если мы посмотрим на функцию косинуса, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период функции косинуса. Мы можем записать это как:

cos⁡ (θ + 2π) = cos⁡ (θ)

Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как

cos⁡ (θ + 2πn) = cos⁡ (θ)

, где n — целое число.

На рисунке ниже показан пример этой периодичности.

Синим цветом мы это видим. . Если мы прибавим 2π к, мы получим угол, показанный красным,. Как видно из рисунка, несмотря на разную степень поворота в обоих углах, их конечные стороны абсолютно одинаковы, что означает, что. Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидеть, что оно имеет то же значение косинуса, что и. Такова природа периодических функций. называются концевыми углами; это углы с одинаковой начальной и конечной сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

1.

2.

График функции косинуса

График косинуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞

Если бесконечно повторять эту часть y = cos inde (x) слева и справа, то получится полный график косинуса.Ниже приведен график, показывающий четыре периода функции косинуса в интервале [-4π, 4π].

На этом графике мы видим, что y = cos⁡ (x) демонстрирует симметрию оси y; отражение графика косинуса по оси y дает тот же график. Это подтверждает, что косинус является четной функцией, поскольку cos⁡ (x) = cos⁡ (-x).

Уравнение общего косинуса

Общий вид функции косинуса

y = A · cos (B (x — C)) + D

где A, B, C и D — константы.Чтобы иметь возможность изобразить уравнение косинуса в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y = cos⁡ (x), как показано выше. Чтобы применить все, что написано ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y = cos⁡ (x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A = 1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон cos (x) .

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, функция y = 2 cos⁡ (x) (красный) имеет амплитуду, которая в два раза больше, чем у исходного графика косинуса.

B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей совпадающей точки) и может быть найден как. В y = cos⁡ (x) период равен 2π. Мы можем подтвердить это, посмотрев на пики на графике косинусов. При x = 0 y = cos⁡ (x) имеет пик.Первый раз на функции появляется еще один пик при x = & plusmn2π, подтверждая, что период косинуса равен 2π.

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, который имеет период 2π, y = cos⁡ (2x) (красный) имеет период . Это означает, что график повторяется каждое π, а не каждые 2π.

C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево. Если C положительно, функция сдвигается вправо.Остерегайтесь знака; если у нас есть уравнение, то C нет, потому что это уравнение в стандартной форме. Таким образом, мы бы сместили единицы графика влево.

На рисунке ниже показаны y = cos⁡ (x) (фиолетовый) и (красный). Используя один из пиков графика косинуса в качестве ориентира, мы можем увидеть, что пик в точке (0,1) был смещен влево от своего исходного положения и теперь находится в точке (, 1).

D — вертикальный сдвиг функции; если D положительно, график сдвигается вверх на D единиц, а если он отрицателен, график сдвигается вниз.

По сравнению с y = cos⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, с центром на оси x (y = 0), y = cos⁡ (x) +5 (красный) с центром на линии y = 5 (синий).

Объединив все приведенные выше примеры, на рисунке ниже показан график (красный) по сравнению с графиком y = cos⁡ (x) (фиолетовый).

См. Также синус, касательную, единичную окружность, тригонометрические функции, тригонометрию.

cos (x) | функция косинуса

cos (x), функция косинуса.

Определение косинуса

В прямоугольном треугольнике ABC синус α, sin (α) равен определяется как отношение между стороной, прилегающей к углу α, и сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза):

cos α = b / c

Пример

b = 3 дюйма

c = 5 дюймов

cos α = b / c = 3/5 = 0,6

График косинуса

TBD

Правила косинуса

Название правила	Правило
Симметрия	cos (- θ ) = cos θ
Симметрия	cos (90 ° — θ ) = sin θ
Пифагорейская идентичность	sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1
	cos θ = sin θ / tan θ
	cos θ = 1 / сек θ
Двойной угол	cos 2 θ = cos 2 θ — грех 2 θ
Сумма углов	cos ( α + β ) = cos α cos β — sin α sin β
Разница углов	cos ( α-β ) = cos α cos β + sin α грех β
Сумма к продукту	cos α + cos β = 2 cos [( α + β ) / 2] cos [( α-β ) / 2]
Отличие от продукта	cos α — cos β = — 2 sin [( α + β ) / 2] sin [( α-β ) / 2]
Закон косинусов
Производная	cos ‘ x = — sin x
Интегральный	∫ cos x d x = sin x + C
Формула Эйлера	cos x = ( e ix + e — ix ) / 2

Функция обратного косинуса

Арккосинус x определяется как функция, обратная косинусу x, когда -1≤x≤1.

Когда косинус y равен x:

cos y = x

Тогда арккосинус x равен функции обратного косинуса x, которая равна y:

arccos x = cos ^-1 x = y

Пример

arccos 1 = cos ^-1 1 = 0 рад = 0 °

См .: Функция Arccos

Таблица косинусов

x (°)	x (рад)	cos x
180 °	π	-1
150 °	5π / 6	-√3 / 2
135 °	3π / 4	-√2 / 2
120 °	2π / 3	-1/2
90 °	π / 2	0
60 °	π / 3	1/2
45 °	π / 4	√2 / 2
30 °	π / 6	√3 / 2
0 °	0	1

---

См. Также

Функция косинуса

Функция косинуса — это периодический функция, которая очень важна в тригонометрии.

Самый простой способ понять функцию косинуса — использовать единичную окружность. Для заданного угла измерения θ , нарисуйте единичный круг на координатной плоскости и нарисуйте угол с центром в начале координат, с одной стороной в качестве положительного Икс -ось. В Икс -координата точки, где другая сторона угла пересекает круг, равна потому что ( θ ) , а у -координата грех ( θ ) .

Есть несколько значений косинуса, которые следует запомнить, исходя из 30 ° — 60 ° — 90 ° треугольники а также 45 ° — 45 ° — 90 ° треугольники .

Зная эти значения, вы можете получить много других значений для функции косинуса.Помните, что cos \ theta; положительно в квадрантах я а также я V и отрицательные в квадрантах я я а также я я я .

Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость, чтобы показать часть функции косинуса, часть между 0 а также 2 π .

Для значений θ меньше, чем 0 или больше чем 2 π вы можете найти ценность потому что ( θ ) с помощью опорный угол .

График функции в более широком интервале показан ниже.

Обратите внимание, что функция — это вся реальная линия, а диапазон — — 1 ≤ у ≤ 1 .

В период из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 2 π . То есть форма кривой повторяется каждые 2 π -единичный интервал на Икс -ось.

В амплитуда из ж ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) является 1 , то есть высота волны.

Модифицированная функция у знак равно а потому что ( б Икс ) имеет амплитуду а и период 2 π / б .

косинусов

Затем рассмотрим углы 30 ° и 60 °.В прямоугольном треугольнике 30 ° -60 ° -90 ° отношения сторон равны 1: √3: 2. Отсюда следует, что sin 30 ° = cos 60 ° = 1/2, и sin 60 ° = cos 30 ° = √3 / 2.

Эти выводы занесены в эту таблицу.

Угол	Градусов	Радианы	Косинус	синус
	90 °	π /2	0	1
/3	1/2	√3 / 2
	45 °	π /4	√2 / 2	√2 / 2
	30 °	π /6	√3 / 2	1/2
	0 °	0	1	0

Упражнения

Все эти упражнения относятся к прямоугольным треугольникам со стандартной маркировкой.

30. b = 2,25 метра и cos A = 0,15. Найдите a и c.

33. b = 12 футов и cos B = 1/3. Найдите c и a.

35. b = 6,4, c = 7,8. Найдите A, и a.

36. A = 23 ° 15 ‘, c = 12.15. Найдите a, и b.

Подсказки

30. Косинус A связывает b с гипотенузой c, , поэтому вы можете сначала вычислить c. Как только вы узнаете b и c, , вы сможете найти a по теореме Пифагора.

33. Вы знаете b и cos B. К сожалению, cos B — это отношение двух сторон, которых вы не знаете, а именно a / c. Тем не менее, это дает вам уравнение, с которым можно работать: 1/3 = a / c. Тогда c = 3 a. Тогда из теоремы Пифагора следует, что a ² + 144 = 9 a ² . Вы можете решить это последнее уравнение для a , а затем найти c.

35. b и c дают A, по косинусам и a по теореме Пифагора.

36. A и c дают a по синусам и b по косинусам.

ответов

30. c = b / cos A = 2,25 / 0,15 = 15 метров; a = 14,83 метра.

33. 8 a ² = 144, поэтому a ² = 18. Следовательно, a равно 4,24 ‘или 4’3 «.
c = 3 a , что равно 12.73 ‘или 12’9 «.

35. cos A = b / c = 6,4 / 7,8 = 0,82. Следовательно, A = 34,86 ° = 34 ° 52 ‘, или около 35 °.
a ² = 7,8 ² — 6,4 ² = 19,9, поэтому a составляет около 4,5.

36. a = c sin A = 12,15 sin 23 ° 15 ‘= 4,796.
b = c cos A = 12,15 cos 23 ° 15 ‘= 11.17.

Cosine — определение математического слова

Cosine — определение математического слова — Math Open Reference В прямоугольный треугольник, косинус угла — это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H). Попробуй это Перетащите любой вершину треугольника и посмотрите, как вычисляются косинусы A и C.

Функция косинуса, наряду с синусом и тангенсом, является одной из трех наиболее распространенных тригонометрические функции.В любом прямоугольном треугольнике косинус угла — это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H). В формуле он записывается просто как «cos».

Часто вспоминается как «CAH», что означает Косинус Смежно над Гипотенуза. См. SOH CAH TOA.

В качестве примера предположим, что мы хотим найти косинус угла C на рисунке выше (сначала нажмите «сбросить»). Из приведенной выше формулы мы знаем, что косинус угла — это смежная сторона, деленная на гипотенузу.Соседняя сторона — это BC и имеет длину 26. Гипотенуза — это AC с длиной 30. Таким образом, мы можем написать Это деление на калькуляторе получается 0,866. Таким образом, мы можем сказать: « Косинус 30 ° равен 0,866 » или

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти косинус 30 °. Как и выше, должно получиться 0,8660.
(Если нет — убедитесь, что калькулятор настроен на работу в градусах, а не радианы).

Пример — использование косинуса для нахождения гипотенузы

Если мы посмотрим на общее определение — мы видим, что есть три переменные: размер угла x и длины двух сторон (смежная и гипотенуза).Итак, если у нас есть какие-то два из них, мы можем найти третий.

На рисунке выше нажмите «Сброс». Представьте, что мы не знаем длины гипотенузы H. Мы знаем, что косинус A (60 °) — это смежная сторона (15), деленная на H. Из нашего калькулятора мы находим, что cos60 равен 0,5, поэтому мы можем написать Транспонирование: что составляет 30, что соответствует цифре выше.

Функция обратного косинуса — arccos

Для каждой тригонометрической функции, такой как cos, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, cos является обратной величиной arccos и т. Д.

Когда мы видим «arccos A», мы интерпретируем его как «угол, косинус которого равен A».

cos60 = 0,5	Означает: косинус 60 градусов равен 0,5
arccos0.5 = 60	Означает: угол, косинус которого равен 0,5, равен 60 градусам.

Мы используем его, когда знаем, что такое косинус угла, и хотим узнать фактический угол.

Также определение арккосинуса и Обратные функции — тригонометрия

Большие и отрицательные углы

В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти косинус любого угла, независимо от его размера, а также косинус отрицательных углов. Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.

Построение функции косинуса

Когда косинус угла отображается в зависимости от угла, в результате получается форма, аналогичная приведенной выше.

Для получения дополнительной информации см. Графики функции косинуса.

Производная cos (x)

В расчетах производная cos (x) равна –sin (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или наклон cos (x) составляет –sin (x) . Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Единичный круг: функции синуса и косинуса

Результаты обучения

• Найдите значения функции для синуса и косинуса особых углов.
• Укажите область и диапазон функций синуса и косинуса.
• Используйте исходные углы для оценки тригонометрических функций.
• Оцените значения синуса и косинуса с помощью калькулятора.

Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начнем с рисования единичного круга, круга с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2.Угол (в радианах), который пересекает [latex] t [/ latex], образует дугу длиной [latex] s [/ latex]. Используя формулу [latex] s = rt [/ latex] и зная, что [latex] r = 1 [/ latex], мы видим, что для единичной окружности , [latex] s = t [/ latex].

Напомним, что оси x- ​​ и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемых квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление, в котором будет разворачиваться положительный угол. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [латекс] t [/ латекс] мы можем обозначить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходными данными тригонометрических функций [latex] f \ left (t \ right) = \ cos t [/ latex] и [latex] f \ left (t \ right) = \ sin t [/ latex] соответственно. Это означает [латекс] x = \ cos t [/ latex] и [латекс] y = \ sin t [/ latex].

Рис. 2. Единичная окружность с центральным углом [латекс] t [/ латекс] радиан

A Общее примечание: Unit Circle

Единичная окружность имеет центр [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс] и радиус [латекс] 1 [/ латекс].В единичном круге длина перехваченной дуги равна радианам центрального угла [латекс] 1 [/ латекс].

Пусть [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] будет конечной точкой на единичной окружности дуги длины дуги [latex] s [/ latex]. Координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] этой точки могут быть описаны как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса

Теперь, когда у нас есть помеченная единичная окружность, мы можем узнать, как координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] соотносятся с длиной дуги и углом .Синусоидальная функция связывает действительное число [латекс] t [/ латекс] с координатой y точки, в которой соответствующий угол пересекает единичную окружность. Точнее, синус угла [латекс] t [/ латекс] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 2 синус равен [latex] y [/ latex]. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход — мера угла; его выход — координата y соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла [латекс] t [/ латекс] равна значению x конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 3 косинус равен [латекс] х [/ латекс].

Рисунок 3

Поскольку понятно, что синус и косинус являются функциями, нам не всегда нужно записывать их в скобках: [latex] \ sin t [/ latex] то же самое, что [latex] \ sin \ left (t \ right) [ / latex] и [latex] \ cos t [/ latex] то же самое, что и [latex] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].{2} [/ латекс]. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. В случае сомнений используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Общее примечание: функции синуса и косинуса

Если [латекс] t [/ latex] является действительным числом и точка [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичном круге соответствует углу [латекса] t [/ latex] , затем

[латекс] \ cos t = x [/ латекс]

[латекс] \ sin t = y [/ латекс]

Как сделать: по точке

P [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичной окружности, соответствующей углу [латекс] t [/ latex], найдите синус и косинус.

1. Синус [latex] t [/ latex] равен y -координате точки [latex] P: \ sin t = y [/ latex].
2. Косинус [latex] t [/ latex] равен x -координате точки [latex] P: \ text {cos} t = x [/ latex].

Пример 1: Поиск значений функции для синуса и косинуса

Точка [латекс] P [/ латекс] — это точка на единичной окружности, соответствующая углу [латекс] t [/ латекс], как показано на рисунке 4. Найдите [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex] и [latex] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

Рисунок 4

Показать решение

Мы знаем, что [latex] \ cos t [/ latex] — это координата x соответствующей точки на единичном круге, а [latex] \ sin t [/ latex] — это координата y соответствующей точки. точка на единичной окружности. Итак:

[латекс] \ begin {align} x & = \ cos t = \ frac {1} {2} \\ y & = \ sin t = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} [/ латекс]

Попробуй

Определенный угол [латекс] t [/ латекс] соответствует точке на единичной окружности в [латекс] \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) [/ latex], как показано на рисунке 5.Найдите [latex] \ cos t [/ latex] и [latex] \ sin t [/ latex].

Рисунок 5

Показать решение

[латекс] \ cos \ left (t \ right) = — \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ sin \ left (t \ right) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Для квадрантных углов соответствующая точка единичной окружности попадает на ось x- ​​ или y . {2} t = 1 [/ латекс]

Как сделать: учитывая синус некоторого угла [латекс] t [/ latex] и его положение в квадранте, найдите косинус [latex] t [/ latex].

1. Замените известное значение [латекс] \ sin \ left (t \ right) [/ latex] на Пифагорову идентификацию.
2. Решить относительно [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].
3. Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится [латекс] t [/ латекс].

Пример 3: Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

Если [латекс] \ sin \ left (t \ right) = \ frac {3} {7} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится во втором квадранте, найдите [latex] \ cos \ left (т \ справа) [/ латекс].{2} \ left (t \ right) = \ frac {40} {49} \\ \ text {cos} \ left (t \ right) = \ pm \ sqrt {\ frac {40} {49}} = \ pm \ frac {\ sqrt {40}} {7} = \ pm \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \ end {gather} [/ latex]

Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- ​​ является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицателен. \ circ [/ latex] или [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex], как показано на рисунке 9.Треугольник \ circ [/ latex] — это равнобедренный треугольник, поэтому координаты x- ​​ и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- ​​ и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.

Рисунок 9

При [latex] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex], что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам угол первого квадранта . Это означает, что радиус лежит вдоль линии [латекс] y = x [/ latex].{2} = \ frac {1} {2} \\ x = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {gather} [/ latex]

В квадранте I [латекс] x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ latex].

При [латексе] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex] или 45 градусах,

[латекс] \ begin {собранный} \ left (x, y \ right) = \ left (x, x \ right) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}}, \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) \\ x = \ frac {1} {\ sqrt {2}}, y = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ \ cos t = \ frac { 1} {\ sqrt {2}}, \ sin t = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {gather} [/ latex]

Если мы затем рационализируем знаменатели, мы получим

[латекс] \ begin {align} \ cos t & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \\ \ sin t & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} = \ frac {\ sqrt {2}} {2 } \ end {align} [/ latex]

Следовательно, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] координаты точки на окружности радиусом [латекс] 1 [/ latex] под углом [латекс] 45 ^ \ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) [/ latex].\ circ [/ latex], как показано на рисунке 12.

Рисунок 11

Рисунок 12

Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину [латекс] 2y [/ latex], и поскольку все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что [latex] r = 2y [/ latex] или [latex] y = \ frac {1} {2 } г [/ латекс]. Поскольку [латекс] \ sin t = y [/ latex],

[латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} r [/ latex]

А так как [latex] r = 1 [/ latex] в нашем единичном круге ,

[латекс] \ begin {align} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1 \ right) = \ frac {1} {2 } \ end {align} [/ latex]

Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.\ circ [/ латекс]. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника [латекс] ABC [/ латекс] имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

Рисунок 13

Угол наклона [латекс] ABD [/ латекс] составляет 30 °. Так, если двойной, угол [латекс] ABC [/ латекс] равен 60 °. [latex] BD [/ latex] — это серединный перпендикуляр к [latex] AC [/ latex], поэтому он разрезает [latex] AC [/ latex] пополам. Это означает, что [latex] AD [/ latex] — это [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] радиус или [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].\ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ [/ latex], поэтому мы можем найти синус и косинус.

[латекс] \ begin {собранный} \ left (x, y \ right) = \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \\ x = \ frac {1} {2}, y = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ cos t = \ frac {1} {2}, \ sin t = \ frac {\ sqrt {3} } {2} \ end {gather} [/ latex]

Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице ниже приведены эти значения.

Угол	0	[латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ latex], или 30 °	[латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ latex], или 45 °	[латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], или 60 °	[латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], или 90 °
Косинус	1	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]	[латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]	0
Синус	0	[латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс]	1

На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.

Рисунок 14

Использование калькулятора для определения синуса и косинуса

Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов , мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Обратите внимание : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы для входного значения. Когда мы вычисляем [латекс] \ cos \ left (30 \ right) [/ latex] на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в радианном режиме.

Как сделать: если задан угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.

1. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
2. Нажмите кнопку COS.
3. Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
4. Нажмите ENTER.

Пример 4: Использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса

Вычислить [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) [/ latex] с помощью графического калькулятора или компьютера.\ circ [/ latex], например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть входных данных:

SIN (20 × π ÷ 180) ВВОД

Попробуй

Вычислить [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex].

Показать решение

приблизительно 0,866025403

Определение области и диапазона функций синуса и косинуса

Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области и диапазоны.Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, какие наименьшие и наибольшие числа могут входить в функции? Поскольку углы меньше 0 и углы больше [латекс] 2 \ pi [/ latex] все еще могут быть нанесены на единичный круг и имеют реальные значения [latex] x, y [/ latex] и [latex] r [/ latex], не существует нижнего или верхнего предела углов, которые могут входить в функции синуса и косинуса. Входными данными для функций синуса и косинуса является поворот от положительной оси x , и это может быть любое действительное число.

Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшие и наибольшие возможные значения их производительности? Мы можем увидеть ответы, исследуя единичную окружность , как показано на рисунке 15. Границы координаты x равны [латекс] \ влево [-1,1 \ вправо] [/ латекс]. Границы координаты y также являются [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex]. Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса равен [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].

Рисунок 15

Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса.Поскольку значение синуса является координатой y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но будет иметь противоположное значение x . Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с таким же косинусом будет иметь то же значение x , но будет иметь противоположное значение y .Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на рисунке 16, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны. Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ sin \ left (t \ right) = \ sin \ left (\ alpha \ right) \ hfill & \ text {и} \ hfill & \ cos \ left (t \ right) = — \ cos \ left (\ alpha \ right) \ hfill \\ \ sin \ left (t \ right) = — \ sin \ left (\ beta \ right) \ hfill & \ text {и} \ hfill & \ cos \ left (t \ right) = \ cos \ left (\ beta \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

Рисунок 16

Напомним, что опорный угол угла — это острый угол [латекс] t [/ латекс], образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью. \ circ \ mathrm {-t} | [/ latex].\ circ [/ latex]

Попробуй

Найдите опорный угол [латекса] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

Использование опорных углов

А теперь давайте вернемся к колесу обозрения, представленному в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Какая у всадника новая высота? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах больше 90 градусов или при отрицательном угле .Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.

Использование опорных углов для оценки тригонометрических функций

Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если мы знаем косинус или синус его опорного угла.Абсолютные значения косинуса и синуса угла такие же, как и у опорного угла. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений y в этом квадранте.

Общее примечание: использование опорных углов для определения косинуса и синуса

Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы.Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

Как: для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

1. Измерьте угол между конечной стороной данного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
2. Определите значения косинуса и синуса опорного угла.
3. Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.\ circ \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex]

4. [latex] \ frac {5 \ pi} {4} [/ latex] находится в третьем квадранте. Его опорный угол составляет [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} — \ pi = \ frac {\ pi} {4} [/ latex]. Косинус и синус [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] оба равны [latex] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. В третьем квадранте значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, поэтому:

   [латекс] \ cos \ frac {5 \ pi} {4} = — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ text {и} \ sin \ frac {5 \ pi} {4} = — \ гидроразрыв {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]

Попробуй

а.\ circ \ right) = \ frac {- \ sqrt {2}} {2} [/ latex]
б. [латекс] \ cos \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ sin \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} [/ latex]

Использование опорных углов для поиска координат

Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности. Они показаны на рисунке 19.Найдите время, чтобы узнать координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] всех основных углов в первом квадранте.

Помимо изучения значений специальных углов, мы можем использовать опорные углы, чтобы найти координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об опорных углах вместе с удостоверениями

[латекс] \ begin {собрано} x = \ cos t \\ y = \ sin t \ end {собрано} [/ latex]

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу.Затем мы берем значения синуса и косинуса опорного угла и даем им знаки, соответствующие значениям квадранта y, и x .

Как сделать: учитывая угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] точки.

1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к оси x .
2. Найдите косинус и синус опорного угла.
3. Определите соответствующие знаки для [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]
   в данном квадранте.

Пример 7: Использование единичной окружности для поиска координат

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].

Показать решение

Мы знаем, что угол [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex] находится в третьем квадранте.

Во-первых, давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x .Чтобы найти опорный угол угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс] \ pi [/ латекс].

[латекс] \ frac {7 \ pi} {6} — \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

Затем находим косинус и синус опорного угла:

[латекс] \ begin {gather} \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ end {gather} [/ latex]

Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте.Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, косинус и синус отрицательны.

[латекс] \ begin {gather} \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} \ end {gather} [/ latex]

Теперь мы можем вычислить координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], используя тождества [latex] x = \ cos \ theta [/ latex] и [latex] y = \ sin \ theta [ /латекс].

Координаты точки: [latex] \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex] на единичной окружности.{2} t = 1 [/ латекс]

Ключевые понятия

• Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
• Используя единичную окружность, синус угла [латекс] t [/ latex] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс], тогда как косинус угол [latex] t [/ latex] равен x -значению конечной точки.
• Значения синуса и косинуса наиболее точно определяются, когда соответствующая точка единичной окружности попадает на ось.
• Когда синус или косинус известен, мы можем использовать пифагорову тождество, чтобы найти другое. Пифагорейская идентичность также полезна для определения синусов и косинусов особых углов.
• Калькуляторы и программное обеспечение для построения графиков полезны для поиска синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
• Все функции синуса и косинуса являются действительными числами.
• Диапазон функций синуса и косинуса: [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
• Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус его опорного угла.
• Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
• Опорный угол угла — это размерный угол [латекс] t [/ латекс],
  , образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью.
• Опорные углы можно использовать для определения синуса и косинуса исходного угла.
• Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.

Глоссарий

функция косинуса

значение x точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу

Пифагорейская идентичность

является следствием теоремы Пифагора, утверждающей, что квадрат косинуса заданного угла плюс квадрат синуса этого угла равняется 1

синусоидальная функция

значение y точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу

единичный круг

круг с центром в [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс]
и радиусом

Синус и косинус объяснены визуально

Синус и косинус объяснены визуально

Разъяснение визуально

Виктор Пауэлл

с текстом Льюиса Лехе

Синус и косинус — a.k.a., sin (θ) и cos (θ) — функции, раскрывающие форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины с углом θ, sin (θ) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) — это отношение соседней стороны к гипотенузе. Независимо от размера треугольника, значения sin (θ) и cos (θ) одинаковы для данного θ, как показано ниже.

Посмотрите на крайний левый рисунок выше (единичный круг). Гипотенуза треугольника имеет длину 1, поэтому (удобно!) Отношение его смежности к его гипотенузе равно cos (θ), а отношение его противоположности к гипотенузе равно sin (θ).Следовательно, поместив треугольники в точку (0,0) плоскости x / y, можно найти функции sin (θ) и cos (θ), записав значения x и y для каждого θ. Нажмите ниже, чтобы увидеть, как разворачивается этот процесс. Углы указаны в радианах (т. Е. Π / 4, π / 2, …).

Конечно, компьютеры и калькуляторы на самом деле не рисуют круги, чтобы найти синус и косинус. Вместо этого они используют приближения, подобные ряду Тейлора: \ [\ begin {выровнено} \ sin {\ theta} = θ — \ frac {\ theta ^ 3} {3!} + \ frac {\ theta ^ 5} {5!} — \ frac {\ theta ^ 7} {7!} \ cdots \ \ \ cos {\ theta} = 1 — \ frac {\ theta ^ 2} {2!} + \ frac {\ theta ^ 4} {4!} — \ frac {\ theta ^ 6} {6!} \ cdots \ конец {выровнено} \]

Используя синус и косинус, можно описать любую точку (x, y) как альтернативу, точку (r, θ), где r — длина сегмента от (0,0) до точки, а θ — угол между этим сегментом и осью абсцисс.Это называется полярной системой координат, и правило преобразования: (x, y) = (rcos (θ), rsin (θ)). Поиграйте с рисунками ниже, чтобы увидеть преобразование в реальном времени между декартовыми (т.е. координатами x / y) и полярными координатами.

Для получения дополнительных объяснений посетите домашнюю страницу проекта «Визуальное объяснение».

Или подпишитесь на нашу рассылку.

Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus. комментарии предоставлены .